Primul nivel

Progresie geometrică. Ghid cuprinzător cu exemple (2019)

Secvență numerică

Așa că hai să ne așezăm și să începem să scriem câteva numere. De exemplu:

Puteți scrie orice numere și pot fi câte doriți (în cazul nostru, ele). Indiferent câte numere am scrie, putem spune întotdeauna care dintre ele este primul, care este al doilea și tot așa până la ultimul, adică le putem numerota. Acesta este un exemplu de succesiune de numere:

Secvență numerică este un set de numere, fiecăruia cărora li se poate atribui un număr unic.

De exemplu, pentru secvența noastră:

Numărul atribuit este specific unui singur număr de secvență. Cu alte cuvinte, nu există trei numere secunde în succesiune. Al doilea număr (ca și al-lea număr) este întotdeauna același.

Numărul cu numărul se numește --lea membru al secvenței.

De obicei, numim întreaga secvență o literă (de exemplu,) și fiecare membru al acestei secvențe - aceeași literă cu un indice egal cu numărul acestui membru: .

În cazul nostru:

Cele mai comune tipuri de progresie sunt aritmetice și geometrice. În acest subiect, vom vorbi despre al doilea tip - progresie geometrică.

De ce avem nevoie de o progresie geometrică și de istoria ei.

Chiar și în cele mai vechi timpuri, matematicianul italian, călugărul Leonardo din Pisa (mai bine cunoscut sub numele de Fibonacci), s-a ocupat de nevoile practice ale comerțului. Călugărul s-a confruntat cu sarcina de a determina care este cel mai mic număr de greutăți care poate fi folosit pentru cântărirea mărfurilor? În scrierile sale, Fibonacci demonstrează că un astfel de sistem de greutăți este optim: Aceasta este una dintre primele situații în care oamenii au avut de-a face cu o progresie geometrică, despre care probabil ați auzit și despre care aveți cel puțin concept general. Odată ce ați înțeles pe deplin subiectul, gândiți-vă de ce un astfel de sistem este optim?

În prezent, în practica de viață, o progresie geometrică se manifestă la investirea fondurilor într-o bancă, când se percepe suma dobânzii la suma acumulată în cont pentru perioada anterioară. Cu alte cuvinte, dacă puneți bani pe un depozit la termen într-o bancă de economii, atunci într-un an depozitul va crește cu de la suma inițială, adică. noua sumă va fi egală cu contribuția înmulțită cu. Într-un alt an, această sumă va crește cu, i.е. suma obţinută în acel moment se înmulţeşte din nou cu şi aşa mai departe. Situație similară descrise în sarcinile pentru calcularea așa-numitului interes compus- procentul se ia de fiecare data din suma care se afla in cont, tinand cont de dobanda anterioara. Despre aceste sarcini vom vorbi puțin mai târziu.

Există multe mai multe cazuri simple în care se aplică o progresie geometrică. De exemplu, răspândirea gripei: o persoană a infectat o persoană, ea, la rândul său, a infectat o altă persoană și, astfel, al doilea val de infecție - o persoană, și ei, la rândul lor, au infectat o alta ... și așa mai departe. .

Apropo, o piramidă financiară, același MMM, este un calcul simplu și uscat în funcție de proprietățile unei progresii geometrice. Interesant? Să ne dăm seama.

Progresie geometrică.

Să presupunem că avem o secvență de numere:

Veți răspunde imediat că este ușor și numele unei astfel de secvențe este o progresie aritmetică cu diferența dintre membrii ei. Ce zici de asa ceva:

Dacă scadeți numărul anterior din următorul număr, atunci veți vedea că de fiecare dată când obțineți o nouă diferență (și așa mai departe), dar succesiunea există cu siguranță și este ușor de observat - fiecare număr următor este de ori mai mare decât cel anterior !

Acest tip de secvență se numește progresie geometrică si este marcat.

O progresie geometrică ( ) este o succesiune numerică, al cărei prim termen este diferit de zero, iar fiecare termen, începând cu al doilea, este egal cu cel precedent, înmulțit cu același număr. Acest număr se numește numitorul unei progresii geometrice.

Constrângerile conform cărora primul termen ( ) nu este egal și nu sunt aleatorii. Să spunem că nu există, iar primul termen este încă egal, iar q este, hmm .. să, atunci rezultă:

De acord că aceasta nu este o progresie.

După cum înțelegeți, vom obține aceleași rezultate dacă este orice număr, altul decât zero, dar. În aceste cazuri, pur și simplu nu va exista o progresie, deoarece întreaga serie de numere va fi fie toate zerourile, fie un număr și toate restul zerouri.

Acum să vorbim mai detaliat despre numitorul unei progresii geometrice, adică despre.

Să repetăm: - acesta este un număr, de câte ori se schimbă fiecare termen ulterior progresie geometrică.

Ce crezi că ar putea fi? Așa este, pozitiv și negativ, dar nu zero (am vorbit despre asta puțin mai sus).

Să spunem că avem un pozitiv. Să fie în cazul nostru, a. Care este al doilea termen și? Puteți răspunde cu ușurință:

În regulă. În consecință, dacă, atunci toți membrii următori ai progresiei au același semn - ei pozitiv.

Dacă este negativ? De exemplu, a. Care este al doilea termen și?

Este o cu totul altă poveste

Încercați să numărați termenul acestei progresii. Cât ai primit? Eu am. Astfel, dacă, atunci alternează semnele termenilor progresiei geometrice. Adică, dacă vedeți o progresie cu semne alternante în membrii săi, atunci numitorul ei este negativ. Aceste cunoștințe vă pot ajuta să vă testați atunci când rezolvați probleme pe această temă.

Acum să exersăm puțin: încercați să determinați care secvențe numerice sunt o progresie geometrică și care sunt una aritmetică:

Am înţeles? Comparați răspunsurile noastre:

• Progresie geometrică - 3, 6.
• Progresie aritmetică - 2, 4.
• Nu este nici o progresie aritmetică, nici geometrică - 1, 5, 7.

Să revenim la ultima noastră progresie și să încercăm să-i găsim termenul în același mod ca în aritmetică. După cum probabil ați ghicit, există două moduri de a-l găsi.

Înmulțim succesiv fiecare termen cu.

Deci, al-lea membru al progresiei geometrice descrise este egal cu.

După cum ghiciți deja, acum voi înșivă veți obține o formulă care vă va ajuta să găsiți orice membru al unei progresii geometrice. Sau l-ai scos deja pentru tine, descriind cum să-l găsești pe al treilea membru în etape? Dacă da, atunci verificați corectitudinea raționamentului dvs.

Să ilustrăm acest lucru prin exemplul găsirii celui de-al-lea membru al acestei progresii:

Cu alte cuvinte:

Găsiți-vă valoarea unui membru al unei progresii geometrice date.

S-a întâmplat? Comparați răspunsurile noastre:

Atenție că ați obținut exact același număr ca în metoda anterioară, când am înmulțit succesiv cu fiecare membru anterior al progresiei geometrice.
Să încercăm să „depersonalizăm” această formulă - o aducem într-o formă generală și obținem:

Formula derivată este valabilă pentru toate valorile - atât pozitive, cât și negative. Verificați-l singur calculând termenii unei progresii geometrice cu următoarele condiții: , a.

ai numarat? Să comparăm rezultatele:

Sunteți de acord că ar fi posibil să găsiți un membru al progresiei în același mod ca un membru, cu toate acestea, există posibilitatea de a calcula greșit. Și dacă am găsit deja al treilea termen al unei progresii geometrice, a, atunci ce ar putea fi mai ușor decât să folosim partea „trunchiată” a formulei.

