Varianta este egală cu suma mediei aritmetice a pătratelor opțiunilor. Cum se calculează varianța unei variabile aleatoare

Cu toate acestea, această caracteristică singură nu este suficientă pentru a fi studiată variabilă aleatorie. Imaginați-vă doi trăgători care trag într-o țintă. Unul trage cu precizie și lovește aproape de centru, iar celălalt... doar se distrează și nici măcar nu țintește. Dar ce e amuzant este că in medie rezultatul va fi exact același cu primul shooter! Această situație este ilustrată condiționat de următoarele variabile aleatoare:

Așteptarea matematică „lunetist” este egală cu , însă, pentru „persoana interesantă”: - este și zero!

Astfel, este necesar să se cuantifice cât de departe risipite gloanțe (valori aleatoare) în raport cu centrul țintei ( așteptări matematice). bine si împrăștiere tradus din latină numai ca dispersie .

Să vedem cum se determină această caracteristică numerică într-unul dintre exemplele din prima parte a lecției:

Acolo am găsit o așteptare matematică dezamăgitoare a acestui joc, iar acum trebuie să calculăm varianța acestuia, care notat prin .

Să aflăm cât de mult sunt „împrăștiate” câștigurile/pierderile față de valoarea medie. Evident, pentru asta trebuie să calculăm diferențeîntre valorile unei variabile aleatoare si ea așteptări matematice:

–5 – (–0,5) = –4,5
2,5 – (–0,5) = 3
10 – (–0,5) = 10,5

Acum pare a fi necesar să însumăm rezultatele, dar acest mod nu este bun - din motivul că oscilațiile din stânga se vor anula reciproc cu oscilațiile din dreapta. Deci, de exemplu, trăgătorul „amator”. (exemplu de mai sus) diferențele vor fi , iar atunci când sunt adăugate vor da zero, așa că nu vom obține nicio estimare a împrăștierii împușcării sale.

Pentru a ocoli această supărare, luați în considerare module diferențe, dar motive tehnice abordarea a prins rădăcini atunci când sunt pătrate. Este mai convenabil să aranjați soluția într-un tabel:

Și aici se cere să calculeze medie ponderată valoarea abaterilor pătrate. Ce este? Este a lor valorea estimata, care este măsura împrăștierii:

– definiție dispersie. Din definiție reie imediat clar că varianța nu poate fi negativă- ia notă pentru practică!

Să ne amintim cum să găsim așteptarea. Înmulțiți diferențele la pătrat cu probabilitățile corespunzătoare (continuare tabel):
- la figurat vorbind, aceasta este "forța de tracțiune",
și rezumați rezultatele:

Nu crezi că pe fondul câștigurilor, rezultatul s-a dovedit a fi prea mare? Așa este - ne pătram și, pentru a reveni la dimensiunea jocului nostru, trebuie să luăm rădăcina pătrată. Această valoare este numită deviație standard și este notat cu litera greacă „sigma”:

Uneori acest sens este numit deviație standard .

Care este sensul lui? Dacă ne abatem de la așteptarea matematică la stânga și la dreapta prin medie deviație standard:

– atunci cele mai probabile valori ale variabilei aleatoare vor fi „concentrate” pe acest interval. Ce vedem de fapt:

Cu toate acestea, sa întâmplat ca în analiza împrăștierii operați aproape întotdeauna cu conceptul de dispersie. Să vedem ce înseamnă în legătură cu jocurile. Dacă în cazul trăgătorilor vorbim despre „acuratețea” loviturilor în raport cu centrul țintei, atunci aici dispersia caracterizează două lucruri:

În primul rând, este evident că pe măsură ce ratele cresc, și varianța crește. Deci, de exemplu, dacă creștem de 10 ori, atunci așteptarea matematică va crește de 10 ori, iar varianța va crește de 100 de ori (de îndată ce este o valoare pătratică). Dar rețineți că regulile jocului nu s-au schimbat! Doar ratele s-au schimbat, aproximativ vorbind, obișnuiam să pariam 10 ruble, acum 100.

Al doilea punct, mai interesant, este că variația caracterizează stilul de joc. Fixați mental tarifele jocului la un anumit nivelși vezi ce este aici:

Un joc cu variație scăzută este un joc precaut. Jucătorul tinde să aleagă cele mai de încredere scheme, unde nu pierde/câștigă prea mult la un moment dat. De exemplu, sistemul roșu/negru la ruletă (vezi Exemplul 4 al articolului variabile aleatoare) .

