Expansiunea tangentei într-o serie. Extinderea funcțiilor în serii de puteri

Dacă funcția f(x) are derivate de toate ordinele pe un interval care conține punctul a, atunci i se poate aplica formula Taylor:
,
Unde rn- așa-numitul termen rezidual sau restul seriei, poate fi estimat folosind formula Lagrange:
, unde numărul x se află între x și a.

f(x)=

în punctul x 0 = Numărul de elemente de rând 3 4 5 6 7

Utilizați descompunerea functii elementare e x , cos(x), sin(x), ln(1+x), (1+x) m

Reguli de introducere a funcției:

Dacă pentru o anumită valoare X rn→0 la n→∞, atunci în limită formula Taylor se transformă pentru această valoare în convergentă Seria Taylor:
,
Astfel, funcția f(x) poate fi extinsă într-o serie Taylor în punctul x considerat dacă:
1) are derivate de toate ordinele;
2) seria construită converge în acest punct.

Pentru a = 0 obținem o serie numită lângă Maclaurin:
,
Extinderea celor mai simple funcții (elementare) din seria Maclaurin:
funcții exponențiale
, R=∞
Funcții trigonometrice
, R=∞
, R=∞
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
Funcția actgx nu se extinde în puteri ale lui x, deoarece ctg0=∞
Funcții hiperbolice


Funcții logaritmice
, -1
Seria binomială
.

Exemplul #1. Extindeți funcția într-o serie de puteri f(x)= 2X.
Soluţie. Să găsim valorile funcției și derivatele sale la X=0
f(x) = 2X, f( 0) = 2 0 =1;
f"(x) = 2X ln2, f"( 0) = 2 0 ln2=ln2;
f""(x) = 2X ln 2 2, f""( 0) = 2 0 log 2 2= log 2 2;
…
f(n)(x) = 2X ln n 2, f(n)( 0) = 2 0 ln n 2=ln n 2.
Înlocuind valorile obținute ale derivatelor în formula seriei Taylor, obținem:

Raza de convergență a acestei serii este egală cu infinit, deci această expansiune este valabilă pentru -∞<X<+∞.

Exemplul #2. Scrieți o serie Taylor în puteri ( X+4) pentru funcție f(x)= e X.
Soluţie. Găsirea derivatelor funcției e Xși valorile lor la punct X=-4.
f(x)= e X, f(-4) = e -4 ;
f"(x)= e X, f"(-4) = e -4 ;
f""(x)= e X, f""(-4) = e -4 ;
…
f(n)(x)= e X, f(n)( -4) = e -4 .
Prin urmare, seria Taylor dorită a funcției are forma:

Această expansiune este valabilă și pentru -∞<X<+∞.

Exemplul #3. Funcția de extindere f(x)=ln Xîntr-o serie pe grade ( X- 1),
(adică într-o serie Taylor în vecinătatea punctului X=1).
Soluţie. Găsim derivatele acestei funcții.
f(x)=lnx , , , ,

f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f"""(1)=1*2,..., f(n)=(- 1) n-1 (n-1)!
Înlocuind aceste valori în formulă, obținem seria Taylor dorită:

Cu ajutorul testului lui d'Alembert, se poate verifica dacă seria converge la ½x-1½<1 . Действительно,

Seria converge dacă ½ X- 1½<1, т.е. при 0<X<2. При X=2 obţinem o serie alternativă care satisface condiţiile testului Leibniz. Pentru x=0 funcția nu este definită. Astfel, regiunea de convergență a seriei Taylor este intervalul semideschis (0;2).

Exemplul #4. Extindeți funcția într-o serie de puteri.
Soluţie. În descompunerea (1) înlocuim x cu -x 2, obținem:
, -∞

Exemplul numărul 5. Extindeți funcția într-o serie Maclaurin.
Soluţie. Avem
Folosind formula (4), putem scrie:

înlocuind în loc de x în formula -x, obținem:

De aici găsim: ln(1+x)-ln(1-x) = -
Extinderea parantezelor, rearanjarea termenilor seriei și reducerea termenilor similari obținem
. Această serie converge în intervalul (-1;1) deoarece se obține din două serii, fiecare dintre ele convergând în acest interval.

cometariu .
Formulele (1)-(5) pot fi, de asemenea, utilizate pentru a extinde funcțiile corespunzătoare într-o serie Taylor, de exemplu. pentru extinderea funcțiilor în puteri întregi pozitive ( Ha). Pentru a face acest lucru, este necesar să efectuați astfel de transformări identice pe o funcție dată pentru a obține una dintre funcțiile (1) - (5), în care în loc de X costă k( Ha) m , unde k este un număr constant, m este un întreg pozitiv. Este adesea convenabil să schimbați variabila t=Hași extindeți funcția rezultată în raport cu t în seria Maclaurin.

