Ekstremne točke funkcije. Što su ekstremi funkcije: kritične točke maksimuma i minimuma

Što je ekstrem funkcije i koji je nužan uvjet za ekstrem?

Ekstremum funkcije je maksimum i minimum funkcije.

Preduvjet Maksimum i minimum (ekstremum) funkcije su sljedeći: ako funkcija f(x) ima ekstrem u točki x = a, tada je u toj točki derivacija ili nula, ili beskonačna, ili ne postoji.

Ovaj uvjet je neophodan, ali ne i dovoljan. Derivacija u točki x = a može ići do nule, beskonačnosti ili ne postoji bez da funkcija ima ekstrem u ovoj točki.

Koji je dovoljan uvjet za ekstremum funkcije (maksimum ili minimum)?

Prvi uvjet:

Ako je, u dovoljnoj blizini točke x = a, derivacija f?(x) pozitivna lijevo od a i negativna desno od a, tada u točki x = a funkcija f(x) ima maksimum

Ako je, u dovoljnoj blizini točke x = a, derivacija f?(x) negativna lijevo od a i pozitivna desno od a, tada u točki x = a funkcija f(x) ima minimum uz uvjet da je funkcija f(x) ovdje kontinuirana.

Umjesto toga, možete koristiti drugi dovoljan uvjet za ekstrem funkcije:

Neka u točki x = a prva derivacija f?(x) nestane; ako je druga derivacija f??(a) negativna, tada funkcija f(x) ima maksimum u točki x = a, ako je pozitivna, tada ima minimum.

Što je kritična točka funkcije i kako je pronaći?

Ovo je vrijednost argumenta funkcije pri kojoj funkcija ima ekstrem (tj. maksimum ili minimum). Da biste ga pronašli trebate pronaći izvedenicu funkcija f?(x) i, izjednačujući je s nulom, riješiti jednadžbu f?(x) = 0. Korijeni ove jednadžbe, kao i one točke u kojima ne postoji derivacija ove funkcije su kritične točke, tj. vrijednosti argumenta kod kojih može postojati ekstrem. Lako se mogu prepoznati gledanjem izvodni graf: zanimaju nas one vrijednosti argumenta pri kojima graf funkcije siječe apscisnu os (Ox os) i one pri kojima graf trpi diskontinuitete.

Na primjer, pronađimo ekstrem parabole.

Funkcija y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Derivacija funkcije: y?(x) = 6x + 2

Riješite jednadžbu: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

U ovom slučaju kritična točka je x0=-1/3. Funkcija ima ovu vrijednost argumenta ekstremno. Njemu pronaći, zamijenite pronađeni broj u izrazu za funkciju umjesto "x":

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50.333.

Kako odrediti maksimum i minimum funkcije, tj. njegove najveće i najmanje vrijednosti?

Ako se predznak derivacije pri prolasku kroz kritičnu točku x0 promijeni iz “plus” u “minus”, tada je x0 maksimalna točka; ako se predznak derivacije promijeni s minusa na plus, tada je x0 minimalna točka; ako se predznak ne mijenja, tada u točki x0 nema ni maksimuma ni minimuma.

Za razmatrani primjer:

Uzimamo proizvoljnu vrijednost argumenta lijevo od kritične točke: x = -1

Pri x = -1, vrijednost derivacije bit će y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (tj. znak je "minus").

Sada uzimamo proizvoljnu vrijednost argumenta desno od kritične točke: x = 1

Pri x = 1, vrijednost derivacije bit će y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (tj. znak je "plus").

Kao što vidite, derivacija je promijenila predznak iz minusa u plus kada je prolazila kroz kritičnu točku. To znači da pri kritičnoj vrijednosti x0 imamo točku minimuma.

Najveća i najmanja vrijednost funkcije na intervalu(na segmentu) nalaze se istim postupkom, samo uzimajući u obzir činjenicu da možda neće sve kritične točke ležati unutar navedenog intervala. One kritične točke koje su izvan intervala moraju biti isključene iz razmatranja. Ako unutar intervala postoji samo jedna kritična točka, ona će imati maksimum ili minimum. U ovom slučaju, za određivanje najveće i najmanje vrijednosti funkcije, također uzimamo u obzir vrijednosti funkcije na krajevima intervala.

Na primjer, pronađimo najveću i najmanju vrijednost funkcije

y(x) = 3sin(x) - 0,5x

u intervalima:

Dakle, izvod funkcije je

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

Rješavamo jednadžbu 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x = ±arccos(0,16667) + 2πk.

Kritične točke nalazimo na intervalu [-9; 9]:

x = arccos(0,16667) - 2π*2 = -11,163 (nije uključeno u interval)

x = -arccos(0,16667) – 2π*1 = -7,687

x = arccos(0,16667) - 2π*1 = -4,88

x = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403

x = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403

x = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88

x = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687

x = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (nije uključeno u interval)

Nalazimo vrijednosti funkcije na kritičnim vrijednostima argumenta:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Vidi se da je na intervalu [-9; 9] funkcija ima najveću vrijednost pri x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

a najmanji - na x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

Na intervalu [-6; -3] imamo samo jednu kritičnu točku: x = -4,88. Vrijednost funkcije pri x = -4,88 jednaka je y = 5,398.

Pronađite vrijednost funkcije na krajevima intervala:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

Na intervalu [-6; -3] imamo najveću vrijednost funkcije

y = 5,398 na x = -4,88

najmanja vrijednost -

y = 1,077 na x = -3

Kako pronaći točke infleksije grafa funkcije i odrediti konveksnu i konkavnu stranicu?

Da biste pronašli sve točke infleksije pravca y = f(x), trebate pronaći drugu derivaciju, izjednačiti je s nulom (riješiti jednadžbu) i testirati sve one vrijednosti x za koje je druga derivacija nula, beskonačan ili ne postoji. Ako pri prolasku kroz jednu od ovih vrijednosti druga derivacija promijeni predznak, tada graf funkcije ima infleksiju u ovoj točki. Ako se ne mijenja, onda nema zavoja.

Korijeni jednadžbe f? (x) = 0, kao i moguće točke diskontinuiteta funkcije i druge derivacije, dijele područje definicije funkcije na određeni broj intervala. Konveksnost na svakom od njihovih intervala određena je predznakom druge derivacije. Ako je druga derivacija u točki na intervalu koji se proučava pozitivna, tada je linija y = f(x) konkavna prema gore, a ako je negativna, onda prema dolje.

