Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Собственные числа и собственные векторы матрицы

Как вставить математические формулы на сайт?

Если нужно когда-никогда добавлять одну-две математические формулы на веб-страницу, то проще всего сделать это, как описано в статье : математические формулы легко вставляются на сайт в виде картинок, которые автоматически генерирует Вольфрам Альфа. Кроме простоты, этот универсальный способ поможет улучшить видимость сайта в поисковых системах. Он работает давно (и, думаю, будет работать вечно), но морально уже устарел.

Если же вы постоянно используете математические формулы на своем сайте, то я рекомендую вам использовать MathJax - специальную библиотеку JavaScript, которая отображает математические обозначения в веб-браузерах с использованием разметки MathML, LaTeX или ASCIIMathML.

Есть два способа, как начать использовать MathJax: (1) при помощи простого кода можно быстро подключить к вашему сайту скрипт MathJax, который будет в нужный момент автоматически подгружаться с удаленного сервера (список серверов ); (2) закачать скрипт MathJax с удаленного сервера на свой сервер и подключить ко всем страницам своего сайта. Второй способ - более более сложный и долгий - позволит ускорить загрузку страниц вашего сайта, и если родительский сервер MathJax по каким-то причинам станет временно недоступен, это никак не повлияет на ваш собственный сайт. Несмотря на эти преимущества, я выбрал первый способ, как более простой, быстрый и не требующий технических навыков. Следуйте моему примеру, и уже через 5 минут вы сможете использовать все возможности MathJax на своем сайте.

Подключить скрипт библиотеки MathJax с удаленного сервера можно при помощи двух вариантов кода, взятого на главном сайте MathJax или же на странице документации :

Один из этих вариантов кода нужно скопировать и вставить в код вашей веб-станицы, желательно между тегами и или же сразу после тега . По первому варианту MathJax подгружается быстрее и меньше тормозит страницу. Зато второй вариант автоматически отслеживает и подгружает свежие версии MathJax. Если вставить первый код, то его нужно будет периодически обновлять. Если вставить второй код, то страницы будут загружаться медленнее, зато вам не нужно будет постоянно следить за обновлениями MathJax.

Подключить MathJax проще всего в Blogger или WordPress: в панели управления сайтом добавьте виджет, предназначенный для вставки стороннего кода JavaScript, скопируйте в него первый или второй вариант кода загрузки, представленного выше, и разместите виджет поближе к началу шаблона (кстати, это вовсе не обязательно, поскольку скрипт MathJax загружается асинхронно). Вот и все. Теперь изучите синтаксис разметки MathML, LaTeX и ASCIIMathML, и вы готовы вставлять математические формулы на веб-страницы своего сайта.

Любой фрактал строится по определенному правилу, которое последовательно применяется неограниченное количество раз. Каждый такой раз называется итерацией.

Итеративный алгоритм построения губки Менгера достаточно простой: исходный куб со стороной 1 делится плоскостями, параллельными его граням, на 27 равных кубов. Из него удаляются один центральный куб и 6 прилежащих к нему по граням кубов. Получается множество, состоящее из 20 оставшихся меньших кубов. Поступая так же с каждым из этих кубов, получим множество, состоящее уже из 400 меньших кубов. Продолжая этот процесс бесконечно, получим губку Менгера.

Собственный вектор квадратной матрицы - это такой вектор, который при умножении на заданную матрицу дает в результате коллинеарный вектор. Простыми словами, при умножении матрицы на собственный вектор последний остается тем же самым, но умноженным на некоторое число.

Определение

Собственный вектор - это ненулевой вектор V, который при умножении на квадратную матрицу Mпревращается в самого себя, увеличенного на некоторое число λ. В алгебраической записи это выглядит как:

M × V = λ × V,

где λ - собственное число матрицы M.

Рассмотрим числовой пример. Для удобства записи числа в матрице будет отделять точкой с запятой. Пусть у нас есть матрица:

• M = 0; 4;
• 6; 10.

Умножим ее на вектор-столбец:

• V = -2;

При умножении матрицы на вектор-столбец мы получаем также вектор-столбец. Строгим математическим языком формула умножения матрицы 2 × 2 на вектор-столбец будет выглядеть так:

• M × V = M11 × V11 + M12 × V21;
• M21 × V11 + M22 × V21.

М11 означает элемент матрицы M, стоящий в первой строке и первом столбце, а M22 - элемент, расположенные во второй строке и втором столбце. Для нашей матрицы эти элементы равны M11 = 0, М12 = 4, М21 = 6, М22 10. Для вектора-столбца эти значения равны V11 = –2, V21 = 1. Согласно этой формуле мы получим следующий результат произведения квадратной матрицы на вектор:

• M × V = 0 × (-2) + (4) × (1) = 4;
• 6 × (-2) + 10 × (1) = -2.

