Rast, opadanje i ekstremi funkcije

Pronalaženje intervala porasta, opadanja i ekstrema funkcije je samostalan zadatak i bitan dio drugih zadataka, posebice studija pune funkcije. Početne informacije o porastu, opadanju i ekstremima funkcije dane su u teoretsko poglavlje o izvodnici, koju toplo preporučujem za preliminarno proučavanje (ili ponavljanje)– također iz razloga što se sljedeći materijal temelji na samom u biti izvedeno, kao skladan nastavak ovog članka. Iako, ako je vremena malo, moguće je i čisto formalno vježbanje primjera iz današnje lekcije.

I danas je u zraku duh rijetke jednodušnosti i mogu izravno osjetiti da svi prisutni gore od želje naučiti istraživati ​​funkciju pomoću njezine derivacije. Stoga se razumna, dobra, vječna terminologija odmah pojavljuje na ekranima vaših monitora.

Za što? Jedan od razloga je najpraktičniji: tako da bude jasno što se općenito od vas traži u određenom zadatku!

Monotonost funkcije. Točke ekstrema i ekstremi funkcije

Razmotrimo neku funkciju. Pojednostavljeno rečeno, pretpostavljamo da ona stalan na cijelom brojevnom pravcu:

Za svaki slučaj, odmah se riješimo mogućih iluzija, posebno za one čitatelje koji su se nedavno upoznali s intervali konstantnog predznaka funkcije. Sad mi NE ZANIMA, kako se graf funkcije nalazi u odnosu na os (iznad, ispod, gdje se os siječe). Da biste bili uvjerljivi, mentalno obrišite osi i ostavite jedan grafikon. Jer tu leži interes.

Funkcija povećava se na intervalu ako je za bilo koje dvije točke tog intervala povezane relacijom , nejednakost istinita. Odnosno, veća vrijednost argumenta odgovara većoj vrijednosti funkcije, a njezin grafikon ide "odozdo prema gore". Funkcija demonstracije raste tijekom intervala.

Isto tako, funkcija smanjuje se na intervalu ako za bilo koje dvije točke danog intervala tako da je , nejednakost je istinita. Odnosno, veća vrijednost argumenta odgovara manjoj vrijednosti funkcije, a njezin grafikon ide "odozgo prema dolje". Naša funkcija opada u intervalima .

Ako funkcija raste ili opada tijekom intervala, tada se poziva strogo monotono u ovom intervalu. Što je monotonija? Shvatite u doslovno– monotonija.

Također možete definirati neopadajući funkcija (opušteno stanje u prvoj definiciji) i nerastući funkcija (ublaženi uvjet u 2. definiciji). Neopadajuća ili nerastuća funkcija na intervalu naziva se monotona funkcija na danom intervalu (stroga monotonija - poseban slučaj“samo” monotonija).

Teorija također razmatra druge pristupe određivanju povećanja/padanja funkcije, uključujući poluintervale, segmente, ali kako ne bismo izlijevali ulje-ulje-ulje na vašu glavu, složit ćemo se da operiramo s otvorenim intervalima s kategoričkim definicijama - ovo je jasnije, a za rješavanje mnogih praktičnih problema sasvim dovoljno.

Tako, u mojim će člancima formulacija "monotonost funkcije" gotovo uvijek biti skrivena intervali stroga monotonija(strogo rastuća ili strogo padajuća funkcija).

Okolica točke. Riječi nakon kojih učenici bježe gdje god stignu i užasnuti se skrivaju po kutovima. ...Iako nakon posta Cauchyjeve granice Vjerojatno se više ne skrivaju, već samo lagano drhte =) Ne brinite, sada neće biti dokaza teorema matematičke analize - trebalo mi je okruženje da strože formuliram definicije ekstremne točke. Prisjetimo se:

Okolica točke naziva se interval koji sadrži zadanu točku, a zbog pogodnosti se često pretpostavlja da je interval simetričan. Na primjer, točka i njezino standardno susjedstvo:

Zapravo, definicije:

Točka se zove striktna maksimalna točka, Ako postoji njeno susjedstvo, za sve vrijednosti od kojih je, osim same točke, nejednakost . U našem konkretan primjer ovo je poanta.

Točka se zove stroga minimalna točka, Ako postoji njeno susjedstvo, za sve vrijednosti od kojih je, osim same točke, nejednakost . Na crtežu je točka "a".

Bilješka : zahtjev simetrije susjedstva uopće nije potreban. Osim toga, važno je sama činjenica postojanja susjedstvo (bilo sićušno ili mikroskopsko) koje zadovoljava navedene uvjete

Bodovi se zovu striktno ekstremne točke ili jednostavno ekstremne točke funkcije. To jest, to je generalizirani izraz za maksimalne i minimalne bodove.

Kako razumijemo riječ "ekstremno"? Da, jednako izravno kao monotonija. Ekstremne točke roller coastera.

Kao iu slučaju monotonosti, postoje labavi postulati koji su još češći u teoriji (u koje, naravno, spadaju strogi slučajevi koji se razmatraju!):

Točka se zove maksimalna točka, Ako postoji okolina mu je takva da za sve
Točka se zove minimalna točka, Ako postoji okolina mu je takva da za sve vrijednosti ovog susjedstva, nejednakost vrijedi.

Imajte na umu da se prema zadnje dvije definicije, svaka točka konstantne funkcije (ili "ravni presjek" funkcije) smatra i maksimalnom i minimalnom točkom! Funkcija je, inače, i nerastuća i neopadajuća, odnosno monotona. Međutim, ova ćemo razmatranja prepustiti teoretičarima, budući da u praksi gotovo uvijek razmišljamo o tradicionalnim "brdima" i "udubinama" (vidi crtež) s jedinstvenim "kraljem brda" ili "princezom močvare". Kao sorta javlja se Savjet, usmjeren gore ili dolje, na primjer, minimum funkcije u točki.

Da, usput, oh tantijema:
– značenje se zove maksimum funkcije;
– značenje se zove minimum funkcije.

Uobičajeno ime - krajnosti funkcije.

Budite oprezni s riječima!

Ekstremne točke– to su vrijednosti “X”.
Krajnosti– značenja “igre”.

! Bilješka : ponekad se navedeni termini odnose na “X-Y” točke koje leže izravno na GRAFIKU SAME funkcije.

