Produs vectorial al vectorilor c. Vectori unitari. Horts. Sistemul de coordonate carteziene

Definiție. Produsul vectorial al unui vector a (multiplicator) cu un vector (multiplicator) care nu este coliniar cu acesta este al treilea vector c (produs), care este construit după cum urmează:

1) modulul său este numeric egal cu suprafata paralelogramul din fig. 155), construit pe vectori, adică este egal cu direcția perpendiculară pe planul paralelogramului menționat;

3) în acest caz, se alege direcția vectorului c (din două posibile) astfel încât vectorii c să formeze un sistem de dreapta (§ 110).

Denumire: sau

Addendum la definiție. Dacă vectorii sunt coliniari, atunci luând în considerare figura ca un paralelogram (condițional), este firesc să se atribuie o zonă zero. De aceea produs vectorial vectorii coliniari este considerat egal cu vectorul nul.

Deoarece vectorului nul i se poate atribui orice direcție, această convenție nu contrazice elementele 2 și 3 ale definiției.

Observație 1. În termenul „produs vectorial”, primul cuvânt indică faptul că rezultatul unei acțiuni este un vector (spre deosebire de un produs scalar; cf. § 104, observația 1).

Exemplul 1. Găsiți produsul vectorial în care vectorii principali ai sistemului de coordonate drept (Fig. 156).

1. Deoarece lungimile vectorilor principali sunt egale cu unitatea de scară, aria paralelogramului (pătratului) este numeric egală cu unu. Prin urmare, modulul produsului vectorial este egal cu unu.

2. Deoarece perpendiculara pe plan este axa, produsul vectorial dorit este un vector coliniar cu vectorul k; și deoarece ambele au modulul 1, produsul încrucișat necesar este fie k, fie -k.

3. Dintre acești doi vectori posibili trebuie ales primul, întrucât vectorii k formează un sistem drept (iar vectorii formează unul stâng).

Exemplul 2. Găsiți produsul încrucișat

Soluţie. Ca și în exemplul 1, concluzionăm că vectorul este fie k, fie -k. Dar acum trebuie să alegem -k, deoarece vectorii formează sistemul corect (și vectorii formează cel stâng). Asa de,

Exemplul 3 Vectorii au lungimi de 80, respectiv 50 cm și formează un unghi de 30°. Luând un metru ca unitate de lungime, găsiți lungimea produsului vectorial a

Soluţie. Aria unui paralelogram construit pe vectori este egală cu Lungimea produsului vectorial dorit este egală cu

Exemplul 4. Aflați lungimea produsului încrucișat al acelorași vectori, luând un centimetru ca unitate de lungime.

Soluţie. Deoarece aria paralelogramului construit pe vectori este egală cu lungimea produsului vectorial este de 2000 cm, adică.

Comparația exemplelor 3 și 4 arată că lungimea vectorului depinde nu numai de lungimile factorilor, ci și de alegerea unității de lungime.

Semnificația fizică a produsului vectorial. Dintre numeroasele mărimi fizice reprezentate de produsul vectorial, vom lua în considerare doar momentul forței.

Fie A punctul de aplicare al forței. Momentul de forță relativ la punctul O se numește produs vectorial. Deoarece modulul acestui produs vectorial este numeric egal cu aria paralelogramului (Fig. 157), modulul momentului este egal cu produsul bazei cu înălțimea, adică forța înmulțită cu distanța de la punctul O până la dreapta de-a lungul căreia acționează forța.

În mecanică, se demonstrează că pentru echilibrul unui corp rigid este necesar ca nu numai suma vectorilor reprezentând forțele aplicate corpului, ci și suma momentelor de forțe să fie egală cu zero. În cazul în care toate forțele sunt paralele cu același plan, adunarea vectorilor reprezentând momentele poate fi înlocuită cu adunarea și scăderea modulelor acestora. Dar pentru direcțiile arbitrare ale forțelor, o astfel de înlocuire este imposibilă. În conformitate cu aceasta, produsul încrucișat este definit exact ca un vector, și nu ca un număr.

Definiție O colecție ordonată (x 1 , x 2 , ... , x n) n de numere reale se numește vector n-dimensional, iar numerele x i (i = ) - componente sau coordonate,

Exemplu. Dacă, de exemplu, o anumită fabrică de automobile trebuie să producă 50 de mașini, 100 de camioane, 10 autobuze, 50 de seturi de piese de schimb pentru mașini și 150 de seturi pentru camioane și autobuze pe schimb, atunci programul de producție al acestei fabrici poate fi scris ca vector (50, 100, 10, 50, 150), care are cinci componente.

Notaţie. Vectorii sunt indicați cu litere mici aldine sau litere cu o bară sau săgeată în partea de sus, de exemplu, A sau. Cei doi vectori sunt numiți egal dacă au același număr de componente și componentele lor corespunzătoare sunt egale.

Componentele vectoriale nu pot fi interschimbate, de exemplu (3, 2, 5, 0, 1)și (2, 3, 5, 0, 1) vectori diferiți.
Operații pe vectori. muncă X= (x 1 , x 2 , ... ,x n) la un număr realλ numit vectorλ X= (λ x 1 , λ x 2 , ... , λ x n).

sumăX= (x 1 , x 2 , ... ,x n) și y= (y 1 , y 2 , ... ,y n) se numește vector x+y= (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , ... , x n + + y n).

Spațiul vectorilor. N -spațiu vectorial dimensional R n este definit ca multimea tuturor vectorilor n-dimensionali pentru care sunt definite operatiile de inmultire cu numere reale si de adunare.

Ilustrație economică. O ilustrare economică a unui spațiu vectorial n-dimensional: spațiu al mărfurilor (bunuri). Sub marfă vom înțelege un bun sau un serviciu care a fost pus în vânzare la un anumit moment într-un anumit loc. Să presupunem că există un număr finit de bunuri disponibile n; cantităţile fiecăruia dintre ele achiziţionate de consumator se caracterizează printr-un set de bunuri

X= (x 1 , x 2 , ..., x n),

unde x i desemnează cantitatea celui de-al i-lea bun cumpărat de consumator. Vom presupune că toate bunurile au proprietatea de divizibilitate arbitrară, astfel încât orice cantitate nenegativă din fiecare dintre ele poate fi cumpărată. Atunci toate seturile posibile de bunuri sunt vectori ai spațiului bunurilor C = ( X= (x 1 , x 2 , ... , x n) x i ≥ 0, i = ).

