Ecuații diferențiale cu argument retardat. Modelarea sistemelor dinamice folosind ecuații diferențiale obișnuite cu întârziere Ecuație cu întârziere
Curs special
Clasificarea ecuațiilor cu argument deviant. Problemă de bază a valorii inițiale pentru ecuații diferențiale cu întârziere.
Metoda integrării secvenţiale. Principiul netezirii soluțiilor la ecuații cu întârziere.
Principiul mapărilor comprimate. Teorema pentru existența și unicitatea unei soluții la principala problemă a valorii inițiale pentru o ecuație cu mai multe întârzieri concentrate. Teorema existenței și unicității pentru rezolvarea problemei principale a valorii inițiale pentru un sistem de ecuații cu întârziere distribuită.
Dependența continuă a soluțiilor la problema principală a valorii inițiale de parametri și funcții inițiale.
Caracteristici specifice ale soluțiilor ecuațiilor cu întârziere. Posibilitatea de a continua solutia. Mutați punctul de plecare. Teoreme privind condițiile suficiente pentru intervalele de aderență. Teoremă privind condițiile suficiente pentru extensibilitatea nelocală a soluțiilor.
Derivarea formulei soluției generale pentru un sistem liniar cu întârzieri liniare.
Studiul ecuațiilor cu întârziere pentru stabilitate. Metoda partiției D.
Aplicarea metodei funcționalelor pentru studiul stabilității. Teoremele lui N. N. Krasovsky privind condițiile necesare și suficiente pentru stabilitate. Exemple de construcție funcționale.
Aplicarea metodei funcției Lyapunov pentru studiul stabilității. Teoremele lui Razumikhin privind stabilitatea și stabilitatea asimptotică a soluțiilor ecuațiilor cu întârziere. Exemple de construire a funcțiilor Lyapunov.
Construirea controalelor programului cu întârziere în sisteme cu informații complete și incomplete. Teoremele lui V.I.Zubov. Problema repartizării investițiilor de capital pe industrie.
Construirea de controale optime de program în cazuri liniare și neliniare. Principiul maxim al lui Pontryagin.
Stabilizarea unui sistem de ecuații prin control cu întârzieri constante. Influența retardării variabile asupra stabilizării uniaxiale a unui corp rigid.
LITERATURĂ
- Zhabko A.P., Zubov N.V., Prasolov A.V. Metode de studiere a sistemelor cu efecte secundare. L., 1984. Dep. VINITI, Nr 2103-84.
- Zubov V. I. Despre teoria sistemelor liniare staţionare cu argument retardat // Izv. universități Ser. matematică. 1958. nr 6.
- Zubov V. I. Prelegeri despre teoria controlului. M.: Nauka, 1975.
- Krasovsky N. N. Câteva probleme ale teoriei stabilității mișcării. M., 1959
- Malkin I.G. Teoria stabilității mișcării.
- Myshkis A.D. Teoria generală a ecuațiilor diferențiale cu argument retardat // Uspekhi Mat. Sci. 1949. T.4, nr 5.
- Prasolov A.V. Studii analitice și numerice ale proceselor dinamice. Sankt Petersburg: Editura Universității de Stat din Sankt Petersburg, 1995.
- Prasolov A.V. Modele matematice ale dinamicii în economie. SPb.: Editura Sankt Petersburg. Universitatea de Economie și Finanțe, 2000.
- Chizhova O.N. Construcția soluțiilor și stabilitatea sistemelor de ecuații diferențiale cu argument retardat. L., 1988. Dep. în VINITI, Nr 8896-B88.
- Chizhova O.N. Stabilizarea unui corp rigid ținând cont de întârzierea liniară // Buletinul Universității de Stat din Sankt Petersburg. Ser.1. 1995. Numărul 4, nr. 22.
- Chizhova O.N. Despre continuitatea nelocală a ecuațiilor cu întârziere variabilă // Probleme de mecanică și procese de control. Vol. 18. - Sankt Petersburg: Editura Universității de Stat din Sankt Petersburg, 2000.
- Elsgolts L. E., Norkin S. B. Introducere în teoria ecuațiilor diferențiale cu argument deviant. M., 1971.