Această metodă se bazează pe teorema privind unicitatea expansiunii unei funcții într-o serie de puteri. Esența acestei teoreme este că în vecinătatea aceluiași punct nu se pot obține două serii de puteri diferite care ar converge către aceeași funcție, indiferent de modul în care se realizează expansiunea acesteia.

Exemplul nr. 5a. Extindeți funcția într-o serie Maclaurin, indicați zona de convergență.
Soluţie. Mai întâi găsim 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) , .
la elementar:

Fracția 3/(1-3x) poate fi privită ca suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare cu un numitor de 3x dacă |3x|< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд

cu regiunea de convergenţă |x|< 1/3.

Exemplul numărul 6. Extindeți funcția într-o serie Taylor în vecinătatea punctului x = 3.
Soluţie. Această problemă poate fi rezolvată, ca și înainte, folosind definiția seriei Taylor, pentru care este necesar să se găsească derivatele funcțiilor și valorile acestora la X=3. Cu toate acestea, va fi mai ușor să utilizați descompunerea existentă (5):
=
Seria rezultată converge la sau -3

Exemplul numărul 7. Scrieți o serie Taylor în puterile (x -1) ale funcției ln(x+2) .
Soluţie.


Seria converge la , sau -2< x < 5.

Exemplul numărul 8. Extindeți funcția f(x)=sin(πx/4) într-o serie Taylor în jurul punctului x =2.
Soluţie. Să facem înlocuirea t=x-2:

Folosind expansiunea (3), în care înlocuim π / 4 t cu x, obținem:

Seria rezultată converge către funcția dată la -∞< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞Prin urmare,
, (-∞

Calcule aproximative folosind seria de puteri

Seriile de putere sunt utilizate pe scară largă în calcule aproximative. Cu ajutorul lor, cu o precizie dată, puteți calcula valorile rădăcinilor, funcțiilor trigonometrice, logaritmilor numerelor, integralelor definite. Serii sunt, de asemenea, utilizate în integrarea ecuațiilor diferențiale.
Luați în considerare extinderea funcției într-o serie de puteri:

Pentru a calcula valoarea aproximativă a unei funcții într-un punct dat X, aparținând regiunii de convergență a seriei indicate, prima n membri ( n este un număr finit), iar termenii rămași sunt eliminați:

Pentru a estima eroarea valorii aproximative obținute, este necesar să se estimeze r n (x) rezidual aruncat. Pentru aceasta, se folosesc următoarele metode:

• dacă seria rezultată este alternantă de caractere, atunci se utilizează următoarea proprietate: pentru o serie alternativă care îndeplinește condițiile Leibniz, valoarea absolută a restului seriei nu depășește primul termen aruncat.
• dacă seria dată este de semn constant, atunci seria compusă din termenii aruncați este comparată cu o progresie geometrică infinit descrescătoare.
• în cazul general, pentru a estima restul seriei Taylor, puteți utiliza formula Lagrange: a X ).

Exemplul #1. Calculați ln(3) până la 0,01.
Soluţie. Să folosim descompunerea , unde x=1/2 (vezi exemplul 5 din subiectul anterior):

Să verificăm dacă putem elimina restul după primii trei termeni ai expansiunii, pentru aceasta îl evaluăm folosind suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare:

Deci, putem arunca acest rest și obținem

Exemplul #2. Calculați cu cel mai apropiat 0,0001.
Soluţie. Să folosim seria binomială. Deoarece 5 3 este cel mai apropiat cub întreg de 130, este recomandabil să reprezentați numărul 130 ca 130=5 3 +5.



