भिन्नों के साथ भिन्नों को जोड़ने का नियम। समान हर के साथ भिन्न कैसे जोड़ें। गुणा कैसे काम करता है?

अभी के लिए, उन उदाहरणों पर विचार करें जिनमें मिन्यूएंड सबट्रेंड से बड़ा है।

\(\frac(7)(13)-\frac(3)(13) = \frac(7-3)(13) = \frac(4)(13)\)

समान हर के साथ अंशों को घटाने के लिए, आपको कम और सबट्रेंड के अंश के बीच अंतर की गणना करने की आवश्यकता है, और हर को अपरिवर्तित छोड़ दें।

\(\frac(a)(b)-\frac(c)(b) = \frac(a-c)(b)\)

भिन्न हर के साथ भिन्नों का घटाव।

भिन्न हर के साथ भिन्नों को घटाने के लिए, आपको भिन्नों को एक सामान्य हर में घटाना होगा, और फिर समान हर वाले भिन्नों को घटाने के लिए नियम लागू करना होगा।

एक उदाहरण पर विचार करें:

भिन्नों \(\frac(5)(6)\) और \(\frac(1)(2)\) को घटाएं।

इन दो भिन्नों लेटेक्स]\frac(5)(6) और \(\frac(1)(2)\) का सामान्य हर 6 है। दूसरे भिन्न \(\frac(1)(2)\) से गुणा करें। 3 का एक अतिरिक्त कारक।

\(\frac(5)(6)-\frac(1)(2) = \frac(5)(6)-\frac(1 \times \color(red) (3))(2 \times \color (लाल) (3)) = \frac(5)(6)-\frac(3)(6) = \frac(2)(6) = \frac(1)(3)\)

भिन्न \(\frac(2)(6)\) को घटाकर \(\frac(1)(3)\) दिया गया है।

भिन्न हर के साथ भिन्नों को घटाने का शाब्दिक सूत्र।

\(\bf \frac(a)(b)-\frac(c)(d) = \frac(a \times d-c \times b)(b \times d)\)

संबंधित सवाल:
भिन्न हर के साथ भिन्नों को कैसे घटाएं?
उत्तर: आपको एक उभयनिष्ठ हर खोजने की जरूरत है और फिर, नियम के अनुसार, समान हर वाले भिन्नों को घटाएं।

समान हर के साथ भिन्नों को कैसे घटाएं?
उत्तर: अंशों के बीच अंतर की गणना करें और हर को वही छोड़ दें।

दो भिन्नों के घटाव की ठीक से जाँच कैसे करें?
उत्तर: भिन्नों के घटाव की शुद्धता की जांच करने के लिए, आपको घटाव और अंतर को जोड़ना होगा, उनके योग का परिणाम सबट्रेंड के बराबर होगा।

\(\frac(7)(8)-\frac(3)(8) = \frac(7-3)(8) = \frac(4)(8)\)

इंतिहान:

\(\frac(4)(8) + \frac(3)(8) = \frac(4 + 3)(8) = \frac(7)(8)\)

उदाहरण 1:
भिन्नों को घटाना: a) \(\frac(1)(2)-\frac(1)(2)\) b) \(\frac(10)(19)-\frac(7)(19)\)

समाधान:
a) \(\frac(1)(2)-\frac(1)(2) = \frac(1-1)(2) = \frac(0)(2) = 0\)

दो समान भिन्नों को घटाने पर हमें शून्य प्राप्त होता है।

ख) \(\frac(10)(19)-\frac(7)(19) = \frac(10-7)(19) = \frac(3)(19)\)

उदाहरण #2:
घटाएँ और जोड़ कर जाँचें: a) \(\frac(13)(21)-\frac(3)(7)\) b) \(\frac(2)(3)-\frac(1)(5) \)
समाधान:

a) भिन्नों का उभयनिष्ठ हर ज्ञात कीजिए \(\frac(13)(21)\) और \(\frac(3)(7)\), यह 21 के बराबर होगा। दूसरे अंश को गुणा करें \(\frac (3) (7) \) से 3.