Independență liniară. Sistem e 1 , e 2 , ... , e m vectori n-dimensionali se numesc dependent liniar dacă există astfel de numereλ 1 , λ 2 , ... , λ m , dintre care cel puțin unul este diferit de zero, ceea ce satisface egalitateaλ1 e 1 + λ2 e 2+...+λm e m = 0; în caz contrar, acest sistem de vectori se numește liniar independent, adică această egalitate este posibilă numai în cazul în care toate . Semnificația geometrică a dependenței liniare a vectorilor în R 3, interpretate ca segmente direcționate, explică următoarele teoreme.

Teorema 1. Un sistem format dintr-un singur vector este dependent liniar dacă și numai dacă acest vector este zero.

Teorema 2. Pentru ca doi vectori să fie dependenți liniar, este necesar și suficient ca ei să fie coliniari (paraleli).

Teorema 3 . Pentru ca trei vectori să fie liniar dependenți, este necesar și suficient ca aceștia să fie coplanari (în același plan).

Triple stânga și dreapta ale vectorilor. Un triplu de vectori necoplanari a, b, c numit dreapta, dacă observatorul de la originea lor comună ocolește capetele vectorilor a, b, cîn această ordine pare să meargă în sensul acelor de ceasornic. In caz contrar a, b, c -lasat triplu. Se numesc toate triplele din dreapta (sau stânga) ale vectorilor la fel de orientat.

Baza și coordonatele. Troica e 1, e 2 , e 3 vectori necoplanari în R 3 a sunat bază, și vectorii înșiși e 1, e 2 , e 3 - de bază. Orice vector A poate fi extins într-un mod unic în ceea ce privește vectorii de bază, adică poate fi reprezentat sub formă

A= x 1 e 1 + x2 e 2 + x 3 e 3, (1.1)

numerele x 1 , x 2 , x 3 din expansiune (1.1) se numesc coordonateAîn bază e 1, e 2 , e 3 și sunt notate A(x 1 , x 2 , x 3).

Baza ortonormala. Dacă vectorii e 1, e 2 , e 3 sunt perpendiculare pe perechi și lungimea fiecăruia dintre ele este egală cu unu, atunci baza se numește ortonormal, iar coordonatele x 1 , x 2 , x 3 - dreptunghiular. Se vor nota vectorii de bază ai unei baze ortonormale i, j, k.

Vom presupune că în spațiu R 3 sistemul drept de coordonate carteziene dreptunghiulare (0, i, j, k}.

Produs vectorial. arta vectoriala A pe vector b numit vector c, care este determinată de următoarele trei condiții:

1. Lungimea vectorului c egal numeric cu aria paralelogramului construit pe vectori Ași b, adică
c= |a||b| păcat( A^b).

2. Vector c perpendicular pe fiecare dintre vectori Ași b.

3. Vectori A, bși c, luate în această ordine, formează un triplu drept.

Pentru produs vectorial c se introduce denumirea c=[ab] sau
c = a × b.

Dacă vectorii Ași b sunt coliniare, apoi păcat( a^b) = 0 și [ ab] = 0, în special, [ aa] = 0. Produse vectoriale ale orturilor: [ ij]=k, [jk] = i, [ki]=j.

Dacă vectorii Ași b dat în bază i, j, k coordonate A(a 1, a 2, a 3), b(b 1 , b 2 , b 3), atunci

Munca mixta. Dacă produsul încrucișat a doi vectori Ași b scalar înmulțit cu al treilea vector c, atunci se numește un astfel de produs de trei vectori produs mixtși este notat cu simbolul A bc.

Dacă vectorii a, bși cîn bază i, j, k stabilite de coordonatele lor
A(a 1, a 2, a 3), b(b 1 , b 2 , b 3), c(c 1 , c 2 , c 3), atunci

.

Produsul mixt are o interpretare geometrică simplă - este un scalar, în valoare absolută egală cu volumul unui paralelipiped construit pe trei vectori dați.

Dacă vectorii formează un triplu drept, atunci produsul lor mixt este un număr pozitiv egal cu volumul indicat; dacă cei trei a, b, c - stânga, atunci a b c<0 и V = - a b c, prin urmare V =|a b c|.

Coordonatele vectorilor întâlniți în problemele din primul capitol se presupune că sunt date relativ la baza ortonormală dreaptă. Vector unitar codirecțional cu vector A, notat cu simbolul A despre. Simbol r=OM notate cu vectorul raza punctului M, simbolurile a, AB sau|a|, | AB |se notează modulele vectorilor Ași AB.

Exemplu 1.2. Găsiți unghiul dintre vectori A= 2m+4nși b= m-n, Unde mși n- vectorii unitari si unghiul dintre mși n egal cu 120 o.

Soluţie. Avem: cos φ = ab/ab, ab=(2m+4n) (m-n) = 2m 2 - 4n 2 +2mn=
= 2 - 4+2cos120 o = - 2 + 2(-0,5) = -3; a = ; A 2 = (2m+4n) (2m+4n) =
= 4m 2 +16mn+16n 2 = 4+16(-0,5)+16=12, deci a = . b= ; b 2 =
= (m-n)(m-n) = m 2 -2mn+n 2 = 1-2(-0,5)+1 = 3, deci b = . În sfârșit avem: cosφ \u003d -1/2, φ \u003d 120 o.

Exemplul 1.3.Cunoașterea vectorilor AB(-3,-2,6) și î.Hr(-2,4,4), calculați înălțimea AD a triunghiului ABC.

Soluţie. Notând aria triunghiului ABC cu S, obținem:
S = 1/2 î.Hr. Apoi AD=2S/BC, BC== = 6,
S = 1/2| AB ×AC|. AC=AB+BC, deci vectorul AC are coordonate
. .