Koliko ekstrema može imati funkcija?

Ništa, 1, 2, 3, ... itd. do beskonačnosti. Na primjer, sinus ima beskonačno mnogo minimuma i maksimuma.

VAŽNO! Izraz "maksimalna funkcija" nije identičan pojam “maksimalna vrijednost funkcije”. Lako je primijetiti da je vrijednost maksimalna samo u lokalnom susjedstvu, a gore lijevo nalaze se “cool drugovi”. Isto tako, “minimum funkcije” nije isto što i “minimalna vrijednost funkcije”, a na crtežu vidimo da je vrijednost minimalna samo u određenom području. U tom smislu nazivaju se i točke ekstrema lokalne ekstremne točke, a ekstremi – lokalne krajnosti. Hodaju i lutaju u blizini i globalno braća. Dakle, svaka parabola ima na svom vrhu globalni minimum ili globalni maksimum. Nadalje, neću razlikovati vrste ekstrema, a objašnjenje je izneseno više u općeobrazovne svrhe - dodatni pridjevi "lokalni"/"globalni" ne bi vas trebali iznenaditi.

Sažmimo naš kratki izlet u teoriju s probnim snimkom: što znači zadatak "naći intervale monotonosti i točke ekstrema funkcije"?

Tekst vas potiče da pronađete:

– intervali rastuće/opadajuće funkcije (neopadajuća, nerastuća javlja se znatno rjeđe);

– maksimalne i/ili minimalne bodove (ako postoje). Pa, da biste izbjegli neuspjeh, bolje je sami pronaći minimume/maksimume ;-)

Kako sve to utvrditi? Korištenje funkcije izvoda!

Kako pronaći intervale povećanja, opadanja,
točke ekstrema i ekstremi funkcije?

Mnoga su pravila, naime, već poznata i razumljiva lekcija o značenju izvedenice.

Tangentna derivacija donosi radosnu vijest da se funkcija sve više povećava domena definicije.

S kotangensom i njegovom derivacijom situacija je upravo suprotna.

Arksinus raste tijekom intervala - ovdje je izvod pozitivan: .
Kada je funkcija definirana, ali nije diferencijabilna. Međutim, u kritičnoj točki postoji desna derivacija i desna tangenta, a na drugom rubu postoje njihovi lijevi dvojnici.

Mislim da vam neće biti previše teško izvesti slično razmišljanje za ark kosinus i njegovu derivaciju.

Svi gore navedeni slučajevi, od kojih su mnogi tablične izvedenice, podsjećam vas, slijedite izravno iz izvedene definicije.

Zašto istraživati ​​funkciju pomoću njezine derivacije?

Da bismo bolje razumjeli kako izgleda graf ove funkcije: gdje ide “odozdo prema gore”, gdje “odozgo prema dolje”, gdje doseže minimum i maksimum (ako uopće doseže). Nisu sve funkcije tako jednostavne - u većini slučajeva nemamo pojma o grafu određene funkcije.

Vrijeme je da prijeđemo na smislenije primjere i razmislimo algoritam za pronalaženje intervala monotonosti i ekstrema funkcije:

Primjer 1

Odredite intervale porasta/opadanja i ekstreme funkcije

Riješenje:

1) Prvi korak je pronaći domena funkcije, te također zabilježite točke prekida (ako postoje). U tom je slučaju funkcija neprekinuta na cijelom brojevnom pravcu i to je djelovanje donekle formalno. Ali u brojnim slučajevima ovdje se rasplamsaju ozbiljne strasti, pa se prema paragrafu odnosimo bez prezira.

2) Druga točka algoritma je zbog

nužan uvjet za ekstrem:

Ako u nekoj točki postoji ekstrem, tada ili vrijednost ne postoji.

Zbunjeni ste završetkom? Ekstremum funkcije “modula x”. .

Uvjet je neophodan, ali nedovoljno, a obrnuto nije uvijek točno. Dakle, iz jednakosti još ne slijedi da funkcija postiže maksimum ili minimum u točki . Klasičan primjer već je istaknut gore - ovo je kubna parabola i njena kritična točka.

Ali kako god bilo, nužan uvjet za ekstrem diktira potrebu za pronalaženjem sumnjivih točaka. Da biste to učinili, pronađite derivaciju i riješite jednadžbu:

Na početku prvog članka o grafovima funkcija Rekao sam vam kako brzo izgraditi parabolu koristeći primjer : “...uzimamo prvu derivaciju i izjednačujemo je s nulom: ...Dakle, rješenje naše jednadžbe: - u ovoj točki se nalazi vrh parabole...”. Sada, mislim, svi razumiju zašto se vrh parabole nalazi točno u ovoj točki =) Općenito, ovdje bismo trebali početi sa sličnim primjerom, ali je previše jednostavan (čak i za čajnik). Osim toga, postoji analogija na samom kraju lekcije o izvod funkcije. Stoga, povećajmo stupanj:

Primjer 2

Odredite intervale monotonosti i ekstreme funkcije

Ovo je primjer za neovisna odluka. Kompletno rješenje a okvirni završni uzorak zadatka na kraju lekcije.

Stigao je dugo očekivani trenutak susreta s razlomačko-racionalnim funkcijama:

Primjer 3

Istražite funkciju pomoću prve derivacije

Obratite pozornost koliko se varijabilno može preformulirati jedan te isti zadatak.

Riješenje:

1) Funkcija trpi beskonačne diskontinuitete u točkama.

2) Otkriti kritične točke. Nađimo prvu derivaciju i izjednačimo je s nulom:

Riješimo jednadžbu. Razlomak je nula kada mu je brojnik nula:

Dakle, dobivamo tri kritične točke:

3) Ucrtavamo SVE detektirane točke na brojevnoj liniji i metoda intervala definiramo predznake DERIVACIJE:

Podsjećam vas da trebate uzeti neku točku u intervalu i izračunati vrijednost derivacije na njoj i odrediti mu predznak. Isplativije je čak i ne brojati, nego verbalno "procijeniti". Uzmimo, na primjer, točku koja pripada intervalu i izvršimo zamjenu: .

Dva “plus” i jedan “minus” daju “minus”, dakle, što znači da je izvod negativan u cijelom intervalu.

