भिन्नात्मक रैखिक फलन और उसका ग्राफ ऑनलाइन। फंक्शन ग्राफ

हम विमान पर एक आयताकार समन्वय प्रणाली चुनते हैं और एब्सिस्सा अक्ष पर तर्क के मूल्यों को प्लॉट करते हैं एक्स, और y-अक्ष पर - फ़ंक्शन के मान वाई = एफ (एक्स).

फंक्शन ग्राफ वाई = एफ (एक्स)सभी बिंदुओं के सेट को कहा जाता है, जिसके लिए एब्सिसास फ़ंक्शन के डोमेन से संबंधित होते हैं, और निर्देशांक फ़ंक्शन के संबंधित मानों के बराबर होते हैं।

दूसरे शब्दों में, फ़ंक्शन y \u003d f (x) का ग्राफ विमान के सभी बिंदुओं का समूह है, निर्देशांक एक्स, परजो रिश्ते को संतुष्ट करता है वाई = एफ (एक्स).

अंजीर पर। 45 और 46 फलन के रेखांकन हैं वाई = 2x + 1तथा वाई \u003d एक्स 2 - 2x.

कड़ाई से बोलते हुए, किसी को फ़ंक्शन के ग्राफ़ (जिसकी सटीक गणितीय परिभाषा ऊपर दी गई थी) और खींचे गए वक्र के बीच अंतर करना चाहिए, जो हमेशा ग्राफ़ का कम या ज्यादा सटीक स्केच देता है (और फिर भी, एक नियम के रूप में, पूरे ग्राफ का नहीं, बल्कि विमान के अंतिम भागों में स्थित उसके हिस्से का)। हालाँकि, हम आमतौर पर "चार्ट स्केच" के बजाय "चार्ट" का उल्लेख करेंगे।

ग्राफ़ का उपयोग करके, आप किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का मान ज्ञात कर सकते हैं। अर्थात्, यदि बिंदु एक्स = एसमारोह के दायरे से संबंधित है वाई = एफ (एक्स), फिर संख्या खोजने के लिए च (ए)(अर्थात बिंदु पर फ़ंक्शन मान एक्स = ए) ऐसा करना चाहिए। एक abscissa के साथ एक बिंदु के माध्यम से की जरूरत है एक्स = ए y-अक्ष के समांतर एक सीधी रेखा खींचना; यह रेखा फलन के ग्राफ को प्रतिच्छेद करेगी वाई = एफ (एक्स)एक बिंदु पर; इस बिंदु की कोटि, ग्राफ़ की परिभाषा के आधार पर, के बराबर होगी च (ए)(चित्र 47)।

उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन के लिए एफ (एक्स) = एक्स 2 - 2xग्राफ (चित्र 46) का उपयोग करके हम f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0, आदि पाते हैं।

एक फंक्शन ग्राफ एक फंक्शन के व्यवहार और गुणों को नेत्रहीन रूप से दिखाता है। उदाहरण के लिए, अंजीर के विचार से। 46 यह स्पष्ट है कि समारोह वाई \u003d एक्स 2 - 2xसकारात्मक मान लेता है जब एक्स< 0 और कम से एक्स > 2, नकारात्मक - 0 . पर< x < 2; सबसे छोटा मानसमारोह वाई \u003d एक्स 2 - 2xपर स्वीकार करता है एक्स = 1.

फ़ंक्शन प्लॉट करने के लिए एफ (एक्स)आपको विमान के सभी बिंदुओं को खोजने की जरूरत है, निर्देशांक एक्स,परजो समीकरण को संतुष्ट करते हैं वाई = एफ (एक्स). ज्यादातर मामलों में, यह असंभव है, क्योंकि असीम रूप से ऐसे कई बिंदु हैं। इसलिए, फ़ंक्शन का ग्राफ़ लगभग दर्शाया गया है - अधिक या कम सटीकता के साथ। सबसे सरल बहु-बिंदु प्लॉटिंग विधि है। यह इस तथ्य में निहित है कि तर्क एक्समानों की एक सीमित संख्या दें - मान लें, x 1 , x 2 , x 3 ,..., x k और एक तालिका बनाएं जिसमें फ़ंक्शन के चयनित मान शामिल हों।

तालिका इस तरह दिखती है:

