Najjednostavniji zadaci s pravcem u ravnini. Međusobni raspored linija. Kut između pravaca. Kut između dva pravca

kutak između ravnih linija u prostoru nazvat ćemo bilo koji od susjednih kutova što ih tvore dvije prave povučene kroz proizvoljnu točku paralelnu s podatkom.

Neka su u prostoru date dvije ravne linije:

Očito, kut φ između pravaca može se uzeti kao kut između njihovih vektora smjera i . Budući da , onda prema formuli za kosinus kuta između vektora dobivamo

Uvjeti paralelnosti i okomitosti dvaju pravaca ekvivalentni su uvjetima paralelnosti i okomitosti njihovih vektora smjera i:

Dva ravno su paralelni ako i samo ako su njihovi odgovarajući koeficijenti proporcionalni, tj. l 1 paralelno l 2 ako i samo ako je paralelan .

Dva ravno okomito ako i samo ako je zbroj umnožaka odgovarajućih koeficijenata jednak nuli: .

Na cilj između pravca i ravnine

Neka linija d- nije okomito na ravninu θ;
d′− projekcija pravca d na ravninu θ;
Najmanji kut između ravnih linija d i d'nazvat ćemo kut između pravca i ravnine.
Označimo to kao φ=( d,θ)
Ako a d⊥θ , tada ( d,θ)=π/2

oi→j→k→− pravokutni koordinatni sustav.
Jednadžba ravnine:

θ: Sjekira+Po+cz+D=0

Smatramo da je pravac zadan točkom i vektorom smjera: d[M 0,str→]
Vektor n→(A,B,C)⊥θ
Zatim ostaje saznati kut između vektora n→ i str→, označimo kao γ=( n→,str→).

Ako je kut γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

Ako je kut γ>π/2 , tada je traženi kut φ=γ−π/2

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ

Zatim, kut između pravca i ravnine može se izračunati pomoću formule:

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+bp 2+cp 3∣ ∣ √A 2+B 2+C 2√str 21+str 22+str 23

Pitanje 29. Pojam kvadratne forme. Predznak određenosti kvadratnih oblika.

Kvadratni oblik j (x 1, x 2, ..., x n) n realnih varijabli x 1, x 2, ..., x n naziva se suma oblika
, (1)

gdje aij su neki brojevi koji se nazivaju koeficijenti. Bez gubitka općenitosti, možemo pretpostaviti da aij = a ji.

Kvadratni oblik se zove vrijedi, ako aij O GR. Matrica kvadratnog oblika naziva se matrica sastavljena od njegovih koeficijenata. Kvadratni oblik (1) odgovara jedinstvenoj simetričnoj matrici
tj. A T = A. Stoga se kvadratni oblik (1) može napisati u matričnom obliku j ( x) = x T Ah, gdje x T = (x 1 x 2 … x n). (2)

I obrnuto, svaka simetrična matrica (2) odgovara jedinstvenom kvadratnom obliku do zapisa varijabli.

Rang kvadratnog oblika naziva se rang njegove matrice. Kvadratni oblik se zove nedegeneriran, ako je njegova matrica nesingularna ALI. (podsjetimo se da je matrica ALI naziva se nedegeneriranim ako mu je determinanta različita od nule). U suprotnom, kvadratna forma je degenerirana.

pozitivno određen(ili strogo pozitivno) ako

j ( x) > 0 , za bilo koga x = (x 1 , x 2 , …, x n), osim x = (0, 0, …, 0).

Matrica ALI pozitivno određeni kvadratni oblik j ( x) naziva se i pozitivno određeno. Prema tome, pozitivno određena kvadratna forma odgovara jedinstvenoj pozitivno određenoj matrici i obrnuto.

Kvadratni oblik (1) naziva se negativno određen(ili strogo negativno) ako

j ( x) < 0, для любого x = (x 1 , x 2 , …, x n), Osim x = (0, 0, …, 0).

Slično kao gore, negativno-određena kvadratna matrica također se naziva negativno-određena.

Dakle, pozitivno (negativno) određena kvadratna forma j ( x) dostiže minimalnu (maksimalnu) vrijednost j ( X*) = 0 za X* = (0, 0, …, 0).

Imajte na umu da većina kvadratnih oblika nije predznačno određena, to jest, nisu ni pozitivne ni negativne. Takvi kvadratni oblici nestaju ne samo u ishodištu koordinatnog sustava, već iu drugim točkama.

Kada n> 2, potrebni su posebni kriteriji za provjeru predznaka definiranosti kvadratnog oblika. Razmotrimo ih.

Major Minors kvadratni oblik nazivamo minorima:

odnosno radi se o minorima reda 1, 2, …, n matrice ALI, koji se nalazi u gornjem lijevom kutu, posljednji od njih podudara se s determinantom matrice ALI.

Kriterij pozitivne određenosti (Sylvesterov kriterij)

x) = x T Ah je pozitivno određena, potrebno je i dovoljno da svi glavni minori matrice ALI bili pozitivni, odnosno: M 1 > 0, M 2 > 0, …, M n > 0. Kriterij negativne izvjesnosti Da bi kvadratni oblik j ( x) = x T Ah je negativno određen, potrebno je i dovoljno da su njegovi glavni minori parnog reda pozitivni, a neparnog reda negativni, tj. M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)n

Neka su u prostoru zadani pravci l i m. Kroz neku točku A prostora povučemo prave l 1 || l i m 1 || m(Slika 138).