INTRODUCERE
Ministerul Educației al Federației Ruse
Consorțiul educațional internațional „Open Education”
Universitatea de Stat de Economie, Statistică și Informatică din Moscova
ANO „Institutul Deschis Eurasiatic”
E.A. Gevorkyan
Ecuații diferențiale cu argument retardat
Ghid manual pentru studierea disciplinei
Culegere de sarcini pentru disciplina Curriculum pentru disciplina
Moscova 2004
Gevorkyan E.A. ECUATII DIFERENTIALE CU ARGUMENT LAG: Manual, manual pentru studierea disciplinei, colecție de sarcini pentru disciplină, curriculum pentru disciplină / Universitatea de Stat de Economie, Statistică și Informatică din Moscova - M.: 2004. - 79 p.
Gevorkyan E.A., 2004
Universitatea de Stat de Economie, Statistică și Informatică din Moscova, 2004
Tutorial |
|
Introducere................................................. ....... ................................................. ............................................. |
|
1.1 Clasificarea ecuațiilor diferențiale cu |
|
argument deviant. Enunțul problemei inițiale .................................................................. ............ . |
|
1.2 Ecuații diferențiale cu argument retardat. Metoda pasului. ........ |
|
1.3 Ecuații diferențiale cu separabil |
|
variabile și cu un argument întârziat .................................................. ........ ................................ |
|
1.4 Ecuații diferențiale liniare cu argument retardat...... |
|
1.5 Ecuații diferențiale Bernoulli cu argument retardat. ............... |
|
1.6 Ecuații diferențiale în diferențiale totale |
|
cu o ceartă întârziată.................................................. ..................... ................................ ........................... . |
|
CAPITOLUL II. Soluții periodice ale ecuațiilor diferențiale liniare |
|
cu o ceartă întârziată.................................................. ..................... ................................ ........................... . |
|
2.1. Soluții periodice ale ecuațiilor diferențiale liniare omogene |
|
cu coeficienți constanți și cu un argument întârziat............................................. .......... |
|
2.2. Soluții periodice ale diferențialelor neomogene liniare |
|
.................. |
|
2.3. Forma complexă a seriei Fourier.................................................. ........................................................ |
|
2.4. Găsirea unei anumite soluții periodice de neomogene liniare |
|
ecuaţii diferenţiale cu coeficienţi constanţi şi retardate |
|
argument prin extinderea părții drepte a ecuației într-o serie Fourier .................................. ............... . |
|
CAPITOLUL III. Metode aproximative de rezolvare a ecuațiilor diferențiale |
|
cu o ceartă întârziată.................................................. ..................... ................................ ........................... . |
|
3.1. Metodă aproximativă pentru extinderea unei funcții necunoscute |
|
cu un argument retardat în grade de retard ................................................ .......... ........ |
|
3.2. Metoda Poincaré aproximativă. .................................................. ...... ................................ |
|
CAPITOLUL IV. Ecuații diferențiale cu argument retardat, |
|
apărând la rezolvarea unor probleme economice |
|
luând în considerare decalajul de timp.................................................. ....... ................................................. ............................. |
4.1. Ciclul economic al lui Koletsky. Ecuație diferențială
Cu argument întârziat care descrie schimbarea
rezerve de numerar................................................. ................................................... ......................... ....... |
|
4.2. Ecuație caracteristică. Cazul realurilor |
|
rădăcinile ecuației caracteristice............................................................. ...................................................... |
|
4.3. Cazul rădăcinilor complexe ale ecuației caracteristice.................................. |
|
4.4. Ecuație diferențială cu argument retardat, |
|
(consum proporțional cu venitul național)........................................... ...... .......... |
|
4.5. Ecuație diferențială cu argument retardat, |
|
descrierea dinamicii venitului national in modele cu decalaje |
|
(consumul crește exponențial odată cu ritmul de creștere)......................................... .......... ........ |
|
Literatură................................................. .................................................. ...... ........................... |
|
Ghid pentru studiul disciplinei |
|
2. Lista subiectelor principale.................................................. ....... ................................................. ............. ...... |
|
2.1. Tema 1. Concepte de bază și definiții. Clasificare |
|
ecuații diferențiale cu argument deviant. |
|
Ecuații diferențiale cu argument retardat. ................................................. |
|
2.2. Tema 2. Enunţarea problemei iniţiale. Metoda pașilor soluției |
|
ecuații diferențiale cu argument retardat. Exemple........................ |
|
2.3. Tema 3. Ecuații diferențiale cu separabil |
|
variabile şi cu argumente întârziate. Exemple. .................................................. ...... .. |