Kako pronaći ekstreme funkcije dviju varijabli?

Da biste pronašli ekstreme funkcije f(x,y), diferencijabilne u domeni njezine specifikacije, trebate:

1) pronaći kritične točke, a za to - riješiti sustav jednadžbi

fh? (x,y) = 0, fu? (x,y) = 0

2) za svaku kritičnu točku P0(a;b) ispitati ostaje li predznak razlike nepromijenjen

za sve točke (x;y) dovoljno blizu P0. Ako razlika ostane pozitivna, tada u točki P0 imamo minimum, ako je negativna, tada imamo maksimum. Ako razlika ne zadrži predznak, tada u točki P0 nema ekstrema.

Ekstremumi funkcije određuju se slično za veći broj argumenata.

Koje su značajke sheme za izgradnju aktivnosti poslovnog inkubatora?
Poduzetnički inkubatori se prije svega smatraju dijelom infrastrukture za podršku malom gospodarstvu, ali su istovremeno i instrument gospodarske, socijalne, strukturne i inovacijske politike. Tehnološki inkubatori jedan su od alata politike za formiranje prilagodljivih, dinamičnih, konkurentnih nacionalnih inovacija

Drakula - lik književna djela i filmovi, vampir Izmislio ga je irski pisac Bram Stoker za roman “Drakula” (1897.). Prema popularnom mišljenju, prototip za ovaj lik bila je stvarna povijesna ličnost - Vlad III Tepes (Draku

Gdje pronaći informacije o telefonu Sony Ericsson K790
Informacije o telefonu Sony Ericsson K790 možete pronaći na sljedećim stranicama: www.mobiset.ru - informacije o telefonu Sony Ericsson K790 na mobiset.ru; www.mobidrive.ru - informacije o telefonu Sony Ericsson K790 na mobid

Tko je dio grupe Melnitsa?
www.melnitsa.net - službena stranica grupe Melnitsa "Melnitsa" je ruska folk-rock grupa iz Moskve. Osnovan 15. listopada 1999. Grupa "Melnitsa" svira akustičnu i elektroakustičnu glazbu. Instrumenti: violončelo, flauta

Što je lutnja
Lutnja - trzalačka žica glazbeni instrument. U svom klasičnom obliku, ima elegantno tijelo u obliku pola kruške, vrat s pragovima, kutiju za ugađanje savijenu unatrag pod kutom u odnosu na vrat, otvor za zvuk u obliku rozete i 11 žica (pet pari i jednu žicu za visoke tonove). ). Riječ "lutnja" također se koristi u najopćenitijem smislu

Što je rajčica?
Rajčica (rajčica) je biljka iz roda noćurka, obitelji Solanaceae, jednogodišnja ili višegodišnja zeljasta biljka. Uzgaja se kao povrtna kultura. Plodovi rajčice poznati su kao rajčice. Vrsta voća je bobičasto voće. PovijestDomovina - Južna Amerika, gdje se još uvijek nalaze divlji i polukultivirani oblici rajčice. Sredinom 16. stoljeća rajčica je stigla u Španjolsku.

Gdje pronaći uzorak deklinacije supstantiviranih imenica
Deklinacija imenica Deklinacija je promjena imenica (i drugih poimeničenih dijelova riječi) po padežima i brojevima. U ruskom postoje dva broja: jednina (prozor, stol) i množina (prozori, stolovi); šest slučajeva (prema školskom planu i programu). Padež Padež pitanja Nominativ tko? Što? Genitiv koga? što? Davatelj

Koje su glumice igrale glavne uloge u TV seriji "Kratki tečaj sretnog života" na Prvom kanalu
U ruskoj televizijskoj seriji “Kratki tečaj sretan život", koji je 2011. godine snimila redateljica Valeria Gai Germanika za Channel One, glavne uloge igrale su 4 glumice: Alisa Khazanova igrala je ulogu Lyube; Svetlana Khodchenkova igrala je ulogu Sashe; Anna Slew glumila je ulogu Anye; Ksenia Gromova igrala je ulogu Katye. U pozadini

Koliki je sinus od 90 stupnjeva?
Sine je jedan od trigonometrijske funkcije, označen sa sin. U pravokutni trokut sinus oštar kut jednak je omjeru katete nasuprot ovog kuta (suprotne katete) i hipotenuze. Vrijednosti sinusa za kutove koji se često pojavljuju (π - pi, √ - kvadratni korijen

Gdje na internetu postoje plaćeni audio tečajevi engleskog?
Plaćeni audio tečajevi na engleskom možete pronaći na sljedećim poveznicama: shop.iddk.ru - audio tečajevi engleskog na disku; london.ru - audio tečajevi na diskovima, kao i knjige; volxv.ru - audio-video tečajevi engleskog jezika; ozon.ru - audio tečajevi na diskovima

Portali za informacije i zapošljavanje Superjob.ru - portal za zapošljavanje Superjob.ru djeluje na ruskom online tržištu zapošljavanja od 2000. godine i vodeći je među resursima koji nude posao i traženje osoblja. Svaki dan se više od 80.000 životopisa stručnjaka i više od 10.000 slobodnih radnih mjesta dodaju u bazu podataka stranice.

Iz ovog članka čitatelj će saznati što je ekstrem funkcionalne vrijednosti, kao io značajkama njegove upotrebe u praktičnim aktivnostima. Učenje takvog koncepta ključno je za razumijevanje osnova viša matematika. Ova tema je temeljna za dublje proučavanje tečaja.

U kontaktu s

Što je ekstrem?

U školskom tečaju daju se mnoge definicije pojma "ekstremuma". Namjera ovog članka je dati najdublje i najjasnije razumijevanje pojma za one koji ne poznaju ovo pitanje. Dakle, pojam podrazumijeva do koje mjere funkcionalni interval poprima minimalnu ili maksimalnu vrijednost na određenom skupu.

Ekstrem je istovremeno i minimalna vrijednost funkcije i maksimum. Postoji minimalna točka i maksimalna točka, odnosno ekstremne vrijednosti argumenta na grafu. Glavne znanosti koje koriste ovaj koncept su:

• statistika;
• upravljanje strojem;
• ekonometrija.

Točke ekstrema igraju važnu ulogu u određivanju niza dana funkcija. Koordinatni sustav na grafu u u svom najboljem izdanju prikazuje promjenu krajnjeg položaja ovisno o promjeni funkcionalnosti.