Radnju, kao što razumijete, treba izvršiti za svaki od šest intervala. Usput, imajte na umu da su faktor brojnik i nazivnik strogo pozitivni za bilo koju točku u bilo kojem intervalu, što uvelike pojednostavljuje zadatak.

Dakle, derivat nam je rekao da se SAMA FUNKCIJA povećava za a smanjuje se za . Praktično je povezati intervale iste vrste s ikonom spajanja.

U trenutku kada funkcija doseže svoj maksimum:
U trenutku kada funkcija dosegne minimum:

Razmislite zašto ne morate ponovno izračunati drugu vrijednost ;-)

Prolaskom kroz točku derivacija ne mijenja predznak, pa funkcija tu NEMA EKSTREMU - i smanjila se i ostala padajuća.

! Da ponovimo važna točka : točke se ne smatraju kritičnim - one sadrže funkciju nije utvrđeno. Sukladno tome, ovdje U principu ne može biti krajnosti(čak i ako izvod promijeni predznak).

Odgovor: funkcija se povećava za i opada za U točki kada je dostignut maksimum funkcije: , au točki – minimum: .

Poznavanje intervala monotonosti i ekstrema, zajedno s utvrđenim asimptote već daje vrlo dobru ideju o izgled funkcijska grafika. Osoba prosječne stručne spreme može verbalno utvrditi da graf funkcije ima dvije okomite asimptote i jednu kosu asimptotu. Evo našeg heroja:

Pokušajte još jednom povezati rezultate istraživanja s grafom ove funkcije.
Ne postoji ekstrem u kritičnoj točki, ali postoji infleksija grafa(što se u pravilu događa u sličnim slučajevima).

Primjer 4

Pronađite ekstreme funkcije

Primjer 5

Odredite intervale monotonosti, maksimume i minimume funkcije

…danas je skoro kao nekakav “X u kocki” praznik....
Jaooo, tko se u galeriji ponudio pićem za ovo? =)

Svaki zadatak ima svoje sadržajne nijanse i tehničke suptilnosti, koje se komentiraju na kraju lekcije.

Ekstremno (od latinskog extremum - krajnji)

vrijednost kontinuirane funkcije f(x), što je ili maksimum ili minimum. Točnije: kontinuirano u točki x 0 funkcija f(x) ima u x 0 maksimum (minimum) ako postoji susjedstvo ( x 0 + δ, x 0- δ) ove točke sadržane u domeni definicije f(x), i to tako da u svim točkama ove okoline nejednakost f(x 0), ≥f(x) [odnosno, f(x 0) ≤ f(x)]. Ako postoji susjedstvo takvo da u njemu f(x 0) > f(x) [ili f(x 0) (x)] na x≠x 0, tada se govori o strogom, ili pravilnom, maksimumu (minimumu), inače - o nestrogom, ili nepravilnom, maksimumu (minimumu) (na riža. 1 u točki A postiže se strogi maksimum, u točki B se postiže nestrogi minimum). Točke maksimuma i minimuma nazivaju se točkama ekstremuma. Kako bi funkcija f(x) imao E. u nekom trenutku x 0, potrebno je da bude kontinuirano u x 0 i to tako da bilo f`(x 0) = 0 (točka A na riža. 1 ), ili f`(x 0) nije postojao (točka C na riža. 1 ). Ako u nekom susjedstvu točke x 0 izvedenica f"(x) s lijeve strane x 0 je pozitivan i negativan na desnoj strani, dakle f(x) ima u x 0 maksimum; Ako f"(x) s lijeve strane x 0 negativan, a s desne strane pozitivan, tada je minimum (prvi dovoljan uvjet E.). Ako f"(x) ne mijenja predznak pri prolasku kroz točku x 0, zatim funkcija f(x) nema E. u točki x 0(točke D, E i F na riža. 1 ). Ako f(x) u točki x 0 Ima P uzastopne izvedenice, i f"(x 0) = f``(x 0) =...= f (n-1) ( x 0)=0, a f(n) ( x 0)≠0, onda kada P neparan f(x) nema E. u točki x 0, i kada Pčak ima minimum ako f(n) ( x 0) > 0, a maksimum if f(n) ( x 0) E. funkcije ne treba brkati s najvećim i najmanjim vrijednostima funkcije (pogledajte Najveće i najmanje vrijednosti funkcije).

Slično, jednadžba funkcije jedne varijable određena je jednadžbom funkcije više varijabli. Nužan uvjet za E. u ovom slučaju je nestajanje ili nepostojanje parcijalnih derivacija prvog reda. Na primjer, na riža. 2 parcijalne derivacije su nula u točki M, na riža. 3 u točki M oni ne postoje. Ako u nekoj okolini točke M(x 0, y 0) prva i druga parcijalna derivacija funkcije postoje i neprekidne su f(x, y) i to na samom mjestu f" x = f" y = 0,

Δ = f" xx f "yy> 0,

Da f(x, y) u točki M ima E. (maksimalno na f "xx 0 i minimum na f "xx > 0); E. u točki M ne postoji ako je Δ M je tzv sedlo, ili minimaks točka, vidi riža. 4 ).

Dovoljni uvjeti za jednadžbu funkcija više varijabli svode se na pozitivnu (ili negativnu) određenost kvadratnog oblika

Σ n i, k=1 a ikΔ x iΔ x k

Izraz "E." također se koristi u proučavanju najvećih i najmanjih vrijednosti funkcionala u varijacijskom računu (vidi Varijacijski račun).

Lit.: Ilyin V. A., Poznyak E. G., Osnove matematičke analize, 3. izdanje, 1. dio, M., 1971.

Velik Sovjetska enciklopedija. - M.: Sovjetska enciklopedija. 1969-1978 .