|
2.4. Tema 4. Ecuații diferențiale liniare |
|
2.5. Tema 5. Ecuații diferențiale Bernoulli |
|
cu o ceartă întârziată. Exemple. .................................................. ...................................... |
|
2.6. Tema 6. Ecuații diferențiale în diferențiale totale |
|
cu o ceartă întârziată. Condiții necesare și suficiente. Exemple.............. |
|
2.7. Tema 7. Soluții periodice ale diferențialelor liniare omogene |
|
ecuaţii cu coeficienţi constanţi şi cu argument retardat. |
|
2.8. Tema 8. Soluții periodice ale diferențialelor liniare neomogene |
|
ecuaţii cu coeficienţi constanţi şi cu argument retardat. |
|
Exemple. .................................................. ...................................................... ........................................................... |
|
2.9. Tema 9. Forma complexă a seriei Fourier. Aflarea coeficientului periodic |
|
soluţii de ecuaţii liniare neomogene cu coeficienţi constanţi şi cu |
|
argument întârziat prin extinderea părții drepte a ecuației într-o serie Fourier. |
|
Exemple. .................................................. ...................................................... ........................................................... |
|
2.10. Tema 10. Rezolvarea aproximativă a ecuațiilor diferențiale cu |
|
metoda argumentului delay de extindere a unei funcții din întârziere |
|
prin grade de întârziere. Exemple.................................................................. ....... ................................................ |
|
2.11. Subiectul 11. Metoda Poincaré aproximativă pentru găsirea periodicelor |
|
soluţii de ecuaţii diferenţiale cvasiliniare cu un parametru mic şi |
|
cu o ceartă întârziată. Exemple. .................................................. ...................................... |
2.12. Tema 12. Ciclul economic al lui Koletsky. Ecuație diferențială
Cu argument întârziat pentru funcția K(t), care arată stocul de numerar
capital fix la momentul t............................................. .......................................................... ................. ... |
|
2.13. Tema 13. Analiza ecuaţiei caracteristice corespunzătoare |
|
ecuație diferențială pentru funcția K(t). .................................................. ...... ............. |
|
2.14. Tema 14. Cazul soluţiilor complexe ale ecuaţiei caracteristice |
|
(ρ = α ± ιω ).................................................................................................................................. |
|
2.15. Subiectul 15. Ecuația diferențială pentru funcția y(t), arătând |
|
funcția de consum are forma c(t -τ) = (1 - α) y (t -τ), unde α este o rată constantă |
|
acumularea producției ................................................................ ................................................... .... |
|
2.16. Subiectul 16. Ecuația diferențială pentru funcția y(t), arătând |
|
venitul naţional în modele cu decalaje de investiţii de capital, cu condiţia ca |
|
funcția consumator are forma c (t − τ ) = c (o ) e r (t − τ ) ........................... ........................................................ |
|
Culegere de sarcini pentru disciplină.................................................. ................. ................................ ........... |
|
Curriculum pentru disciplina ............................................................. ............................................................... |
|
Tutorial
INTRODUCERE
Introducere
Acest manual este dedicat prezentării metodelor de integrare a ecuațiilor diferențiale cu argument retardat, întâlnite în unele probleme tehnice și economice.
Ecuațiile de mai sus descriu de obicei orice procese cu efect secundar (procese cu întârziere, cu întârziere). De exemplu, atunci când în procesul studiat valoarea mărimii care ne interesează la momentul t depinde de valoarea x la momentul t-τ, unde τ este decalajul de timp (y(t)=f). Sau, când valoarea mărimii y la momentul t depinde de valoarea aceleiași mărimi la momentul respectiv
meniul t-τ (y(t)=f).
Procesele descrise prin ecuații diferențiale cu un argument retardat se găsesc atât în științe naturale, cât și în științe economice. În aceasta din urmă, acest lucru se datorează atât existenței unui decalaj de timp în majoritatea conexiunilor ciclului de producție social, cât și prezenței decalajelor investiționale (perioada de la începutul proiectării obiectelor până la punerea în funcțiune la capacitate maximă), decalajele demografice (perioada de la naștere până la intrarea în vârstă de muncă și începerea activității de muncă după primirea educației).
Luarea în considerare a decalajului la rezolvarea problemelor tehnice și economice este importantă, deoarece prezența unui decalaj poate afecta semnificativ natura soluțiilor obținute (de exemplu, în anumite condiții poate duce la instabilitatea soluțiilor).
CU PRIN ARGUMENTUL
CAPITOLUL I. Metoda etapelor de rezolvare a ecuaţiilor diferenţiale
Cu argument întârziat
1.1. Clasificarea ecuațiilor diferențiale cu argument deviant. Enunțul problemei inițiale
Definiția 1. Ecuațiile diferențiale cu argument deviant sunt ecuații diferențiale în care apare funcția necunoscută X(t) pentru diferite valori ale argumentului.
