पाठ "एक भिन्न का वर्गमूल।" वर्गमूल। उदाहरणों के साथ विस्तृत सिद्धांत

a का वर्गमूल एक संख्या है जिसका वर्ग a है। उदाहरण के लिए, संख्या -5 और 5 संख्या 25 के वर्गमूल हैं। अर्थात्, समीकरण x^2=25 के मूल संख्या 25 के वर्गमूल हैं। अब आपको यह सीखने की जरूरत है कि इसके साथ कैसे काम किया जाए वर्गमूल संचालन: इसके मूल गुणों का अध्ययन करें।

उत्पाद का वर्गमूल

(ए*बी)=√ए*√बी

दो गैर-ऋणात्मक संख्याओं के गुणनफल का वर्गमूल इन संख्याओं के वर्गमूल के गुणनफल के बराबर होता है। उदाहरण के लिए, (9*25) = √9*√25 =3*5 =15;

यह समझना महत्वपूर्ण है कि यह संपत्ति उस मामले पर भी लागू होती है जब मूल अभिव्यक्ति तीन, चार, आदि का गुणनफल होती है। गैर-नकारात्मक गुणक।

कभी-कभी इस संपत्ति का एक और सूत्रीकरण होता है। यदि ए और बी गैर-ऋणात्मक संख्याएं हैं, तो निम्नलिखित समानता रखती है: √(a*b) =√a*√b. उनके बीच बिल्कुल कोई अंतर नहीं है, आप एक या दूसरे शब्दों का उपयोग कर सकते हैं (जो याद रखने के लिए अधिक सुविधाजनक है)।

भिन्न का वर्गमूल

अगर a>=0 तथा b>0, तो निम्नलिखित समानता सत्य है:

(ए/बी)=√a/√b.

उदाहरण के लिए, √(9/25) = √9/√25 =3/5;

मेरी राय में, इस संपत्ति का एक अलग फॉर्मूलेशन भी है, जो याद रखने में अधिक सुविधाजनक है।
भागफल का वर्गमूल, भागफल के भागफल के बराबर होता है।

यह ध्यान देने योग्य है कि ये सूत्र बाएं से दाएं और दाएं से बाएं दोनों तरफ काम करते हैं। अर्थात्, यदि आवश्यक हो, तो हम उत्पाद की जड़ के रूप में जड़ों के उत्पाद का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं। वही दूसरी संपत्ति के लिए जाता है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, ये गुण बहुत सुविधाजनक हैं, और मैं जोड़ और घटाव के लिए समान गुण रखना चाहता हूं:

(a+b)=√a+√b;

√(ए-बी)=√a-√b;

लेकिन दुर्भाग्य से ऐसे गुण वर्गाकार होते हैं कोई जड़ नहीं है, इसलिए गणना में नहीं किया जा सकता है।.

एक तर्कसंगत संकेतक के साथ डिग्री,

पावर फंक्शन IV

79. एक कार्य और भागफल से जड़ें निकालना

प्रमेय 1.जड़ पी धनात्मक संख्याओं के गुणनफल की th शक्ति जड़ों के गुणनफल के बराबर होती है पी -कारकों की डिग्री, अर्थात्, जब एक > 0, बी > 0 और प्राकृतिक पी

एन √अब = एन √एक एन √बी . (1)

सबूत।याद रखें कि जड़ पी एक सकारात्मक संख्या की शक्ति अब एक सकारात्मक संख्या है पी - जिसकी डिग्री . के बराबर है अब . इसलिए, समानता साबित करना (1) समानता साबित करने के समान है

(एन √एक एन √बी ) एन = अब .

उत्पाद की डिग्री की संपत्ति द्वारा

(एन √एक एन √बी ) एन = (एन √एक ) एन (एन √बी ) एन =.

लेकिन जड़ की परिभाषा के अनुसार पी डिग्री ( एन √एक ) एन = एक , (एन √बी ) एन = बी .

इसीलिए ( एन √एक एन √बी ) एन = अब . प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

मांग एक > 0, बी > 0 केवल सम के लिए आवश्यक है पी , क्योंकि नकारात्मक के लिए एक तथा बी और भी पी जड़ों एन √एक तथा एन √बी परिभाषित नहीं। यदि पी विषम, तो सूत्र (1) किसी के लिए मान्य है एक तथा बी (सकारात्मक और नकारात्मक दोनों)।

उदाहरण: √16 121 = √16 121 = 4 11 = 44।

3 √-125 27 = 3 √-125 3 √27 = -5 3 = - 15

मूलों की गणना करते समय सूत्र (1) उपयोगी होता है, जब मूल व्यंजक को सटीक वर्गों के गुणनफल के रूप में दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए,

√153 2 -72 2 = √ (153+ 72) (153-72) = √225 81 = 15 9 = 135.