Primijetimo da se točka A može odabrati proizvoljno, točnije, može ležati na jednom od zadanih pravaca. Ako je ravno l i m sijeku, tada se A može uzeti kao točka presjeka ovih linija ( l 1 = l i m 1 = m).

Kut između neparalelnih pravaca l i m je vrijednost najmanjeg od susjednih kutova formiranih ravnim linijama koje se sijeku l 1 i m 1 (l 1 || l, m 1 || m). Pretpostavlja se da je kut između paralelnih pravaca jednak nuli.

Kut između pravaca l i m označeno s \(\widehat((l;m)) \). Iz definicije slijedi da ako se mjeri u stupnjevima, onda 0 ° < \(\widehat((l;m)) \) < 90°, a ako je u radijanima, onda 0 < \(\widehat((l;m)) \) < π / 2 .

Zadatak. Dana je kocka ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (slika 139).

Odredite kut između ravnih pravaca AB i DC 1 .

Ravno AB i DC 1 križanje. Kako je pravac DC paralelan s pravcem AB, kut između pravaca AB i DC 1 prema definiciji je jednak \(\widehat(C_(1)DC)\).

Stoga je \(\widehat((AB;DC_1))\) = 45°.

Direktno l i m nazvao okomito, ako \(\widehat((l;m)) \) = π / 2. Na primjer, u kocki

Izračunavanje kuta između pravaca.

Zadatak izračunavanja kuta između dviju ravnih linija u prostoru rješava se na isti način kao i u ravnini. Označimo s φ kut između pravaca l 1 i l 2 , a kroz ψ - kut između vektora smjera a i b ove ravne linije.

Onda ako

ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ >90° (sl. 206.6), tada je φ = 180° - ψ. Očito je da u oba slučaja vrijedi jednakost cos φ = |cos ψ|. Prema formuli (kosinus kuta između vektora a i b koji nisu nula jednak je skalarnom umnošku tih vektora podijeljenom s umnoškom njihovih duljina) imamo

$$ cos\psi = cos\widehat((a; b)) = \frac(a\cdot b)(|a|\cdot |b|) $$

Posljedično,

$$ cos\phi = \frac(|a\cdot b|)(|a|\cdot |b|) $$

Neka su pravci zadani svojim kanonskim jednadžbama

$$ \frac(x-x_1)(a_1)=\frac(y-y_1)(a_2)=\frac(z-z_1)(a_3) \;\; i \;\; \frac(x-x_2)(b_1)=\frac(y-y_2)(b_2)=\frac(z-z_2)(b_3) $$

Zatim se pomoću formule određuje kut φ između pravaca

$$ cos\phi = \frac(|a_(1)b_1+a_(2)b_2+a_(3)b_3|)(\sqrt((a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2 )\sqrt((b_1)^2+(b_2)^2+(b_3)^2)) (1)$$

Ako je jedna od linija (ili obje) dana nekanonskim jednadžbama, tada za izračun kuta trebate pronaći koordinate vektora smjera tih linija, a zatim upotrijebiti formulu (1).

Zadatak 1. Izračunaj kut između pravaca

$$ \frac(x+3)(-\sqrt2)=\frac(y)(\sqrt2)=\frac(z-7)(-2) \;\;i\;\; \frac(x)(\sqrt3)=\frac(y+1)(\sqrt3)=\frac(z-1)(\sqrt6) $$

Vektori smjera ravnih linija imaju koordinate:

a \u003d (-√2; √2; -2), b = (√3 ; √3 ; √6 ).

Po formuli (1) nalazimo

$$ cos\phi = \frac(|-\sqrt6+\sqrt6-2\sqrt6|)(\sqrt(2+2+4)\sqrt(3+3+6))=\frac(2\sqrt6)( 2\sqrt2\cdot 2\sqrt3)=\frac(1)(2) $$

Stoga je kut između ovih pravaca 60°.

Zadatak 2. Izračunaj kut između pravaca

$$ \begin(cases)3x-12z+7=0\\x+y-3z-1=0\end(cases) i \begin(cases)4x-y+z=0\\y+z+1 =0\kraj(slučajevi) $$

Iza vektora vodiča a uzeti prvu liniju vektorski proizvod normalni vektori n 1 = (3; 0; -12) i n 2 = (1; 1; -3) ravnine koje definiraju ovu liniju. Po formuli \(=\begin(vmatrix) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end(vmatrix) \) dobivamo

$$ a==\begin(vmatrix) i & j & k \\ 3 & 0 & -12 \\ 1 & 1 & -3 \end(vmatrix)=12i-3i+3k $$

Slično, nalazimo vektor smjera druge ravne linije:

$$ b=\begin(vmatrix) i & j & k \\ 4 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end(vmatrix)=-2i-4i+4k $$

Ali formula (1) izračunava kosinus željenog kuta:

$$ cos\phi = \frac(|12\cdot (-2)-3(-4)+3\cdot 4|)(\sqrt(12^2+3^2+3^2)\sqrt(2 ^2+4^2+4^2))=0 $$

Stoga je kut između ovih pravaca 90°.

