§7 Производная от функции, заданной неявно. Производная неявно заданной функции
Несомненно, в нашем сознании образ функции ассоциируется с равенством и соответствующей ему линией – графиком функции. Например, - функциональная зависимость, графиком которой является квадратичная парабола с вершиной в начале координат и направленными вверх ветвями; - функция синуса, известная своими волнами.
В этих примерах в левой части равенства находится y , а в правой части – выражение, зависящее от аргумента x . Другими словами, имеем уравнение, разрешенное относительно y . Представление функциональной зависимости в виде такого выражения называется явным заданием функции (или функцией в явном виде ). И этот тип задания функции является для нас наиболее привычным. В большинстве примеров и задач нам предстают именно явные функции. Про дифференцирование функций одной переменной, заданных в явном виде, мы уже в деталях поговорили.
Однако, функция подразумевает соответствие между множеством значений величины x и множеством значений y , причем это соответствие НЕ обязательно устанавливается какой-либо формулой или аналитическим выражением. То есть, существует множество способов задания функции помимо привычного .
В данной статье мы рассмотрим неявные функции и способы нахождения их производных . В качестве примеров функций, заданных неявно, можно привести или .
Как Вы заметили, неявная функция определяется соотношением . Но не все такие соотношения между x и y задают функцию. Например, ни одна пара действительных чисел x и y не удовлетворяет равенству , следовательно, это соотношение неявную функцию не задает.
Может неявно определять закон соответствия между величинами x и y , причем каждому значению аргумента x может соответствовать как одно (в этом случае имеем однозначную функцию) так и несколько значений функции (в этом случае функцию называют многозначной). К примеру, значению x = 1 соответствует два действительных значения y = 2 и y = -2 неявно заданной функции .
Неявную функцию привести к явному виду далеко не всегда возможно, иначе не пришлось бы дифференцировать сами неявные функции. Например, - не преобразовывается к явному виду, а - преобразовывается.
Теперь к делу.
Чтобы найти производную неявно заданной функции, необходимо продифференцировать обе части равенства по аргументу x , считая y – функцией от x , и после этого выразить .
Дифференцирование выражений, содержащих x и y(x) , проводится с использованием правил дифференцирования и правила нахождения производной сложной функции . Давайте сразу подробно разберем несколько примеров, чтобы дальше не было вопросов.
Пример.
Продифференцировать выражения по x , считая y функцией от x .
Решение.
Так как y – это функция от x , то - это сложная функция. Ее можно условно представить как f(g(x)) , где f – функция возведения в куб, а g(x) = y . Тогда, по формуле производной сложной функции имеем: .
При дифференцировании второго выражения выносим константу за знак производной и действуем как в предыдущем случае (здесь f
– функция синуса, g(x) = y
):
Для третьего выражения применяем формулу производной произведения:
Последовательно применяя правила, продифференцируем последнее выражение:
Вот теперь можно переходить к нахождению производной неявно заданной функции, для этого все знания есть.
Пример.
Найти производную неявной функции .
Решение.
Производная неявно заданной функции всегда представляется в виде выражения, содержащего x
и y
: . Чтобы прийти к такому результату, продифференцируем обе части равенства:
Разрешим полученное уравнение относительно производной:
Ответ:
.
ЗАМЕЧАНИЕ.
Для закрепления материала решим еще пример.
Сначала рассмотрим неявную функцию одного переменного. Она определяется уравнением (1), которое каждому х из некоторой области Х сопоставляет определённое у. Тогда на Х определяется этим уравнением функция у=f(х). Её называют неявной или неявно заданной . Если уравнение (1) удаётся разрешить относительно у, т.е. получить вид у=f(х), то задание неявной функции становится явным. Однако разрешить уравнение удается не всегда и в этом случае не всегда ясно – существует ли вообще неявная функция у=f(х), определяемая уравнением (1) в некоторой окрестности точки (x 0 , y 0).
Например,
уравнение
неразрешимо относительноy
и неясно - определяет ли оно неявную
функцию в некоторой окрестности точки
(1,0), например. Заметим, что существуют
уравнения, не определяющие никакой
функции (x 2 +y 2 +1=0).
Оказывается справедливой следующая теорема:
Теорема «Существования и дифференцируемости неявной функции» (без доказательства)
Пусть
дано уравнение
(1) и функция
,
удовлетворяет условиям:
Тогда:
. (2)
Геометрически
теорема утверждает, что в окрестности
точки
,
где выполняемы условия теоремы, неявная
функция, определяемая уравнением (1),
может быть задана в явном виде у=f(х),
т.к. каждому значению х соответствует
единственное у. Если даже мы не можем
найти выражение функции в явном виде,
мы уверены, что в некоторой окрестности
точки М 0
это уже
возможно в принципе.