Exemplu 1.4 . Dați doi vectori A(11,10,2) și b(4,0,3). Găsiți vectorul unitar c, ortogonală la vectori Ași bşi direcţionată astfel încât triplul ordonat al vectorilor a, b, c avea dreptate.

Soluţie.Să notăm coordonatele vectorului cîn raport cu baza ortonormală dreaptă dată în termeni de x, y, z.

Pentru că c ⊥ a, c ⊥b, apoi ca= 0, cb= 0. După condiția problemei, se cere ca c = 1 și a b c >0.

Avem un sistem de ecuații pentru găsirea x,y,z: 11x +10y + 2z = 0, 4x+3z=0, x 2 + y 2 + z 2 = 0.

Din prima și a doua ecuație ale sistemului obținem z = -4/3 x, y = -5/6 x. Înlocuind y și z în a treia ecuație, vom avea: x 2 = 36/125, de unde
x=± . Condiție de utilizare a b c > 0, obținem inegalitatea

Ținând cont de expresiile pentru z și y, rescriem inegalitatea rezultată sub forma: 625/6 x > 0, de unde rezultă că x>0. Deci x = , y = - , z = - .

Yandex.RTB R-A-339285-1

Înainte de a da conceptul de produs vectorial, să ne întoarcem la întrebarea orientării triplului ordonat al vectorilor a → , b → , c → în spațiul tridimensional.

Pentru început, să lăsăm deoparte vectorii a → , b → , c → dintr-un punct. Orientarea triplei a → , b → , c → este dreapta sau stânga, în funcție de direcția vectorului c → . Din direcția în care se face cea mai scurtă întoarcere de la vectorul a → la b → de la capătul vectorului c → , se va determina forma triplul a → , b → , c →.

Dacă cea mai scurtă rotație este în sens invers acelor de ceasornic, atunci triplul vectorilor a → , b → , c → se numește dreapta daca in sensul acelor de ceasornic - stânga.

Apoi, ia două vectori coliniari a → și b → . Să amânăm atunci vectorii A B → = a → și A C → = b → din punctul A. Să construim un vector A D → = c → , care este simultan perpendicular atât pe A B → cât și pe A C → . Astfel, atunci când construim vectorul A D → = c →, putem face două lucruri, dându-i fie o direcție, fie invers (vezi ilustrația).

Trio-ul ordonat de vectori a → , b → , c → poate fi, după cum am aflat, dreapta sau stânga în funcție de direcția vectorului.

Din cele de mai sus, putem introduce definiția unui produs vectorial. Această definiție este dat pentru doi vectori definiți într-un sistem de coordonate dreptunghiular al spațiului tridimensional.

Definiția 1

Produsul vectorial al doi vectori a → și b → vom numi un astfel de vector dat într-un sistem de coordonate dreptunghiular al spațiului tridimensional astfel încât:

• dacă vectorii a → și b → sunt coliniari, va fi zero;
• va fi perpendicular atât pe vectorul a →​​ cât și pe vectorul b → adică. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• lungimea sa este determinată de formula: c → = a → b → sin ∠ a → , b → ;
• tripletul vectorilor a → , b → , c → are aceeași orientare ca și sistemul de coordonate dat.

Produsul încrucișat al vectorilor a → și b → are următoarea notație: a → × b → .

Coordonatele încrucișate ale produsului

Deoarece orice vector are anumite coordonate în sistemul de coordonate, este posibil să introduceți o a doua definiție a produsului încrucișat, care vă va permite să găsiți coordonatele sale din coordonatele date ale vectorilor.

Definiția 2

Într-un sistem de coordonate dreptunghiular al spațiului tridimensional produs vectorial al doi vectori a → = (a x ; a y ; a z) și b → = (b x ; b y ; b z) numiți vectorul c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , unde i → , j → , k → sunt vectori de coordonate.

Produsul vectorial poate fi reprezentat ca determinant al unei matrice pătrate de ordinul trei, unde primul rând sunt vectorii orta i → , j → , k → , al doilea rând conține coordonatele vectorului a → , iar al treilea este coordonatele vectorului b → într-un sistem de coordonate dreptunghiular dat, acest determinant de matrice arată astfel: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Expandând acest determinant peste elementele primului rând, obținem egalitatea: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a y b x b y k → = = a → × b → = ( a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Proprietăți încrucișate ale produsului

Se știe că produsul vectorial în coordonate este reprezentat ca determinant al matricei c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , apoi pe bază proprietățile determinante ale matricei următoarele proprietăți ale produsului vectorial:

1. anticomutatie a → × b → = - b → × a → ;
2. distributivitatea a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → sau a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. asociativitatea λ a → × b → = λ a → × b → sau a → × (λ b →) = λ a → × b → , unde λ este un număr real arbitrar.

Aceste proprietăți nu au dovezi complicate.

De exemplu, putem demonstra proprietatea de anticomutativitate a unui produs vectorial.

Dovada anticomutativității

Prin definiție, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z și b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . Și dacă două rânduri ale matricei sunt schimbate, atunci valoarea determinantului matricei ar trebui să se schimbe la opus, prin urmare, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , care și demonstrează anticomutativitatea produsului vectorial.

Produs vectorial - Exemple și soluții

În cele mai multe cazuri, există trei tipuri de sarcini.

În problemele de primul tip, lungimile a doi vectori și unghiul dintre ei sunt de obicei date, dar trebuie să găsiți lungimea produsului încrucișat. În acest caz, utilizați următoarea formulă c → = a → b → sin ∠ a → , b → .

Exemplul 1

Aflați lungimea produsului încrucișat al vectorilor a → și b → dacă a → = 3 , b → = 5 , ∠ a → , b → = π 4 este cunoscută.

Soluţie

Folosind definiția lungimii produsului vectorial al vectorilor a → și b →, rezolvăm această problemă: a → × b → = a → b → sin ∠ a → , b → = 3 5 sin π 4 = 15 2 2 .

Răspuns: 15 2 2 .