\(\frac(13)(21)-\frac(3)(7) = \frac(13)(21)-\frac(3 \times \color(red) (3))(7 \times \color (लाल) (3)) = \frac(13)(21)-\frac(9)(21) = \frac(13-9)(21) = \frac(4)(21)\)

आइए घटाव की जाँच करें:

\(\frac(4)(21) + \frac(3)(7) = \frac(4)(21) + \frac(3 \times \color(red) (3))(7 \times \color (लाल) (3)) = \frac(4)(21) + \frac(9)(21) = \frac(4 + 9)(21) = \frac(13)(21)\)

ख) भिन्नों \(\frac(2)(3)\) और \(\frac(1)(5)\) का उभयनिष्ठ हर ज्ञात कीजिए, यह 15 के बराबर होगा। पहले अंश को गुणा करें \(\frac (2)(3) \) 5 के अतिरिक्त गुणनखंड द्वारा, दूसरा अंश \(\frac(1)(5)\) 3 से।

\(\frac(2)(3)-\frac(1)(5) = \frac(2 \times \color(red) (5))(3 \times \color(red) (5))-\ फ़्रैक(1 \बार \रंग(लाल) (3))(5 \बार \रंग(लाल) (3)) = \frac(10)(15)-\frac(3)(15) = \frac(10 -3)(15) = \frac(7)(15)\)

आइए घटाव की जाँच करें:

\(\frac(7)(15) + \frac(1)(5) = \frac(7)(15) + \frac(1 \times \color(red) (3))(5 \times \color (लाल) (3)) = \frac(7)(15) + \frac(3)(15) = \frac(7 + 3)(15) = \frac(10)(15) = \frac(2 )(3)\)

साधारण भिन्नात्मक संख्याएँ पहले 5 वीं कक्षा में स्कूली बच्चों से मिलती हैं और जीवन भर उनका साथ देती हैं, क्योंकि रोजमर्रा की जिंदगी में अक्सर किसी वस्तु पर पूरी तरह से नहीं, बल्कि अलग-अलग टुकड़ों पर विचार करना या उसका उपयोग करना आवश्यक होता है। इस विषय के अध्ययन की शुरुआत - साझा करें। शेयर बराबर हिस्से होते हैंजिसमें कोई वस्तु विभक्त हो। आखिरकार, यह व्यक्त करना हमेशा संभव नहीं होता है, उदाहरण के लिए, किसी उत्पाद की लंबाई या कीमत को पूर्णांक के रूप में; किसी भी माप के हिस्से या शेयरों को ध्यान में रखना चाहिए। "क्रश करने के लिए" क्रिया से बना - भागों में विभाजित करने के लिए, और अरबी जड़ों वाले, आठवीं शताब्दी में "अंश" शब्द स्वयं रूसी में दिखाई दिया।

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सहपाठियों

भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों को लंबे समय से गणित का सबसे कठिन खंड माना जाता है। 17वीं शताब्दी में, जब गणित की पहली पाठ्यपुस्तकें सामने आईं, तो उन्हें "टूटी हुई संख्या" कहा गया, जिसे लोगों की समझ में प्रदर्शित करना बहुत मुश्किल था।

साधारण भिन्नात्मक अवशेषों का आधुनिक रूप, जिसके कुछ हिस्सों को एक क्षैतिज रेखा द्वारा ठीक से अलग किया जाता है, को सबसे पहले फिबोनाची - पीसा के लियोनार्डो द्वारा बढ़ावा दिया गया था। उनका लेखन दिनांक 1202 का है। लेकिन इस लेख का उद्देश्य पाठक को सरल और स्पष्ट रूप से समझाना है कि विभिन्न हरों के साथ मिश्रित भिन्नों का गुणन कैसे होता है।

भिन्न हर के साथ भिन्नों को गुणा करना

प्रारंभ में, यह निर्धारित करना आवश्यक है भिन्नों की किस्में:

• सही;
• गलत;
• मिला हुआ।

इसके बाद, आपको यह याद रखना होगा कि समान हर वाली भिन्नात्मक संख्याओं को कैसे गुणा किया जाता है। इस प्रक्रिया का नियम स्वतंत्र रूप से तैयार करना आसान है: एक ही भाजक के साथ सरल अंशों को गुणा करने का परिणाम एक भिन्नात्मक अभिव्यक्ति है, जिसका अंश अंशों का उत्पाद है, और हर इन अंशों के हर का उत्पाद है . यही है, वास्तव में, नया हर शुरू में मौजूदा लोगों में से एक का वर्ग है।

गुणा करते समय विभिन्न भाजक के साथ सरल अंशदो या अधिक कारकों के लिए, नियम नहीं बदलता है:

एक/बी * सी/डी = एसी / बी * डी।

अंतर केवल इतना है कि भिन्नात्मक दंड के नीचे बनी संख्या विभिन्न संख्याओं का गुणनफल होगी और स्वाभाविक रूप से, इसे एक संख्यात्मक व्यंजक का वर्ग नहीं कहा जा सकता है।

उदाहरणों का उपयोग करते हुए विभिन्न हरों के साथ भिन्नों के गुणन पर विचार करना उचित है:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

उदाहरण भिन्नात्मक व्यंजकों को कम करने के तरीकों का उपयोग करते हैं। आप केवल अंश की संख्या को हर की संख्या से कम कर सकते हैं; भिन्नात्मक बार के ऊपर या नीचे आसन्न कारकों को कम नहीं किया जा सकता है।

साधारण भिन्नात्मक संख्याओं के साथ-साथ मिश्रित भिन्नों की अवधारणा भी है। एक मिश्रित संख्या में एक पूर्णांक और एक भिन्नात्मक भाग होता है, अर्थात यह इन संख्याओं का योग होता है:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

गुणा कैसे काम करता है?

विचार के लिए कई उदाहरण दिए गए हैं।

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

उदाहरण एक संख्या के गुणन का उपयोग करता है साधारण भिन्नात्मक भाग, आप इस क्रिया के लिए नियम को सूत्र द्वारा लिख ​​सकते हैं:

एक * बी/सी = ए * बी /सी।

वास्तव में, ऐसा उत्पाद समान भिन्नात्मक शेषफलों का योग होता है, और पदों की संख्या इस प्राकृतिक संख्या को इंगित करती है। विशेष मामला:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

किसी संख्या के गुणन को भिन्नात्मक शेषफल से हल करने का एक और विकल्प है। आपको बस हर को इस संख्या से विभाजित करने की आवश्यकता है:

डी* इ/एफ = इ/च: घ.

इस तकनीक का उपयोग तब करना उपयोगी होता है जब हर को एक प्राकृतिक संख्या से बिना किसी शेषफल के विभाजित किया जाता है या, जैसा कि वे कहते हैं, पूरी तरह से।

मिश्रित संख्याओं को अनुचित भिन्नों में बदलें और पहले बताए गए तरीके से गुणनफल प्राप्त करें:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

इस उदाहरण में मिश्रित भिन्न को अनुचित भिन्न के रूप में निरूपित करने का एक तरीका शामिल है, इसे एक सामान्य सूत्र के रूप में भी दर्शाया जा सकता है:

एक बीसी = ए*बी+ c/c, जहां हर के साथ पूर्णांक भाग को गुणा करके और मूल भिन्नात्मक शेष के अंश में जोड़कर नए अंश का हर बनता है, और हर एक ही रहता है।

यह प्रक्रिया उल्टा भी काम करती है। पूर्णांक भाग और भिन्नात्मक शेष का चयन करने के लिए, आपको एक अनुचित अंश के अंश को उसके हर द्वारा "कोने" से विभाजित करना होगा।

अनुचित भिन्नों का गुणनसामान्य तरीके से उत्पादित। जब प्रविष्टि एक भिन्नात्मक रेखा के नीचे जाती है, तो आवश्यक के रूप में, आपको इस पद्धति का उपयोग करके संख्याओं को कम करने के लिए अंशों को कम करने की आवश्यकता होती है और परिणाम की गणना करना आसान होता है।