Ekstremi derivacije funkcije

Postoji i takav fenomen kao "derivat". Potrebno je odrediti točku ekstrema. Važno je ne brkati minimalne ili maksimalne bodove s najvećim i najniža vrijednost. To su različiti koncepti, iako se mogu činiti sličnima.

Vrijednost funkcije je glavni čimbenik u određivanju kako pronaći najveću točku. Derivat se ne formira iz vrijednosti, već isključivo iz njegovog krajnjeg položaja u jednom ili onom poretku.

Sama derivacija se određuje na temelju tih ekstremnih točaka, a ne na temelju najveće ili najmanje vrijednosti. U ruskim školama granica između ova dva pojma nije jasno povučena, što utječe na razumijevanje ove teme općenito.

Razmotrimo sada takav koncept kao "akutni ekstrem". Danas postoji akutna minimalna vrijednost i akutna maksimalna vrijednost. Definicija je dana u skladu s ruskom klasifikacijom kritičnih točaka funkcije. Koncept točke ekstrema osnova je za pronalaženje kritičnih točaka na grafu.

Kako bi definirali takav koncept, oni pribjegavaju korištenju Fermatova teorema. Najvažniji je u proučavanju ekstremnih točaka i daje jasnu ideju o njihovom postojanju u ovom ili onom obliku. Kako bi se osigurala ekstremnost, važno je stvoriti određene uvjete za smanjenje ili povećanje na grafikonu.

Da biste točno odgovorili na pitanje "kako pronaći maksimalnu točku", morate slijediti ove smjernice:

1. Pronalaženje točne domene definicije na grafu.
2. Traženje derivacije funkcije i točke ekstrema.
3. Riješite standardne nejednadžbe za domenu u kojoj se nalazi argument.
4. Znati dokazati u kojim je funkcijama točka na grafu definirana i kontinuirana.

Pažnja! Traženje kritične točke funkcije moguće je samo ako postoji derivacija barem drugog reda, što je osigurano visokim udjelom prisutnosti točke ekstrema.

Nužan uvjet za ekstrem funkcije

Da bi postojao ekstrem, važno je da postoje i minimalne i maksimalne točke. Ako se ovo pravilo samo djelomično poštuje, tada je uvjet za postojanje ekstrema povrijeđen.

Svaka se funkcija u bilo kojem položaju mora razlikovati kako bi se identificirala njezina nova značenja. Važno je razumjeti da slučaj točke koja ide prema nuli nije glavni princip za pronalaženje diferencijabilne točke.

Oštar ekstrem, kao i minimum funkcije, izuzetno je važan aspekt rješenja matematički problem koristeći ekstremne vrijednosti. Kako bismo bolje razumjeli ovu komponentu, važno je obratiti se na tablične vrijednosti za određivanje funkcionalnosti.

Važan pojam u matematici je funkcija. Uz njegovu pomoć možete vizualno zamisliti mnoge procese koji se odvijaju u prirodi i odražavati odnos između određenih količina pomoću formula, tablica i slika na grafikonu. Primjer je ovisnost pritiska sloja tekućine na tijelo o dubini uranjanja, ubrzanje - o djelovanju određene sile na objekt, povećanje temperature - o prenesenoj energiji i mnogi drugi procesi. Proučavanje funkcije uključuje konstruiranje grafa, otkrivanje njegovih svojstava, domene definicije i vrijednosti, intervala porasta i opadanja. Važna točka u ovom procesu je pronaći ekstremne točke. Dalje ćemo razgovarati o tome kako to učiniti ispravno.

O samom pojmu na konkretnom primjeru

U medicini, crtanje grafa funkcije može nam reći o napredovanju bolesti u tijelu pacijenta, jasno odražavajući njegovo stanje. Pretpostavimo da os OX predstavlja vrijeme u danima, a os OU temperaturu ljudskog tijela. Slika jasno pokazuje kako ovaj pokazatelj naglo raste, a zatim pada. Također je lako uočiti posebne točke koje odražavaju trenutke kada funkcija, prethodno rastuća, počinje opadati, i obrnuto. To su ekstremne točke, odnosno kritične vrijednosti (maksimalne i minimalne) u ovom slučaju pacijentove temperature, nakon kojih dolazi do promjena u njegovom stanju.

Kut nagiba

Sa slike lako možete odrediti kako se mijenja derivacija funkcije. Ako ravne linije grafikona idu gore tijekom vremena, tada je pozitivan. I što su strmije, to je veća vrijednost derivata, jer se kut nagiba povećava. U razdobljima pada ova vrijednost poprima negativne vrijednosti, pretvarajući se u nulu u točkama ekstrema, a grafikon derivacije u potonjem slučaju crta se paralelno s osi OX.

Svaki drugi proces treba tretirati na isti način. Ali najbolji način da kažete o ovom konceptu je kretanje različitih tijela, jasno prikazano na grafikonima.

Pokret

Pretpostavimo da se objekt kreće ravnomjerno, ravnomjerno povećavajući brzinu. U tom razdoblju promjena koordinata tijela grafički se prikazuje određenom krivuljom, koju bi matematičar nazvao granom parabole. Istodobno, funkcija se stalno povećava, budući da se koordinatni indikatori mijenjaju sve brže i brže svake sekunde. Grafikon brzine pokazuje ponašanje derivacije čija vrijednost također raste. To znači da kretanje nema kritičnih točaka.

Ovo bi se nastavilo unedogled. Ali što ako tijelo odjednom odluči usporiti, stati i početi se kretati u drugom smjeru? U tom će se slučaju indikatori koordinata početi smanjivati. I funkcija će proći kritičnu vrijednost i okrenuti se od rastućeg ka opadajućem.

Koristeći ovaj primjer, opet možete shvatiti da se točke ekstrema na grafu funkcije pojavljuju u trenucima kada ona prestane biti monotona.

Fizičko značenje izvedenice

Ono što je ranije opisano jasno je pokazalo da je derivacija u biti brzina promjene funkcije. Ovo pojašnjenje sadrži svoje fizičko značenje. Točke ekstrema su kritična područja na grafikonu. Oni se mogu identificirati i detektirati izračunavanjem vrijednosti derivacije, koja se ispostavlja jednakom nuli.

Postoji još jedan znak koji je dovoljan uvjet za ekstrem. Izvodnica u takvim točkama infleksije mijenja predznak: od “+” do “-” u maksimalnom području i od “-” do “+” u minimalnom području.