Для удобства запишем вектор столбец в строку. Итак, мы умножили квадратную матрицу на вектор (-2; 1), в результате чего получили вектор (4; -2). Очевидно, что это тот же вектор, умноженный на λ = -2. Лямбда в данном случае обозначает собственное число матрицы.

Собственный вектор матрицы - это коллинеарный вектор, то есть объект, который не изменяет своего положения в пространстве при умножении его на матрицу. Понятие коллинеарности в векторной алгебре сходно с термином параллельности в геометрии. В геометрической интерпретации коллинеарные вектора - это параллельные направленные отрезки разной длины. Еще со времен Евклида мы знаем, что у одной прямой существует бесконечное количество параллельных ей прямых, поэтому логично предположить, что каждая матрица обладает бесконечным количеством собственных векторов.

Из предыдущего примера видно, что собственными векторами могут быть и (-8; 4), и (16; -8), и (32, -16). Все это коллинеарные вектора, соответствующие собственному числу λ = -2. При умножении исходной матрицы на эти вектора мы все так же будет получать в результате вектор, который отличается от исходного в 2 раза. Именно поэтому при решении задач на поиск собственного вектора требуется найти только линейно независимые векторные объекты. Чаще всего для матрицы размером n × n существует n-ное количество собственных векторов. Наш калькулятор заточен под анализ квадратных матриц второго порядка, поэтому практически всегда в результате будут найдены два собственных вектора, за исключением случаев, когда они совпадают.

В примере выше мы заранее знали собственный вектор исходной матрицы и наглядно определили число лямбда. Однако на практике все происходит наоборот: в начале находится собственные числа и только затем собственные вектора.

Алгоритм решения

Давайте вновь рассмотрим исходную матрицу M и попробуем найти оба ее собственных вектора. Итак, матрица выглядит как:

• M = 0; 4;
• 6; 10.

Для начала нам необходимо определить собственное число λ, для чего требуется вычислить детерминант следующей матрицы:

• (0 − λ); 4;
• 6; (10 − λ).

Данная матрица получена путем вычитания неизвестной λ из элементов на главной диагонали. Детерминант определяется по стандартной формуле:

• detA = M11 × M21 − M12 × M22
• detA = (0 − λ) × (10 − λ) − 24

Так как наш вектор должен быть не нулевым, полученное уравнение принимаем как линейно зависимое и приравниваем наш детерминант detA к нулю.

(0 − λ) × (10 − λ) − 24 = 0

Раскроем скобки и получим характеристическое уравнение матрицы:

λ 2 − 10λ ­− 24 = 0

Это стандартное квадратное уравнение, которое требуется решить через дискриминант.

D = b 2 − 4ac = (-10) × 2 − 4 × (-1) × 24 = 100 + 96 = 196

Корень из дискриминанта равен sqrt(D) = 14, следовательно, λ1 = -2, λ2 = 12. Теперь для каждого значения лямбда требуется найти собственный вектор. Выразим коэффициенты системы для λ = -2.

• М − λ × E = 2; 4;
• 6; 12.

В данной формуле E - это единичная матрица. На основании полученной матрицы составим систему линейных уравнений:

2x + 4y = 6x + 12y,

где x и y - элементы собственного вектора.

Соберем все иксы слева, а все игреки справа. Очевидно, что - 4x = 8y. Разделим выражение на - 4 и получим x = –2y. Теперь мы можем определить первый собственный вектор матрицы, приняв любые значения неизвестных (вспоминаем про бесконечность линейно зависимых собственных векторов). Примем y = 1, тогда x = –2. Следовательно, первый собственный вектор выглядит как V1 = (–2; 1). Вернитесь в начало статьи. Именно на этот векторный объект мы умножали матрицу для демонстрации понятия собственного вектора.

Теперь отыщем собственный вектор для λ = 12.

• М - λ × E = -12; 4
• 6; -2.

Составим такую же систему линейных уравнений;

• -12x + 4y = 6x − 2y
• -18x = -6y
• 3x = y.

Теперь примем x = 1, следовательно, y = 3. Таким образом, второй собственный вектор выглядит как V2 = (1; 3). При умножении исходной матрицы на данный вектор, в результате всегда будет такой же вектор, умноженный на 12. На этом алгоритм решения заканчивается. Теперь вы знаете, как вручную определить собственный вектор матрицы.

• определитель;
• след, то есть сумму элементов на главной диагонали;
• ранг, то есть максимальное количество линейно независимых строк/столбцов.

Программа действует по выше приведенному алгоритму, максимально сокращая процесс решения. Важно указать, что в программе лямбда обозначена литерой «c». Давайте рассмотрим численный пример.

Пример работы программы

Попробуем определить собственные вектора для следующей матрицы:

• M = 5; 13;
• 4; 14.

Введем эти значения в ячейки калькулятора и получим ответ в следующем виде:

• Ранг матрицы: 2;
• Детерминант матрицы: 18;
• След матрицы: 19;
• Расчет собственного вектора: c 2 − 19,00c + 18,00 (характеристическое уравнение);
• Расчет собственного вектора: 18 (первое значение лямбда);
• Расчет собственного вектора: 1 (второе значение лямбда);
• Система уравнений вектора 1: -13x1 + 13y1 = 4x1 − 4y1;
• Система уравнений вектора 2: 4x1 + 13y1 = 4x1 + 13y1;
• Собственный вектор 1: (1; 1);
• Собственный вектор 2: (-3,25; 1).

Таким образом, мы получили два линейно независимых собственных вектора.

Заключение

Линейная алгебра и аналитическая геометрия - стандартные предметы для любого первокурсника технической специальности. Большое количество векторов и матриц приводит в ужас, а в столь громоздких вычислениях легко сделать ошибку. Наша программа позволит студентам проверить свои выкладки или автоматически решит задачу на поиск собственного вектора. В нашем каталоге есть и другие калькуляторы по линейной алгебре, используйте их в своей учебе или работе.

Собственные значения (числа) и собственные векторы.
Примеры решений

Будь собой

Из обоих уравнений следует, что .

Положим , тогда: .

В результате: – второй собственный вектор.

Повторим важные моменты решения:

– полученная система непременно имеет общее решение (уравнения линейно зависимы);

– «игрек» подбираем таким образом, чтобы он был целым и первая «иксовая» координата – целой, положительной и как можно меньше.

– проверяем, что частное решение удовлетворяет каждому уравнению системы.

Ответ .

Промежуточных «контрольных точек» было вполне достаточно, поэтому проверка равенств , в принципе, дело излишнее.

В различных источниках информации координаты собственных векторов довольно часто записывают не в столбцы, а в строки, например: (и, если честно, я сам привык записывать их строками) . Такой вариант приемлем, но в свете темы линейных преобразований технически удобнее использовать векторы-столбцы .

Возможно, решение показалась вам очень длинным, но это только потому, что я очень подробно прокомментировал первый пример.

Пример 2

Матрицы

Тренируемся самостоятельно! Примерный образец чистового оформления задачи в конце урока.

Иногда требуется выполнить дополнительное задание, а именно:

записать каноническое разложение матрицы

Что это такое?

Если собственные векторы матрицы образуют базис , то она представима в виде:

Где – матрица составленная из координат собственных векторов, – диагональная матрица с соответствующими собственными числами.

Такое разложение матрицы называют каноническим или диагональным .

Рассмотрим матрицу первого примера. Её собственные векторы линейно независимы (неколлинеарны)и образуют базис. Составим матрицу из их координат:

На главной диагонали матрицы в соответствующем порядке располагаются собственные числа, а остальные элементы равняются нулю:
– ещё раз подчёркиваю важность порядка: «двойка» соответствует 1-му вектору и посему располагается в 1-м столбце, «тройка» – 2-му вектору.

По обычному алгоритму нахождения обратной матрицы либо методом Гаусса-Жордана находим . Нет, это не опечатка! – перед вами редкое, как солнечное затмение событие, когда обратная совпала с исходной матрицей.

Осталось записать каноническое разложение матрицы :

Систему можно решить с помощью элементарных преобразований и в следующих примерах мы прибегнем к данному методу. Но здесь гораздо быстрее срабатывает «школьный» способ. Из 3-го уравнения выразим: – подставим во второе уравнение:

Поскольку первая координата нулевая, то получаем систему , из каждого уравнения которой следует, что .

И снова обратите внимание на обязательное наличие линейной зависимости . Если получается только тривиальное решение , то либо неверно найдено собственное число, либо с ошибкой составлена / решена система.

Компактные координаты даёт значение

Собственный вектор:

И ещё раз – проверяем, что найденное решение удовлетворяет каждому уравнению системы . В последующих пунктах и в последующих задачах рекомендую принять данное пожелание за обязательное правило.

2) Для собственного значения по такому же принципу получаем следующую систему:

Из 2-го уравнения системы выразим: – подставим в третье уравнение:

Поскольку «зетовая» координата равна нулю, то получаем систему , из каждого уравнения которой следует линейная зависимость .

Пусть

Проверяем, что решение удовлетворяет каждому уравнению системы.

Таким образом, собственный вектор: .

3) И, наконец, собственному значению соответствует система:

Второе уравнение выглядит самым простым, поэтому из него выразим и подставим в 1-е и 3-е уравнение:

Всё хорошо – выявилась линейная зависимость , которую подставляем в выражение :

В результате «икс» и «игрек» оказались выражены через «зет»: . На практике не обязательно добиваться именно таких взаимосвязей, в некоторых случаях удобнее выразить и через либо и через . Или даже «паровозиком» – например, «икс» через «игрек», а «игрек» через «зет»

Положим , тогда:

Проверяем, что найденное решение удовлетворяет каждому уравнению системы и записываем третий собственный вектор

Ответ : собственные векторы:

Геометрически эти векторы задают три различных пространственных направления («туда-обратно») , по которым линейное преобразование переводит ненулевые векторы (собственные векторы) в коллинеарные им векторы.

Если бы по условию требовалось найти каноническое разложение , то здесь это возможно, т.к. различным собственным числам соответствуют разные линейно независимые собственные векторы. Составляем матрицу из их координат, диагональную матрицу из соответствующих собственных значений и находим обратную матрицу .

Если же по условию нужно записать матрицу линейного преобразования в базисе из собственных векторов , то ответ даём в виде . Разница есть, и разница существенная! Ибо оная матрица – есть матрица «дэ».

Задача с более простыми вычислениями для самостоятельного решения:

Пример 5

Найти собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей

При нахождении собственных чисел постарайтесь не доводить дело до многочлена 3-й степени. Кроме того, ваши решения систем могут отличаться от моих решений – здесь нет однозначности; и векторы, которые вы найдёте, могут отличаться от векторов образца с точностью до пропорциональности их соответствующих координат. Например, и . Эстетичнее представить ответ в виде , но ничего страшного, если остановитесь и на втором варианте. Однако всему есть разумные пределы, версия смотрится уже не очень хорошо.

Примерный чистовой образец оформления задания в конце урока.

Как решать задачу в случае кратных собственных чисел?

Общий алгоритм остаётся прежним, но здесь есть свои особенности, и некоторые участки решения целесообразно выдержать в более строгом академичном стиле:

Пример 6

Найти собственные числа и собственные векторы

Решение

Конечно же, оприходуем сказочный первый столбец:

И, после разложения квадратного трёхчлена на множители:

В результате получены собственные числа , два из которых кратны.

Найдем собственные векторы:

1) С одиноким солдатом разделаемся по «упрощённой» схеме:

Из последних двух уравнений четко просматривается равенство , которое, очевидно, следует подставить в 1-е уравнение системы:

Лучшей комбинации не найти:
Собственный вектор:

2-3) Теперь снимаем пару часовых. В данном случае может получиться либо два, либо один собственный вектор. Невзирая на кратность корней, подставим значение в определитель , который приносит нам следующую однородную систему линейных уравнений :

Собственные векторы – это в точности векторы
фундаментальной системы решений

Собственно, на протяжении всего урока мы только и занимались тем, что находили векторы фундаментальной системы. Просто до поры до времени данный термин особо не требовался. Кстати, те ловкие студенты, которые в маскхалатах проскочили тему однородных уравнений , будут вынуждены вкурить её сейчас.

Единственное действие состояло в удалении лишних строк. В результате получена матрица «один на три» с формальной «ступенькой» посередине.
– базисная переменная, – свободные переменные. Свободных переменных две, следовательно, векторов фундаментальной системы тоже два .

Выразим базисную переменную через свободные переменные: . Нулевой множитель перед «иксом» позволяет принимать ему совершенно любые значения (что хорошо видно и из системы уравнений).

В контексте данной задачи общее решение удобнее записать не в строку, а в столбец:

Паре соответствует собственный вектор:
Паре соответствует собственный вектор:

Примечание : искушенные читатели могут подобрать данные векторы и устно – просто анализируя систему , но тут нужны некоторые знания: переменных – три, ранг матрицы системы – единица, значит, фундаментальная система решений состоит из 3 – 1 = 2 векторов. Впрочем, найдённые векторы отлично просматриваются и без этих знаний чисто на интуитивном уровне. При этом даже «красивее» запишется третий вектор: . Однако предостерегаю, в другом примере простого подбора может и не оказаться, именно поэтому оговорка предназначена для опытных людей. Кроме того, а почему бы не взять в качестве третьего вектора, скажем, ? Ведь его координаты тоже удовлетворяют каждому уравнение системы, и векторы линейно независимы. Такой вариант, в принципе, годен, но «кривоват», поскольку «другой» вектор представляет собой линейную комбинацию векторов фундаментальной системы.

Ответ : собственные числа: , собственные векторы:

Аналогичный пример для самостоятельного решения:

Пример 7

Найти собственные числа и собственные векторы

Примерный образец чистового оформления в конце урока.

Следует отметить, что и в 6-м и в 7-м примере получается тройка линейно независимых собственных векторов, и поэтому исходная матрица представима в каноническом разложении . Но такая малина бывает далеко не во всех случаях:

Пример 8

Решение : составим и решим характеристическое уравнение:

Определитель раскроем по первому столбцу:

Дальнейшие упрощения проводим согласно рассмотренной методике, избегая многочлена 3-й степени:

– собственные значения.

Найдем собственные векторы:

1) С корнем затруднений не возникает:

Не удивляйтесь, помимо комплекта в ходу также переменные – разницы тут никакой.

Из 3-го уравнения выразим – подставим в 1-е и 2-е уравнения:

Из обоих уравнений следует:

Пусть , тогда:

2-3) Для кратных значений получаем систему .

Запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду:

С матрицей А, если найдется такое число l, что АХ = lХ.

При этом число l называют собственным значением оператора (матрицы А), соответствующим вектору Х.

Иными словами, собственный вектор - это такой вектор, который под действием линейного оператора переходит в коллинеарный вектор, т.е. просто умножается на некоторое число. В отличие от него, несобственные векторы преобразуются более сложно.

Запишем определение собственного вектора в виде системы уравнений:

Перенесем все слагаемые в левую часть:

Последнюю систему можно записать в матричной форме следующим образом:

(А - lЕ)Х = О

Полученная система всегда имеет нулевое решение Х = О. Такие системы, в которых все свободные члены равны нулю, называют однородными . Если матрица такой системы - квадратная, и ее определитель не равен нулю, то по формулам Крамера мы всегда получим единственное решение - нулевое. Можно доказать, что система имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель этой матрицы равен нулю, т.е.

|А - lЕ| = = 0

Это уравнение с неизвестным l называют характеристическим уравнением (характеристическим многочленом ) матрицы А (линейного оператора).

Можно доказать, что характеристический многочлен линейного оператора не зависит от выбора базиса.

Например, найдем собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей А = .

Для этого составим характеристическое уравнение |А - lЕ| = = (1 - l) 2 - 36 = 1 - 2l + l 2 - 36 = l 2 - 2l - 35 = 0; Д = 4 + 140 = 144; собственные значения l 1 = (2 - 12)/2 = -5; l 2 = (2 + 12)/2 = 7.

Чтобы найти собственные векторы, решаем две системы уравнений

(А + 5Е)Х = О

(А - 7Е)Х = О

Для первой из них расширенная матрица примет вид

,

откуда х 2 = с, х 1 + (2/3)с = 0; х 1 = -(2/3)с, т.е. Х (1) = (-(2/3)с; с).

Для второй из них расширенная матрица примет вид

,

откуда х 2 = с 1 , х 1 - (2/3)с 1 = 0; х 1 = (2/3)с 1 , т.е. Х (2) = ((2/3)с 1 ; с 1).

Таким образом, собственными векторами этого линейного оператора являются все вектора вида (-(2/3)с; с) с собственным значением (-5) и все вектора вида ((2/3)с 1 ; с 1) с собственным значением 7.

Можно доказать, что матрица оператора А в базисе, состоящем из его собственных векторов, является диагональной и имеет вид:

,

где l i - собственные значения этой матрицы.

Верно и обратное: если матрица А в некотором базисе является диагональной, то все векторы этого базиса будут собственными векторами этой матрицы.

Также можно доказать, что если линейный оператор имеет n попарно различных собственных значений, то соответствующие им собственные векторы линейно независимы, а матрица этого оператора в соответствующем базисе имеет диагональный вид.

Поясним это на предыдущем примере. Возьмем произвольные ненулевые значения с и с 1 , но такие, чтобы векторы Х (1) и Х (2) были линейно независимыми, т.е. образовали бы базис. Например, пусть с = с 1 = 3, тогда Х (1) = (-2; 3), Х (2) = (2; 3).

Убедимся в линейной независимости этих векторов:

12 ≠ 0. В этом новом базисе матрица А примет вид А * = .

Чтобы убедиться в этом, воспользуемся формулой А * = С -1 АС. Вначале найдем С -1 .

С -1 = ;

Квадратичные формы

Квадратичной формой f(х 1 , х 2 , х n) от n переменных называют сумму, каждый член которой является либо квадратом одной из переменных, либо произведением двух разных переменных, взятым с некоторым коэффициентом: f(х 1 , х 2 , х n) = (a ij = a ji).

Матрицу А, составленную из этих коэффициентов, называют матрицей квадратичной формы . Это всегда симметрическая матрица (т.е. матрица, симметричная относительно главной диагонали, a ij = a ji).

В матричной записи квадратичная форма имеет вид f(Х) = Х Т AX, где

В самом деле

Например, запишем в матричном виде квадратичную форму .

Для этого найдем матрицу квадратичной формы. Ее диагональные элементы равны коэффициентам при квадратах переменных, а остальные элементы - половинам соответствующих коэффициентов квадратичной формы. Поэтому

Пусть матрица-столбец переменных X получена невырожденным линейным преобразованием матрицы-столбца Y, т.е. X = CY, где С - невырожденная матрица n-го порядка. Тогда квадратичная форма f(X) = Х T АХ = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y.

Таким образом, при невырожденном линейном преобразовании С матрица квадратичной формы принимает вид: А * = C T AC.

Например, найдем квадратичную форму f(y 1 , y 2), полученную из квадратичной формы f(х 1 , х 2) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 линейным преобразованием .

Квадратичная форма называется канонической (имеет канонический вид ), если все ее коэффициенты a ij = 0 при i ≠ j, т.е.
f(х 1 , х 2 , х n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + a nn x n 2 = .

Ее матрица является диагональной.

Теорема (доказательство здесь не приводится). Любая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду с помощью невырожденного линейного преобразования.

Например, приведем к каноническому виду квадратичную форму
f(х 1 , х 2 , х 3) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 - х 2 х 3 .

Для этого вначале выделим полный квадрат при переменной х 1:

f(х 1 , х 2 , х 3) = 2(x 1 2 + 2х 1 х 2 + х 2 2) - 2х 2 2 - 3х 2 2 - х 2 х 3 = 2(x 1 + х 2) 2 - 5х 2 2 - х 2 х 3 .

Теперь выделяем полный квадрат при переменной х 2:

f(х 1 , х 2 , х 3) = 2(x 1 + х 2) 2 - 5(х 2 2 + 2* х 2 *(1/10)х 3 + (1/100)х 3 2) + (5/100)х 3 2 =
= 2(x 1 + х 2) 2 - 5(х 2 - (1/10)х 3) 2 + (1/20)х 3 2 .

Тогда невырожденное линейное преобразование y 1 = x 1 + х 2 , y 2 = х 2 + (1/10)х 3 и y 3 = x 3 приводит данную квадратичную форму к каноническому виду f(y 1 , y 2 , y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 + (1/20)y 3 2 .

Отметим, что канонический вид квадратичной формы определяется неоднозначно (одна и та же квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду разными способами). Однако полученные различными способами канонические формы обладают рядом общих свойств. В частности, число слагаемых с положительными (отрицательными) коэффициентами квадратичной формы не зависит от способа приведения формы к этому виду (например, в рассмотренном примере всегда будет два отрицательных и один положительный коэффициент). Это свойство называют законом инерции квадратичных форм.

Убедимся в этом, по-другому приведя ту же квадратичную форму к каноническому виду. Начнем преобразование с переменной х 2:

f(х 1 , х 2 , х 3) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 - х 2 х 3 = -3х 2 2 - х 2 х 3 + 4х 1 х 2 + 2x 1 2 = -3(х 2 2 +
+ 2* х 2 ((1/6) х 3 - (2/3)х 1) + ((1/6) х 3 - (2/3)х 1) 2) + 3((1/6) х 3 - (2/3)х 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3(х 2 + (1/6) х 3 - (2/3)х 1) 2 + 3((1/6) х 3 + (2/3)х 1) 2 + 2x 1 2 = f(y 1 , y 2 , y 3) = -3y 1 2 -
+3y 2 2 + 2y 3 2 , где y 1 = - (2/3)х 1 + х 2 + (1/6) х 3 , y 2 = (2/3)х 1 + (1/6) х 3 и y 3 = x 1 . Здесь отрицательный коэффициент -3 при y 1 и два положительных коэффициента 3 и 2 при y 2 и y 3 (а при использовании другого способа мы получили отрицательный коэффициент (-5) при y 2 и два положительных: 2 при y 1 и 1/20 при y 3).

Также следует отметить, что ранг матрицы квадратичной формы, называемый рангом квадратичной формы , равен числу отличных от нуля коэффициентов канонической формы и не меняется при линейных преобразованиях.

Квадратичную форму f(X) называют положительно (отрицательно ) определенной , если при всех значениях переменных, не равных одновременно нулю, она положительна, т.е. f(X) > 0 (отрицательна, т.е.
f(X) < 0).

Например, квадратичная форма f 1 (X) = x 1 2 + х 2 2 - положительно определенная, т.к. представляет собой сумму квадратов, а квадратичная форма f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 х 2 - х 2 2 - отрицательно определенная, т.к. представляет ее можно представить в виде f 2 (X) = -(x 1 - х 2) 2 .

В большинстве практических ситуации установить знакоопределенность квадратичной формы несколько сложнее, поэтому для этого используют одну из следующих теорем (сформулируем их без доказательств).