Sarcinile de al doilea tip au o legătură cu coordonatele vectorilor, conțin un produs vectorial, lungimea acestuia etc. sunt căutate prin coordonatele cunoscute ale vectorilor dați a → = (a x ; a y ; a z) și b → = (b x ; b y ; b z) .

Pentru acest tip de sarcină, puteți rezolva o mulțime de opțiuni pentru sarcini. De exemplu, nu coordonatele vectorilor a → și b → , ci expansiunile lor în vectori de coordonate de forma b → = b x i → + b y j → + b z k → și c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , sau vectorii a → și b → pot fi dați de coordonatele lor punctele de început și de sfârșit.

Luați în considerare următoarele exemple.

Exemplul 2

Doi vectori sunt stabiliți într-un sistem de coordonate dreptunghiular a → = (2 ; 1 ; - 3) , b → = (0 ; - 1 ; 1) . Găsiți produsul lor vectorial.

Soluţie

Conform celei de-a doua definiții, găsim produsul vectorial al doi vectori în coordonate date: a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → = = (1 1 - (- 3) (- 1)) i → + ((- 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Dacă scriem produsul vectorial în termenii determinantului matricei, atunci soluția acestui exemplu este următoarea: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Răspuns: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Exemplul 3

Aflați lungimea produsului încrucișat al vectorilor i → - j → și i → + j → + k → , unde i → , j → , k → - orte ale unui sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare.

Soluţie

Mai întâi, să găsim coordonatele produsului vectorial dat i → - j → × i → + j → + k → în sistemul de coordonate dreptunghiular dat.

Se știe că vectorii i → - j → și i → + j → + k → au coordonatele (1 ; - 1 ; 0) și respectiv (1 ; 1 ; 1). Aflați lungimea produsului vectorial folosind determinantul matricei, atunci avem i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Prin urmare, produsul vectorial i → - j → × i → + j → + k → are coordonate (- 1 ; - 1 ; 2) în sistemul de coordonate dat.

Găsim lungimea produsului vectorial prin formula (vezi secțiunea privind găsirea lungimii vectorului): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6 .

Răspuns: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .

Exemplul 4

Coordonatele a trei puncte A (1 , 0 , 1) , B (0 , 2 , 3) ​​​​, C (1 , 4 , 2) sunt date într-un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare. Găsiți un vector perpendicular pe A B → și A C → în același timp.

Soluţie

Vectorii A B → și A C → au următoarele coordonate (- 1 ; 2 ; 2) și respectiv (0 ; 4 ; 1). După ce am găsit produsul vectorial al vectorilor A B → și A C → , este evident că acesta este un vector perpendicular prin definiție atât pe A B → cât și pe A C → , adică este soluția problemei noastre. Găsiți-l A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

Răspuns: - 6 i → + j → - 4 k → . este unul dintre vectorii perpendiculari.

Problemele de al treilea tip sunt concentrate pe utilizarea proprietăților produsului vectorial al vectorilor. După aplicarea acesteia, vom obține o soluție la problema dată.

Exemplul 5

Vectorii a → și b → sunt perpendiculari și lungimile lor sunt 3 și respectiv 4. Aflați lungimea produsului încrucișat 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → .

Soluţie

Prin proprietatea de distributivitate a produsului vectorial, putem scrie 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Prin proprietatea asociativității, scoatem coeficienții numerici dincolo de semnul produselor vectoriale din ultima expresie: 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

Produsele vectoriale a → × a → și b → × b → sunt egale cu 0, deoarece a → × a → = a → a → sin 0 = 0 și b → × b → = b → b → sin 0 = 0 , atunci 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → = - 6 a → × b → - b → × a → . .

Din anticomutativitatea produsului vectorial rezultă - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b → . .

Folosind proprietățile produsului vectorial, obținem egalitatea 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

Prin condiție, vectorii a → și b → sunt perpendiculari, adică unghiul dintre ei este egal cu π 2 . Acum rămâne doar să înlocuim valorile găsite în formulele corespunzătoare: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → sin (a →, b →) = 5 3 4 sin π 2 = 60.

Răspuns: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60 .

Lungimea produsului încrucișat al vectorilor prin definiție este a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Deoarece se știe deja (din cursul școlar) că aria unui triunghi este egală cu jumătate din produsul lungimilor celor două laturi înmulțit cu sinusul unghiului dintre aceste laturi. Prin urmare, lungimea produsului vectorial este egală cu aria unui paralelogram - un triunghi dublat, și anume produsul laturilor sub formă de vectori a → și b → , îndepărtați dintr-un punct, de sinus. a unghiului dintre ele sin ∠ a → , b → .

Acesta este sensul geometric al produsului vectorial.

Semnificația fizică a produsului vectorial

În mecanică, una dintre ramurile fizicii, datorită produsului vectorial, puteți determina momentul de forță relativ la un punct din spațiu.

Definiția 3

Sub momentul forței F → , aplicat punctului B , relativ la punctul A vom înțelege următorul produs vectorial A B → × F → .

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

În cele din urmă, am pus mâna pe un subiect amplu și mult așteptat geometrie analitică. În primul rând, puțin despre această secțiune matematică superioară…. Cu siguranță că acum ți-ai amintit cursul de geometrie școlară cu numeroase teoreme, dovezile lor, desene etc. Ce să ascunzi, un subiect neiubit și adesea obscur pentru o proporție semnificativă de studenți. Geometria analitică, destul de ciudat, poate părea mai interesantă și mai accesibilă. Ce înseamnă adjectivul „analitic”? Imediat îmi vin în minte două ture matematice ștampilate: „metoda grafică de soluție” și „metoda analitică de soluție”. Metoda grafică, desigur, este asociat cu construcția de grafice, desene. Analitic la fel metodă presupune rezolvarea problemelor predominant prin operatii algebrice. În acest sens, algoritmul pentru rezolvarea aproape a tuturor problemelor de geometrie analitică este simplu și transparent, de multe ori este suficient să aplicați cu exactitate formulele necesare - iar răspunsul este gata! Nu, desigur, nu se va lipsi deloc de desene, în plus, pentru o mai bună înțelegere a materialului, voi încerca să le aduc peste nevoie.

