निर्देशांक अक्ष पर खंड की लंबाई सूत्र द्वारा ज्ञात की जाती है:

निर्देशांक तल पर खंड की लंबाई सूत्र द्वारा मांगी गई है:

त्रि-आयामी समन्वय प्रणाली में एक खंड की लंबाई खोजने के लिए, निम्न सूत्र का उपयोग किया जाता है:

खंड के मध्य के निर्देशांक (समन्वय अक्ष के लिए केवल पहले सूत्र का उपयोग किया जाता है, समन्वय विमान के लिए - पहले दो सूत्र, त्रि-आयामी समन्वय प्रणाली के लिए - सभी तीन सूत्र) सूत्रों द्वारा गणना की जाती है:

समारोहप्रपत्र का पत्राचार है आप= एफ(एक्स) चर के बीच, जिसके कारण प्रत्येक को कुछ चर का मान माना जाता है एक्स(तर्क या स्वतंत्र चर) दूसरे चर के एक निश्चित मूल्य से मेल खाता है, आप(आश्रित चर, कभी-कभी इस मान को केवल फ़ंक्शन का मान कहा जाता है)। ध्यान दें कि फ़ंक्शन मानता है कि तर्क का एक मान एक्सआश्रित चर का केवल एक मान हो सकता है पर. हालांकि, वही मान परविभिन्न के साथ प्राप्त किया जा सकता है एक्स.

फंक्शन स्कोपस्वतंत्र चर के सभी मान हैं (फ़ंक्शन तर्क, आमतौर पर एक्स) जिसके लिए फ़ंक्शन परिभाषित किया गया है, अर्थात। इसका अर्थ मौजूद है। परिभाषा का क्षेत्र इंगित किया गया है डी(आप) कुल मिलाकर आप इस अवधारणा से पहले से ही परिचित हैं। किसी फ़ंक्शन के दायरे को अन्यथा मान्य मानों का डोमेन या ODZ कहा जाता है, जिसे आप लंबे समय से ढूंढ रहे हैं।

फंक्शन रेंज- यह सब है संभावित मानइस फ़ंक्शन का आश्रित चर। लक्षित इ(पर).

समारोह बढ़ जाता हैअंतराल में जहां अधिक मूल्यतर्क समारोह के बड़े मूल्य से मेल खाता है। समारोह घटानाअंतराल पर जिस पर तर्क का बड़ा मान फ़ंक्शन के छोटे मान से मेल खाता है।

समारोह अंतरालस्वतंत्र चर के वे अंतराल हैं जिन पर आश्रित चर अपना धनात्मक या ऋणात्मक चिह्न बनाए रखता है।

फंक्शन जीरोतर्क के वे मान हैं जिनके लिए फ़ंक्शन का मान शून्य के बराबर है। इन बिन्दुओं पर फलन का ग्राफ भुज अक्ष (OX अक्ष) को काटता है। बहुत बार, किसी फ़ंक्शन के शून्य को खोजने की आवश्यकता का अर्थ केवल समीकरण को हल करना है। इसके अलावा, अक्सर निरंतर संकेत के अंतराल को खोजने की आवश्यकता का अर्थ है असमानता को हल करने की आवश्यकता।

समारोह आप = एफ(एक्स) कहा जाता है यहाँ तक की एक्स

इसका मतलब है कि किसी के लिए विपरीत अर्थतर्क, सम फ़ंक्शन के मान समान हैं। एक सम फलन का ग्राफ हमेशा op-amp के y-अक्ष के सापेक्ष सममित होता है।

समारोह आप = एफ(एक्स) कहा जाता है अजीब, यदि इसे एक सममित समुच्चय पर परिभाषित किया गया है और किसी के लिए एक्सपरिभाषा के क्षेत्र से समानता पूरी होती है:

इसका मतलब यह है कि तर्क के किसी भी विपरीत मूल्यों के लिए, विषम फ़ंक्शन के मान भी विपरीत हैं। एक विषम फलन का आलेख मूल के प्रति सदैव सममित होता है।

सम और विषम फलनों के मूलों का योग (भुज अक्ष OX के प्रतिच्छेदन बिंदु) हमेशा शून्य के बराबर होता है, क्योंकि हर सकारात्मक जड़ के लिए एक्सएक नकारात्मक जड़ है एक्स.

यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि कुछ फ़ंक्शन का सम या विषम होना आवश्यक नहीं है। ऐसे कई कार्य हैं जो न तो सम हैं और न ही विषम। ऐसे कार्यों को कहा जाता है कार्यों सामान्य दृष्टि से , और उपरोक्त में से कोई भी समानता या संपत्ति उनके लिए नहीं है।

रैखिक प्रकार्यएक फ़ंक्शन कहलाता है जिसे सूत्र द्वारा दिया जा सकता है:

एक रेखीय फलन का आलेख एक सीधी रेखा है और सामान्य स्थिति में ऐसा दिखता है (एक उदाहरण उस स्थिति के लिए दिया गया है जब क> 0, इस स्थिति में फलन बढ़ रहा है; मामले के लिए क < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):

द्विघात फलन का ग्राफ (परबोला)

एक परवलय का ग्राफ एक द्विघात फलन द्वारा दिया जाता है:

एक द्विघात फलन, किसी अन्य फलन की तरह, OX अक्ष को उन बिंदुओं पर प्रतिच्छेदित करता है जो इसके मूल हैं: ( एक्सएक ; 0) और ( एक्स 2; 0)। यदि कोई मूल नहीं है, तो द्विघात फलन OX अक्ष को प्रतिच्छेद नहीं करता है, यदि एक मूल है, तो इस बिंदु पर ( एक्स 0; 0) द्विघात फलन केवल OX अक्ष को स्पर्श करता है, लेकिन इसे प्रतिच्छेद नहीं करता है। एक द्विघात फलन हमेशा ओए अक्ष को निर्देशांक के साथ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करता है: (0; सी) अनुसूची द्विघात फंक्शन(पैराबोला) इस तरह दिख सकता है (आंकड़ा ऐसे उदाहरण दिखाता है जो सभी प्रकार के परवलय को समाप्त नहीं करते हैं):

जिसमें:

• यदि गुणांक एक> 0, समारोह में आप = कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी, फिर परवलय की शाखाओं को ऊपर की ओर निर्देशित किया जाता है;
• यदि एक < 0, то ветви параболы направлены вниз.

परवलय शीर्ष निर्देशांक की गणना निम्न सूत्रों का उपयोग करके की जा सकती है। एक्स टॉप्स (पी- ऊपर दिए गए आंकड़ों में) एक परवलय का (या वह बिंदु जिस पर वर्ग त्रिपद अपने अधिकतम या न्यूनतम मान तक पहुंचता है):

वाई टॉप्स (क्यू- ऊपर के आंकड़ों में) एक परवलय का या अधिकतम यदि परवलय की शाखाएँ नीचे की ओर निर्देशित होती हैं ( एक < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (एक> 0), मान वर्ग त्रिपद:

अन्य कार्यों के रेखांकन

ऊर्जा समीकरण

यहाँ शक्ति कार्यों के रेखांकन के कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

व्युत्क्रमानुपाती निर्भरतासूत्र द्वारा दिए गए फ़ंक्शन को कॉल करें:

संख्या के चिन्ह के आधार पर कव्युत्क्रमानुपाती ग्राफ़ में दो मूलभूत विकल्प हो सकते हैं:

अनंतस्पर्शीवह रेखा है जिसके लिए फ़ंक्शन के ग्राफ़ की रेखा असीम रूप से करीब पहुंचती है, लेकिन प्रतिच्छेद नहीं करती है। ऊपर की आकृति में दिखाए गए व्युत्क्रम आनुपातिकता ग्राफ़ के लिए स्पर्शोन्मुख समन्वय अक्ष हैं, जिसके लिए फ़ंक्शन का ग्राफ़ असीम रूप से करीब पहुंचता है, लेकिन उन्हें काटता नहीं है।

घातांक प्रकार्यआधार के साथ एकसूत्र द्वारा दिए गए फ़ंक्शन को कॉल करें:

एकएक घातांकीय फलन के ग्राफ में दो मूलभूत विकल्प हो सकते हैं (हम उदाहरण भी देंगे, नीचे देखें):

लॉगरिदमिक फ़ंक्शनसूत्र द्वारा दिए गए फ़ंक्शन को कॉल करें:

इस पर निर्भर करता है कि संख्या एक से अधिक है या कम एकलॉगरिदमिक फ़ंक्शन के ग्राफ़ में दो मूलभूत विकल्प हो सकते हैं:

फंक्शन ग्राफ आप = |एक्स| निम्नलिखित नुसार:

आवधिक (त्रिकोणमितीय) कार्यों के रेखांकन

समारोह पर = एफ(एक्स) कहा जाता है नियत कालीन, यदि ऐसी गैर-शून्य संख्या मौजूद है टी, क्या एफ(एक्स + टी) = एफ(एक्स), किसी के लिए भी एक्ससमारोह के दायरे से बाहर एफ(एक्स) यदि समारोह एफ(एक्स) अवधि के साथ आवधिक है टी, फिर समारोह:

कहाँ पे: ए, क, बीनिरंतर संख्याएं हैं, और कशून्य के बराबर नहीं, आवर्त के साथ-साथ आवर्त भी टी 1 , जो सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

आवर्त फलन के अधिकांश उदाहरण त्रिकोणमितीय फलन हैं। यहाँ मुख्य के रेखांकन हैं त्रिकोणमितीय फलन. निम्नलिखित आंकड़ा फ़ंक्शन के ग्राफ़ का हिस्सा दिखाता है आप= पाप एक्स(पूरा ग्राफ अनिश्चित काल तक बाएं और दाएं जारी रहता है), फ़ंक्शन का ग्राफ आप= पाप एक्सबुलाया sinusoid:

फंक्शन ग्राफ आप= कोस एक्सबुलाया कोसाइन तरंग. यह ग्राफ निम्नलिखित आकृति में दिखाया गया है। साइन के ग्राफ के बाद से, यह OX अक्ष के साथ बाईं ओर और दाईं ओर अनिश्चित काल तक जारी रहता है:

फंक्शन ग्राफ आप= टीजी एक्सबुलाया स्पर्शरेखा. यह ग्राफ निम्नलिखित आकृति में दिखाया गया है। अन्य आवधिक कार्यों के ग्राफ़ की तरह, यह ग्राफ OX अक्ष के साथ बाईं ओर और दाईं ओर अनिश्चित काल तक दोहराता है।

और अंत में, फ़ंक्शन का ग्राफ आप=सीटीजी एक्सबुलाया कोटैंजेंटोइड. यह ग्राफ निम्नलिखित आकृति में दिखाया गया है। अन्य आवधिक और त्रिकोणमितीय कार्यों के ग्राफ़ की तरह, यह ग्राफ OX अक्ष के साथ बाईं ओर और दाईं ओर अनिश्चित काल तक दोहराता है।

भौतिकी में सभी सूत्र और नियम और गणित में सूत्र और विधियाँ सीखें। वास्तव में, ऐसा करना भी बहुत सरल है, भौतिकी में लगभग 200 आवश्यक सूत्र हैं, और गणित में भी थोड़ा कम। इनमें से प्रत्येक विषय में बुनियादी स्तर की जटिलता की समस्याओं को हल करने के लिए लगभग एक दर्जन मानक तरीके हैं, जिन्हें सीखा भी जा सकता है, और इस प्रकार, पूरी तरह से स्वचालित रूप से और बिना कठिनाई के अधिकांश डिजिटल परिवर्तन को सही समय पर हल किया जा सकता है। उसके बाद, आपको केवल सबसे कठिन कार्यों के बारे में सोचना होगा।

भौतिकी और गणित में पूर्वाभ्यास परीक्षण के सभी तीन चरणों में भाग लें। दोनों विकल्पों को हल करने के लिए प्रत्येक आरटी को दो बार देखा जा सकता है। फिर से, डीटी पर, समस्याओं को जल्दी और कुशलता से हल करने की क्षमता, और सूत्रों और विधियों के ज्ञान के अलावा, समय की सही योजना बनाने, बलों को वितरित करने और सबसे महत्वपूर्ण रूप से उत्तर फॉर्म को सही ढंग से भरने में सक्षम होना भी आवश्यक है, उत्तरों और कार्यों की संख्या को भ्रमित किए बिना, या अपना उपनाम. साथ ही, RT के दौरान, कार्यों में प्रश्न प्रस्तुत करने की शैली के अभ्यस्त होना महत्वपूर्ण है, जो DT पर एक अप्रस्तुत व्यक्ति के लिए बहुत ही असामान्य लग सकता है।

इन तीन बिंदुओं का सफल, मेहनती और जिम्मेदार कार्यान्वयन आपको सीटी पर एक उत्कृष्ट परिणाम दिखाने की अनुमति देगा, जो आप करने में सक्षम हैं।

त्रुटि मिली?

यदि आपको, जैसा कि आपको लगता है, प्रशिक्षण सामग्री में कोई त्रुटि मिली, तो कृपया इसके बारे में मेल द्वारा लिखें। आप बग की रिपोर्ट भी कर सकते हैं सामाजिक जाल()। पत्र में, विषय (भौतिकी या गणित), विषय या परीक्षण का नाम या संख्या, कार्य की संख्या, या पाठ (पृष्ठ) में स्थान इंगित करें जहां, आपकी राय में, कोई त्रुटि है। यह भी बताएं कि कथित त्रुटि क्या है। आपका पत्र किसी का ध्यान नहीं जाएगा, त्रुटि को या तो ठीक कर दिया जाएगा, या आपको समझाया जाएगा कि यह गलती क्यों नहीं है।

उदाहरण 1

एक समारोह दिया:

1 के बराबर चरण के साथ अंतराल [-5; 5] पर इसका ग्राफ बनाना आवश्यक है।

एक टेबल बनाएं

चलिए एक टेबल बनाते हैं, पहले कॉलम को वेरिएबल कहा जाएगा एक्स(सेल A1), दूसरा एक वेरिएबल है आप(सेल बी 1)। सुविधा के लिए, हम फ़ंक्शन को सेल B1 में ही लिखेंगे ताकि यह स्पष्ट हो जाए कि हम कौन सा ग्राफ बनाएंगे। सेल A2 और A3 में क्रमशः -5, -4 मान दर्ज करें, दोनों सेल का चयन करें और उन्हें नीचे कॉपी करें। हमें 1 के चरण के साथ -5 से 5 तक का क्रम मिलता है।

फ़ंक्शन मानों की गणना करना

इन बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मूल्यों की गणना करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, सेल B2 में . के अनुरूप एक सूत्र बनाएं दिया गया कार्य, केवल x के बजाय हम बाईं ओर (-5) सेल में स्थित वेरिएबल x का मान दर्ज करेंगे।

महत्वपूर्ण: चिन्ह का प्रयोग घातांक के लिए किया जाता है ^ , जिसे कीबोर्ड शॉर्टकट से एक्सेस किया जा सकता है बदलाव+6 अंग्रेजी कीबोर्ड लेआउट पर। गुणांक और चर के बीच गुणन चिह्न अवश्य लगाएं * (शिफ्ट+8)।

हम कुंजी दबाकर सूत्र की प्रविष्टि को पूरा करते हैं प्रवेश करना. हमें फलन का मान बिंदु x=-5 पर मिलेगा। परिणामी सूत्र को नीचे कॉपी करें।

हमें 1 के चरण के साथ अंतराल [-5;5] पर बिंदुओं पर फ़ंक्शन मानों का एक क्रम मिला है।

अंकन

आइए चर x और फ़ंक्शन y के मानों की श्रेणी का चयन करें। आइए टैब पर जाएं डालनाऔर समूह में चित्रचुनें छितराया हुआ(आप किसी भी स्कैटर प्लॉट को चुन सकते हैं, लेकिन दृश्य का उपयोग करना बेहतर है चिकनी वक्र के साथ).

हमें इस फलन का आलेख प्राप्त हुआ है। टैब का उपयोग करना निर्माता, विन्यास, प्रारूप,आप ग्राफ़ सेटिंग बदल सकते हैं।

उदाहरण 2

दिए गए कार्य:

तथाआप=50 एक्स+2. एक समन्वय प्रणाली में इन कार्यों के रेखांकन बनाना आवश्यक है।

तालिका बनाना और फ़ंक्शन मानों की गणना करना

हमने पहले फ़ंक्शन के लिए पहले से ही एक तालिका बनाई है, आइए तीसरा कॉलम जोड़ें - फ़ंक्शन के मान y=50x+2 समान अंतराल पर [-5;5]। इस फ़ंक्शन के मान भरें। ऐसा करने के लिए, सेल C2 में हम फ़ंक्शन के अनुरूप सूत्र दर्ज करते हैं, लेकिन x के बजाय हम मान -5 लेते हैं, अर्थात। सेल A2. सूत्र को नीचे कॉपी करें।

हमें इन बिंदुओं पर चर x और दोनों कार्यों के लिए मानों की एक तालिका मिली है।

अंकन

ग्राफ़ बनाने के लिए, चुनें तीनकॉलम, टैब डालनाएक समूह में चित्रचुनें छितराया हुआ.