Sinonimi:

Pogledajte što je "Extremum" u drugim rječnicima:

- (od latinskog extremum ekstremno), uobičajeno ime maksimum i minimum... Moderna enciklopedija

- (od latinskog extremum ekstremno) vidi Maksimum i minimum ... Veliki enciklopedijski rječnik

Imenica, broj sinonima: 1 pojam (18) ASIS Rječnik sinonima. V.N. Trishin. 2013… Rječnik sinonima

- (od latinskog extremum ekstremno) engleski. ekstremno; njemački Ekstremno. Vrijednost određene veličine ili funkcije /(x), koja je njezin maksimum ili minimum. Antinazi. Enciklopedija sociologije, 2009 ... Enciklopedija sociologije

ekstremno- ekstremna vrijednost - [A.S. Goldberg. Englesko-ruski energetski rječnik. 2006] Teme energija općenito Sinonimi ekstremna vrijednost EN ekstremna vrijednost ... Vodič za tehničke prevoditelje

Ekstremno- (od lat. extremum krajnji), opći naziv za maksimum i minimum. ... Ilustrirani enciklopedijski rječnik

Ovaj izraz ima i druga značenja, pogledajte Ekstrem (značenja). Ekstrem (lat. extremum extreme) u matematici je maksimalna ili minimalna vrijednost funkcije na danom skupu. Točka u kojoj je dostignut ekstrem... ... Wikipedia

- (lat. extremum krajnji) mat. najveća i najmanja vrijednost funkcije; koristi se kombinirati koncepte maksimuma i minimuma. Novi rječnik strane riječi. by EdwART, 2009. extremum [Rječnik stranih riječi ruskog jezika

- [re], a; m. [lat. extremum extreme] Math. Najveća i najmanja vrijednost funkcije, uključujući koncepte minimuma i maksimuma. * * * ekstrem (od latinskog extremum krajnji), vidi Maksimum i minimum. * * * EKSTREM EKSTREM (od lat. extremum... ... enciklopedijski rječnik

ekstremno- Ekstremna točka, Ekstremna točka Najviša, najniža, krajnja lijeva i krajnja desna točka konture, odnosno točke unutar konture znaka čija je vrijednost koordinate po jednoj od osi minimalna ili maksimalna... Terminologija fontova

knjige

• Set stolova. Matematika. Derivat i njegova primjena. 12 tablica + kartice + metodologija, . Edukativni album od 12 listova i 48 kartica. Povećanje argumenta. Povećanje funkcije. Izvedenica. Fizička izvedenica. Tangenta na krivulju. Geometrijsko značenje derivacije. Kritično...

Vrlo važna informacija o ponašanju funkcije daju intervale rasta i opadanja. Njihovo pronalaženje dio je procesa ispitivanja funkcije i crtanja grafikona. Osim toga, date su točke ekstrema u kojima dolazi do promjene od rastućeg prema padajućem ili od padajućeg ka rastućem Posebna pažnja pri pronalaženju najveće i najmanje vrijednosti funkcije na određenom intervalu.

U ovom ćemo članku dati potrebne definicije, formulirati dovoljan kriterij za porast i pad funkcije na intervalu i dovoljne uvjete za postojanje ekstrema te cijelu tu teoriju primijeniti na rješavanje primjera i problema.

Navigacija po stranici.

Rastuća i padajuća funkcija na intervalu.

Definicija rastuće funkcije.

Funkcija y=f(x) raste na intervalu X ako za bilo koje i nejednakost vrijedi. Drugim riječima, veća vrijednost argumenta odgovara većoj vrijednosti funkcije.

Definicija opadajuće funkcije.

Funkcija y=f(x) opada na intervalu X ako za bilo koje i nejednakost vrijedi . Drugim riječima, manja vrijednost funkcije odgovara većoj vrijednosti argumenta.

NAPOMENA: ako je funkcija definirana i kontinuirana na krajevima rastućeg ili padajućeg intervala (a;b), to jest na x=a i x=b, tada su te točke uključene u rastući ili padajući interval. To nije u suprotnosti s definicijama rastuće i opadajuće funkcije na intervalu X.

Na primjer, iz svojstava glavnog elementarne funkcije znamo da je y=sinx definiran i kontinuiran za sve stvarne vrijednosti argumenta. Prema tome, iz porasta funkcije sinusa na intervalu, možemo ustvrditi da ona raste na intervalu.

Točke ekstrema, ekstremi funkcije.

Točka se zove maksimalna točka funkcija y=f(x) ako je nejednakost istinita za sve x u njenom susjedstvu. Vrijednost funkcije u točki maksimuma naziva se maksimum funkcije i označavaju .

Točka se zove minimalna točka funkcija y=f(x) ako je nejednakost istinita za sve x u njenom susjedstvu. Vrijednost funkcije u točki minimuma naziva se minimalna funkcija i označavaju .

Okolica točke shvaćena je kao interval , gdje je dovoljno mali pozitivan broj.

Pozivaju se minimalne i maksimalne točke ekstremne točke, a nazivaju se vrijednosti funkcije koje odgovaraju točkama ekstrema ekstremi funkcije.

Nemojte brkati ekstreme funkcije s najvećom i najmanjom vrijednošću funkcije.

Na prvoj slici najveća vrijednost funkcije na segmentu postiže se u točki maksimuma i jednaka je maksimumu funkcije, a na drugoj slici najveća vrijednost funkcije se postiže u točki x=b. , što nije najveća točka.

Dovoljni uvjeti za rastuće i padajuće funkcije.

Na temelju dovoljnih uvjeta (predznaka) porasta i opadanja funkcije nalaze se intervali porasta i opadanja funkcije.

Evo formulacija znakova rastućih i opadajućih funkcija na intervalu:

• ako je derivacija funkcije y=f(x) pozitivna za bilo koji x iz intervala X, tada funkcija raste za X;
• ako je derivacija funkcije y=f(x) negativna za bilo koji x iz intervala X, tada funkcija opada na X.

Dakle, za određivanje intervala povećanja i opadanja funkcije potrebno je:

Razmotrimo primjer pronalaženja intervala rastućih i opadajućih funkcija kako bismo objasnili algoritam.

Primjer.

Odredite intervale rastuće i opadajuće funkcije.

Riješenje.

Prvi korak je pronaći domenu definicije funkcije. U našem primjeru, izraz u nazivniku ne bi trebao ići na nulu, dakle, .

Prijeđimo na pronalaženje izvoda funkcije:

Da bismo odredili intervale rasta i opadanja funkcije na temelju dovoljnog kriterija, rješavamo nejednadžbe na domeni definicije. Poslužimo se generalizacijom metode intervala. Jedini pravi korijen brojnika je x = 2, a nazivnik ide na nulu kod x=0. Te točke dijele područje definicije na intervale u kojima derivacija funkcije zadržava svoj predznak. Označimo te točke na brojevnom pravcu. Intervale u kojima je derivacija pozitivna ili negativna konvencionalno označavamo plusevima i minusima. Donje strelice shematski prikazuju porast ili pad funkcije na odgovarajućem intervalu.