O progresie geometrică infinit descrescătoare.

Mai recent, am vorbit despre ceea ce poate fi fie mai mare, fie mai mic decât zero, cu toate acestea, există valori speciale pentru care se numește progresia geometrică în scădere infinit.

De ce crezi că are un astfel de nume?
Pentru început, să scriem o progresie geometrică formată din membri.
Sa zicem, atunci:

Vedem că fiecare termen următor este mai mic decât cel anterior în timp, dar va fi vreun număr? Răspunzi imediat - „nu”. De aceea, infinit descrescătoare - scade, scade, dar nu devine niciodată zero.

Pentru a înțelege clar cum arată acest lucru vizual, să încercăm să desenăm un grafic al progresiei noastre. Deci, pentru cazul nostru, formula ia următoarea formă:

Pe grafice, suntem obișnuiți să construim dependență de:

Esența expresiei nu s-a schimbat: în prima intrare, am arătat dependența valorii unui membru de progresie geometrică de numărul său ordinal, iar în a doua intrare, am luat pur și simplu valoarea unui membru de progresie geometrică pentru, și numărul ordinal a fost desemnat nu ca, ci ca. Tot ce mai rămâne de făcut este să trasezi graficul.
Să vedem ce ai. Iată graficul pe care l-am primit:

Vedea? Funcția scade, tinde spre zero, dar nu o traversează niciodată, deci este în scădere infinit. Să ne marchem punctele pe grafic și, în același timp, ce înseamnă și coordonatele:

Încercați să descrieți schematic un grafic al unei progresii geometrice dacă primul său termen este, de asemenea, egal. Analizați care este diferența cu graficul nostru anterior?

Ai reușit? Iată graficul pe care l-am primit:

Acum că ați înțeles pe deplin elementele de bază ale subiectului progresiei geometrice: știți ce este, știți cum să-i găsiți termenul și, de asemenea, știți ce este o progresie geometrică infinit descrescătoare, să trecem la proprietatea sa principală.

proprietatea unei progresii geometrice.

Amintiți-vă de proprietatea membrilor progresie aritmetică? Da, da, cum să găsiți valoarea unui anumit număr al unei progresii atunci când există valori anterioare și ulterioare ale membrilor acestei progresii. Amintit? Acest:

Acum ne confruntăm cu exact aceeași întrebare pentru termenii unei progresii geometrice. Pentru a obține o astfel de formulă, să începem să desenăm și să raționăm. Vei vedea, este foarte ușor, iar dacă uiți, îl poți scoate singur.

Să luăm o altă progresie geometrică simplă, în care știm și. Cum să găsești? Cu o progresie aritmetică, acest lucru este ușor și simplu, dar cum este aici? De fapt, nici în geometrie nu este nimic complicat - trebuie doar să pictezi fiecare valoare dată nouă conform formulei.

Întrebați, și acum ce facem cu el? Da, foarte simplu. Pentru început, să descriem aceste formule în figură și să încercăm să facem diverse manipulări cu ele pentru a ajunge la o valoare.

Facem abstracție de numerele pe care ni le sunt date, ne vom concentra doar pe exprimarea lor printr-o formulă. Trebuie să găsim valoarea evidențiată portocale, cunoscând termenii adiacente acestuia. Să încercăm să efectuăm diverse acțiuni cu ei, în urma cărora putem obține.

Plus.
Să încercăm să adăugăm două expresii și obținem:

Din această expresie, după cum puteți vedea, nu vom putea exprima în niciun fel, prin urmare, vom încerca o altă opțiune - scăderea.

Scădere.

După cum puteți vedea, nici din aceasta nu putem exprima, prin urmare, vom încerca să înmulțim aceste expresii unele cu altele.

Multiplicare.

Acum priviți cu atenție ce avem, înmulțind termenii unei progresii geometrice date nouă în comparație cu ceea ce trebuie găsit:

Ghici despre ce vorbesc? În regulă, pentru a găsi trebuie să luăm Rădăcină pătrată din numerele de progresie geometrică adiacente numărului dorit înmulțite între ele:

Poftim. Tu însuți ai dedus proprietatea unei progresii geometrice. Încercați să scrieți această formulă vedere generala. S-a întâmplat?

Ați uitat starea când? Gândiți-vă de ce este important, de exemplu, încercați să îl calculați singur, la. Ce se întâmplă în acest caz? Așa e, prostie completă, deoarece formula arată așa:

În consecință, nu uitați de această limitare.

Acum să calculăm ce este

Răspuns corect - ! Dacă nu l-ai uitat pe al doilea sens posibil, atunci ești un om grozav și poți trece imediat la antrenament, iar dacă ai uitat, citește ce este analizat mai jos și fii atent la motivul pentru care este necesar să notezi ambele rădăcini în răspuns.

Să desenăm ambele progresii geometrice - una cu o valoare, iar cealaltă cu o valoare și să verificăm dacă ambele au dreptul de a exista:

Pentru a verifica dacă o astfel de progresie geometrică există sau nu, este necesar să vedem dacă este aceeași între toți membrii ei dați? Calculați q pentru primul și al doilea caz.

Vezi de ce trebuie să scriem două răspunsuri? Pentru că semnul termenului cerut depinde dacă este pozitiv sau negativ! Și din moment ce nu știm ce este, trebuie să scriem ambele răspunsuri cu un plus și un minus.

Acum că ați stăpânit punctele principale și ați dedus formula proprietății unei progresii geometrice, găsiți, știind și

Comparați răspunsurile dvs. cu cele corecte:

Ce credeți, dacă ni s-ar da nu valorile membrilor progresiei geometrice adiacente numărului dorit, ci echidistante de acesta. De exemplu, trebuie să găsim, și dat și. Putem folosi formula pe care am derivat-o în acest caz? Încercați să confirmați sau să infirmați această posibilitate în același mod, descriind în ce constă fiecare valoare, așa cum ați făcut atunci când ați derivat formula inițial.
Ce ai primit?

Acum uită-te din nou cu atenție.
si corespunzator:

De aici putem concluziona că formula funcționează nu numai cu vecinii cu termenii doriti ai unei progresii geometrice, dar si cu echidistant din ceea ce caută membrii.

Astfel, formula noastră originală devine:

Adică dacă în primul caz am spus asta, acum spunem că poate fi egal cu oricare numar natural, care este mai puțin. Principalul lucru este să fie același pentru ambele numere date.

Practica pentru exemple concrete doar fii extrem de atent!

1. , . Găsi.
2. , . Găsi.
3. , . Găsi.

Am decis? Sper că ați fost extrem de atenți și ați observat o mică captură.

Comparăm rezultatele.

În primele două cazuri, aplicăm cu calm formula de mai sus și obținem următoarele valori:

În al treilea caz, luând în considerare cu atenție numerele de serie ale numerelor care ni s-au dat, înțelegem că acestea nu sunt echidistante de numărul pe care îl căutăm: este numărul anterior, dar scos în poziție, deci nu este posibil. pentru a aplica formula.

Cum să o rezolv? De fapt, nu este atât de dificil pe cât pare! Să scriem împreună cu tine în ce constă fiecare număr dat nouă și numărul dorit.