Kretanje pod utjecajem gravitacije

Zamislimo drugu situaciju. Djeca su je, igrajući se loptom, bacala tako da se počela kretati pod kutom prema horizontu. U početnom trenutku brzina ovog objekta bila je najveća, ali je pod utjecajem gravitacije počela opadati, i to sa svakom sekundom za isto toliko, jednako otprilike 9,8 m/s 2 . To je vrijednost akceleracije koja nastaje pod utjecajem zemljine teže tijekom slobodnog pada. Na Mjesecu bi bio oko šest puta manji.

Graf koji opisuje kretanje tijela je parabola s granama usmjerenim prema dolje. Kako pronaći ekstremne točke? U ovom slučaju to je vrh funkcije, gdje brzina tijela (lopte) poprima nultu vrijednost. Derivacija funkcije postaje nula. U tom se slučaju smjer, a time i vrijednost brzine, mijenja u suprotno. Tijelo svake sekunde sve brže leti prema dolje, a jednako se i ubrzava - 9,8 m/s 2 .

Druga derivacija

U prethodnom slučaju, graf modula brzine nacrtan je kao ravna linija. Ova linija je u početku usmjerena prema dolje, jer se vrijednost ove vrijednosti stalno smanjuje. Dostigavši ​​nulu u jednom trenutku, tada se pokazatelji ove vrijednosti počinju povećavati, a smjer grafičkog prikaza modula brzine dramatično se mijenja. Linija je sada usmjerena prema gore.

Brzina, budući da je derivacija koordinate u odnosu na vrijeme, također ima kritičnu točku. U ovom području, funkcija, koja se u početku smanjuje, počinje rasti. Ovo je mjesto ekstremne točke derivacije funkcije. U tom slučaju kut nagiba tangente postaje nula. A ubrzanje, kao druga derivacija koordinate u odnosu na vrijeme, mijenja predznak iz “-” u “+”. I kretanje od jednoliko sporog postaje jednoliko ubrzano.

Grafikon ubrzanja

Sada pogledajmo četiri slike. Svaki od njih prikazuje grafikon promjena tijekom vremena u fizičkoj veličini kao što je ubrzanje. U slučaju "A" njegova vrijednost ostaje pozitivna i konstantna. To znači da se brzina tijela, kao i njegova koordinata, stalno povećava. Ako zamislimo da će se objekt kretati na ovaj način beskonačno dugo vremena, funkcija koja odražava ovisnost koordinate o vremenu će se pokazati stalno rastućom. Iz toga proizlazi da nema kritičnih područja. Na grafu derivacije, odnosno linearno promjenjive brzine, također nema točaka ekstrema.

Isto vrijedi i za slučaj "B" s pozitivnim i stalno rastućim ubrzanjem. Istina, grafikoni za koordinate i brzinu ovdje će biti nešto složeniji.

Kada ubrzanje ide na nulu

Gledajući sliku "B", može se uočiti potpuno drugačija slika koja karakterizira kretanje tijela. Njezinu brzinu grafički ćemo prikazati parabolom s granama usmjerenim prema dolje. Ako nastavimo liniju koja opisuje promjenu akceleracije sve dok se ne siječe s osi OX i dalje, možemo zamisliti da će do te kritične vrijednosti, gdje se akceleracija ispostavlja da je nula, brzina objekta rasti sve sporije . Ekstremna točka derivata koordinatne funkcije bit će točno na vrhu parabole, nakon čega će tijelo radikalno promijeniti prirodu svog kretanja i početi se kretati u drugom smjeru.

U posljednjem slučaju, "G", priroda kretanja ne može se točno odrediti. Ovdje samo znamo da nema ubrzanja za neko promatrano razdoblje. To znači da objekt može ostati na mjestu ili se kretati konstantnom brzinom.

Problem zbrajanja koordinata

Prijeđimo na zadatke koji se često susreću pri proučavanju algebre u školi i nude se za pripremu za Jedinstveni državni ispit. Slika ispod prikazuje graf funkcije. Potrebno je izračunati zbroj točaka ekstrema.

Učinimo to za ordinatnu os određivanjem koordinata kritičnih područja u kojima se opaža promjena karakteristika funkcije. Jednostavno rečeno, pronaći ćemo vrijednosti duž OX osi za točke infleksije, a zatim nastaviti s dodavanjem rezultirajućih članova. Iz rasporeda se vidi da prihvaćaju sljedeće vrijednosti: -8; -7 ; -5; -3; -2; 1; 3. To daje zbroj -21, što je odgovor.

Optimalno rješenje

Ne treba posebno objašnjavati koliko izbor optimalnog rješenja može biti važan u obavljanju praktičnih zadataka. Uostalom, postoji mnogo načina za postizanje cilja, ali najbolji izlaz, u pravilu, je samo jedan. To je iznimno potrebno, primjerice, kod projektiranja brodova, svemirskih brodova i zrakoplova te arhitektonskih građevina kako bi se pronašao optimalan oblik ovih objekata koje je napravio čovjek.

Brzina vozila uvelike ovisi o pravilnom minimiziranju otpora koji doživljavaju pri kretanju kroz vodu i zrak, o preopterećenjima koja nastaju pod utjecajem gravitacijskih sila i mnogim drugim pokazateljima. Brod na moru zahtijeva takve osobine kao što je stabilnost tijekom oluje; za riječni brod važan je minimalni gaz. Prilikom izračuna optimalnog dizajna, točke ekstrema na grafikonu mogu jasno dati ideju o tome najbolje rješenje složen problem. Problemi ove vrste često se rješavaju u ekonomiji, u poslovnim područjima iu mnogim drugim životnim situacijama.

Iz davne povijesti

Čak su i stari mudraci bili zaokupljeni ekstremnim problemima. Grčki su znanstvenici matematičkim izračunima uspješno odgonetnuli misterij površina i volumena. Oni su prvi shvatili da na ravnini raznih likova koji imaju isti obim, krug uvijek ima najveću površinu. Slično tome, lopta je obdarena najvećim volumenom među ostalim objektima u prostoru s istom površinom. Takve poznate ličnosti poput Arhimeda, Euklida, Aristotela, Apolonija posvetile su se rješavanju takvih problema. Heron je bio izvrstan u pronalaženju točaka ekstrema te je pomoću proračuna napravio genijalne naprave. To uključuje strojeve koji se pokreću parom, pumpe i turbine koje rade na istom principu.