Zadatak 3. U trokutastoj piramidi MAVS bridovi MA, MB i MC međusobno su okomiti, (sl. 207);

njihove duljine su redom jednake 4, 3, 6. Točka D je sredina [MA]. Odredite kut φ između pravaca CA i DB.

Neka su SA i DB vektori smjera pravaca SA i DB.

Uzmimo točku M kao ishodište koordinata. Prema uvjetu zadatka imamo A (4; 0; 0), B(0; 0; 3), C(0; 6; 0), D (2; 0; 0). Prema tome \(\desna strelica(CA)\) = (4; - 6;0), \(\desna strelica(DB)\)= (-2; 0; 3). Koristimo formulu (1):

$$ cos\phi=\frac(|4\cdot (-2)+(-6)\cdot 0+0\cdot 3|)(\sqrt(16+36+0)\sqrt(4+0+9 )) $$

Prema tablici kosinusa nalazimo da je kut između ravnih linija CA i DB približno 72 °.

Neka su dva pravca l i m na ravnini u Kartezijevom koordinatnom sustavu zadana općim jednadžbama: l: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, m: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

Vektori normala na ove pravce: = (A 1 , B 1) - na pravac l,

= (A 2 , B 2) na pravac m.

Neka je j kut između pravaca l i m.

Kako su kutovi s međusobno okomitim stranicama ili jednaki ili zbrojem p, tada , tj. cos j = .

Dakle, dokazali smo sljedeći teorem.

Teorema. Neka je j kut između dviju ravnih linija u ravnini i neka su te prave zadane u Kartezijevom koordinatnom sustavu općim jednadžbama A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 i A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Tada je cos j = .

Vježbe.

1) Izvedite formulu za izračunavanje kuta između pravaca ako je:

(1) obje su linije zadane parametarski; (2) obje su linije dane kanonskim jednadžbama; (3) jedan pravac je zadan parametrički, drugi pravac – općom jednadžbom; (4) obje su linije dane jednadžbom nagiba.

2) Neka je j kut između dviju ravnih linija u ravnini i neka su te prave zadane kartezijevom koordinatnom sustavu jednadžbama y = k 1 x + b 1 i y =k 2 x + b 2 .

Tada je tan j = .

3) Istražite relativni položaj dviju linija zadanih općim jednadžbama u Kartezijevom koordinatnom sustavu i ispunite tablicu:

Udaljenost od točke do pravca u ravnini.

Neka je pravac l na ravnini u Kartezijevom koordinatnom sustavu dan općom jednadžbom Ax + By + C = 0. Odredite udaljenost od točke M(x 0 , y 0) do pravca l.

Udaljenost od točke M do pravca l je duljina okomice HM (H n l, HM ^ l).

Vektor i vektor normale na pravac l kolinearni su, pa je | | = | | | | i | | = .

Neka su koordinate točke H (x,y).

Kako točka H pripada pravcu l, onda je Ax + By + C = 0 (*).

Koordinate vektora i: = (x 0 - x, y 0 - y), = (A, B).

| | = = =

(C = -Ax - By , vidi (*))

Teorema. Neka je pravac l zadan u Kartezijevom koordinatnom sustavu općom jednadžbom Ax + By + C = 0. Tada se udaljenost od točke M(x 0 , y 0) do tog pravca izračunava po formuli: r (M; l) = .

Vježbe.

1) Izvedite formulu za izračunavanje udaljenosti od točke do pravca ako je: (1) pravac zadan parametrički; (2) pravac je dan kanonskim jednadžbama; (3) pravac je dan jednadžbom nagiba.

2) Napišite jednadžbu kružnice tangente na pravac 3x - y = 0 sa središtem u Q(-2,4).

3) Napišite jednadžbe pravaca koji kutove nastale sjecištem pravaca 2x + y - 1 = 0 i x + y + 1 = 0 dijele na pola.

§ 27. Analitička definicija ravnine u prostoru

Definicija. Vektor normale na ravninu nazvat ćemo vektor različit od nule, čiji je bilo koji predstavnik okomit na zadanu ravninu.

Komentar. Jasno je da ako je barem jedan predstavnik vektora okomit na ravninu, tada su svi ostali predstavnici vektora okomiti na tu ravninu.

Neka kartezijanski sustav koordinate.

Neka je zadana ravnina a, = (A, B, C) – vektor normale na tu ravninu, točka M (x 0 , y 0 , z 0) pripada ravnini a.

Za bilo koju točku N(x, y, z) ravnine a, vektori i su ortogonalni, tj. skalarni proizvod jednako nuli: = 0. Napišimo posljednju jednakost u koordinatama: A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0.

Neka je -Ax 0 - By 0 - Cz 0 = D, tada je Ax + By + Cz + D = 0.

Uzmimo točku K (x, y) tako da je Ax + By + Cz + D \u003d 0. Budući da je D \u003d -Ax 0 - By 0 - Cz 0, tada A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0. Budući da su koordinate usmjerenog segmenta = (x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 ), posljednja jednakost znači da je ^ , pa prema tome i K n a.

Dakle, dokazali smo sljedeću teoremu:

Teorema. Bilo koja ravnina u prostoru u Kartezijevom koordinatnom sustavu može se definirati jednadžbom oblika Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0), gdje su (A, B, C) koordinate vektora normale na ovu ravninu.

Vrijedi i obrnuto.