Joc cu variație mare. Ea este numită des dispersie joc. Acesta este un stil de joc aventuros sau agresiv în care jucătorul alege scheme de „adrenalină”. Să ne amintim măcar "Martingala", în care sumele puse în joc sunt ordine de mărime mai mari decât jocul „liniștit” din paragraful anterior.

Situația în poker este orientativă: există așa-zise strâmt jucători care tind să fie precauți și să se „agite” cu fondurile lor de joc (rulaj bancar). Nu este surprinzător că bankroll-ul lor nu fluctuează prea mult (varianță scăzută). În schimb, dacă un jucător are o variație mare, atunci acesta este agresorul. El își asumă adesea riscuri, face pariuri mari și poate atât să spargă o bancă uriașă, cât și să facă bucăți.

Același lucru se întâmplă în Forex și așa mai departe - există o mulțime de exemple.

Mai mult, în toate cazurile nu contează dacă jocul este pentru un ban sau pentru mii de dolari. Fiecare nivel are jucătorii săi cu variație scăzută și mare. Ei bine, pentru câștigul mediu, așa cum ne amintim, „responsabil” valorea estimata.

Probabil ați observat că găsirea variației este un proces lung și minuțios. Dar matematica este generoasă:

Formula pentru găsirea varianței

Această formulă este derivată direct din definiția varianței și o punem imediat în circulație. Voi copia placa cu jocul nostru de sus:

si asteptarea gasita .

Calculăm varianța în al doilea mod. Mai întâi, să găsim așteptarea matematică - pătratul variabilei aleatoare. De Definiția așteptărilor matematice:

În acest caz:

Astfel, conform formulei:

După cum se spune, simți diferența. Și în practică, desigur, este mai bine să aplicați formula (cu excepția cazului în care condiția cere altfel).

Stăpânim tehnica de rezolvare și proiectare:

Exemplul 6

Găsiți așteptările sale matematice, varianța și abaterea standard.

Această sarcină se găsește peste tot și, de regulă, nu are un sens semnificativ.
Vă puteți imagina mai multe becuri cu cifre care se aprind într-un cămin de nebuni cu anumite probabilități :)

Soluţie: Este convenabil să rezumați principalele calcule într-un tabel. Mai întâi, scriem datele inițiale în primele două rânduri. Apoi calculăm produsele, apoi și în final sumele din coloana din dreapta:

De fapt, aproape totul este gata. În a treia linie, a fost trasată o așteptare matematică gata făcută: .

Dispersia se calculează prin formula:

Și în sfârșit, abaterea standard:
- personal, de obicei rotunjesc la 2 zecimale.

Toate calculele pot fi efectuate pe un calculator și chiar mai bine - în Excel:

E greu sa gresesti aici :)

Răspuns:

Cei care doresc își pot simplifica și mai mult viața și pot profita de mine calculator (demo), care nu numai că rezolvă instantaneu această problemă, ci și construiește grafică tematică (Vino curând). Programul poate descărcați în bibliotecă– dacă ați descărcat cel puțin un material de studiu sau primiți altă cale. Vă mulțumim pentru susținerea proiectului!

Câteva sarcini pentru decizie independentă:

Exemplul 7

Calculați varianța variabilei aleatoare din exemplul anterior prin definiție.

Si un exemplu asemanator:

Exemplul 8

O variabilă aleatorie discretă este dată de propria sa lege de distribuție:

Da, valorile variabilei aleatoare pot fi destul de mari (exemplu din munca adevarata) , și aici, dacă este posibil, folosiți Excel. Ca, de altfel, în Exemplul 7 - este mai rapid, mai fiabil și mai plăcut.

Soluții și răspunsuri în partea de jos a paginii.

În încheierea celei de-a doua părți a lecției, vom analiza încă o sarcină tipică, s-ar putea spune chiar un mic rebus:

Exemplul 9

O variabilă aleatoare discretă poate lua doar două valori: și , și . Probabilitatea, așteptările matematice și varianța sunt cunoscute.

Soluţie: Să începem cu o probabilitate necunoscută. Deoarece o variabilă aleatoare poate lua doar două valori, atunci suma probabilităților evenimentelor corespunzătoare:

iar de atunci .