Izgradnja Kartage

Postoji legenda čija se radnja temelji na rješavanju jednog od ekstremnih problema. Rezultat poslovnog pristupa feničke princeze, koja se za pomoć obratila mudracima, bila je izgradnja Kartage. Zemljište za ovaj drevni i slavni grad Didonu (tako se zvao vladar) dao je vođa jednog od afričkih plemena. Područje parcele u početku mu se nije činilo velikim, jer je prema ugovoru trebalo biti prekriveno volovskom kožom. Ali princeza je naredila svojim vojnicima da ga izrežu na tanke trake i od njih naprave pojas. Ispostavilo se da je toliko dugačka da je pokrivala područje na koje bi mogao stati cijeli grad.

Porijeklo matematičke analize

Prijeđimo sada iz antičkih vremena u kasniju eru. Zanimljivo je da je Keplera na razumijevanje temelja matematičke analize u 17. stoljeću potaknuo susret s prodavačem vina. Trgovac je bio toliko upućen u svoju struku da je lako mogao odrediti količinu pića u bačvi jednostavnim spuštanjem željeznog užeta u nju. Osvrćući se na takav kuriozitet, slavni je znanstvenik za sebe uspio riješiti i ovu dilemu. Ispostavilo se da su vješti bačvari toga doba umijeli izrađivati ​​posude tako da su, na određenoj visini i polumjeru opsega karika za pričvršćivanje, imale maksimalan kapacitet.

To je Kepleru bio razlog za daljnje razmišljanje. Dugom potragom, pogreškama i novim pokušajima bačvari su došli do optimalnog rješenja, prenoseći svoje iskustvo s koljena na koljeno. Ali Kepler je želio ubrzati proces i naučiti kako učiniti istu stvar u kratkoročno kroz matematičke proračune. Svi njegovi razvoji, koje su prihvatili njegovi kolege, pretvorili su se u danas poznate Fermatove i Newton-Leibnizove teoreme.

Problem maksimalne površine

Zamislimo da imamo žicu duljine 50 cm.Kako od nje sastaviti pravokutnik koji ima najveću površinu?

Kada odlučujete, trebali biste poći od jednostavnih istina koje su svima poznate. Jasno je da će opseg naše figure biti 50 cm, a sastoji se od dvostrukih duljina obje strane. To znači da, nakon što je jedan od njih označen kao "X", drugi se može izraziti kao (25 - X).

Odavde dobivamo površinu jednaku X(25 - X). Ovaj izraz se može smatrati funkcijom koja ima više vrijednosti. Rješavanje problema zahtijeva pronalaženje njihovog maksimuma, što znači da morate pronaći točke ekstrema.

Da bismo to učinili, pronalazimo prvu derivaciju i izjednačavamo je s nulom. Rezultat je jednostavna jednadžba: 25 - 2X = 0.

Iz njega saznajemo da je jedna od stranica X = 12,5.

Prema tome, drugi: 25 - 12,5 = 12,5.

Ispada da će rješenje problema biti kvadrat sa stranom od 12,5 cm.

Kako pronaći maksimalnu brzinu

Pogledajmo još jedan primjer. Zamislimo da postoji tijelo čije je pravocrtno gibanje opisano jednadžbom S = - t 3 + 9t 2 - 24t - 8, gdje je prijeđeni put izražen u metrima, a vrijeme u sekundama. Moramo pronaći maksimalnu brzinu. Kako to učiniti? Preuzeto nalazimo brzinu, odnosno prvu derivaciju.

Dobivamo jednadžbu: V = - 3t 2 + 18t - 24. Sada, da bismo riješili problem, opet moramo pronaći točke ekstrema. To se mora učiniti na isti način kao u prethodnom zadatku. Nađemo prvu derivaciju brzine i izjednačimo je s nulom.

Dobivamo: - 6t + 18 = 0. Odatle je t = 3 s. To je vrijeme kada brzina tijela poprima kritičnu vrijednost. Dobivene podatke zamijenimo u jednadžbu brzine i dobijemo: V = 3 m/s.

Ali kako shvatiti da je to najveća brzina, budući da kritične točke funkcije mogu biti njezine najveće ili najmanje vrijednosti? Za provjeru je potrebno pronaći drugu derivaciju brzine. Izražava se brojem 6 s predznakom minus. To znači da je pronađena točka maksimum. A u slučaju pozitivne vrijednosti, druga derivacija bi imala minimum. To znači da se pronađeno rješenje pokazalo točnim.

Zadaci navedeni kao primjer samo su dio onih koji se mogu riješiti ako znate pronaći točke ekstrema funkcije. Zapravo, ima ih mnogo više. A takvo znanje otvara neograničene mogućnosti za ljudsku civilizaciju.

Da bismo odredili prirodu funkcije i govorili o njezinom ponašanju, potrebno je pronaći intervale porasta i opadanja. Taj se proces naziva istraživanje funkcija i crtanje grafikona. Ekstremna točka se koristi pri pronalaženju najveće i najmanje vrijednosti funkcije, jer na njima funkcija raste ili opada od intervala.

U članku se otkrivaju definicije, formulira dovoljan predznak porasta i pada na intervalu te uvjet za postojanje ekstrema. Ovo se odnosi na rješavanje primjera i zadataka. Odjeljak o diferenciranju funkcija treba ponoviti jer će rješenje morati koristiti nalaženje izvoda.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definicija 1

Funkcija y = f (x) će rasti na intervalu x kada je za bilo koje x 1 ∈ X i x 2 ∈ X, x 2 > x 1, zadovoljena nejednakost f (x 2) > f (x 1). Drugim riječima, višu vrijednost argument odgovara većoj vrijednosti funkcije.

Definicija 2

Smatra se da je funkcija y = f (x) opadajuća na intervalu x kada za bilo koji x 1 ∈ X, x 2 ∈ X, x 2 > x 1, vrijedi jednakost f (x 2) > f (x 1) smatra se istinitim. Drugim riječima, veća vrijednost funkcije odgovara manjoj vrijednosti argumenta. Razmotrite sliku u nastavku.

Komentar: Kada je funkcija određena i neprekidna na krajevima intervala rastućeg i padajućeg, tj. (a; b), gdje je x = a, x = b, točke ulaze u interval rastućeg i padajućeg. To nije u suprotnosti s definicijom, to znači da se odvija na intervalu x.

Osnovna svojstva elementarne funkcije tip y = sin x – određenost i kontinuitet za stvarne vrijednosti argumenata. Odavde dobivamo da sinus raste u intervalu - π 2; π 2, tada povećanje na segmentu ima oblik - π 2; π 2.

