Adaugă fracții cu numitori diferiți. Întocmirea unui sistem de ecuații

Acțiuni cu fracții.

Atenţie!
Sunt suplimentare
material în secțiunea specială 555.
Pentru cei care puternic „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

Deci, ce sunt fracțiile, tipurile de fracții, transformările - ne-am amintit. Să abordăm întrebarea principală.

Ce poți face cu fracțiile? Da, totul este la fel ca în cazul numerelor obișnuite. Adunați, scădeți, înmulțiți, împărțiți.

Toate aceste acțiuni cu zecimal operațiile cu fracții nu sunt diferite de operațiile cu numere întregi. De fapt, pentru asta sunt bune, zecimală. Singurul lucru este că trebuie să puneți virgula corect.

numere mixte, așa cum am spus, sunt de puțin folos pentru majoritatea acțiunilor. Mai trebuie traduse în fracții comune.

Și aici sunt acțiunile cu fracții obișnuite va fi mai inteligent. Și mult mai important! Lasă-mă să-ți amintesc: toate acțiunile cu expresii fracționale cu litere, sinusuri, necunoscute și așa mai departe nu sunt diferite de acțiunile cu fracții obișnuite! Operațiile cu fracții obișnuite stau la baza tuturor algebrei. Din acest motiv vom analiza aici în detaliu toată această aritmetică.

Adunarea și scăderea fracțiilor.

Toată lumea poate adăuga (scădea) fracții cu aceiași numitori (sper foarte mult!). Ei bine, permiteți-mi să vă reamintesc că sunt complet uituc: la adunarea (scăderea), numitorul nu se schimbă. Număratorii sunt adăugați (scădeți) pentru a da numărătorul rezultatului. Tip:

Pe scurt, în vedere generala:

Ce se întâmplă dacă numitorii sunt diferiți? Apoi, folosind proprietatea principală a fracției (aici ne-a fost util din nou!), Facem numitorii la fel! De exemplu:

Aici a trebuit să facem fracția 4/10 din fracția 2/5. Numai în scopul de a face numitorii la fel. Observ, pentru orice eventualitate, că 2/5 și 4/10 sunt aceeași fracție! Doar 2/5 este incomod pentru noi, iar 4/10 este chiar nimic.

Apropo, aceasta este esența rezolvării oricăror sarcini din matematică. Când suntem afară incomod expresiile fac la fel, dar mai convenabil de rezolvat.

Alt exemplu:

Situația este similară. Aici facem 48 din 16. Prin simpla inmultire pe 3. Toate acestea sunt clare. Dar aici întâlnim ceva de genul:

Cum sa fii?! E greu să faci un nouă din șapte! Dar suntem deștepți, știm regulile! Să ne transformăm fiecare fracție astfel încât numitorii să fie aceiași. Aceasta se numește „reducere la un numitor comun”:

Cum! De unde am știut despre 63? Foarte simplu! 63 este un număr care este divizibil egal cu 7 și 9 în același timp. Un astfel de număr poate fi întotdeauna obținut prin înmulțirea numitorilor. Dacă înmulțim un număr cu 7, de exemplu, atunci rezultatul va fi cu siguranță împărțit la 7!

Dacă trebuie să adunați (scădeți) mai multe fracții, nu este nevoie să o faceți în perechi, pas cu pas. Trebuie doar să găsiți numitorul care este comun tuturor fracțiilor și să aduceți fiecare fracție la același numitor. De exemplu:

Și care va fi numitorul comun? Puteți, desigur, să înmulțiți 2, 4, 8 și 16. Obținem 1024. Coșmar. Este mai ușor de estimat că numărul 16 este perfect divizibil cu 2, 4 și 8. Prin urmare, este ușor să obțineți din aceste numere 16. Acest număr va fi numitorul comun. Să transformăm 1/2 în 8/16, 3/4 în 12/16 și așa mai departe.

Apropo, dacă luăm 1024 ca numitor comun, totul va merge și el, până la urmă totul se va reduce. Numai că nu toată lumea va ajunge în acest scop, din cauza calculelor...

Rezolvați singur exemplul. Nu un logaritm... Ar trebui să fie 29/16.