Rămâne de găsit..., ușor de spus :) Dar ei bine, a început. Prin definiția așteptărilor matematice:
- înlocuiți valorile cunoscute:

- și nimic mai mult nu poate fi scos din această ecuație, cu excepția faptului că o puteți rescrie în direcția obișnuită:

sau:

Despre alte acțiuni, cred că puteți ghici. Să creăm și să rezolvăm sistemul:

zecimale- aceasta, desigur, este o rușine totală; înmulțiți ambele ecuații cu 10:

si imparti la 2:

Asta-i mult mai bine. Din prima ecuație exprimăm:
(aceasta este calea mai ușoară)- înlocuiți în a 2-a ecuație:

Construim pătratși faceți simplificări:

Înmulțim cu:

Ca urmare, ecuație pătratică, găsiți-i discriminantul:
- perfect!

și obținem două soluții:

1) dacă , apoi ;

2) dacă , apoi .

Prima pereche de valori satisface condiția. Cu o probabilitate mare, totul este corect, dar, cu toate acestea, notăm legea distribuției:

și efectuați o verificare, și anume, găsiți așteptarea:

Dacă populația este împărțită în grupuri în funcție de trăsătura studiată, atunci pentru această populație se pot calcula următoarele tipuri de dispersie: total, grup (intragrup), media grupului (media intragrup), intergrup.

Inițial, calculează coeficientul de determinare, care arată ce parte din variația totală a trăsăturii studiate este variația intergrup, i.e. datorita gruparii:

Raportul de corelație empirică caracterizează strânsoarea legăturii dintre gruparea (factorială) și semnele efective.

Raportul de corelație empirică poate lua valori de la 0 la 1.

Pentru a evalua apropierea relației pe baza raportului de corelație empirică, puteți utiliza relațiile Chaddock:

Exemplul 4 Există următoarele date despre performanța muncii de către organizațiile de proiectare și sondaj forme diferite proprietate:

Defini:

1) varianța totală;

2) dispersii de grup;

3) media dispersiilor de grup;

4) dispersie intergrup;

5) variația totală pe baza regulii de adunare a variațiilor;

6) coeficient de determinare și corelație empirică.

Trageți propriile concluzii.

Soluţie:

1. Să determinăm volumul mediu de muncă prestat de întreprinderile cu două forme de proprietate:

Calculați varianța totală:

2. Definiți mediile de grup:

milioane de ruble;

mln rub.

Variante de grup:

;

3. Calculați media variațiilor grupului:

4. Determinați varianța intergrup:

5. Calculați variația totală pe baza regulii de adăugare a variațiilor:

6. Determinați coeficientul de determinare:

.

Astfel, cantitatea de muncă efectuată de organizațiile de proiectare și sondaj cu 22% depinde de forma de proprietate a întreprinderilor.

Raportul de corelație empirică se calculează prin formula

.

Valoarea indicatorului calculat indică faptul că dependența cantității de muncă de forma de proprietate a întreprinderii este mică.

Exemplul 5În urma unui sondaj asupra disciplinei tehnologice a site-urilor de producție, s-au obținut următoarele date:

Determinați coeficientul de determinare

.

În schimb, dacă este un a.e. nenegativ. o funcţie astfel încât , atunci există o măsură de probabilitate absolut continuă pe care este densitatea acesteia.

Schimbare de măsură în integrala Lebesgue:

,

unde este integrabilă orice funcție Borel în raport cu măsura probabilității.

Dispersia, tipurile și proprietățile dispersiei Conceptul de dispersie

Dispersia în statistică se găsește ca abaterea standard a valorilor individuale ale trăsăturii la pătrat de la media aritmetică. În funcție de datele inițiale, acesta este determinat de formulele de varianță simple și ponderate:

1. varianță simplă(pentru date negrupate) se calculează prin formula:

2. Varianta ponderată (pentru o serie de variații):

unde n - frecvență (factor de repetabilitate X)

Un exemplu de găsire a varianței

Această pagină descrie un exemplu standard de găsire a varianței, puteți consulta și alte sarcini pentru găsirea acesteia

Exemplul 1. Determinarea grupului, media grupului, între grup și variația totală

Exemplul 2. Găsirea varianței și coeficientului de variație într-un tabel de grupare