Teorema. Svaka jednadžba oblika Ax + By + Cz + D \u003d 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) u Kartezijevom koordinatnom sustavu definira određenu ravninu, dok su (A, B, C) koordinate vektor normale na ovu ravninu.

Dokaz.

Uzmimo točku M (x 0 , y 0 , z 0) tako da je Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D = 0 i vektor = (A, B, C) ( ≠ q).

Točkom M okomito na vektor prolazi ravnina (i to samo jedna). Prema prethodnom teoremu, ova ravnina je dana jednadžbom Ax + By + Cz + D = 0.

Definicija. Jednadžba oblika Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) naziva se opća jednadžba ravnine.

Primjer.

Napišimo jednadžbu ravnine koja prolazi kroz točke M (0.2.4), N (1,-1.0) i K (-1.0.5).

1. Odredite koordinate vektora normale na ravninu (MNK). Budući da vektorski umnožak ´ nije ortogonalno kolinearni vektori i , tada je vektor kolinearan ´ .

= (1, -3, -4), = (-1, -2, 1);

´ = ,

´ = (-11, 3, -5).

Dakle, kao normalni vektor uzmite vektor = (-11, 3, -5).

2. Iskoristimo sada rezultate prvog teorema:

jednadžba ove ravnine A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0, gdje su (A, B, C) koordinate normalnog vektora, (x 0 , y 0 , z 0) – koordinate točke koja leži u ravnini (na primjer, točka M).

11(x - 0) + 3(y - 2) - 5(z - 4) = 0

11x + 3y - 5z + 14 = 0

Odgovor: -11x + 3y - 5z + 14 = 0.

Vježbe.

1) Napiši jednadžbu ravnine ako

(1) ravnina prolazi točkom M (-2,3,0) paralelno s ravninom 3x + y + z = 0;

(2) ravnina sadrži (Ox) os i okomita je na ravninu x + 2y – 5z + 7 = 0.

2) Napiši jednadžbu ravnine koja prolazi kroz tri zadane točke.

§ 28. Analitička specifikacija poluprostora*

Komentar*. Neka se popravi neki avion. Pod, ispod poluprostor razumjet ćemo skup točaka koje leže s jedne strane zadane ravnine, odnosno dvije točke leže u istom poluprostoru ako segment koji ih povezuje ne siječe zadanu ravninu. Ovaj avion se zove granica ovog poluprostora. Uniju zadane ravnine i poluprostora nazvat ćemo zatvoreni poluprostor.

Neka je Kartezijev koordinatni sustav fiksiran u prostoru.

Teorema. Neka je ravnina a dana općom jednadžbom Ax + By + Cz + D = 0. Tada je jedan od dva poluprostora na koje ravnina a dijeli prostor dan nejednakošću Ax + By + Cz + D > 0 , a drugi poluprostor zadan je nejednakošću Ax + By + Cz + D< 0.

Dokaz.

Nacrtajmo vektor normale = (A, B, S) na ravninu a iz točke M (x 0 , y 0 , z 0) koja leži na ovoj ravnini: = , M n a, MN ^ a. Ravnina dijeli prostor na dva poluprostora: b 1 i b 2 . Jasno je da točka N pripada jednom od tih poluprostora. Bez gubitka općenitosti, pretpostavljamo da je N n b 1 .

Dokažimo da je poluprostor b 1 definiran nejednakošću Ax + By + Cz + D > 0.

1) Uzmimo točku K(x,y,z) u poluprostoru b 1 . Kut Ð NMK je kut između vektora i oštar je, stoga je skalarni umnožak ovih vektora pozitivan: > 0. Zapišimo ovu nejednadžbu u koordinatama: A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) > 0, tj. Ax + By + Cy - Ax 0 - By 0 - C z 0 > 0.

Budući da je M n b 1 , tada je Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0, dakle -Ax 0 - By 0 - C z 0 = D. Stoga se posljednja nejednakost može napisati na sljedeći način: Ax + By + Cz + D > 0.

2) Uzmite točku L(x,y) tako da je Ax + By + Cz + D > 0.

Prepišimo nejednadžbu, zamjenjujući D s (-Ax 0 - By 0 - C z 0) (budući da je M n b 1, tada je Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0): A(x - x 0 ) + B(y - y 0) + C(z - z 0) > 0.

Vektor s koordinatama (x - x 0 ,y - y 0 , z - z 0) je vektor , pa je izraz A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) može se shvatiti kao skalarni produkt vektora i . Budući da je skalarni umnožak vektora i pozitivan, kut između njih je oštar i točka L n b 1 .

Slično se može dokazati da je poluprostor b 2 dan nejednadžbom Ax + By + Cz + D< 0.

Opaske.

1) Jasno je da gornji dokaz ne ovisi o izboru točke M u ravnini a.

2) Jasno je da isti poluprostor može biti definiran različitim nejednadžbama.

Vrijedi i obrnuto.

Teorema. Bilo koja linearna nejednadžba oblika Ax + By + Cz + D > 0 (ili Ax + By + Cz + D< 0) (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) задает в пространстве в декартовой системе координат полупространство с границей Ax + By + Cz + D = 0.

Dokaz.

Jednadžba Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) u prostoru definira neku ravninu a (vidi § ...). Kao što je dokazano u prethodnom teoremu, jedan od dva poluprostora na koje ravnina dijeli prostor dan je nejednakošću Ax Ax + By + Cz + D > 0.