Deci, cu adunarea (scăderea) fracțiilor este clar, sper? Desigur, este mai ușor să lucrezi într-o versiune scurtată, cu multiplicatori suplimentari. Dar această plăcere este disponibilă celor care au lucrat sincer în clasele inferioare... Și nu au uitat nimic.

Și acum vom face aceleași acțiuni, dar nu cu fracții, ci cu expresii fracționale. Noi greble vor fi găsite aici, da...

Deci, trebuie să adăugăm două expresii fracționale:

Trebuie să facem numitorii la fel. Și numai cu ajutorul multiplicare! Deci proprietatea principală a fracției spune. Prin urmare, nu pot adăuga unul la x în prima fracție din numitor. (Dar asta ar fi frumos!). Dar dacă înmulți numitorii, vezi, totul va crește împreună! Așa că scriem, linia fracției, lăsăm un spațiu gol deasupra, apoi îl adunăm și scriem produsul numitorilor de mai jos, pentru a nu uita:

Și, desigur, nu înmulțim nimic pe partea dreaptă, nu deschidem paranteze! Și acum, privind numitorul comun al părții drepte, ne gândim: pentru a obține numitorul x (x + 1) în prima fracție, trebuie să înmulțim numărătorul și numitorul acestei fracții cu (x + 1) . Și în a doua fracție - x. Primești asta:

Notă! Parantezele sunt aici! Aceasta este grebla pe care mulți o calcă. Nu paranteze, desigur, ci absența lor. Parantezele apar pentru că ne înmulțim întregul numărător și întregul numitor! Și nu piesele lor individuale...

În numărătorul din dreapta scriem suma numărătorilor, totul este ca în fracții numerice, apoi deschidem parantezele în numărătorul din dreapta, adică. inmulti totul si da like. Nu trebuie să deschideți parantezele din numitori, nu trebuie să înmulțiți ceva! In general, in numitori (oricare) produsul este intotdeauna mai placut! Primim:

Aici avem răspunsul. Procesul pare lung și dificil, dar depinde de practică. Rezolvă exemple, obișnuiește-te, totul va deveni simplu. Cei care au stăpânit fracțiile în timpul alocat, fac toate aceste operații cu o singură mână, pe aparat!

Și încă o notă. Mulți se ocupă de fracții, dar se așteaptă cu exemple întreg numerele. Tip: 2 + 1/2 + 3/4= ? Unde să fixați un deuce? Nu este nevoie să fixați nicăieri, trebuie să faceți o fracțiune dintr-un doi. Nu este ușor, este foarte simplu! 2=2/1. Ca aceasta. Orice număr întreg poate fi scris ca fracție. Numătorul este numărul în sine, numitorul este unul. 7 este 7/1, 3 este 3/1 și așa mai departe. La fel este și cu literele. (a + b) \u003d (a + b) / 1, x \u003d x / 1 etc. Și apoi lucrăm cu aceste fracții conform tuturor regulilor.

Ei bine, la adunarea - scăderea fracțiilor, cunoștințele au fost reîmprospătate. Transformări ale fracțiilor de la un tip la altul - repetate. De asemenea, puteți verifica. Ne aliniem putin?)

Calculati:

Răspunsuri (în dezordine):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Înmulțirea / împărțirea fracțiilor - în lecția următoare. Există, de asemenea, sarcini pentru toate acțiunile cu fracții.

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățarea - cu interes!)

vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Notă!Înainte de a scrie un răspuns final, vezi dacă poți reduce fracția pe care ai primit-o.

Scăderea fracțiilor cu aceiași numitori exemple:

,

,

Scăderea unei fracții adecvate din una.

Dacă este necesară scăderea din unitate a unei fracții care este corectă, unitatea se transformă în forma unei fracții improprie, numitorul ei este egal cu numitorul fracției scăzute.

Un exemplu de scădere a unei fracții adecvate din una:

Numitorul fracției de scăzut = 7 , adică reprezentăm unitatea ca o fracție improprie 7/7 și scădem conform regulii de scădere a fracțiilor cu aceiași numitori.

Scăderea unei fracții adecvate dintr-un număr întreg.