Cursul deschis de lecții de geometrie nu pretinde a fi complet teoretic, este axat pe rezolvarea problemelor practice. Voi include în prelegerile mele doar ceea ce, din punctul meu de vedere, este important din punct de vedere practic. Dacă aveți nevoie de o referință mai completă la orice subsecțiune, vă recomand următoarea literatură destul de accesibilă:

1) Un lucru care, fără glumă, este familiar mai multor generații: Manual școlar de geometrie, autorii - L.S. Atanasyan și Compania. Acest cuier din vestiarul școlii a rezistat deja la 20 (!) reeditări, ceea ce, desigur, nu este limita.

2) Geometrie în 2 volume. Autorii L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Aceasta este literatura pentru liceu, vei avea nevoie primul volum. Sarcinile care apar rar pot cădea în afara câmpului meu vizual și tutorial va oferi un ajutor neprețuit.

Ambele cărți pot fi descărcate gratuit online. De asemenea, puteți folosi arhiva mea cu soluții gata făcute, care poate fi găsit pe pagină Descărcați exemple de matematică superioară .

Dintre instrumente, ofer din nou propria mea dezvoltare - pachete software pe geometria analitică, care va simplifica foarte mult viața și va economisi mult timp.

Se presupune că cititorul este familiarizat cu elementele de bază concepte geometriceși figuri: punct, dreaptă, plan, triunghi, paralelogram, paralelipiped, cub etc. Este indicat să vă amintiți unele teoreme, cel puțin teorema lui Pitagora, salut repetitoare)

Și acum vom lua în considerare secvențial: conceptul de vector, acțiuni cu vectori, coordonate vectoriale. Mai departe recomand lectura cel mai important articol Produsul punctual al vectorilor , precum și Vector și produsul mixt al vectorilor . O sarcină locală nu va fi de prisos - Divizarea segmentului în acest sens. Pe baza informațiilor de mai sus, puteți ecuația unei drepte într-un plan Cu cele mai simple exemple de soluții , ceea ce va permite învață cum să rezolvi probleme de geometrie . Următoarele articole sunt de asemenea utile: Ecuația unui plan în spațiu , Ecuațiile unei linii drepte în spațiu , Sarcini de bază pe o linie dreaptă și un plan, alte ramuri ale geometriei analitice. Desigur, sarcinile standard vor fi luate în considerare pe parcurs.

Conceptul de vector. vector liber

Mai întâi, să repetăm ​​definiția școlară a unui vector. Vector numit regizat un segment pentru care sunt indicate începutul și sfârșitul:

În acest caz, începutul segmentului este punctul , sfârșitul segmentului este punctul . Vectorul în sine este notat cu . Direcţie este esențial, dacă rearanjați săgeata la celălalt capăt al segmentului, obțineți un vector și acesta este deja vector complet diferit. Este convenabil să identifici conceptul de vector cu mișcarea unui corp fizic: trebuie să recunoști că intrarea pe ușile unui institut sau părăsirea ușilor unui institut sunt lucruri complet diferite.

Este convenabil să luați în considerare punctele individuale ale unui plan, spațiul așa-numitul vector zero. Un astfel de vector are același capăt și același început.

!!! Notă: Aici și mai jos, puteți presupune că vectorii se află în același plan sau puteți presupune că sunt localizați în spațiu - esența materialului prezentat este valabilă atât pentru plan, cât și pentru spațiu.

Denumiri: Mulți au atras imediat atenția asupra unui băț fără săgeată în denumire și au spus că au pus și o săgeată în vârf! Așa e, poți scrie cu o săgeată: , dar admisibil și înregistrare pe care o voi folosi mai târziu. De ce? Aparent, un astfel de obicei s-a dezvoltat din considerente practice, împușcătorii mei de la școală și universitate s-au dovedit a fi prea diverși și plini. În literatura educațională, uneori nu se deranjează deloc cu cuneiformul, ci evidențiază literele îngroșate: , ceea ce înseamnă că acesta este un vector.

Acesta a fost stilul și acum despre modalitățile de scriere a vectorilor:

1) Vectorii se pot scrie cu două litere mari latine:
si asa mai departe. În timp ce prima scrisoare neapărat indică punctul de început al vectorului, iar a doua literă indică punctul final al vectorului.

2) Vectorii se scriu și cu litere mici latine:
În special, vectorul nostru poate fi re-notat pentru concizie prin mic Literă latină.

Lungime sau modul vectorul diferit de zero se numește lungimea segmentului. Lungimea vectorului nul este zero. Logic.

Lungimea unui vector se notează prin semnul modulo: ,

Cum să găsim lungimea unui vector, vom învăța (sau vom repeta, pentru cine cum) puțin mai târziu.

Era o informație elementară despre vector, familiară tuturor școlarilor. În geometria analitică, așa-numita vector liber.

Dacă este destul de simplu - vectorul poate fi desenat din orice punct:

Obișnuiam să numim astfel de vectori egali (definiția vectorilor egali va fi dată mai jos), dar din punct de vedere pur matematic, acesta este ACEȘI VECTOR sau vector liber. De ce gratuit? Pentru că în cursul rezolvării problemelor, puteți „atașa” unul sau altul vector la ORICE punct al planului sau spațiului de care aveți nevoie. Aceasta este o proprietate foarte cool! Imaginați-vă un vector de lungime și direcție arbitrară - poate fi „clonat” de un număr infinit de ori și în orice punct al spațiului, de fapt, există ORIUNDE. Există un astfel de proverb al elevului: Fiecare lector în f ** u în vector. La urma urmei, nu doar o rimă plină de duh, totul este corect din punct de vedere matematic - un vector poate fi atașat și acolo. Dar nu vă grăbiți să vă bucurați, elevii înșiși suferă mai des =)

Asa de, vector liber- aceasta este Multe segmente direcţionale identice. Definiția școlară a unui vector, dată la începutul paragrafului: „Un segment direcționat se numește vector...”, implică specific un segment direcționat luat dintr-o mulțime dată, care este atașat unui anumit punct din plan sau spațiu.