हमें एक समन्वय प्रणाली में कार्यों के रेखांकन मिले। टैब का उपयोग करना निर्माता, विन्यास, प्रारूप,आप ग्राफ़ सेटिंग बदल सकते हैं।

अंतिम उदाहरण उपयोग करने के लिए सुविधाजनक है यदि आपको ग्राफ़ का उपयोग करके फ़ंक्शन के प्रतिच्छेदन बिंदु खोजने की आवश्यकता है। इस मामले में, आप x चर के मानों को बदल सकते हैं, एक अलग अंतराल चुन सकते हैं, या एक अलग कदम (1 से कम या अधिक) ले सकते हैं। इस मामले में, कॉलम बी और सी को बदलने की जरूरत नहीं है, आरेख भी। सभी परिवर्तन चर x के अन्य मान दर्ज करने के तुरंत बाद होंगे। ऐसी तालिका गतिशील है।

फ़ंक्शन निर्भरता प्लॉट करना एक विशेषता है गणितीय समस्या. हर कोई जो कम से कम स्कूल स्तर पर गणित से परिचित है, उसने कागज पर इस तरह की निर्भरता का निर्माण किया है। ग्राफ़ दिखाता है कि तर्क के मान के आधार पर फ़ंक्शन कैसे बदलता है। आधुनिक इलेक्ट्रॉनिक एप्लिकेशन इस प्रक्रिया को कुछ माउस क्लिक के साथ करने की अनुमति देते हैं। माइक्रोसॉफ्ट एक्सेलकिसी भी गणितीय फलन के लिए एक सटीक ग्राफ बनाने में आपकी मदद करेगा। आइए एक्सेल में किसी फ़ंक्शन को उसके सूत्र का उपयोग करके ग्राफ़ करने के चरणों पर एक नज़र डालें

एक्सेल में लीनियर फंक्शन प्लॉट करना

एक्सेल 2016 में रेखांकन में काफी सुधार किया गया है और यह इससे भी आसान है पिछला संस्करण. आइए एक रेखीय फ़ंक्शन ग्राफ़ की साजिश रचने के एक उदाहरण का विश्लेषण करें वाई = केएक्स + बीएक छोटे से अंतराल पर [-4;4]।

गणना तालिका की तैयारी

हम अपने फ़ंक्शन में स्थिरांक k और b के नाम तालिका में दर्ज करते हैं। गणना सूत्रों में बदलाव किए बिना शेड्यूल को जल्दी से बदलने के लिए यह आवश्यक है।

फ़ंक्शन तर्क मान का चरण सेट करना

• कक्ष A5 और A6 में, हम क्रमशः तर्क और स्वयं फ़ंक्शन के लिए अंकन दर्ज करते हैं। सूत्र प्रविष्टि का उपयोग चार्ट के शीर्षक के रूप में किया जाएगा।
• सेल बी 5 और सी 5 में दिए गए चरण के साथ फ़ंक्शन तर्क के दो मान दर्ज करें (हमारे उदाहरण में, चरण एक के बराबर है)।
• इन कोशिकाओं का चयन करें।
• माउस पॉइंटर को चयन के निचले दाएं कोने पर ले जाएं। जब एक क्रॉस दिखाई देता है (ऊपर चित्र देखें), बाएँ माउस बटन को दबाए रखें और स्तंभ J पर दाईं ओर खींचें।

सेल स्वचालित रूप से उन संख्याओं से भर जाएंगे जिनके मान दिए गए चरण से भिन्न होते हैं।

स्वत: पूर्ण फ़ंक्शन तर्क मान

ध्यान!सूत्र प्रविष्टि एक समान चिह्न (=) से शुरू होती है। सेल के पते अंग्रेजी लेआउट पर लिखे गए हैं। डॉलर के चिह्न के साथ निरपेक्ष पतों पर ध्यान दें।

फ़ंक्शन मानों के लिए गणना सूत्र लिखना

सूत्र दर्ज करना समाप्त करने के लिए, तालिका के ऊपर शीर्ष पर सूत्र पट्टी के बाईं ओर Enter कुंजी या चेक मार्क दबाएं।

हम तर्क के सभी मूल्यों के लिए इस सूत्र की प्रतिलिपि बनाते हैं। हम फ़ंक्शन तर्क के अंतिम मानों के साथ सूत्र से स्तंभ तक फ़्रेम को सेल से दाईं ओर खींचते हैं।

फॉर्मूला कॉपी करना

एक फंक्शन प्लॉट करना

कक्षों की एक आयताकार श्रेणी चुनें ए5:जे6.

फ़ीचर तालिका चयन

टैब पर जाएं डालनाटूलबॉक्स में। अध्याय में आरेखचुनें चिकने कर्व्स के साथ स्पॉट(नीचे चित्र देखें)। आइए एक आरेख प्राप्त करें।

"ग्राफ" प्रकार का चार्ट बनाना

निर्माण के बाद, समन्वय ग्रिड में विभिन्न लंबाई के इकाई खंड होते हैं। वर्गाकार सेल पाने के लिए साइड मार्कर को खींचकर इसे बदलें।

रैखिक कार्य ग्राफ

अब आप ग्राफ़ को बदलने के लिए स्थिरांक k और b के लिए नए मान दर्ज कर सकते हैं। और हम देखते हैं कि जब आप गुणांक को बदलने का प्रयास करते हैं, तो ग्राफ अपरिवर्तित रहता है, लेकिन अक्ष पर मान बदल जाते हैं। फिक्सिंग। इसे सक्रिय करने के लिए आरेख पर क्लिक करें। टैब में टूल के रिबन पर आगे चार्ट के साथ काम करनाटैब निर्माताचुनें चार्ट तत्व जोड़ें - अक्ष - अतिरिक्त अक्ष विकल्प ..

निर्देशांक अक्षों के बदलते मापदंडों के मोड में प्रवेश करना

विंडो के दाईं ओर एक सेटिंग साइडबार दिखाई देगा। अक्ष प्रारूप.

समन्वय अक्ष मापदंडों का संपादन

• एक्सिस विकल्प ड्रॉप-डाउन सूची पर क्लिक करें।
• लंबवत अक्ष (मान) का चयन करें।
• हरे चार्ट आइकन पर क्लिक करें।
• अक्ष मानों का अंतराल और माप की इकाई (लाल रंग में परिचालित) सेट करें। हम माप की इकाइयाँ अधिकतम और न्यूनतम (अधिमानतः सममित) और ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज अक्षों के लिए समान सेट करते हैं। इस प्रकार, हम एक एकल खंड को छोटा बनाते हैं और, तदनुसार, हम आरेख पर ग्राफ़ की एक बड़ी रेंज देखते हैं और माप की मुख्य इकाई मान 1 है।
• क्षैतिज अक्ष के लिए भी यही दोहराएं।

अब, यदि हम K और b के मानों को बदलते हैं, तो हमें निर्देशांक के एक निश्चित ग्रिड के साथ एक नया ग्राफ मिलता है।

अन्य कार्यों को प्लॉट करना

अब जब हमारे पास एक मूल तालिका और चार्ट है, तो हम अपनी तालिका में छोटे समायोजन करके अन्य कार्यों को प्लॉट कर सकते हैं।

द्विघात फलन y=ax 2 +bx+c

निम्न कार्य करें:

• =$B3*B5*B5+$D3*B5+$F3

हमें परिणाम मिलता है

द्विघात फलन का आलेख

घन परवलय y=कुल्हाड़ी 3

बनाने के लिए, इन चरणों का पालन करें:

• पहली पंक्ति पर शीर्षक बदलें
• तीसरी पंक्ति में हम गुणांक और उनके मान दर्शाते हैं
• सेल A6 में हम फ़ंक्शन का पदनाम लिखते हैं
• सेल B6 में, सूत्र दर्ज करें =$B3*B5*B5*B5
• इसे तर्क मानों की संपूर्ण श्रेणी में दाईं ओर कॉपी करें

हमें परिणाम मिलता है

घन परवलय प्लॉट

अतिपरवलय y=k/x

हाइपरबोला बनाने के लिए, तालिका को मैन्युअल रूप से भरें (नीचे चित्र देखें)। जहां पहले तर्क का शून्य मान था, हम एक खाली सेल छोड़ते हैं।

• पहली पंक्ति पर शीर्षक बदलें।
• तीसरी पंक्ति में, हम गुणांक और उनके मूल्यों को इंगित करते हैं।
• सेल A6 में हम फंक्शन का पदनाम लिखते हैं।
• सेल B6 में, सूत्र दर्ज करें =$B3/B5
• हम इसे तर्क के मूल्यों की पूरी श्रृंखला में दाईं ओर कॉपी करते हैं।
• सेल से फॉर्मूला हटाना मैं6.