ऐसी तालिका संकलित करने के बाद, हम फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर कई बिंदुओं को रेखांकित कर सकते हैं वाई = एफ (एक्स). फिर, इन बिंदुओं को एक चिकनी रेखा से जोड़कर, हमें फ़ंक्शन के ग्राफ़ का अनुमानित दृश्य मिलता है वाई = एफ (एक्स)।

हालांकि, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि बहु-बिंदु प्लॉटिंग विधि बहुत अविश्वसनीय है। वास्तव में, चिह्नित बिंदुओं के बीच के ग्राफ का व्यवहार और लिए गए चरम बिंदुओं के बीच के खंड के बाहर का व्यवहार अज्ञात रहता है।

उदाहरण 1. फ़ंक्शन प्लॉट करने के लिए वाई = एफ (एक्स)किसी ने तर्क और कार्य मूल्यों की एक तालिका संकलित की:

संबंधित पांच बिंदुओं को अंजीर में दिखाया गया है। 48.

इन बिंदुओं के स्थान के आधार पर, उन्होंने निष्कर्ष निकाला कि फ़ंक्शन का ग्राफ एक सीधी रेखा है (चित्र 48 में एक बिंदीदार रेखा द्वारा दिखाया गया है)। क्या इस निष्कर्ष को विश्वसनीय माना जा सकता है? जब तक इस निष्कर्ष का समर्थन करने के लिए अतिरिक्त विचार न हों, इसे शायद ही विश्वसनीय माना जा सकता है। भरोसेमंद।

हमारे दावे की पुष्टि करने के लिए, फ़ंक्शन पर विचार करें

.

गणना से पता चलता है कि इस फ़ंक्शन के मान बिंदु -2, -1, 0, 1, 2 पर केवल ऊपर दी गई तालिका द्वारा वर्णित हैं। हालांकि, इस फ़ंक्शन का ग्राफ बिल्कुल भी सीधी रेखा नहीं है (इसे चित्र 49 में दिखाया गया है)। एक और उदाहरण समारोह है y = x + l + sinx;इसके अर्थ भी ऊपर दी गई तालिका में वर्णित हैं।

इन उदाहरणों से पता चलता है कि अपने "शुद्ध" रूप में, बहु-बिंदु प्लॉटिंग विधि अविश्वसनीय है। इसलिए, दिए गए फ़ंक्शन को एक नियम के रूप में प्लॉट करने के लिए, निम्नानुसार आगे बढ़ें। सर्वप्रथम इस फलन के गुणों का अध्ययन किया जाता है, जिसकी सहायता से आलेख का एक रेखाचित्र बनाना संभव होता है। फिर, कई बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मानों की गणना करके (जिसकी पसंद फ़ंक्शन के सेट गुणों पर निर्भर करती है), ग्राफ़ के संबंधित बिंदु पाए जाते हैं। और, अंत में, इस फ़ंक्शन के गुणों का उपयोग करके निर्मित बिंदुओं के माध्यम से एक वक्र खींचा जाता है।

हम बाद में ग्राफ़ का एक स्केच खोजने के लिए उपयोग किए जाने वाले फ़ंक्शंस के कुछ (सबसे सरल और अक्सर उपयोग किए जाने वाले) गुणों पर विचार करेंगे, लेकिन अब हम ग्राफ़ को प्लॉट करने के लिए कुछ सामान्य रूप से उपयोग की जाने वाली विधियों का विश्लेषण करेंगे।

फलन का ग्राफ y = |f(x)|।

किसी फ़ंक्शन को प्लॉट करना अक्सर आवश्यक होता है वाई = | एफ (एक्स)|, जहां च (एक्स) -दिया गया कार्य। याद करें कि यह कैसे किया जाता है। किसी संख्या के निरपेक्ष मान की परिभाषा के अनुसार कोई भी लिख सकता है

इसका मतलब है कि फ़ंक्शन का ग्राफ y=|f(x)|ग्राफ, कार्यों से प्राप्त किया जा सकता है वाई = एफ (एक्स)इस प्रकार है: फ़ंक्शन के ग्राफ़ के सभी बिंदु वाई = एफ (एक्स), जिनके निर्देशांक गैर-ऋणात्मक हैं, उन्हें अपरिवर्तित छोड़ दिया जाना चाहिए; आगे, फ़ंक्शन के ग्राफ़ के बिंदुओं के बजाय वाई = एफ (एक्स), ऋणात्मक निर्देशांक होने पर, किसी को फ़ंक्शन के ग्राफ़ के संगत बिंदुओं का निर्माण करना चाहिए वाई = -एफ (एक्स)(अर्थात फंक्शन ग्राफ का भाग
वाई = एफ (एक्स), जो अक्ष के नीचे स्थित है एक्स,अक्ष के बारे में सममित रूप से परिलक्षित होना चाहिए एक्स).