Рассмотрим
тот же пример:
.
Проверим условия:
1)
,
- и функция и её производные непрерывны
в окрестности точки (1,0) (как сумма и
произведение непрерывных).
2)
.
3)
.
Значит, неявная функция у=
f(х) существует
в окрестности точки (1,0). Мы не можем её
выписать в явном виде, но можем все-таки
найти её производную, которая будет
даже непрерывной:
Рассмотрим теперь неявную функцию от нескольких переменных . Пусть задано уравнение
. (2)
Если
каждой паре значений (х,у) из некоторой
области уравнение (2) сопоставляет одно
определённое значение z,
то говорят, что это уравнение неявно
определяет однозначную функцию от двух
переменных
.
Справедлива и соответствующая теорема существования и дифференцирования неявной функции нескольких переменных.
Теорема
2
: Пусть дано
уравнение
(2) и функция
удовлетворяет условиям:
Пример
:
.
Это уравнение задаётz
как двузначную неявную функцию от х и
у
.
Если проверить условия теоремы в
окрестности точки, например, (0,0,1), то
видим выполнение всех условий:
Значит,
неявная однозначная функция существует
в окрестности точки (0,0,1): Можно сказать
сразу, что это
,
задающая верхнюю полусферу.
Существуют
непрерывные частные производные
Они, кстати, получаются такими же, если
дифференцировать неявную функцию,
выраженную в явном виде, непосредственно.
Определение и теорема существования и дифференцирования неявной функции большего числа аргументов аналогичны.
Рассмотрим функцию y(x), которая записывается неявным способом в общем виде $ F(x,y(x)) = 0 $. Производная неявной функции находится двумя способами:
- Дифференцированием обеих частей уравнения
- С помощью использования готовой формулы $ y" = - \frac{F"_x}{F"_y} $
Как найти?
Способ 1
Не требуется приводить функцию к явному виду. Нужно сразу приступать к дифференцированию левой и правой части уравнения по $ x $. Стоит обратить внимание, что производная $ y" $ вычисляется по правилу дифференцирования сложной функции. Например, $ (y^2)"_x = 2yy" $. После нахождения производной необходимо выразить $ y" $ из полученного уравнения и разместить $ y" $ в левой части.
Способ 2
Можно воспользоваться формулой, в которой используются в числителе и знаменателе частные производные неявной функции $ F(x,y(x)) = 0 $. Для нахождения числителя берем производную по $ x $, а для знаменателя производную по $ y $.
Вторую производную неявной функции можно найти с помощью повторного дифференцирования первой производной неявной функции.
Примеры решений
Рассмотрим практические примеры решений на вычисление производной неявно заданной функции.
Пример 1 |
Найти производную неявной функции $ 3x^2y^2 -5x = 3y - 1 $ |
Решение |
Воспользуемся способом №1. А именно продифференцируем левую и правую часть уравнения: $$ (3x^2y^2 -5x)"_x = (3y - 1)"_x $$ Не забываем при дифференцировании использовать формулу производной произведения функций: $$ (3x^2)"_x y^2 + 3x^2 (y^2)"_x - (5x)"_x = (3y)"_x - (1)"_x $$ $$ 6x y^2 + 3x^2 2yy" - 5 = 3y" $$ $$ 6x y^2 - 5 = 3y" - 6x^2 yy" $$ $$ 6x y^2 - 5 = y"(3-6x^2 y) $$ $$ y" = \frac{6x y^2 - 5}{3 - 6x^2y } $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
Ответ |
$$ y" = \frac{6x y^2 - 5}{3 - 6x^2y } $$ |
Пример 2 |
Функция задана неявно, найти производную $ 3x^4 y^5 + e^{7x-4y} -4x^5 -2y^4 = 0 $ |
Решение |
Воспользуемся способом №2. Находим частные производные функции $ F(x,y) = 0 $ Положим $ y $ постоянной и продифференцируем по $ x $: $$ F"_x = 12x^3 y^5 + e^{7x-4y} \cdot 7 - 20x^4 $$ $$ F"_x = 12x^3 y^5 + 7e^{7x-4y} - 20x^4 $$ Считаем теперь $ x $ константой и дифференцируем по $ y $: $$ F"_y = 15x^4 y^4 + e^{7x-4y} \cdot (-4) - 8y^3 $$ $$ F"_y = 15x^4 y^4 - 4e^{7x-4y} - 8y^3 $$ Подставляем теперь в формулу $ y" = -\frac{F"_y}{F"_x} $ и получаем: $$ y" = -\frac{12x^3 y^5 + 7e^{7x-4y} - 20x^4}{15x^4 y^4 - 4e^{7x-4y} - 8y^3} $$ |
Ответ |
$$ y" = -\frac{12x^3 y^5 + 7e^{7x-4y} - 20x^4}{15x^4 y^4 - 4e^{7x-4y} - 8y^3} $$ |
Пусть функция задана неявным образом с помощью уравнения
(1)
.
