फ़ंक्शन f x का न्यूनतम बिंदु कैसे ज्ञात करें। किसी फ़ंक्शन के चरम (न्यूनतम और अधिकतम अंक) कैसे प्राप्त करें। किसी फ़ंक्शन के एक्स्ट्रेमा को खोजने में समस्याएँ

अर्थ

महानतम

अर्थ

कम से कम

अधिकतम बिंदु

अंतिम बिंदू

किसी फलन के चरम बिन्दुओं को ज्ञात करने की समस्याओं को किसके द्वारा हल किया जाता है? मानक योजना 3 चरणों में।

स्टेप 1. किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं

• व्युत्पन्न सूत्र याद करें प्राथमिक कार्यऔर व्युत्पन्न खोजने के लिए भेदभाव के बुनियादी नियम।

y′(x)=(x3−243x+19)′=3x2−243.

चरण दो. व्युत्पन्न के शून्य का पता लगाएं

• व्युत्पन्न के शून्य को खोजने के लिए परिणामी समीकरण को हल करें।

3x2−243=0⇔x2=81⇔x1=−9,x2=9.

चरण 3. चरम बिंदु खोजें

• व्युत्पन्न के संकेतों को निर्धारित करने के लिए रिक्ति विधि का उपयोग करें;
• न्यूनतम बिंदु पर, व्युत्पन्न शून्य है और साइन को माइनस से प्लस में और अधिकतम बिंदु पर प्लस से माइनस में बदलता है।

आइए निम्नलिखित समस्या को हल करने के लिए इस दृष्टिकोण को लागू करें:

समारोह y=x3−243x+19 का अधिकतम बिंदु खोजें।

1) अवकलज ज्ञात कीजिए: y′(x)=(x3−243x+19)′=3x2−243;

2) समीकरण y′(x)=0 को हल करें: 3x2−243=0⇔x2=81⇔x1=−9,x2=9;

3) व्युत्पन्न x>9 और x के लिए धनात्मक है<−9 и отрицательная при −9

किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान कैसे ज्ञात करें

फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजने की समस्या को हल करने के लिए ज़रूरी:

• खंड (अंतराल) पर फ़ंक्शन के चरम बिंदुओं का पता लगाएं।
• खंड के सिरों पर मूल्यों का पता लगाएं और चरम बिंदुओं पर और खंड के अंत में मूल्यों में से सबसे बड़ा या सबसे छोटा मान चुनें।

कई कामों में मदद करता है प्रमेय:

यदि खंड पर केवल एक चरम बिंदु है, और यह न्यूनतम बिंदु है, तो इसमें फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान प्राप्त होता है। यदि यह अधिकतम बिंदु है, तो इस पर अधिकतम मूल्य पहुँच जाता है।

14. अनिश्चितकालीन अभिन्न की अवधारणा और बुनियादी गुण।

यदि समारोह एफ(एक्स एक्स, और क- संख्या, फिर

संक्षेप में बोलना: स्थिरांक को समाकल चिह्न से बाहर निकाला जा सकता है।

यदि कार्य करता है एफ(एक्स) और जी(एक्स) अंतराल पर प्रतिपक्षी हैं एक्स, वह

संक्षेप में बोलना: योग का समाकल समाकलों के योग के बराबर है।

यदि समारोह एफ(एक्स) अंतराल पर एक प्रतिपक्षी है एक्स, फिर इस अंतराल के आंतरिक बिंदुओं के लिए:

संक्षेप में बोलना: इंटीग्रल का डेरिवेटिव इंटीग्रैंड के बराबर है।

यदि समारोह एफ(एक्स) अंतराल पर निरंतर है एक्सऔर इस अंतराल के आंतरिक बिंदुओं पर अलग-अलग है, फिर:

संक्षेप में बोलना: किसी फ़ंक्शन के अवकलन का समाकल उस फलन और समाकलन के स्थिरांक के बराबर होता है।

आइए हम एक कठोर गणितीय परिभाषा दें अनिश्चितकालीन अभिन्न की अवधारणा.

विनम्र भाव कहा जाता है समारोह का अभिन्न अंग च (एक्स) , कहाँ च (एक्स) - एकीकृत कार्य, जो दिया गया है (ज्ञात), डीएक्स - अंतर एक्स , प्रतीक के साथ हमेशा मौजूद रहता है डीएक्स .

परिभाषा। अनिश्चितकालीन अभिन्नएक समारोह कहा जाता है एफ (एक्स) + सी , एक मनमाना स्थिरांक युक्त सी , जिसका अंतर बराबर है एकीकृतअभिव्यक्ति एफ (एक्स) डीएक्स , अर्थात। या समारोह कहा जाता है प्रतिकारक कार्य. किसी फ़ंक्शन का प्रतिपक्षी एक स्थिर मान तक निर्धारित होता है।

याद करें कि - समारोह अंतरऔर इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

ढूँढने में समस्या अनिश्चितकालीन अभिन्नएक समारोह खोजना है यौगिकजो इंटीग्रैंड के बराबर है। यह फ़ंक्शन एक स्थिरांक तक निर्धारित होता है, क्योंकि निरंतर का व्युत्पन्न शून्य है।

उदाहरण के लिए, यह ज्ञात है कि , तब यह पता चला , यहाँ एक मनमाना स्थिरांक है।

खोजने का कार्य अनिश्चितकालीन अभिन्न from function उतना सरल और आसान नहीं है जितना पहली नज़र में लगता है। कई मामलों में, साथ काम करने में निपुणता होनी चाहिए अनिश्चितकालीन अभिन्न,ऐसा अनुभव होना चाहिए जो अभ्यास और निरंतरता के साथ आता है अनिश्चित समाकलों के लिए उदाहरण हल करना।यह इस तथ्य पर विचार करने योग्य है कि अनिश्चितकालीन अभिन्नकुछ कार्यों से (उनमें से बहुत सारे हैं) प्राथमिक कार्यों में नहीं लिए गए हैं।

15. मूलभूत अनिश्चित समाकलों की तालिका।

मूल सूत्र

16. समाकल को समाकल योग की सीमा के रूप में परिभाषित कीजिए। अभिन्न का ज्यामितीय और भौतिक अर्थ।

फलन y=ƒ(x) को खंड [a; बैंड< b. Выполним следующие действия.

1. अंक x 0 \u003d a, x 1, x 2, ..., x n \u003d B (x 0) का उपयोग करना

2. प्रत्येक आंशिक खंड में, i = 1,2,...,n, हम i є के साथ एक मनमाना बिंदु चुनते हैं और उस पर फ़ंक्शन के मान की गणना करते हैं, अर्थात, मान ƒ(i के साथ)।

3. फ़ंक्शन ƒ (i से) के पाए गए मान को संबंधित आंशिक खंड की लंबाई ∆x i =x i -x i-1 से गुणा करें: ƒ (i से) ∆х i।

4. ऐसे सभी उत्पादों का योग S n बनाएँ:

फॉर्म का योग (35.1) सेगमेंट [ए; बी]। सबसे बड़े आंशिक खंड की लंबाई λ द्वारा निरूपित करें: λ = अधिकतम ∆x i (i = 1,2,..., n)।

5. अभिन्न योग (35.1) की सीमा n → ∞ के रूप में खोजें ताकि λ→0 हो।

यदि, इसके अलावा, अभिन्न योग S n की एक सीमा I है, जो खंड को विभाजित करने की विधि पर निर्भर नहीं करता है [a; b] आंशिक खंडों में, या उनमें बिंदुओं की पसंद से, फिर संख्या I को फलन y = ƒ(x) का खंड [a; बी] और इस प्रकार निरूपित किया जाता है,

संख्या ए और बी को क्रमशः एकीकरण की निचली और ऊपरी सीमा कहा जाता है, ƒ(x) - इंटीग्रैंड, ƒ(x) dx - इंटीग्रैंड, x - इंटीग्रेशन वेरिएबल, सेगमेंट [ए; बी] - एकीकरण का क्षेत्र (खंड)।

फ़ंक्शन y \u003d ƒ (x), जिसके लिए सेगमेंट [ए; b] इस अंतराल पर एक निश्चित समाकल होता है जिसे समाकलनीय कहा जाता है।

आइए अब एक निश्चित समाकल के लिए अस्तित्व प्रमेय का सूत्रपात करें।

प्रमेय 35.1 (कॉची)। यदि फलन y = ƒ(x) खंड [a; बी], फिर निश्चित अभिन्न

ध्यान दें कि किसी फ़ंक्शन की निरंतरता इसकी पूर्णता के लिए पर्याप्त शर्त है। हालांकि, कुछ असतत कार्यों के लिए एक निश्चित अभिन्न भी मौजूद हो सकता है, विशेष रूप से, किसी भी फ़ंक्शन के लिए जो एक अंतराल पर बंधा हुआ है और उस पर विखंडन बिंदुओं की एक सीमित संख्या है।

आइए हम निश्चित समाकल के कुछ गुणों को इंगित करें जो इसकी परिभाषा (35.2) से सीधे अनुसरण करते हैं।

1. निश्चित अभिन्न एकीकरण चर के अंकन से स्वतंत्र है:

यह इस तथ्य से अनुसरण करता है कि अभिन्न योग (35.1) और, फलस्वरूप, इसकी सीमा (35.2) इस बात पर निर्भर नहीं करती है कि कौन सा अक्षर इस फ़ंक्शन के तर्क को दर्शाता है।

2. समाकलन की समान सीमा के साथ एक निश्चित समाकलन शून्य के बराबर होता है:

3. किसी वास्तविक संख्या के लिए c.

17. न्यूटन-लीबनिज सूत्र। एक निश्चित अभिन्न के मूल गुण।

समारोह होने दें वाई = एफ (एक्स)खंड पर निरंतर और एफ (एक्स)इस सेगमेंट पर फ़ंक्शन के एंटीडेरिवेटिव्स में से एक है, फिर न्यूटन-लीबनिज सूत्र: .

न्यूटन-लीबनिज सूत्र को कहा जाता है अभिन्न कलन का मूल सूत्र.

न्यूटन-लीबनिज सूत्र को सिद्ध करने के लिए, हमें चर ऊपरी सीमा के साथ समाकल की अवधारणा की आवश्यकता है।

यदि समारोह वाई = एफ (एक्स)खंड पर निरंतर , तो तर्क के लिए फॉर्म का अभिन्न ऊपरी सीमा का एक कार्य है। हम इस फ़ंक्शन को निरूपित करते हैं , और यह कार्य निरंतर और समानता है .

दरअसल, आइए हम तर्क की वृद्धि के अनुरूप कार्य की वृद्धि लिखें और दसवीं संपत्ति से निश्चित अभिन्न और कोरोलरी की पांचवीं संपत्ति का उपयोग करें:

कहाँ ।

आइए हम इस समानता को रूप में फिर से लिखें . यदि हम किसी फलन के अवकलज की परिभाषा को याद करते हैं और पर सीमा तक जाते हैं, तो हमें मिलता है। यही है, फ़ंक्शन के एंटीडेरिवेटिव्स में से एक है वाई = एफ (एक्स)खंड पर . इस प्रकार, सभी प्रतिपक्षी का सेट एफ (एक्स)रूप में लिखा जा सकता है , कहाँ साथएक मनमाना स्थिरांक है।

गणना करना एफ (ए), निश्चित अभिन्न की पहली संपत्ति का उपयोग करते हुए: , इस तरह, । हम इस परिणाम का उपयोग गणना करने के लिए करते हैं एफ (बी): , वह है . यह समानता सिद्ध न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र देती है .

किसी फ़ंक्शन की वृद्धि को आमतौर पर निरूपित किया जाता है . इस संकेतन का उपयोग करते हुए, न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र का रूप ले लेता है .

न्यूटन-लीबनिज सूत्र को लागू करने के लिए, हमारे लिए किसी एक प्रतिअवकलज को जानना पर्याप्त है वाई = एफ (एक्स)एकीकृत वाई = एफ (एक्स)खंड पर और इस सेगमेंट पर इस एंटीडेरिवेटिव की वृद्धि की गणना करें। लेख में, एकीकरण विधियों का विश्लेषण एंटीडेरिवेटिव खोजने के मुख्य तरीकों का विश्लेषण किया जाता है। आइए स्पष्टीकरण के लिए न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र का उपयोग करके निश्चित समाकलों की गणना करने के कुछ उदाहरण दें।

उदाहरण।

न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र का उपयोग करके निश्चित समाकल के मान की गणना करें।

समाधान।

सबसे पहले, ध्यान दें कि अंतराल पर इंटीग्रैंड निरंतर है , इसलिए, इस पर पूर्णांक है। (हमने कार्यों पर अनुभाग में पूर्णांक कार्यों के बारे में बात की जिसके लिए एक निश्चित अभिन्न है)।

यह अनिश्चितकालीन इंटीग्रल की तालिका से देखा जा सकता है कि एक फ़ंक्शन के लिए, तर्क के सभी वास्तविक मूल्यों के लिए एंटीडेरिवेटिव्स का सेट (इसलिए, के लिए) के रूप में लिखा गया है . आइए आदिम को लें सी = 0: .

अब यह निश्चित अभिन्न की गणना के लिए न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र का उपयोग करने के लिए बनी हुई है: .

18. एक निश्चित अभिन्न के ज्यामितीय अनुप्रयोग।

एक निश्चित समाकलन के ज्यामितीय अनुप्रयोग

आयताकार एस.के.	समारोह, पैरामीट्रिक रूप से परिभाषित	पॉलीर्नया एस.के.
समतल आकृतियों के क्षेत्रफल की गणना
एक तलीय वक्र की चाप लंबाई की गणना करना
क्रांति के सतह क्षेत्र की गणना

शरीर की मात्रा की गणना

समांतर वर्गों के ज्ञात क्षेत्रों से शरीर की मात्रा की गणना:

रोटेशन बॉडी का आयतन:; .

उदाहरण 1. एक वक्र y=sinx, सीधी रेखाओं से घिरी हुई आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

समाधान:आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करना:

उदाहरण 2. रेखाओं से घिरी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

समाधान:आइए इन कार्यों के ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के भुज खोजें। ऐसा करने के लिए, हम समीकरणों की प्रणाली को हल करते हैं

यहाँ से हम पाते हैं एक्स 1 \u003d 0, एक्स 2 \u003d 2.5।

19. अंतर नियंत्रण की अवधारणा। प्रथम कोटि के अवकल समीकरण।

अंतर समीकरण- एक समीकरण जो किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के मूल्य को फ़ंक्शन के साथ जोड़ता है, स्वतंत्र चर, संख्या (पैरामीटर) के मान। समीकरण में शामिल डेरिवेटिव का क्रम अलग हो सकता है (औपचारिक रूप से, यह किसी भी चीज़ से सीमित नहीं है)। विभिन्न संयोजनों में समीकरण में डेरिवेटिव, फ़ंक्शंस, स्वतंत्र चर और पैरामीटर शामिल किए जा सकते हैं, या सभी लेकिन कम से कम एक डेरिवेटिव पूरी तरह से अनुपस्थित हो सकता है। किसी अज्ञात फलन के अवकलज युक्त कोई भी समीकरण अवकल समीकरण नहीं है। उदाहरण के लिए, अवकल समीकरण नहीं है।

आंशिक अंतर समीकरण(URCHP) कई चर और उनके आंशिक डेरिवेटिव के अज्ञात कार्यों वाले समीकरण हैं। ऐसे समीकरणों के सामान्य रूप को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

कहा पे स्वतंत्र चर हैं और इन चरों का एक कार्य है। आंशिक अवकल समीकरणों का क्रम उसी तरह निर्धारित किया जा सकता है जैसे साधारण अवकल समीकरणों के लिए। आंशिक विभेदक समीकरणों का एक अन्य महत्वपूर्ण वर्गीकरण दीर्घवृत्तीय, परवलयिक और अतिपरवलयिक प्रकार के समीकरणों में उनका विभाजन है, विशेष रूप से दूसरे क्रम के समीकरणों के लिए।

साधारण अवकल समीकरणों और आंशिक अवकल समीकरणों दोनों में विभाजित किया जा सकता है रेखीयऔर गैर रेखीय. एक अंतर समीकरण रैखिक होता है यदि अज्ञात फ़ंक्शन और इसके डेरिवेटिव समीकरण में केवल पहली शक्ति में प्रवेश करते हैं (और एक दूसरे के साथ गुणा नहीं करते हैं)। इस तरह के समीकरणों के लिए, समाधान कार्यों के स्थान का एक एफ़िन उप-स्थान बनाते हैं। रेखीय अवकल समीकरणों के सिद्धांत को अरैखिक समीकरणों के सिद्धांत की तुलना में कहीं अधिक गहराई से विकसित किया गया है। रैखिक अवकल समीकरण का सामान्य रूप एन-वाँ आदेश:

कहाँ अनुकरणीय(एक्स) स्वतंत्र चर के ज्ञात कार्य हैं, जिन्हें समीकरण के गुणांक कहा जाता है। समारोह आर(एक्स) दाहिनी ओर कहा जाता है स्वतंत्र सदस्य(एकमात्र शब्द जो अज्ञात फ़ंक्शन पर निर्भर नहीं करता है) रैखिक समीकरणों का एक महत्वपूर्ण विशेष वर्ग रैखिक अंतर समीकरण हैं स्थिर गुणांक.

रैखिक समीकरणों का एक उपवर्ग है सजातीयअवकल समीकरण - ऐसे समीकरण जिनमें मुक्त पद नहीं होता है: आर(एक्स) = 0. सजातीय विभेदक समीकरणों के लिए, सुपरपोज़िशन सिद्धांत धारण करता है: ऐसे समीकरण के विशेष समाधानों का एक रैखिक संयोजन भी इसका समाधान होगा। अन्य सभी रैखिक अवकल समीकरण कहलाते हैं विजातीयविभेदक समीकरण।

कुछ विशेष वर्गों को छोड़कर, सामान्य मामले में गैर-रैखिक अंतर समीकरणों में समाधान के तरीके विकसित नहीं होते हैं। कुछ मामलों में (कुछ सन्निकटन के उपयोग के साथ) उन्हें रैखिक में घटाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक हार्मोनिक ऑसिलेटर का रैखिक समीकरण गणितीय पेंडुलम के अरैखिक समीकरण के सन्निकटन के रूप में माना जा सकता है छोटे आयामों के मामले में, जब वाई≈ पाप वाई.

· स्थिर गुणांकों वाला एक दूसरे क्रम का सजातीय अवकल समीकरण है। समाधान कार्यों का एक परिवार है, जहां और मनमाना स्थिरांक हैं, जो एक विशिष्ट समाधान के लिए अलग-अलग निर्दिष्ट प्रारंभिक स्थितियों से निर्धारित होते हैं। यह समीकरण, विशेष रूप से, 3 की चक्रीय आवृत्ति के साथ एक हार्मोनिक ऑसिलेटर की गति का वर्णन करता है।

· न्यूटन के दूसरे नियम को अवकल समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है| कहाँ एम- शरीर का भार, एक्स- इसका समन्वय, एफ(एक्स, टी) शरीर पर समन्वय के साथ कार्य करने वाला बल है एक्सउन दिनों टी. इसका समाधान निर्दिष्ट बल की कार्रवाई के तहत शरीर का प्रक्षेपवक्र है।

· बेसेल अवकल समीकरण चर गुणांकों के साथ दूसरे क्रम का एक साधारण रैखिक सजातीय समीकरण है: इसका समाधान बेसेल फलन हैं।

प्रथम क्रम के गैर-सजातीय गैर-रैखिक साधारण अंतर समीकरण का एक उदाहरण:

उदाहरणों के निम्नलिखित समूह में, अज्ञात फलन यूदो चरों पर निर्भर करता है एक्सऔर टीया एक्सऔर वाई.

पहले क्रम के सजातीय रैखिक आंशिक अंतर समीकरण:

एक आयामी तरंग समीकरण - निरंतर गुणांक के साथ दूसरे क्रम के अतिशयोक्तिपूर्ण प्रकार के आंशिक डेरिवेटिव में एक सजातीय रैखिक समीकरण, स्ट्रिंग के कंपन का वर्णन करता है, यदि - समन्वय के साथ एक बिंदु पर स्ट्रिंग का विचलन एक्सउन दिनों टी, और पैरामीटर एस्ट्रिंग गुण सेट करता है:

द्वि-आयामी अंतरिक्ष में लाप्लास समीकरण निरंतर गुणांक के साथ अण्डाकार प्रकार का एक सजातीय रैखिक द्वितीय-क्रम आंशिक अंतर समीकरण है, जो यांत्रिकी, गर्मी चालन, इलेक्ट्रोस्टैटिक्स, हाइड्रोलिक्स की कई भौतिक समस्याओं में उत्पन्न होता है:

कॉर्टेवेग-डी वेरी समीकरण, एक गैर-रैखिक तृतीय-क्रम आंशिक अंतर समीकरण, स्थिर गैर-रैखिक तरंगों का वर्णन करता है, जिसमें सॉलिटॉन शामिल हैं:

20. वियोज्य लागू के साथ विभेदक समीकरण। रेखीय समीकरण और बरनौली विधि।

एक प्रथम-क्रम रैखिक अंतर समीकरण एक समीकरण है जो एक अज्ञात फ़ंक्शन और उसके व्युत्पन्न के संबंध में रैखिक है। ऐसा लग रहा है

एक्स्ट्रेमा खोजने के लिए एक सरल एल्गोरिथ्म।.

• एक समारोह के व्युत्पन्न ढूँढना
• इस व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करें
• हम परिणामी अभिव्यक्ति के चर के मान पाते हैं (चर के मान जिस पर व्युत्पन्न शून्य में परिवर्तित हो जाते हैं)
• हम इन मूल्यों के साथ समन्वय रेखा को अंतराल में विभाजित करते हैं (हमें विराम बिंदुओं के बारे में नहीं भूलना चाहिए, जिसे रेखा पर भी लागू करने की आवश्यकता होती है), इन सभी बिंदुओं को चरम के लिए "संदिग्ध" बिंदु कहा जाता है
• हम गणना करते हैं कि इनमें से किस अंतराल पर अवकलज धनात्मक होगा और किस पर ऋणात्मक होगा। ऐसा करने के लिए, आपको अंतराल से मूल्य को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है।

एक चरम सीमा के संदिग्ध बिंदुओं में से, यह पता लगाना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, हम समन्वय रेखा पर अपने अंतराल को देखते हैं। यदि किसी बिन्दु से गुजरते समय अवकलज का चिन्ह धनात्मक से ऋणात्मक में बदल जाता है तो यह बिन्दु होगा अधिकतम, और अगर माइनस से प्लस तक, तो न्यूनतम.

किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात करने के लिए, आपको खंड के अंत में और चरम बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान की गणना करने की आवश्यकता होती है। फिर सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान चुनें।

एक उदाहरण पर विचार करें
हम व्युत्पन्न पाते हैं और इसे शून्य के बराबर करते हैं:

हम चर के प्राप्त मूल्यों को समन्वय रेखा पर लागू करते हैं और प्रत्येक अंतराल पर व्युत्पन्न के चिह्न की गणना करते हैं। ठीक है, उदाहरण के लिए, पहले लेने के लिए-2 , तो व्युत्पन्न होगा-0,24 , दूसरे टेक के लिए0 , तो व्युत्पन्न होगा2 , और तीसरे के लिए हम लेते हैं2 , तो व्युत्पन्न होगा-0.24। हम उपयुक्त संकेत लगाते हैं।

हम देखते हैं कि बिंदु -1 से गुजरते समय, व्युत्पन्न परिवर्तन माइनस से प्लस में बदल जाता है, अर्थात यह एक न्यूनतम बिंदु होगा, और जब 1 से क्रमशः प्लस से माइनस में गुजरता है, तो यह एक अधिकतम बिंदु होता है।

किसी फलन का चरम क्या है और चरम के लिए आवश्यक शर्त क्या है?

किसी फ़ंक्शन का चरम फ़ंक्शन का अधिकतम और न्यूनतम होता है।

फ़ंक्शन के अधिकतम और न्यूनतम (चरम) के लिए आवश्यक शर्त इस प्रकार है: यदि फ़ंक्शनएफ (एक्स ) बिंदु x = a पर एक चरम सीमा है, तो इस बिंदु पर व्युत्पन्न या तो शून्य या अनंत है, या मौजूद नहीं है।

यह स्थिति आवश्यक है, लेकिन पर्याप्त नहीं है। बिंदु पर व्युत्पन्न x = a गायब हो सकता है, अनंत तक जा सकता है, या इस बिंदु पर चरम सीमा वाले फ़ंक्शन के बिना मौजूद नहीं हो सकता है।

फ़ंक्शन के चरम (अधिकतम या न्यूनतम) के लिए पर्याप्त स्थिति क्या है?

पहली शर्त:

एफ? (एक्स ) a के बायीं ओर धनात्मक है और a के दायीं ओर ऋणात्मक है, तो उसी बिंदु पर x = a फलन हैएफ (एक्स ) यह है अधिकतमबशर्ते कि समारोहएफ (एक्स ) यहाँ निरंतर है।

यदि बिंदु x \u003d a, व्युत्पन्न के लिए पर्याप्त निकटता मेंएफ? (एक्स ) a के बाईं ओर ऋणात्मक है और a के दाईं ओर धनात्मक है, तो उसी बिंदु पर x = a फलनएफ (एक्स ) यह है न्यूनतमबशर्ते कि समारोहएफ (एक्स ) यहाँ निरंतर है।

इसके बजाय आप उपयोग कर सकते हैं दूसरी पर्याप्त स्थितिसमारोह चरम:

चलो बिंदु पर x = और पहला व्युत्पन्नएफ? (एक्स ) गायब हो जाता है; यदि दूसरा व्युत्पन्नएफ?? (ए) नकारात्मक है, फिर कार्य f (x) के बिंदु x = a पर है अधिकतम, यदि सकारात्मक - न्यूनतम।

केस एफ के बारे में ?? (ए) = 0 एम.वाईए द्वारा उच्च गणित की पुस्तिका में पाया जा सकता है। वायगोडस्की।

किसी फ़ंक्शन का महत्वपूर्ण बिंदु क्या है और इसे कैसे खोजें?

यह फ़ंक्शन तर्क का मान है जिस पर फ़ंक्शन का चरम (यानी अधिकतम या न्यूनतम) होता है। इसे खोजने के लिए, आपको चाहिए व्युत्पन्न खोजेंकार्यएफ? (एक्स ) और इसे शून्य के बराबर करने पर, प्रश्न हल करें एफ? (एक्स ) = 0। इस समीकरण की जड़ें, साथ ही वे बिंदु जिन पर इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न मौजूद नहीं है, महत्वपूर्ण बिंदु हैं, अर्थात, तर्क के मान जिस पर एक चरम सीमा हो सकती है। इन्हें देखकर आसानी से पहचाना जा सकता है व्युत्पन्न ग्राफ: हम तर्क के उन मूल्यों में रुचि रखते हैं जिन पर फ़ंक्शन का ग्राफ़ एब्सिस्सा अक्ष (ऑक्स अक्ष) को काटता है और जिन पर ग्राफ़ टूटता है।

उदाहरण के लिए, आइए खोजें परबोला का चरम.

फंक्शन वाई (एक्स) \u003d 3 एक्स 2 + 2 एक्स - 50।

कार्य व्युत्पन्न:वाई? (एक्स) = 6 एक्स + 2

हम समीकरण हल करते हैं:वाई? (एक्स) = 0

6x + 2 \u003d 0.6x \u003d -2, x \u003d -2/6 \u003d -1/3

इस स्थिति में, महत्वपूर्ण बिंदु x 0 = -1/3 है। यह फ़ंक्शन के तर्क के इस मान के लिए है चरम. उसे पाने के लिए पाना, हम "x" के बजाय फ़ंक्शन के लिए अभिव्यक्ति में मिली संख्या को प्रतिस्थापित करते हैं:

वाई 0 = 3*(-1/3) 2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

किसी फ़ंक्शन का अधिकतम और न्यूनतम कैसे निर्धारित करें, अर्थात इसका सबसे बड़ा और सबसे छोटा मूल्य?

यदि महत्वपूर्ण बिंदु x 0 से गुजरने पर व्युत्पन्न का चिह्न "प्लस" से "माइनस" में बदल जाता है, तो x 0 है अधिकतम बिंदु; यदि व्युत्पन्न का चिन्ह माइनस से प्लस में बदल जाता है, तो x 0 है न्यूनतम बिंदु; यदि चिन्ह नहीं बदलता है, तो बिंदु x 0 पर न तो अधिकतम और न ही न्यूनतम है।

माना उदाहरण के लिए:

हम महत्वपूर्ण बिंदु के बाईं ओर तर्क का मनमाना मान लेते हैं: x = -1

जब x = -1, अवकलज का मान y होगा? (-1) \u003d 6 * (-1) + 2 \u003d -6 + 2 \u003d -4 (अर्थात चिन्ह "माइनस" है)।

अब हम महत्वपूर्ण बिंदु के दाईं ओर तर्क का मनमाना मान लेते हैं: x = 1

x = 1 के लिए, अवकलज का मान होगा y(1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (अर्थात् धन चिह्न)।

जैसा कि आप देख सकते हैं, महत्वपूर्ण बिंदु से गुजरते समय, डेरिवेटिव ने साइन को माइनस से प्लस में बदल दिया। इसका अर्थ है कि x 0 के क्रांतिक मान पर हमारे पास एक न्यूनतम बिंदु है।

समारोह का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मूल्य अंतराल पर(सेगमेंट पर) एक ही प्रक्रिया द्वारा पाए जाते हैं, केवल इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि, शायद, सभी महत्वपूर्ण बिंदु निर्दिष्ट अंतराल के भीतर नहीं होंगे। वे महत्वपूर्ण बिंदु जो अंतराल के बाहर हैं, उन्हें विचार से बाहर रखा जाना चाहिए। यदि अंतराल के अंदर केवल एक महत्वपूर्ण बिंदु है, तो इसका या तो अधिकतम या न्यूनतम होगा। इस मामले में, फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को निर्धारित करने के लिए, हम अंतराल के अंत में फ़ंक्शन के मूल्यों को भी ध्यान में रखते हैं।

उदाहरण के लिए, आइए फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान ज्ञात करें

वाई (एक्स) \u003d 3 पाप (एक्स) - 0.5x

अंतरालों पर:

ए) [-9; 9]

बी) [-6; -3]

अतः फलन का अवकलज है

वाई? (एक्स) \u003d 3 कॉस (एक्स) - 0.5

समीकरण को हल करना 3कॉस (एक्स) - 0.5 \u003d 0

3cos(x) = 0.5

cos(x) = 0.5/3 = 0.16667

x \u003d ± आर्ककोस (0.16667) + 2πk।

हम अंतराल [-9; 9]:

एक्स \u003d आर्ककोस (0.16667) - 2 π *2 = -11.163 (रेंज से बाहर)

एक्स \u003d - आर्ककोस (0.16667) - 2 π * 1 \u003d -7.687

एक्स \u003d आर्ककोस (0.16667) - 2 π * 1 \u003d -4.88

एक्स \u003d - आर्ककोस (0.16667) + 2 π * 0 \u003d -1.403

एक्स \u003d आर्ककोस (0.16667) + 2 π * 0 \u003d 1.403

एक्स \u003d - आर्ककोस (0.16667) + 2 π * 1 \u003d 4.88

एक्स \u003d आर्ककोस (0.16667) + 2 π * 1 \u003d 7.687

एक्स \u003d - आर्ककोस (0.16667) + 2 π *2 = 11.163 (श्रेणी में शामिल नहीं)

हम तर्क के महत्वपूर्ण मूल्यों पर फ़ंक्शन के मान पाते हैं:

वाई (-7.687) = 3cos (-7.687) - 0.5 = 0.885

वाई (-4.88) = 3cos (-4.88) - 0.5 = 5.398

वाई (-1.403) = 3cos (-1.403) - 0.5 = -2.256

वाई (1.403) = 3cos (1.403) - 0.5 = 2.256

वाई (4.88) = 3cos (4.88) - 0.5 = -5.398

वाई (7.687) = 3cos (7.687) - 0.5 = -0.885

यह देखा जा सकता है कि अंतराल पर [-9; 9] समारोह में सबसे बड़ा मूल्य हैएक्स = -4.88:

एक्स = -4.88, वाई = 5.398,

और सबसे छोटा - x = 4.88 पर:

एक्स = 4.88, वाई = -5.398।

अंतराल पर [-6; -3] हमारे पास केवल एक महत्वपूर्ण बिंदु है: x = -4.88। x = -4.88 पर फलन का मान y = 5.398 है।

हम अंतराल के अंत में फ़ंक्शन का मान पाते हैं:

वाई (-6) = 3 कॉस (-6) - 0.5 = 3.838

वाई (-3) = 3 कॉस (-3) - 0.5 = 1.077

अंतराल पर [-6; -3] हमारे पास फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान है

वाई = 5.398 एक्स = -4.88 पर

सबसे छोटा मान है

वाई = 1.077 एक्स = -3 पर

फ़ंक्शन ग्राफ़ के विभक्ति बिंदु कैसे खोजें और उत्तलता और समतलता के पक्षों का निर्धारण कैसे करें?

एक लाइन के सभी ब्रेकप्वाइंट खोजने के लिएवाई = एफ (एक्स ), आपको दूसरा व्युत्पन्न खोजने की आवश्यकता है, इसे शून्य के बराबर करें (समीकरण को हल करें) और x के उन सभी मानों का परीक्षण करें जिनके लिए दूसरा व्युत्पन्न शून्य है, अनंत है या मौजूद नहीं है। यदि, इन मानों में से किसी एक से गुजरते समय, दूसरा अवकलज चिह्न बदल जाता है, तो इस बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ में एक मोड़ होता है। यदि यह नहीं बदलता है, तो कोई विभक्ति नहीं है।

समीकरण च की जड़ें ? (एक्स ) = 0, साथ ही फ़ंक्शन की असततता के संभावित बिंदु और दूसरा डेरिवेटिव, फ़ंक्शन के डोमेन को कई अंतरालों में विभाजित करते हैं। उनके प्रत्येक अंतराल पर उत्तलता दूसरे व्युत्पन्न के चिह्न द्वारा निर्धारित की जाती है। यदि अध्ययन के तहत अंतराल पर एक बिंदु पर दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो रेखावाई = एफ (एक्स ) यहाँ उत्तलता द्वारा ऊपर की ओर मुड़ा हुआ है, और यदि यह ऋणात्मक है, तो नीचे की ओर।

दो वेरिएबल्स के फ़ंक्शन का एक्स्ट्रेमा कैसे खोजें?

किसी फ़ंक्शन के एक्स्ट्रेमा को खोजने के लिएएफ (एक्स, वाई ), अपने असाइनमेंट के डोमेन में अलग-अलग, यह आवश्यक है:

1) महत्वपूर्ण बिंदु खोजें, और इसके लिए समीकरणों की प्रणाली को हल करें

एफ एक्स ? (एक्स, वाई) \u003d 0, एफ वाई? (एक्स, वाई) = 0

2) प्रत्येक महत्वपूर्ण बिंदु के लिए Р 0 (ए; बी ) जांच करने के लिए कि अंतर का संकेत अपरिवर्तित रहता है या नहीं

एफ (एक्स, वाई) - एफ (ए, बी)

सभी बिंदुओं के लिए (x; y) पर्याप्त रूप से Р 0 के करीब। यदि अंतर एक सकारात्मक संकेत रखता है, तो बिंदु P 0 पर हमारे पास एक न्यूनतम, यदि नकारात्मक है, तो अधिकतम। यदि अंतर अपने संकेत को बरकरार नहीं रखता है, तो बिंदु P 0 पर कोई चरम सीमा नहीं है।

इसी तरह, बड़ी संख्या में तर्कों के लिए फ़ंक्शन का एक्स्ट्रेमा निर्धारित किया जाता है।

स्रोत:

• वायगोडस्की एम.वाई. उच्च गणित की पुस्तिका
• चेरेंको वी.डी. उदाहरणों और कार्यों में उच्च गणित। 3 खंडों में। वॉल्यूम 1

जिन बिंदुओं पर व्युत्पन्न शून्य के बराबर है, वे फ़ंक्शन के चरम बिंदु हैं। इन बिंदुओं को खोजें और अधिकतम और न्यूनतम अंक निर्धारित करें।

x^2 - 5x + 6 = 0;

डी = (- 5)^2 - 4 * 1 * 6 = 25 - 24 = 1; √डी = 1;

x = (- b ± √D)/(2a);

x1 = (5 + 1)/2 = 6/2 = 3;

x2 = (5 - 1)/2 = 4/2 = 2।

अधिकतम बिंदु वह बिंदु है जिस पर फ़ंक्शन बढ़ने से घटने में बदलता है, और न्यूनतम बिंदु वह बिंदु होता है जिस पर फ़ंक्शन घटने से बढ़ने में बदलता है। फ़ंक्शन उन अंतरालों पर बढ़ता है जहां इसका व्युत्पन्न सकारात्मक होता है, और घटता है जहां इसका व्युत्पन्न ऋणात्मक होता है।

संख्या रेखा पर बिंदु 2 और 3 नोट करें। वे रेखा को तीन अंतरालों में विभाजित करेंगे: 1) (- ∞; 2), 2) (2; 3), 3) (3; + ∞)। आइए प्रत्येक अंतराल पर व्युत्पन्न x^2 - 5x + 6 के चिह्न की जांच करें।

अंतराल 1 और 3 पर, व्युत्पन्न सकारात्मक मान लेता है, और अंतराल 2 पर, यह नकारात्मक मान लेता है। इसका अर्थ है कि अंतराल 1 और 3 पर फलन बढ़ता है, और अंतराल 2 पर यह घटता है। अंजीर देखें। http://bit.ly/2wfdf7o

तो बिंदु x \u003d 2 अधिकतम बिंदु है, और x \u003d 3 न्यूनतम बिंदु है।

उत्तर। एक्समैक्स = 2; एक्समिन = 3।

किसी फ़ंक्शन के चरम बिंदुओं (यानी, न्यूनतम और अधिकतम अंक) को खोजने के लिए, आपको निम्न की आवश्यकता है:

• एक समारोह के व्युत्पन्न खोजें,
• व्युत्पन्न के शून्य खोजें (यानी, इसे शून्य के बराबर करें और समीकरण की जड़ें पाएं),
• व्युत्पन्न के संकेतों को निर्धारित करने के लिए एक संख्या रेखा का उपयोग करना: जब कार्य बढ़ रहा है, तो व्युत्पन्न सकारात्मक है, जब कार्य घट रहा है, तो व्युत्पन्न ऋणात्मक है,
• न्यूनतम और अधिकतम के बिंदु निर्धारित करें: यदि फ़ंक्शन बढ़ता है और एक निश्चित बिंदु पर घटने लगता है, तो यह अधिकतम बिंदु है, और यदि इसके विपरीत, तो यह न्यूनतम बिंदु है।

व्युत्पन्न पहले से ही ज्ञात है f "(x) = x 2 - 5x + 6।

फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के शून्य खोजें

एक्स 2 - 5x + 6 = 0

यह एक द्विघात समीकरण निकला, हम विवेचक के माध्यम से समीकरण की जड़ों का पता लगाते हैं।

x 2 - 5x + 6 - द्विघात फलन, शाखाएँ ऊपर।

ए = 1, बी = -5, सी = 6।

D \u003d 2 - 4ac \u003d (-5) 2 - 4 * 1 * 6 \u003d 25 - 24 \u003d 1 (वर्गमूल 1 है)

x 1 = (5 + 1)/2 = 6/3 = 3

एक्स 2 \u003d (5 - 1) / 2 \u003d 4/2 \u003d 2

हम व्युत्पन्न के संकेतों का निर्धारण करते हैं

हम बिंदु 2 और 3 को समन्वय रेखा पर चिह्नित करते हैं, योजनाबद्ध रूप से एक परबोला (शाखाएं ऊपर) खींचते हैं, प्रत्येक अंतराल पर संकेतों पर हस्ताक्षर करते हैं, तीर दिखाते हैं कि फ़ंक्शन प्रत्येक अंतराल पर कैसे व्यवहार करता है।

(- अनंत; 2) प्लस साइन, फ़ंक्शन बढ़ रहा है।

(2; 3) माइनस साइन, फंक्शन घट रहा है।

(3; + अनंत) प्लस साइन, फ़ंक्शन बढ़ रहा है।

अर्थात्, बिंदु 2 अधिकतम बिंदु है, और बिंदु 3 न्यूनतम बिंदु है।

उत्तर: x मिनट = 3, x अधिकतम = 2।