Točka x 0 se zove maksimalna točka za funkciju y = f (x), kada za sve vrijednosti x vrijedi nejednakost f (x 0) ≥ f (x). Maksimalna funkcija je vrijednost funkcije u točki, a označava se s y m a x .

Točka x 0 naziva se minimalna točka za funkciju y = f (x), kada za sve vrijednosti x vrijedi nejednakost f (x 0) ≤ f (x). Minimalne funkcije je vrijednost funkcije u točki, a ima oznaku oblika y m i n .

Razmatraju se okoline točke x 0 ekstremne točke, a vrijednost funkcije koja odgovara točkama ekstrema. Razmotrite sliku u nastavku.

Ekstremi funkcije s najvećom i najmanjom vrijednošću funkcije. Razmotrite sliku u nastavku.

Prva slika kaže da je potrebno pronaći najveću vrijednost funkcije iz segmenta [a; b ] . Pronađena je korištenjem maksimalnih točaka i jednaka je maksimalnoj vrijednosti funkcije, a druga brojka je više poput pronalaženja maksimalne točke na x = b.

Dovoljni uvjeti za porast i pad funkcije

Za pronalaženje maksimuma i minimuma funkcije potrebno je primijeniti predznake ekstrema u slučaju kada funkcija zadovoljava te uvjete. Prvi znak se smatra najčešće korištenim.

Prvi dovoljan uvjet za ekstrem

Neka je dana funkcija y = f (x) koja je diferencijabilna u ε okolini točke x 0 i ima kontinuitet u zadanoj točki x 0. Odavde to dobivamo

• kada je f " (x) > 0 s x ∈ (x 0 - ε ; x 0) i f " (x)< 0 при x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) , тогда x 0 является точкой максимума;
• kada je f "(x)< 0 с x ∈ (x 0 - ε ; x 0) и f " (x) >0 za x ∈ (x 0 ; x 0 + ε), tada je x 0 minimalna točka.

Drugim riječima, dobivamo njihove uvjete za postavljanje znaka:

• kada je funkcija kontinuirana u točki x 0, tada ima derivaciju s promjenjivim predznakom, odnosno od + do -, što znači da se točka naziva maksimumom;
• kada je funkcija kontinuirana u točki x 0, tada ima derivaciju s promjenjivim predznakom od - do +, što znači da se točka naziva minimumom.

Da biste ispravno odredili maksimalne i minimalne točke funkcije, morate slijediti algoritam za njihovo pronalaženje:

• pronaći domenu definicije;
• pronaći derivaciju funkcije na ovoj površini;
• identificirati nule i točke u kojima funkcija ne postoji;
• određivanje predznaka derivacije na intervalima;
• odaberite točke u kojima funkcija mijenja predznak.

Razmotrimo algoritam rješavanjem nekoliko primjera nalaženja ekstrema funkcije.

Primjer 1

Odredi točku maksimuma i minimuma zadane funkcije y = 2 (x + 1) 2 x - 2 .

Riješenje

Domena definicije ove funkcije su svi realni brojevi osim x = 2. Prvo, pronađimo izvod funkcije i dobijmo:

y " = 2 x + 1 2 x - 2 " = 2 x + 1 2 " (x - 2) - (x + 1) 2 (x - 2) " (x - 2) 2 = = 2 2 (x + 1) (x + 1) " (x - 2) - (x + 1) 2 1 (x - 2) 2 = 2 2 (x + 1) (x - 2 ) - (x + 2) 2 (x - 2) 2 = = 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2

Odavde vidimo da su nule funkcije x = - 1, x = 5, x = 2, odnosno svaka zagrada mora biti izjednačena s nulom. Označimo ga na brojčanoj osi i dobijemo:

Sada odredimo predznake izvoda iz svakog intervala. Potrebno je odabrati točku uključenu u interval i zamijeniti je u izraz. Na primjer, točke x = - 2, x = 0, x = 3, x = 6.

Shvaćamo to

y " (- 2) = 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2 x = - 2 = 2 · (- 2 + 1) · (- 2 - 5) (- 2 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0, što znači da interval - ∞ ; - 1 ima pozitivnu derivaciju. Slično tome nalazimo da

y " (0) = 2 · (0 + 1) · 0 - 5 0 - 2 2 = 2 · - 5 4 = - 5 2< 0 y " (3) = 2 · (3 + 1) · (3 - 5) (3 - 2) 2 = 2 · - 8 1 = - 16 < 0 y " (6) = 2 · (6 + 1) · (6 - 5) (6 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0

Budući da se drugi interval pokazao manjim od nule, to znači da će derivacija na intervalu biti negativna. Treći s minusom, četvrti s plusom. Da biste odredili kontinuitet, morate obratiti pozornost na predznak derivata, ako se mijenja, onda je to točka ekstrema.

Nalazimo da će u točki x = - 1 funkcija biti kontinuirana, što znači da će derivacija promijeniti predznak s + na -. Prema prvom znaku imamo da je x = - 1 maksimalna točka, što znači da smo dobili

y m a x = y (- 1) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = - 1 = 2 (- 1 + 1) 2 - 1 - 2 = 0

Točka x = 5 označava da je funkcija kontinuirana, a derivacija će promijeniti predznak iz – u +. To znači da je x = -1 točka minimuma, a njezino određenje ima oblik

y m i n = y (5) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = 5 = 2 (5 + 1) 2 5 - 2 = 24

Grafička slika

Odgovor: y m a x = y (- 1) = 0, y m i n = y (5) = 24.

Vrijedno je obratiti pozornost na činjenicu da korištenje prvog dovoljnog kriterija za ekstrem ne zahtijeva diferencijabilnost funkcije u točki x 0, to pojednostavljuje izračun.

Primjer 2

Odredi točku maksimuma i minimuma funkcije y = 1 6 x 3 = 2 x 2 + 22 3 x - 8.

Riješenje.