हमने प्रमेय 1 को उस स्थिति के लिए सिद्ध किया जब सूत्र (1) के बाईं ओर मूलांक दो धनात्मक संख्याओं का गुणनफल होता है। वास्तव में, यह प्रमेय किसी भी संख्या में सकारात्मक कारकों के लिए सत्य है, अर्थात किसी भी प्राकृतिक के लिए क > 2:

परिणाम।इस सर्वसमिका को दाएँ से बाएँ पढ़ने पर हमें समान घातांक वाले मूलों को गुणा करने का निम्नलिखित नियम प्राप्त होता है;

एक ही घातांक के साथ जड़ों को गुणा करने के लिए, मूल भावों को गुणा करने के लिए पर्याप्त है, जड़ के घातांक को समान छोड़ दें।

उदाहरण के लिए, 3 √8 √6 = √3 8 6 = √144 = 12.

प्रमेय 2। जड़ पीएक भिन्न की घात जिसका अंश और हर धनात्मक संख्याएँ हैं, अंश से समान अंश के मूल को हर से समान अंश के मूल से भाग देने वाले भागफल के बराबर होता है, तभी एक > 0 और बी > 0

(2)

समानता सिद्ध करने के लिए (2) का अर्थ यह दिखाना है कि

भिन्न को किसी घात तक बढ़ाने और मूल का निर्धारण करने के नियम के अनुसार एन वें डिग्री हमारे पास है:

इस प्रकार प्रमेय सिद्ध होता है।

मांग एक > 0 और बी > 0 केवल सम के लिए आवश्यक है पी . यदि पी विषम है, तो ऋणात्मक मानों के लिए सूत्र (2) भी सत्य है एक तथा बी .

परिणाम।पठन पहचान दाएं से बाएं, हमें समान घातांक के साथ जड़ों को विभाजित करने के लिए निम्नलिखित नियम मिलता है:

जड़ों को समान घातांक के साथ विभाजित करने के लिए, मूल भावों को विभाजित करने के लिए पर्याप्त है, जड़ के घातांक को समान छोड़ दें।

उदाहरण के लिए,

अभ्यास

554. प्रमेय 1 की उपपत्ति में हमने इस तथ्य का प्रयोग कहाँ किया है कि एक तथा बी सकारात्मक?

एक अजीब के साथ क्यों पी सूत्र (1) ऋणात्मक संख्याओं के लिए भी सत्य है एक तथा बी ?

किन मूल्यों पर एक्स समानता डेटा सही है (संख्या 555-560):

555. x 2 - 9 = x -3 x + 3 .

556. 4 √ (एक्स - 2) (8 - एक्स ) = 4 x - 2 4 √ 8 - एक्स

557. 3 √ (एक्स + 1) (एक्स - 5) = 3 x +1 3 x - 5 .

558. √ एक्स (एक्स + 1) (एक्स + 2) = √ एक्स √ (एक्स + 1) √ (एक्स + 2)

559. √ (एक्स - ए ) 3 = (√ एक्स - ए ) 3 .

560. 3 √ (एक्स - 5) 2 = (3 √ एक्स - 5 ) 2 .

561. गणना करें:

एक) √ 173 2 - 52 2 ; में) √ 200 2 - 56 2 ;

बी) √ 3732 - 2522; जी) √ 242,5 2 - 46,5 2 .

562. एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण 205 सेमी है, और एक पैर 84 सेमी है। दूसरा पैर खोजें।

563. कितनी बार:

555. एक्स > 3. 556. 2 < एक्स < 8. 557. एक्स - कोई संख्या। 558. एक्स > 0. 559. एक्स > एक . 560. एक्स - कोई संख्या। 563. क) तीन बार।

इस लेख में, हम मुख्य का विश्लेषण करेंगे मूल गुण. आइए अंकगणित वर्गमूल के गुणों से शुरू करें, उनके सूत्र दें और प्रमाण दें। उसके बाद, हम nवीं डिग्री के अंकगणितीय मूल के गुणों के बारे में बात करेंगे।

पृष्ठ नेविगेशन।

वर्गमूल गुण

इस खंड में, हम निम्नलिखित मुख्य से निपटेंगे: अंकगणितीय वर्गमूल के गुण:

प्रत्येक लिखित समानता में, बाएँ और दाएँ भागों को आपस में बदला जा सकता है, उदाहरण के लिए, समानता को फिर से लिखा जा सकता है . इस "रिवर्स" रूप में, अंकगणितीय वर्गमूल के गुण तब लागू होते हैं जब भावों का सरलीकरणजितनी बार "प्रत्यक्ष" रूप में।

पहले दो गुणों का प्रमाण अंकगणितीय वर्गमूल और पर की परिभाषा पर आधारित है। और अंकगणितीय वर्गमूल के अंतिम गुण को सही ठहराने के लिए, आपको याद रखना होगा।

तो चलिए शुरू करते हैं दो गैर-ऋणात्मक संख्याओं के गुणनफल के अंकगणितीय वर्गमूल के गुण का प्रमाण: . ऐसा करने के लिए, अंकगणितीय वर्गमूल की परिभाषा के अनुसार, यह दिखाना पर्याप्त है कि एक गैर-ऋणात्मक संख्या है जिसका वर्ग a b के बराबर है। हो जाए। गैर-ऋणात्मक संख्याओं के गुणनफल के रूप में व्यंजक का मान ऋणात्मक नहीं है। दो संख्याओं के गुणनफल की घात का गुण हमें समानता लिखने की अनुमति देता है , और तब से अंकगणितीय वर्गमूल की परिभाषा के अनुसार और, तब।

इसी तरह, यह साबित होता है कि k गैर-ऋणात्मक कारकों a 1, a 2, …, a k के गुणनफल का अंकगणितीय वर्गमूल इन कारकों के अंकगणितीय वर्गमूल के गुणनफल के बराबर होता है। सचमुच, । इस समानता से यह पता चलता है कि .

यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं: और।

चलिए अब साबित करते हैं भागफल के अंकगणितीय वर्गमूल का गुण: . प्राकृतिक शक्ति भागफल की संपत्ति हमें समानता लिखने की अनुमति देती है , एक , जबकि एक गैर-ऋणात्मक संख्या है। यही प्रमाण है।

उदाहरण के लिए, और .

यह जुदा करने का समय है किसी संख्या के वर्ग के अंकगणितीय वर्गमूल का गुण, समानता के रूप में इसे के रूप में लिखा जाता है। इसे साबित करने के लिए, दो स्थितियों पर विचार करें: a≥0 के लिए और a . के लिए<0 .

यह स्पष्ट है कि a≥0 के लिए समानता सत्य है। यह देखना भी आसान है कि a . के लिए<0 будет верно равенство . Действительно, в этом случае −a>0 और (−a) 2 =a 2 । इस तरह, , जिसे साबित करना था।

यहाँ कुछ उदाहरण हैं: तथा .

वर्गमूल का गुण जो अभी सिद्ध हुआ है, हमें निम्नलिखित परिणाम का औचित्य सिद्ध करने की अनुमति देता है, जहाँ a कोई वास्तविक संख्या है, और m कोई भी है। वास्तव में, घातांक गुण हमें घात a 2 m को व्यंजक (a m) 2 से प्रतिस्थापित करने की अनुमति देता है, तब .

उदाहरण के लिए, तथा .

nवें मूल के गुण

आइए सबसे पहले मुख्य को सूचीबद्ध करें nवें मूल के गुण:

यदि बाएँ और दाएँ पक्षों को आपस में बदल दिया जाए तो सभी लिखित समानताएँ मान्य रहती हैं। इस रूप में, उनका उपयोग अक्सर भी किया जाता है, मुख्य रूप से अभिव्यक्तियों को सरल और रूपांतरित करते समय।

जड़ के सभी स्वरित गुणों का प्रमाण nवीं डिग्री के अंकगणितीय मूल की परिभाषा पर, डिग्री के गुणों पर और संख्या के मॉड्यूल की परिभाषा पर आधारित है। आइए उन्हें प्राथमिकता के क्रम में साबित करें।

आइए सबूत के साथ शुरू करते हैं किसी उत्पाद के nवें मूल के गुण . गैर-ऋणात्मक a और b के लिए, व्यंजक का मान भी गैर-ऋणात्मक होता है, जैसा कि गैर-ऋणात्मक संख्याओं का गुणनफल होता है। प्राकृतिक शक्तियों की उत्पाद संपत्ति हमें समानता लिखने की अनुमति देती है . nवीं डिग्री के अंकगणितीय मूल की परिभाषा के अनुसार और इसलिए, . यह जड़ की मानी गई संपत्ति को साबित करता है।

यह गुण k गुणनखंडों के गुणनफल के लिए समान रूप से सिद्ध होता है: गैर-ऋणात्मक संख्याओं के लिए a 1 , a 2 , …, a n तथा ।

उत्पाद की nवीं डिग्री के मूल के गुण का उपयोग करने के उदाहरण यहां दिए गए हैं: तथा ।

आइए साबित करें भागफल का मूल गुण. a≥0 और b>0 के लिए, शर्त संतुष्ट है, और .

