एक श्रृंखला में स्पर्शरेखा का विस्तार। शक्ति श्रृंखला में कार्यों का विस्तार

अगर फ़ंक्शन एफ (एक्स) में कुछ अंतराल पर सभी ऑर्डर के डेरिवेटिव्स हैं, जिसमें बिंदु ए है, तो टेलर फॉर्मूला उस पर लागू किया जा सकता है:
,
कहाँ आर एन- तथाकथित अवशिष्ट शब्द या श्रृंखला के शेष, यह लग्रेंज सूत्र का उपयोग करके अनुमान लगाया जा सकता है:
, जहां संख्या x x और a के बीच स्थित है।

एफ (एक्स) =

बिंदु x 0 = पर पंक्ति तत्वों की संख्या 3 4 5 6 7

अपघटन का प्रयोग करें प्राथमिक कार्य e x , cos(x), sin(x), ln(1+x), (1+x) मी

समारोह प्रवेश नियम:

अगर कुछ मूल्य के लिए एक्स आर एन→0 बजे एन→∞, फिर सीमा में टेलर सूत्र इस मान को अभिसरण में बदल देता है टेलर श्रृंखला:
,
इस प्रकार, फ़ंक्शन एफ (एक्स) को टेलर श्रृंखला में माना बिंदु एक्स पर विस्तारित किया जा सकता है यदि:
1) इसमें सभी ऑर्डर के डेरिवेटिव हैं;
2) निर्मित श्रृंखला इस बिंदु पर अभिसरित होती है।

a = 0 के लिए हमें एक श्रेणी प्राप्त होती है जिसे कहते हैं मैकलॉरिन के पास:
,
मैकलॉरिन श्रृंखला में सबसे सरल (प्रारंभिक) कार्यों का विस्तार:
घातीय कार्य
, आर=∞
त्रिकोणमितीय कार्य
, आर=∞
, आर=∞
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
फ़ंक्शन एक्टजीएक्स एक्स की शक्तियों में विस्तार नहीं करता है, क्योंकि ctg0=∞
अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य


लघुगणकीय कार्य
, -1
द्विपद श्रृंखला
.

उदाहरण 1। फ़ंक्शन को पावर श्रृंखला में विस्तारित करें एफ (एक्स) = 2एक्स.
समाधान. आइए हम फ़ंक्शन और उसके डेरिवेटिव के मूल्यों को खोजें एक्स=0
च (एक्स) = 2एक्स, एफ( 0) = 2 0 =1;
च"(एक्स) = 2एक्सएलएन 2, एफ"( 0) = 2 0 एलएन 2 = एलएन 2;
च""(एक्स) = 2एक्सएलएन 2 2, एफ""( 0) = 2 0 लॉग 2 2 = लॉग 2 2;
…
एफ (एन) (एक्स) = 2एक्सएलएन एन 2, एफ (एन) ( 0) = 2 0 एलएन एन 2 = एलएन एन 2.
डेरिवेटिव के प्राप्त मूल्यों को टेलर श्रृंखला सूत्र में प्रतिस्थापित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

इस श्रृंखला की अभिसरण की त्रिज्या अनंत के बराबर है, इसलिए यह विस्तार -∞ के लिए मान्य है<एक्स<+∞.

उदाहरण #2। शक्तियों में एक टेलर श्रृंखला लिखें ( एक्स+4) फ़ंक्शन के लिए एफ (एक्स) =इ एक्स.
समाधान. समारोह ई के डेरिवेटिव ढूँढना एक्सऔर बिंदु पर उनके मूल्य एक्स=-4.
च (एक्स)= ई एक्स, एफ(-4) = ई -4 ;
च"(एक्स)= ई एक्स, एफ"(-4) = ई -4 ;
च""(एक्स)= ई एक्स, एफ""(-4) = ई -4 ;
…
एफ (एन) (एक्स)= ई एक्स, एफ (एन) ( -4) = ई -4 .
इसलिए, फ़ंक्शन की वांछित टेलर श्रृंखला का रूप है:

यह विस्तार -∞ के लिए भी मान्य है<एक्स<+∞.

उदाहरण #3। कार्य का विस्तार करें च (एक्स)= एलएन एक्सडिग्री द्वारा एक श्रृंखला में ( एक्स- 1),
(यानी बिंदु के आसपास के क्षेत्र में एक टेलर श्रृंखला में एक्स=1).
समाधान. हम इस फ़ंक्शन के डेरिवेटिव पाते हैं।
f(x)=lnx , , , ,

f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f"""(1)=1*2,..., f(n)=(- 1) एन-1 (एन-1)!
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हुए, हम वांछित टेलर श्रृंखला प्राप्त करते हैं:

डी'अलेम्बर्ट के परीक्षण की सहायता से, यह सत्यापित किया जा सकता है कि श्रृंखला ½x-1½ पर अभिसरित होती है<1 . Действительно,

श्रृंखला अभिसरण करती है यदि ½ एक्स- 1½<1, т.е. при 0<एक्स<2. При एक्स= 2 हम एक वैकल्पिक श्रृंखला प्राप्त करते हैं जो लीबनिज़ परीक्षण की शर्तों को पूरा करती है। x=0 के लिए फलन परिभाषित नहीं है। इस प्रकार, टेलर श्रृंखला के अभिसरण का क्षेत्र अर्ध-खुला अंतराल (0;2] है।

उदाहरण #4। पावर श्रृंखला में फ़ंक्शन का विस्तार करें।
समाधान. अपघटन (1) में हम x को -x 2 से प्रतिस्थापित करते हैं, हम प्राप्त करते हैं:
, -∞