विभिन्न प्रोग्राम विविधताओं में जटिल गणितीय समस्याओं को हल करने के लिए इंटरनेट पर कई सहायक हैं। ऐसी सेवाओं की पर्याप्त संख्या हर में अलग-अलग संख्याओं के साथ अंशों के गुणन की गणना करने में उनकी मदद करती है - अंशों की गणना के लिए तथाकथित ऑनलाइन कैलकुलेटर। वे न केवल गुणा करने में सक्षम हैं, बल्कि साधारण अंशों और मिश्रित संख्याओं के साथ अन्य सभी सरल अंकगणितीय संचालन करने में भी सक्षम हैं। इसके साथ काम करना मुश्किल नहीं है, साइट पेज पर संबंधित फ़ील्ड भरे हुए हैं, गणितीय क्रिया का संकेत चुना गया है और "गणना" बटन दबाया गया है। कार्यक्रम स्वचालित रूप से गिना जाता है।

मध्यम और वरिष्ठ स्कूली बच्चों की शिक्षा के दौरान भिन्नात्मक संख्याओं के साथ अंकगणितीय संक्रियाओं का विषय प्रासंगिक है। हाई स्कूल में, वे अब सबसे सरल प्रजातियों पर विचार नहीं कर रहे हैं, लेकिन पूर्णांक भिन्नात्मक व्यंजक, लेकिन पहले प्राप्त परिवर्तन और गणना के नियमों का ज्ञान अपने मूल रूप में लागू होता है। अच्छी तरह से सीखा हुआ बुनियादी ज्ञान सबसे जटिल कार्यों के सफल समाधान में पूर्ण विश्वास देता है।

अंत में, लियो टॉल्स्टॉय के शब्दों का हवाला देना समझ में आता है, जिन्होंने लिखा: "मनुष्य एक अंश है। अपने अंश-गुणों को बढ़ाना मनुष्य की शक्ति में नहीं है, लेकिन हर कोई अपने भाजक को घटा सकता है - अपने बारे में अपनी राय, और इस कमी से उसकी पूर्णता के करीब आ जाता है।

भिन्न $\frac63$ पर विचार करें। इसका मान 2 है, क्योंकि $\frac63 =6:3 = 2$। यदि अंश और हर को 2 से गुणा किया जाए तो क्या होगा? $\frac63 \times 2=\frac(12)(6)$. जाहिर है, भिन्न का मान नहीं बदला है, इसलिए $\frac(12)(6)$ भी 2 के बराबर y है। अंश और हर को गुणा करें 3 से और $\frac(18)(9)$, या 27 से प्राप्त करें और $\frac(162)(81)$ या 101 से प्राप्त करें और $\frac(606)(303)$ प्राप्त करें। इनमें से प्रत्येक स्थिति में, अंश को हर से भाग देने पर प्राप्त होने वाली भिन्न का मान 2 होता है। इसका अर्थ है कि यह परिवर्तित नहीं हुआ है।

अन्य भिन्नों के मामले में भी यही पैटर्न देखा जाता है। यदि भिन्न $\frac(120)(60)$ (2 के बराबर) के अंश और हर को 2 से विभाजित किया जाता है ($\frac(60)(30)$ का परिणाम), या 3 से ($\ का परिणाम) frac(40)(20) $), या 4 से ($\frac(30)(15)$ का परिणाम) और इसी तरह, फिर प्रत्येक मामले में भिन्न का मान अपरिवर्तित रहता है और 2 के बराबर होता है।

यह नियम उन भिन्नों पर भी लागू होता है जो समान नहीं हैं। पूरा नंबर.