De remarcat că din punct de vedere al fizicii, conceptul de vector liber este în general incorect, iar punctul de aplicare al vectorului contează. Într-adevăr, o lovitură directă cu aceeași forță pe nas sau pe frunte este suficientă pentru a dezvolta exemplul meu stupid atrage consecințe diferite. In orice caz, nu este gratis vectori întâlniși în cursul vyshmat (nu mergeți acolo :)).

Acțiuni cu vectori. Coliniaritatea vectorilor

În cursul de geometrie școlară, sunt luate în considerare o serie de acțiuni și reguli cu vectori: adunarea triunghiului, adunarea paralelogramului, regula diferenței vectoriale, înmulțirea unui vector cu un număr, produs scalar vectori etc. Ca sămânță, repetăm ​​două reguli care sunt deosebit de relevante pentru rezolvarea problemelor de geometrie analitică.

Regula adunării vectorilor după regula triunghiurilor

Luați în considerare doi vectori arbitrari nenuli și:

Este necesar să se găsească suma acestor vectori. Datorită faptului că toți vectorii sunt considerați liberi, amânăm vectorul de la Sfârşit vector:

Suma vectorilor este vectorul. Pentru o mai bună înțelegere a regulii, este recomandabil să îi puneți un sens fizic: lăsați un corp să facă o cale de-a lungul vectorului și apoi de-a lungul vectorului. Atunci suma vectorilor este vectorul traseului rezultat care începe în punctul de plecare și se termină în punctul de sosire. O regulă similară este formulată pentru suma oricărui număr de vectori. După cum se spune, corpul își poate merge puternic în zig-zag, sau poate pe pilot automat - de-a lungul vectorului sumă rezultat.

Apropo, dacă vectorul este amânat de la start vector , atunci obținem echivalentul regula paralelogramului adaos de vectori.

În primul rând, despre coliniaritatea vectorilor. Cei doi vectori sunt numiți coliniare dacă se află pe aceeaşi linie sau pe drepte paralele. În linii mari, vorbim de vectori paraleli. Dar în raport cu ele, se folosește întotdeauna adjectivul „coliniar”.

Imaginează-ți doi vectori coliniari. Dacă săgețile acestor vectori sunt îndreptate în aceeași direcție, atunci se numesc astfel de vectori co-directional. Dacă săgețile arată în direcții diferite, atunci vectorii vor fi îndreptată opus.

Denumiri: coliniaritatea vectorilor este scrisă cu pictograma obișnuită de paralelism: , în timp ce detalierea este posibilă: (vectorii sunt co-direcționați) sau (vectorii sunt direcționați opus).

muncă a unui vector diferit de zero printr-un număr este un vector a cărui lungime este egală cu , iar vectorii și sunt co-direcționați către și direcționați opus către .

Regula pentru înmulțirea unui vector cu un număr este mai ușor de înțeles cu o imagine:

Înțelegem mai detaliat:

1) Direcția. Dacă multiplicatorul este negativ, atunci vectorul schimbă direcția spre opus.

2) Lungimea. Dacă factorul este conținut în sau , atunci lungimea vectorului scade. Deci, lungimea vectorului este de două ori mai mică decât lungimea vectorului. Dacă multiplicatorul modulo este mai mare decât unu, atunci lungimea vectorului crește la timp.

3) Vă rugăm să rețineți că toți vectorii sunt coliniari, în timp ce un vector este exprimat prin altul, de exemplu, . Este adevărat și invers: dacă un vector poate fi exprimat în termenii altuia, atunci astfel de vectori sunt în mod necesar coliniari. În acest fel: dacă înmulțim un vector cu un număr, obținem coliniari(față de original) vector.

4) Vectorii sunt codirectionali. Vectorii și sunt, de asemenea, codirecționali. Orice vector al primului grup este opus oricărui vector al celui de-al doilea grup.

Ce vectori sunt egali?

Doi vectori sunt egali daca sunt codirectionali si au aceeasi lungime. Rețineți că co-direcția implică faptul că vectorii sunt coliniari. Definiția va fi inexactă (redundantă) dacă spuneți: „Doi vectori sunt egali dacă sunt coliniari, co-direcționați și au aceeași lungime”.

Din punctul de vedere al conceptului de vector liber, vectorii egali sunt același vector, ceea ce a fost deja discutat în paragraful anterior.

Coordonate vectoriale în plan și în spațiu

Primul punct este să luăm în considerare vectorii pe un plan. Desenați un sistem de coordonate dreptunghiular cartezian și lăsați-l deoparte de origine singur vectori și:

Vectori și ortogonală. Ortogonal = Perpendicular. Recomand să ne obișnuim încet cu termenii: în loc de paralelism și perpendicularitate, folosim cuvintele respectiv coliniaritateși ortogonalitatea.

Desemnare: ortogonalitatea vectorilor se scrie cu semnul perpendicular obișnuit, de exemplu: .

Vectorii considerați sunt numiți vectori de coordonate sau orts. Acești vectori se formează bază la suprafata. Care este baza, cred, este intuitiv clar pentru mulți, mai mulți informatii detaliate pot fi găsite în articol Dependența liniară (non) a vectorilor. Baza vectorială .În cuvinte simple, baza și originea coordonatelor definesc întregul sistem - acesta este un fel de fundație pe care fierbe o viață geometrică plină și bogată.

Uneori se numește baza construită ortonormal baza planului: „orto” - deoarece vectorii de coordonate sunt ortogonali, adjectivul „normalizat” înseamnă unitate, adică. lungimile vectorilor de bază sunt egale cu unu.

Desemnare: baza este de obicei scrisă între paranteze, în interiorul cărora în ordine strictă vectorii de bază sunt listați, de exemplu: . Vectori de coordonate este interzis schimba locurile.

Orice vector plan singura cale exprimat ca:
, Unde - numere, care se numesc coordonate vectorialeîn această bază. Dar expresia în sine numit descompunere vectorialăbază .