उदाहरण संख्या 5। मैकलॉरिन श्रृंखला में फ़ंक्शन का विस्तार करें।
समाधान. अपने पास
सूत्र (4) का प्रयोग करके हम लिख सकते हैं:

सूत्र -x में x के स्थान पर प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

यहाँ से हम पाते हैं: ln(1+x)-ln(1-x) = -
कोष्ठकों का विस्तार करना, श्रृंखला की शर्तों को पुनर्व्यवस्थित करना और समान शर्तों को कम करना, हम प्राप्त करते हैं
. यह श्रृंखला अंतराल (-1;1) में अभिसरण करती है क्योंकि यह दो श्रृंखलाओं से प्राप्त होती है, जिनमें से प्रत्येक इस अंतराल में अभिसरित होती है।

टिप्पणी .
सूत्र (1)-(5) का उपयोग टेलर श्रृंखला में संबंधित कार्यों का विस्तार करने के लिए भी किया जा सकता है, अर्थात। सकारात्मक पूर्णांक शक्तियों में कार्यों के विस्तार के लिए ( हा). ऐसा करने के लिए, किसी एक फ़ंक्शन (1) - (5) को प्राप्त करने के लिए किसी दिए गए फ़ंक्शन पर ऐसे समान परिवर्तन करना आवश्यक है, जिसमें इसके बजाय एक्सलागत कश्मीर ( हा) m , जहाँ k एक अचर संख्या है, m एक धनात्मक पूर्णांक है। चर को बदलना अक्सर सुविधाजनक होता है टी=हाऔर Maclaurin श्रेणी में t के संबंध में परिणामी फलन का विस्तार करें।

यह विधि एक शक्ति श्रृंखला में एक फ़ंक्शन के विस्तार की विशिष्टता पर प्रमेय पर आधारित है। इस प्रमेय का सार यह है कि एक ही बिंदु के आस-पास, दो अलग-अलग शक्ति श्रृंखला प्राप्त नहीं की जा सकती हैं जो एक ही कार्य में अभिसरण करेंगी, चाहे उसका विस्तार कैसे भी किया जाए।

उदाहरण संख्या 5ए। मैकलॉरिन श्रृंखला में फ़ंक्शन का विस्तार करें, अभिसरण के क्षेत्र को इंगित करें।
समाधान। पहले हम पाते हैं 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) , ।
प्राथमिक के लिए:

अंश 3/(1-3x) को 3x के भाजक के साथ अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति के योग के रूप में देखा जा सकता है यदि |3x|< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд

अभिसरण क्षेत्र के साथ |x|< 1/3.

उदाहरण संख्या 6। बिंदु x = 3 के आस-पास टेलर श्रृंखला में फ़ंक्शन का विस्तार करें।
समाधान. टेलर श्रृंखला की परिभाषा का उपयोग करके इस समस्या को पहले की तरह हल किया जा सकता है, जिसके लिए कार्यों के डेरिवेटिव और उनके मूल्यों को खोजना आवश्यक है एक्स=3. हालाँकि, मौजूदा अपघटन (5) का उपयोग करना आसान होगा:
=
परिणामी श्रृंखला या -3 पर अभिसरित होती है

उदाहरण संख्या 7। फ़ंक्शन ln(x+2) की शक्तियों (x -1) में टेलर श्रृंखला लिखें।
समाधान.


श्रृंखला , या -2 पर अभिसरित होती है< x < 5.

उदाहरण संख्या 8। बिंदु x =2 के चारों ओर एक टेलर श्रृंखला में फ़ंक्शन f(x)=sin(πx/4) का विस्तार करें।
समाधान. चलो प्रतिस्थापन करते हैं t=x-2:

विस्तार (3) का उपयोग करते हुए, जिसमें हम x के लिए π / 4 t प्रतिस्थापित करते हैं, हम प्राप्त करते हैं:

परिणामी श्रृंखला -∞ पर दिए गए फ़ंक्शन में मिलती है< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞इस प्रकार,
, (-∞

शक्ति श्रृंखला का उपयोग करके अनुमानित गणना

अनुमानित गणनाओं में पावर श्रृंखला का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। उनकी मदद से, दी गई सटीकता के साथ, आप जड़ों, त्रिकोणमितीय कार्यों, संख्याओं के लघुगणक, निश्चित अभिन्न के मूल्यों की गणना कर सकते हैं। श्रृंखला का उपयोग अंतर समीकरणों के एकीकरण में भी किया जाता है।
पावर श्रृंखला में फ़ंक्शन के विस्तार पर विचार करें:

किसी दिए गए बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के अनुमानित मान की गणना करने के लिए एक्स, संकेतित श्रृंखला के अभिसरण के क्षेत्र से संबंधित, पहला एनसदस्य ( एनएक परिमित संख्या है), और शेष शर्तें हटा दी जाती हैं:

प्राप्त अनुमानित मूल्य की त्रुटि का अनुमान लगाने के लिए, त्याग किए गए अवशिष्ट r n (x) का अनुमान लगाना आवश्यक है। इसके लिए, निम्नलिखित विधियों का उपयोग किया जाता है:

• यदि परिणामी श्रृंखला वर्ण-वैकल्पिक है, तो निम्न संपत्ति का उपयोग किया जाता है: एक वैकल्पिक श्रृंखला के लिए जो लीबनिज़ शर्तों को पूरा करती है, श्रृंखला के शेष का पूर्ण मूल्य पहले छोड़े गए शब्द से अधिक नहीं है.
• यदि दी गई श्रृंखला स्थिर चिह्न की है, तो छोड़ी गई शर्तों से बनी श्रृंखला की तुलना असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति से की जाती है।
• सामान्य स्थिति में, टेलर श्रृंखला के शेष भाग का अनुमान लगाने के लिए, आप Lagrange सूत्र का उपयोग कर सकते हैं: a एक्स ).