उदाहरण 2एक फ़ंक्शन प्लॉट करें वाई = | एक्स |।

हम फ़ंक्शन का ग्राफ़ लेते हैं वाई = एक्स(अंजीर। 50, ए) और इस ग्राफ का हिस्सा एक्स< 0 (अक्ष के नीचे झूठ बोलना एक्स) अक्ष के बारे में सममित रूप से परिलक्षित होता है एक्स. नतीजतन, हमें फ़ंक्शन का ग्राफ मिलता है वाई = |x|(चित्र। 50, बी)।

उदाहरण 3. एक फ़ंक्शन प्लॉट करें वाई = |x 2 - 2x|।

पहले हम फंक्शन प्लॉट करते हैं वाई = एक्स 2 - 2x।इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक परवलय है, जिसकी शाखाएँ ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं, परवलय के शीर्ष पर निर्देशांक (1; -1) होते हैं, इसका ग्राफ़ एब्सिस्सा अक्ष को 0 और 2 बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है। अंतराल (0; 2) पर ) फ़ंक्शन ऋणात्मक मान लेता है, इसलिए ग्राफ़ का यह भाग x-अक्ष के बारे में सममित रूप से प्रतिबिंबित होता है। चित्र 51 फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ दिखाता है वाई \u003d |x 2 -2x |, फ़ंक्शन के ग्राफ के आधार पर वाई = एक्स 2 - 2x

फलन का ग्राफ y = f(x) + g(x)

फ़ंक्शन प्लॉट करने की समस्या पर विचार करें वाई = एफ (एक्स) + जी (एक्स)।यदि फलनों के आलेख दिए गए हैं वाई = एफ (एक्स)तथा वाई = जी (एक्स).

ध्यान दें कि फलन का प्रांत y = |f(x) + g(х)| x के उन सभी मानों का समुच्चय है जिसके लिए दोनों फलन y = f(x) और y = g(x) परिभाषित हैं, अर्थात् परिभाषा का यह क्षेत्र परिभाषा के प्रांतों का प्रतिच्छेदन है, फलन f(x) ) और जी (एक्स)।

अंक दें (एक्स 0, वाई 1) तथा (एक्स 0, वाई 2) क्रमशः फ़ंक्शन ग्राफ़ से संबंधित हैं वाई = एफ (एक्स)तथा वाई = जी (एक्स), यानी आप 1 \u003d f (x 0), y 2 \u003d g (x 0)।तब बिंदु (x0;. y1 + y2) फलन के ग्राफ के अंतर्गत आता है वाई = एफ (एक्स) + जी (एक्स)(के लिये एफ (एक्स 0) + जी (एक्स 0) = वाई 1+y2),. और फ़ंक्शन के ग्राफ़ का कोई बिंदु वाई = एफ (एक्स) + जी (एक्स)इस प्रकार प्राप्त किया जा सकता है। इसलिए, फ़ंक्शन का ग्राफ वाई = एफ (एक्स) + जी (एक्स)फ़ंक्शन ग्राफ़ से प्राप्त किया जा सकता है वाई = एफ (एक्स). तथा वाई = जी (एक्स)प्रत्येक बिंदु को बदलकर ( एक्स एन, वाई 1) फ़ंक्शन ग्राफिक्स वाई = एफ (एक्स)दूरसंचार विभाग (एक्स एन, वाई 1 + वाई 2),कहाँ पे वाई 2 = जी (एक्स एन), यानी, प्रत्येक बिंदु को स्थानांतरित करके ( एक्स एन, वाई 1) फ़ंक्शन ग्राफ वाई = एफ (एक्स)अक्ष के अनुदिश परराशि से वाई 1 \u003d जी (एक्स एन) इस मामले में, केवल ऐसे बिंदुओं पर विचार किया जाता है। एक्स n जिसके लिए दोनों कार्यों को परिभाषित किया गया है वाई = एफ (एक्स)तथा वाई = जी (एक्स).