X(t) = f ( t, x (t), x ) ,
X(t) = f [ t, x (t), x (t - τ 1 ), x (t - τ 2 )], |
||||
X(t) = f t, x (t), x (t), x [ t -τ (t )], x [ t − τ |
||||
X(t) = f t, x (t) , x (t) , x (t/2), x(t/2) . |
||||
(t)] |
||
Definiția 2. O ecuație diferențială cu un argument întârziat este o ecuație diferențială cu un argument deviant, în care derivata de ordinul cel mai înalt al funcției necunoscute apare pentru aceleași valori ale argumentului și acest argument nu este mai mic decât toate argumentele din funcția necunoscută și derivatele ei incluse în ecuație.
Rețineți că conform definiției 2, ecuațiile (1) și (3) în condițiile τ (t) ≥ 0, t − τ (t) ≥ 0 vor fi ecuații cu argument retardat, ecuația (2) va fi ecuația
ecuație cu argument întârziat, dacă τ 1 ≥ 0, τ 2 ≥ 0, t ≥ τ 1, t ≥ τ 2, ecuația (4) este o ecuație cu argument întârziat, deoarece t ≥ 0.
Definiția 3. O ecuație diferențială cu un argument principal este o ecuație diferențială cu un argument deviant, în care derivata de ordinul cel mai înalt al unei funcții necunoscute apare pentru aceleași valori ale argumentului și acest argument nu este mai mare decât celelalte argumente ale funcția necunoscută și derivatele ei incluse în ecuație.
Exemple de ecuații diferențiale cu un argument principal:
X (t) =
X (t) =
X (t) =
f ( t, x(t), x[ t + τ (t) ] ) ,
f [t, x (t), x (t + τ 1), x (t + τ 2)],
f t , x (t ), x . (t), x [t + τ (t)], x. [ t + τ
(t)] . |
|
eu. METODA PASILOR DE REZOLVARE A ECUATIILOR DIFERENTIALE
CU PRIN ARGUMENTUL
Definiție 4. Ecuațiile diferențiale cu argument deviant care nu sunt ecuații cu argument retardat sau conducător se numesc ecuații diferențiale de tip neutru.
Exemple de ecuații diferențiale cu un argument deviant de tip neutru:
X (t) = f t, x(t) , x(t − τ ) , x(t − τ ) |
|||
X (t) = f t, x(t) , x[ t − τ (t) ] , x[ t − τ (t) ] , x[ t − τ (t) ] . |
|||
Rețineți că o clasificare similară este folosită și pentru sistemele de ecuații diferențiale cu un argument deviant prin înlocuirea cuvântului „funcție” cu cuvântul „funcție vectorială”.
Să considerăm cea mai simplă ecuație diferențială cu un argument deviant:
X (t) = f [ t, x(t) , x(t − τ ) ] , |
unde τ ≥ 0 și t − τ ≥ 0 (de fapt, luăm în considerare o ecuație diferențială cu un argument retardat). Sarcina inițială principală la rezolvarea ecuației (10) este următoarea: determinați soluția continuă X (t) a ecuației (10) pentru t > t 0 (t 0 –
timp fix) cu condiția ca X (t) = ϕ 0 (t) când t 0 − τ ≤ t ≤ t 0, unde ϕ 0 (t) este o funcție inițială continuă dată. Segmentul [ t 0 − τ , t 0 ] se numește mulțime inițială, t 0 se numește punct de plecare. Se presupune că X (t 0 + 0) = ϕ 0 (t 0 ) (Fig. 1).
X (t) = ϕ 0 (t)
t 0 − τ |
t 0 + τ |
0 + τ |
||||
Dacă întârzierea τ |
în ecuația (10) depinde de timpul t |
(τ = τ (t)), apoi inițiala |
||||
Această problemă se formulează astfel: găsiți o soluție la ecuația (10) pentru t > t 0 dacă este cunoscută funcția inițială X (t ) = ϕ 0 t pentru t 0 − τ (t 0 ) ≤ t ≤ t 0.
Exemplu. Găsiți soluția ecuației.