Exemplul 3. Aflarea varianței într-o serie discretă

Exemplul 4. Avem următoarele date pentru un grup de 20 de elevi departamentul de corespondență. Este necesar să se construiască o serie de intervale a distribuției caracteristicilor, să se calculeze valoarea medie a caracteristicii și să se studieze varianța acesteia

Să construim o grupare de intervale. Să determinăm intervalul intervalului cu formula:

unde X max este valoarea maximă a caracteristicii de grupare; X min este valoarea minimă a caracteristicii de grupare; n este numărul de intervale:

Acceptăm n=5. Pasul este: h \u003d (192 - 159) / 5 \u003d 6,6

Să facem o grupare pe intervale

Pentru calcule suplimentare, vom construi un tabel auxiliar:

X "i - mijlocul intervalului. (de exemplu, mijlocul intervalului 159 - 165,6 \u003d 162,3)

Creșterea medie a studenților este determinată de formula mediei ponderate aritmetice:

Determinăm dispersia prin formula:

Formula poate fi convertită astfel:

Din această formulă rezultă că varianţa este diferența dintre media pătratelor opțiunilor și pătratul și media.

Varianta in seria de variatii cu intervale egale conform metodei momentelor se poate calcula în felul următor folosind a doua proprietate a dispersiei (împărțirea tuturor opțiunilor la valoarea intervalului). Definiţia variance, calculat prin metoda momentelor, conform următoarei formule necesită mai puțin timp:

unde i este valoarea intervalului; A - zero condiționat, care este convenabil să se folosească mijlocul intervalului cu cea mai mare frecvență; m1 este pătratul momentului de ordinul întâi; m2 - momentul de ordinul doi

Varianta caracteristicilor (dacă în populația statistică atributul se modifică în așa fel încât există doar două opțiuni care se exclud reciproc, atunci o astfel de variabilitate se numește alternativă) poate fi calculată prin formula:

Înlocuind în această formulă de dispersie q = 1- p, obținem:

Tipuri de dispersie

Varianta totala măsoară variaţia unei trăsături asupra întregii populaţii în ansamblu sub influenţa tuturor factorilor care provoacă această variaţie. Este egal cu pătratul mediu al abaterilor valorilor individuale ale caracteristicii x față de valoarea medie totală x și poate fi definită ca varianță simplă sau varianță ponderată.

Varianta intragrup caracterizează variația aleatorie, adică parte a variației, care se datorează influenței factorilor necontabiliați și nu depinde de factorul-semn care stă la baza grupării. O astfel de varianță este egală cu pătratul mediu al abaterilor valorilor individuale ale unei caracteristici din grupul X de la media aritmetică a grupului și poate fi calculată ca varianță simplă sau ca varianță ponderată.

În acest fel, măsuri de variație în cadrul grupului variația unei trăsături în cadrul unui grup și este determinată de formula:

unde xi - media grupului; ni este numărul de unități din grup.

De exemplu, variațiile intra-grup care trebuie determinate în sarcina de a studia influența calificărilor lucrătorilor asupra nivelului productivității muncii într-un magazin arată variații ale producției în fiecare grup cauzate de toți factorii posibili (starea tehnică a echipamentului, disponibilitatea sculelor și materialelor, vârsta lucrătorilor, intensitatea muncii etc.), cu excepția diferențelor în categorie de calificare(în cadrul unui grup, toți lucrătorii au aceleași calificări).

Media variațiilor în interiorul grupului reflectă variația aleatoare, adică acea parte a variației care a avut loc sub influența tuturor celorlalți factori, cu excepția factorului de grupare. Se calculează prin formula:

Varianta intergrup caracterizează variaţia sistematică a trăsăturii rezultate, care se datorează influenţei factorului-trăsătură care stă la baza grupării. Este egal cu pătratul mediu al abaterilor mediilor grupului de la media generală. Varianta intergrup este calculată prin formula:

Pentru date grupate dispersie reziduala- media dispersiilor intragrup:

Unde σ 2 j este varianța intra-grup a grupului j --lea.

Pentru date negrupate dispersie reziduala este o măsură a preciziei de aproximare, adică aproximarea dreptei de regresie la datele originale:
unde y(t) este prognoza conform ecuației tendinței; y t – serie inițială de dinamică; n este numărul de puncte; p este numărul de coeficienți ai ecuației de regresie (numărul de variabile explicative).
În acest exemplu se numește estimare imparțială a varianței.