Opaske.

1) Jasno je da se zatvoreni poluprostor može definirati nestrogom linearnom nejednadžbom, a svaka nestriktna linearna nejednadžba u Kartezijevom koordinatnom sustavu definira zatvoreni poluprostor.

2) Bilo koji konveksni poliedar može se definirati kao sjecište zatvorenih poluprostora (čije su granice ravnine koje sadrže plohe poliedra), to jest, analitički, sustavom linearnih nestriktnih nejednadžbi.

Vježbe.

1) Dokažite dva navedena teorema za proizvoljan afini koordinatni sustav.

2) Je li točno obrnuto, da svaki sustav nestriktnih linearnih nejednakosti definira konveksni poligon?

Vježba.

1) Istražite međusobni položaj dviju ravnina zadan općim jednadžbama u Kartezijevom koordinatnom sustavu i ispunite tablicu.

KUT IZMEĐU RAVNINA

Razmotrimo dvije ravnine α 1 i α 2 dane redom jednadžbama:

Pod, ispod kut između dva plana razumjet ćemo jedan od diedralni kutovi koju čine te ravnine. Očito je da je kut između normalnih vektora i ravnina α 1 i α 2 jednak jednom od naznačenih susjednih diedarskih kutova odn. . Zato . Jer i , onda

.

Primjer. Odredite kut između ravnina x+2g-3z+4=0 i 2 x+3g+z+8=0.

Uvjet paralelnosti dviju ravnina.

Dvije ravnine α 1 i α 2 su paralelne ako i samo ako su njihovi normalni vektori i paralelni, pa stoga .

Dakle, dvije ravnine su paralelne jedna s drugom ako i samo ako su koeficijenti na odgovarajućim koordinatama proporcionalni:

ili

Uvjet okomitosti ravnina.

Jasno je da su dvije ravnine okomite ako i samo ako su njihovi normalni vektori okomiti, pa prema tome, ili .

Na ovaj način, .

Primjeri.

DIREKTNO U PROSTORU.

VEKTORSKA JEDNADŽBA IZRAVNA.

PARAMETRIJSKE JEDNADŽBE DIRECT

Položaj pravca u prostoru potpuno je određen zadavanjem bilo koje njegove fiksne točke M 1 i vektor paralelan s tim pravcem.

Vektor paralelan pravoj crti zove se vođenje vektor ove linije.

Pa neka ravno l prolazi kroz točku M 1 (x 1 , g 1 , z 1) koji leži na pravoj liniji paralelnoj s vektorom .

Promotrimo proizvoljnu točku M(x,y,z) na ravnoj liniji. Sa slike se vidi da .

Vektori i su kolinearni, pa postoji takav broj t, što , gdje je množitelj t može uzeti bilo koju brojčanu vrijednost ovisno o položaju točke M na ravnoj liniji. Faktor t naziva se parametar. Označavanje radijus vektora točaka M 1 i M redom, kroz i , dobivamo . Ova se jednadžba zove vektor jednadžba ravne linije. Pokazuje da svaka vrijednost parametra t odgovara radijus vektoru neke točke M ležeći na ravnoj liniji.

Ovu jednadžbu zapisujemo u koordinatnom obliku. Primijeti da , a odavde

Dobivene jednadžbe nazivaju se parametarski jednadžbe ravnih linija.

Prilikom promjene parametra t promjene koordinata x, g i z i točka M kreće se pravocrtno.

KANONIČKE JEDNADŽBE IZRAVNE

Neka M 1 (x 1 , g 1 , z 1) - točka koja leži na ravnoj liniji l, i je njegov vektor smjera. Ponovno uzmite proizvoljnu točku na ravnoj liniji M(x,y,z) i razmotriti vektor .

Jasno je da su vektori i kolinearni, stoga njihove odgovarajuće koordinate moraju biti proporcionalne

– kanonski jednadžbe ravnih linija.

Napomena 1. Imajte na umu da se kanonske jednadžbe pravca mogu dobiti iz parametarskih jednadžbi eliminacijom parametra t. Doista, iz parametarskih jednadžbi dobivamo ili .

Primjer. Napiši jednadžbu pravca na parametarski način.

Označiti , stoga x = 2 + 3t, g = –1 + 2t, z = 1 –t.

Napomena 2. Neka pravac bude okomit na jednu od koordinatnih osi, na primjer, os Vol. Tada je vektor smjera pravca okomit Vol, Posljedično, m=0. Posljedično, parametarske jednadžbe ravne linije poprimaju oblik

Eliminiranje parametra iz jednadžbi t, dobivamo jednadžbe ravne linije u obliku

Međutim, iu ovom slučaju pristajemo formalno napisati kanonske jednadžbe pravca u obliku . Dakle, ako je nazivnik jednog od razlomaka nula, to znači da je pravac okomit na odgovarajuću koordinatnu os.

Slično, kanoničke jednadžbe odgovara ravnoj liniji okomitoj na osi Vol i Joj ili paralelne osi Oz.

Primjeri.

OPĆE JEDNADŽBE DIREKTNA CRTA KAO SJEČIŠTE DVIJE RAVNINE

Kroz svaki pravac u prostoru prolazi beskonačan broj ravnina. Bilo koja dva od njih, sijekući se, definiraju ga u prostoru. Stoga su jednadžbe bilo koje dvije takve ravnine, promatrane zajedno, jednadžbe ovog pravca.