Deci avem și. Să vedem ce putem face cu ei. Sugerez despartirea. Primim:

Înlocuim datele noastre în formula:

Următorul pas îl putem găsi - pentru aceasta trebuie să luăm rădăcina cubă a numărului rezultat.

Acum să ne uităm din nou la ce avem. Avem, dar trebuie să găsim și, la rândul său, este egal cu:

Am găsit toate datele necesare pentru calcul. Inlocuieste in formula:

Raspunsul nostru: .

Încercați să rezolvați singur o altă problemă:
Dat: ,
Găsi:

Cât ai primit? Eu am - .

După cum puteți vedea, de fapt, aveți nevoie amintiți-vă doar o singură formulă- . Tot restul le puteți retrage fără nicio dificultate în orice moment. Pentru a face acest lucru, pur și simplu scrieți cea mai simplă progresie geometrică pe o bucată de hârtie și notați cu ce, conform formulei de mai sus, este egal cu fiecare dintre numerele sale.

Suma termenilor unei progresii geometrice.

Acum luați în considerare formulele care ne permit să calculăm rapid suma termenilor unei progresii geometrice într-un interval dat:

Pentru a obține formula pentru suma termenilor unei progresii geometrice finite, înmulțim toate părțile ecuației de mai sus cu. Primim:

Privește atent: ce au în comun ultimele două formule? Așa este, membri comuni, de exemplu și așa mai departe, cu excepția primului și ultimului membru. Să încercăm să scădem prima ecuație din a doua ecuație. Ce ai primit?

Acum exprimați prin formula unui membru al unei progresii geometrice și înlocuiți expresia rezultată în ultima noastră formulă:

Grupați expresia. Ar trebui să iei:

Tot ce rămâne de făcut este să exprime:

În consecință, în acest caz.

Și dacă? Ce formulă funcționează atunci? Imaginați-vă o progresie geometrică la. Cum este ea? În mod corect, o serie de numere identice, respectiv, formula va arăta astfel:

Ca și în cazul progresiei aritmetice și geometrice, există multe legende. Una dintre ele este legenda lui Seth, creatorul șahului.

Mulți oameni știu că jocul de șah a fost inventat în India. Când regele hindus a întâlnit-o, a fost încântat de inteligența ei și de varietatea de poziții posibile în ea. Aflând că a fost inventat de unul dintre supușii săi, regele a decis să-l recompenseze personal. L-a chemat pe inventator la el și a ordonat să-i ceară tot ce vrea, promițându-i că-i va îndeplini și cea mai pricepută dorință.

Seta a cerut timp să se gândească, iar când a doua zi Seta a apărut în fața regelui, acesta l-a surprins pe rege cu modestia fără egal a cererii sale. A cerut un bob de grâu pentru primul pătrat al tablei de șah, grâu pentru al doilea, pentru al treilea, pentru al patrulea și așa mai departe.

Regele s-a supărat și l-a alungat pe Set, spunând că cererea slujitorului este nedemnă de generozitatea regală, dar a promis că slujitorul își va primi boabele pentru toate celulele consiliului.

Și acum întrebarea este: folosind formula pentru suma membrilor unei progresii geometrice, calculați câte boabe ar trebui să primească Seth?

Să începem să discutăm. Întrucât, conform condiției, Seth a cerut un bob de grâu pentru prima celulă a tablei de șah, pentru a doua, pentru a treia, pentru a patra etc., vedem că problema este despre o progresie geometrică. Ce este egal în acest caz?
Corect.

Total celule ale tablei de șah. Respectiv, . Avem toate datele, rămâne doar să înlocuim în formulă și să calculăm.

Pentru a reprezenta cel puțin aproximativ „scalele” unui număr dat, transformăm folosind proprietățile gradului:

Desigur, dacă vrei, poți să iei un calculator și să calculezi cu ce număr ajungi, iar dacă nu, va trebui să mă crezi pe cuvânt: valoarea finală a expresiei va fi.
Acesta este:

quintilioane cvadrilioane trilioane miliarde de milioane de mii.

Fuh) Dacă doriți să vă imaginați enormitatea acestui număr, atunci estimați ce dimensiune ar fi necesară pentru a găzdui întreaga cantitate de cereale.
Cu o înălțime de hambar de m și o lățime de m, lungimea sa ar trebui să se extindă la km, adică. de două ori mai departe decât de la Pământ la Soare.

Dacă regele ar fi puternic la matematică, i-ar putea oferi însuși savantului să numere boabele, pentru că pentru a număra un milion de boabe, ar avea nevoie de cel puțin o zi de numărare neobosită și, având în vedere că este necesar să numere chintilioanele, boabele ar trebui să fie numărate toată viața.

Și acum vom rezolva o problemă simplă pe suma termenilor unei progresii geometrice.
Vasia, elev în clasa a V-a, s-a îmbolnăvit de gripă, dar continuă să meargă la școală. În fiecare zi, Vasya infectează două persoane care, la rândul lor, infectează încă două persoane și așa mai departe. Doar o singură persoană în clasă. În câte zile toată clasa se va îmbolnăvi de gripă?

Deci, primul membru al unei progresii geometrice este Vasya, adică o persoană. Al-lea membru al progresiei geometrice, acestea sunt cele două persoane pe care le-a infectat în prima zi a sosirii. Suma totală a membrilor progresiei este egală cu numărul de elevi 5A. În consecință, vorbim despre o progresie în care:

Să substituim datele noastre în formula pentru suma termenilor unei progresii geometrice:

Întreaga clasă se va îmbolnăvi în câteva zile. Nu crezi în formule și numere? Încercați să prezentați singur „infecția” elevilor. S-a întâmplat? Vezi cum arată pentru mine:

Calculați singur în câte zile ar lua studenții gripa dacă toată lumea ar infecta o persoană și ar fi o persoană în clasă.

Ce valoare ai primit? S-a dovedit că toată lumea a început să se îmbolnăvească după o zi.

După cum puteți vedea, o astfel de sarcină și desenul pentru ea seamănă cu o piramidă, în care fiecare „aduce” ulterior oameni noi. Totuși, mai devreme sau mai târziu vine un moment în care acesta din urmă nu poate atrage pe nimeni. În cazul nostru, dacă ne imaginăm că clasa este izolată, persoana din închide lanțul (). Astfel, dacă o persoană ar fi implicată într-o piramidă financiară în care s-au dat bani dacă ai aduce alți doi participanți, atunci persoana respectivă (sau în cazul general) nu ar aduce pe nimeni, respectiv, ar pierde tot ce a investit în această înșelătorie financiară. .

Tot ceea ce s-a spus mai sus se referă la o progresie geometrică în scădere sau în creștere, dar, după cum vă amintiți, avem un tip special - o progresie geometrică în scădere infinit. Cum se calculează suma membrilor săi? Și de ce acest tip de progresie are anumite caracteristici? Să ne dăm seama împreună.

Deci, pentru început, să ne uităm din nou la această imagine a unei progresii geometrice în scădere infinită din exemplul nostru:

Și acum să ne uităm la formula pentru suma unei progresii geometrice, derivată puțin mai devreme:
sau

Pentru ce ne străduim? Așa este, graficul arată că tinde spre zero. Adică când, va fi aproape egală, respectiv, la calcularea expresiei, vom obține aproape. În acest sens, credem că atunci când se calculează suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare, această paranteză poate fi neglijată, deoarece va fi egală.