întrucât cel de-al patrulea termen al seriei alternante de semne obținute care satisface testul Leibniz este deja mai mic decât precizia cerută:
, astfel încât acesta și termenii care îi urmează pot fi eliminate.
Multe integrale definite sau improprie practic necesare nu pot fi calculate folosind formula Newton-Leibniz, deoarece aplicarea acesteia este asociată cu găsirea unei antiderivate, adesea neavând expresie în funcții elementare. De asemenea, se întâmplă că găsirea unui antiderivat este posibilă, dar laborioasă inutil. Cu toate acestea, dacă integrandul este extins într-o serie de puteri, iar limitele de integrare aparțin intervalului de convergență al acestei serii, atunci este posibil un calcul aproximativ al integralei cu o precizie predeterminată.

Exemplul #3. Calculați integrala ∫ 0 1 4 sin (x) x până la 10 -5 .
Soluţie. Integrala nedefinită corespunzătoare nu poate fi exprimată în funcții elementare, adică. este o „integrală imposibilă”. Formula Newton-Leibniz nu poate fi aplicată aici. Să calculăm integrala aproximativ.
Împărțirea termen cu termen a seriei pentru păcat X pe X, primim:

Integrând această serie termen cu termen (acest lucru este posibil, întrucât limitele de integrare aparțin intervalului de convergență al acestei serii), obținem:

Deoarece seria rezultată îndeplinește condițiile lui Leibniz și este suficient să luăm suma primilor doi termeni pentru a obține valoarea dorită cu o precizie dată.
Astfel, găsim
.

Exemplul #4. Calculați integrala ∫ 0 1 4 e x 2 până la 0,001.
Soluţie.
. Să verificăm dacă putem arunca restul după al doilea termen al seriei rezultate.
0,0001<0.001. Следовательно, .