X (t) = f [ t, x(t) , x(t − cos 2 t) ] |
||
pentru t > t 0 = 0, dacă funcția inițială X (t) = ϕ 0 (t) pentru (t 0 − cos2 t 0) | |
t ≤ t0 |
|
t0 = 0 |
− 1 ≤ t ≤ 0).
eu. METODA PASILOR DE REZOLVARE A ECUATIILOR DIFERENTIALE
CU PRIN ARGUMENTUL
Exemplu. Găsiți soluția ecuației
X (t) = f [ t, x(t) , x(t / 2 ) ] |
la (t |
−t |
/ 2) | |
||||||
t > t 0 = 1 dacă funcția inițială X (t) = ϕ t |
≤ t ≤ t |
||||||||
t = 1 |
t = 1 |
||||||||
1/ 2 ≤ t ≤ 1).
Rețineți că funcția inițială este de obicei specificată sau găsită experimental (în principal în probleme tehnice).
1.2. Ecuații diferențiale cu argument retardat. Metoda pașilor
Să considerăm o ecuație diferențială cu un argument retardat.
Este necesar să se găsească o soluție la ecuația (13) pentru t ≥ t 0 .
Pentru a găsi o soluție la ecuația (13) pentru t ≥ t 0 vom folosi metoda pasului (metoda integrării secvențiale).
Esența metodei pasului este că mai întâi găsim o soluție a ecuației (13) pentru t 0 ≤ t ≤ t 0 + τ, apoi pentru t 0 + τ ≤ t ≤ t 0 + 2τ etc. În acest caz, observăm, de exemplu, că întrucât în regiunea t 0 ≤ t ≤ t 0 + τ argumentul t − τ variază în limitele t 0 − τ ≤ t − τ ≤ t 0 , atunci în ecuație
(13) în această regiune, în loc de x (t − τ), putem lua funcția inițială ϕ 0 (t − τ). Apoi
constatăm că pentru a găsi o soluție la ecuația (13) în regiunea t 0 ≤ t ≤ t 0 |
+ τ trebuie re- |
|
coaseți o ecuație diferențială obișnuită fără întârziere sub forma: |
||
[ t, x(t) , ϕ 0 (t − τ ) ] , |
||
X (t) = f |
||
la t 0 ≤ t ≤ t 0 + τ |
cu condiţia iniţială X (t 0 ) = ϕ (t 0 ) (vezi Fig. 1). |
|
găsind soluția acestei probleme inițiale sub forma X (t) = ϕ 1 (t), |
putem posta |
|
rezolvați problema găsirii unei soluții pe intervalul t 0 + τ ≤ t ≤ t 0 + 2τ etc.
Deci avem:
0 (t − τ ) ] , |
||||
X (t) = f [ t, x(t) , ϕ |
||||
la t 0 |
≤ t ≤ t0 + τ , X (t0 ) |
= ϕ 0 (t 0 ), |
||
X (t) = f [ t, x(t) , ϕ 1 (t − τ ) ] , |
||||
la t 0 +τ ≤ t ≤ t 0 + 2 τ , |
X (t 0 + τ ) = ϕ 1 (t 0 + τ ), |
|||
X (t) = f [ t, x(t) , ϕ 2 (t − τ ) ] , |
||||
la t 0 + 2τ ≤ t ≤ t 0 + 3τ , |
X (t 0 + 2 τ ) = ϕ 2 (t 0 + 2 τ ), |
|||
X (t) = f [ t, x(t) , ϕ n (t − τ ) ] , |
||||
la t 0 + n τ ≤ t ≤ t 0 + (n +1) τ, X (t 0 + n τ) = ϕ n (t 0 + n τ), |
||||
ϕ i (t) este |
solutia initiala considerata |
probleme pe segment |
||
t 0 + (i −1 ) τ ≤ t ≤ t 0 +i τ |
(I=1,2,3…n,…). |
|||
eu. METODA PASILOR DE REZOLVARE A ECUATIILOR DIFERENTIALE
CU PRIN ARGUMENTUL
Această metodă de pași pentru rezolvarea unei ecuații diferențiale cu un argument retardat (13) vă permite să determinați soluția X (t) pe un anumit interval finit de modificare t.