Reguli pentru scăderea fracțiilor - corectă din întreg (numar natural):

• Traducem fracțiile date, care conțin o parte întreagă, în unele improprii. Obținem termenii normali (nu contează dacă sunt numitori diferiti), pe care le considerăm conform regulilor date mai sus;
• Apoi, calculăm diferența fracțiilor pe care le-am primit. Ca rezultat, aproape vom găsi răspunsul;
• Efectuăm transformarea inversă, adică scăpăm de fracția improprie - selectăm partea întreagă din fracție.

Scădeți o fracție proprie dintr-un număr întreg: reprezentăm un număr natural ca număr mixt. Acestea. luăm o unitate într-un număr natural și o traducem în forma unei fracții improprie, numitorul este același cu cel al fracției scăzute.

Exemplu de scădere a fracțiilor:

În exemplu, am înlocuit unitatea cu o fracție improprie 7/7 și în loc de 3 am notat un număr mixt și am scăzut o fracție din partea fracțională.

Scăderea fracțiilor cu numitori diferiți.

Sau, altfel spus, scăderea diferitelor fracții.

Regula pentru scăderea fracțiilor cu numitori diferiți. Pentru a scădea fracțiile cu numitori diferiți, este necesar, mai întâi, să aducem aceste fracții la cel mai mic numitor comun (LCD), și abia după aceea să scădem ca și la fracțiile cu aceiași numitori.

Numitorul comun al mai multor fracții este LCM (cel mai mic multiplu comun) numere naturale, care sunt numitorii acestor fracții.

Atenţie! Dacă în fracția finală numărătorul și numitorul au factori comuni, atunci fracția trebuie redusă. O fracție improprie este cel mai bine reprezentată ca o fracție mixtă. Lăsarea rezultatului scăderii fără reducerea fracției acolo unde este posibil este o soluție neterminată a exemplului!

Procedura de scadere a fractiilor cu numitori diferiti.

• găsiți LCM pentru toți numitorii;
• pune multiplicatori suplimentari pentru toate fracțiile;
• înmulțiți toți numărătorii cu un factor suplimentar;
• scriem produsele rezultate la numărător, semnând un numitor comun sub toate fracțiile;
• scădeți numărătorii fracțiilor, semnând numitorul comun sub diferență.

În același mod, adunarea și scăderea fracțiilor se efectuează în prezența literelor în numărător.

Scăderea fracțiilor, exemple:

Scăderea fracțiilor mixte.

La scăderea fracțiilor mixte (numere) separat, partea întreagă este scăzută din partea întreagă, iar partea fracțională este scăzută din partea fracțională.

Prima opțiune este de a scădea fracțiile mixte.

Dacă părțile fracționale aceeași numitorii și numărătorul părții fracționale a minuendului (din el scădem) ≥ numărătorul părții fracționale a subtraendului (o scădem).

De exemplu:

A doua opțiune este de a scădea fracțiile mixte.

Când părțile fracționale variat numitori. Pentru început, reducem părțile fracționale la un numitor comun, apoi scădem partea întreagă din întreg, iar fracționalul din fracționar.

De exemplu:

A treia opțiune este de a scădea fracțiile mixte.

Partea fracționară a minuendului este mai mică decât partea fracționară a subtraendului.

Exemplu:

pentru că părțile fracționale au numitori diferiți, ceea ce înseamnă, ca și în a doua opțiune, mai întâi aducem fracțiile obișnuite la un numitor comun.

Numătorul părții fracționale a minuendului este mai mic decât numărătorul părții fracționale a subtraendului.3 < 14. Deci, luăm unitatea din partea întreagă și reducem această unitate la forma unei fracții improprii cu același numitorși numărător = 18.

În numărătorul din dreapta scriem suma numărătorilor, apoi deschidem parantezele în numărătorul din dreapta, adică înmulțim totul și dăm similare. Nu deschidem paranteze la numitor. Se obișnuiește să lăsați produsul în numitori. Primim:

Regulile de adunare a fracțiilor cu numitori diferiți sunt foarte simple.

Luați în considerare regulile de adunare a fracțiilor cu numitori diferiți în pași:

1. Aflați LCM (cel mai mic multiplu comun) al numitorilor. LCM rezultat va fi numitorul comun al fracțiilor;

2. Aduceți fracțiile la un numitor comun;

3. Adaugă fracțiile reduse la un numitor comun.

Folosind un exemplu simplu, vom învăța cum să aplicăm regulile de adunare a fracțiilor cu diferiți numitori.