- formula este suma termenilor unei progresii geometrice infinit descrescătoare.

IMPORTANT! Folosim formula pentru suma termenilor unei progresii geometrice infinit descrescătoare numai dacă condiția afirmă în mod explicit că trebuie să găsim suma fără sfârşit numarul de membri.

Dacă este indicat un anumit număr n, atunci folosim formula pentru suma n termeni, chiar dacă sau.

Și acum să exersăm.

1. Aflați suma primilor termeni ai unei progresii geometrice cu și.
2. Aflați suma termenilor unei progresii geometrice infinit descrescătoare cu și.

Sper că ai fost foarte atent. Comparați răspunsurile noastre:

Acum știi totul despre progresia geometrică și este timpul să treci de la teorie la practică. Cele mai frecvente probleme exponențiale găsite la examen sunt problemele de interes compus. Despre ei vom vorbi.

Probleme pentru calcularea dobânzii compuse.

Trebuie să fi auzit de așa-numita formulă a dobânzii compuse. Înțelegi ce vrea să spună? Dacă nu, să ne dăm seama, pentru că, după ce ați realizat procesul în sine, veți înțelege imediat ce are de-a face progresia geometrică cu el.

Mergem cu toții la bancă și știm că există conditii diferite asupra depozitelor: acesta este atât un termen, cât și întreținere suplimentară și un procent cu doi căi diferite calculul său - simplu și complex.

DIN interes simplu totul este mai mult sau mai puțin clar: dobânda se percepe o singură dată la sfârșitul termenului de depozit. Adică, dacă vorbim despre punerea sub 100 de ruble pe an, atunci acestea vor fi creditate abia la sfârșitul anului. În consecință, până la sfârșitul depozitului, vom primi ruble.

Interes compus este o opţiune în care capitalizarea dobânzii, adică adăugarea acestora la suma depozitului și calculul ulterior al venitului nu din suma inițială, ci din suma acumulată a depozitului. Capitalizarea nu are loc constant, ci cu o oarecare periodicitate. De regulă, astfel de perioade sunt egale și cel mai adesea băncile folosesc o lună, un trimestru sau un an.

Să presupunem că punem toate aceleași ruble pe an, dar cu o capitalizare lunară a depozitului. Ce primim?

Înțelegi totul aici? Dacă nu, hai să o luăm pas cu pas.

Am adus ruble la bancă. Până la sfârșitul lunii, ar trebui să avem o sumă în cont constând din rublele noastre plus dobânda pentru ele, adică:

Sunt de acord?

O putem scoate din paranteză și apoi obținem:

De acord, această formulă este deja mai asemănătoare cu cea pe care am scris-o la început. Rămâne să ne ocupăm de procente

În starea problemei, ni se spune despre anual. După cum știți, nu înmulțim cu - convertim procentele în zecimale, acesta este:

Dreapta? Acum te întrebi, de unde a venit numărul? Foarte simplu!
Repet: starea problemei spune despre ANUAL dobânda acumulată LUNAR. După cum știți, într-un an de luni, respectiv, banca ne va percepe o parte din dobânda anuală pe lună:

Realizat? Acum încercați să scrieți cum ar arăta această parte a formulei dacă aș spune că dobânda se calculează zilnic.
Ai reușit? Să comparăm rezultatele:

Bine făcut! Să revenim la sarcina noastră: notați cât va fi creditat în contul nostru pentru a doua lună, ținând cont că se percepe dobândă la suma acumulată a depozitului.
Iată ce mi s-a întâmplat:

Sau, cu alte cuvinte:

Cred că ați observat deja un model și ați văzut o progresie geometrică în toate acestea. Scrieți cu ce va fi membrul său, sau, cu alte cuvinte, câți bani vom primi la sfârșitul lunii.
Făcut? Control!

După cum puteți vedea, dacă puneți bani într-o bancă timp de un an la o dobândă simplă, atunci veți primi ruble, iar dacă le puneți la o rată compusă, veți primi ruble. Beneficiul este mic, dar acest lucru se întâmplă doar în timpul celui de-al treilea an, dar pentru o perioadă mai lungă, capitalizarea este mult mai profitabilă:

Luați în considerare un alt tip de probleme ale dobânzii compuse. După ce ți-ai dat seama, va fi elementar pentru tine. Deci sarcina este:

Zvezda a început să investească în industrie în 2000 cu un capital în dolari. În fiecare an, din 2001, a realizat un profit egal cu capitalul din anul precedent. Cât profit va primi compania Zvezda la sfârșitul anului 2003, dacă profitul nu a fost retras din circulație?

Capitalul companiei Zvezda în 2000.
- capitalul companiei Zvezda în 2001.
- capitalul companiei Zvezda în 2002.
- capitalul companiei Zvezda în 2003.

Sau putem scrie pe scurt:

Pentru cazul nostru:

2000, 2001, 2002 și 2003.

Respectiv:
ruble
Rețineți că în această problemă nu avem o împărțire nici prin sau după, deoarece procentul este dat ANUAL și se calculează ANUAL. Adică, atunci când citiți problema pentru dobânda compusă, acordați atenție la ce procent este dat și în ce perioadă este percepută și abia apoi treceți la calcule.
Acum știi totul despre progresia geometrică.

A face exerciţii fizice.

1. Găsiți un termen al unei progresii geometrice dacă se știe că și
2. Aflați suma primilor termeni ai unei progresii geometrice, dacă se știe că și
3. MDM Capital a început să investească în industrie în 2003 cu un capital în dolari. În fiecare an, din 2004, ea a realizat un profit egal cu capitalul din anul precedent. Compania „MSK Cash Flows” a început să investească în industrie în 2005 în valoare de 10.000 USD, începând să facă profit în 2006 în valoare de. Cu câți dolari îl depășește capitalul unei companii pe cel al alteia la sfârșitul anului 2007, dacă profiturile nu au fost retrase din circulație?

Raspunsuri:

1. Deoarece condiția problemei nu spune că progresia este infinită și este necesară găsirea sumei unui anumit număr de membri ai săi, calculul se efectuează conform formulei:
2. 
   Compania „MDM Capital”:

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
   - crește cu 100%, adică de 2 ori.
   Respectiv:
   ruble
   Fluxuri de numerar MSK:

   2005, 2006, 2007.
   - crește cu, adică ori.
   Respectiv:
   ruble
   ruble

Să rezumam.

1) O progresie geometrică ( ) este o succesiune numerică, al cărei prim termen este diferit de zero, iar fiecare termen, începând de la al doilea, este egal cu cel precedent, înmulțit cu același număr. Acest număr se numește numitorul unei progresii geometrice.

2) Ecuația membrilor unei progresii geometrice -.

3) poate lua orice valoare, cu excepția și.

• dacă, atunci toți membrii următori ai progresiei au același semn - ei pozitiv;
• dacă, atunci toți membrii următori ai progresiei semne alternative;
• când - progresia se numește infinit descrescătoare.

4) , at - proprietatea unei progresii geometrice (termeni învecinați)

sau
, la (termeni echidistanti)

Când îl găsiți, nu uitați asta ar trebui să existe două răspunsuri..