Exemplul 1. Folosind metoda pasului, găsiți o soluție la o ecuație diferențială de ordinul 1 cu un argument retardat
(t) = 6 X (t − 1 ) |
||||
în regiunea 1 ≤ t ≤ 3, dacă funcţia iniţială pentru 0 ≤ t ≤ 1 are forma X (t) = ϕ 0 (t) = t. |
||||
Soluţie. Mai întâi, să găsim o soluție pentru ecuația (19) în regiunea 1 ≤ t ≤ 2. În acest scop în |
||||
(19) înlocuim X (t − 1) cu ϕ 0 (t − 1), adică. |
||||
X (t − 1 ) = ϕ 0 (t − 1 ) = t| t → t − 1 = t − 1 |
||||
și luați în considerare X (1) = ϕ 0 (1) = t | |
||||
Deci în regiunea 1 ≤ t ≤ 2 obținem o ecuație diferențială obișnuită de forma |
||||
(t )= 6 (t − 1 ) |
||||
sau dx(t) |
6 (t−1) . |
|||
Rezolvând-o ținând cont de (20), obținem o soluție a ecuației (19) pentru 1 ≤ t ≤ 2 sub forma |
||||
X (t) = 3 t 2 − 6 t + 4 = 3 (t − 1 ) 2 + 1. |
||||
Pentru a găsi o soluție în regiunea 2 ≤ t ≤ 3 din ecuația (19), înlocuim X (t − 1) cu |
||||
ϕ 1 (t −1 ) = 3 (t −1 ) 2 +1 | t → t − 1 |
3(t − 2) 2 + 1. Atunci obținem obișnuit |
diferenţial |
||
ecuația: |
||||
(t ) = 6[ 3(t − 2) 2 + 1] , X( 2) = ϕ 1 ( 2) = 4 , |
||||
a cărui soluție are forma (Fig. 2) |
||||
X ( t ) = 6 ( t − 2 ) 3 + 6 t − 8 . |
||||
Sistemele cu întârziere diferă de sistemele considerate anterior prin aceea că în una sau mai multe dintre legăturile lor au o întârziere în timpul începerii modificării valorii de ieșire (după începerea modificării valorii de intrare) cu o sumă m , numit timp de întârziere, iar acest timp de întârziere rămâne constant pe tot parcursul procesului.
De exemplu, dacă o legătură este descrisă de ecuație
(legatura aperiodica de ordinul intai), atunci ecuatia legaturii corespunzatoare cu intarziere va avea forma
(link aperiodic de prim ordin cu întârziere). Aceste tipuri de ecuații se numesc ecuații cu un argument retardat,
Atunci ecuația (6.31) va fi scrisă în formă obișnuită
se schimbă brusc de la zero la unu (Fig. 6.20,
stând în partea dreaptă a ecuației legăturii,
). În cazul general, ca și pentru (6.31), ecuația pentru dinamica oricărei legături cu întârziere poate fi împărțită în două:
care corespunde defalcării condiționate a unei legături cu întârziere (Fig. 6.21, a) în două: o legătură obișnuită de același ordin și cu aceiași coeficienți și elementul de întârziere care o precedă (Fig. 6.21,6).
înseamnă timpul de mișcare a metalului de la role la calibrul de grosime. În ultimele două exemple, valoarea m se numește întârziere de transport.
Într-o primă aproximare, conductele sau liniile electrice lungi incluse în legăturile sistemului pot fi caracterizate printr-o anumită valoare de întârziere t.
prezentată în fig. 6.22, b, atunci putem descrie aproximativ această legătură ca o legătură aperiodică de ordinul întâi cu întârziere (6.31), luând valorile lui m, Г și k din curba experimentală (Fig. 6.22, b).
Rețineți, de asemenea, că aceeași curbă experimentală conform graficului din Fig. 6.22c poate fi interpretat și ca o caracteristică de timp a unei legături aperiodice obișnuite de ordinul doi cu ecuația
iar k poate fi calculat din relațiile scrise în § 4.5 pentru o legătură dată, din unele măsurători pe curba experimentală sau prin alte metode.
funcția (6.36) diferă puțin de funcția de transfer a legăturii cu întârziere (6.35).
Ecuația oricărei legături liniare cu întârziere (6.33) va fi acum scrisă sub forma
Funcția de transfer a unei legături liniare cu întârziere va fi
este indicată fără întârziere funcția de transfer a legăturii obișnuite corespunzătoare.
- modul și faza funcției de transfer de frecvență a legăturii fără întârziere.
De aici obținem următoarea regulă.
Pentru a construi caracteristica amplitudine-fază a oricărei legături cu întârziere, trebuie să luați caracteristica legăturii obișnuite corespunzătoare și să mutați fiecare dintre punctele sale de-a lungul cercului în sensul acelor de ceasornic la unghiul în care este valoarea frecvenței de oscilație la un punct dat. a caracteristicii (Fig. 6.23, a).
punctul de plecare rămâne neschimbat, iar sfârșitul caracteristicii se înfășoară asimptotic în jurul originii (dacă gradul polinomului operator B este mai mic decât cel al polinomului C).