И пусть это уравнение, при некотором значении ,
имеет единственное решение .
Пусть функция является дифференцируемой функцией в точке ,
причем
.
Тогда, при этом значении ,
существует производная ,
которая определяется по формуле:
(2)
.
Доказательство
Для доказательства рассмотрим функцию как сложную функцию от переменной :
.
Применим правило дифференцирования сложной функции и найдем производную по переменной от левой и правой частей уравнения
(3)
:
.
Поскольку производная от постоянной равна нулю и ,
то
(4)
;
.
Формула доказана.
Производные высших порядков
Перепишем уравнение (4), используя другие обозначения:
(4)
.
При этом и являются сложными функциями от переменной :
;
.
Зависимость определяет уравнение (1):
(1)
.
Находим производную по переменной от левой и правой части уравнения (4).
По формуле производной сложной функции имеем:
;
.
По формуле производной произведения :
.
По формуле производной суммы :
.
Поскольку производная правой части уравнения (4) равна нулю, то
(5)
.
Подставив сюда производную ,
получим значение производной второго порядка в неявном виде.
Дифференцируя, аналогичным образом, уравнение (5), мы получим уравнение, содержащее производную третьего порядка :
.
Подставив сюда найденные значения производных первого и второго порядков, найдем значение производной третьего порядка.
Продолжая дифференцирование, можно найти производную любого порядка.
Примеры
Пример 1
Найдите производную первого порядка от функции, заданной неявно уравнением:
(П1)
.
Решение по формуле 2
Находим производную по формуле (2):
(2)
.
Перенесем все переменные в левую часть, чтобы уравнение приняло вид .
.
Отсюда .
Находим производную по ,
считая постоянной.
;
;
;
.
Находим производную по переменной ,
считая переменную постоянной.
;
;
;
.
По формуле (2) находим:
.
Мы можем упростить результат если заметим, что согласно исходному уравнению (П.1), .
Подставим :
.
Умножим числитель и знаменатель на :
.
Решение вторым способом
Решим этот пример вторым способом. Для этого найдем производную по переменной левой и правой частей исходного уравнения (П1).
Применяем :
.
Применяем формулу производной дроби :
;
.
Применяем формулу производной сложной функции :
.
Дифференцируем исходное уравнение (П1).
(П1)
;
;
.
Умножаем на и группируем члены.
;
.
Подставим (из уравнения (П1)):
.
Умножим на :
.
Ответ
Пример 2
Найти производную второго порядка от функции ,
заданной неявно с помощью уравнения:
(П2.1)
.
Решение
Дифференцируем исходное уравнение, по переменной ,
считая что является функцией от :
;
.
Применяем формулу производной сложной функции.
.
Дифференцируем исходное уравнение (П2.1):
;
.
Из исходного уравнения (П2.1) следует, что .
Подставим :
.
Раскрываем скобки и группируем члены:
;
(П2.2)
.
Находим производную первого порядка:
(П2.3)
.
Чтобы найти производную второго порядка, дифференцируем уравнение (П2.2).
;
;
;
.
Подставим выражение производной первого порядка (П2.3):
.
Умножим на :
;
.
Отсюда находим производную второго порядка.
Ответ
Пример 3
Найти производную третьего порядка при от функции ,
заданной неявно с помощью уравнения:
(П3.1)
.
Решение
Дифференцируем исходное уравнение по переменной считая, что является функцией от .
;
;
;
;
;
;
(П3.2)
;
Дифференцируем уравнение (П3.2) по переменной .
;
;
;
;
;
(П3.3)
.
Дифференцируем уравнение (П3.3).
;
;
;
;
;
(П3.4)
.
Из уравнений (П3.2), (П3.3) и (П3.4) находим значения производных при .
;
;
.