Tako, I .

U točki Funkcija x=2 je definirana i kontinuirana, pa je treba dodati i rastućim i opadajućim intervalima. U točki x=0 funkcija nije definirana, pa tu točku ne uključujemo u tražene intervale.

Predstavljamo graf funkcije kako bismo usporedili rezultate dobivene njome.

Odgovor:

Funkcija se povećava kao , opada na intervalu (0;2] .

Dovoljni uvjeti za ekstrem funkcije.

Da biste pronašli maksimume i minimume funkcije, možete koristiti bilo koji od tri znaka ekstrema, naravno, ako funkcija zadovoljava njihove uvjete. Najčešći i najprikladniji je prvi od njih.

Prvi dovoljan uvjet za ekstrem.

Neka je funkcija y=f(x) diferencijabilna u -okolici točke i kontinuirana u samoj točki.

Drugim riječima:

Algoritam za pronalaženje točaka ekstrema na temelju prvog znaka ekstrema funkcije.

• Nalazimo domenu definicije funkcije.
• Derivaciju funkcije nalazimo na domeni definicije.
• Određujemo nule brojnika, nule nazivnika derivacije i točke područja definicije u kojima derivacija ne postoji (sve navedene točke nazivamo točke mogućeg ekstrema, prolazeći kroz te točke, izvod može samo promijeniti predznak).
• Te točke dijele područje definicije funkcije na intervale u kojima derivacija zadržava svoj predznak. Određujemo predznake derivacije na svakom od intervala (npr. izračunavanjem vrijednosti derivacije funkcije u bilo kojoj točki pojedinog intervala).
• Odaberemo točke u kojima je funkcija kontinuirana i prolaskom kroz koje derivacija mijenja predznak - to su točke ekstrema.

Previše je riječi, pogledajmo bolje nekoliko primjera nalaženja točaka ekstrema i ekstrema funkcije pomoću prvog dovoljnog uvjeta za ekstrem funkcije.

Primjer.

Pronađite ekstreme funkcije.

Riješenje.

Domena funkcije je cijeli skup realnih brojeva osim x=2.

Pronalaženje derivata:

Nule brojnika su točke x=-1 i x=5, nazivnik ide na nulu kod x=2. Označite te točke na brojevnoj osi

Određujemo predznake derivacije u svakom intervalu; da bismo to učinili, izračunavamo vrijednost derivacije u bilo kojoj od točaka svakog intervala, na primjer, u točkama x=-2, x=0, x=3 i x=6.

Dakle, na intervalu je derivacija pozitivna (na slici smo iznad tog intervala stavili znak plus). Također

Stoga iznad drugog intervala stavljamo minus, iznad trećeg minus, a iznad četvrtog plus.

Preostaje odabrati točke u kojima je funkcija kontinuirana i njezina derivacija mijenja predznak. To su točke ekstrema.

U točki x=-1 funkcija je neprekidna i derivacija mijenja predznak iz plusa u minus, dakle, prema prvom predznaku ekstremuma, x=-1 je točka maksimuma, njoj odgovara maksimum funkcije .

U točki x=5 funkcija je neprekidna i derivacija mijenja predznak iz minus u plus, dakle, x=-1 je točka minimuma, njoj odgovara minimum funkcije .

Grafička ilustracija.

Odgovor:

NAPOMENA: prvi dovoljan kriterij za ekstrem ne zahtijeva diferencijabilnost funkcije u samoj točki.

Primjer.

Odredite točke ekstrema i ekstreme funkcije .

Riješenje.

Domena funkcije je cijeli skup realnih brojeva. Sama funkcija se može napisati kao:

Nađimo izvod funkcije:

U točki x=0 izvod ne postoji, budući da se vrijednosti jednostranih granica ne podudaraju kada argument teži nuli:

U isto vrijeme, izvorna funkcija je kontinuirana u točki x=0 (vidi odjeljak o proučavanju funkcije za kontinuitet):

Pronađimo vrijednosti argument pri kojem izvod ide na nulu:

Označimo sve dobivene točke na brojevnom pravcu i odredimo predznak derivacije na svakom od intervala. Da bismo to učinili, izračunavamo vrijednosti derivata u proizvoljnim točkama svakog intervala, na primjer, na x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.

To je,

Dakle, prema prvom znaku ekstrema, minimalne točke su , maksimalni broj bodova je .

Izračunavamo odgovarajuće minimume funkcije

Izračunavamo odgovarajuće maksimume funkcije

Grafička ilustracija.

Odgovor:

.

Drugi znak ekstrema funkcije.

Kao što vidite, ovaj znak ekstrema funkcije zahtijeva postojanje derivacije barem drugog reda u točki.

Ekstremna točka funkcije je točka u domeni definiranosti funkcije u kojoj vrijednost funkcije poprima minimalnu ili maksimalnu vrijednost. Vrijednosti funkcije u tim točkama nazivaju se ekstremima (minimum i maksimum) funkcije.

Definicija. Točka x1 domena funkcije f(x) Zove se maksimalna točka funkcije , ako je vrijednost funkcije u ovoj točki više vrijednosti funkcija u točkama koje su joj dovoljno blizu, smještene desno i lijevo od nje (to jest, nejednakost f(x0 ) > f(x 0 + Δ x) x1 maksimum.

Definicija. Točka x2 domena funkcije f(x) Zove se minimalna točka funkcije, ako je vrijednost funkcije u ovoj točki manja od vrijednosti funkcije u točkama dovoljno blizu njoj, koje se nalaze desno i lijevo od nje (to jest, vrijedi nejednakost f(x0 ) < f(x 0 + Δ x) ). U ovom slučaju kažemo da funkcija ima u točki x2 minimum.