फ़ंक्शन ग्राफ़ प्लॉट करने की यह विधि वाई = एफ (एक्स) + जी (एक्स) कार्यों के रेखांकन का योग कहलाता है वाई = एफ (एक्स)तथा वाई = जी (एक्स)

उदाहरण 4. आकृति में, ग्राफ़ जोड़ने की विधि द्वारा, फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाया जाता है
वाई = एक्स + sinx.

एक समारोह की साजिश रचते समय वाई = एक्स + sinxहमने माना कि एफ (एक्स) = एक्स,एक जी (एक्स) = sinx.एक फ़ंक्शन ग्राफ़ बनाने के लिए, हम एब्सिसस -1.5π, -, -0.5, 0, 0.5,, 1.5, 2 वाले बिंदुओं का चयन करते हैं। मान f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinxहम चयनित बिंदुओं पर गणना करेंगे और परिणामों को तालिका में रखेंगे।

मॉड्यूल युक्त कार्यों के रेखांकन का निर्माण आमतौर पर स्कूली बच्चों के लिए काफी कठिनाइयाँ पैदा करता है। हालाँकि, सब कुछ इतना बुरा नहीं है। ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए कई एल्गोरिदम को याद रखना पर्याप्त है, और आप आसानी से सबसे अधिक प्रतीत होने वाले ग्राफ के लिए भी एक ग्राफ बना सकते हैं जटिल कार्य. आइए देखें कि ये एल्गोरिदम क्या हैं।

1. फलन y = |f(x)| . का आलेखन करना

ध्यान दें कि फ़ंक्शन मानों का सेट y = |f(x)| : y 0. इस प्रकार, ऐसे फलनों के आलेख हमेशा ऊपरी आधे तल में स्थित होते हैं।

फलन y = |f(x)| . का आलेखन करना निम्नलिखित सरल चार चरणों के होते हैं।

1) फलन y = f(x) का ध्यानपूर्वक और ध्यानपूर्वक आलेख बनाइए।

2) ग्राफ के सभी बिंदुओं को अपरिवर्तित छोड़ दें जो ऊपर या 0x अक्ष पर हैं।

3) ग्राफ का वह भाग जो 0x अक्ष के नीचे होता है, 0x अक्ष के बारे में सममित रूप से प्रदर्शित होता है।

उदाहरण 1. फलन y = |x 2 - 4x + 3| . का आलेख खींचिए

1) हम फ़ंक्शन y \u003d x 2 - 4x + 3 का एक ग्राफ बनाते हैं। यह स्पष्ट है कि इस फ़ंक्शन का ग्राफ एक परवलय है। आइए निर्देशांक अक्षों के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन के सभी बिंदुओं के निर्देशांक और परवलय के शीर्ष के निर्देशांक ज्ञात करें।

एक्स 2 - 4x + 3 = 0।

एक्स 1 = 3, एक्स 2 = 1।

इसलिए, परवलय 0x अक्ष को बिंदुओं (3, 0) और (1, 0) पर काटता है।

वाई \u003d 0 2 - 4 0 + 3 \u003d 3.

इसलिए, परवलय 0y अक्ष को बिंदु (0, 3) पर प्रतिच्छेद करता है।

परवलय शीर्ष निर्देशांक:

x इन \u003d - (-4/2) \u003d 2, y इन \u003d 2 2 - 4 2 + 3 \u003d -1।

इसलिए, बिंदु (2, -1) इस परवलय का शीर्ष है।

प्राप्त डेटा का उपयोग करके एक परवलय बनाएं (चित्र एक)

2) 0x अक्ष के नीचे स्थित ग्राफ का भाग 0x अक्ष के संबंध में सममित रूप से प्रदर्शित होता है।

3) हमें मूल फलन का ग्राफ मिलता है ( चावल। 2, बिंदीदार रेखा द्वारा दिखाया गया है)।

2. फलन को प्लॉट करना y = f(|x|)

ध्यान दें कि y = f(|x|) के रूप के फलन सम हैं:

y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x)। इसका मतलब यह है कि इस तरह के कार्यों के ग्राफ 0y अक्ष के बारे में सममित हैं।