ग्राफ़ को सही ढंग से प्रदर्शित करने के लिए, आपको चार्ट के लिए प्रारंभिक डेटा की सीमा को बदलने की आवश्यकता है, क्योंकि इस उदाहरण में यह पिछले वाले की तुलना में बड़ा है।

• चार्ट पर क्लिक करें
• टैब पर चार्ट के साथ काम करनाके लिए जाओ निर्माताऔर खंड में जानकारीक्लिक डेटा चुनें.
• डेटा एंट्री विजार्ड विंडो खुलेगी।
• माउस के साथ कक्षों की एक आयताकार श्रेणी का चयन करें A5:P6
• क्लिक ठीक हैविज़ार्ड विंडो में।

हमें परिणाम मिलता है

अतिपरवलय ग्राफ

त्रिकोणमितीय फलनों sin(x) और cos(x) का निर्माण

त्रिकोणमितीय फलन y=a*sin(b*x) को आलेखित करने के एक उदाहरण पर विचार करें।
सबसे पहले नीचे दी गई तस्वीर के अनुसार तालिका भरें

पाप (x) फ़ंक्शन के मूल्यों की तालिका

पहली पंक्ति में त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का नाम होता है।
तीसरी पंक्ति में गुणांक और उनके मान हैं। उन कक्षों पर ध्यान दें जिनमें गुणांकों के मान दर्ज किए गए हैं।
तालिका की पांचवीं पंक्ति में रेडियन में कोणों का मान होता है। इन मानों का उपयोग चार्ट लेबल के लिए किया जाएगा।
छठी पंक्ति में रेडियन में कोणों के संख्यात्मक मान होते हैं। उन्हें मैन्युअल रूप से या उपयुक्त फॉर्म के सूत्रों का उपयोग करके लिखा जा सकता है =-2*PI(); = -3/2 * पीआई (); = -पीआई (); =-पीआई ()/2; …
सातवीं पंक्ति में त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के गणना सूत्र हैं।

एक्सेल में सिन (x) फंक्शन का कैलकुलेशन फॉर्मूला लिखना

हमारे उदाहरण में =$B$3*SIN($D$3*B6). पतों बी 3तथा डी3निरपेक्ष हैं। उनके मान गुणांक ए और बी हैं, जो डिफ़ॉल्ट रूप से एक पर सेट होते हैं।
तालिका में भरने के बाद, हम ग्राफ बनाने के लिए आगे बढ़ते हैं।

कक्षों की श्रेणी का चयन करें ए6:जे7. रिबन में एक टैब चुनें डालनाअध्याय में चित्रप्रकार निर्दिष्ट करें छितराया हुआऔर देखें चिकने कर्व्स और मार्करों के साथ स्पॉट करें।

चार्ट निर्माण चिकने कर्व्स के साथ स्कैटर

नतीजतन, हमें एक आरेख मिलता है।

पाप(x) चार्ट डालने के बाद प्लॉट

अब ग्रिड के सही डिस्प्ले को सेट करते हैं, ताकि ग्राफ़ पॉइंट ग्रिड लाइनों के चौराहे पर स्थित हों। चरणों का पालन करें चार्ट के साथ कार्य करना - डिज़ाइनर - चार्ट तत्व जोड़ें - ग्रिड औरचित्र में दिखाए अनुसार तीन लाइन डिस्प्ले मोड सक्षम करें।

साजिश रचते समय ग्रिड की स्थापना

अब बिंदु पर जाएं अतिरिक्त ग्रिड लाइन विकल्प. आपके पास एक साइडबार होगा निर्माण क्षेत्र प्रारूप. आइए यहां सेटिंग करते हैं।

मुख्य आरेख पर क्लिक करें ऊर्ध्वाधर अक्षवाई (तैयार किया जाना चाहिए)। साइडबार में, अक्ष प्रारूप को चित्र में दिखाए अनुसार सेट करें।

मुख्य क्षैतिज अक्ष X (हाइलाइट किया जाना चाहिए) पर क्लिक करें और आकृति के अनुसार सेटिंग भी करें।

फ़ंक्शन ग्राफ़ के क्षैतिज x-अक्ष का स्वरूप सेट करना

अब बिंदुओं पर डेटा लेबल बनाते हैं। फिर से निष्पादित करें चार्ट के साथ कार्य करना - डिज़ाइनर - चार्ट तत्व जोड़ें - डेटा लेबल - शीर्ष।आपको संख्या 1 और 0 से प्रतिस्थापित किया जाएगा, लेकिन हम उन्हें श्रेणी के मानों से बदल देंगे बी5:जे5.
किसी भी मान 1 या 0 (चित्र चरण 1) पर क्लिक करें और हस्ताक्षर मापदंडों में सेल बॉक्स से मान की जाँच करें (चित्र चरण 2)। आपको तुरंत नए मानों के साथ एक श्रेणी प्रदान करने के लिए प्रेरित किया जाएगा (चित्र चरण 3)। उल्लिखित करना बी5:जे5.

बस इतना ही। अगर सही तरीके से किया जाए, तो शेड्यूल शानदार होगा। यहां एक है।

किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ प्राप्त करने के लिए कॉस (एक्स), गणना सूत्र और शीर्षक में बदलें पाप (एक्स)पर कॉस (एक्स).

इसी तरह, आप अन्य कार्यों के ग्राफ़ बना सकते हैं। मुख्य बात कम्प्यूटेशनल फ़ार्मुलों को सही ढंग से लिखना और फ़ंक्शन मानों की एक तालिका बनाना है। मुझे उम्मीद है कि यह आपके लिए उपयोगी साबित होगा यह जानकारी.

पुनश्च: रोचक तथ्यलोगो के बारे में प्रसिद्ध कंपनियां

प्रिय पाठक! आपने लेख को अंत तक पढ़ा है।
क्या आपको अपने प्रश्न का उत्तर मिला?टिप्पणियों में कुछ शब्द लिखें।
अगर कोई जवाब नहीं मिलता है, इंगित करें कि आप क्या खोज रहे हैं.

हम विमान पर एक आयताकार समन्वय प्रणाली चुनते हैं और एब्सिस्सा अक्ष पर तर्क के मूल्यों को प्लॉट करते हैं एक्स, और y-अक्ष पर - फ़ंक्शन के मान वाई = एफ (एक्स).

फंक्शन ग्राफ वाई = एफ (एक्स)सभी बिंदुओं के सेट को कहा जाता है, जिसके लिए एब्सिसास फ़ंक्शन के डोमेन से संबंधित होते हैं, और निर्देशांक फ़ंक्शन के संबंधित मानों के बराबर होते हैं।

दूसरे शब्दों में, फ़ंक्शन y \u003d f (x) का ग्राफ विमान के सभी बिंदुओं का समूह है, निर्देशांक एक्स, परजो रिश्ते को संतुष्ट करता है वाई = एफ (एक्स).

अंजीर पर। 45 और 46 फलन के रेखांकन हैं वाई = 2x + 1तथा वाई \u003d एक्स 2 - 2x.

कड़ाई से बोलते हुए, किसी को फ़ंक्शन के ग्राफ़ (जिसकी सटीक गणितीय परिभाषा ऊपर दी गई थी) और खींचे गए वक्र के बीच अंतर करना चाहिए, जो हमेशा ग्राफ़ का कम या ज्यादा सटीक स्केच देता है (और फिर भी, एक नियम के रूप में, संपूर्ण ग्राफ नहीं, बल्कि विमान के अंतिम भागों में स्थित केवल उसका भाग)। हालाँकि, हम आमतौर पर "चार्ट स्केच" के बजाय "चार्ट" का उल्लेख करेंगे।

ग्राफ़ का उपयोग करके, आप किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का मान ज्ञात कर सकते हैं। अर्थात्, यदि बिंदु एक्स = एसमारोह के दायरे से संबंधित है वाई = एफ (एक्स), फिर संख्या खोजने के लिए च (ए)(अर्थात बिंदु पर फ़ंक्शन मान एक्स = ए) ऐसा करना चाहिए। एक abscissa के साथ एक बिंदु के माध्यम से की जरूरत है एक्स = ए y-अक्ष के समांतर एक सीधी रेखा खींचना; यह रेखा फलन के ग्राफ को प्रतिच्छेद करेगी वाई = एफ (एक्स)एक बिंदु पर; इस बिंदु की कोटि, ग्राफ़ की परिभाषा के आधार पर, के बराबर होगी च (ए)(चित्र 47)।

उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन के लिए एफ (एक्स) = एक्स 2 - 2xग्राफ (चित्र 46) का उपयोग करके हम f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0, आदि पाते हैं।

एक फंक्शन ग्राफ एक फंक्शन के व्यवहार और गुणों को नेत्रहीन रूप से दिखाता है। उदाहरण के लिए, अंजीर के विचार से। 46 यह स्पष्ट है कि समारोह वाई \u003d एक्स 2 - 2xसकारात्मक मान लेता है जब एक्स< 0 और कम से एक्स > 2, नकारात्मक - 0 . पर< x < 2; सबसे छोटा मानसमारोह वाई \u003d एक्स 2 - 2xपर स्वीकार करता है एक्स = 1.