Descompunerea unei funcții într-o serie de Taylor, Maclaurin și Laurent pe site pentru formarea abilităților practice. Această extindere în serie a unei funcții oferă matematicienilor o idee despre estimarea valorii aproximative a unei funcții la un moment dat din domeniul său de definire. Este mult mai ușor să calculezi o astfel de valoare a funcției, în comparație cu utilizarea tabelului Bredis, care este atât de depășit în epoca calculului. A extinde o funcție într-o serie Taylor înseamnă a calcula coeficienții în fața funcțiilor liniare ale acestei serii și a o scrie în forma corectă. Elevii confundă aceste două serii, neînțelegând ce este un caz general și care este un caz special al celui de-al doilea. Vă reamintim odată pentru totdeauna, seria Maclaurin este un caz special al seriei Taylor, adică este seria Taylor, dar în punctul x = 0. Toate înregistrările scurte ale extinderii funcțiilor cunoscute, cum ar fi e ^x, Sin(x), Cos(x) și altele, acestea sunt expansiuni într-o serie Taylor, dar în punctul 0 pentru argument. Pentru funcțiile unui argument complex, seria Laurent este cea mai comună problemă din TFKT, deoarece reprezintă o serie infinită cu două fețe. Este suma a două rânduri. Vă sugerăm să priviți un exemplu de descompunere direct pe site-ul site-ului, este foarte ușor să faceți acest lucru făcând clic pe „Exemplu” cu orice număr, apoi pe butonul „Soluție”. Această extindere a unei funcții într-o serie este asociată seria majorizantă, care limitează funcția inițială într-o anumită regiune de-a lungul axei ordonatelor, dacă variabila aparține regiunii absciselor. Analiza vectorială vine în comparație cu o altă disciplină interesantă din matematică. Deoarece fiecare termen trebuie investigat, este nevoie de mult timp pentru proces. Orice serie Taylor poate fi asociată cu o serie Maclaurin prin înlocuirea x0 cu zero, dar pentru seria Maclaurin, reprezentarea inversă a seriei Taylor nu este uneori evidentă. Indiferent cum nu este necesar să fie făcut în forma sa pură, este interesant pentru auto-dezvoltarea generală. Fiecare serie Laurent corespunde unei serii infinite de puteri cu două fețe în puteri întregi ale lui z-a, cu alte cuvinte, unei serii de același tip Taylor, dar ușor diferită în calculul coeficienților. Despre regiunea de convergență a seriei Laurent vom vorbi puțin mai târziu, după mai multe calcule teoretice. Ca și în secolul trecut, o extindere în faze a unei funcții într-o serie cu greu poate fi realizată doar prin reducerea termenilor la un numitor comun, deoarece funcțiile din numitori sunt neliniare. Calculul aproximativ al valorii funcționale necesită formularea de probleme. Gândiți-vă la faptul că atunci când argumentul seriei Taylor este o variabilă liniară, atunci expansiunea are loc în mai mulți pași, dar o imagine complet diferită, când o funcție complexă sau neliniară acționează ca argument al funcției extinse, atunci procesul de reprezentare a unei astfel de funcții într-o serie de puteri este evident, deoarece, în așa fel, este ușor de calculat, deși aproximativ, dar valoarea în orice punct al domeniului de definiție, cu o eroare minimă care are puțin efect asupra calculelor ulterioare. Acest lucru este valabil și pentru seria Maclaurin. când este necesar să se calculeze funcția la punctul zero. Cu toate acestea, seria Laurent în sine este aici reprezentată de o expansiune plană cu unități imaginare. De asemenea, nu fără succes va fi soluția corectă a problemei pe parcursul întregului proces. În matematică, această abordare nu este cunoscută, dar există în mod obiectiv. Ca rezultat, puteți ajunge la concluzia așa-numitelor submulțimi punctuale, iar în extinderea unei funcții într-o serie, trebuie să aplicați metode cunoscute pentru acest proces, cum ar fi aplicarea teoriei derivatelor. Încă o dată suntem convinși de corectitudinea profesorului, care și-a făcut presupunerile despre rezultatele calculelor post-computaționale. Să observăm că seria Taylor, obținută după toate canoanele matematicii, există și este definită pe întreaga axă numerică, totuși, dragi utilizatori ai serviciului site-ului web, nu uitați de forma funcției originale, deoarece se poate dovedi că inițial este necesar să se stabilească domeniul funcției, adică să se scrie și să se excludă din considerațiile ulterioare acele puncte în care funcția nu este definită în domeniul numerelor reale. Ca să zic așa, acest lucru vă va arăta rapiditatea în rezolvarea problemei. Construcția seriei Maclaurin cu o valoare zero a argumentului nu va fi o excepție de la cele spuse. În același timp, nimeni nu a anulat procesul de găsire a domeniului de definire a unei funcții și trebuie să abordați această acțiune matematică cu toată seriozitatea. Dacă seria Laurent conține partea principală, parametrul „a” va fi numit punct singular izolat, iar seria Laurent va fi extinsă în inel - aceasta este intersecția zonelor de convergență a părților sale, din care corespunzătoare va urma teorema. Dar nu totul este atât de dificil pe cât ar putea părea la prima vedere unui student fără experiență. După ce am studiat doar seria Taylor, se poate înțelege cu ușurință seria Laurent - un caz generalizat pentru extinderea spațiului numerelor. Orice extindere a unei funcții într-o serie se poate face numai într-un punct din domeniul funcției. Ar trebui să țineți cont de proprietățile unor astfel de funcții, de exemplu, periodicitatea sau diferențiabilitatea infinită. De asemenea, vă sugerăm să utilizați tabelul expansiunilor gata făcute în seria Taylor de funcții elementare, deoarece o funcție poate fi reprezentată de până la zeci de serii de puteri diferite, care pot fi văzute din utilizarea calculatorului nostru online. Seria online Maclaurin este mai usor ca niciodata de a determina daca folosesti serviciul unic de site, trebuie doar sa introduci functia scrisa corecta si vei primi raspunsul prezentat in cateva secunde, acesta va fi garantat exact si intr-o forma scrisa standard . Puteți rescrie imediat rezultatul într-o copie curată pentru a fi livrat profesorului. Ar fi corect să se determine mai întâi analiticitatea funcției luate în considerare în inele și apoi să se precizeze fără ambiguitate că poate fi extinsă într-o serie Laurent în toate astfel de inele. Un moment important este să nu piardă din vedere membrii seriei Laurent care conțin grade negative. Concentrează-te pe asta cât mai mult posibil. Folosiți bine teorema lui Laurent privind extinderea unei funcții într-o serie cu puteri întregi.

În teoria seriei funcționale, secțiunea dedicată extinderii unei funcții într-o serie ocupă un loc central.

Astfel, se pune problema: pentru o funcție dată este necesar să se găsească o astfel de serie de puteri

care convergea pe un anumit interval şi suma lui era egală cu
, acestea.

= ..

Această sarcină se numește problema extinderii unei funcții într-o serie de puteri.

O condiție necesară pentru extinderea unei funcții într-o serie de puteri este diferențiabilitatea sa de un număr infinit de ori - aceasta rezultă din proprietățile seriei de puteri convergente. Această condiție este îndeplinită, de regulă, pentru funcțiile elementare din domeniul lor de definire.

Deci, să presupunem că funcția
are derivate de orice ordin. Poate fi extins într-o serie de putere, dacă da, cum să găsiți această serie? A doua parte a problemei este mai ușor de rezolvat, așa că să începem cu ea.

Să presupunem că funcția
poate fi reprezentat ca suma unei serii de puteri convergente într-un interval care conține un punct X 0 :

= .. (*)

Unde A 0 ,A 1 ,A 2 ,...,A P ,... – coeficienți nesiguri (încă).

Să punem în egalitate (*) valoarea x = x 0 , atunci primim

.

Diferențiem seria de puteri (*) termen cu termen

= ..

si punand aici x = x 0 , primim

.

Cu următoarea diferențiere, obținem seria

= ..

presupunând x = x 0 , primim
, Unde
.

După P-diferențierea ori obținem

Presupunând în ultima egalitate x = x 0 , primim
, Unde

Deci se găsesc coeficienții

,
,
, …,
,….,

înlocuind care într-un rând (*), obținem

Seria rezultată se numește lângă Taylor pentru functie
.

Astfel, am stabilit că dacă funcția poate fi extinsă într-o serie de puteri în puteri (x - x 0 ), atunci această expansiune este unică și seria rezultată este în mod necesar o serie Taylor.

Rețineți că seria Taylor poate fi obținută pentru orice funcție care are derivate de orice ordin în punct x = x 0 . Dar asta nu înseamnă încă că se poate pune un semn egal între funcție și seria rezultată, adică. că suma seriei este egală cu funcția inițială. În primul rând, o astfel de egalitate poate avea sens numai în regiunea de convergență, iar seria Taylor obținută pentru funcție poate diverge și, în al doilea rând, dacă seria Taylor converge, atunci suma ei poate să nu coincidă cu funcția inițială.

3.2. Condiții suficiente pentru extinderea unei funcții într-o serie Taylor

Să formulăm un enunț cu ajutorul căruia se va rezolva problema enunțată.

Dacă funcţia
într-o vecinătate a punctului x 0 are derivate până la (n+ 1)-al-lea ordin inclusiv, atunci în acest cartier avemformulă Taylor

UndeR n (X)-termen rezidual al formulei Taylor - are forma (forma Lagrange)

Unde punctξ se află între x și x 0 .

Rețineți că există o diferență între seria Taylor și formula Taylor: formula Taylor este o sumă finită, i.e. P - număr fix.

Amintiți-vă că suma seriei S(X) poate fi definită ca limita succesiunii funcționale a sumelor parțiale S P (X) la un anumit interval X:

.

În conformitate cu aceasta, a extinde o funcție într-o serie Taylor înseamnă a găsi o serie astfel încât pentru oricare XX

Scriem formula Taylor sub forma unde

observa asta
definește eroarea pe care o obținem, înlocuiți funcția f(X) polinom S n (X).

Dacă
, Acea
,acestea. funcția se extinde într-o serie Taylor. În schimb, dacă
, Acea
.

Astfel, am dovedit criteriu pentru extinderea unei funcții într-o serie Taylor.

Pentru ca într-un anumit interval funcţiaf(x) se extinde într-o serie Taylor, este necesar și suficient ca pe acest interval
, UndeR n (X) este restul seriei Taylor.

Cu ajutorul criteriului formulat se poate obține suficientcondiţii pentru extinderea unei funcţii într-o serie Taylor.

Dacă învreo vecinătate a punctului x 0 valorile absolute ale tuturor derivatelor unei funcții sunt limitate de același număr M≥ 0, adică

, To în această zonă, funcția se extinde într-o serie Taylor.