Exemplu

Un exemplu de adunare de fracții cu numitori diferiți.

Adăugați fracții cu numitori diferiți:

Să decidem pas cu pas.

1. Aflați LCM (cel mai mic multiplu comun) al numitorilor.

Numărul 12 este divizibil cu 6.

De aici concluzionăm că 12 este cel mai mic multiplu comun al numerelor 6 și 12.

Răspuns: nok-ul numerelor 6 și 12 este 12:

LCM(6, 12) = 12

NOC rezultat va fi numitorul comun al celor două fracții 1/6 și 5/12.

2. Aduceți fracțiile la un numitor comun.

În exemplul nostru, doar prima fracție trebuie redusă la un numitor comun de 12, deoarece a doua fracție are deja un numitor de 12.

Împărțiți numitorul comun al lui 12 la numitorul primei fracții:

2 are un multiplicator suplimentar.

Înmulțiți numărătorul și numitorul primei fracții (1/6) cu un factor suplimentar de 2.

Luați în considerare fracția $\frac63$. Valoarea sa este 2, deoarece $\frac63 =6:3 = 2$. Ce se întâmplă dacă numărătorul și numitorul sunt înmulțiți cu 2? $\frac63 \times 2=\frac(12)(6)$. Evident, valoarea fracției nu s-a schimbat, așa că $\frac(12)(6)$ este, de asemenea, egal cu 2 ca y. înmulțiți numărătorul și numitorul cu 3 și obțineți $\frac(18)(9)$ sau cu 27 și obțineți $\frac(162)(81)$ sau cu 101 și obțineți $\frac(606)(303)$. În fiecare dintre aceste cazuri, valoarea fracției pe care o obținem prin împărțirea numărătorului la numitor este 2. Aceasta înseamnă că nu s-a schimbat.

Același model se observă și în cazul altor fracții. Dacă numărătorul și numitorul fracției $\frac(120)(60)$ (egal cu 2) se împarte la 2 (rezultatul $\frac(60)(30)$), sau la 3 (rezultatul $\ frac(40)(20) $), sau cu 4 (rezultatul $\frac(30)(15)$) și așa mai departe, atunci în fiecare caz valoarea fracției rămâne neschimbată și egală cu 2.

Această regulă se aplică și fracțiilor care nu sunt egale. număr întreg.

Dacă numărătorul și numitorul fracției $\frac(1)(3)$ sunt înmulțite cu 2, obținem $\frac(2)(6)$, adică valoarea fracției nu s-a schimbat. Și de fapt, dacă împărțiți tortul în 3 părți și luați una dintre ele, sau o împărțiți în 6 părți și luați 2 părți, veți obține aceeași cantitate de plăcintă în ambele cazuri. Prin urmare, numerele $\frac(1)(3)$ și $\frac(2)(6)$ sunt identice. Să formulăm o regulă generală.

Numătorul și numitorul oricărei fracții pot fi înmulțite sau împărțite cu același număr, iar valoarea fracției nu se modifică.

Această regulă este foarte utilă. De exemplu, permite în unele cazuri, dar nu întotdeauna, evitarea operațiunilor cu numere mari.

De exemplu, putem împărți numărătorul și numitorul fracției $\frac(126)(189)$ la 63 și obținem fracția $\frac(2)(3)$ care este mult mai ușor de calculat. Încă un exemplu. Putem împărți numărătorul și numitorul fracției $\frac(155)(31)$ la 31 și obținem fracția $\frac(5)(1)$ sau 5, deoarece 5:1=5.

În acest exemplu, ne-am întâlnit prima dată o fracție al cărei numitor este 1. Astfel de fracții joacă un rol important în calcule. Trebuie amintit că orice număr poate fi împărțit la 1 și valoarea acestuia nu se va schimba. Adică $\frac(273)(1)$ este egal cu 273; $\frac(509993)(1)$ este egal cu 509993 și așa mai departe. Prin urmare, nu trebuie să împărțim numerele la , deoarece fiecare număr întreg poate fi reprezentat ca o fracție cu un numitor de 1.