फ़ंक्शन प्लॉट करने के लिए एफ (एक्स)आपको विमान के सभी बिंदुओं को खोजने की जरूरत है, निर्देशांक एक्स,परजो समीकरण को संतुष्ट करते हैं वाई = एफ (एक्स). ज्यादातर मामलों में, यह असंभव है, क्योंकि असीम रूप से ऐसे कई बिंदु हैं। इसलिए, फ़ंक्शन का ग्राफ लगभग - अधिक या कम सटीकता के साथ दर्शाया गया है। सबसे सरल बहु-बिंदु प्लॉटिंग विधि है। यह इस तथ्य में समाहित है कि तर्क एक्समानों की एक सीमित संख्या दें - मान लें, x 1 , x 2 , x 3 ,..., x k और एक तालिका बनाएं जिसमें फ़ंक्शन के चयनित मान शामिल हों।

तालिका इस तरह दिखती है:

ऐसी तालिका संकलित करने के बाद, हम फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर कई बिंदुओं को रेखांकित कर सकते हैं वाई = एफ (एक्स). फिर, इन बिंदुओं को एक चिकनी रेखा से जोड़कर, हमें फ़ंक्शन के ग्राफ़ का अनुमानित दृश्य मिलता है वाई = एफ (एक्स)।

हालांकि, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि बहु-बिंदु प्लॉटिंग विधि बहुत अविश्वसनीय है। वास्तव में, चिह्नित बिंदुओं के बीच के ग्राफ का व्यवहार और लिए गए चरम बिंदुओं के बीच के खंड के बाहर का व्यवहार अज्ञात रहता है।

उदाहरण 1. फ़ंक्शन प्लॉट करने के लिए वाई = एफ (एक्स)किसी ने तर्क और कार्य मूल्यों की एक तालिका संकलित की:

संबंधित पांच बिंदुओं को अंजीर में दिखाया गया है। 48.

इन बिंदुओं के स्थान के आधार पर, उन्होंने निष्कर्ष निकाला कि फ़ंक्शन का ग्राफ एक सीधी रेखा है (चित्र 48 में एक बिंदीदार रेखा द्वारा दिखाया गया है)। क्या इस निष्कर्ष को विश्वसनीय माना जा सकता है? जब तक इस निष्कर्ष का समर्थन करने के लिए अतिरिक्त विचार न हों, इसे शायद ही विश्वसनीय माना जा सकता है। भरोसेमंद।

हमारे दावे की पुष्टि करने के लिए, फ़ंक्शन पर विचार करें

.

गणना से पता चलता है कि इस फ़ंक्शन के मान बिंदु -2, -1, 0, 1, 2 पर उपरोक्त तालिका द्वारा वर्णित हैं। हालांकि, इस फ़ंक्शन का ग्राफ बिल्कुल भी सीधी रेखा नहीं है (इसे चित्र 49 में दिखाया गया है)। एक और उदाहरण समारोह है y = x + l + sinx;इसके अर्थ भी ऊपर दी गई तालिका में वर्णित हैं।

इन उदाहरणों से पता चलता है कि अपने "शुद्ध" रूप में, बहु-बिंदु प्लॉटिंग विधि अविश्वसनीय है। इसलिए, दिए गए फ़ंक्शन को एक नियम के रूप में प्लॉट करने के लिए, निम्नानुसार आगे बढ़ें। सबसे पहले, इस फ़ंक्शन के गुणों का अध्ययन किया जाता है, जिसकी सहायता से ग्राफ का एक स्केच बनाना संभव है। फिर, कई बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मानों की गणना करके (जिसकी पसंद फ़ंक्शन के सेट गुणों पर निर्भर करती है), ग्राफ़ के संबंधित बिंदु पाए जाते हैं। और, अंत में, इस फ़ंक्शन के गुणों का उपयोग करके निर्मित बिंदुओं के माध्यम से एक वक्र खींचा जाता है।

हम बाद में ग्राफ़ का एक स्केच खोजने के लिए उपयोग किए जाने वाले फ़ंक्शंस के कुछ (सबसे सरल और अक्सर उपयोग किए जाने वाले) गुणों पर विचार करेंगे, और अब हम ग्राफ़ को प्लॉट करने के लिए कुछ सामान्य रूप से उपयोग की जाने वाली विधियों का विश्लेषण करेंगे।

फलन का ग्राफ y = |f(x)|।

किसी फ़ंक्शन को प्लॉट करना अक्सर आवश्यक होता है वाई = | एफ (एक्स)|, जहां च (एक्स) -दिया गया कार्य। याद करें कि यह कैसे किया जाता है। किसी संख्या के निरपेक्ष मान की परिभाषा के अनुसार कोई भी लिख सकता है

इसका मतलब है कि फ़ंक्शन का ग्राफ y=|f(x)|ग्राफ, कार्यों से प्राप्त किया जा सकता है वाई = एफ (एक्स)इस प्रकार है: फ़ंक्शन के ग्राफ़ के सभी बिंदु वाई = एफ (एक्स), जिनके निर्देशांक गैर-ऋणात्मक हैं, उन्हें अपरिवर्तित छोड़ दिया जाना चाहिए; आगे, फ़ंक्शन के ग्राफ़ के बिंदुओं के बजाय वाई = एफ (एक्स), ऋणात्मक निर्देशांक होने पर, किसी को फ़ंक्शन के ग्राफ़ के संगत बिंदुओं का निर्माण करना चाहिए वाई = -एफ (एक्स)(अर्थात फंक्शन ग्राफ का भाग
वाई = एफ (एक्स), जो अक्ष के नीचे स्थित है एक्स,अक्ष के बारे में सममित रूप से परिलक्षित होना चाहिए एक्स).

उदाहरण 2एक फ़ंक्शन प्लॉट करें वाई = | एक्स |।

हम फ़ंक्शन का ग्राफ़ लेते हैं वाई = एक्स(अंजीर। 50, ए) और इस ग्राफ का हिस्सा जब एक्स< 0 (अक्ष के नीचे झूठ बोलना एक्स) अक्ष के बारे में सममित रूप से परिलक्षित होता है एक्स. नतीजतन, हमें फ़ंक्शन का ग्राफ मिलता है वाई = |x|(चित्र। 50, बी)।

उदाहरण 3. एक फ़ंक्शन प्लॉट करें वाई = |x 2 - 2x|।

पहले हम फंक्शन प्लॉट करते हैं वाई = एक्स 2 - 2x।इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक परवलय है, जिसकी शाखाएँ ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं, परवलय के शीर्ष पर निर्देशांक (1; -1) होते हैं, इसका ग्राफ़ भुज अक्ष को 0 और 2 बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है। अंतराल (0; 2) पर ) फ़ंक्शन ऋणात्मक मान लेता है, इसलिए ग्राफ़ का यह भाग x-अक्ष के बारे में सममित रूप से प्रतिबिंबित होता है। चित्र 51 फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ दिखाता है वाई \u003d |x 2 -2x |, फ़ंक्शन के ग्राफ के आधार पर वाई = एक्स 2 - 2x

फलन का ग्राफ y = f(x) + g(x)

फ़ंक्शन प्लॉट करने की समस्या पर विचार करें वाई = एफ (एक्स) + जी (एक्स)।यदि फलनों के आलेख दिए गए हैं वाई = एफ (एक्स)तथा वाई = जी (एक्स).