यदि भिन्न $\frac(1)(3)$ के अंश और हर को 2 से गुणा किया जाए, तो हमें $\frac(2)(6)$ प्राप्त होता है, अर्थात भिन्न का मान नहीं बदला है। और वास्तव में, यदि आप केक को 3 भागों में विभाजित करते हैं और उनमें से एक लेते हैं, या इसे 6 भागों में विभाजित करते हैं और 2 भाग लेते हैं, तो आपको दोनों मामलों में समान मात्रा में पाई मिलेगी। इसलिए, संख्या $\frac(1)(3)$ और $\frac(2)(6)$ समान हैं। आइए एक सामान्य नियम तैयार करें।

किसी भी भिन्न के अंश और हर को एक ही संख्या से गुणा या भाग किया जा सकता है, और भिन्न का मान नहीं बदलता है।

यह नियम बहुत उपयोगी है। उदाहरण के लिए, यह कुछ मामलों में अनुमति देता है, लेकिन हमेशा नहीं, बड़ी संख्या में संचालन से बचने के लिए।

उदाहरण के लिए, हम अंश $\frac(126)(189)$ के अंश और हर को 63 से विभाजित कर सकते हैं और अंश $\frac(2)(3)$ प्राप्त कर सकते हैं जो कि गणना करना बहुत आसान है। एक और उदाहरण। हम भिन्न $\frac(155)(31)$ के अंश और हर को 31 से विभाजित कर सकते हैं और 5:1=5 से भिन्न $\frac(5)(1)$ या 5 प्राप्त कर सकते हैं।

इस उदाहरण में, हमने पहली बार सामना किया एक भिन्न जिसका हर 1 . है. इस तरह के अंश गणना में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। यह याद रखना चाहिए कि किसी भी संख्या को 1 से विभाजित किया जा सकता है और उसका मान नहीं बदलेगा। अर्थात्, $\frac(273)(1)$ 273 के बराबर है; $\frac(509993)(1)$ 509993 के बराबर है और इसी तरह। इसलिए, हमें संख्याओं को से विभाजित करने की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि प्रत्येक पूर्णांक को 1 के हर के साथ भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है।

ऐसे भिन्नों के साथ, जिनका हर 1 के बराबर है, आप अन्य सभी भिन्नों के समान अंकगणितीय संक्रियाएँ कर सकते हैं: $\frac(15)(1)+\frac(15)(1)=\frac(30) (1) $, $\frac(4)(1) \times \frac(3)(1)=\frac(12)(1)$।

आप पूछ सकते हैं कि एक पूर्णांक को भिन्न के रूप में प्रदर्शित करने का क्या उपयोग है, जिसकी एक इकाई बार के नीचे होगी, क्योंकि यह एक पूर्णांक के साथ काम करने के लिए अधिक सुविधाजनक है। लेकिन तथ्य यह है कि एक पूर्णांक का एक भिन्न के रूप में प्रतिनिधित्व हमें विभिन्न क्रियाओं को अधिक कुशलता से करने का अवसर देता है जब हम एक ही समय में पूर्णांक और भिन्नात्मक संख्या दोनों के साथ काम कर रहे होते हैं। उदाहरण के लिए, सीखने के लिए भिन्न हर के साथ भिन्न जोड़ें. मान लीजिए हमें $\frac(1)(3)$ और $\frac(1)(5)$ जोड़ने की जरूरत है।

हम जानते हैं कि आप केवल उन भिन्नों को जोड़ सकते हैं जिनके हर बराबर हैं। इसलिए, हमें यह सीखने की जरूरत है कि भिन्नों को ऐसे रूप में कैसे लाया जाए जब उनके हर बराबर हों। इस मामले में, हमें फिर से इस तथ्य की आवश्यकता है कि आप किसी भिन्न के अंश और हर को उसके मान को बदले बिना उसी संख्या से गुणा कर सकते हैं।

सबसे पहले, हम भिन्न $\frac(1)(3)$ के अंश और हर को 5 से गुणा करते हैं। हमें $\frac(5)(15)$ मिलता है, भिन्न का मान नहीं बदला है। फिर हम भिन्न $\frac(1)(5)$ के अंश और हर को 3 से गुणा करते हैं। हमें $\frac(3)(15)$ मिलता है, फिर से भिन्न का मान नहीं बदला है। इसलिए, $\frac(1)(3)+\frac(1)(5)=\frac(5)(15)+\frac(3)(15)=\frac(8)(15)$।