Cina servita:

Să începem cu prima literă a alfabetului: . Desenul arată clar că atunci când se descompune vectorul din punct de vedere al bazei, se folosesc cele luate în considerare:
1) regula înmulțirii unui vector cu un număr: și ;
2) adunarea vectorilor după regula triunghiului: .

Acum lăsați mental deoparte vectorul din orice alt punct al planului. Este destul de evident că corupția lui îl va „urma neîncetat”. Iată, libertatea vectorului - vectorul „poartă totul cu tine”. Această proprietate, desigur, este adevărată pentru orice vector. Este amuzant că vectorii de bază (liberi) în sine nu trebuie să fie puși deoparte de origine, unul poate fi desenat, de exemplu, în stânga jos, iar celălalt în dreapta sus, și nimic nu se va schimba din asta! Adevărat, nu trebuie să faceți acest lucru, deoarece profesorul va arăta, de asemenea, originalitate și vă va trage un „permis” într-un loc neașteptat.

Vectori , ilustrează exact regula pentru înmulțirea unui vector cu un număr, vectorul este co-direcționat cu vectorul de bază, vectorul este direcționat opus vectorului de bază. Pentru acești vectori, una dintre coordonate este egală cu zero, poate fi scrisă meticulos după cum urmează:


Și vectorii de bază, apropo, sunt așa: (de fapt, ei sunt exprimați prin ei înșiși).

Și, în sfârșit: , . Apropo, ce este scăderea vectorială și de ce nu ți-am spus despre regula scăderii? Undeva în algebra liniară, nu-mi amintesc unde, am observat că este scăderea caz special plus. Deci, expansiunile vectorilor „de” și „e” sunt scrise calm ca o sumă: . Rearanjați termenii pe locuri și urmăriți desenul cât de clar funcționează vechea adunare a vectorilor conform regulii triunghiului în aceste situații.

Considerată descompunerea formei numită uneori descompunere vectorială în sistem ort(adică în sistemul de vectori unitari). Dar aceasta nu este singura modalitate de a scrie un vector, următoarea opțiune este comună:

Sau cu semnul egal:

Vectorii de bază înșiși sunt scriși după cum urmează: și

Adică, coordonatele vectorului sunt indicate în paranteze. În sarcinile practice, sunt utilizate toate cele trei opțiuni de înregistrare.

Mă îndoiam dacă să vorbesc, dar totuși voi spune: coordonatele vectoriale nu pot fi rearanjate. Strict pe primul loc notează coordonata care corespunde vectorului unitar, strict pe locul doi notează coordonata care corespunde vectorului unitar . Într-adevăr, și sunt doi vectori diferiți.

Ne-am dat seama de coordonatele din avion. Acum luați în considerare vectorii din spațiul tridimensional, totul este aproape la fel aici! Va fi adăugată doar o singură coordonată. Este dificil de realizat desene tridimensionale, așa că mă voi limita la un vector, pe care, pentru simplitate, îl voi amâna de la originea coordonatelor:

Orice vector spațial 3d singura cale se extinde pe o bază ortonormală:
, unde sunt coordonatele vectorului (numărul) în baza dată.

Exemplu din imagine: . Să vedem cum funcționează aici regulile de acțiune vectorială. În primul rând, înmulțind un vector cu un număr: (săgeată roșie), (săgeată verde) și (săgeată magenta). În al doilea rând, iată un exemplu de adăugare a mai multor vectori, în acest caz trei: . Vectorul sumă începe la punctul de plecare (începutul vectorului) și se termină în punctul final de sosire (sfârșitul vectorului).

Toți vectorii spațiului tridimensional, desigur, sunt și ei liberi, încercați să amânați mental vectorul din orice alt punct și veți înțelege că expansiunea lui „rămâne cu el”.

Similar cu cazul avionului, pe lângă scris sunt utilizate pe scară largă versiunile cu paranteze: fie .

Dacă unul (sau doi) vectori de coordonate lipsesc în expansiune, atunci se pun zerouri. Exemple:
vector (minuțios ) - scrie ;
vector (minuțios ) - scrie ;
vector (minuțios ) - scrie .

Vectorii de bază se scriu după cum urmează:

Iată, poate, toate cunoștințele teoretice minime necesare pentru rezolvarea problemelor de geometrie analitică. Poate că există prea mulți termeni și definiții, așa că recomand manechine pentru a reciti și a înțelege aceasta informatie din nou. Și va fi util oricărui cititor să se refere din când în când la lecția de bază pentru o mai bună asimilare a materialului. Coliniaritate, ortogonalitate, bază ortonormală, descompunere vectorială - acestea și alte concepte vor fi adesea folosite în cele ce urmează. Remarc că materialele site-ului nu sunt suficiente pentru a trece un test teoretic, un colocviu de geometrie, deoarece criptez cu grijă toate teoremele (în afară de fără dovezi) - în detrimentul stilului științific de prezentare, dar un plus pentru înțelegerea dvs. a subiectului. Pentru informații teoretice detaliate, vă rog să vă înclinați în fața profesorului Atanasyan.

Acum să trecem la partea practică:

Cele mai simple probleme de geometrie analitică.
Acțiuni cu vectori în coordonate

Sarcinile care vor fi luate în considerare, este foarte de dorit să învățați cum să le rezolvați complet automat și formulele memora, nici nu-l amintesc intenționat, își vor aminti ei înșiși =) Acest lucru este foarte important, deoarece alte probleme de geometrie analitică se bazează pe cele mai simple exemple elementare și va fi enervant să petreci timp suplimentar mâncând pioni. Nu trebuie să-ți închizi nasturii de sus pe cămașă, multe lucruri îți sunt familiare de la școală.

Prezentarea materialului va urma un curs paralel - atât pentru avion, cât și pentru spațiu. Din motivul că toate formulele... veți vedea singur.

Cum să găsești un vector având două puncte?