फलन y = f(|x|) को आलेखित करना क्रियाओं की निम्नलिखित सरल श्रृंखला से बना है।

1) फलन y = f(x) को आलेखित कीजिए।

2) ग्राफ के उस हिस्से को छोड़ दें जिसके लिए x 0, यानी ग्राफ का वह हिस्सा जो दाहिने आधे तल में स्थित है।

3) पैराग्राफ (2) में निर्दिष्ट ग्राफ के भाग को 0y अक्ष पर सममित रूप से प्रदर्शित करें।

4) अंतिम ग्राफ के रूप में, पैराग्राफ (2) और (3) में प्राप्त वक्रों के मिलन का चयन करें।

उदाहरण 2. फलन y = x 2 - 4 · |x| . का आलेख खींचिए + 3

चूँकि x 2 = |x| 2 , तो मूल फलन को निम्न प्रकार से फिर से लिखा जा सकता है: y = |x| 2 - 4 · |x| + 3. और अब हम ऊपर प्रस्तावित एल्गोरिथम को लागू कर सकते हैं।

1) हम फंक्शन y \u003d x 2 - 4 x + 3 का ग्राफ सावधानीपूर्वक और सावधानी से बनाते हैं (यह भी देखें चावल। एक).

2) हम ग्राफ के उस हिस्से को छोड़ देते हैं जिसके लिए x 0, यानी ग्राफ का वह हिस्सा जो दाहिने आधे तल में स्थित होता है।

3) प्रदर्शन दाईं ओर 0y अक्ष के सममित ग्राफिक्स।

(चित्र 3).

उदाहरण 3. फलन y = log 2 |x| . का आलेख खींचिए

हम ऊपर दी गई योजना को लागू करते हैं।

1) हम फलन y = लघुगणक 2 x . आलेखित करते हैं (चित्र 4).

3. फलन y = |f(|x|)| . का आलेखन करना

ध्यान दें कि y = |f(|x|)| . के रूप के फलन सम भी हैं। वास्तव में, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), और इसलिए, उनके ग्राफ 0y अक्ष के बारे में सममित हैं। ऐसे कार्यों के मूल्यों का सेट: y ≥ 0. इसलिए, ऐसे फलनों के आलेख पूरी तरह से ऊपरी आधे तल में स्थित होते हैं।

फ़ंक्शन y = |f(|x|)| को प्लॉट करने के लिए, आपको यह करना होगा:

1) फलन y = f(|x|) का एक साफ-सुथरा ग्राफ बनाइए।

2) ग्राफ के उस हिस्से को अपरिवर्तित छोड़ दें जो ऊपर या 0x अक्ष पर है।

3) 0x अक्ष के नीचे स्थित ग्राफ के भाग को 0x अक्ष के संबंध में सममित रूप से प्रदर्शित किया जाना चाहिए।

4) अंतिम ग्राफ के रूप में, पैराग्राफ (2) और (3) में प्राप्त वक्रों के मिलन का चयन करें।

उदाहरण 4. फलन y = |-x 2 + 2|x| . का आलेख खींचिए - 1|.

1) ध्यान दें कि x 2 = |x| 2. इसलिए, मूल फलन के बजाय y = -x 2 + 2|x| - एक

आप फ़ंक्शन का उपयोग कर सकते हैं y = -|x| 2 + 2|एक्स| -1, क्योंकि उनके रेखांकन समान हैं।

हम एक ग्राफ बनाते हैं y = -|x| 2 + 2|एक्स| – 1. इसके लिए हम एल्गोरिथम 2 का प्रयोग करते हैं।

a) हम फ़ंक्शन y \u003d -x 2 + 2x - 1 . को प्लॉट करते हैं (चित्र 6).

बी) हम ग्राफ के उस हिस्से को छोड़ देते हैं, जो दाहिने आधे तल में स्थित है।

c) ग्राफ के परिणामी भाग को 0y अक्ष पर सममित रूप से प्रदर्शित करें।

d) परिणामी ग्राफ एक बिंदीदार रेखा के साथ चित्र में दिखाया गया है (चित्र 7).

2) 0x अक्ष के ऊपर कोई बिंदु नहीं है, हम 0x अक्ष पर बिंदुओं को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं।

3) 0x अक्ष के नीचे स्थित ग्राफ़ का भाग 0x के सापेक्ष सममित रूप से प्रदर्शित होता है।

4) परिणामी ग्राफ चित्र में एक बिंदीदार रेखा द्वारा दिखाया गया है (चित्र 8).

उदाहरण 5. फलन y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)| . को आलेखित कीजिए

1) सबसे पहले आपको फंक्शन y = (2|x| - 4) / (|x| + 3) को प्लॉट करना होगा। ऐसा करने के लिए, हम एल्गोरिथम 2 पर लौटते हैं।

a) फलन y = (2x - 4) / (x + 3) को सावधानीपूर्वक आलेखित करें (चित्र 9).

ध्यान दें कि यह फ़ंक्शन रैखिक-आंशिक है और इसका ग्राफ एक अतिपरवलय है। एक वक्र बनाने के लिए, आपको पहले ग्राफ़ के स्पर्शोन्मुख को खोजने की आवश्यकता है। क्षैतिज - y \u003d 2/1 (एक अंश के अंश और हर में गुणांक का अनुपात), ऊर्ध्वाधर - x \u003d -3।

2) चार्ट का वह भाग जो ऊपर या 0x अक्ष पर है, अपरिवर्तित छोड़ दिया जाएगा।

3) 0x अक्ष के नीचे स्थित चार्ट के भाग को 0x के सापेक्ष सममित रूप से प्रदर्शित किया जाएगा।

4) अंतिम ग्राफ चित्र में दिखाया गया है (चित्र 11).

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विषय पर पाठ: "फ़ंक्शन का ग्राफ़ और गुण $y=x^3$। प्लॉटिंग के उदाहरण"

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समारोह के गुण $y=x^3$

आइए इस फ़ंक्शन के गुणों का वर्णन करें:

1. x स्वतंत्र चर है, y आश्रित चर है।

2. परिभाषा का क्षेत्र: यह स्पष्ट है कि तर्क (x) के किसी भी मान के लिए फ़ंक्शन (y) के मान की गणना करना संभव है। तदनुसार, इस फलन की परिभाषा का क्षेत्र संपूर्ण संख्या रेखा है।

3. मूल्यों की सीमा: y कुछ भी हो सकता है। तदनुसार, परिसर भी पूर्ण संख्या रेखा है।

4. यदि x= 0, तो y= 0.

समारोह का ग्राफ $y=x^3$

1. आइए मूल्यों की एक तालिका बनाएं:

2. एक्स के सकारात्मक मूल्यों के लिए, $y=x^3$ फ़ंक्शन का ग्राफ एक परवलय के समान है, जिसकी शाखाएं ओए अक्ष पर अधिक "दबाया" जाती हैं।

3. चूँकि x के ऋणात्मक मानों के लिए फलन $y=x^3$ है विपरीत अर्थ, तो फ़ंक्शन का ग्राफ मूल के संबंध में सममित है।

अब निर्देशांक तल पर बिंदुओं को चिह्नित करते हैं और एक ग्राफ बनाते हैं (चित्र 1 देखें)।

इस वक्र को घन परवलय कहा जाता है।

उदाहरण

I. एक छोटे जहाज पर पूरी तरह से समाप्त हो गया ताजा पानी. शहर से पर्याप्त पानी लाना जरूरी है। पानी अग्रिम में दिया जाता है और एक पूर्ण घन के लिए भुगतान किया जाता है, भले ही आप इसे थोड़ा कम भर दें। कितने घनों का आर्डर दिया जाना चाहिए ताकि एक अतिरिक्त घन के लिए अधिक भुगतान न हो और टैंक पूरी तरह से न भर जाए? यह ज्ञात है कि टैंक की लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई समान है, जो 1.5 मीटर के बराबर है। आइए गणना किए बिना इस समस्या को हल करें।

समाधान:

1. आइए फ़ंक्शन $y=x^3$ को प्लॉट करें।
2. बिंदु A ज्ञात कीजिए, निर्देशांक x, जो 1.5 के बराबर है। हम देखते हैं कि फ़ंक्शन निर्देशांक मान 3 और 4 के बीच है (चित्र 2 देखें)। तो आपको 4 क्यूब्स ऑर्डर करने की जरूरत है।