आइए अब इस प्रणाली को पूर्णांक और भिन्नात्मक दोनों भागों वाली संख्याओं के योग पर लागू करने का प्रयास करते हैं।

हमें $3 + \frac(1)(3)+1\frac(1)(4)$ जोड़ना होगा। सबसे पहले, हम सभी पदों को भिन्नों में परिवर्तित करते हैं और प्राप्त करते हैं: $\frac31 + \frac(1)(3)+\frac(5)(4)$। अब हमें सभी भिन्नों को एक समान हर में लाने की आवश्यकता है, इसके लिए हम पहली भिन्न के अंश और हर को 12 से, दूसरे को 4 से, और तीसरे को 3 से गुणा करते हैं। परिणामस्वरूप, हमें $\frac(36) मिलता है। )(12) + \frac(4 )(12)+\frac(15)(12)$, जो $\frac(55)(12)$ के बराबर है। अगर आप छुटकारा पाना चाहते हैं अनुचित अंश, इसे एक पूर्णांक और एक भिन्नात्मक भाग वाली संख्या में बदला जा सकता है: $\frac(55)(12) = \frac(48)(12)+\frac(7)(12)$ या $4\frac( 7)(12)$।

सभी नियम जो अनुमति देते हैं भिन्नों के साथ संचालन, जिनका हमने अभी अध्ययन किया है, ऋणात्मक संख्याओं के मामले में भी मान्य हैं। तो, -1: 3 को $\frac(-1)(3)$, और 1: (-3) को $\frac(1)(-3)$ के रूप में लिखा जा सकता है।

चूँकि दोनों एक ऋणात्मक संख्या को एक धनात्मक संख्या से भाग देते हैं और एक धनात्मक संख्या को ऋणात्मक संख्याओं में एक ऋणात्मक परिणाम से विभाजित करते हैं, दोनों ही मामलों में हमें ऋणात्मक संख्या के रूप में उत्तर मिलेगा। वह है

$(-1) : 3 = \frac(1)(3)$ या $1 : (-3) = \frac(1)(-3)$। इस तरह से लिखे जाने पर ऋण चिह्न संपूर्ण भिन्न को समग्र रूप से संदर्भित करता है, न कि अंश या हर को अलग से।

दूसरी ओर, (-1) : (-3) को $\frac(-1)(-3)$ के रूप में लिखा जा सकता है, और चूंकि ऋणात्मक संख्या को ऋणात्मक संख्या से विभाजित करने पर एक धनात्मक संख्या प्राप्त होती है, तो $\frac (-1 )(-3)$ को $+\frac(1)(3)$ के रूप में लिखा जा सकता है।

ऋणात्मक भिन्नों का जोड़ और घटाव उसी तरह किया जाता है जैसे धनात्मक भिन्नों का जोड़ और घटाव। उदाहरण के लिए, $1- 1\frac13$ क्या है? आइए दोनों संख्याओं को भिन्नों के रूप में निरूपित करें और $\frac(1)(1)-\frac(4)(3)$ प्राप्त करें। आइए भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करें और $\frac(1 \times 3)(1 \times 3)-\frac(4)(3)$, यानी $\frac(3)(3)-\frac( 4) (3)$, या $-\frac(1)(3)$।

कई भिन्नों का सामान्य भाजक प्राकृतिक संख्याओं का LCM (कम से कम सामान्य गुणक) होता है जो दिए गए भिन्नों के हर होते हैं।

दिए गए भिन्नों के अंशों में, आपको LCM और संबंधित हर के अनुपात के बराबर अतिरिक्त गुणनखंड लगाने होंगे।