उदाहरण 1। 0.01 के भीतर ln(3) की गणना करें।
समाधान. आइए अपघटन का उपयोग करें, जहां x=1/2 (पिछले विषय में उदाहरण 5 देखें):

आइए देखें कि क्या हम विस्तार की पहली तीन शर्तों के बाद शेष को छोड़ सकते हैं, इसके लिए हम एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति के योग का उपयोग करके इसका मूल्यांकन करते हैं:

तो हम इस शेष को छोड़ सकते हैं और प्राप्त कर सकते हैं

उदाहरण #2। निकटतम 0.0001 की गणना करें।
समाधान. आइए द्विपद श्रृंखला का उपयोग करें। चूँकि 5 3 130 का निकटतम पूर्णांक घन है, इसलिए यह सलाह दी जाती है कि संख्या 130 को 130=5 3 +5 के रूप में प्रस्तुत किया जाए।



चूँकि लीबनिज़ परीक्षण को संतुष्ट करने वाली प्राप्त साइन-अल्टरनेटिंग श्रृंखला की चौथी अवधि पहले से ही आवश्यक सटीकता से कम है:
, इसलिए इसे और इसके बाद की शर्तों को खारिज किया जा सकता है।
कई व्यावहारिक रूप से आवश्यक निश्चित या अनुचित इंटीग्रल की गणना न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र का उपयोग करके नहीं की जा सकती है, क्योंकि इसका अनुप्रयोग एक प्रतिपक्षी खोजने के साथ जुड़ा हुआ है, अक्सर प्राथमिक कार्यों में अभिव्यक्ति नहीं होती है। ऐसा भी होता है कि एक प्रतिपक्षी खोजना संभव है, लेकिन अनावश्यक रूप से श्रमसाध्य। हालाँकि, यदि इंटीग्रैंड को एक शक्ति श्रृंखला में विस्तारित किया जाता है, और एकीकरण सीमाएँ इस श्रृंखला के अभिसरण के अंतराल से संबंधित होती हैं, तो पूर्व निर्धारित सटीकता के साथ इंटीग्रल की अनुमानित गणना संभव है।

उदाहरण #3। ∫ 0 1 4 sin (x) x से 10 -5 के भीतर समाकल की गणना करें।
समाधान. संबंधित अनिश्चितकालीन अभिन्न को प्राथमिक कार्यों में व्यक्त नहीं किया जा सकता है, अर्थात एक "असंभव अभिन्न" है। न्यूटन-लीबनिज सूत्र को यहाँ लागू नहीं किया जा सकता है। आइए हम लगभग अभिन्न की गणना करें।
पाप की श्रंखला को पदों के अनुसार विभाजित करना एक्सपर एक्स, हम पाते हैं:

इस श्रृंखला शब्द को शब्द से एकीकृत करना (यह संभव है, क्योंकि एकीकरण की सीमा इस श्रृंखला के अभिसरण के अंतराल से संबंधित है), हम प्राप्त करते हैं:

चूंकि परिणामी श्रृंखला लीबनिज की शर्तों को पूरा करती है और दी गई सटीकता के साथ वांछित मान प्राप्त करने के लिए पहले दो शब्दों का योग लेना पर्याप्त है।
इस प्रकार, हम पाते हैं
.

उदाहरण #4। 0.001 के भीतर समाकल ∫ 0 1 4 e x 2 की गणना करें।
समाधान.
. आइए देखें कि क्या हम परिणामी श्रृंखला के दूसरे पद के बाद शेष को छोड़ सकते हैं।
0.0001<0.001. Следовательно, .