S-a spus mai sus că procesele tranzitorii reale (caracteristicile de timp) ale formei din Fig. 6.22, b poate fi adesea descris cu același grad de aproximare atât prin ecuația (6.31) cât și prin (6.34). Caracteristicile amplitudine-fază pentru ecuațiile (6.31) și (6.34) sunt prezentate în Fig. 6.23, a și, respectiv, b. Diferența fundamentală între primul este că are un punct D de intersecție cu axa (/. Când se compară ambele caracteristici între ele și cu caracteristica experimentală amplitudine-fază a unei legături reale, trebuie să se țină cont nu numai de forma). a curbei, dar și natura distribuției semnelor de frecvență de-a lungul ei.
Funcția de transfer a unui sistem în buclă deschisă fără întârziere.
Ecuația caracteristică a unui sistem în buclă închisă, așa cum se arată în cap. 5, arata ca
ecuația poate avea un număr infinit de rădăcini.
Conturul caracteristicii amplitudine-fază a valorii în buclă deschisă construită folosind funcția de transfer de frecvență se modifică semnificativ
Mai mult, sistemul este deschis după o anumită regulă, care este dată mai jos.
În consecință, pentru stabilitatea sistemelor liniare de ordinul întâi și al doilea cu întârziere, se dovedește că numai coeficienții pozitivi nu mai sunt suficienți, iar pentru sistemele de ordinul trei și superior cu întârziere, criteriile de stabilitate ale lui Vyshnegradsky, Routh și Hurwitz nu sunt aplicabile.
Mai jos vom lua în considerare determinarea stabilității numai prin criteriul Nyquist, deoarece utilizarea sa pentru această pelete se dovedește a fi cea mai simplă.
1 Construirea caracteristicii amplitudine-fază și studiul stabilității folosind criteriul Nyquist se realizează cel mai bine dacă funcția de transfer a sistemului în buclă deschisă este prezentată în forma (6.38). Pentru a realiza acest lucru, este necesar să deschideți sistemul în mod corespunzător.
Pentru cazul prezentat în fig. 6.24, a, deschiderea poate fi făcută oriunde în circuitul principal, de exemplu, așa cum se arată. Atunci funcția de transfer a sistemului în buclă deschisă va fi aceeași ca formă ca (6.41).
Pentru cazul prezentat în fig. 6.24, b, deschiderea circuitului principal dă expresia
funcțiile unui sistem în buclă deschisă, care nu sunt convenabile pentru cercetări ulterioare:
În sfârșit, în cazul prezentat în fig. 6.24, c, când sistemul este deschis în locația indicată, obținem o expresie care coincide și cu (6.41):
Funcția de transfer de frecvență (6.41) poate fi reprezentată ca
Prin urmare, prezentând expresia (6.41) sub forma
Făcând un pas înapoi te regăsești, apoi te miști și te pierzi.
U. Eco. Pendul Foucault
Exemple de modele matematice. Noțiuni de bază
Note terminologice preliminare. În acest capitol vom vorbi despre modele bazate pe utilizarea așa-numitelor ecuații diferențiale retardate. Acesta este un caz special de ecuații cu coeficienți deviați 1. Sinonime pentru această clasă sunt ecuații diferențiale funcționale sau ecuații diferențiale diferențiale. Cu toate acestea, preferăm să folosim termenul „ecuație întârziată” sau „ecuație întârziată”.
Vom întâlni termenul de „ecuații diferențiale cu diferențe” într-un alt context atunci când analizăm metode numerice de rezolvare a ecuațiilor cu diferențe parțiale și nu are nimic de-a face cu conținutul acestui capitol.
Un exemplu de model ecologic cu lag. În cartea lui V. Volterra, este dată următoarea clasă de modele ereditare, ținând cont nu numai de dimensiunea actuală a populației de prădător și pradă, ci și de preistoria dezvoltării populației:
Teoria generală a ecuațiilor cu argument deviant este prezentată în lucrări: Bellman R., Cook K. Ecuații diferențiale-diferențe. M.: Mir, 1967; Myshkis A.D. Ecuații diferențiale liniare cu argument retardat. M.: Nauka, 1972; Hale J. Teoria ecuațiilor diferențiale funcționale. M.: Mir, 1984; ElsgoltsL. E., Norkin S.B. Introducere în teoria ecuațiilor diferențiale cu argument deviant. M.; Știință, 1971.
Sistemul (7.1) aparține clasei de modele integral-diferențiale de tip Volterra, K ( , K 2 - unele sâmburi integrale.
În plus, alte modificări ale sistemului „prădător-pradă” se găsesc în literatură:
Formal, nu există termeni integrali în sistemul (7.2), spre deosebire de sistemul (7.1), dar creșterea biomasei prădătorilor depinde de numărul de specii nu la un moment dat, ci la un moment dat. t - T(sub T se referă adesea la durata de viață a unei generații de prădător, vârsta de maturitate sexuală a prădătorilor de sex feminin etc. în funcţie de sensul semnificativ al modelelor). Pentru modelele prădător-pradă, vezi și paragraful 7.5.
S-ar părea că sistemele (7.1) și (7.2) au proprietăți semnificativ diferite. Cu toate acestea, cu o formă specială de nuclee în sistemul (7.1), și anume funcția 8 /?,(0 - t) = 8(0 - 7^), K 2 (d - t) = 8(0 - T 2) (trebuie să vorbim despre funcția 8 oarecum condiționat, deoarece funcțiile generalizate sunt definite ca liniar funcţionale, iar sistemul redus este neliniar), sistemul (7.1) devine sistemul
Este evident că sistemul (7.3) este structurat după cum urmează: modificarea mărimii populației depinde nu numai de mărimea actuală, ci și de mărimea generației anterioare. Pe de altă parte, sistemul (7.3) este un caz special al ecuației integral-diferențiale (7.1).
Ecuație liniară cu întârziere (tip întârziere). O ecuație diferențială liniară de tip retardat cu coeficienți constanți va fi numită ecuație de forma
Unde a, b, t - permanent; T> 0;/ este o funcție dată (continuă) pe K. Fără pierderea generalității în sistemul (7.4) putem pune T= 1.
Evident, dacă funcția este dată x(t)y t de exemplu; 0], atunci este posibil să se determine x(t) la te și care este o soluție a ecuației (7.4) pentru t> 0. Dacă f(?) are o derivată în punctul t = 0, șiφ(0) = derivata atomului 4"(φ|,_ 0 este cu două fețe.
Dovada. Să definim funcția x(t) =φ(?) pe |-7"; 0]. Atunci soluția (7.4) poate fi scrisă pe sub forma
(se aplică formula pentru variația constantelor). Din moment ce funcţia x(t) este cunoscută la . Acest proces poate fi continuat pe termen nelimitat. În schimb, dacă funcția x(?) satisface formula (7.5) pe ). Să aflăm întrebarea despre durabilitate a acestei decizii. Înlocuirea micilor abateri de la soluția unitară în ecuația (7.8) z(t) = 1 - YT), primim
Această ecuație a fost studiată în literatură, unde se arată că ea satisface o serie de teoreme privind existența soluțiilor periodice. La a = m/2, are loc o bifurcație Hopf - un ciclu limită se naște dintr-un punct fix. Această concluzie este trasă din rezultatele analizei părții liniare a ecuației (7.9). Ecuația caracteristică pentru ecuația Hutchinson liniarizată este
Rețineți că studiul stabilității ecuației liniarizate (7.8) este un studiu al stabilității stării staționare YT)= 0. Aceasta dă A, = a > 0, starea staționară este instabilă și nu are loc bifurcația Hopf.
J. Hale arată în continuare că ecuația (7.9) are o soluție periodică diferită de zero pentru fiecare a > n/2. În plus, se dă fără demonstrație o teoremă privind existența unei soluții periodice (7.9) cu orice perioadă. p> 4.
Sisteme de inginerie Sănătos Echipamente de gradina vaze Aspectul site-ului Materiale de construcție Garduri și garduri Alei de gradina Război împotriva buruienilor Gradina cu flori
Broaștele și broaștele evocă sentimente conflictuale în oameni. Unii îi admiră, alții se tem de acești amfibieni și îi consideră dezgustători. Cu toate acestea, din punct de vedere istoric, s-a întâmplat ca aceste creaturi să fie de mare importanță în ezoterism, simbolism și sunt asociate cu
De ce visezi documente, hârtii diverse și contracte? La această întrebare se poate răspunde cu acuratețe luând în considerare toate detaliile. Cel mai adesea, un astfel de vis reprezintă noroc și succes în afaceri, dar merită să aruncați o privire mai atentă. La ce ați visat? O grămadă mare de neglijenți
Pentru a obține un răspuns la întrebarea: „Cine am fost eu într-o viață trecută?” trebuie să faci un scurt test. Cu ajutorul lui, vei afla ce ai făcut în reîncarnarea anterioară și vei înțelege la ce lucrezi acum. Cel mai simplu mod de a afla cine ai fost într-o viață trecută