Cu astfel de fracții, al căror numitor este egal cu 1, este posibil să se producă același lucru operatii aritmetice, ca și în cazul tuturor celorlalte fracții: $\frac(15)(1)+\frac(15)(1)=\frac(30)(1)$, $\frac(4)(1) \times \frac ( 3)(1)=\frac(12)(1)$.

Vă puteți întreba la ce folosește reprezentarea unui număr întreg ca fracție, care va avea o unitate sub bară, deoarece este mai convenabil să lucrați cu un număr întreg. Dar adevărul este că reprezentarea unui număr întreg ca fracție ne oferă posibilitatea de a efectua diverse acțiuni mai eficient atunci când avem de-a face atât cu numere întregi, cât și cu numere fracționale în același timp. De exemplu, să învețe se adună fracții cu numitori diferiți. Să presupunem că trebuie să adăugăm $\frac(1)(3)$ și $\frac(1)(5)$.

Știm că puteți adăuga doar fracții ai căror numitori sunt egali. Deci, trebuie să învățăm cum să aducem fracții într-o astfel de formă atunci când numitorii lor sunt egali. În acest caz, avem nevoie din nou de faptul că puteți înmulți numărătorul și numitorul unei fracții cu același număr fără a-i schimba valoarea.

În primul rând, înmulțim numărătorul și numitorul fracției $\frac(1)(3)$ cu 5. Obținem $\frac(5)(15)$, valoarea fracției nu s-a schimbat. Apoi înmulțim numărătorul și numitorul fracției $\frac(1)(5)$ cu 3. Obținem $\frac(3)(15)$, iar valoarea fracției nu s-a schimbat. Prin urmare, $\frac(1)(3)+\frac(1)(5)=\frac(5)(15)+\frac(3)(15)=\frac(8)(15)$.

Acum să încercăm să aplicăm acest sistem la adunarea numerelor care conțin atât părți întregi, cât și părți fracționale.

Trebuie să adăugăm $3 + \frac(1)(3)+1\frac(1)(4)$. Mai întâi, convertim toți termenii în fracții și obținem: $\frac31 + \frac(1)(3)+\frac(5)(4)$. Acum trebuie să aducem toate fracțiile la un numitor comun, pentru aceasta înmulțim numărătorul și numitorul primei fracții cu 12, pe a doua cu 4 și pe a treia cu 3. Ca rezultat, obținem $\frac(36). )(12) + \frac(4 )(12)+\frac(15)(12)$, care este egal cu $\frac(55)(12)$. Dacă vrei să scapi de fracție improprie, poate fi transformat într-un număr format dintr-un număr întreg și o parte fracțională: $\frac(55)(12) = \frac(48)(12)+\frac(7)(12)$ sau $4\frac( 7)( 12)$.

Toate regulile care permit operatii cu fractii, pe care tocmai le-am studiat, sunt valabile și în cazul numerelor negative. Deci, -1: 3 poate fi scris ca $\frac(-1)(3)$, iar 1: (-3) ca $\frac(1)(-3)$.

Deoarece atât împărțirea unui număr negativ la un număr pozitiv, cât și împărțirea unui număr pozitiv la un negativ rezultă în numere negative, în ambele cazuri vom obține răspunsul sub forma unui număr negativ. Acesta este

$(-1) : 3 = \frac(1)(3)$ sau $1 : (-3) = \frac(1)(-3)$. Semnul minus atunci când este scris în acest fel se referă la întreaga fracție ca întreg, și nu separat la numărător sau numitor.

Pe de altă parte, (-1) : (-3) poate fi scris ca $\frac(-1)(-3)$ și, deoarece împărțirea unui număr negativ la un număr negativ dă un număr pozitiv, atunci $\frac (-1 )(-3)$ poate fi scris ca $+\frac(1)(3)$.

Adunare si scadere fracții negative efectuată în același mod ca și adunarea și scăderea fracțiilor pozitive. De exemplu, ce este $1- 1\frac13$? Să reprezentăm ambele numere ca fracții și să obținem $\frac(1)(1)-\frac(4)(3)$. Să reducem fracțiile la un numitor comun și să obținem $\frac(1 \times 3)(1 \times 3)-\frac(4)(3)$, adică $\frac(3)(3)-\frac( 4) (3)$ sau $-\frac(1)(3)$.