Определение. Пусть функция \(y = f(x) \) определена в некотором интервале, содержащем внутри себя точку \(x_0 \). Дадим аргументу приращение \(\Delta x \) такое, чтобы не выйти из этого интервала. Найдем соответствующее приращение функции \(\Delta y \) (при переходе от точки \(x_0 \) к точке \(x_0 + \Delta x \)) и составим отношение \(\frac{\Delta y}{\Delta x} \). Если существует предел этого отношения при \(\Delta x \rightarrow 0 \), то указанный предел называют производной функции \(y=f(x) \) в точке \(x_0 \) и обозначают \(f"(x_0) \).
$$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f"(x_0) $$
Для обозначения производной часто используют символ y". Отметим, что y" = f(x) - это новая функция, но, естественно, связанная с функцией y = f(x), определенная во всех точках x, в которых существует указанный выше предел. Эту функцию называют так: производная функции у = f(x) .
Геометрический смысл производной
состоит в следующем. Если к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х=a можно
провести касательную, непараллельную оси y, то f(a) выражает угловой коэффициент касательной:
\(k = f"(a) \)
Поскольку \(k = tg(a) \), то верно равенство \(f"(a) = tg(a) \) .
А теперь истолкуем определение производной с точки зрения приближенных равенств. Пусть функция \(y = f(x) \) имеет
производную в конкретной точке \(x \):
$$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = f"(x) $$
Это означает, что около точки х выполняется приближенное равенство \(\frac{\Delta y}{\Delta x} \approx f"(x) \), т.е.
\(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \).
Содержательный смысл полученного приближенного равенства заключается в следующем: приращение функции «почти пропорционально»
приращению аргумента, причем коэффициентом пропорциональности является значение производной в заданной точке х.
Например, для функции \(y = x^2 \) справедливо приближенное равенство \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \).
Если внимательно проанализировать определение производной, то мы обнаружим, что в нем заложен алгоритм ее нахождения.
Сформулируем его.
Как найти производную функции у = f(x) ?
1. Зафиксировать значение \(x \), найти \(f(x) \)
2. Дать аргументу \(x \) приращение \(\Delta x \), перейти в новую точку \(x+ \Delta x \), найти \(f(x+ \Delta x) \)
3. Найти приращение функции: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Составить отношение \(\frac{\Delta y}{\Delta x} \)
5. Вычислить $$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} $$
Этот предел и есть производная функции в точке x.
Если функция у = f(x) имеет производную в точке х, то ее называют дифференцируемой в точке х. Процедуру нахождения производной функции у = f(x) называют дифференцированием функции у = f(x).
Обсудим такой вопрос: как связаны между собой непрерывность и дифференцируемость функции в точке.
Пусть функция у = f(x) дифференцируема в точке х. Тогда к графику функции в точке М(х; f(x)) можно провести касательную, причем, напомним, угловой коэффициент касательной равен f"(x). Такой график не может «разрываться» в точке М, т. е. функция обязана быть непрерывной в точке х.
Это были рассуждения «на пальцах». Приведем более строгое рассуждение. Если функция у = f(x) дифференцируема в точке х, то выполняется приближенное равенство \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \). Если в этом равенстве \(\Delta x \) устремить к нулю, то и \(\Delta y \) будет стремиться к нулю, а это и есть условие непрерывности функции в точке.
Итак, если функция дифференцируема в точке х, то она и непрерывна в этой точке .
Обратное утверждение неверно. Например: функция у = |х| непрерывна везде, в частности в точке х = 0, но касательная к графику функции в «точке стыка» (0; 0) не существует. Если в некоторой точке к графику функции нельзя провести касательную, то в этой точке не существует производная.
Еще один пример. Функция \(y=\sqrt{x} \) непрерывна на всей числовой прямой, в том числе в точке х = 0. И касательная к графику функции существует в любой точке, в том числе в точке х = 0. Но в этой точке касательная совпадает с осью у, т. е. перпендикулярна оси абсцисс, ее уравнение имеет вид х = 0. Углового коэффициента у такой прямой нет, значит, не существует и \(f"(0) \)
Итак, мы познакомились с новым свойством функции - дифференцируемостью. А как по графику функции можно сделать вывод о ее дифференцируемости?
Ответ фактически получен выше. Если в некоторой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную оси абсцисс, то в этой точке функция дифференцируема. Если в некоторой точке касательная к графику функции не существует или она перпендикулярна оси абсцисс, то в этой точке функция не дифференцируема.
Правила дифференцирования
Операция нахождения производной называется дифференцированием
.
При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций»,
то есть сложными функциями. Исходя из определения производной, можно вывести правила дифференцирования, облегчающие эту работу.
Если C - постоянное число и f=f(x), g=g(x) - некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования
:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$