Domena funkcije su svi realni brojevi. Ovo se može napisati kao sustav jednadžbi oblika:

1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 , x ≥ 0

Zatim morate pronaći izvedenicu:

y " = 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 ", x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 " , x >0 y " = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0

Točka x = 0 nema derivaciju, jer su vrijednosti jednostranih granica različite. Dobivamo to:

lim y "x → 0 - 0 = lim y x → 0 - 0 - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 = - 1 2 (0 - 0) 2 - 4 (0 - 0) - 22 3 = - 22 3 lim y " x → 0 + 0 = lim y x → 0 - 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 = 1 2 (0 + 0) 2 - 4 (0 + 0) + 22 3 = + 22 3

Slijedi da je funkcija kontinuirana u točki x = 0, tada računamo

lim y x → 0 - 0 = lim x → 0 - 0 - 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 = = - 1 6 · (0 - 0) 3 - 2 · (0 - 0) 2 - 22 3 (0 - 0) - 8 = - 8 lim y x → 0 + 0 = lim x → 0 - 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 = = 1 6 (0 + 0) 3 - 2 · (0 + 0) 2 + 22 3 · (0 + 0) - 8 = - 8 y (0) = 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = 1 6 · 0 3 - 2 0 2 + 22 3 0 - 8 = - 8

Potrebno je izvršiti izračune kako bi se pronašla vrijednost argumenta kada derivacija postane nula:

1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 D = (- 4) 2 - 4 · - 1 2 · - 22 3 = 4 3 x 1 = 4 + 4 3 2 · - 1 2 = - 4 - 2 3 3 < 0 x 2 = 4 - 4 3 2 · - 1 2 = - 4 + 2 3 3 < 0

1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0 D = (- 4) 2 - 4 1 2 22 3 = 4 3 x 3 = 4 + 4 3 2 1 2 = 4 + 2 3 3 > 0 x 4 = 4 - 4 3 2 1 2 = 4 - 2 3 3 > 0

Sve dobivene točke potrebno je označiti na ravnoj crti kako bi se odredio predznak svakog intervala. Stoga je potrebno izračunati derivaciju u proizvoljnim točkama za svaki interval. Na primjer, možemo uzeti točke s vrijednostima x = - 6, x = - 4, x = - 1, x = 1, x = 4, x = 6. Shvaćamo to

y " (- 6) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 6 = - 1 2 · - 6 2 - 4 · (- 6) - 22 3 = - 4 3< 0 y " (- 4) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 4 = - 1 2 · (- 4) 2 - 4 · (- 4) - 22 3 = 2 3 >0 y " (- 1) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 1 = - 1 2 · (- 1) 2 - 4 · (- 1) - 22 3 = 23 6< 0 y " (1) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 1 = 1 2 · 1 2 - 4 · 1 + 22 3 = 23 6 >0 y "(4) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 4 = 1 2 4 2 - 4 4 + 22 3 = - 2 3< 0 y " (6) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 6 = 1 2 · 6 2 - 4 · 6 + 22 3 = 4 3 > 0

Slika na ravnoj liniji izgleda ovako

To znači da dolazimo do zaključka da je potrebno pribjeći prvom znaku ekstrema. Izračunajmo i pronađimo to

x = - 4 - 2 3 3 , x = 0 , x = 4 + 2 3 3 , onda odavde maksimalne točke imaju vrijednosti x = - 4 + 2 3 3 , x = 4 - 2 3 3

Prijeđimo na izračun minimuma:

y m i n = y - 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 + 2 3 3 = - 8 27 3

Izračunajmo maksimume funkcije. Shvaćamo to

y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 - 2 3 3 = 8 27 3

Grafička slika

Odgovor:

y m i n = y - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = - 8 27 3 y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 - 2 3 3 = 8 27 3

Ako je dana funkcija f " (x 0) = 0, tada ako je f "" (x 0) > 0, dobivamo da je x 0 minimalna točka ako je f "" (x 0)< 0 , то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x 0 .

Primjer 3

Odredi maksimume i minimume funkcije y = 8 x x + 1.

Riješenje

Prvo, nalazimo domenu definicije. Shvaćamo to

D(y): x ≥ 0 x ≠ - 1 ⇔ x ≥ 0

Potrebno je razlikovati funkciju, nakon čega dobivamo

y " = 8 x x + 1 " = 8 x " (x + 1) - x (x + 1) " (x + 1) 2 = = 8 1 2 x (x + 1) - x 1 (x + 1) 2 = 4 x + 1 - 2 x (x + 1) 2 x = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x

Pri x = 1 derivacija postaje nula, što znači da je točka mogući ekstrem. Radi pojašnjenja, potrebno je pronaći drugu derivaciju i izračunati vrijednost pri x = 1. Dobivamo:

y "" = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x " = = 4 (- x + 1) " (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x " (x + 1) 4 x = = 4 (- 1) (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 " x + (x + 1) 2 x " (x + 1) 4 x = = 4 - (x + 1) 2 x - (- x + 1) 2 x + 1 (x + 1) " x + (x + 1) 2 2 x (x + 1) 4 x = = - (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x + x + 1 2 x (x + 1) 4 x = = 2 3 x 2 - 6 x - 1 x + 1 3 x 3 ⇒ y "" (1 ) = 2 3 1 2 - 6 1 - 1 (1 + 1) 3 (1) 3 = 2 · - 4 8 = - 1< 0

To znači da koristeći 2 dovoljna uvjeta za ekstrem, dobivamo da je x = 1 maksimalna točka. Inače, unos izgleda ovako: y m a x = y (1) = 8 1 1 + 1 = 4.

Grafička slika

Odgovor: y m a x = y (1) = 4 ..

Funkcija y = f (x) ima svoju derivaciju do n-tog reda u ε okolini dana točka x 0 i derivacija do n + 1. reda u točki x 0 . Tada je f " (x 0) = f "" (x 0) = f " " " (x 0) = . . . = f n (x 0) = 0 .

Slijedi da kada je n paran broj, tada se x 0 smatra točkom infleksije, kada je n neparan broj, tada je x 0 točka ekstrema, a f (n + 1) (x 0) > 0, tada je x 0 je minimalna točka, f (n + 1) (x 0)< 0 , тогда x 0 является точкой максимума.

Primjer 4

Odredi točku maksimuma i minimuma funkcije y y = 1 16 (x + 1) 3 (x - 3) 4.