Recimo točka x1 - maksimalna točka funkcije f(x) . Zatim u intervalu do x1 funkcija se povećava, stoga je izvod funkcije veći od nule ( f "(x) > 0 ), au intervalu nakon x1 funkcija se stoga smanjuje, izvod funkcije manje od nule ( f "(x) < 0 ). Тогда в точке x1

Pretpostavimo također da točka x2 - minimalna točka funkcije f(x) . Zatim u intervalu do x2 funkcija je opadajuća, a derivacija funkcije je manja od nule ( f "(x) < 0 ), а в интервале после x2 funkcija raste, a derivacija funkcije je veća od nule ( f "(x) > 0 ). U ovom slučaju također u točki x2 derivacija funkcije je nula ili ne postoji.

Fermatov teorem (nužan znak postojanja ekstrema funkcije). Ako je točka x0 - ekstremna točka funkcije f(x) tada je u ovoj točki izvod funkcije jednak nuli ( f "(x) = 0 ) ili ne postoji.

Definicija. Točke u kojima je derivacija funkcije nula ili ne postoji nazivaju se kritične točke .

Primjer 1. Razmotrimo funkciju.

U točki x= 0 derivacija funkcije je nula, dakle točka x= 0 je kritična točka. Međutim, kao što se može vidjeti na grafu funkcije, ona raste kroz cijelu domenu definicije, pa je točka x= 0 nije točka ekstrema ove funkcije.

Dakle, uvjeti da je derivacija funkcije u točki jednaka nuli ili da ne postoji nužni su uvjeti za ekstremum, ali ne i dovoljni, budući da se mogu dati i drugi primjeri funkcija za koje su ti uvjeti ispunjeni, ali funkcija nema ekstrem u odgovarajućoj točki. Zato mora postojati dovoljno dokaza, omogućujući procjenu postoji li ekstrem u određenoj kritičnoj točki i kakav je to ekstrem - maksimum ili minimum.

Teorem (prvi dovoljan znak postojanja ekstrema funkcije). Kritična točka x0 f(x) ako pri prolasku kroz ovu točku izvod funkcije promijeni predznak, i ako predznak promijeni iz “plus” u “minus”, onda je to točka maksimuma, a ako iz “minusa” u “plus”, tada to je minimalna točka.

Ako je blizu točke x0 , lijevo i desno od nje derivacija zadržava svoj predznak, to znači da funkcija ili samo opada ili samo raste u određenoj okolini točke x0 . U ovom slučaju, u točki x0 nema ekstrema.

Tako, za određivanje točaka ekstrema funkcije potrebno je učiniti sljedeće :

1. Pronađite izvod funkcije.
2. Izjednačite derivaciju s nulom i odredite kritične točke.
3. Mentalno ili na papiru označite kritične točke na brojevnoj liniji i odredite predznake izvoda funkcije u dobivenim intervalima. Ako se predznak derivacije promijeni iz “plus” u “minus”, tada je kritična točka maksimalna točka, a ako iz “minus” u “plus”, tada je točka minimuma.
4. Izračunajte vrijednost funkcije u točkama ekstrema.

Primjer 2. Pronađite ekstreme funkcije .

Riješenje. Nađimo izvod funkcije:

Izjednačimo derivaciju s nulom kako bismo pronašli kritične točke:

.

Budući da za bilo koju vrijednost "x" nazivnik nije jednak nuli, izjednačavamo brojnik s nulom:

Imam jednu kritičnu točku x= 3. Odredimo predznak derivacije u intervalima omeđenim ovom točkom:

u rasponu od minus beskonačno do 3 - znak minus, odnosno funkcija opada,

u intervalu od 3 do plus beskonačno stoji znak plus, odnosno funkcija raste.

Odnosno, točka x= 3 je minimalna točka.

Nađimo vrijednost funkcije u točki minimuma:

Dakle, nalazi se točka ekstrema funkcije: (3; 0), a ona je točka minimuma.

Teorem (drugi dovoljni znak postojanja ekstrema funkcije). Kritična točka x0 je ekstremna točka funkcije f(x) ako druga derivacija funkcije u ovoj točki nije jednaka nuli ( f ""(x) ≠ 0 ), a ako je druga derivacija veća od nule ( f ""(x) > 0 ), tada je maksimalna točka, a ako je druga derivacija manja od nule ( f ""(x) < 0 ), то точкой минимума.

Napomena 1. Ako u točki x0 Ako i prva i druga derivacija nestanu, tada je u ovom trenutku nemoguće prosuditi postojanje ekstrema na temelju drugog dovoljnog kriterija. U ovom slučaju morate koristiti prvi dovoljan kriterij za ekstrem funkcije.

Primjedba 2. Drugi dovoljan kriterij za ekstremum funkcije nije primjenjiv čak i kada prva derivacija ne postoji u stacionarnoj točki (tada ne postoji ni druga derivacija). U tom slučaju također trebate koristiti prvi dovoljni predznak ekstrema funkcije.

Lokalna priroda ekstrema funkcije

Iz gornjih definicija proizlazi da je ekstrem funkcije lokalne naravi – najveći je i najmanja vrijednost funkcije u usporedbi s obližnjim vrijednostima.

Recimo da gledate svoju zaradu u razdoblju od jedne godine. Ako ste u svibnju zaradili 45 000 rubalja, u travnju 42 000 rubalja i u lipnju 39 000 rubalja, tada je svibanjska zarada maksimum funkcije zarade u usporedbi s obližnjim vrijednostima. Ali u listopadu ste zaradili 71 000 rubalja, u rujnu 75 000 rubalja, au studenom 74 000 rubalja, tako da je zarada u listopadu minimum funkcije zarade u usporedbi s obližnjim vrijednostima. I lako možete vidjeti da je maksimum među vrijednostima travanj-svibanj-lipanj manji od minimuma rujan-listopad-studeni.

Općenito govoreći, na intervalu funkcija može imati nekoliko ekstrema, a može se pokazati da je neki minimum funkcije veći od bilo kojeg maksimuma. Dakle, za funkciju prikazanu na gornjoj slici, .

To jest, ne treba misliti da su maksimum i minimum funkcije njezine najveće i najmanje vrijednosti na cijelom segmentu koji se razmatra. U točki maksimuma funkcija ima najveću vrijednost samo u usporedbi s onim vrijednostima koje ima u svim točkama dovoljno blizu točki maksimuma, a u točki minimuma ima najmanju vrijednost samo u usporedbi s tim vrijednostima ​​da je u svim točkama dovoljno blizu minimalne točke.