दिए गए भिन्नों के अंशों को उनके अतिरिक्त गुणनखंडों से गुणा किया जाता है, एक सामान्य हर वाले भिन्नों के अंश प्राप्त होते हैं। क्रिया चिन्ह ("+" या "-") एक सामान्य हर में कम किए गए अंशों के संकेतन में प्रत्येक अंश से पहले संग्रहीत किए जाते हैं। एक आम भाजक के साथ अंशों के लिए, कार्रवाई के संकेत प्रत्येक कम अंश के सामने संरक्षित होते हैं।

केवल अब आप अंशों को जोड़ या घटा सकते हैं और परिणाम के तहत सामान्य हर पर हस्ताक्षर कर सकते हैं।

ध्यान! यदि परिणामी भिन्न में अंश और हर के समान गुणनखंड हों, तो भिन्न को घटाया जाना चाहिए। अनुचित भिन्न को मिश्रित भिन्न में बदलना वांछनीय है। जहाँ संभव हो वहाँ अंश को कम किए बिना जोड़ या घटाव के परिणाम को छोड़ना उदाहरण का अधूरा समाधान है!

भिन्न हर के साथ भिन्नों को जोड़ना और घटाना. नियम। प्रति भिन्न हर के साथ भिन्न जोड़ें या घटाएं, आपको पहले उन्हें सबसे कम सामान्य हर में लाना होगा, और फिर समान हर वाले भिन्नों के साथ जोड़ या घटाव संचालन करना होगा।

भिन्न हर के साथ भिन्नों को जोड़ने और घटाने की प्रक्रिया

1. सभी हरों के एलसीएम का पता लगाएं;
2. प्रत्येक भिन्न के लिए अतिरिक्त गुणक डालें;
3. प्रत्येक अंश को एक अतिरिक्त कारक से गुणा करें;
4. परिणामी उत्पादों को अंश के रूप में लें, प्रत्येक अंश के नीचे एक सामान्य भाजक पर हस्ताक्षर करें;
5. योग या अंतर के तहत एक सामान्य भाजक पर हस्ताक्षर करके अंशों के अंशों को जोड़ें या घटाएं।

अंश में अक्षरों की उपस्थिति में अंशों को जोड़ना और घटाना भी किया जाता है।

भिन्न हर के साथ भिन्न जोड़ने के नियम बहुत सरल हैं।

चरणों में भिन्न हर के साथ भिन्न जोड़ने के नियमों पर विचार करें:

1. हर के एलसीएम (कम से कम सामान्य गुणक) का पता लगाएं। परिणामी LCM भिन्नों का सामान्य हर होगा;

2. भिन्नों को एक समान हर में लाएँ;

3. एक सामान्य हर में घटाई गई भिन्नों को जोड़ें।

एक सरल उदाहरण का उपयोग करते हुए, हम सीखेंगे कि भिन्न हर के साथ भिन्नों को जोड़ने के नियमों को कैसे लागू किया जाए।

उदाहरण

भिन्न हर के साथ भिन्न जोड़ने का एक उदाहरण।

भिन्न हर के साथ भिन्न जोड़ें:

आइए कदम से कदम तय करें।

1. हर के एलसीएम (कम से कम सामान्य गुणक) का पता लगाएं।

संख्या 12 6 से विभाज्य है।

इससे हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि 12 संख्याओं 6 और 12 का सबसे छोटा सामान्य गुणज है।

उत्तर: अंक 6 और 12 का अंक 12 है:

एलसीएम (6, 12) = 12

परिणामी एनओसी दो भिन्नों 1/6 और 5/12 का सामान्य हर होगा।

2. भिन्नों को एक उभयनिष्ठ हर में लाएँ।

हमारे उदाहरण में, केवल पहले अंश को 12 के एक सामान्य भाजक तक कम करने की आवश्यकता है, क्योंकि दूसरे अंश में पहले से ही 12 का हर है।

12 के आम भाजक को पहले भिन्न के हर से विभाजित करें:

2 में एक अतिरिक्त गुणक है।

पहले भिन्न (1/6) के अंश और हर को 2 के अतिरिक्त गुणनखंड से गुणा करें।