आइए उदाहरण दिखाते हैं: तथा .

हम आगे बढ़ते हैं। आइए साबित करें किसी संख्या के nवें मूल का गुण n . के घात में. यानी हम साबित करेंगे कि किसी भी वास्तविक a और प्राकृतिक m के लिए। a≥0 के लिए हमारे पास और , जो समानता और समानता को सिद्ध करता है स्पष्टतः। एक के लिए<0 имеем и (अंतिम संक्रमण एक सम घातांक के साथ शक्ति संपत्ति के कारण मान्य है), जो समानता साबित करता है, और इस तथ्य के कारण सच है कि जब एक विषम डिग्री की जड़ के बारे में बात की जाती है, तो हमने लिया किसी भी गैर-ऋणात्मक संख्या c के लिए।

पार्स किए गए मूल गुण का उपयोग करने के उदाहरण यहां दिए गए हैं: और .

हम मूल से जड़ के गुणधर्म के प्रमाण की ओर बढ़ते हैं। दाएँ और बाएँ भागों की अदला-बदली करें, यानी हम समानता की वैधता को सिद्ध करेंगे, जिसका अर्थ होगा मूल समानता की वैधता। एक गैर-ऋणात्मक संख्या a के लिए, प्रपत्र का वर्गमूल एक गैर-ऋणात्मक संख्या है। एक शक्ति को एक शक्ति में बढ़ाने की संपत्ति को याद करते हुए, और जड़ की परिभाषा का उपयोग करके, हम रूप की समानता की एक श्रृंखला लिख ​​सकते हैं . यह जड़ से जड़ की मानी गई संपत्ति को साबित करता है।

जड़ से जड़ से जड़ का गुण इसी प्रकार सिद्ध होता है, इत्यादि। सचमुच, .

उदाहरण के लिए, तथा ।

आइए हम निम्नलिखित को सिद्ध करें रूट एक्सपोनेंट कमी संपत्ति. ऐसा करने के लिए, मूल की परिभाषा के आधार पर, यह दिखाना पर्याप्त है कि एक गैर-ऋणात्मक संख्या है, जिसे n m की शक्ति तक बढ़ाने पर, m के बराबर होती है। हो जाए। यह स्पष्ट है कि यदि संख्या a ऋणात्मक नहीं है, तो संख्या a का n-वाँ मूल एक गैर-ऋणात्मक संख्या है। जिसमें , जो प्रमाण को पूरा करता है।

यहां पार्स की गई रूट प्रॉपर्टी का उपयोग करने का एक उदाहरण दिया गया है: .

आइए हम निम्नलिखित गुणधर्म को, रूप की घात के मूल का गुणधर्म सिद्ध करें: . यह स्पष्ट है कि a≥0 के लिए डिग्री एक गैर-ऋणात्मक संख्या है। इसके अलावा, इसकी nth शक्ति m के बराबर है, वास्तव में, । यह डिग्री की मानी गई संपत्ति को साबित करता है।

उदाहरण के लिए, .

पर चलते हैं। आइए हम सिद्ध करें कि किसी भी धनात्मक संख्या a और b के लिए जिसके लिए शर्त a , वह है, a≥b । और यह शर्त के विपरीत है a

उदाहरण के लिए, हम सही असमानता देते हैं .

अंत में, यह nवें मूल के अंतिम गुण को सिद्ध करना बाकी है। आइए पहले हम इस गुण के पहले भाग को सिद्ध करें, अर्थात्, हम यह सिद्ध करेंगे कि m>n और 0 . के लिए . फिर, एक प्राकृतिक घातांक के साथ एक डिग्री के गुणों के कारण, असमानता , वह है, एक n एक एम। और परिणामी असमानता के लिए m>n तथा 0

इसी तरह, विरोधाभास से, यह साबित होता है कि m>n और a>1 के लिए शर्त संतुष्ट है।

आइए हम ठोस संख्याओं में जड़ के सिद्ध गुण के अनुप्रयोग के उदाहरण दें। उदाहरण के लिए, असमानताएँ और सत्य हैं।

ग्रंथ सूची।