Stoga možemo razjasniti gornji koncept točaka ekstrema funkcije i nazvati točke minimuma lokalnim točkama minimuma, a točke maksimuma točkama lokalnog maksimuma.

Zajedno tražimo ekstreme funkcije

Primjer 3.

Rješenje: Funkcija je definirana i kontinuirana na cijelom brojevnom pravcu. Njegova izvedenica postoji i na cijelom brojevnom pravcu. Stoga su u ovom slučaju kritične točke samo one na kojima, tj. , odakle i . Kritične točke i cijelo područje definicije funkcije podijeliti na tri intervala monotonosti: . Odaberimo po jednu kontrolnu točku u svakoj od njih i nađimo predznak izvodnice u toj točki.

Za interval, kontrolna točka može biti: nađi. Uzimajući točku u intervalu, dobivamo, a uzimajući točku u intervalu, imamo. Dakle, u intervalima i , iu intervalu . Prema prvom dovoljnom kriteriju za ekstrem, u točki nema ekstrema (budući da derivacija zadržava predznak u intervalu), a u točki funkcija ima minimum (budući da derivacija mijenja predznak s minusa na plus pri prelasku kroz ovu točku). Pronađimo odgovarajuće vrijednosti funkcije: , a . U intervalu funkcija pada, jer u ovom intervalu , au intervalu raste, jer u ovom intervalu .

Da bismo pojasnili konstrukciju grafikona, pronalazimo točke njegova sjecišta s koordinatnim osima. Kada dobijemo jednadžbu čiji su korijeni i , tj. nađene su dvije točke (0; 0) i (4; 0) grafa funkcije. Koristeći sve dobivene podatke, gradimo grafikon (vidi početak primjera).

Primjer 4. Pronađite ekstreme funkcije i izgradite njezin graf.

Područje definiranja funkcije je cijeli brojevni pravac, osim točke, tj. .

Kako biste skratili studiju, možete koristiti činjenicu da je ova funkcija parna jer . Stoga je njegov graf simetričan u odnosu na os Joj a studija se može izvesti samo za interval.

Pronalaženje izvoda i kritične točke funkcije:

1) ;

2) ,

ali funkcija trpi diskontinuitet u ovoj točki, tako da ne može biti točka ekstrema.

Tako, dana funkcija ima dvije kritične točke: i . Uzimajući u obzir parnost funkcije, provjerit ćemo samo točku pomoću drugog dovoljnog kriterija za ekstrem. Da bismo to učinili, nalazimo drugu derivaciju i odredimo mu predznak kod: dobivamo . Od i , to je minimalna točka funkcije, i .

Da bismo dobili potpuniju sliku grafa funkcije, saznajmo njeno ponašanje na granicama domene definicije:

(ovdje simbol označava želju x na nulu s desne strane, i x ostaje pozitivan; slično znači težnja x na nulu slijeva, i x ostaje negativan). Dakle, ako , onda . Dalje, nalazimo

,

oni. ako tada .

Graf funkcije nema sjecišta s osima. Slika je na početku primjera.

Nastavljamo zajedno tražiti ekstreme funkcije

Primjer 8. Pronađite ekstreme funkcije.

Riješenje. Nađimo domenu definicije funkcije. Budući da nejednakost mora biti zadovoljena, dobivamo iz .

Nađimo prvu derivaciju funkcije:

Nađimo kritične točke funkcije.

Uvod

U mnogim područjima znanosti iu praktičnim aktivnostima često se suočavamo s problemom pronalaženja ekstrema funkcije. Činjenica je da mnoge tehničke, ekonomske itd. procesi se modeliraju funkcijom ili više funkcija koje ovise o varijablama – čimbenicima koji utječu na stanje pojave koja se modelira. Potrebno je pronaći ekstreme takvih funkcija kako bi se odredilo optimalno (racionalno) stanje i upravljanje procesom. Tako se u ekonomiji često rješavaju problemi minimiziranja troškova ili maksimiziranja profita – mikroekonomski problem poduzeća. U ovom radu ne razmatramo probleme modeliranja, već razmatramo samo algoritme za traženje ekstrema funkcija u najjednostavnijoj verziji, kada nema ograničenja na varijable (bezuvjetna optimizacija), a ekstrem se traži samo za jednu ciljnu funkciju.

EKSTREMI FUNKCIJE

Razmotrimo graf kontinuirane funkcije y=f(x) prikazano na slici. Vrijednost funkcije u točki x 1 bit će veći od vrijednosti funkcije u svim susjednim točkama i lijevo i desno od x 1 . U ovom slučaju kažemo da funkcija ima u točki x 1 maksimalno. U točki x Funkcija 3 očito također ima maksimum. Ako uzmemo u obzir točku x 2, tada je vrijednost funkcije u njemu manja od svih susjednih vrijednosti. U ovom slučaju kažemo da funkcija ima u točki x 2 minimalno. Isto tako i za poentu x 4 .

Funkcija y=f(x) u točki x 0 ima maksimum, ako je vrijednost funkcije u ovoj točki veća od njezinih vrijednosti u svim točkama nekog intervala koji sadrži točku x 0, tj. ako postoji takva okolina točke x 0, što je za sve x ≠x 0 , pripadaju ovom susjedstvu, vrijedi nejednakost f(x) <f(x 0 ) .

Funkcija y=f(x) Ima minimum u točki x 0 , ako postoji takva okolina točke x 0 , to je za sve x ≠x 0 koja pripada ovoj okolini, nejednakost vrijedi f(x) >f(x 0 .

Točke u kojima funkcija postiže maksimum i minimum nazivaju se točkama ekstrema, a vrijednosti funkcije u tim točkama nazivaju se ekstremima funkcije.

Obratimo pozornost na činjenicu da funkcija definirana na segmentu može doseći svoj maksimum i minimum samo u točkama koje se nalaze unutar segmenta koji se razmatra.

Imajte na umu da ako funkcija ima maksimum u nekoj točki, to ne znači da u toj točki funkcija ima najveću vrijednost u cijeloj domeni definicije. Na gornjoj slici, funkcija u točki x 1 ima maksimum, iako postoje točke u kojima su vrijednosti funkcije veće nego u točki x 1 . Posebno, f (x 1) < f (x 4) tj. minimum funkcije je veći od maksimuma. Iz definicije maksimuma proizlazi samo da je to najveća vrijednost funkcije u točkama dovoljno blizu točki maksimuma.