De exemplu,

5) Suma membrilor unei progresii geometrice se calculează prin formula:
sau

Dacă progresia este în scădere infinită, atunci:
sau

IMPORTANT! Folosim formula pentru suma termenilor unei progresii geometrice infinit descrescătoare numai dacă condiția afirmă în mod explicit că trebuie să găsim suma unui număr infinit de termeni.

6) Sarcinile pentru dobânda compusă se calculează și prin formula celui de-al-lea membru al unei progresii geometrice, cu condiția ca bani lichizi neretras din circulatie:

PROGRESIA GEOMETRICA. SCURT DESPRE PRINCIPALA

Progresie geometrică( ) este o succesiune numerică, al cărei prim termen este diferit de zero, iar fiecare termen, începând cu al doilea, este egal cu cel precedent, înmulțit cu același număr. Acest număr este numit numitorul unei progresii geometrice.

Numitorul unei progresii geometrice poate lua orice valoare cu excepția și.

• Dacă, atunci toți membrii următori ai progresiei au același semn - sunt pozitivi;
• dacă, atunci toți membrii următori ai progresiei semnează alternativ;
• când - progresia se numește infinit descrescătoare.

Ecuația membrilor unei progresii geometrice - .

Suma termenilor unei progresii geometrice calculat prin formula:
sau

Lecție și prezentare pe tema: „Secvențe de numere. Progresie geometrică”

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, feedback-ul, sugestiile voastre! Toate materialele sunt verificate de un program antivirus.

Mijloace și simulatoare didactice în magazinul online „Integral” pentru clasa a 9-a
Puteri și rădăcini Funcții și grafice

Băieți, astăzi ne vom familiariza cu un alt tip de progresie.
Tema lecției de astăzi este progresia geometrică.

Progresie geometrică

Definiție. O succesiune numerică în care fiecare termen, începând de la al doilea, este egal cu produsul celui precedent și un număr fix, se numește progresie geometrică.
Să definim secvența noastră recursiv: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
unde b și q sunt anumite numere date. Numărul q se numește numitorul progresiei.

Exemplu. 1,2,4,8,16… Progresie geometrică, în care primul membru este egal cu unu și $q=2$.

Exemplu. 8,8,8,8... O progresie geometrică al cărei prim termen este opt,
și $q=1$.

Exemplu. 3,-3,3,-3,3... O progresie geometrică al cărei prim termen este trei,
și $q=-1$.

Progresia geometrică are proprietățile monotonității.
Dacă $b_(1)>0$, $q>1$,
atunci secvența crește.
Dacă $b_(1)>0$, $0 Secvența este de obicei notă ca: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.

La fel ca într-o progresie aritmetică, dacă numărul de elemente dintr-o progresie geometrică este finit, atunci progresia se numește progresie geometrică finită.

$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
Rețineți că dacă șirul este o progresie geometrică, atunci șirul de termeni pătrați este, de asemenea, o progresie geometrică. A doua secvență are primul termen $b_(1)^2$ și numitorul $q^2$.

Formula celui de-al n-lea membru al unei progresii geometrice

Progresia geometrică poate fi specificată și sub formă analitică. Să vedem cum se face:
$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
Putem vedea cu ușurință modelul: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
Formula noastră se numește „formula celui de-al n-lea membru al unei progresii geometrice”.

Să revenim la exemplele noastre.

Exemplu. 1,2,4,8,16... O progresie geometrică al cărei prim termen este egal cu unu,
și $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.

Exemplu. 16,8,4,2,1,1/2… O progresie geometrică al cărei prim termen este șaisprezece și $q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.

Exemplu. 8,8,8,8... O progresie geometrică în care primul termen este opt și $q=1$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.

Exemplu. 3,-3,3,-3,3... O progresie geometrică al cărei prim termen este trei și $q=-1$.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.

Exemplu. Având în vedere o progresie geometrică $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $.
a) Se știe că $b_(1)=6, q=3$. Găsiți $b_(5)$.
b) Se știe că $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. Găsiți n.
c) Se știe că $q=-2, b_(6)=96$. Găsiți $b_(1)$.
d) Se știe că $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. Găsiți q.

Soluţie.
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
b) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$ deoarece $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.

Exemplu. Diferența dintre al șaptelea și al cincilea membru al progresiei geometrice este 192, suma celui de-al cincilea și al șaselea membru al progresiei este 192. Aflați al zecelea membru al acestei progresii.

Soluţie.
Știm că: $b_(7)-b_(5)=192$ și $b_(5)+b_(6)=192$.
Mai știm: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
Apoi:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Avem un sistem de ecuații:
$\begin(cases)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(cases)$.
Echivalând, ecuațiile noastre obțin:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Avem două soluții q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
Înlocuiți succesiv în a doua ecuație:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ nicio soluție.
Am obținut că: $b_(1)=4, q=2$.
Să găsim al zecelea termen: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.

Suma unei progresii geometrice finite

Să presupunem că avem o progresie geometrică finită. Să calculăm, ca și pentru o progresie aritmetică, suma membrilor săi.

Să fie dată o progresie geometrică finită: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
Să introducem notația pentru suma membrilor săi: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
În cazul în care $q=1$. Toți membrii progresiei geometrice sunt egali cu primul membru, atunci este evident că $S_(n)=n*b_(1)$.
Luați în considerare acum cazul $q≠1$.
Înmulțiți suma de mai sus cu q.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Notă:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.

$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2) )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

Am obținut formula pentru suma unei progresii geometrice finite.

Exemplu.
Aflați suma primilor șapte termeni ai unei progresii geometrice al cărei prim termen este 4 și numitorul este 3.

Soluţie.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.

Exemplu.
Aflați al cincilea membru al progresiei geometrice, care este cunoscut: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.

Soluţie.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.

$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
341$ q=1364$.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.

Proprietatea caracteristică a unei progresii geometrice

Băieți, având în vedere o progresie geometrică. Să luăm în considerare cei trei membri consecutivi ai săi: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.
Noi stim aia:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
Apoi:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Dacă progresia este finită, atunci această egalitate este valabilă pentru toți termenii, cu excepția primului și ultimului.
Dacă nu se știe dinainte ce fel de succesiune are șirul, dar se știe că: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Apoi putem spune cu siguranță că aceasta este o progresie geometrică.

O secvență de numere este o progresie geometrică numai atunci când pătratul fiecăruia dintre termenii săi este egal cu produsul celor doi termeni vecini ai progresiei. Nu uitați că pentru o progresie finită această condiție nu este îndeplinită pentru primul și ultimul termen.

Să ne uităm la această identitate: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ se numește medie numere geometrice a și b.

Modulul oricărui membru al unei progresii geometrice este egal cu media geometrică a celor două elemente adiacente acestuia.

Exemplu.
Găsiți x astfel încât $x+2; 2x+2; 3x+3$ au fost trei membri consecutivi ai unei progresii geometrice.

Soluţie.
Să folosim proprietatea caracteristică:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ și $x_(2)=-1$.
Înlocuiți secvențial în expresia originală, soluțiile noastre:
Cu $x=2$, am obținut succesiunea: 4;6;9 este o progresie geometrică cu $q=1.5$.
Cu $x=-1$, avem succesiunea: 1;0;0.
Răspuns: $x=2.$

Sarcini pentru soluție independentă

1. Aflați al optulea prim membru al progresiei geometrice 16; -8; 4; -2 ....
2. Aflați al zecelea membru al progresiei geometrice 11,22,44….
3. Se știe că $b_(1)=5, q=3$. Găsiți $b_(7)$.
4. Se știe că $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$. Găsiți n.
5. Aflați suma primilor 11 membri ai progresiei geometrice 3;12;48….
6. Găsiți x astfel încât $3x+4; 2x+4; x+5$ sunt trei membri consecutivi ai unei progresii geometrice.