Expresiile fracționate sunt greu de înțeles de către copil. Majoritatea oamenilor au dificultăți cu. Când studiază subiectul „adunarea fracțiilor cu numere întregi”, copilul cade într-o stupoare, fiind dificil să rezolve sarcina. În multe exemple, trebuie efectuate o serie de calcule înainte de a putea fi efectuată o acțiune. De exemplu, convertiți fracții sau convertiți o fracție improprie într-una adecvată.

Explicați-i copilului clar. Luați trei mere, dintre care două vor fi întregi, iar al treilea va fi tăiat în 4 părți. Separați o felie de mărul tăiat și puneți-le pe cele trei rămase lângă două fructe întregi. Primim ¼ de mere pe o parte și 2 ¾ pe cealaltă. Dacă le combinăm, obținem trei mere întregi. Să încercăm să reducem 2 ¾ mere cu ¼, adică mai scoatem o felie, obținem 2 2/4 mere.

Să aruncăm o privire mai atentă la acțiunile cu fracții, care includ numere întregi:

Mai întâi, să ne amintim regula de calcul pentru expresiile fracționale cu un numitor comun:

La prima vedere, totul este ușor și simplu. Dar acest lucru se aplică numai expresiilor care nu necesită conversie.

Cum să găsiți valoarea unei expresii în care numitorii sunt diferiți

În unele sarcini, este necesar să se găsească valoarea unei expresii în care numitorii sunt diferiți. Luați în considerare un caz specific:
3 2/7+6 1/3

Aflați valoarea acestei expresii, pentru aceasta găsim un numitor comun pentru două fracții.

Pentru numerele 7 și 3, acesta este 21. Lăsăm părțile întregi la fel și reducem părțile fracționale la 21, pentru aceasta înmulțim prima fracție cu 3, a doua cu 7, obținem:
6/21+7/21, nu uitați că părțile întregi nu sunt supuse conversiei. Ca rezultat, obținem două fracții cu un numitor și le calculăm suma:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
Ce se întâmplă dacă rezultatul adunării este o fracție improprie care are deja o parte întreagă:
2 1/3+3 2/3
În acest caz, adăugăm părțile întregi și părțile fracționale, obținem:
5 3/3, după cum știți, 3/3 este unul, deci 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6

Odată cu găsirea sumei, totul este clar, să analizăm scăderea:

Din tot ce s-a spus, urmează regula operațiunilor pe numere mixte, care sună astfel:

• Dacă este necesară scăderea unui număr întreg dintr-o expresie fracțională, nu este necesar să se reprezinte al doilea număr ca o fracție, este suficient să se opereze numai pe părți întregi.

Să încercăm să calculăm singuri valoarea expresiilor:

Să aruncăm o privire mai atentă la exemplul de sub litera „m”:

4 5/11-2 8/11, numărătorul primei fracții este mai mic decât a doua. Pentru a face acest lucru, luăm un număr întreg din prima fracție, obținem,
3 5/11+11/11=3 întreg 16/11, scade a doua din prima fracție:
3 16/11-2 8/11=1 întreg 8/11

• Fiți atenți când finalizați sarcina, nu uitați să convertiți fracții impropriiîn amestec, evidențiind întreaga parte. Pentru a face acest lucru, este necesar să împărțiți valoarea numărătorului la valoarea numitorului, ceea ce sa întâmplat ia locul părții întregi, restul va fi numărătorul, de exemplu:

19/4=4 ¾, verificați: 4*4+3=19, la numitor 4 rămâne neschimbat.

Rezuma:

Înainte de a continua cu sarcina legată de fracții, este necesar să se analizeze ce fel de expresie este, ce transformări trebuie efectuate asupra fracției pentru ca soluția să fie corectă. Căutați soluții mai raționale. Nu merge pe calea grea. Planificați toate acțiunile, decideți mai întâi într-o versiune nefinalizată, apoi transferați într-un caiet de școală.

Pentru a evita confuzia la rezolvarea expresiilor fracționale, este necesar să se respecte regula succesiunii. Decide totul cu grijă, fără să te grăbești.