व्यावहारिक कौशल प्रशिक्षण के लिए साइट पर टेलर, मैकलॉरिन और लॉरेंट की एक श्रृंखला में एक समारोह का अपघटन। किसी फ़ंक्शन का यह श्रृंखला विस्तार गणितज्ञों को परिभाषा के डोमेन में किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के अनुमानित मान का अनुमान लगाने का विचार देता है। ब्रेडिस तालिका का उपयोग करने की तुलना में इस तरह के फ़ंक्शन मान की गणना करना बहुत आसान है, जो कंप्यूटिंग के युग में इतना पुराना है। एक टेलर श्रृंखला में एक फ़ंक्शन का विस्तार करने का अर्थ है इस श्रृंखला के रैखिक कार्यों के सामने गुणांकों की गणना करना और इसे सही रूप में लिखना। छात्र इन दो श्रृंखलाओं को भ्रमित करते हैं, समझ में नहीं आता कि सामान्य मामला क्या है और दूसरे का विशेष मामला क्या है। हम आपको एक बार और सभी के लिए याद दिलाते हैं, मैकलॉरिन श्रृंखला टेलर श्रृंखला का एक विशेष मामला है, अर्थात यह टेलर श्रृंखला है, लेकिन बिंदु x = 0 पर। ज्ञात कार्यों के विस्तार के सभी संक्षिप्त रिकॉर्ड, जैसे कि ई ^x, sin(x), cos(x) और अन्य, ये टेलर श्रृंखला में विस्तार हैं, लेकिन तर्क के लिए बिंदु 0 पर हैं। एक जटिल तर्क के कार्यों के लिए, लॉरेन श्रृंखला टीएफकेटी में सबसे आम समस्या है, क्योंकि यह दो तरफा अनंत श्रृंखला का प्रतिनिधित्व करती है। यह दो पंक्तियों का योग है। हमारा सुझाव है कि आप सीधे साइट साइट पर अपघटन का एक उदाहरण देखें, किसी भी संख्या के साथ "उदाहरण" पर क्लिक करके और फिर "समाधान" बटन पर क्लिक करके ऐसा करना बहुत आसान है। यह एक श्रृंखला में एक समारोह के इस विस्तार के लिए है कि प्रमुख श्रृंखला जुड़ी हुई है, जो मूल कार्य को एक निश्चित क्षेत्र में ऑर्डिनेट अक्ष के साथ सीमित करती है, यदि चर एब्सिस्सा क्षेत्र से संबंधित है। गणित में एक और दिलचस्प अनुशासन के साथ वेक्टर विश्लेषण की तुलना की जाती है। चूंकि प्रत्येक शब्द की जांच की जानी चाहिए, प्रक्रिया के लिए बहुत समय की आवश्यकता होती है। किसी भी टेलर श्रृंखला को x0 को शून्य से बदलकर मैकलॉरिन श्रृंखला से जोड़ा जा सकता है, लेकिन मैकलॉरिन श्रृंखला के लिए, टेलर श्रृंखला का उल्टा प्रतिनिधित्व कभी-कभी स्पष्ट नहीं होता है। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि इसे अपने शुद्ध रूप में करने की आवश्यकता नहीं है, यह सामान्य आत्म-विकास के लिए दिलचस्प है। प्रत्येक लॉरेंट श्रृंखला z-a की पूर्णांक शक्तियों में दो तरफा अनंत शक्ति श्रृंखला से मेल खाती है, दूसरे शब्दों में, समान टेलर प्रकार की एक श्रृंखला, लेकिन गुणांक की गणना में थोड़ा अलग। हम कई सैद्धांतिक गणनाओं के बाद थोड़ी देर बाद लॉरेंट श्रृंखला के अभिसरण के क्षेत्र के बारे में बात करेंगे। पिछली शताब्दी की तरह, एक श्रृंखला में एक फ़ंक्शन का चरणबद्ध विस्तार केवल एक सामान्य भाजक के लिए शर्तों को कम करके ही प्राप्त किया जा सकता है, क्योंकि भाजक में कार्य गैर-रैखिक हैं। कार्यात्मक मूल्य की अनुमानित गणना के लिए समस्याओं के निर्माण की आवश्यकता होती है। इस तथ्य के बारे में सोचें कि जब टेलर श्रृंखला का तर्क एक रैखिक चर है, तो विस्तार कई चरणों में होता है, लेकिन एक पूरी तरह से अलग तस्वीर, जब एक जटिल या गैर-रैखिक फ़ंक्शन विस्तारित फ़ंक्शन के तर्क के रूप में कार्य करता है, तब एक शक्ति श्रृंखला में इस तरह के एक समारोह का प्रतिनिधित्व करने की प्रक्रिया स्पष्ट है, क्योंकि इस तरह से, गणना करना आसान है, यद्यपि अनुमानित है, लेकिन परिभाषा के डोमेन के किसी भी बिंदु पर मूल्य, न्यूनतम त्रुटि के साथ आगे की गणना पर प्रभाव यह मैकलॉरिन श्रृंखला पर भी लागू होता है। जब शून्य बिंदु पर फ़ंक्शन की गणना करना आवश्यक हो। हालाँकि, लॉरेंट श्रृंखला को यहाँ काल्पनिक इकाइयों के साथ एक समतल विस्तार द्वारा दर्शाया गया है। साथ ही, सफलता के बिना समग्र प्रक्रिया के दौरान समस्या का सही समाधान नहीं होगा। गणित में, यह दृष्टिकोण ज्ञात नहीं है, लेकिन यह निष्पक्ष रूप से मौजूद है। नतीजतन, आप तथाकथित बिंदुवार सबसेट के निष्कर्ष पर आ सकते हैं, और एक श्रृंखला में फ़ंक्शन के विस्तार में, आपको इस प्रक्रिया के लिए ज्ञात विधियों को लागू करने की आवश्यकता है, जैसे कि डेरिवेटिव के सिद्धांत को लागू करना। एक बार फिर हम शिक्षक की शुद्धता के प्रति आश्वस्त हैं, जिन्होंने गणना के बाद की गणना के परिणामों के बारे में अपनी धारणाएँ बनाईं। आइए ध्यान दें कि गणित के सभी कैनन के अनुसार प्राप्त टेलर श्रृंखला मौजूद है और संपूर्ण संख्यात्मक अक्ष पर परिभाषित है, हालांकि, वेबसाइट सेवा के प्रिय उपयोगकर्ता, मूल फ़ंक्शन के रूप को न भूलें, क्योंकि यह बाहर हो सकता है कि शुरू में फ़ंक्शन के डोमेन को सेट करना आवश्यक है, अर्थात, उन बिंदुओं को लिखना और बाहर करना, जिन पर फ़ंक्शन वास्तविक संख्याओं के डोमेन में परिभाषित नहीं है। तो बोलने के लिए, यह समस्या को हल करने में आपकी तेज़ी दिखाएगा। तर्क के शून्य मान के साथ मैकलॉरिन श्रृंखला का निर्माण जो कहा गया है उसका अपवाद नहीं होगा। उसी समय, किसी ने किसी फ़ंक्शन की परिभाषा के डोमेन को खोजने की प्रक्रिया को रद्द नहीं किया, और आपको इस गणितीय क्रिया को पूरी गंभीरता के साथ करना चाहिए। यदि लॉरेंट श्रृंखला में मुख्य भाग होता है, तो पैरामीटर "ए" को एक पृथक विलक्षण बिंदु कहा जाएगा, और लॉरेंट श्रृंखला को रिंग में विस्तारित किया जाएगा - यह इसके भागों के अभिसरण के क्षेत्रों का चौराहा है, जिसमें से संगत प्रमेय का पालन होगा। लेकिन सब कुछ उतना मुश्किल नहीं है जितना एक अनुभवहीन छात्र को पहली नज़र में लग सकता है। सिर्फ टेलर श्रृंखला का अध्ययन करने के बाद, लॉरेंट श्रृंखला को आसानी से समझा जा सकता है - संख्याओं के स्थान के विस्तार के लिए एक सामान्यीकृत मामला। किसी फ़ंक्शन का श्रृंखला में कोई भी विस्तार केवल फ़ंक्शन के डोमेन में एक बिंदु पर ही किया जा सकता है। ऐसे कार्यों के गुणों को ध्यान में रखना चाहिए, उदाहरण के लिए, आवधिकता या अनंत भिन्नता। हम यह भी सुझाव देते हैं कि आप प्रारंभिक कार्यों की टेलर श्रृंखला में तैयार किए गए विस्तार की तालिका का उपयोग करें, क्योंकि एक फ़ंक्शन को दर्जनों विभिन्न शक्ति श्रृंखलाओं द्वारा दर्शाया जा सकता है, जिसे हमारे ऑनलाइन कैलकुलेटर के उपयोग से देखा जा सकता है। मैकलॉरिन की ऑनलाइन श्रृंखला यह निर्धारित करना पहले से कहीं ज्यादा आसान है कि क्या आप अद्वितीय साइट सेवा का उपयोग करते हैं, आपको बस सही लिखित फ़ंक्शन दर्ज करने की आवश्यकता है और आपको कुछ ही सेकंड में प्रस्तुत उत्तर प्राप्त होगा, यह सटीक और एक मानक लिखित रूप में गारंटीकृत होगा . आप शिक्षक को डिलीवरी के लिए तुरंत परिणाम को एक साफ कॉपी में फिर से लिख सकते हैं। रिंगों में विचाराधीन फ़ंक्शन की विश्लेषणात्मकता को पहले निर्धारित करना सही होगा, और फिर स्पष्ट रूप से बताएं कि इसे ऐसे सभी रिंगों में लॉरेंट श्रृंखला में विस्तारित किया जा सकता है। एक महत्वपूर्ण क्षण नकारात्मक डिग्री वाले लॉरेंट श्रृंखला के सदस्यों की दृष्टि नहीं खोना है। इस पर ज्यादा से ज्यादा फोकस करें। पूर्णांक शक्तियों में एक श्रृंखला में एक फ़ंक्शन के विस्तार पर लॉरेंट के प्रमेय का अच्छा उपयोग करें।