Să luăm în considerare o serie.

7 28 112 448 1792...

Este absolut clar că valoarea oricăruia dintre elementele sale este exact de patru ori mai mare decât cea precedentă. Deci această serie este o progresie.

O progresie geometrică este o succesiune infinită de numere caracteristica principală care este acela următorul număr obtinut din cel precedent prin inmultirea cu un anumit numar. Aceasta este exprimată prin următoarea formulă.

a z +1 =a z q, unde z este numărul elementului selectat.

În consecință, z ∈ N.

Perioada în care o progresie geometrică este studiată la școală este clasa a 9-a. Exemplele vă vor ajuta să înțelegeți conceptul:

0.25 0.125 0.0625...

Pe baza acestei formule, numitorul progresiei poate fi găsit după cum urmează:

Nici q, nici b z nu pot fi zero. De asemenea, fiecare dintre elementele progresiei nu trebuie să fie egal cu zero.

În consecință, pentru a afla următorul număr din serie, trebuie să îl înmulțiți pe ultimul cu q.

Pentru a specifica această progresie, trebuie să specificați primul ei element și numitorul. După aceea, este posibil să găsiți oricare dintre termenii următori și suma lor.

Soiuri

În funcție de q și a 1, această progresie este împărțită în mai multe tipuri:

• Dacă atât a 1 cât și q sunt mai mari decât unu, atunci o astfel de secvență este o progresie geometrică care crește cu fiecare element următor. Un exemplu în acest sens este prezentat mai jos.

Exemplu: a 1 =3, q=2 - ambii parametri sunt mai mari decât unul.

Apoi șirul numeric poate fi scris astfel:

3 6 12 24 48 ...

• Dacă |q| mai puțin de unu, adică înmulțirea cu ea este echivalentă cu împărțirea, atunci o progresie cu condiții similare este o progresie geometrică descrescătoare. Un exemplu în acest sens este prezentat mai jos.

Exemplu: a 1 =6, q=1/3 - a 1 este mai mare decât unu, q este mai mic.

Apoi, succesiunea numerică poate fi scrisă după cum urmează:

6 2 2/3 ... - orice element este de 3 ori mai mare decât elementul care îl urmează.

• Variabila semnului. Dacă q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Exemplu: a 1 = -3 , q = -2 - ambii parametri sunt mai mici decât zero.

Apoi secvența poate fi scrisă astfel:

3, 6, -12, 24,...

Formule

Pentru utilizarea convenabilă a progresiilor geometrice, există multe formule:

• Formula membrului z. Vă permite să calculați elementul sub un anumit număr fără a calcula numerele anterioare.

Exemplu:q = 3, A 1 = 4. Este necesar să se calculeze al patrulea element al progresiei.

Soluţie:A 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Suma primelor elemente al căror număr este z. Vă permite să calculați suma tuturor elementelor unei secvențe până laa zinclusiv.

Din moment ce (1-q) este la numitor, atunci (1 - q)≠ 0, prin urmare q nu este egal cu 1.

Notă: dacă q=1, atunci progresia ar fi o serie de un număr care se repetă la infinit.

Suma unei progresii geometrice, exemple:A 1 = 2, q= -2. Calculați S 5 .

Soluţie:S 5 = 22 - calcul prin formula.

• Suma dacă |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Exemplu:A 1 = 2 , q= 0,5. Găsiți suma.

Soluţie:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Unele proprietăți:

• proprietate caracteristică. Dacă apare următoarea condiție efectuat pentru oricez, atunci seria de numere dată este o progresie geometrică:

a z 2 = a z -1 · Az+1

• De asemenea, pătratul oricărui număr al unei progresii geometrice se găsește prin adăugarea pătratelor oricăror alte două numere dintr-o serie dată, dacă acestea sunt echidistante de acest element.

a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , Undeteste distanța dintre aceste numere.

• Elementediferă în qo singura data.
• Logaritmii elementelor de progresie formează și ele o progresie, dar deja aritmetică, adică fiecare dintre ele este mai mare decât precedentul cu un anumit număr.

Exemple de probleme clasice

Pentru a înțelege mai bine ce este o progresie geometrică, exemplele cu o soluție pentru clasa a 9-a pot ajuta.

• Termeni:A 1 = 3, A 3 = 48. Găsițiq.

Soluție: fiecare element următor este mai mare decât cel anterior înq o singura data.Este necesară exprimarea unor elemente prin altele folosind un numitor.

Prin urmare,A 3 = q 2 · A 1

La înlocuireq= 4

• Termeni:A 2 = 6, A 3 = 12. Calculați S 6 .

Soluţie:Pentru a face acest lucru, este suficient să găsiți q, primul element și să îl înlocuiți în formulă.

A 3 = q· A 2 , Prin urmare,q= 2

a 2 = q a 1,de aceea a 1 = 3

S6 = 189

• · A 1 = 10, q= -2. Găsiți al patrulea element al progresiei.

Soluție: pentru a face acest lucru, este suficient să exprimați al patrulea element prin primul și prin numitor.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Exemplu de aplicare:

• Clientul băncii a făcut un depozit în valoare de 10.000 de ruble, în condițiile căreia în fiecare an clientul va adăuga 6% din aceasta la suma principală. Câți bani vor fi în cont după 4 ani?

Soluție: Suma inițială este de 10 mii de ruble. Deci, la un an de la investiție, contul va avea o sumă egală cu 10.000 + 10.000 · 0,06 = 10000 1,06

În consecință, suma din cont după un alt an va fi exprimată după cum urmează:

(10000 1,06) 0,06 + 10000 1,06 = 1,06 1,06 10000

Adică în fiecare an suma crește de 1,06 ori. Aceasta înseamnă că pentru a găsi suma de fonduri în cont după 4 ani, este suficient să găsiți al patrulea element al progresiei, care este dat de primul element egal cu 10 mii, iar numitorul egal cu 1,06.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625

Exemple de sarcini pentru calcularea sumei:

În diverse probleme se folosește o progresie geometrică. Un exemplu pentru găsirea sumei poate fi dat după cum urmează:

A 1 = 4, q= 2, calculeazăS5.

Soluție: toate datele necesare pentru calcul sunt cunoscute, trebuie doar să le înlocuiți în formulă.

S 5 = 124

• A 2 = 6, A 3 = 18. Calculați suma primelor șase elemente.

Soluţie:

Geom. progresie, fiecare element următor este de q ori mai mare decât cel anterior, adică pentru a calcula suma, trebuie să cunoașteți elementulA 1 și numitorulq.

A 2 · q = A 3

q = 3

În mod similar, trebuie să găsimA 1 , știindA 2 șiq.

A 1 · q = A 2

a 1 =2

S 6 = 728.

Progresia geometrică, împreună cu aritmetica, este o serie de numere importantă care este studiată în cursul școlar de algebră din clasa a 9-a. În acest articol, vom lua în considerare numitorul unei progresii geometrice și modul în care valoarea acesteia îi afectează proprietățile.

Definiţia geometric progression

Pentru început, dăm definiția acestei serii de numere. O progresie geometrică este o serie de numere raționale care se formează prin înmulțirea succesivă a primului său element cu un număr constant numit numitor.

De exemplu, numerele din seria 3, 6, 12, 24, ... sunt o progresie geometrică, deoarece dacă înmulțim 3 (primul element) cu 2, obținem 6. Dacă înmulțim 6 cu 2, obținem 12 și așa mai departe.

Membrii secvenței luate în considerare sunt de obicei notați cu simbolul ai, unde i este un număr întreg care indică numărul elementului din serie.

Definiția de mai sus a unei progresii poate fi scrisă în limbajul matematicii astfel: an = bn-1 * a1, unde b este numitorul. Este ușor să verificăm această formulă: dacă n = 1, atunci b1-1 = 1 și obținem a1 = a1. Dacă n = 2, atunci an = b * a1 și ajungem din nou la definiția seriei de numere luate în considerare. Raționament similar poate fi continuat pentru valori mari ale lui n.

Numitorul unei progresii geometrice

Numărul b determină complet ce caracter va avea întreaga serie de numere. Numitorul b poate fi pozitiv, negativ sau mai mare sau mai mic decât unu. Toate opțiunile de mai sus conduc la secvențe diferite:

• b > 1. Există o serie crescândă de numere raţionale. De exemplu, 1, 2, 4, 8, ... Dacă elementul a1 este negativ, atunci întreaga secvență va crește doar modulo, dar va scădea ținând cont de semnul numerelor.
• b = 1. Adesea un astfel de caz nu se numește progresie, deoarece există o serie obișnuită de numere raționale identice. De exemplu, -4, -4, -4.

Formula pentru suma

Înainte de a trece la examinarea problemelor specifice folosind numitorul tipului de progresie luat în considerare, ar trebui dată o formulă importantă pentru suma primelor sale n elemente. Formula este: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Puteți obține această expresie singur dacă luați în considerare o secvență recursivă de membri ai progresiei. De asemenea, rețineți că în formula de mai sus este suficient să cunoașteți doar primul element și numitorul pentru a găsi suma unui număr arbitrar de termeni.

Secvență infinit descrescătoare

Mai sus a fost o explicație a ceea ce este. Acum, cunoscând formula pentru Sn, să o aplicăm acestei serii de numere. Deoarece orice număr al cărui modul nu depășește 1 tinde spre zero atunci când este ridicat la puteri mari, adică b∞ => 0 dacă -1

Deoarece diferența (1 - b) va fi întotdeauna pozitivă, indiferent de valoarea numitorului, semnul sumei unei progresii geometrice infinit descrescătoare S∞ este determinat în mod unic de semnul primului său element a1.

Acum vom lua în considerare câteva probleme, în care vom arăta cum să aplicăm cunoștințele dobândite unor numere specifice.

Sarcina numărul 1. Calculul elementelor necunoscute ale progresiei și ale sumei

Având în vedere o progresie geometrică, numitorul progresiei este 2, iar primul său element este 3. Care va fi al 7-lea și al 10-lea termen și care este suma celor șapte elemente inițiale?

Starea problemei este destul de simplă și implică utilizarea directă a formulelor de mai sus. Deci, pentru a calcula elementul cu numărul n, folosim expresia an = bn-1 * a1. Pentru al 7-lea element avem: a7 = b6 * a1, înlocuind datele cunoscute, obținem: a7 = 26 * 3 = 192. Facem același lucru pentru al 10-lea membru: a10 = 29 * 3 = 1536.

Folosim formula binecunoscută pentru sumă și determinăm această valoare pentru primele 7 elemente ale seriei. Avem: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Sarcina numărul 2. Determinarea sumei elementelor arbitrare ale progresiei

Fie -2 numitorul progresiei exponențiale bn-1 * 4, unde n este un număr întreg. Este necesar să se determine suma de la al 5-lea la al 10-lea element din această serie, inclusiv.

Problema pusă nu poate fi rezolvată direct folosind formule cunoscute. Puteți rezolva cu 2 diverse metode. De dragul completității, le prezentăm pe ambele.

Metoda 1. Ideea sa este simplă: trebuie să calculați cele două sume corespunzătoare ale primilor termeni, apoi să scădeți pe celălalt dintr-unul. Calculați suma mai mică: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Acum calculăm suma mare: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Rețineți că în ultima expresie au fost însumați doar 4 termeni, deoarece al 5-lea este deja inclus în suma care trebuie calculată în funcție de starea problemei. În cele din urmă, luăm diferența: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

Metoda 2. Înainte de a înlocui numere și de a număra, puteți obține o formulă pentru suma dintre termenii m și n ai seriei în cauză. Acționăm exact la fel ca în metoda 1, doar că lucrăm mai întâi cu reprezentarea simbolică a sumei. Avem: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Puteți înlocui numere cunoscute în expresia rezultată și puteți calcula rezultatul final: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Sarcina numărul 3. Care este numitorul?

Fie a1 = 2, găsiți numitorul progresiei geometrice, cu condiția ca suma sa infinită să fie 3 și se știe că aceasta este o serie descrescătoare de numere.

În funcție de starea problemei, nu este greu de ghicit ce formulă ar trebui utilizată pentru a o rezolva. Desigur, pentru suma unei progresii infinit descrescătoare. Avem: S∞ = a1 / (1 - b). De unde exprimăm numitorul: b = 1 - a1 / S∞. Rămâne să înlocuiți valorile cunoscute și să obțineți numărul necesar: b \u003d 1 - 2 / 3 \u003d -1 / 3 sau -0,333 (3). Putem verifica acest rezultat calitativ dacă ne amintim că pentru acest tip de secvență, modulul b nu trebuie să depășească 1. După cum puteți vedea, |-1 / 3|

Sarcina numărul 4. Restaurarea unei serii de numere

Să fie date 2 elemente dintr-o serie de numere, de exemplu, al 5-lea este egal cu 30 și al 10-lea este egal cu 60. Este necesar să restabilim întreaga serie din aceste date, știind că satisface proprietățile unei progresii geometrice.

Pentru a rezolva problema, trebuie mai întâi să scrieți expresia corespunzătoare pentru fiecare membru cunoscut. Avem: a5 = b4 * a1 și a10 = b9 * a1. Acum împărțim a doua expresie la prima, obținem: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. De aici determinăm numitorul luând rădăcina de gradul cinci a raportului membrilor cunoscut din condiția problemei, b = 1,148698. Înlocuim numărul rezultat într-una dintre expresiile unui element cunoscut, obținem: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.

Astfel, am găsit care este numitorul progresiei bn, iar progresia geometrică bn-1 * 17,2304966 = an, unde b = 1,148698.

Unde se folosesc progresiile geometrice?

Dacă nu ar exista o aplicare a acestei serii numerice în practică, atunci studiul ei s-ar reduce la un interes pur teoretic. Dar există o astfel de aplicație.

Cele mai cunoscute 3 exemple sunt enumerate mai jos:

• Paradoxul lui Zenon, în care abilul Ahile nu poate ajunge din urmă broască țestoasă lentă, se rezolvă folosind conceptul de succesiune infinit descrescătoare de numere.
• Dacă boabele de grâu sunt plasate pe fiecare celulă a tablei de șah, astfel încât 1 bob să fie plasat pe prima celulă, 2 - pe a 2-a, 3 - pe a 3-a și așa mai departe, atunci vor fi necesare 18446744073709551615 boabe pentru a umple toate celulele tabla!
• În jocul „Tower of Hanoi”, pentru a rearanja discurile de la o tijă la alta, este necesar să efectuați 2n - 1 operații, adică numărul lor crește exponențial de la numărul de discuri n utilizate.