Teorem 1. ( Preduvjet postojanje ekstrema.) Ako je diferencijabilna funkcija y=f(x) ima u točki x= x 0 ekstrem, tada njegova derivacija u ovoj točki postaje nula.

Dokaz. Neka, za određenost, na točki x 0 funkcija ima maksimum. Zatim, za dovoljno male korake Δ x imamo f(x 0 + Δ x) 0 ) , tj.

Ali onda

Prelaskom u ove nejednadžbe do granice na Δ x→ 0 i uzimajući u obzir da izvod f "(x 0) postoji, pa stoga granica s lijeve strane ne ovisi o tome kako je Δ x→ 0, dobivamo: na Δ x → 0 – 0 f" (x 0) ≥ 0 a na Δ x → 0 + 0 f" (x 0) ≤ 0. Budući da f" (x 0) definira broj, tada su ove dvije nejednakosti kompatibilne samo ako f" (x 0) = 0.

Dokazani teorem kaže da maksimalne i minimalne točke mogu biti samo među onim vrijednostima argumenta pri kojima derivacija postaje nula.

Razmatrali smo slučaj kada funkcija ima derivaciju u svim točkama određenog segmenta. Kakva je situacija u slučajevima kada izvedenica ne postoji? Pogledajmo primjere.

g =|x |.

Funkcija nema derivaciju u točki x=0 (u ovom trenutku graf funkcije nema definiranu tangensu), ali u ovom trenutku funkcija ima minimum, jer g(0)=0, i za sve x ≠ 0g > 0.

nema derivata na x=0, budući da ide u beskonačnost na x=0. Ali u ovom trenutku funkcija ima maksimum. nema derivata na x=0, jer na x→0. U ovom trenutku funkcija nema ni maksimum ni minimum. Stvarno, f(x)=0 i pri x <0f(x) <0, а при x >0f(x) >0.

Dakle, iz navedenih primjera i formuliranog teorema jasno je da funkcija može imati ekstrem samo u dva slučaja: 1) u točkama gdje derivacija postoji i jednaka je nuli; 2) na mjestu gdje izvod ne postoji.

Međutim, ako u nekom trenutku x 0 mi to znamo f "(x 0 ) =0, onda se iz ovoga ne može zaključiti da je u točki x 0 funkcija ima ekstrem.

Na primjer.

.

Ali točka x=0 nije ekstremna točka, jer se lijevo od ove točke vrijednosti funkcije nalaze ispod osi Vol, a desno gore.

Vrijednosti argumenta iz domene funkcije kod kojih derivacija funkcije nestaje ili ne postoji nazivaju se kritične točke .

Iz svega navedenog proizlazi da su točke ekstrema funkcije među kritičnim točkama, ali nije svaka kritična točka točka ekstrema. Stoga, da biste pronašli ekstrem funkcije, trebate pronaći sve kritične točke funkcije, a zatim ispitati svaku od tih točaka zasebno za maksimum i minimum. U tu svrhu služi sljedeći teorem.

Teorem 2. (Dovoljan uvjet za postojanje ekstrema.) Neka je funkcija kontinuirana na nekom intervalu koji sadrži kritičnu točku x 0, i diferencijabilna je u svim točkama ovog intervala (osim, možda, same točke x 0). Ako pri kretanju slijeva nadesno kroz ovu točku izvod promijeni predznak s plusa na minus, tada u točki x = x 0 funkcija ima maksimum. Ako, prilikom prolaska x 0 slijeva na desno, izvod mijenja predznak s minusa na plus, tada funkcija ima minimum u ovoj točki.

Dakle, ako

f "(x)>0 pri x <x 0 i f "(x)< 0 at x> x 0, dakle x 0 – maksimalna točka;

na x <x 0 i f "(x)> 0 at x> x 0, dakle x 0 – minimalni bod.

Dokaz. Pretpostavimo najprije da pri prolasku x 0 izvod mijenja predznak s plusa na minus, tj. pred svima x, blizu stvari x 0 f "(x)> 0 za x< x 0 , f "(x)< 0 za x> x 0 . Primijenimo Lagrangeov teorem na razliku f(x) - f(x 0 ) = f "(c)(x- x 0), gdje c leži između x I x 0 .

Neka x< x 0 . Zatim c< x 0 i f "(c)> 0. Zato f "(c)(x- x 0)< 0 i stoga

f(x) - f(x 0 )< 0, tj. f(x)< f(x 0 ).

Neka x > x 0 . Zatim c>x 0 i f "(c)< 0. Sredstva f "(c)(x- x 0)< 0. Zato f(x) - f(x 0 ) <0,т.е.f(x) < f(x 0 ) .

Dakle, za sve vrijednosti x dovoljno blizu x 0 f(x) < f(x 0 ) . A to znači da u točki x 0 funkcija ima maksimum.

Drugi dio teorema minimuma dokazuje se na sličan način.

Ilustrirajmo značenje ovog teorema na slici. Neka f "(x 1 ) =0 i za bilo koju x, dovoljno blizu x 1, nejednakosti su zadovoljene

f "(x)< 0 at x< x 1 , f "(x)> 0 at x> x 1 .

Zatim lijevo od točke x 1 funkcija raste i opada s desne strane, dakle, kada x = x 1 funkcija ide od rastuće prema padajućoj, odnosno ima maksimum.

Slično, možemo razmotriti bodove x 2 i x 3 .

Sve gore navedeno može se shematski prikazati na slici:

Pravilo za proučavanje funkcije y=f(x) za ekstrem

Pronađite domenu funkcije f(x).

Pronađite prvu derivaciju funkcije f "(x) .

Odredite kritične točke za ovo:

pronaći prave korijene jednadžbe f "(x) =0;

pronaći sve vrijednosti x za koju je izvedenica f "(x) ne postoji.

Odredite predznak derivacije lijevo i desno od kritične točke. Budući da predznak derivacije ostaje konstantan između dvije kritične točke, dovoljno je odrediti predznak derivacije u jednoj točki lijevo i jednoj točki desno od kritične točke.

Izračunajte vrijednost funkcije u točkama ekstrema.