ध्यान दें कि फलन का प्रांत y = |f(x) + g(х)| x के उन सभी मानों का समुच्चय है जिसके लिए दोनों फलन y = f(x) और y = g(x) परिभाषित हैं, अर्थात् परिभाषा का यह क्षेत्र परिभाषा के प्रांतों का प्रतिच्छेदन है, फलन f(x) ) और जी (एक्स)।

अंक दें (एक्स 0, वाई 1) तथा (एक्स 0, वाई 2) क्रमशः फ़ंक्शन ग्राफ़ से संबंधित हैं वाई = एफ (एक्स)तथा वाई = जी (एक्स), यानी आप 1 \u003d f (x 0), y 2 \u003d g (x 0)।तब बिंदु (x0;. y1 + y2) फलन के ग्राफ के अंतर्गत आता है वाई = एफ (एक्स) + जी (एक्स)(के लिये एफ (एक्स 0) + जी (एक्स 0) = वाई 1+y2),. और फ़ंक्शन के ग्राफ़ का कोई बिंदु वाई = एफ (एक्स) + जी (एक्स)इस प्रकार प्राप्त किया जा सकता है। इसलिए, फ़ंक्शन का ग्राफ वाई = एफ (एक्स) + जी (एक्स)फ़ंक्शन ग्राफ़ से प्राप्त किया जा सकता है वाई = एफ (एक्स). तथा वाई = जी (एक्स)प्रत्येक बिंदु को बदलकर ( एक्स एन, वाई 1) फ़ंक्शन ग्राफिक्स वाई = एफ (एक्स)दूरसंचार विभाग (एक्स एन, वाई 1 + वाई 2),कहाँ पे वाई 2 = जी (एक्स एन), यानी, प्रत्येक बिंदु को स्थानांतरित करके ( एक्स एन, वाई 1) फ़ंक्शन ग्राफ वाई = एफ (एक्स)अक्ष के अनुदिश परराशि से वाई 1 \u003d जी (एक्स एन) इस मामले में, केवल ऐसे बिंदुओं पर विचार किया जाता है। एक्स n जिसके लिए दोनों कार्यों को परिभाषित किया गया है वाई = एफ (एक्स)तथा वाई = जी (एक्स).

फ़ंक्शन ग्राफ़ प्लॉट करने की यह विधि वाई = एफ (एक्स) + जी (एक्स) कार्यों के रेखांकन का योग कहलाता है वाई = एफ (एक्स)तथा वाई = जी (एक्स)

उदाहरण 4. आकृति में, ग्राफ़ जोड़ने की विधि द्वारा, फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाया जाता है
वाई = एक्स + sinx.

एक समारोह की साजिश रचते समय वाई = एक्स + sinxहमने माना कि एफ (एक्स) = एक्स,एक जी (एक्स) = sinx.एक फ़ंक्शन ग्राफ़ बनाने के लिए, हम एब्सिसस -1.5π, -, -0.5, 0, 0.5,, 1.5, 2 वाले बिंदुओं का चयन करते हैं। मान f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinxहम चयनित बिंदुओं पर गणना करेंगे और परिणामों को तालिका में रखेंगे।

यह पद्धति संबंधी सामग्री केवल संदर्भ के लिए है और इसमें विषयों की एक विस्तृत श्रृंखला शामिल है। लेख मुख्य प्राथमिक कार्यों के रेखांकन का अवलोकन प्रदान करता है और मानता है सबसे महत्वपूर्ण प्रश्न – कैसे सही ढंग से और तेजी से एक ग्राफ बनाने के लिए. अध्ययन के दौरान उच्च गणितबुनियादी प्राथमिक कार्यों के ग्राफ़ को जाने बिना, यह मुश्किल होगा, इसलिए यह याद रखना बहुत महत्वपूर्ण है कि परवलय, हाइपरबोला, साइन, कोसाइन आदि के ग्राफ़ क्या दिखते हैं, कुछ फ़ंक्शन मान याद रखें। हम मुख्य कार्यों के कुछ गुणों के बारे में भी बात करेंगे।

मैं सामग्री की पूर्णता और वैज्ञानिक पूर्णता का दिखावा नहीं करता, सबसे पहले, अभ्यास पर जोर दिया जाएगा - वे चीजें जिनके साथ उच्च गणित के किसी भी विषय में हर कदम पर शाब्दिक रूप से सामना करना पड़ता है. डमी के लिए चार्ट? आप ऐसा कह सकते हैं।

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और हम तुरंत शुरू करते हैं:

समन्वय अक्षों को सही तरीके से कैसे बनाएं?

व्यवहार में, परीक्षण लगभग हमेशा छात्रों द्वारा अलग-अलग नोटबुक में तैयार किए जाते हैं, जो एक पिंजरे में पंक्तिबद्ध होते हैं। आपको चेकर्ड चिह्नों की आवश्यकता क्यों है? आखिरकार, काम, सिद्धांत रूप में, ए 4 शीट पर किया जा सकता है। और पिंजरा केवल चित्र के उच्च-गुणवत्ता और सटीक डिजाइन के लिए आवश्यक है।

फ़ंक्शन ग्राफ़ का कोई भी आरेखण निर्देशांक अक्षों से प्रारंभ होता है.

चित्र द्वि-आयामी और त्रि-आयामी हैं।

आइए पहले द्वि-आयामी मामले पर विचार करें कार्तीय समन्वय प्रणाली:

1) हम निर्देशांक अक्ष खींचते हैं। अक्ष कहा जाता है X- अक्ष , और अक्ष शाफ़्ट . हम हमेशा उन्हें खींचने की कोशिश करते हैं साफ और कुटिल नहीं. तीर भी पापा कार्लो की दाढ़ी से मिलते जुलते नहीं होने चाहिए।

2) हम कुल्हाड़ियों पर हस्ताक्षर करते हैं बड़े अक्षर"एक्स" और "वाई"। कुल्हाड़ियों पर हस्ताक्षर करना न भूलें.

3) कुल्हाड़ियों के साथ स्केल सेट करें: शून्य और दो ड्रा करें. ड्राइंग बनाते समय, सबसे सुविधाजनक और सामान्य पैमाना है: 1 यूनिट = 2 सेल (बाईं ओर ड्राइंग) - यदि संभव हो तो उससे चिपके रहें। हालांकि, समय-समय पर ऐसा होता है कि ड्राइंग एक नोटबुक शीट पर फिट नहीं होती है - फिर हम स्केल को कम करते हैं: 1 यूनिट = 1 सेल (दाईं ओर ड्राइंग)। शायद ही कभी, लेकिन ऐसा होता है कि ड्राइंग के पैमाने को और भी कम करना (या बढ़ाना) है

मशीन गन से स्क्रिबल न करें ... -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ....समन्वय के लिए विमान डेसकार्टेस का स्मारक नहीं है, और छात्र कबूतर नहीं है। हम रखतें है शून्यतथा कुल्हाड़ियों के साथ दो इकाइयाँ. कभी-कभी के बजायइकाइयाँ, अन्य मूल्यों का "पता लगाना" सुविधाजनक है, उदाहरण के लिए, एब्सिस्सा अक्ष पर "दो" और समन्वय अक्ष पर "तीन" - और यह प्रणाली (0, 2 और 3) भी विशिष्ट रूप से समन्वय ग्रिड सेट करेगी।

ड्राइंग तैयार करने से पहले ड्राइंग के अनुमानित आयामों का अनुमान लगाना बेहतर होता है।. इसलिए, उदाहरण के लिए, यदि कार्य को शीर्षों के साथ एक त्रिभुज बनाने की आवश्यकता है, तो यह बिल्कुल स्पष्ट है कि लोकप्रिय पैमाने 1 इकाई = 2 कोशिकाएं काम नहीं करेंगी। क्यों? आइए बिंदु को देखें - यहां आपको पंद्रह सेंटीमीटर नीचे मापना है, और जाहिर है, ड्राइंग एक नोटबुक शीट पर फिट नहीं होगी (या मुश्किल से फिट)। इसलिए, हम तुरंत एक छोटे पैमाने के 1 इकाई = 1 सेल का चयन करते हैं।

वैसे, लगभग सेंटीमीटर और नोटबुक सेल। क्या यह सच है कि 30 नोटबुक सेल में 15 सेंटीमीटर होते हैं? एक शासक के साथ 15 सेंटीमीटर ब्याज के लिए एक नोटबुक में मापें। यूएसएसआर में, शायद यह सच था ... यह ध्यान रखना दिलचस्प है कि यदि आप इन समान सेंटीमीटर को क्षैतिज और लंबवत रूप से मापते हैं, तो परिणाम (कोशिकाओं में) अलग होंगे! कड़ाई से बोलते हुए, आधुनिक नोटबुक चेकर नहीं हैं, लेकिन आयताकार हैं। यह बकवास लग सकता है, लेकिन उदाहरण के लिए, ऐसी स्थितियों में कम्पास के साथ एक वृत्त खींचना बहुत असुविधाजनक है। ईमानदार होने के लिए, ऐसे क्षणों में आप कॉमरेड स्टालिन की शुद्धता के बारे में सोचना शुरू कर देते हैं, जिन्हें उत्पादन में हैक के काम के लिए शिविरों में भेजा गया था, न कि घरेलू मोटर वाहन उद्योग, गिरने वाले विमानों या बिजली संयंत्रों में विस्फोट का उल्लेख करने के लिए।