Matematica este ceea ceoamenii controlează natura și pe ei înșiși.

Matematicianul sovietic, academicianul A.N. Kolmogorov

Progresie geometrică.

Alături de sarcinile pentru progresii aritmetice, sarcinile legate de conceptul de progresie geometrică sunt, de asemenea, frecvente la testele de admitere la matematică. Pentru a rezolva cu succes astfel de probleme, trebuie să cunoașteți proprietățile unei progresii geometrice și să aveți bune abilități în utilizarea lor.

Acest articol este dedicat prezentării principalelor proprietăți ale unei progresii geometrice. De asemenea, oferă exemple de rezolvare a unor probleme tipice, împrumutat din sarcinile probelor de admitere la matematică.

Să notăm în prealabil principalele proprietăți ale unei progresii geometrice și să amintim cele mai importante formule și enunțuri, asociat cu acest concept.

Definiție. O succesiune numerică se numește progresie geometrică dacă fiecare dintre numerele sale, începând de la al doilea, este egal cu precedentul, înmulțit cu același număr. Numărul se numește numitorul unei progresii geometrice.

Pentru o progresie geometricăformulele sunt valabile

, (1)

Unde . Formula (1) se numește formula termenului general al unei progresii geometrice, iar formula (2) este proprietatea principală a unei progresii geometrice: fiecare membru al progresiei coincide cu media geometrică a membrilor săi învecinați și .

Notă, că tocmai din cauza acestei proprietăţi progresia în cauză se numeşte „geometrică”.

Formulele (1) și (2) de mai sus sunt rezumate după cum urmează:

, (3)

Pentru a calcula suma primul membrii unei progresii geometricese aplica formula

Dacă desemnăm

Unde . Deoarece , formula (6) este o generalizare a formulei (5).

În cazul când și progresie geometricăeste în scădere infinită. Pentru a calcula sumadintre toți membrii unei progresii geometrice infinit descrescătoare, se utilizează formula

. (7)

De exemplu , folosind formula (7), se poate arăta, ce

Unde . Aceste egalități se obțin din formula (7) cu condiția ca , (prima egalitate) și , (a doua egalitate).

Teorema. Daca atunci

Dovada. Daca atunci ,

Teorema a fost demonstrată.

Să trecem la luarea în considerare a exemplelor de rezolvare a problemelor pe tema „Progresiune geometrică”.

Exemplul 1 Având în vedere: , și . Găsi .

Soluţie. Dacă se aplică formula (5), atunci

Răspuns: .

Exemplul 2 Lasă și . Găsi .

Soluţie. Deoarece și , folosim formulele (5), (6) și obținem sistemul de ecuații

Dacă a doua ecuație a sistemului (9) este împărțită la prima, apoi sau . Din aceasta rezultă . Să luăm în considerare două cazuri.

1. Dacă , atunci din prima ecuație a sistemului (9) avem.

2. Dacă , atunci .

Exemplul 3 Să , și . Găsi .

Soluţie. Din formula (2) rezultă că sau . De când , atunci sau .

După condiție. Cu toate acestea , prin urmare . Pentru că și, atunci aici avem un sistem de ecuații

Dacă a doua ecuație a sistemului este împărțită la prima, atunci sau .

Deoarece , ecuația are o singură rădăcină adecvată . În acest caz, prima ecuație a sistemului implică .

Ținând cont de formula (7), obținem.

Răspuns: .

Exemplul 4 Având în vedere: și . Găsi .

Soluţie. De atunci .

Pentru că, atunci sau

Conform formulei (2), avem . În acest sens, din egalitatea (10) obținem sau .

Cu toate acestea, prin condiție, prin urmare.

Exemplul 5 Se știe că . Găsi .

Soluţie. Conform teoremei, avem două egalități

De când , atunci sau . Pentru că atunci .

Răspuns: .

Exemplul 6 Având în vedere: și . Găsi .

Soluţie.Ținând cont de formula (5), obținem

De atunci . De când , și , atunci .

Exemplul 7 Lasă și . Găsi .

Soluţie. Conform formulei (1), putem scrie

Prin urmare, avem sau . Se știe că și , prin urmare și .

Răspuns: .

Exemplul 8 Aflați numitorul unei progresii geometrice descrescătoare infinite dacă

și .

Soluţie. Din formula (7) rezultăși . De aici și din starea problemei, obținem sistemul de ecuații

Dacă prima ecuație a sistemului este la pătrat, și apoi împărțiți ecuația rezultată la a doua ecuație, apoi primim

Sau .

Răspuns: .

Exemplul 9 Găsiți toate valorile pentru care șirul , , este o progresie geometrică.

Soluţie. Să , și . Conform formulei (2), care definește proprietatea principală a unei progresii geometrice, putem scrie sau .

De aici obținem ecuația pătratică, ale căror rădăcini suntși .

Să verificăm: dacă, apoi , și ; dacă , atunci , și .

În primul caz avemși , iar în al doilea - și .

Răspuns: , .

Exemplul 10rezolva ecuatia

, (11)

unde si .

Soluţie. Partea stângă a ecuației (11) este suma unei progresii geometrice descrescătoare infinite, în care și , cu condiția: și .

Din formula (7) rezultă, ce . În acest sens, ecuația (11) ia forma sau . rădăcină potrivită ecuație pătratică este

Răspuns: .

Exemplul 11. P succesiune de numere pozitiveformează o progresie aritmetică, A - progresie geometrică, ce legatura are cu . Găsi .

Soluţie. pentru că succesiune aritmetică, apoi (proprietatea principală a unei progresii aritmetice). Pentru că, apoi sau . Asta implică , că progresia geometrică este. Conform formulei (2), apoi scriem asta .

De când și , atunci . În acest caz, expresia ia forma sau . După condiție, deci din ecuațieobţinem soluţia unică a problemei luate în considerare, adică .

Răspuns: .

Exemplul 12. Calculați suma

. (12)

Soluţie. Înmulțiți ambele părți ale egalității (12) cu 5 și obțineți

Dacă scădem (12) din expresia rezultată, apoi

sau .

Pentru a calcula, înlocuim valorile în formula (7) și obținem . De atunci .

Răspuns: .

Exemplele de rezolvare a problemelor prezentate aici vor fi utile solicitanților în pregătirea pentru examenele de admitere. Pentru un studiu mai profund al metodelor de rezolvare a problemelor, asociat cu o progresie geometrică, poate fi folosit ghiduri de studiu din lista literaturii recomandate.

1. Culegere de sarcini la matematică pentru solicitanții la universitățile tehnice / Ed. M.I. Scanavi. – M.: Mir i Obrazovanie, 2013. – 608 p.

2. Suprun V.P. Matematică pentru liceeni: secțiuni suplimentare din programa școlară. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 p.

3. Medynsky M.M. Un curs complet de matematică elementară în sarcini și exerciții. Cartea 2: Secvențe de numere și progresii. – M.: Editus, 2015. - 208 p.

Aveti vreo intrebare?

Pentru a obține ajutorul unui tutore - înregistrați-vă.

site-ul, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.