Što je sinus, kosinus, tangens, kotangens kuta pomoći će vam da razumijete pravokutni trokut.

Kako se zovu strane? pravokutni trokut? Tako je, hipotenuza i katete: hipotenuza je stranica koja leži nasuprot pravi kut(u našem primjeru, ovo je \(AC \) strana); kraci su dvije preostale stranice \ (AB \) i \ (BC \) (one koje su susjedne pravom kutu), štoviše, ako razmotrimo krake u odnosu na kut \ (BC \) , tada je krak \ (AB \) je susjedna noga, a krak \ (BC \) je nasuprot. Dakle, odgovorimo sada na pitanje: što su sinus, kosinus, tangens i kotangens kuta?

Sinus kuta- ovo je omjer suprotne (dalje) noge prema hipotenuzi.

U našem trokutu:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

Kosinus kuta- ovo je omjer susjedne (bliske) noge prema hipotenuzi.

U našem trokutu:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

Kutna tangenta- ovo je omjer suprotne (dalje) noge u odnosu na susjednu (blizu).

U našem trokutu:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

Kotangens kuta- ovo je omjer susjedne (bliske) noge prema suprotnoj (daleko).

U našem trokutu:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

Ove definicije su neophodne zapamtiti! Da biste lakše zapamtili koju nogu podijeliti na što, morate jasno razumjeti da u tangens i kotangens samo katete sjede, a hipotenuza se pojavljuje samo u sinus i kosinus. A onda možete smisliti lanac asocijacija. Na primjer, ovaj:

kosinus→dodir→dodir→susjedni;

Kotangens→dodir→dodir→susjedni.

Prije svega, potrebno je zapamtiti da sinus, kosinus, tangens i kotangens kao omjeri stranica trokuta ne ovise o duljinama tih stranica (pod jednim kutom). Ne vjeruj? Zatim se uvjerite gledajući sliku:

Razmotrimo, na primjer, kosinus kuta \(\beta \) . Prema definiciji, iz trokuta \(ABC \) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), ali možemo izračunati kosinus kuta \(\beta \) iz trokuta \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Vidite, duljine stranica su različite, ali vrijednost kosinusa jednog kuta je ista. Dakle, vrijednosti sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa ovise isključivo o veličini kuta.

Ako razumijete definicije, samo naprijed i popravite ih!

Za trokut \(ABC \) , prikazan na donjoj slici, nalazimo \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0,8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0,6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0,75\end(niz) \)

Pa, jeste li shvatili? Zatim pokušajte sami: izračunajte isto za kut \(\beta \) .

odgovori: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

Jedinična (trigonometrijska) kružnica

Razumijevajući koncepte stupnja i radijana, razmotrili smo krug s polumjerom jednakim \ (1 \) . Takav se krug zove singl. Vrlo je koristan u proučavanju trigonometrije. Stoga se malo detaljnije zadržavamo na njemu.

Kao što vidite, ovaj krug je ugrađen Kartezijanski sustav koordinate. Polumjer kružnice je jednak jedinici, dok središte kružnice leži u ishodištu, početni položaj radijus vektora fiksiran je duž pozitivnog smjera osi \(x \) (u našem primjeru to je polumjer \(AB \) ).

Svaka točka na krugu odgovara dvama brojevima: koordinati duž osi \(x \) i koordinati duž osi \(y \) . Koji su to koordinatni brojevi? I uopće, kakve oni veze imaju s ovom temom? Da biste to učinili, sjetite se razmatranog pravokutnog trokuta. Na gornjoj slici možete vidjeti dva cijela pravokutna trokuta. Razmotrimo trokut \(ACG \) . Pravokutan je jer je \(CG \) okomit na os \(x \).

Koliko je \(\cos \ \alpha \) iz trokuta \(ACG \) ? Tako je \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Osim toga, znamo da je \(AC \) polumjer jedinične kružnice, dakle \(AC=1 \) . Zamijenite ovu vrijednost u našu formulu kosinusa. Evo što se događa:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

A koliko je \(\sin \ \alpha \) iz trokuta \(ACG \) ? Pa naravno, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC) \)! Zamijenite vrijednost radijusa \ (AC \) u ovu formulu i dobijte:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

Dakle, možete li mi reći koje su koordinate točke \(C \) koja pripada krugu? Pa nema šanse? Ali što ako shvatite da su \(\cos \ \alpha \) i \(\sin \alpha \) samo brojevi? Kojoj koordinati odgovara \(\cos \alpha \)? Pa, naravno, koordinata \(x \) ! A kojoj koordinati odgovara \(\sin \alpha \)? Točno, \(y \) koordinata! Dakle, točka \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

Što su onda \(tg \alpha \) i \(ctg \alpha \) ? Tako je, upotrijebimo odgovarajuće definicije tangensa i kotangensa i dobijmo to \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), a \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

Što ako je kut veći? Evo, na primjer, kao na ovoj slici:

Što se promijenilo u ovom primjeru? Hajdemo shvatiti. Da bismo to učinili, ponovno se okrećemo pravokutnom trokutu. Razmotrimo pravokutni trokut \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : kut (kao susjedni kutu \(\beta \) ). Koja je vrijednost sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa za kut \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Tako je, držimo se odgovarajućih definicija trigonometrijskih funkcija:

\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \kut ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\kut ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\kut ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(niz) \)

Pa, kao što vidite, vrijednost sinusa kuta još uvijek odgovara koordinati \ (y \) ; vrijednost kosinusa kuta - koordinata \ (x \) ; i vrijednosti tangensa i kotangensa na odgovarajuće omjere. Dakle, ove relacije su primjenjive na sve rotacije radijus vektora.

Već je spomenuto da je početni položaj radijus vektora duž pozitivnog smjera osi \(x \). Do sada smo rotirali ovaj vektor u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, ali što se događa ako ga rotiramo u smjeru kazaljke na satu? Ništa neobično, dobit ćete i kut određene veličine, ali samo on će biti negativan. Dakle, kada rotiramo radijus vektor u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, dobivamo pozitivni kutovi, a kada se okreće u smjeru kazaljke na satu - negativan.

Dakle, znamo da je cijela revolucija radijus vektora oko kruga \(360()^\circ \) ili \(2\pi \) . Je li moguće rotirati radijus vektor za \(390()^\circ \) ili za \(-1140()^\circ \) ? Pa naravno da možete! U prvom slučaju, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), pa će radijus vektor napraviti jednu punu rotaciju i zaustaviti se na \(30()^\circ \) ili \(\dfrac(\pi )(6) \) .

U drugom slučaju, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), to jest, radijus vektor će napraviti tri potpuna kruga i zaustaviti se na poziciji \(-60()^\circ \) ili \(-\dfrac(\pi )(3) \) .

Dakle, iz gornjih primjera možemo zaključiti da kutovi koji se razlikuju za \(360()^\circ \cdot m \) ili \(2\pi \cdot m \) (gdje je \(m \) bilo koji cijeli broj ) odgovaraju istom položaju radijus vektora.

Donja slika prikazuje kut \(\beta =-60()^\circ \) . Ista slika odgovara kutu \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) itd. Ovaj popis se može nastaviti na neodređeno vrijeme. Svi ovi kutovi mogu se napisati općom formulom \(\beta +360()^\circ \cdot m\) ili \(\beta +2\pi \cdot m \) (gdje je \(m \) bilo koji cijeli broj)

\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)

Sada, znajući definicije osnovnih trigonometrijskih funkcija i koristeći jediničnu kružnicu, pokušajte odgovoriti čemu su jednake vrijednosti:

\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\tekst(tg)\ 180()^\circ =\tekst(tg)\ \pi =?\\\tekst(ctg)\ 180()^\circ =\tekst(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\tekst (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)

Evo jediničnog kruga koji će vam pomoći:

Ima li poteškoća? Onda idemo shvatiti. Dakle, znamo da:

\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x) )(y).\end(niz) \)

Odavde određujemo koordinate točaka koje odgovaraju određenim mjerama kuta. Pa, krenimo redom: kut unutra \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) odgovara točki s koordinatama \(\left(0;1 \right) \), dakle:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- ne postoji;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

Nadalje, držeći se iste logike, otkrivamo da su uglovi u \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) odgovaraju točkama s koordinatama \(\lijevo(-1;0 \desno),\tekst( )\lijevo(0;-1 \desno),\tekst( )\lijevo(1;0 \desno),\tekst( )\lijevo(0 ;1 \desno) \), odnosno. Znajući to, lako je odrediti vrijednosti trigonometrijskih funkcija u odgovarajućim točkama. Prvo pokušajte sami, a zatim provjerite odgovore.

odgovori:

\(\displaystyle \sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =-1 \)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- ne postoji

\(\sin \ 270()^\circ =-1 \)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- ne postoji

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \ 360()^\circ =0 \)

\(\cos \ 360()^\circ =1 \)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- ne postoji

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \lijevo(360()^\circ +90()^\circ \desno)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \lijevo(360()^\circ +90()^\circ \desno)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\tekst(tg)\ 450()^\circ =\tekst(tg)\ \lijevo(360()^\circ +90()^\circ \desno)=\tekst(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- ne postoji

\(\tekst(ctg)\ 450()^\circ =\tekst(ctg)\lijevo(360()^\circ +90()^\circ \desno)=\tekst(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

Dakle, možemo napraviti sljedeću tablicu:

Nema potrebe pamtiti sve te vrijednosti. Dovoljno je zapamtiti korespondenciju između koordinata točaka na jediničnom krugu i vrijednosti trigonometrijskih funkcija:

\(\lijevo. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(Morate zapamtiti ili moći ispisati!! \) !}

A ovdje su vrijednosti trigonometrijskih funkcija kutova u i \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4) \) navedeni u tablici u nastavku, morate zapamtiti:

Nema potrebe za strahom, sada ćemo pokazati jedan od primjera prilično jednostavnog pamćenja odgovarajućih vrijednosti:

Da biste koristili ovu metodu, važno je zapamtiti vrijednosti sinusa za sve tri mjere kuta ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3) \)), kao i vrijednost tangensa kuta u \(30()^\circ \) . Poznavajući ove \(4 \) vrijednosti, vrlo je lako vratiti cijelu tablicu - vrijednosti kosinusa prenose se u skladu sa strelicama, to jest:

\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\ \end(niz) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), znajući to, moguće je vratiti vrijednosti za \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Brojnik “\(1 \) ” će odgovarati \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) , a nazivnik “\(\sqrt(\text(3)) \) ” će odgovarati \ (\tekst (tg)\ 60()^\circ \ \) . Vrijednosti kotangensa prenose se u skladu sa strelicama prikazanim na slici. Ako ovo razumijete i zapamtite shemu sa strelicama, tada će biti dovoljno zapamtiti samo \(4 \) vrijednosti iz tablice.

Koordinate točke na kružnici

Je li moguće pronaći točku (njene koordinate) na krugu, znajući koordinate središta kruga, njegov polumjer i kut rotacije? Pa naravno da možete! Izvedimo opću formulu za pronalaženje koordinata točke. Evo, na primjer, imamo takav krug:

Dobili smo tu točku \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \) je središte kruga. Polumjer kruga je \(1,5 \) . Potrebno je pronaći koordinate točke \(P \) dobivene rotacijom točke \(O \) za \(\delta \) stupnjeva.

Kao što se može vidjeti sa slike, koordinata \ (x \) točke \ (P \) odgovara duljini segmenta \ (TP=UQ=UK+KQ \) . Duljina segmenta \ (UK \) odgovara koordinati \ (x \) središta kruga, odnosno jednaka je \ (3 \) . Duljina segmenta \(KQ \) može se izraziti pomoću definicije kosinusa:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

Zatim to imamo za točku \(P \) koordinatu \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).

Po istoj logici, nalazimo vrijednost y koordinate za točku \(P\) . Na ovaj način,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).

Dakle u opći pogled koordinate točke određuju se formulama:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(niz) \), gdje

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - koordinate središta kruga,

\(r\) - polumjer kruga,

\(\delta \) - kut rotacije polumjera vektora.

Kao što vidite, za jedinični krug koji razmatramo, ove formule su značajno smanjene, budući da su koordinate središta nula, a radijus je jednak jedan:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)

Javascript je onemogućen u vašem pregledniku.
ActiveX kontrole moraju biti omogućene kako bi se vršili izračuni!

Prosječna razina

Pravokutni trokut. Potpuni ilustrirani vodič (2019.)

PRAVOKUT TROKUT. PRVI RAZINA.

U problemima, pravi kut uopće nije potreban - donji lijevi, pa morate naučiti prepoznati pravokutni trokut u ovom obliku,

i u takvom

i u takvom

Što je dobro kod pravokutnog trokuta? Pa... kao prvo, postoje posebna lijepa imena za njegove zabave.

Pozor na crtež!

Zapamtite i nemojte brkati: noge - dvije, a hipotenuza - samo jedna(jedini, jedinstveni i najduži)!

Pa, razgovarali smo o imenima, a sada ono najvažnije: Pitagorin teorem.

Pitagorin poučak.

Ovaj je teorem ključ za rješavanje mnogih problema koji uključuju pravokutni trokut. Dokazao ju je Pitagora u posve pradavna vremena i od tada je donijela mnoge dobrobiti onima koji je poznaju. A najbolja stvar kod nje je to što je jednostavna.

Tako, Pitagorin poučak:

Sjećate li se šale: “Pitagorine hlače su jednake na sve strane!”?

Nacrtajmo baš ove pitagorejske hlače i pogledajmo ih.

Izgleda li stvarno kao kratke hlače? Pa, na kojim stranama i gdje su ravnopravni? Zašto i odakle šala? A ova šala povezana je upravo s Pitagorinim teoremom, točnije s načinom na koji je sam Pitagora formulirao svoj teorem. A on je to formulirao ovako:

"Iznos površina kvadrata, izgrađen na nogama, jednak je kvadratna površina izgrađen na hipotenuzi.

Ne zvuči li malo drugačije, zar ne? I tako, kada je Pitagora nacrtao izjavu svog teorema, ispala je upravo takva slika.

Na ovoj slici je zbroj površina malih kvadrata jednak površini velikog kvadrata. A kako bi djeca bolje zapamtila da je zbroj kvadrata kateta jednak kvadratu hipotenuze, netko je duhovit izmislio ovaj vic o Pitagorinim hlačama.

Zašto sada formuliramo Pitagorin teorem

Je li Pitagora patio i govorio o kvadratima?

Vidite, u davna vremena nije bilo ... algebre! Nije bilo znakova i tako dalje. Nije bilo natpisa. Možete li zamisliti kako je jadnim davnim studentima bilo strašno sve pamtiti riječima??! I možemo biti sretni što imamo jednostavnu formulaciju Pitagorinog teorema. Ponovimo opet da bolje zapamtimo:

Sada bi trebalo biti jednostavno:

Kvadrat hipotenuze jednak je zbroju kvadrati nogu.

Pa, raspravljalo se o najvažnijem teoremu o pravokutnom trokutu. Ako vas zanima kako se to dokazuje, pročitajte sljedeće razine teorije, a sada idemo dalje ... u mračnu šumu ... trigonometrije! Strašnim riječima sinus, kosinus, tangens i kotangens.

Sinus, kosinus, tangens, kotangens u pravokutnom trokutu.

Zapravo, sve uopće nije tako strašno. Naravno, u članku treba pogledati "pravu" definiciju sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa. Ali ti to stvarno ne želiš, zar ne? Možemo se radovati: da biste riješili probleme o pravokutnom trokutu, možete jednostavno ispuniti sljedeće jednostavne stvari:

Zašto se sve vrti oko kuta? Gdje je kut? Da biste to razumjeli, morate znati kako se izjave 1 - 4 pišu riječima. Pogledaj, razumi i zapamti!

1.
Zapravo zvuči ovako:

Što je s kutom? Postoji li krak koji je nasuprot kutu, odnosno suprotni krak (za kut)? Naravno da jesu! Ovo je katet!

Ali što je s kutom? Pogledaj bolje. Koji je krak uz kut? Naravno, mačka. Dakle, za kut, krak je susjedan, i

A sada, pozor! Pogledajte što imamo:

Pogledajte kako je super:

Sada prijeđimo na tangens i kotangens.

Kako to sad pretočiti u riječi? Što je krak u odnosu na kut? Nasuprot, naravno - "leži" nasuprot kutu. A katet? Uz ugao. Dakle, što smo dobili?

Vidite kako su brojnik i nazivnik obrnuti?

I sada opet kutovi i napravili razmjenu:

Sažetak

Zapišimo ukratko što smo naučili.

Pitagorin poučak:

Glavni teorem pravokutnog trokuta je Pitagorin teorem.

Pitagorin poučak

Usput, sjećate li se dobro što su katete i hipotenuza? Ako ne, onda pogledajte sliku - obnovite svoje znanje

Moguće je da ste već mnogo puta koristili Pitagorin teorem, ali jeste li se ikada zapitali zašto je takav teorem istinit. Kako biste to dokazali? Učinimo kao stari Grci. Nacrtajmo kvadrat sa stranicom.

Vidite kako smo lukavo podijelili njegove stranice na segmente duljina i!

Sada spojimo označene točke

Ovdje smo, međutim, primijetili nešto drugo, ali vi sami pogledajte sliku i razmislite zašto.

Kolika je površina većeg kvadrata? Ispravno, . Što je s manjim područjem? Naravno, . Ostaje ukupna površina četiri ugla. Zamislimo da smo uzeli dva od njih i prislonili ih hipotenuzama. Što se dogodilo? Dva pravokutnika. Dakle, površina "rezova" je jednaka.

Idemo sad sve spojiti.

Preobrazimo se:

Pa smo posjetili Pitagoru – dokazali smo njegov teorem na antički način.

Pravokutni trokut i trigonometrija

Za pravokutni trokut vrijede relacije:

Sinus oštrog kuta jednak je omjeru suprotnog kraka i hipotenuze

Kosinus oštrog kuta jednak je omjeru susjedne noge i hipotenuze.

Tangens šiljastog kuta jednak je omjeru suprotnog kraka i susjednog kraka.

Kotangens šiljastog kuta jednak je omjeru susjednog i suprotnog kraka.

I još jednom, sve to u obliku tanjura:

Vrlo je udoban!

Znakovi jednakosti pravokutnih trokuta

I. Na dvije noge

II. Po kateti i hipotenuzi

III. Hipotenuzom i oštrim kutom

IV. Uz krak i oštar kut

a)

b)

Pažnja! Ovdje je vrlo važno da su noge "korespondentne". Na primjer, ako ide ovako:

TADA TROKUTI NISU JEDNAKI, unatoč činjenici da imaju jedan identičan akutni kut.

Moram u oba trokuta krak je bio susjedan, ili u oba - nasuprot.

Jeste li primijetili kako se znakovi jednakosti pravokutnih trokuta razlikuju od uobičajenih znakova jednakosti trokuta? Pogledaj temu “i obrati pozornost na to da je za jednakost “običnih” trokuta potrebna jednakost njihova tri elementa: dvije stranice i kuta između njih, dva kuta i stranice između njih ili tri stranice. Ali za jednakost pravokutnih trokuta dovoljna su samo dva odgovarajuća elementa. Super je, zar ne?

Približno ista situacija sa znakovima sličnosti pravokutnih trokuta.

Znaci sličnosti pravokutnog trokuta

I. Oštri kut

II. Na dvije noge

III. Po kateti i hipotenuzi

Medijana u pravokutnom trokutu

Zašto je to tako?

Razmotrite cijeli pravokutnik umjesto pravokutnog trokuta.

Nacrtajmo dijagonalu i razmotrimo točku – točku sjecišta dijagonala. Što znaš o dijagonalama pravokutnika?

I što iz ovoga slijedi?

Tako se dogodilo da

1. - medijan:

Zapamtite ovu činjenicu! Puno pomaže!

Ono što još više iznenađuje jest da vrijedi i obrnuto.

Što se može dobiti od činjenice da je medijan povučen na hipotenuzu jednak polovici hipotenuze? Pogledajmo sliku

Pogledaj bolje. Imamo: , to jest, ispostavilo se da su udaljenosti od točke do sva tri vrha trokuta jednake. Ali u trokutu postoji samo jedna točka, udaljenosti od koje su otprilike sva tri vrha trokuta jednake, a to je SREDIŠTE opisanog kruga. Dakle, što se dogodilo?

Pa počnimo s ovim "osim...".

Pogledajmo i.

Ali u sličnim trokutima svi su kutovi jednaki!

Isto se može reći i za i

Sada to zajedno nacrtajmo:

Koja se korist može izvući iz ove "trostruke" sličnosti.

Pa, na primjer - dvije formule za visinu pravokutnog trokuta.

Zapisujemo odnose korespondentnih strana:

Da bismo pronašli visinu, riješimo proporciju i dobijemo prva formula "Visina u pravokutnom trokutu":

Dakle, primijenimo sličnost: .

Što će se sada dogoditi?

Opet rješavamo udio i dobivamo drugu formulu:

Obje ove formule moraju se jako dobro zapamtiti i primijeniti onu koja je zgodnija. Zapišimo ih opet.

Pitagorin poučak:

U pravokutnom trokutu kvadrat hipotenuze jednak je zbroju kvadrata kateta:.

Znakovi jednakosti pravokutnih trokuta:

• na dvije noge:
• duž katete i hipotenuze: odn
• uz krak i susjedni šiljasti kut: odn
• uz krak i nasuprot šiljasti kut: odn
• hipotenuzom i šiljastim kutom: ili.

Znakovi sličnosti pravokutnih trokuta:

• jedan oštar kut: ili
• iz proporcionalnosti dviju nogu:
• iz proporcionalnosti katete i hipotenuze: odn.

Sinus, kosinus, tangens, kotangens u pravokutnom trokutu

• Sinus oštrog kuta pravokutnog trokuta je omjer suprotne katete i hipotenuze:
• Kosinus oštrog kuta pravokutnog trokuta je omjer susjedne katete i hipotenuze:
• Tangens oštrog kuta pravokutnog trokuta je omjer suprotnog kraka i susjednog:
• Kotangens šiljastog kuta pravokutnog trokuta je omjer susjednog kraka i suprotnog:.

Visina pravokutnog trokuta: odn.

U pravokutnom trokutu medijan povučen iz vrha pravog kuta jednak je polovici hipotenuze: .

Površina pravokutnog trokuta:

• kroz katetere:

Uputa

Slični Videi

Bilješka

Prilikom izračunavanja stranica pravokutnog trokuta, poznavanje njegovih značajki može igrati:
1) Ako krak pravog kuta leži nasuprot kutu od 30 stupnjeva, tada je jednak polovici hipotenuze;
2) Hipotenuza je uvijek duža od bilo koje katete;
3) Ako je krug opisan oko pravokutnog trokuta, tada njegovo središte mora ležati u sredini hipotenuze.

Hipotenuza je stranica u pravokutnom trokutu koja je nasuprot kutu od 90 stupnjeva. Da bi se izračunala njegova duljina, dovoljno je znati duljinu jedne od krakova i vrijednost jednog od oštrih kutova trokuta.

Uputa

Neka nam je poznata jedna od krakova i kut koji je uz njega. Radi određenosti neka to bude krak |AB| i kut α. Tada možemo koristiti formulu za trigonometrijski kosinus je kosinus omjera susjedne noge prema . Oni. u našem zapisu cos α = |AB| / |AC|. Odavde dobivamo duljinu hipotenuze |AC| = |AB| / cosα.
Ako znamo krak |BC| i kut α, tada koristimo formulu za izračunavanje sinusa kuta - sinus kuta jednak je omjeru suprotne katete i hipotenuze: sin α = |BC| / |AC|. Dobivamo da se duljina hipotenuze nalazi kao |AC| = |BC| / cosα.

Radi jasnoće, razmotrite primjer. Neka je duljina kraka |AB| = 15. A kut α = 60°. Dobivamo |AC| = 15 / cos 60° = 15 / 0,5 = 30.
Razmotrite kako možete provjeriti svoj rezultat koristeći Pitagorin teorem. Da bismo to učinili, moramo izračunati duljinu drugog kraka |BC|. Pomoću formule za tangens kuta tg α = |BC| / |AC|, dobivamo |BC| = |AB| * tg α = 15 * tg 60° = 15 * √3. Zatim primjenjujemo Pitagorin teorem, dobivamo 15^2 + (15 * √3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900. Provjera je obavljena.

Koristan savjet

Nakon izračuna hipotenuze, provjerite zadovoljava li dobivena vrijednost Pitagorin teorem.

Izvori:

• Tablica prostih brojeva od 1 do 10000

Noge navedite dvije kraće strane pravokutnog trokuta koje čine njegov vrh, čija je vrijednost 90 °. Treća stranica u takvom trokutu naziva se hipotenuza. Sve te strane i kutovi trokuta međusobno su povezani određenim odnosima koji vam omogućuju izračunavanje duljine noge ako je poznato nekoliko drugih parametara.

Uputa

Upotrijebite Pitagorin poučak za krak (A) ako znate duljinu druge dvije stranice (B i C) pravokutnog trokuta. Ovaj teorem tvrdi da je zbroj kvadrata duljina kateta jednak kvadratu hipotenuze. Iz ovoga slijedi da je duljina svake noge jednaka korijen iz duljina hipotenuze i druge katete: A=√(C²-B²).

Upotrijebite definiciju izravne trigonometrijske funkcije "sinus" za šiljasti kut, ako znate vrijednost kuta (α) nasuprot izračunatom kraku i duljinu hipotenuze (C). Ovo kaže da je sinus ovog poznatog omjer duljine željene katete i duljine hipotenuze. To znači da je duljina željenog kraka jednaka umnošku duljine hipotenuze i sinusa poznatog kuta: A=C∗sin(α). Za iste poznate vrijednosti možete koristiti kosekans i izračunati željenu duljinu dijeljenjem duljine hipotenuze s kosekansom poznatog kuta A=C/cosec(α).

Upotrijebite definiciju izravne trigonometrijske kosinusne funkcije ako je osim duljine hipotenuze (C) poznata i vrijednost šiljastog kuta (β) uz traženi. Kosinus tog kuta je omjer duljina željene katete i hipotenuze, a iz toga možemo zaključiti da je duljina katete jednaka umnošku duljine hipotenuze i kosinusa poznatog kuta: A=C∗cos(β). Možete upotrijebiti definiciju funkcije sekante i izračunati željenu vrijednost dijeljenjem duljine hipotenuze sa sekantom poznatog kuta A=C/sec(β).

Izvedite traženu formulu iz slične definicije za izvod trigonometrijske funkcije tangente, ako je, uz vrijednost oštrog kuta (α) koji leži nasuprot željenog kraka (A), duljina drugog kraka (B) jednaka znan. Tangens kuta nasuprot željenog kraka je omjer duljine ovog kraka i duljine drugog kraka. To znači da će željena vrijednost biti jednaka umnošku duljine poznatog kraka i tangensa poznatog kuta: A=B∗tg(α). Iz istih poznatih veličina može se izvesti druga formula korištenjem definicije funkcije kotangensa. U ovom slučaju, za izračunavanje duljine kraka bit će potrebno pronaći omjer duljine poznatog kraka i kotangensa poznatog kuta: A=B/ctg(α).

Slični Videi

Riječ "katet" došla je na ruski iz grčkog. U točnom prijevodu to znači visak, odnosno okomito na površinu zemlje. U matematici se katetama nazivaju stranice koje tvore pravi kut pravokutnog trokuta. Stranica nasuprot ovom kutu naziva se hipotenuza. Pojam "noga" također se koristi u arhitekturi i tehnologiji zavarivački radovi.

Sekans ovog kuta dobije se dijeljenjem hipotenuze sa susjednim krakom, odnosno secCAB=c/b. Ispada recipročna vrijednost kosinusa, odnosno može se izraziti formulom secCAB=1/cosSAB.
Kosekant je jednak kvocijentu dijeljenja hipotenuze sa suprotnim krakom i recipročna je vrijednost sinusa. Može se izračunati pomoću formule cosecCAB=1/sinCAB

Oba kraka su međusobno spojena i kotangentna. U ovom slučaju, tangenta će biti omjer stranice a i stranice b, odnosno suprotnog kraka u odnosu na susjedni. Ovaj omjer može se izraziti formulom tgCAB=a/b. Prema tome, inverzni omjer bit će kotangens: ctgCAB=b/a.

Omjer između veličina hipotenuze i obiju kateta odredio je stari Grk Pitagora. Teorem, njegovo ime, ljudi još uvijek koriste. Kaže da je kvadrat hipotenuze jednak zbroju kvadrata kateta, odnosno c2 \u003d a2 + b2. Prema tome, svaka će kateta biti jednaka kvadratnom korijenu razlike između kvadrata hipotenuze i druge katete. Ova se formula može napisati kao b=√(c2-a2).

Duljina kraka može se izraziti i kroz odnose koje poznajete. Prema teoremima sinusa i kosinusa, kateta je jednaka umnošku hipotenuze i jedne od tih funkcija. Možete ga izraziti i ili kotangens. Noga a može se pronaći, na primjer, formulom a \u003d b * tan CAB. Na potpuno isti način, ovisno o zadanoj tangenti ili , određuje se i drugi krak.

U arhitekturi se također koristi izraz "noga". Apliciran je na jonski kapitel i vodi se kroz sredinu njegova stražnjeg dijela. To je, u ovom slučaju, ovim izrazom, okomica na zadanu liniju.

U tehnologiji zavarivanja postoji "krak kutnog zavara". Kao iu drugim slučajevima, ovo je najviše kratka udaljenost. Ovdje govorimo o razmaku između jednog od dijelova koji se zavaruju do granice šava koji se nalazi na površini drugog dijela.

Slični Videi

Izvori:

• kolika je kateta i hipotenuza u 2019

Omjer suprotne katete i hipotenuze naziva se sinus oštrog kuta pravokutni trokut.

\sin \alpha = \frac(a)(c)

Kosinus oštrog kuta pravokutnog trokuta

Omjer najbliže katete i hipotenuze naziva se kosinus oštrog kuta pravokutni trokut.

\cos \alpha = \frac(b)(c)

Tangens oštrog kuta pravokutnog trokuta

Omjer suprotnog kraka prema susjednom kraku naziva se tangenta oštrog kuta pravokutni trokut.

tg \alpha = \frac(a)(b)

Kotangens šiljastog kuta pravokutnog trokuta

Omjer susjednog kraka prema suprotnom kraku naziva se kotangens oštrog kuta pravokutni trokut.

ctg \alpha = \frac(b)(a)

Sinus proizvoljnog kuta

Naziva se ordinata točke na jediničnoj kružnici kojoj odgovara kut \alpha sinus proizvoljnog kuta rotacija \alpha .

\sin \alpha=y

Kosinus proizvoljnog kuta

Naziva se apscisa točke na jediničnoj kružnici kojoj odgovara kut \alpha kosinus proizvoljnog kuta rotacija \alpha .

\cos \alpha=x

Tangens proizvoljnog kuta

Omjer sinusa proizvoljnog kuta rotacije \alpha i njegovog kosinusa naziva se tangens proizvoljnog kuta rotacija \alpha .

tg \alpha = y_(A)

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

Kotangens proizvoljnog kuta

Omjer kosinusa proizvoljnog kuta rotacije \alpha i njegovog sinusa naziva se kotangens proizvoljnog kuta rotacija \alpha .

ctg \alpha =x_(A)

ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

Primjer nalaženja proizvoljnog kuta

Ako je \alpha neki kut AOM , gdje je M točka na jediničnoj kružnici, tada

\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).

Na primjer, ako \kut AOM = -\frac(\pi)(4), tada: ordinata točke M je -\frac(\sqrt(2))(2), apscisa je \frac(\sqrt(2))(2) i zato

\sin \lijevo (-\frac(\pi)(4) \desno)=-\frac(\sqrt(2))(2);

\cos \lijevo (\frac(\pi)(4) \desno)=\frac(\sqrt(2))(2);

tg;

ctg \lijevo (-\frac(\pi)(4) \desno)=-1.

Tablica vrijednosti sinusa kosinusa tangensa kotangensa

Vrijednosti glavnih kutova koji se često susreću dane su u tablici:

	0^(\circ) (0)	30^(\circ)\lijevo(\frac(\pi)(6)\desno)	45^(\circ)\lijevo(\frac(\pi)(4)\desno)	60^(\circ)\lijevo(\frac(\pi)(3)\desno)	90^(\circ)\lijevo(\frac(\pi)(2)\desno)	180^(\circ)\lijevo(\pi\desno)	270^(\circ)\lijevo(\frac(3\pi)(2)\desno)	360^(\circ)\lijevo(2\pi\desno)
\grijeh\alfa	0	\frac12	\frac(\sqrt 2)(2)	\frac(\sqrt 3)(2)	1	0	−1	0
\cos\alpha	1	\frac(\sqrt 3)(2)	\frac(\sqrt 2)(2)	\frac12	0	−1	0	1
tg\alfa	0	\frac(\sqrt 3)(3)	1	\sqrt3	—	0	—	0
ctg\alpha	—	\sqrt3	1	\frac(\sqrt 3)(3)	0	—	0	—