गुणवत्ता की बात करें तो स्टेशनरी पर एक संक्षिप्त अनुशंसा। आज तक, बिक्री पर अधिकांश नोटबुक, बिना बुरे शब्द कहे, पूर्ण भूत हैं। इस कारण से कि वे गीले हो जाते हैं, और न केवल जेल पेन से, बल्कि बॉलपॉइंट पेन से भी! कागज पर सहेजें। परीक्षणों के डिजाइन के लिए, मैं आर्कान्जेस्क पल्प और पेपर मिल (18 शीट्स, सेल) या प्याटेरोचका की नोटबुक का उपयोग करने की सलाह देता हूं, हालांकि यह अधिक महंगा है। जेल पेन चुनने की सलाह दी जाती है, यहां तक ​​​​कि सबसे सस्ता चीनी जेल रिफिल भी बॉलपॉइंट पेन की तुलना में बहुत बेहतर है, जो या तो स्मियर करता है या पेपर को फाड़ देता है। मेरी स्मृति में एकमात्र "प्रतिस्पर्धी" बॉलपॉइंट पेन एरिच क्रूस है। वह स्पष्ट रूप से, खूबसूरती से और दृढ़ता से लिखती है - या तो एक पूर्ण तने के साथ, या लगभग खाली के साथ।

इसके साथ ही: विश्लेषणात्मक ज्यामिति की आंखों के माध्यम से एक आयताकार समन्वय प्रणाली की दृष्टि लेख में शामिल है वैक्टर की रैखिक (गैर) निर्भरता। वेक्टर आधार, विस्तृत जानकारीनिर्देशांक के बारे में पाठ के दूसरे पैराग्राफ में पाया जा सकता है रैखिक असमानताएं.

3डी केस

यहां भी लगभग ऐसा ही है।

1) हम निर्देशांक अक्ष खींचते हैं। मानक: अनुप्रयुक्त अक्ष - ऊपर की ओर निर्देशित, अक्ष - दाईं ओर निर्देशित, अक्ष - नीचे की ओर बाईं ओर सख्ती से 45 डिग्री के कोण पर।

2) हम कुल्हाड़ियों पर हस्ताक्षर करते हैं।

3) स्केल को कुल्हाड़ियों के अनुदिश सेट करें। अक्ष के साथ स्केल - अन्य अक्षों के साथ स्केल से दो गुना छोटा. यह भी ध्यान दें कि सही ड्राइंग में, मैंने अक्ष के साथ एक गैर-मानक "सेरिफ़" का उपयोग किया था (इस संभावना का पहले ही ऊपर उल्लेख किया जा चुका है). मेरे दृष्टिकोण से, यह अधिक सटीक, तेज और अधिक सौंदर्यवादी रूप से मनभावन है - आपको माइक्रोस्कोप के तहत सेल के मध्य को देखने की आवश्यकता नहीं है और इकाई को मूल तक "मूर्तिकला" करना है।

3D आरेखण दोबारा करते समय - पैमाने को प्राथमिकता दें
1 इकाई = 2 कक्ष (बाईं ओर आरेखण)।

ये सभी नियम किस लिए हैं? नियम तोड़े जाने हैं। अब में क्या करने वाला हूँ। तथ्य यह है कि लेख के बाद के चित्र मेरे द्वारा एक्सेल में बनाए जाएंगे, और समन्वय कुल्हाड़ियों के दृष्टिकोण से गलत दिखेंगे सही डिजाइन. मैं सभी रेखांकन हाथ से खींच सकता था, लेकिन उन्हें खींचना वास्तव में डरावना है, क्योंकि एक्सेल उन्हें और अधिक सटीक रूप से खींचने के लिए अनिच्छुक है।

प्राथमिक कार्यों के रेखांकन और बुनियादी गुण

रैखिक प्रकार्यसमीकरण द्वारा दिया गया है। रैखिक फलन ग्राफ है प्रत्यक्ष. एक सीधी रेखा बनाने के लिए, दो बिंदुओं को जानना पर्याप्त है।

उदाहरण 1

फ़ंक्शन प्लॉट करें। आइए दो बिंदु खोजें। शून्य को एक अंक के रूप में चुनना फायदेमंद है।

तो अगर

हम कुछ अन्य बिंदु लेते हैं, उदाहरण के लिए, 1.

तो अगर

कार्य तैयार करते समय, बिंदुओं के निर्देशांक आमतौर पर एक तालिका में संक्षेपित किए जाते हैं:

और मूल्यों की गणना स्वयं मौखिक रूप से या ड्राफ्ट, कैलकुलेटर पर की जाती है।

दो बिंदु पाए जाते हैं, आइए ड्रा करें:

ड्राइंग बनाते समय, हम हमेशा ग्राफिक्स पर हस्ताक्षर करते हैं.

रैखिक फ़ंक्शन के विशेष मामलों को याद करना अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगा:

ध्यान दें कि मैंने कैप्शन कैसे रखा, ड्राइंग का अध्ययन करते समय हस्ताक्षर अस्पष्ट नहीं होने चाहिए. इस मामले में, लाइनों के प्रतिच्छेदन के बिंदु के बगल में, या ग्राफ़ के बीच नीचे दाईं ओर हस्ताक्षर करना अत्यधिक अवांछनीय था।

1) फॉर्म () के एक रैखिक कार्य को प्रत्यक्ष आनुपातिकता कहा जाता है। उदाहरण के लिए, । प्रत्यक्ष आनुपातिकता ग्राफ हमेशा मूल बिंदु से होकर गुजरता है। इस प्रकार, एक सीधी रेखा का निर्माण सरल है - यह केवल एक बिंदु खोजने के लिए पर्याप्त है।

2) रूप का एक समीकरण अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा को परिभाषित करता है, विशेष रूप से, अक्ष स्वयं समीकरण द्वारा दिया जाता है। फ़ंक्शन का ग्राफ़ बिना किसी बिंदु को खोजे तुरंत बनाया जाता है। यानी प्रविष्टि को इस प्रकार समझा जाना चाहिए: "y हमेशा -4 के बराबर होता है, x के किसी भी मान के लिए।"

3) रूप का एक समीकरण अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा को परिभाषित करता है, विशेष रूप से, अक्ष स्वयं समीकरण द्वारा दिया जाता है। फ़ंक्शन का ग्राफ भी तुरंत बनाया जाता है। प्रविष्टि को इस प्रकार समझा जाना चाहिए: "x हमेशा, y के किसी भी मान के लिए, 1 के बराबर होता है।"

कुछ लोग पूछेंगे, अच्छा, छठी कक्षा क्यों याद है?! ऐसा ही है, शायद ऐसा है, केवल अभ्यास के वर्षों के दौरान मैं एक दर्जन अच्छे छात्रों से मिला, जो या जैसे ग्राफ के निर्माण के कार्य से चकित थे।

चित्र बनाते समय एक सीधी रेखा खींचना सबसे आम क्रिया है।

विश्लेषणात्मक ज्यामिति के पाठ्यक्रम में सीधी रेखा पर विस्तार से चर्चा की गई है, और जो लोग चाहें वे लेख का उल्लेख कर सकते हैं समतल पर एक सीधी रेखा का समीकरण.