Din cele de mai sus rezultă algoritmextinderea funcției f(X) într-o serie Taylorîn vecinătatea punctului X 0 :

1. Găsirea funcțiilor derivate f(X):

f(x), f’(x), f”(x), f’”(x), f (n) (X),…

2. Calculăm valoarea funcției și valorile derivatelor sale la punctul X 0

f(x 0 ), f'(x 0 ), f”(x 0 ), f’”(x 0 ), f (n) (X 0 ),…

3. Scriem în mod formal seria Taylor și găsim regiunea de convergență a seriei de puteri rezultate.

4. Verificam indeplinirea conditiilor suficiente, i.e. stabili pentru care X din regiunea de convergență, restul termenului R n (X) tinde spre zero la
sau
.

Expansiunea funcțiilor dintr-o serie Taylor conform acestui algoritm se numește extinderea unei funcții într-o serie Taylor prin definiție sau descompunere directă.

Elevii la matematică superioară ar trebui să fie conștienți de faptul că suma unor serii de puteri aparținând intervalului de convergență al seriei date nouă este un număr continuu și nelimitat de ori funcție diferențiată. Se pune întrebarea: este posibil să se afirme că o funcție arbitrară dată f(x) este suma unor serii de puteri? Adică, în ce condiții poate fi reprezentată funcția f(x) printr-o serie de puteri? Importanța acestei întrebări constă în faptul că este posibil să înlocuim aproximativ funcția f(x) cu suma primilor termeni ai seriei de puteri, adică printr-un polinom. O astfel de înlocuire a unei funcții cu o expresie destul de simplă - un polinom - este convenabilă și la rezolvarea unor probleme și anume: la rezolvarea integralelor, la calculul etc.

Se dovedește că pentru o anumită funcție f(x), în care se pot calcula derivate de până la ordinul (n + 1), inclusiv ultimul, în vecinătatea (α - R; x 0 + R) a unora. punctul x = α formula:

Această formulă poartă numele celebrului om de știință Brook Taylor. Seria care se obține din cea anterioară se numește seria Maclaurin:

Regula care face posibilă extinderea într-o serie Maclaurin:

1. Determinați derivatele primului, al doilea, al treilea... ordine.
2. Calculați care sunt derivatele la x=0.
3. Scrieți seria Maclaurin pentru această funcție și apoi determinați intervalul de convergență a acesteia.
4. Determinați intervalul (-R;R), unde restul formulei Maclaurin

R n (x) -> 0 pentru n -> infinit. Dacă există una, funcția f(x) din ea trebuie să coincidă cu suma seriei Maclaurin.

Luați în considerare acum seria Maclaurin pentru funcții individuale.

1. Deci, primul va fi f(x) = e x. Desigur, în funcție de caracteristicile sale, o astfel de funcție are derivate de ordine foarte diferite și f (k) (x) \u003d e x, unde k este egal cu totul Să înlocuim x \u003d 0. Obținem f (k) (0) \u003d e 0 \u003d 1, k \u003d 1,2 ... Pe baza celor de mai sus, seria e x va arăta astfel:

2. Seria Maclaurin pentru funcția f(x) = sin x. Clarificați imediat că funcția pentru toate necunoscutele va avea derivate, pe lângă f "(x) \u003d cos x \u003d sin (x + n / 2), f "" (x) \u003d -sin x \u003d sin (x + 2*n/2)..., f(k)(x)=sin(x+k*n/2), unde k este egal cu orice număr natural. Adică, făcând calcule simple, putem concluziona că seria pentru f(x) = sin x va arăta astfel:

3. Acum să încercăm să considerăm funcția f(x) = cos x. Are derivate de ordin arbitrar pentru toate necunoscutele și |f (k) (x)| = |cos(x+k*n/2)|<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так:

Deci, am enumerat cele mai importante funcții care pot fi extinse în seria Maclaurin, dar ele sunt completate de seria Taylor pentru unele funcții. Acum le vom enumera. De asemenea, este de remarcat faptul că seriile Taylor și Maclaurin sunt o parte importantă a practicii de rezolvare a seriilor în matematica superioară. Deci, seria Taylor.

1. Primul va fi un rând pentru f-ii f (x) = ln (1 + x). Ca și în exemplele anterioare, având în vedere f (x) = ln (1 + x), putem adăuga o serie folosind forma generală a seriei Maclaurin. cu toate acestea, pentru această funcție, seria Maclaurin poate fi obținută mult mai simplu. După integrarea unei anumite serii geometrice, obținem o serie pentru f (x) = ln (1 + x) a unui astfel de eșantion:

2. Și a doua, care va fi finală în articolul nostru, va fi o serie pentru f (x) \u003d arctg x. Pentru x aparținând intervalului [-1; 1], expansiunea este valabilă:

Asta e tot. În acest articol, au fost luate în considerare cele mai utilizate serii Taylor și Maclaurin în matematica superioară, în special, în universitățile economice și tehnice.

Cum se introduc formule matematice pe site?

Dacă vreodată trebuie să adăugați una sau două formule matematice pe o pagină web, atunci cel mai simplu mod de a face acest lucru este cel descris în articol: formulele matematice sunt ușor de introdus în site sub formă de imagini pe care Wolfram Alpha le generează automat. Pe lângă simplitate, această metodă universală va ajuta la îmbunătățirea vizibilității site-ului în motoarele de căutare. Funcționează de mult (și cred că va funcționa pentru totdeauna), dar este depășit din punct de vedere moral.

Dacă utilizați în mod constant formule matematice pe site-ul dvs., atunci vă recomand să utilizați MathJax, o bibliotecă JavaScript specială care afișează notații matematice în browserele web folosind markup MathML, LaTeX sau ASCIIMathML.

Există două moduri de a începe să utilizați MathJax: (1) folosind un cod simplu, puteți conecta rapid un script MathJax la site-ul dvs., care va fi încărcat automat de pe un server la distanță la momentul potrivit (lista de servere); (2) încărcați scriptul MathJax de pe un server la distanță pe serverul dvs. și conectați-l la toate paginile site-ului dvs. A doua metodă este mai complexă și consumatoare de timp și vă va permite să accelerați încărcarea paginilor site-ului dvs., iar dacă serverul MathJax părinte devine temporar indisponibil dintr-un motiv oarecare, acest lucru nu vă va afecta în niciun fel propriul site. În ciuda acestor avantaje, am ales prima metodă, deoarece este mai simplă, mai rapidă și nu necesită abilități tehnice. Urmează exemplul meu și în 5 minute vei putea folosi toate funcțiile MathJax pe site-ul tău.

Puteți conecta scriptul de bibliotecă MathJax de la un server la distanță folosind două opțiuni de cod preluate de pe site-ul principal MathJax sau de pe pagina de documentație:

Una dintre aceste opțiuni de cod trebuie să fie copiată și lipită în codul paginii dvs. web, de preferință între etichete Și sau imediat după etichetă . Conform primei opțiuni, MathJax se încarcă mai repede și încetinește pagina mai puțin. Dar a doua opțiune urmărește și încarcă automat cele mai recente versiuni de MathJax. Dacă introduceți primul cod, atunci acesta va trebui actualizat periodic. Dacă lipiți al doilea cod, atunci paginile se vor încărca mai lent, dar nu va trebui să monitorizați în mod constant actualizările MathJax.

Cel mai simplu mod de a conecta MathJax este în Blogger sau WordPress: în panoul de control al site-ului, adăugați un widget conceput pentru a insera cod JavaScript terță parte, copiați prima sau a doua versiune a codului de încărcare de mai sus în el și plasați widgetul mai aproape de începutul șablonului (apropo, acest lucru nu este deloc necesar, deoarece scriptul MathJax este încărcat asincron). Asta e tot. Acum aflați sintaxa de marcare MathML, LaTeX și ASCIIMathML și sunteți gata să încorporați formule matematice în paginile dvs. web.

Orice fractal este construit după o anumită regulă, care este aplicată în mod constant de un număr nelimitat de ori. Fiecare astfel de timp se numește iterație.

Algoritmul iterativ pentru construirea unui burete Menger este destul de simplu: cubul original cu latura 1 este împărțit de planuri paralele cu fețele sale în 27 de cuburi egale. Un cub central și 6 cuburi adiacente acestuia de-a lungul fețelor sunt îndepărtate din el. Se dovedește un set format din 20 de cuburi mai mici rămase. Făcând același lucru cu fiecare dintre aceste cuburi, obținem un set format din 400 de cuburi mai mici. Continuând acest proces la nesfârșit, obținem buretele Menger.