Riješenje

Izvorna funkcija je racionalna cijela funkcija, što znači da su domena definicije svi realni brojevi. Potrebno je razlikovati funkciju. Shvaćamo to

y " = 1 16 x + 1 3 " (x - 3) 4 + (x + 1) 3 x - 3 4 " = = 1 16 (3 (x + 1) 2 (x - 3) 4 + (x + 1) 3 4 (x - 3) 3) = = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (3 x - 9 + 4 x + 4) = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (7 x - 5)

Ova derivacija će ići na nulu kod x 1 = - 1, x 2 = 5 7, x 3 = 3. To jest, točke mogu biti moguće točke ekstrema. Potrebno je primijeniti treći dovoljan uvjet za ekstremum. Pronalaženje druge derivacije omogućuje vam točno određivanje prisutnosti maksimuma i minimuma funkcije. Druga derivacija se izračunava u točkama njenog mogućeg ekstremuma. Shvaćamo to

y "" = 1 16 x + 1 2 (x - 3) 3 (7 x - 5) " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) y "" (- 1) = 0 y "" 5 7 = - 36864 2401< 0 y "" (3) = 0

To znači da je x 2 = 5 7 najveća točka. Primjenom 3. dovoljnog kriterija dobivamo da je za n = 1 i f (n + 1) 5 7< 0 .

Potrebno je odrediti prirodu točaka x 1 = - 1, x 3 = 3. Da biste to učinili, morate pronaći treću derivaciju i izračunati vrijednosti u tim točkama. Shvaćamo to

y " " " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) " = = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) y " " " (- 1) = 96 ≠ 0 y " " " (3) = 0

To znači da je x 1 = - 1 točka infleksije funkcije, budući da je za n = 2 i f (n + 1) (- 1) ≠ 0. Potrebno je istražiti točku x 3 = 3. Da bismo to učinili, pronalazimo 4. izvod i izvodimo izračune u ovoj točki:

y (4) = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) " = = 1 2 (105 x 3 - 405 x 2 + 315 x + 57) y (4) ( 3) = 96 > 0

Iz onoga što je gore odlučeno zaključujemo da je x 3 = 3 minimalna točka funkcije.

Grafička slika

Odgovor: x 2 = 5 7 je maksimalna točka, x 3 = 3 je minimalna točka zadane funkcije.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Kao što vidite, ovaj znak ekstrema funkcije zahtijeva postojanje derivacije barem drugog reda u točki.

Primjer.

Pronađite ekstreme funkcije.

Riješenje.

Počnimo s domenom definicije:

Razlikujmo izvornu funkciju:

x=1, odnosno to je točka mogućeg ekstrema. Pronalazimo drugu derivaciju funkcije i izračunavamo njezinu vrijednost pri x = 1:

Prema tome, prema drugom dovoljnom uvjetu za ekstrem, x=1- maksimalna točka. Zatim - maksimalna funkcija.

Grafička ilustracija.

Odgovor:

Treći dovoljan uvjet za ekstrem funkcije.

Neka funkcija y=f(x) ima izvedenice do n-tog reda u -okolici točke i izvodnice do n+1-th red na samoj točki. Neka bude.

Primjer.

Nađi točke ekstrema funkcije .

Riješenje.

Izvorna funkcija je cijela racionalna funkcija; njezina domena definicije je cijeli skup realnih brojeva.

Razlikujmo funkciju:

Derivacija ide na nulu pri , dakle, to su točke mogućeg ekstrema. Iskoristimo treći dovoljan uvjet za ekstrem.

Pronalazimo drugu derivaciju i izračunavamo njezinu vrijednost u točkama mogućeg ekstrema (izostavit ćemo međuizračune):

Prema tome, maksimalna je točka (za treći dovoljan znak ekstrema imamo n=1 i ).

Kako bismo saznali prirodu točaka nalazimo treću derivaciju i izračunavamo njenu vrijednost u ovim točkama:

Dakle, je točka infleksije funkcije ( n=2 i ).

Ostaje se pozabaviti poantom. Nalazimo četvrtu derivaciju i izračunavamo njenu vrijednost u ovoj točki:

Stoga je minimalna točka funkcije.

Grafička ilustracija.

Odgovor:

Maksimalna točka je minimalna točka funkcije.

10. Ekstremi funkcije Definicija ekstrema

Poziva se funkcija y = f(x). povećavajući se (smanjujući se) u određenom intervalu, ako je za x 1< x 2 выполняется неравенство (f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) >f(x 2)).

Ako diferencijabilna funkcija y = f(x) raste (opada) na intervalu, tada je njezina derivacija na tom intervalu f " (x)  0

(f " (x)  0).

Točka x O nazvao lokalna maksimalna točka (minimum) funkcija f(x), ako postoji okolina točke x O, za sve točke od kojih vrijedi nejednakost f(x) ≤ f(x o) (f(x) ≥ f(x o)).

Pozivaju se maksimalne i minimalne točke ekstremne točke, a vrijednosti funkcije u tim točkama su njezine krajnosti.

Ekstremne točke

Nužni uvjeti za ekstrem. Ako je točka x O točka ekstrema funkcije f(x), tada ili f " (x o) = 0, ili f (x o) ne postoji. Takve točke nazivamo kritično, a sama funkcija je definirana u kritičnoj točki. Ekstreme funkcije treba tražiti među njezinim kritičnim točkama.

Prvi dovoljan uvjet. Neka x O- kritična točka. Ako je f "(x) pri prolasku kroz točku x O mijenja znak plus u minus, a zatim na točku x O funkcija ima maksimum, inače ima minimum. Ako pri prolasku kroz kritičnu točku derivacija ne promijeni predznak, tada u točki x O nema ekstrema.

Drugi dovoljan uvjet. Neka funkcija f(x) ima derivaciju f " (x) u blizini točke x O a druga izvodnica u samoj točki x O. Ako je f "(x o) = 0, >0 (<0), то точка x O je lokalna točka minimuma (maksimuma) funkcije f(x). Ako je =0, tada trebate upotrijebiti prvi dovoljan uvjet ili upotrijebiti više derivacije.

Na segmentu funkcija y = f(x) može postići svoju minimalnu ili maksimalnu vrijednost bilo u kritičnim točkama ili na krajevima segmenta.

Primjer 3.22. Odredite ekstreme funkcije f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Riješenje. Budući da je f "(x) = 6x 2 - 30x +36 = 6 (x ​​-2) (x - 3), tada su kritične točke funkcije x 1 = 2 i x 2 = 3. Ekstremumi mogu biti samo na ove točke. Dakle, kako pri prolasku kroz točku x 1 = 2 izvodnica mijenja predznak iz plusa u minus, tada u ovoj točki funkcija ima maksimum. Prolaskom kroz točku x 2 = 3 izvodnica mijenja predznak iz minus na plus, dakle u točki x 2 = 3 funkcija ima minimum. Izračunavši vrijednosti funkcije u točkama x 1 = 2 i x 2 = 3, nalazimo ekstreme funkcije: maksimum f( 2) = 14 i najmanje f(3) = 13.