द्विघात फलन ग्राफ, घन फलन ग्राफ, बहुपद ग्राफ

परवलय। द्विघात फलन का आलेख () एक परवलय है। प्रसिद्ध मामले पर विचार करें:

आइए फ़ंक्शन के कुछ गुणों को याद करें।

तो, हमारे समीकरण का हल: - यह इस बिंदु पर है कि परवलय का शीर्ष स्थित है। ऐसा क्यों है यह व्युत्पन्न पर सैद्धांतिक लेख और फ़ंक्शन के चरम पर पाठ से सीखा जा सकता है। इस बीच, हम "y" के संगत मान की गणना करते हैं:

तो शीर्ष बिंदु पर है

अब हम अन्य बिंदुओं को ढूंढते हैं, जबकि परवलय की समरूपता का निर्लज्जतापूर्वक उपयोग करते हुए। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि समारोह – सम नहीं है, लेकिन, फिर भी, किसी ने परवलय की समरूपता को रद्द नहीं किया।

शेष अंक किस क्रम में ज्ञात करें, मुझे लगता है कि यह अंतिम तालिका से स्पष्ट होगा:

इस निर्माण एल्गोरिथ्म को आलंकारिक रूप से "शटल" या "आगे और पीछे" सिद्धांत कहा जा सकता है, जिसमें अनफिसा चेखोवा है।

आइए एक चित्र बनाएं:

माना रेखांकन से, एक और उपयोगी विशेषता दिमाग में आती है:

द्विघात फलन के लिए () निम्नलिखित सत्य है:

यदि , तो परवलय की शाखाएं ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं.

यदि , तो परवलय की शाखाओं को नीचे की ओर निर्देशित किया जाता है.

हाइपरबोला और परवलय पाठ में वक्र का गहन ज्ञान प्राप्त किया जा सकता है।

क्यूबिक परवलय फ़ंक्शन द्वारा दिया जाता है। यहाँ स्कूल से परिचित एक चित्र है:

हम फ़ंक्शन के मुख्य गुणों को सूचीबद्ध करते हैं

फंक्शन ग्राफ

यह परवलय की शाखाओं में से एक का प्रतिनिधित्व करता है। आइए एक चित्र बनाएं:

समारोह के मुख्य गुण:

इस मामले में, अक्ष है ऊर्ध्वाधर एसिम्पटोट हाइपरबोला ग्राफ के लिए .

यह एक बड़ी भूल होगी यदि, चित्र बनाते समय, लापरवाही से, आप ग्राफ़ को स्पर्शोन्मुख के साथ प्रतिच्छेद करने की अनुमति देते हैं।

साथ ही एकतरफा सीमाएं, हमें बताएं कि एक अतिशयोक्ति ऊपर से सीमित नहींतथा नीचे से सीमित नहीं.

आइए अनंत पर फ़ंक्शन का पता लगाएं: यानी, यदि हम अक्ष के साथ बाईं ओर (या दाएं) अनंत तक जाना शुरू करते हैं, तो "खेल" एक पतला कदम होगा असीम रूप से करीबशून्य तक पहुंचें, और, तदनुसार, अतिपरवलय की शाखाएं असीम रूप से करीबधुरी के करीब पहुंचें।

तो अक्ष है समस्तरीय अनंतस्पर्शी रेखा फ़ंक्शन के ग्राफ़ के लिए, यदि "x" प्लस या माइनस अनंत की ओर जाता है।

समारोह है अजीब, जिसका अर्थ है कि अतिपरवलय मूल के संबंध में सममित है। यह तथ्य ड्राइंग से स्पष्ट है, इसके अलावा, इसे आसानी से विश्लेषणात्मक रूप से सत्यापित किया जा सकता है: .

फॉर्म के एक फ़ंक्शन का ग्राफ () हाइपरबोला की दो शाखाओं का प्रतिनिधित्व करता है.

यदि , तो अतिपरवलय पहले और तीसरे निर्देशांक चतुर्भुज में स्थित है(ऊपर चित्र देखें)।

यदि , तो हाइपरबोला दूसरे और चौथे निर्देशांक चतुर्भुज में स्थित है.

रेखांकन के ज्यामितीय परिवर्तनों के दृष्टिकोण से हाइपरबोला के निवास स्थान की निर्दिष्ट नियमितता का विश्लेषण करना मुश्किल नहीं है।

उदाहरण 3

अतिपरवलय की दाहिनी शाखा की रचना कीजिए

हम बिंदुवार निर्माण पद्धति का उपयोग करते हैं, जबकि मूल्यों का चयन करना फायदेमंद होता है ताकि वे पूरी तरह से विभाजित हो जाएं:

आइए एक चित्र बनाएं:

हाइपरबोला की बाईं शाखा का निर्माण करना मुश्किल नहीं होगा, यहां फ़ंक्शन की विषमता बस मदद करेगी। मोटे तौर पर, बिंदुवार निर्माण तालिका में, मानसिक रूप से प्रत्येक संख्या में एक माइनस जोड़ें, संबंधित डॉट्स लगाएं और दूसरी शाखा बनाएं।

माना रेखा के बारे में विस्तृत ज्यामितीय जानकारी हाइपरबोला और परबोला लेख में पाई जा सकती है।

घातांकीय फलन का ग्राफ

इस पैराग्राफ में, मैं तुरंत घातीय कार्य पर विचार करूंगा, क्योंकि उच्च गणित की समस्याओं में 95% मामलों में यह घातांक होता है।

मैं आपको याद दिलाता हूं कि - यह एक अपरिमेय संख्या है: एक ग्राफ बनाते समय इसकी आवश्यकता होगी, जिसे वास्तव में, मैं बिना समारोह के बनाऊंगा। तीन बिंदु शायद पर्याप्त हैं:

आइए फ़ंक्शन के ग्राफ़ को अभी के लिए छोड़ दें, इसके बारे में बाद में।

समारोह के मुख्य गुण:

मूल रूप से, कार्यों के रेखांकन समान दिखते हैं, आदि।

मुझे कहना होगा कि दूसरा मामला व्यवहार में कम आम है, लेकिन ऐसा होता है, इसलिए मैंने इसे इस लेख में शामिल करना आवश्यक समझा।

एक लघुगणकीय फलन का ग्राफ

प्राकृतिक लघुगणक के साथ एक फ़ंक्शन पर विचार करें।
आइए एक रेखा आरेखण करें:

यदि आप भूल गए हैं कि लघुगणक क्या है, तो कृपया स्कूल की पाठ्यपुस्तकें देखें।

समारोह के मुख्य गुण:

कार्यक्षेत्र:

मूल्यों की श्रृंखला: ।

समारोह ऊपर से सीमित नहीं है: , यद्यपि धीरे-धीरे, लेकिन लघुगणक की शाखा अनंत तक जाती है।
आइए हम दायीं ओर शून्य के निकट फलन के व्यवहार की जाँच करें: . तो अक्ष है ऊर्ध्वाधर एसिम्पटोट फ़ंक्शन के ग्राफ़ के लिए "x" के साथ दाईं ओर शून्य की ओर झुकाव।

लॉगरिदम के विशिष्ट मूल्य को जानना और याद रखना सुनिश्चित करें: .

मूल रूप से, आधार पर लघुगणक का ग्राफ समान दिखता है: , , ( दशमलव लघुगणकआधार 10 में), आदि। उसी समय, आधार जितना बड़ा होगा, चार्ट उतना ही चापलूसी करेगा।

हम मामले पर विचार नहीं करेंगे, कुछ ऐसा जो मुझे याद नहीं है जब मैंने पिछली बार इस तरह के आधार के साथ एक ग्राफ बनाया था। हां, और उच्च गणित की समस्याओं में लघुगणक एक बहुत ही दुर्लभ अतिथि प्रतीत होता है।

पैराग्राफ के अंत में, मैं एक और तथ्य कहूंगा: घातांक प्रकार्यतथा लॉगरिदमिक फ़ंक्शन दो परस्पर हैं उलटा कार्य . यदि आप लघुगणक के ग्राफ को करीब से देखते हैं, तो आप देख सकते हैं कि यह वही घातांक है, बस यह थोड़ा अलग स्थित है।

त्रिकोणमितीय कार्यों के रेखांकन

स्कूल में त्रिकोणमितीय पीड़ा कैसे शुरू होती है? सही ढंग से। साइन से

आइए फ़ंक्शन को प्लॉट करें

इस लाइन को कहा जाता है sinusoid.

मैं आपको याद दिलाता हूं कि "पी" एक अपरिमेय संख्या है: और त्रिकोणमिति में यह आंखों में चकाचौंध कर देता है।

समारोह के मुख्य गुण:

यह फ़ंक्शन है नियत कालीनएक अवधि के साथ। इसका क्या मतलब है? आइए कट को देखें। इसके बाईं और दाईं ओर, बिल्कुल वही ग्राफ़ का टुकड़ा अंतहीन रूप से दोहराता है।

कार्यक्षेत्र: अर्थात, "x" के किसी भी मान के लिए एक ज्या मान होता है।

मूल्यों की श्रृंखला: । समारोह है सीमित: , यानी सभी "खेल" खंड में सख्ती से बैठते हैं।
ऐसा नहीं होता है: या, अधिक सटीक रूप से, ऐसा होता है, लेकिन इन समीकरणों का कोई हल नहीं होता है।