Теорема . Квадратичная форма является положительно (отрицательно) определенной тогда и только тогда, когда все собственные значения ее матрицы положительны (отрицательны).

Теорема (критерий Сильвестра). Квадратичная форма является положительно определенной тогда и только тогда, когда все главные миноры матрицы этой формы положительны.

Главным (угловым) минором k-го порядка матрицы А n-го порядка называют определитель матрицы, составленный из первых k строк и столбцов матрицы А ().

Отметим, что для отрицательно определенных квадратичных форм знаки главных миноров чередуются, причем минор первого порядка должен быть отрицательным.

Например, исследуем на знакоопределенность квадратичную форму f(х 1 , х 2) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 + 3х 2 2 .

= (2 - l)*
*(3 - l) - 4 = (6 - 2l - 3l + l 2) - 4 = l 2 - 5l + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
. Следовательно, квадратичная форма - положительно определенная.

Способ 2. Главный минор первого порядка матрицы А D 1 = a 11 = 2 > 0. Главный минор второго порядка D 2 = = 6 - 4 = 2 > 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма - положительно определенная.

Исследуем на знакоопределенность другую квадратичную форму, f(х 1 , х 2) = -2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 .

Способ 1. Построим матрицу квадратичной формы А = . Характеристическое уравнение будет иметь вид = (-2 - l)*
*(-3 - l) - 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + 5l + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
. Следовательно, квадратичная форма - отрицательно определенная.

Способ 2. Главный минор первого порядка матрицы А D 1 = a 11 =
= -2 < 0. Главный минор второго порядка D 2 = = 6 - 4 = 2 > 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма - отрицательно определенная (знаки главных миноров чередуются, начиная с минуса).

И в качестве еще одного примера исследуем на знакоопределенность квадратичную форму f(х 1 , х 2) = 2x 1 2 + 4х 1 х 2 - 3х 2 2 .

Способ 1. Построим матрицу квадратичной формы А = . Характеристическое уравнение будет иметь вид = (2 - l)*
*(-3 - l) - 4 = (-6 - 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + l - 10 = 0; D = 1 + 40 = 41;
.

Одно из этих чисел отрицательно, а другое - положительно. Знаки собственных значений разные. Следовательно, квадратичная форма не может быть ни отрицательно, ни положительно определенной, т.е. эта квадратичная форма не является знакоопределенной (может принимать значения любого знака).

Способ 2. Главный минор первого порядка матрицы А D 1 = a 11 = 2 > 0. Главный минор второго порядка D 2 = = -6 - 4 = -10 < 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них - положителен).

Наиболее просто устроены матрицы диагонального вида . Возникает вопрос, нельзя ли найти базис, в котором матрица линейного оператора имела бы диагональный вид. Такой базис существует.
Пусть дано линейное пространство R n и действующий в нем линейный оператор A; в этом случае оператор A переводит R n в себя, то есть A:R n → R n .

Определение. Ненулевой вектор называется собственным вектором оператора A , если оператор A переводит в коллинеарный ему вектор, то есть . Число λ называется собственным значением или собственным числом оператора A, соответствующим собственному вектору .
Отметим некоторые свойства собственных чисел и собственных векторов.
1. Любая линейная комбинация собственных векторов оператора A, отвечающих одному и тому же собственному числу λ, является собственным вектором с тем же собственным числом.
2. Собственные векторы оператора A с попарно различными собственными числами λ 1 , λ 2 , …, λ m линейно независимы.
3. Если собственные числа λ 1 =λ 2 = λ m = λ, то собственному числу λ соответствует не более m линейно независимых собственных векторов.

Итак, если имеется n линейно независимых собственных векторов , соответствующих различным собственным числам λ 1 , λ 2 , …, λ n , то они линейно независимы, следовательно, их можно принять за базис пространства R n . Найдем вид матрицы линейного оператора A в базисе из его собственных векторов, для чего подействуем оператором A на базисные векторы: тогда .
Таким образом, матрица линейного оператора A в базисе из его собственных векторов имеет диагональный вид, причем по диагонали стоят собственные числа оператора A.
Существует ли другой базис, в котором матрица имеет диагональный вид? Ответ на поставленный вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Матрица линейного оператора A в базисе (i = 1..n) имеет диагональный вид тогда и только тогда, когда все векторы базиса - собственные векторы оператора A.

Правило отыскания собственных чисел и собственных векторов Пусть дан вектор , где x 1 , x 2 , …, x n - координаты вектора относительно базиса и - собственный вектор линейного оператора A, соответствующий собственному числу λ , то есть . Это соотношение можно записать в матричной форме

. (*)

Уравнение (*) можно рассматривать как уравнение для отыскания , причем , то есть нас интересуют нетривиальные решения, поскольку собственный вектор не может быть нулевым. Известно, что нетривиальные решения однородной системы линейных уравнений существуют тогда и только тогда, когда det(A - λE) = 0. Таким образом, для того, чтобы λ было собственным числом оператора A необходимо и достаточно, чтобы det(A - λE) = 0.
Если уравнение (*) расписать подробно в координатной форме, то получим систему линейных однородных уравнений:

(1)
где - матрица линейного оператора.

Система (1) имеет ненулевое решение, если ее определитель D равен нулю

Получили уравнение для нахождения собственных чисел.
Это уравнение называется характеристическим уравнением, а его левая часть - характеристическим многочленом матрицы (оператора) A. Если характеристический многочлен не имеет вещественных корней, то матрица A не имеет собственных векторов и ее нельзя привести к диагональному виду.
Пусть λ 1 , λ 2 , …, λ n - вещественные корни характеристического уравнения, причем среди них могут быть и кратные. Подставляя по очереди эти значения в систему (1), находим собственные векторы.

Пример 12. Линейный оператор A действует в R 3 по закону , где x 1 , x 2 , .., x n - координаты вектора в базисе , , . Найти собственные числа и собственные векторы этого оператора.
Решение. Строим матрицу этого оператора:
.
Составляем систему для определения координат собственных векторов:

Составляем характеристическое уравнение и решаем его:

.
λ 1,2 = -1, λ 3 = 3.
Подставляя λ = -1 в систему, имеем:
или
Так как , то зависимых переменных два, а свободное одно.
Пусть x 1 - свободное неизвестное, тогда Решаем эту систему любым способом и находим общее решение этой системы: Фундаментальная система решений состоит из одного решения, так как n - r = 3 - 2 = 1.
Множество собственных векторов, отвечающих собственному числу λ = -1, имеет вид: , где x 1 - любое число, отличное от нуля. Выберем из этого множества один вектор, например, положив x 1 = 1: .
Рассуждая аналогично, находим собственный вектор, отвечающий собственному числу λ = 3: .
В пространстве R 3 базис состоит из трех линейно независимых векторов, мы же получили только два линейно независимых собственных вектора, из которых базис в R 3 составить нельзя. Следовательно, матрицу A линейного оператора привести к диагональному виду не можем.

Пример 13. Дана матрица .
1. Доказать, что вектор является собственным вектором матрицы A. Найти собственное число, соответствующее этому собственному вектору.
2. Найти базис, в котором матрица A имеет диагональный вид.
Решение.
1. Если , то - собственный вектор

.
Вектор (1, 8, -1) - собственный вектор. Собственное число λ = -1.
Диагональный вид матрица имеет в базисе, состоящем из собственных векторов. Один из них известен. Найдем остальные.
Собственные векторы ищем из системы:

Характеристическое уравнение: ;
(3 + λ)[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ 2 - 1) = 0
λ 1 = -3, λ 2 = 1, λ 3 = -1.
Найдем собственный вектор, отвечающий собственному числу λ = -3:

Ранг матрицы этой системы равен двум и равен числу неизвестных, поэтому эта система имеет только нулевое решение x 1 = x 3 = 0. x 2 здесь может быть любым, отличным от нуля, например, x 2 = 1. Таким образом, вектор (0,1,0) является собственным вектором, отвечающим λ = -3. Проверим:
.
Если λ = 1, то получаем систему
Ранг матрицы равен двум. Последнее уравнение вычеркиваем.
Пусть x 3 - свободное неизвестное. Тогда x 1 = -3x 3 , 4x 2 = 10x 1 - 6x 3 = -30x 3 - 6x 3 , x 2 = -9x 3 .
Полагая x 3 = 1, имеем (-3,-9,1) - собственный вектор, отвечающий собственному числу λ = 1. Проверка:

.
Так как собственные числа действительные и различны, то векторы, им отвечающие, линейно независимы, поэтому их можно принять за базис в R 3 . Таким образом, в базисе , , матрица A имеет вид:
.
Не всякую матрицу линейного оператора A:R n → R n можно привести к диагональному виду, поскольку для некоторых линейных операторов линейно независимых собственных векторов может быть меньше n. Однако, если матрица симметрическая, то корню характеристического уравнения кратности m соответствует ровно m линейно независимых векторов.

Определение. Симметрической матрицей называется квадратная матрица, в которой элементы, симметричные относительно главной диагонали, равны, то есть в которой .
Замечания. 1. Все собственные числа симметрической матрицы вещественны.
2. Собственные векторы симметрической матрицы, соответствующие попарно различным собственным числам, ортогональны.
В качестве одного из многочисленных приложений изученного аппарата, рассмотрим задачу об определении вида кривой второго порядка.