कार्यात्मक श्रृंखला के सिद्धांत में, एक श्रृंखला में एक फ़ंक्शन के विस्तार के लिए समर्पित खंड एक केंद्रीय स्थान रखता है।

इस प्रकार, समस्या उत्पन्न होती है: किसी दिए गए फ़ंक्शन के लिए ऐसी शक्ति श्रृंखला खोजने की आवश्यकता है

जो किसी अंतराल पर अभिसरित होता था और उसका योग बराबर होता था
, वे।

= ..

यह कार्य कहा जाता है किसी फ़ंक्शन को पावर श्रृंखला में विस्तारित करने की समस्या।

किसी फ़ंक्शन के पावर सीरीज़ में विस्तार के लिए एक आवश्यक शर्तइसकी अवकलनीयता अनंत बार है - यह अभिसरण शक्ति श्रृंखला के गुणों से अनुसरण करता है। परिभाषा के अपने क्षेत्र में प्राथमिक कार्यों के लिए, एक नियम के रूप में, यह स्थिति संतुष्ट है।

तो चलिए मान लेते हैं कि function
किसी भी आदेश का डेरिवेटिव है। क्या इसे शक्ति श्रृंखला में विस्तारित किया जा सकता है, यदि हां, तो इस श्रृंखला को कैसे खोजें? समस्या का दूसरा भाग हल करना आसान है, तो चलिए इसके साथ शुरू करते हैं।

आइए मान लें कि फ़ंक्शन
एक बिंदु वाले अंतराल में परिवर्तित होने वाली शक्ति श्रृंखला के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है एक्स 0 :

= .. (*)

कहाँ ए 0 ,ए 1 ,ए 2 ,...,ए पी ,... - अनिश्चित (अभी तक) गुणांक।

आइए हम समानता (*) में मूल्य डालते हैं एक्स = एक्स 0 , तो हमें मिलता है

.

हम शब्द द्वारा शक्ति श्रृंखला (*) शब्द को अलग करते हैं

= ..

और यहाँ डाल रहा हूँ एक्स = एक्स 0 , हम पाते हैं

.

अगले विभेदन के साथ, हमें श्रेणी प्राप्त होती है

= ..

मान लिया जाये एक्स = एक्स 0 , हम पाते हैं
, कहाँ
.

बाद पी-गुना विभेदन हमें प्राप्त होता है

अंतिम समानता में मानते हुए एक्स = एक्स 0 , हम पाते हैं
, कहाँ

तो गुणांक पाए जाते हैं

,
,
, …,
,….,

जिसे पंक्ति (*) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है

परिणामी श्रृंखला कहलाती है टेलर के पास समारोह के लिए
.

इस प्रकार, हमने इसे स्थापित किया है यदि फ़ंक्शन को शक्तियों में एक शक्ति श्रृंखला में विस्तारित किया जा सकता है (x - x 0 ), तो यह विस्तार अद्वितीय है और परिणामी श्रृंखला आवश्यक रूप से एक टेलर श्रृंखला है।

ध्यान दें कि टेलर श्रृंखला किसी भी फ़ंक्शन के लिए प्राप्त की जा सकती है जिसमें बिंदु पर किसी भी क्रम का डेरिवेटिव हो एक्स = एक्स 0 . लेकिन इसका अभी तक यह मतलब नहीं है कि फ़ंक्शन और परिणामी श्रृंखला के बीच एक समान चिह्न लगाया जा सकता है, अर्थात कि श्रृंखला का योग मूल कार्य के बराबर है। सबसे पहले, ऐसी समानता केवल अभिसरण के क्षेत्र में समझ में आ सकती है, और फ़ंक्शन के लिए प्राप्त टेलर श्रृंखला अलग हो सकती है, और दूसरी बात, यदि टेलर श्रृंखला अभिसरण करती है, तो इसका योग मूल कार्य के साथ मेल नहीं खा सकता है।

3.2। किसी फ़ंक्शन के टेलर श्रृंखला में विस्तार के लिए पर्याप्त शर्तें

आइए हम एक कथन तैयार करें जिसकी सहायता से बताई गई समस्या हल हो जाएगी।

यदि समारोह
बिंदु x के किसी पड़ोस में 0 डेरिवेटिव तक है (एन+ 1)-वाँ क्रम सम्मिलित है, तो इस पड़ोस में हमारे पास हैFORMULA टेलर

कहाँआर एन (एक्स)टेलर सूत्र का अवशिष्ट पद - का रूप है (लैग्रेंज रूप)

कहाँ डॉटξ x और x के बीच स्थित है 0 .

ध्यान दें कि टेलर श्रृंखला और टेलर सूत्र में अंतर है: टेलर सूत्र एक परिमित योग है, अर्थात पी -निर्धारित अंक।

स्मरण करो कि श्रृंखला का योग एस(एक्स) आंशिक रकम के कार्यात्मक अनुक्रम की सीमा के रूप में परिभाषित किया जा सकता है एस पी (एक्स) कुछ अंतराल पर एक्स:

.

इसके अनुसार, किसी फ़ंक्शन को टेलर श्रृंखला में विस्तारित करने का अर्थ है किसी ऐसी श्रृंखला को खोजना जो किसी के लिए भी हो एक्सएक्स

हम टेलर सूत्र को किस रूप में लिखते हैं

नोटिस जो
हमें मिलने वाली त्रुटि को परिभाषित करता है, फ़ंक्शन को बदलें एफ(एक्स) बहुपद एस एन (एक्स).

अगर
, वह
,वे। फ़ंक्शन एक टेलर श्रृंखला में विस्तारित होता है। इसके विपरीत यदि
, वह
.

इस प्रकार, हमने साबित कर दिया है एक टेलर श्रृंखला में एक समारोह के विस्तार के लिए कसौटी।

ताकि कुछ अंतराल में समारोह होएफ(x) एक टेलर श्रृंखला में विस्तार करता है, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि इस अंतराल पर
, कहाँआर एन (एक्स) टेलर श्रृंखला का शेष भाग है।

तैयार की गई कसौटी की मदद से कोई प्राप्त कर सकता है पर्याप्तकिसी फ़ंक्शन के टेलर श्रृंखला में विस्तार के लिए शर्तें।

मैं फ़िनबिंदु x के कुछ पड़ोस 0 किसी फ़ंक्शन के सभी डेरिवेटिव के पूर्ण मान समान संख्या एम द्वारा सीमित हैं≥ 0, यानी

, टीo इस पड़ोस में, फ़ंक्शन एक टेलर श्रृंखला में विस्तृत हो जाता है।

ऊपर से यह इस प्रकार है कलन विधिसमारोह विस्तार एफ(एक्स) एक टेलर श्रृंखला मेंबिंदु के आसपास के क्षेत्र में एक्स 0 :

1. व्युत्पन्न कार्यों का पता लगाना एफ(एक्स):

f(x), f'(x), f"(x), f'"(x), f (एन) (एक्स),…

2. हम बिंदु पर फ़ंक्शन के मूल्य और उसके डेरिवेटिव के मूल्यों की गणना करते हैं एक्स 0

एफ (एक्स 0 ), एफ '(एक्स 0 ), एफ ”(एक्स 0 ), एफ'" (एक्स 0 ), एफ (एन) (एक्स 0 ),…

3. हम औपचारिक रूप से टेलर श्रृंखला लिखते हैं और परिणामी शक्ति श्रृंखला के अभिसरण के क्षेत्र का पता लगाते हैं।

4. हम पर्याप्त शर्तों की पूर्ति की जाँच करते हैं, अर्थात। जिसके लिए स्थापित करें एक्सअभिसरण क्षेत्र से, शेष पद आर एन (एक्स) पर शून्य हो जाता है
या
.

इस एल्गोरिथम के अनुसार टेलर श्रृंखला में कार्यों के विस्तार को कहा जाता है परिभाषा के अनुसार टेलर श्रृंखला में एक समारोह का विस्तारया प्रत्यक्ष अपघटन।

उच्च गणित के छात्रों को पता होना चाहिए कि हमें दी गई श्रृंखला के अभिसरण के अंतराल से संबंधित कुछ शक्ति श्रृंखलाओं का योग निरंतर और असीमित संख्या में विभेदित कार्य है। प्रश्न उठता है: क्या यह दावा करना संभव है कि दिया गया मनमाना फलन f(x) कुछ शक्ति श्रृंखला का योग है? अर्थात, किन परिस्थितियों में फलन f(x) को घात श्रेणी द्वारा प्रदर्शित किया जा सकता है? इस प्रश्न का महत्व इस तथ्य में निहित है कि फलन f(x) को घात श्रृंखला के पहले कुछ पदों के योग से, यानी एक बहुपद द्वारा लगभग प्रतिस्थापित करना संभव है। एक साधारण अभिव्यक्ति द्वारा एक फ़ंक्शन का ऐसा प्रतिस्थापन - एक बहुपद - कुछ समस्याओं को हल करते समय भी सुविधाजनक होता है, अर्थात्: इंटीग्रल को हल करते समय, गणना करते समय, आदि।

यह साबित हो गया है कि कुछ फ़ंक्शन एफ (एक्स) के लिए, जिसमें डेरिवेटिव (एन + 1) वें क्रम तक, पिछले एक सहित, गणना की जा सकती है, कुछ के पड़ोस में (α - आर; एक्स 0 + आर) बिंदु x = α सूत्र:

इस सूत्र का नाम प्रसिद्ध वैज्ञानिक ब्रुक टेलर के नाम पर रखा गया है। पिछली श्रृंखला से प्राप्त श्रृंखला को मैकलॉरिन श्रृंखला कहा जाता है:

वह नियम जो मैकलॉरिन श्रृंखला में विस्तार को संभव बनाता है:

1. पहले, दूसरे, तीसरे ... ऑर्डर के डेरिवेटिव निर्धारित करें।
2. गणना करें कि x=0 पर डेरिवेटिव क्या हैं।
3. इस फलन की मैक्लॉरिन श्रेणी लिखिए और फिर इसके अभिसरण का अंतराल ज्ञात कीजिए।
4. अंतराल (-आर; आर) निर्धारित करें, जहां मैकलॉरिन सूत्र का शेष है

आर एन (एक्स) -> 0 एन के लिए -> अनंत। यदि एक का अस्तित्व है, तो उसमें फलन f(x) को मैक्लॉरिन श्रेणी के योग के साथ मेल खाना चाहिए।

अब अलग-अलग कार्यों के लिए मैक्लॉरिन श्रृंखला पर विचार करें।

1. अतः, पहला f(x) = e x होगा। बेशक, इसकी विशेषताओं के अनुसार, इस तरह के फ़ंक्शन में बहुत अलग ऑर्डर के डेरिवेटिव होते हैं, और f (k) (x) \u003d e x, जहां k सब कुछ के बराबर होता है, आइए x \u003d 0 को प्रतिस्थापित करें। हमें f (k) (0) \u003d e 0 \u003d 1, k \u003d 1.2 मिलता है ... पूर्वगामी के आधार पर, श्रृंखला e x इस तरह दिखेगी:

2. फलन f(x) = sin x के लिए मैकलॉरिन श्रेणी। तुरंत स्पष्ट करें कि सभी अज्ञात के लिए फ़ंक्शन में डेरिवेटिव होंगे, इसके अलावा f "(x) \u003d cos x \u003d sin (x + n / 2), f "" (x) \u003d -sin x \u003d sin (x + 2*n/2)..., f(k)(x)=sin(x+k*n/2), जहां k किसी भी प्राकृतिक संख्या के बराबर है। यानी, सरल गणना करके, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं f(x) = sin x के लिए श्रंखला इस तरह दिखेगी:

3. आइए अब फलन f(x) = cos x पर विचार करने का प्रयास करें। इसमें सभी अज्ञात के लिए मनमाने क्रम के डेरिवेटिव हैं, और |f (k) (x)| = |cos(x+k*n/2)|<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так:

इसलिए, हमने सबसे महत्वपूर्ण कार्यों को सूचीबद्ध किया है जिन्हें मैक्लॉरिन श्रृंखला में विस्तारित किया जा सकता है, लेकिन वे कुछ कार्यों के लिए टेलर श्रृंखला द्वारा पूरक हैं। अब हम उन्हें सूचीबद्ध करेंगे। यह भी ध्यान देने योग्य है कि टेलर और मैकलॉरिन श्रृंखला उच्च गणित में श्रृंखला को हल करने के अभ्यास का एक महत्वपूर्ण हिस्सा हैं। तो, टेलर श्रृंखला।

1. पहली f-ii f (x) = ln (1 + x) के लिए एक पंक्ति होगी। पिछले उदाहरणों की तरह, हमें f (x) = ln (1 + x) दिया गया है, हम मैकलॉरिन श्रृंखला के सामान्य रूप का उपयोग करके एक श्रृंखला जोड़ सकते हैं। हालाँकि, इस फ़ंक्शन के लिए, मैकलॉरिन श्रृंखला को और अधिक सरलता से प्राप्त किया जा सकता है। एक निश्चित ज्यामितीय श्रृंखला को एकीकृत करने के बाद, हमें ऐसे नमूने के f (x) = ln (1 + x) के लिए एक श्रृंखला मिलती है:

2. और दूसरा, जो हमारे लेख में अंतिम होगा, f (x) \u003d arctg x के लिए एक श्रृंखला होगी। अंतराल से संबंधित x के लिए [-1; 1], विस्तार मान्य है:

बस इतना ही। इस लेख में, उच्च गणित में, विशेष रूप से, आर्थिक और तकनीकी विश्वविद्यालयों में सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली टेलर और मैकलॉरिन श्रृंखला पर विचार किया गया।

साइट पर गणितीय सूत्र कैसे सम्मिलित करें?