Exemplul #1. Repartizarea lucrătorilor a trei întreprinderi ale unei asociații pe categorii tarifare se caracterizează prin următoarele date:

Categoria tarifară lucru	Numărul de lucrători la întreprindere
	intreprindere 1	intreprindere 2	intreprindere 3
1	50	20	40
2	100	80	60
3	150	150	200
4	350	300	400
5	200	150	250
6	150	100	150

Defini:
1. dispersie pentru fiecare întreprindere (dispersie intragrup);
2. media dispersiilor intragrup;
3. dispersie intergrup;
4. varianţa totală.

Soluţie.
Înainte de a trece la rezolvarea problemei, este necesar să aflați care caracteristică este eficientă și care este factorială. În exemplul luat în considerare, caracteristica efectivă este „Categoria tarifară”, iar caracteristica factorului este „Numărul (numele) întreprinderii”.
Apoi avem trei grupuri (întreprinderi) pentru care este necesar să se calculeze media grupului și variațiile intragrup:

Companie	media grupului,	variație în cadrul grupului,
1	4	1,8

Media variațiilor intragrup ( dispersie reziduala) calculat prin formula:

unde poti calcula:
sau:

apoi:
Dispersia totală va fi egală cu: s 2 \u003d 1,6 + 0 \u003d 1,6.
De asemenea, variația totală poate fi calculată folosind una dintre următoarele două formule:

Atunci când rezolvi probleme practice, de multe ori trebuie să te confrunți cu un semn care ia doar două valori alternative. În acest caz, ei nu vorbesc despre ponderea unei anumite valori a unei caracteristici, ci despre ponderea acesteia în agregat. Dacă proporția unităților populației care au trăsătura studiată este notă cu „ R", și nu posedă - prin" q”, atunci dispersia poate fi calculată prin formula:
s 2 = p×q

Exemplul #2. Conform datelor privind dezvoltarea a șase lucrători ai brigăzii, se determină varianța intergrup și se evaluează impactul schimbului de muncă asupra productivității muncii lor dacă varianța totală este de 12,2.

Nr al brigăzii de lucru	Putere de lucru, buc.
	în primul schimb	in schimbul 2
1	18	13
2	19	14
3	22	15
4	20	17
5	24	16
6	23	15

Soluţie. Datele inițiale

X	f1	f2	f 3	f4	f5	f6	Total
1	18	19	22	20	24	23	126
2	13	14	15	17	16	15	90
Total	31	33	37	37	40	38

Apoi avem 6 grupuri pentru care este necesar să se calculeze media grupului și variațiile intragrup.
1. Găsiți valorile medii ale fiecărui grup.







2. Aflați pătratul mediu al fiecărui grup.







Rezumăm rezultatele calculului într-un tabel:

Număr de grup	Media grupului	Varianta intragrup
1	1.42	0.24
2	1.42	0.24
3	1.41	0.24
4	1.46	0.25
5	1.4	0.24
6	1.39	0.24

3. Varianta intragrup caracterizează schimbarea (variația) trăsăturii studiate (rezultate) în cadrul grupului sub influența tuturor factorilor, cu excepția factorului care stă la baza grupării:
Calculam media dispersiilor intragrup folosind formula:


4. Varianta intergrup caracterizează schimbarea (variația) trăsăturii studiate (rezultate) sub influența unui factor (trăsătură factorială) care stă la baza grupării.
Dispersia intergrup este definită ca:

Unde


Apoi

Varianta totala caracterizează schimbarea (variația) trăsăturii studiate (rezultate) sub influența tuturor factorilor (trăsăturilor factoriale) fără excepție. După condiția problemei, este egal cu 12.2.
Relația de corelație empirică măsoară cât de mult din fluctuația totală a atributului rezultat este cauzată de factorul studiat. Acesta este raportul dintre varianța factorială și varianța totală:

Determinăm relația de corelație empirică:

Relațiile dintre caracteristici pot fi slabe sau puternice (strânse). Criteriile lor sunt evaluate pe scara Chaddock:
0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 În exemplul nostru, relația dintre caracteristica Y factorul X este slabă
Coeficient de determinare.

Să definim coeficientul de determinare:

Astfel, 0,67% din variație se datorează diferențelor dintre trăsături, iar 99,37% se datorează altor factori.
Concluzie: în acest caz, producția lucrătorilor nu depinde de munca într-un anumit schimb, adică influenţa schimbului de muncă asupra productivităţii muncii lor nu este semnificativă şi se datorează altor factori.