Općenito, bilo koje dvije neparalelne ravnine dane općim jednadžbama

odrediti njihovu sjecišnu liniju. Ove se jednadžbe nazivaju opće jednadžbe ravno.

Primjeri.

Konstruirajte ravnu liniju zadanu jednadžbama

Za konstrukciju pravca dovoljno je pronaći bilo koje dvije njegove točke. Najlakši način je odabrati točke sjecišta pravca s koordinatnim ravninama. Na primjer, točka presjeka s ravninom xOy dobivamo iz jednadžbi ravne linije, uz pretpostavku z= 0:

Rješavajući ovaj sustav, nalazimo točku M 1 (1;2;0).

Slično, pod pretpostavkom g= 0, dobivamo točku presjeka pravca s ravninom xOz:

Od općih jednadžbi pravca može se prijeći na njegove kanoničke ili parametarske jednadžbe. Da biste to učinili, morate pronaći neku točku M 1 na pravcu i vektor smjera pravca.

Koordinate točke M 1 dobivamo iz ovog sustava jednadžbi, dajući jednoj od koordinata proizvoljnu vrijednost. Da biste pronašli vektor smjera, imajte na umu da ovaj vektor mora biti okomit na oba normalna vektora i . Prema tome, za vektor smjera pravca l možete uzeti umnožak normalnih vektora:

.

Primjer. voditi opće jednadžbe ravno kanonskom obliku.

Pronađite točku na ravnoj liniji. Da bismo to učinili, odabiremo proizvoljno jednu od koordinata, na primjer, g= 0 i riješite sustav jednadžbi:

Normalni vektori ravnina koje definiraju pravac imaju koordinate Stoga će vektor smjera biti ravan

. Posljedično, l: .

KUT IZMEĐU PRAVACA

kutak između ravnih linija u prostoru nazvat ćemo bilo koji od susjednih kutova što ih tvore dvije prave povučene kroz proizvoljnu točku paralelnu s podatkom.

Neka su u prostoru date dvije ravne linije:

Očito, kut φ između pravaca može se uzeti kao kut između njihovih vektora smjera i . Budući da , onda prema formuli za kosinus kuta između vektora dobivamo

Ovaj materijal posvećen je konceptu kao što je kut između dviju ravnih linija koje se presijecaju. U prvom odlomku objasnit ćemo što je to i prikazati ilustracijama. Zatim ćemo analizirati kako možete pronaći sinus, kosinus ovog kuta i samog kuta (zasebno ćemo razmotriti slučajeve s ravninom i trodimenzionalnim prostorom), dat ćemo potrebne formule i pokazati primjerima kako se točno primjenjuju u praksi.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Da bismo razumjeli što je kut nastao na sjecištu dvaju pravaca, trebamo se prisjetiti same definicije kuta, okomice i sjecišne točke.

Definicija 1

Dva pravca nazivamo sijekućima ako ga imaju zajednička točka. Ta se točka naziva sjecište dviju linija.

Svaka linija je točkom sjecišta podijeljena na zrake. U ovom slučaju obje linije tvore 4 kuta, od kojih su dva okomita i dva susjedna. Ako znamo mjeru jednog od njih, onda možemo odrediti i ostale preostale.

Recimo da znamo da je jedan od kutova jednak α. U tom slučaju, kut koji je okomit na nju također će biti jednak α. Da bismo pronašli preostale kutove, trebamo izračunati razliku 180 ° - α . Ako je α jednako 90 stupnjeva, tada će svi kutovi biti pravi. Pravci koji se sijeku pod pravim kutom nazivaju se okomitima (konceptu okomitosti posvećen je poseban članak).

Pogledajte sliku:

Prijeđimo na formulaciju glavne definicije.

Definicija 2

Kut koji čine dvije crte koje se sijeku je mjera manjeg od 4 kuta koji tvore te dvije crte.

Iz definicije se mora izvesti važan zaključak: veličina kuta u ovom slučaju bit će izražena bilo kojim realnim brojem u intervalu (0 , 90 ] . Ako su linije okomite, tada će kut između njih u svakom slučaju biti jednako 90 stupnjeva.

Sposobnost pronalaženja mjere kuta između dviju linija koje se sijeku korisna je za rješavanje mnogih praktičnih problema. Metoda rješenja može se odabrati između nekoliko opcija.

Za početak, možemo uzeti geometrijske metode. Ako znamo nešto o dodatnim kutovima, onda ih možemo povezati s kutom koji nam je potreban pomoću svojstava jednakih ili sličnih oblika. Na primjer, ako znamo stranice trokuta i trebamo izračunati kut između pravaca na kojima se te stranice nalaze, tada je kosinusni teorem prikladan za rješavanje. Ako imamo u stanju pravokutni trokut, tada će nam za izračune trebati i znanje o sinusima, kosinusima i tangensima kuta.

Metoda koordinata također je vrlo zgodna za rješavanje problema ove vrste. Objasnimo kako ga pravilno koristiti.

Imamo pravokutni (kartezijev) koordinatni sustav O x y s dvije ravne crte. Označimo ih slovima a i b. U ovom slučaju, ravne linije mogu se opisati bilo kojom jednadžbom. Izvorni pravci imaju sjecište M . Kako odrediti željeni kut (označimo ga α) između ovih pravaca?