यदि आपको कभी किसी वेब पेज पर एक या दो गणितीय सूत्र जोड़ने की आवश्यकता होती है, तो ऐसा करने का सबसे आसान तरीका लेख में वर्णित है: गणितीय सूत्र आसानी से साइट में छवियों के रूप में डाले जाते हैं जो कि वुल्फराम अल्फा स्वचालित रूप से उत्पन्न करता है। सादगी के अलावा, यह सार्वभौमिक विधि खोज इंजनों में साइट की दृश्यता में सुधार करने में मदद करेगी। यह लंबे समय से काम कर रहा है (और मुझे लगता है कि यह हमेशा के लिए काम करेगा), लेकिन यह नैतिक रूप से पुराना है।

यदि आप अपनी साइट पर लगातार गणित के सूत्रों का उपयोग कर रहे हैं, तो मैं आपको MathJax, एक विशेष जावास्क्रिप्ट लाइब्रेरी का उपयोग करने की सलाह देता हूं, जो MathML, LaTeX, या ASCIIMathML मार्कअप का उपयोग करके वेब ब्राउज़र में गणित संकेतन प्रदर्शित करता है।

MathJax का उपयोग शुरू करने के दो तरीके हैं: (1) एक सरल कोड का उपयोग करके, आप जल्दी से एक MathJax स्क्रिप्ट को अपनी साइट से जोड़ सकते हैं, जो सही समय पर एक दूरस्थ सर्वर से स्वचालित रूप से लोड हो जाएगी (सर्वर की सूची); (2) किसी दूरस्थ सर्वर से MathJax स्क्रिप्ट को अपने सर्वर पर अपलोड करें और इसे अपनी साइट के सभी पृष्ठों से कनेक्ट करें। दूसरी विधि अधिक जटिल और समय लेने वाली है और आपको अपनी साइट के पृष्ठों को तेजी से लोड करने की अनुमति देगी, और यदि पैरेंट MathJax सर्वर किसी कारण से अस्थायी रूप से अनुपलब्ध हो जाता है, तो यह किसी भी तरह से आपकी अपनी साइट को प्रभावित नहीं करेगा। इन फायदों के बावजूद, मैंने पहला तरीका चुना, क्योंकि यह सरल, तेज है और इसमें तकनीकी कौशल की आवश्यकता नहीं है। मेरे उदाहरण का अनुसरण करें, और 5 मिनट के भीतर आप अपनी साइट पर MathJax की सभी सुविधाओं का उपयोग करने में सक्षम होंगे।

आप मुख्य MathJax वेबसाइट से या प्रलेखन पृष्ठ से लिए गए दो कोड विकल्पों का उपयोग करके MathJax लाइब्रेरी स्क्रिप्ट को दूरस्थ सर्वर से कनेक्ट कर सकते हैं:

इन कोड विकल्पों में से एक को आपके वेब पेज के कोड में कॉपी और पेस्ट करने की आवश्यकता है, अधिमानतः टैग्स के बीच औरया टैग के ठीक बाद . पहले विकल्प के अनुसार, MathJax तेजी से लोड होता है और पृष्ठ को कम धीमा करता है। लेकिन दूसरा विकल्प स्वचालित रूप से MathJax के नवीनतम संस्करणों को ट्रैक और लोड करता है। यदि आप पहला कोड डालते हैं, तो उसे समय-समय पर अपडेट करने की आवश्यकता होगी। यदि आप दूसरा कोड पेस्ट करते हैं, तो पृष्ठ धीरे-धीरे लोड होंगे, लेकिन आपको लगातार MathJax अपडेट की निगरानी करने की आवश्यकता नहीं होगी।

MathJax को कनेक्ट करने का सबसे आसान तरीका ब्लॉगर या वर्डप्रेस में है: साइट कंट्रोल पैनल में, तृतीय-पक्ष जावास्क्रिप्ट कोड डालने के लिए डिज़ाइन किया गया विजेट जोड़ें, ऊपर लोड कोड के पहले या दूसरे संस्करण को कॉपी करें, और विजेट को इसके करीब रखें टेम्प्लेट की शुरुआत (वैसे, यह बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है, क्योंकि MathJax स्क्रिप्ट एसिंक्रोनस रूप से लोड की गई है)। बस इतना ही। अब MathML, LaTeX, और ASCIIMathML मार्कअप सिंटैक्स सीखें और आप अपने वेब पेजों में गणित के फॉर्मूले एम्बेड करने के लिए तैयार हैं।

कोई भी फ्रैक्टल एक निश्चित नियम के अनुसार निर्मित होता है, जिसे लगातार असीमित संख्या में लागू किया जाता है। ऐसे प्रत्येक समय को पुनरावृत्ति कहा जाता है।

मेन्जर स्पंज के निर्माण के लिए पुनरावृत्त एल्गोरिथ्म काफी सरल है: 1 भुजा वाले मूल घन को उसके फलकों के समानांतर तलों द्वारा 27 बराबर घनों में विभाजित किया जाता है। एक केंद्रीय घन और फलकों के साथ उससे सटे 6 घनों को इससे हटा दिया जाता है। यह 20 शेष छोटे क्यूब्स से मिलकर एक सेट निकलता है। ऐसा ही प्रत्येक घन के साथ करने पर, हमें 400 छोटे घनों का एक समूह प्राप्त होता है। इस प्रक्रिया को अनिश्चित काल तक जारी रखते हुए, हमें मेन्जर स्पंज मिलता है।