Exemplul #3. Bazat pe medie salariileși abaterile pătrate de la valoarea sa pentru două grupuri de lucrători, găsiți varianța totală prin aplicarea regulii de adăugare a variațiilor:

Soluţie:
Media variațiilor în cadrul grupului

Dispersia intergrup este definită ca:


Varianta totală va fi: 480 + 13824 = 14304

Conform sondajului prin sondaj, deponenții au fost grupați în funcție de mărimea depozitului din Sberbank a orașului:

Defini:

1) interval de variație;

2) suma medie a depozitului;

3) abaterea liniară medie;

4) dispersie;

5) abaterea standard;

6) coeficientul de variație al contribuțiilor.

Soluţie:

Această serie de distribuție conține intervale deschise. Într-o astfel de serie, valoarea intervalului primului grup se presupune în mod convențional a fi egală cu valoarea intervalului următor, iar valoarea intervalului ultimului grup este egală cu valoarea intervalului precedent. unu.

Valoarea intervalului celui de-al doilea grup este 200, prin urmare, valoarea primului grup este tot 200. Valoarea intervalului penultimului grup este 200, ceea ce înseamnă că ultimul interval va avea și o valoare egală cu 200.

1) Definiți intervalul de variație ca diferență dintre cel mai mare și cea mai mică valoare semn:

Gama de variație a mărimii contribuției este de 1000 de ruble.

2) Mărimea medie a contribuției este determinată de formula mediei ponderate aritmetice.

Să definim preliminar cantitate discretă caracteristică în fiecare interval. Pentru a face acest lucru, folosind formula medie aritmetică simplă, găsim punctele medii ale intervalelor.

Valoarea medie a primului interval va fi egală cu:

al doilea - 500 etc.

Să punem rezultatele calculelor în tabel:

Suma depozitului, frecați.	Numărul contribuabililor, f	Mijlocul intervalului, x	xf
200-400	32	300	9600
400-600	56	500	28000
600-800	120	700	84000
800-1000	104	900	93600
1000-1200	88	1100	96800
Total	400	-	312000

Depozitul mediu în Sberbank a orașului va fi de 780 de ruble:

3) Abaterea liniară medie este media aritmetică a abaterilor absolute ale valorilor individuale ale atributului față de media totală:

Procedura de calcul a abaterii liniare medii în seria de distribuție a intervalului este următoarea:

1. Se calculează media ponderată aritmetică, conform paragrafului 2).

2. Se determină abaterile absolute ale variantei de la medie:

3. Abaterile obtinute se inmultesc cu frecventele:

4. Suma abaterilor ponderate se găsește fără a lua în considerare semnul:

5. Suma abaterilor ponderate se împarte la suma frecvențelor:

Este convenabil să utilizați tabelul de date calculate:

Suma depozitului, frecați.	Numărul contribuabililor, f	Mijlocul intervalului, x
200-400	32	300	-480	480	15360
400-600	56	500	-280	280	15680
600-800	120	700	-80	80	9600
800-1000	104	900	120	120	12480
1000-1200	88	1100	320	320	28160
Total	400	-	-	-	81280

Abaterea liniară medie a mărimii depozitului clienților Sberbank este de 203,2 ruble.

4) Dispersia este media aritmetică a abaterilor pătrate ale fiecărei valori caracteristice de la media aritmetică.

Calculul dispersiei în serie de intervale distributia se face dupa formula:

Procedura de calcul a variației în acest caz este următoarea:

1. Determinați media ponderată aritmetică, așa cum se arată în paragraful 2).

2. Găsiți abaterile de la medie:

3. Punerea la pătrat a abaterii fiecărei opțiuni de la medie:

4. Înmulțiți abaterile pătrate cu greutăți (frecvențe):

5. Rezumați lucrările primite:

6. Suma rezultată se împarte la suma greutăților (frecvențelor):

Să punem calculele într-un tabel:

Suma depozitului, frecați.	Numărul contribuabililor, f	Mijlocul intervalului, x
200-400	32	300	-480	230400	7372800
400-600	56	500	-280	78400	4390400
600-800	120	700	-80	6400	768000
800-1000	104	900	120	14400	1497600
1000-1200	88	1100	320	102400	9011200
Total	400	-	-	-	23040000