Počnimo s formulacijom osnovnog principa pronalaženja kuta pod zadanim uvjetima.

Znamo da su pojmovi kao što su usmjeravanje i normalni vektor usko povezani s pojmom ravne linije. Ako imamo jednadžbu neke ravne linije, iz nje možemo uzeti koordinate tih vektora. To možemo učiniti za dvije linije koje se sijeku odjednom.

Kut koji čine dvije linije koje se sijeku može se pronaći pomoću:

• kut između vektora smjera;
• kut između normalnih vektora;
• kut između vektora normale jednog pravca i vektora smjera drugog.

Sada pogledajmo svaku metodu zasebno.

1. Pretpostavimo da imamo pravac a s vektorom smjera a → = (a x , a y) i pravac b s vektorom smjera b → (b x , b y) . Odvojimo sada dva vektora a → i b → iz točke presjeka. Nakon toga ćemo vidjeti da će se nalaziti svaki na svojoj liniji. Zatim imamo četiri opcije za njihov relativni položaj. Pogledajte ilustraciju:

Ako kut između dva vektora nije tup, tada će to biti kut koji nam treba između pravaca a i b koji se sijeku. Ako je tup, tada će željeni kut biti jednak kutu susjednom kutu a → , b → ^ . Dakle, α = a → , b → ^ ako je a → , b → ^ ≤ 90 ° , i α = 180 ° - a → , b → ^ ako je a → , b → ^ > 90 ° .

Na temelju činjenice da su kosinusi jednakih kutova jednaki, možemo prepisati dobivene jednakosti na sljedeći način: cos α = cos a → , b → ^ ako je a → , b → ^ ≤ 90 ° ; cos α = cos 180 ° - a → , b → ^ = - cos a → , b → ^ ako je a → , b → ^ > 90 ° .

U drugom slučaju korištene su redukcijske formule. Na ovaj način,

cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Napišimo posljednju formulu riječima:

Definicija 3

Kosinus kuta koji čine dvije crte koje se sijeku bit će jednak modulu kosinusa kuta između njegovih vektora smjera.

Opći oblik formule za kosinus kuta između dva vektora a → = (a x, a y) i b → = (b x, b y) izgleda ovako:

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Iz nje možemo izvesti formulu za kosinus kuta između dva zadana pravca:

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Tada se sam kut može pronaći pomoću sljedeće formule:

α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Ovdje su a → = (a x , a y) i b → = (b x , b y) vektori smjera zadanih pravaca.

Navedimo primjer rješenja problema.

Primjer 1

U pravokutnom koordinatnom sustavu na ravnini su zadane dvije pravce a i b koje se sijeku. Mogu se opisati parametarskim jednadžbama x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R i x 5 = y - 6 - 3 . Izračunajte kut između ovih pravaca.

Riješenje

U uvjetu imamo parametarsku jednadžbu, što znači da za ovu ravnu liniju možemo odmah napisati koordinate njenog vektora smjera. Da bismo to učinili, moramo uzeti vrijednosti koeficijenata na parametru, tj. pravac x = 1 + 4 λ y = 2 + λ λ ∈ R imat će vektor smjera a → = (4 , 1) .

Drugi je redak opisan korištenjem kanonska jednadžba x 5 = y - 6 - 3 . Ovdje možemo uzeti koordinate iz nazivnika. Dakle, ovaj pravac ima vektor smjera b → = (5 , - 3) .

Zatim nastavljamo izravno s pronalaženjem kuta. Da biste to učinili, jednostavno zamijenite dostupne koordinate dvaju vektora u gornju formulu α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 . Dobivamo sljedeće:

α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45°

Odgovor: Ove linije tvore kut od 45 stupnjeva.

Sličan problem možemo riješiti pronalaženjem kuta između normalnih vektora. Ako imamo pravac a s normalnim vektorom n a → = (n a x , n a y) i pravac b s normalnim vektorom n b → = (n b x , n b y) , tada će kut između njih biti jednak kutu između n a → i n b → ili kut koji će biti susjedan n a → , n b → ^ . Ova metoda je prikazana na slici:

Formule za izračunavanje kosinusa kuta između linija koje se sijeku i samog kuta pomoću koordinata normalnih vektora izgledaju ovako:

cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2

Ovdje n a → i n b → označavaju normalne vektore dvaju zadanih pravaca.

Primjer 2

Dvije ravne crte zadane su u pravokutnom koordinatnom sustavu pomoću jednadžbi 3 x + 5 y - 30 = 0 i x + 4 y - 17 = 0 . Pronađite sinus, kosinus kuta između njih i veličinu samog kuta.

Riješenje

Izvorne ravne linije dane su pomoću jednadžbi normalnih ravnih linija oblika A x + B y + C = 0 . Označimo normalni vektor n → = (A , B) . Nađimo koordinate prvog vektora normale za jedan pravac i zapišimo ih: n a → = (3 , 5) . Za drugi pravac x + 4 y - 17 = 0 vektor normale će imati koordinate n b → = (1 , 4) . Sada dobivene vrijednosti dodajte formuli i izračunajte ukupno:

cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

Ako znamo kosinus kuta, tada možemo izračunati njegov sinus pomoću osnove trigonometrijski identitet. Budući da kut α koji čine ravne linije nije tup, tada je sin α \u003d 1 - cos 2 α \u003d 1 - 23 2 34 2 \u003d 7 2 34.