Dacă sunt date două puncte ale planului și, atunci vectorul are următoarele coordonate:

Dacă sunt date două puncte în spațiu și, atunci vectorul are următoarele coordonate:

Acesta este, de la coordonatele capătului vectorului trebuie să scazi coordonatele corespunzătoare pornire vectorială.

Exercițiu: Pentru aceleași puncte, scrieți formulele pentru găsirea coordonatelor vectorului. Formule la sfârșitul lecției.

Exemplul 1

Având în vedere două puncte în plan și . Găsiți coordonatele vectoriale

Soluţie: după formula corespunzătoare:

Alternativ, se poate folosi următoarea notație:

Esteții vor decide astfel:

Personal, m-am obișnuit cu prima versiune a discului.

Răspuns:

Conform condiției, nu a fost necesar să se construiască un desen (ceea ce este tipic pentru problemele de geometrie analitică), dar pentru a explica unele puncte manechinilor, nu voi fi prea leneș:

Trebuie inteles diferența dintre coordonatele punctului și coordonatele vectoriale:

Coordonatele punctului sunt coordonatele obișnuite într-un sistem de coordonate dreptunghiular. Cred că toată lumea știe să traseze puncte pe planul de coordonate din clasa 5-6. Fiecare punct are un loc strict în avion și nu pot fi mutați nicăieri.

Coordonatele aceluiasi vector este extinderea sa în raport cu baza , în acest caz . Orice vector este liber, prin urmare, dacă este necesar, îl putem amâna cu ușurință dintr-un alt punct din plan. Interesant, pentru vectori, nu puteți construi deloc axe, un sistem de coordonate dreptunghiular, aveți nevoie doar de o bază, în acest caz, de o bază ortonormală a planului.

Înregistrările coordonatelor punctului și ale coordonatelor vectoriale par a fi similare: , și simțul coordonatelor absolut diferit, și ar trebui să fiți bine conștienți de această diferență. Această diferență, desigur, este valabilă și pentru spațiu.

Doamnelor și domnilor, ne umplem mâinile:

Exemplul 2

a) Punctele date și . Găsiți vectori și .
b) Se acordă puncte și . Găsiți vectori și .
c) Punctele date și . Găsiți vectori și .
d) Se acordă puncte. Găsiți Vectori .

Poate suficient. Acestea sunt exemple pentru solutie independenta, incearca sa nu le neglijezi, va da roade ;-). Desenele nu sunt necesare. Soluții și răspunsuri la sfârșitul lecției.

Ce este important în rezolvarea problemelor de geometrie analitică? Este important să fii EXTREM DE ATENȚIE pentru a evita eroarea magistrală „doi plus doi egal zero”. Îmi cer scuze anticipat dacă am greșit =)

Cum se află lungimea unui segment?

Lungimea, așa cum sa menționat deja, este indicată de semnul modulului.

Dacă sunt date două puncte ale planului și, atunci lungimea segmentului poate fi calculată prin formula

Dacă sunt date două puncte în spațiu și, atunci lungimea segmentului poate fi calculată prin formula

Notă: Formulele vor rămâne corecte dacă coordonatele corespunzătoare sunt schimbate: și , dar prima opțiune este mai standard

Exemplul 3

Soluţie: după formula corespunzătoare:

Răspuns:

Pentru claritate, voi face un desen

Segment de linie - nu este un vector, și nu o poți muta nicăieri, desigur. În plus, dacă completați desenul la scară: 1 unitate. \u003d 1 cm (două celule tetrade), atunci răspunsul poate fi verificat cu o riglă obișnuită, măsurând direct lungimea segmentului.

Da, soluția este scurtă, dar mai are câteva Puncte importante As dori sa clarific:

În primul rând, în răspuns am stabilit dimensiunea: „unități”. Condiția nu spune CE este, milimetri, centimetri, metri sau kilometri. Prin urmare, formularea generală va fi o soluție competentă din punct de vedere matematic: „unități” - abreviat ca „unități”.

În al doilea rând, să repetăm ​​materialul școlar, care este util nu numai pentru problema luată în considerare:

fi atent la truc tehnic important – scotând multiplicatorul de sub rădăcină. Ca rezultat al calculelor, am obținut rezultatul și un stil matematic bun implică scoaterea factorului de sub rădăcină (dacă este posibil). Procesul arată mai detaliat astfel: . Bineînțeles, lăsarea răspunsului în formă nu va fi o greșeală - dar este cu siguranță un defect și un argument serios pentru ridicarea din partea profesorului.

Iată și alte cazuri comune:

Adesea se obține un număr suficient de mare sub rădăcină, de exemplu. Cum să fii în astfel de cazuri? Pe calculator, verificăm dacă numărul este divizibil cu 4:. Da, împărțiți complet, astfel: . Sau poate numărul poate fi împărțit din nou la 4? . În acest fel: . Ultima cifră a numărului este impară, așa că împărțirea la 4 pentru a treia oară nu este în mod clar posibilă. Încercarea de a împărți la nouă: . Ca urmare:
Gata.

Concluzie: dacă sub rădăcină obținem un număr întreg care nu poate fi extras, atunci încercăm să scoatem factorul de sub rădăcină - pe calculator verificăm dacă numărul este divizibil cu: 4, 9, 16, 25, 36, 49 , etc.

În timpul deciziei diverse sarcini rădăcinile sunt obișnuite, încercați întotdeauna să extrageți factori de sub rădăcină pentru a evita un scor mai mic și probleme inutile la finalizarea soluțiilor conform observației profesorului.

Să repetăm ​​în același timp pătrarea rădăcinilor și a altor puteri:

Reguli pentru acțiuni cu grade în vedere generala poate fi găsit într-un manual școlar de algebră, dar cred că totul sau aproape totul este deja clar din exemplele date.

Sarcina pentru o soluție independentă cu un segment în spațiu:

Exemplul 4

Puncte date și . Aflați lungimea segmentului.

Soluție și răspuns la sfârșitul lecției.

Cum se află lungimea unui vector?

Dacă este dat un vector plan, atunci lungimea acestuia este calculată prin formula.

Dacă este dat un vector spațial, atunci lungimea acestuia este calculată prin formula .