U ovom slučaju je α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34 .

Odgovor: cos α = 23 2 34 , sin α = 7 2 34 , α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

Analizirajmo posljednji slučaj - pronalaženje kuta između pravaca, ako znamo koordinate usmjeravajućeg vektora jednog pravca i normalnog vektora drugog.

Pretpostavimo da pravac a ima vektor smjera a → = (a x , a y) , a pravac b ima vektor normale n b → = (n b x , n b y) . Moramo odgoditi ove vektore od točke presjeka i razmotriti sve opcije za njihov relativni položaj. Vidi sliku:

Ako kut između zadanih vektora nije veći od 90 stupnjeva, ispada da će on komplementirati kut između a i b na pravi kut.

a → , n b → ^ = 90 ° - α ako je a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

Ako je manji od 90 stupnjeva, tada dobivamo sljedeće:

a → , n b → ^ > 90 ° , tada a → , n b → ^ = 90 ° + α

Koristeći pravilo jednakosti kosinusa jednakih kutova, pišemo:

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α za a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α pri a → , n b → ^ > 90 ° .

Na ovaj način,

sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Formulirajmo zaključak.

Definicija 4

Da biste pronašli sinus kuta između dviju linija koje se sijeku u ravnini, trebate izračunati modul kosinusa kuta između vektora smjera prve linije i vektora normale druge.

Zapišimo potrebne formule. Određivanje sinusa kuta:

sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Pronalaženje samog kuta:

α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Ovdje je a → vektor smjera prve linije, a n b → vektor normale druge.

Primjer 3

Dvije crte koje se sijeku dane su jednadžbama x - 5 = y - 6 3 i x + 4 y - 17 = 0 . Pronađite kut presjeka.

Riješenje

Koordinate vektora smjernice i normale uzimamo iz zadanih jednadžbi. Ispada da je a → = (- 5 , 3) ​​​​i n → b = (1 , 4) . Uzimamo formulu α \u003d a r c sin \u003d a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 i smatramo:

α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34

Imajte na umu da smo uzeli jednadžbe iz prethodnog problema i dobili potpuno isti rezultat, ali na drugačiji način.

Odgovor:α = a r c sin 7 2 34

Evo još jednog načina da pronađete željeni kut koristeći koeficijente nagiba zadanih linija.

Imamo pravac a koji je definiran u pravokutnom koordinatnom sustavu pomoću jednadžbe y = k 1 · x + b 1 i pravac b definiran kao y = k 2 · x + b 2 . Ovo su jednadžbe pravaca s nagibom. Da biste pronašli kut presjeka, koristite formulu:

α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 , gdje su k 1 i k 2 faktori nagiba zadane linije. Za dobivanje ovog zapisa korištene su formule za određivanje kuta kroz koordinate normalnih vektora.

Primjer 4

Postoje dvije ravne linije koje se sijeku u ravnini, dane jednadžbama y = - 3 5 x + 6 i y = - 1 4 x + 17 4 . Izračunajte kut presjeka.

Riješenje

Nagibi naših linija jednaki su k 1 = - 3 5 i k 2 = - 1 4 . Dodajmo ih formuli α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 i izračunajmo:

α = a r c cos - 3 5 - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 17 16 = a r c cos 23 2 34

Odgovor:α = a r c cos 23 2 34

U zaključcima ovog odlomka treba napomenuti da se ovdje navedene formule za pronalaženje kuta ne moraju učiti napamet. Da biste to učinili, dovoljno je znati koordinate vodilica i/ili normalnih vektora zadanih pravaca i moći ih odrediti iz različiti tipovi jednadžbe. Ali formule za izračunavanje kosinusa kuta bolje je zapamtiti ili zapisati.

Kako izračunati kut između linija koje se sijeku u prostoru

Izračun takvog kuta može se svesti na izračun koordinata vektora smjera i određivanje veličine kuta koji tvore ti vektori. Za takve primjere koristimo isto razmišljanje koje smo dali prije.

Recimo da imamo pravokutni koordinatni sustav koji se nalazi u 3D prostoru. Sadrži dva pravca a i b s presječnom točkom M . Da bismo izračunali koordinate vektora smjera, moramo znati jednadžbe tih pravaca. Označimo vektore smjera a → = (a x , a y , a z) i b → = (b x , b y , b z) . Za izračun kosinusa kuta između njih koristimo formulu:

cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Da bismo pronašli sam kut, potrebna nam je ova formula:

α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Primjer 5

Imamo ravnu liniju definiranu u 3D prostoru pomoću jednadžbe x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 . Poznato je da se siječe s osi O z. Izračunaj presječni kut i kosinus tog kuta.

Riješenje

Označimo kut koji treba izračunati slovom α. Zapišimo koordinate vektora smjera za prvi pravac - a → = (1 , - 3 , - 2) . Za primijenjenu os, možemo uzeti koordinatni vektor k → = (0 , 0 , 1) kao vodič. Dobili smo potrebne podatke i možemo ih dodati željenoj formuli:

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

Kao rezultat, dobili smo da će kut koji nam treba biti jednak a r c cos 1 2 = 45 °.

Odgovor: cos α = 1 2 , α = 45 ° .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter