Exemple de soluții. Ecuații cuadratice. Rezolvarea ecuațiilor pătratice complete

Sarcinile pentru o ecuație pătratică sunt studiate atât în ​​programa școlară, cât și în universități. Ele sunt înțelese ca ecuații de forma a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0, unde X- variabilă, a,b,c – constante; A<>0 . Problema este de a găsi rădăcinile ecuației.

Sensul geometric al ecuației pătratice

Graficul unei funcții care este reprezentată printr-o ecuație pătratică este o parabolă. Soluțiile (rădăcinile) unei ecuații pătratice sunt punctele de intersecție ale parabolei cu axa x. Rezultă că există trei cazuri posibile:
1) parabola nu are puncte de intersecție cu axa x. Aceasta înseamnă că este în planul superior cu ramurile în sus sau cel inferior cu ramurile în jos. În astfel de cazuri, ecuația pătratică nu are rădăcini reale (are două rădăcini complexe).

2) parabola are un punct de intersecție cu axa Ox. Un astfel de punct se numește vârful parabolei, iar ecuația pătratică din el își capătă valoarea minimă sau maximă. În acest caz, ecuația pătratică are o rădăcină reală (sau două rădăcini identice).

3) Ultimul caz este mai interesant în practică - există două puncte de intersecție ale parabolei cu axa absciselor. Aceasta înseamnă că există două rădăcini reale ale ecuației.

Pe baza analizei coeficienților la puterile variabilelor se pot trage concluzii interesante despre plasarea parabolei.

1) Dacă coeficientul a este mai mare decât zero, atunci parabola este îndreptată în sus, dacă este negativă, ramurile parabolei sunt îndreptate în jos.

2) Dacă coeficientul b este mai mare decât zero, atunci vârful parabolei se află în semiplanul stâng, dacă ia o valoare negativă, atunci în dreapta.

Derivarea unei formule pentru rezolvarea unei ecuații pătratice

Să transferăm constanta din ecuația pătratică

pentru semnul egal, obținem expresia

Înmulțiți ambele părți cu 4a

Pentru a obține un pătrat complet în stânga, adăugați b ^ 2 în ambele părți și efectuați transformarea

De aici găsim

Formula discriminantului și rădăcinilor ecuației pătratice

Discriminantul este valoarea expresiei radicalului.Dacă este pozitivă, atunci ecuația are două rădăcini reale, calculate prin formula Când discriminantul este zero, ecuația pătratică are o soluție (două rădăcini care coincid), care sunt ușor de obținut din formula de mai sus pentru D=0. Când discriminantul este negativ, nu există rădăcini reale. Cu toate acestea, pentru a studia soluțiile ecuației pătratice în plan complex, iar valoarea lor este calculată prin formula

teorema lui Vieta

Luați în considerare două rădăcini ale unei ecuații pătratice și construiți o ecuație pătratică pe baza lor.Teorema Vieta însăși decurge cu ușurință din notația: dacă avem o ecuație pătratică de forma atunci suma rădăcinilor sale este egală cu coeficientul p, luat cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor ecuației este egal cu termenul liber q. Formula pentru cele de mai sus va arăta ca Dacă constanta a din ecuația clasică este diferită de zero, atunci trebuie să împărțiți întreaga ecuație cu ea și apoi să aplicați teorema Vieta.

Schema ecuației pătratice pe factori

Să fie stabilită sarcina: să descompunem ecuația pătratică în factori. Pentru a o realiza, mai întâi rezolvăm ecuația (găsește rădăcinile). În continuare, înlocuim rădăcinile găsite în formula de extindere a ecuației pătratice.Această problemă va fi rezolvată.

Sarcini pentru o ecuație pătratică

Sarcina 1. Aflați rădăcinile unei ecuații pătratice

x^2-26x+120=0 .

Rezolvare: Notați coeficienții și înlocuiți în formula discriminantă

Rădăcina acestei valori este 14, este ușor să o găsiți cu un calculator sau să o amintiți cu o utilizare frecventă, totuși, pentru comoditate, la sfârșitul articolului vă voi oferi o listă de pătrate de numere care pot fi adesea găsite în astfel de sarcini.
Valoarea găsită este înlocuită în formula rădăcină

și primim

Sarcina 2. rezolva ecuatia

2x2+x-3=0.

Rezolvare: Avem o ecuație pătratică completă, scriem coeficienții și găsim discriminantul


Folosind formule binecunoscute, găsim rădăcinile ecuației pătratice

Sarcina 3. rezolva ecuatia

9x2 -12x+4=0.

Rezolvare: Avem o ecuație pătratică completă. Determinați discriminantul

Avem cazul când rădăcinile coincid. Găsim valorile rădăcinilor prin formula

Sarcina 4. rezolva ecuatia

x^2+x-6=0 .

Soluție: În cazurile în care există coeficienți mici pentru x, este recomandabil să se aplice teorema Vieta. Prin condiția sa, obținem două ecuații

Din a doua condiție, obținem că produsul trebuie să fie egal cu -6. Aceasta înseamnă că una dintre rădăcini este negativă. Avem următoarea pereche posibilă de soluții(-3;2), (3;-2) . Ținând cont de prima condiție, respingem a doua pereche de soluții.
Rădăcinile ecuației sunt

Sarcina 5. Aflați lungimile laturilor unui dreptunghi dacă perimetrul acestuia este de 18 cm și aria este de 77 cm 2.

Rezolvare: Jumătate din perimetrul unui dreptunghi este egal cu suma laturilor adiacente. Să notăm x - partea mai mare, apoi 18-x este latura sa mai mică. Aria unui dreptunghi este egală cu produsul acestor lungimi:
x(18x)=77;
sau
x 2 -18x + 77 \u003d 0.
Aflați discriminantul ecuației

Calculăm rădăcinile ecuației

În cazul în care un x=11, apoi 18x=7 , viceversa este de asemenea adevărată (dacă x=7, atunci 21-x=9).

Problema 6. Factorizați ecuația pătratică 10x 2 -11x+3=0.

Rezolvare: Calculați rădăcinile ecuației, pentru aceasta găsim discriminantul

Înlocuim valoarea găsită în formula rădăcinilor și calculăm

Aplicam formula de extindere a ecuatiei patratice in termeni de radacini

Extindem parantezele, obținem identitatea.

Ecuație pătratică cu parametru

Exemplul 1. Pentru ce valori ale parametrului A , ecuația (a-3) x 2 + (3-a) x-1 / 4 \u003d 0 are o rădăcină?

Rezolvare: Prin înlocuirea directă a valorii a=3, vedem că nu are soluție. În plus, vom folosi faptul că, cu un discriminant zero, ecuația are o rădăcină a multiplicității 2. Să scriem discriminantul

simplificați-l și echivalați cu zero

Am obținut o ecuație pătratică față de parametrul a, a cărei soluție este ușor de obținut folosind teorema Vieta. Suma rădăcinilor este 7, iar produsul lor este 12. Prin simpla enumerare, stabilim ca numerele 3.4 vor fi radacinile ecuatiei. Deoarece am respins deja soluția a=3 la începutul calculelor, singura corectă va fi - a=4. Astfel, pentru a = 4, ecuația are o rădăcină.

Exemplul 2. Pentru ce valori ale parametrului A , ecuația a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 are mai multe rădăcini?

Soluție: Luați în considerare mai întâi punctele singulare, acestea vor fi valorile a=0 și a=-3. Când a=0, ecuația va fi simplificată la forma 6x-9=0; x=3/2 și va fi o rădăcină. Pentru a= -3 obținem identitatea 0=0 .
Calculați discriminantul

și afla valorile si pentru care este pozitiv

Din prima condiție obținem a>3. Pentru al doilea, găsim discriminantul și rădăcinile ecuației


Să definim intervalele în care funcția ia valori pozitive. Inlocuind punctul a=0 obtinem 3>0 . Deci, în afara intervalului (-3; 1/3) funcția este negativă. Nu uitați punctul a=0 care ar trebui exclus, deoarece ecuația originală are o rădăcină în ea.
Ca rezultat, obținem două intervale care satisfac condiția problemei

În practică vor exista multe sarcini similare, încercați să vă ocupați singur de sarcini și nu uitați să țineți cont de condițiile care se exclud reciproc. Studiați bine formulele de rezolvare a ecuațiilor pătratice, ele sunt destul de des necesare în calcule în diverse probleme și științe.

Acest subiect poate părea dificil la început din cauza multor formule simple. Nu numai că ecuațiile pătratice în sine au intrări lungi, dar rădăcinile se găsesc și prin discriminant. Există trei formule noi în total. Nu foarte ușor de reținut. Acest lucru este posibil numai după rezolvarea frecventă a unor astfel de ecuații. Atunci toate formulele vor fi reținute de la sine.

Vedere generală a ecuației pătratice

Aici se propune notarea lor explicită, atunci când se scrie mai întâi gradul cel mai mare, apoi - în ordine descrescătoare. Adesea există situații în care termenii sunt separati. Atunci este mai bine să rescrieți ecuația în ordinea descrescătoare a gradului variabilei.

Să introducem notația. Ele sunt prezentate în tabelul de mai jos.

Dacă acceptăm aceste notații, toate ecuațiile pătratice sunt reduse la următoarea notație.

Mai mult, coeficientul a ≠ 0. Fie ca această formulă să fie notată cu numărul unu.

Când este dată ecuația, nu este clar câte rădăcini vor fi în răspuns. Pentru că una dintre cele trei opțiuni este întotdeauna posibilă:

• soluția va avea două rădăcini;
• răspunsul va fi un număr;
• Ecuația nu are rădăcini deloc.

Și deși decizia nu este adusă la sfârșit, este dificil de înțeles care dintre opțiuni va cădea într-un anumit caz.

Tipuri de înregistrări ale ecuațiilor pătratice

Sarcinile pot avea intrări diferite. Ele nu vor arăta întotdeauna ca formula generală a unei ecuații pătratice. Uneori îi vor lipsi anumiți termeni. Ceea ce a fost scris mai sus este ecuația completă. Dacă eliminați al doilea sau al treilea termen din el, obțineți altceva. Aceste înregistrări sunt numite și ecuații pătratice, doar incomplete.

Mai mult decât atât, pot dispărea doar termenii pentru care coeficienții „b” și „c”. Numărul „a” nu poate fi egal cu zero în nicio circumstanță. Pentru că în acest caz formula devine ecuație liniară. Formulele pentru forma incompletă a ecuațiilor vor fi următoarele:

Deci, există doar două tipuri, pe lângă cele complete, există și ecuații pătratice incomplete. Fie prima formulă numărul doi, iar al doilea număr trei.

Discriminantul și dependența numărului de rădăcini de valoarea acestuia

Acest număr trebuie cunoscut pentru a calcula rădăcinile ecuației. Poate fi întotdeauna calculată, indiferent de formula ecuației pătratice. Pentru a calcula discriminantul, trebuie să folosiți egalitatea scrisă mai jos, care va avea numărul patru.

După înlocuirea valorilor coeficienților în această formulă, puteți obține numere cu semne diferite. Dacă răspunsul este da, atunci răspunsul la ecuație va fi două rădăcini diferite. Cu un număr negativ, rădăcinile ecuației pătratice vor fi absente. Dacă este egal cu zero, răspunsul va fi unul.

Cum se rezolvă o ecuație pătratică completă?

De fapt, luarea în considerare a acestei probleme a început deja. Pentru că mai întâi trebuie să găsești discriminantul. După ce se clarifică faptul că există rădăcini ale ecuației pătratice, iar numărul acestora este cunoscut, trebuie să utilizați formulele pentru variabile. Dacă există două rădăcini, atunci trebuie să aplicați o astfel de formulă.

Deoarece conține semnul „±”, vor exista două valori. Expresia de sub semnul rădăcinii pătrate este discriminantul. Prin urmare, formula poate fi rescrisă într-un mod diferit.

Formula cinci. Din aceeași înregistrare se poate observa că dacă discriminantul este zero, atunci ambele rădăcini vor lua aceleași valori.

Dacă soluția ecuațiilor pătratice nu a fost încă elaborată, atunci este mai bine să notați valorile tuturor coeficienților înainte de a aplica formulele discriminante și variabile. Mai târziu, acest moment nu va crea dificultăți. Dar la început există confuzie.

Cum se rezolvă o ecuație pătratică incompletă?

Totul este mult mai simplu aici. Chiar și nu este nevoie de formule suplimentare. Și nu veți avea nevoie de cele care au fost deja scrise pentru discriminant și necunoscut.

În primul rând, luați în considerare ecuația incompletă numărul doi. În această egalitate, se presupune că trebuie să scoată valoarea necunoscută din paranteză și să rezolve ecuația liniară, care va rămâne între paranteze. Răspunsul va avea două rădăcini. Primul este neapărat egal cu zero, deoarece există un factor format din variabila însăși. Al doilea se obține prin rezolvarea unei ecuații liniare.

Ecuația incompletă de la numărul trei se rezolvă prin transferarea numărului din partea stângă a ecuației la dreapta. Apoi trebuie să împărțiți cu coeficientul în fața necunoscutului. Rămâne doar să extrageți rădăcina pătrată și să nu uitați să o scrieți de două ori cu semne opuse.

Următoarele sunt câteva acțiuni care vă ajută să învățați cum să rezolvați tot felul de egalități care se transformă în ecuații pătratice. Ele vor ajuta elevul să evite greșelile din cauza neatenției. Aceste neajunsuri sunt cauza unor note slabe la studierea temei extinse „Ecuații quadrice (clasa a 8-a)”. Ulterior, aceste acțiuni nu vor trebui efectuate în mod constant. Pentru că va exista un obicei stabil.

• Mai întâi trebuie să scrieți ecuația în formă standard. Adică, mai întâi termenul cu cel mai mare grad al variabilei și apoi - fără grad și ultimul - doar un număr.

• Dacă un minus apare înaintea coeficientului „a”, atunci poate complica munca unui începător să studieze ecuațiile pătratice. E mai bine să scapi de el. În acest scop, toată egalitatea trebuie înmulțită cu „-1”. Aceasta înseamnă că toți termenii vor schimba semnul invers.

• În același mod, se recomandă să scapi de fracții. Pur și simplu înmulțiți ecuația cu factorul corespunzător, astfel încât numitorii să se anuleze.

Exemple

Este necesar să se rezolve următoarele ecuații pătratice:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Prima ecuație: x 2 - 7x \u003d 0. Este incompletă, prin urmare, se rezolvă așa cum este descris pentru formula numărul doi.

După bracketing, rezultă: x (x - 7) \u003d 0.

Prima rădăcină ia valoarea: x 1 \u003d 0. A doua va fi găsită din ecuația liniară: x - 7 \u003d 0. Este ușor de observat că x 2 \u003d 7.

A doua ecuație: 5x2 + 30 = 0. Din nou incompletă. Numai că se rezolvă așa cum este descris pentru a treia formulă.

După ce a transferat 30 la partea dreapta egalitate: 5x 2 = 30. Acum trebuie să împărțiți la 5. Rezultă: x 2 = 6. Răspunsurile vor fi numere: x 1 = √6, x 2 = - √6.

A treia ecuație: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Aici și mai jos, soluția ecuațiilor pătratice va începe prin a le rescrie într-o formă standard: - x 2 - 2x + 15 \u003d 0. Acum este timpul să folosiți a doua ecuație. sfat utilși înmulțiți totul cu minus unu. Se dovedește x 2 + 2x - 15 \u003d 0. Conform celei de-a patra formule, trebuie să calculați discriminantul: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. Este un număr pozitiv. Din cele spuse mai sus, reiese că ecuația are două rădăcini. Ele trebuie calculate conform celei de-a cincea formule. Potrivit acestuia, se dovedește că x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. Apoi x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5.

A patra ecuație x 2 + 8 + 3x \u003d 0 este convertită în aceasta: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Discriminantul său este egal cu această valoare: -23. Deoarece acest număr este negativ, răspunsul la această sarcină va fi următoarea intrare: „Nu există rădăcini”.

A cincea ecuație 12x + x 2 + 36 = 0 ar trebui rescrisă după cum urmează: x 2 + 12x + 36 = 0. După aplicarea formulei discriminantului, se obține numărul zero. Aceasta înseamnă că va avea o singură rădăcină, și anume: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

A șasea ecuație (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) necesită transformări, care constau în faptul că trebuie să aduci termeni similari, înainte de a deschide parantezele. În locul primei va exista o astfel de expresie: x 2 + 2x + 1. După egalitate, va apărea această intrare: x 2 + 3x + 2. După ce se numără termeni similari, ecuația va lua forma: x 2 - x \u003d 0. A devenit incomplet . Asemănător cu acesta a fost deja considerat puțin mai ridicat. Rădăcinile acestuia vor fi numerele 0 și 1.

LA societate modernă capacitatea de a efectua operații cu ecuații care conțin o variabilă pătrată poate fi utilă în multe domenii de activitate și este utilizată pe scară largă în practică în dezvoltările științifice și tehnice. Acest lucru poate fi evidențiat prin proiectarea navelor maritime și fluviale, aeronavelor și rachetelor. Cu ajutorul unor astfel de calcule, se determină traiectorii de mișcare a diferitelor corpuri, inclusiv a obiectelor spațiale. Exemplele cu soluția ecuațiilor pătratice sunt folosite nu numai în prognoza economică, în proiectarea și construcția clădirilor, ci și în cele mai obișnuite circumstanțe cotidiene. Acestea pot fi necesare în excursii în camping, la evenimente sportive, în magazine la cumpărături și în alte situații foarte frecvente.

Să împărțim expresia în factori componente

Gradul unei ecuații este determinat de valoarea maximă a gradului variabilei pe care o conține expresia dată. Dacă este egală cu 2, atunci o astfel de ecuație se numește ecuație pătratică.

Dacă vorbim în limbajul formulelor, atunci aceste expresii, indiferent de cum arată, pot fi întotdeauna aduse la forma când partea stângă a expresiei este formată din trei termeni. Printre acestea: ax 2 (adică o variabilă pătrat cu coeficientul său), bx (o necunoscută fără pătrat cu coeficientul său) și c (componentă liberă, adică un număr obișnuit). Toate acestea sunt egale pe partea dreaptă cu 0. În cazul în care un astfel de polinom nu are niciunul dintre termenii săi constitutivi, cu excepția axei 2, se numește ecuație pătratică incompletă. Exemplele cu rezolvarea unor astfel de probleme, în care valoarea variabilelor nu este greu de găsit, ar trebui luate în considerare mai întâi.

Dacă expresia arată în așa fel încât să existe doi termeni în partea dreaptă a expresiei, mai precis ax 2 și bx, cel mai ușor este să găsiți x prin parantezele variabilei. Acum ecuația noastră va arăta astfel: x(ax+b). Mai mult, devine evident că fie x=0, fie problema se reduce la găsirea unei variabile din următoarea expresie: ax+b=0. Acest lucru este dictat de una dintre proprietățile înmulțirii. Regula spune că produsul a doi factori are ca rezultat 0 numai dacă unul dintre ei este zero.

Exemplu

x=0 sau 8x - 3 = 0

Ca rezultat, obținem două rădăcini ale ecuației: 0 și 0,375.

Ecuațiile de acest fel pot descrie mișcarea corpurilor sub acțiunea gravitației, care au început să se miște dintr-un anumit punct, luat drept origine. Aici notația matematică ia următoarea formă: y = v 0 t + gt 2 /2. Înlocuind valorile necesare, echivalând partea dreaptă cu 0 și găsind posibile necunoscute, puteți afla timpul scurs din momentul în care corpul se ridică până în momentul în care acesta cade, precum și multe alte cantități. Dar despre asta vom vorbi mai târziu.

Factorizarea unei expresii

Regula descrisă mai sus face posibilă rezolvarea acestor probleme în cazuri mai complexe. Luați în considerare exemple cu soluția ecuațiilor pătratice de acest tip.

X2 - 33x + 200 = 0

Acest trinom pătrat este complet. În primul rând, transformăm expresia și o descompunem în factori. Există două dintre ele: (x-8) și (x-25) = 0. Ca rezultat, avem două rădăcini 8 și 25.

Exemplele cu rezolvarea ecuațiilor pătratice din clasa a 9-a permit acestei metode să găsească o variabilă în expresii nu numai de ordinul doi, ci chiar de ordinul al treilea și al patrulea.

De exemplu: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Când factorii din partea dreaptă în factori cu o variabilă, există trei dintre ei, adică (x + 1), (x-3) și (x + 3).

Ca urmare, devine evident că această ecuație are trei rădăcini: -3; -unu; 3.

Extragerea rădăcinii pătrate

Un alt caz ecuație incompletă al doilea ordin este o expresie exprimată în limbajul literelor în așa fel încât partea dreaptă să fie construită din componentele ax 2 și c. Aici, pentru a obține valoarea variabilei, termenul liber este transferat în partea dreaptă, iar după aceea, din ambele părți ale egalității, Rădăcină pătrată. Trebuie remarcat faptul că în acest caz există de obicei două rădăcini ale ecuației. Singurele excepții sunt egalitățile care nu conțin deloc termenul c, unde variabila este egală cu zero, precum și variantele de expresii când partea dreaptă se dovedește a fi negativă. În acest din urmă caz, nu există deloc soluții, deoarece acțiunile de mai sus nu pot fi efectuate cu rădăcini. Ar trebui luate în considerare exemple de soluții la ecuații pătratice de acest tip.

În acest caz, rădăcinile ecuației vor fi numerele -4 și 4.

Calculul suprafeței de teren

Necesitatea acestui gen de calcule a apărut în antichitate, deoarece dezvoltarea matematicii în acele vremuri îndepărtate s-a datorat în mare măsură necesității de a determina suprafețele și perimetrele terenurilor cu cea mai mare acuratețe.

Exemple cu rezolvarea ecuațiilor pătratice compilate pe baza unor probleme de acest fel ar trebui să fie luate în considerare și de noi.

Deci, să presupunem că există o bucată de pământ dreptunghiulară, a cărei lungime este cu 16 metri mai mare decât lățimea. Ar trebui să găsiți lungimea, lățimea și perimetrul sitului, dacă se știe că suprafața acestuia este de 612 m 2.

Trecând la treabă, la început vom face ecuația necesară. Notăm cu x lățimea secțiunii, apoi lungimea acesteia va fi (x + 16). Din ceea ce s-a scris rezultă că aria este determinată de expresia x (x + 16), care, conform condiției problemei noastre, este 612. Aceasta înseamnă că x (x + 16) \u003d 612.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice complete, iar această expresie este doar atât, nu se poate face în același mod. De ce? Deși partea stângă a acesteia conține încă doi factori, produsul lor nu este deloc egal cu 0, așa că aici sunt folosite alte metode.

Discriminant

În primul rând, facem transformările necesare, apoi aspect această expresie va arăta astfel: x 2 + 16x - 612 = 0. Aceasta înseamnă că am primit o expresie în forma corespunzătoare standardului specificat anterior, unde a=1, b=16, c=-612.

Acesta poate fi un exemplu de rezolvare a ecuațiilor pătratice prin discriminant. Aici se fac calculele necesare conform schemei: D = b 2 - 4ac. Această valoare auxiliară nu numai că face posibilă găsirea valorilor dorite în ecuația de ordinul doi, ci determină numărul Opțiuni. În cazul D>0, sunt două dintre ele; pentru D=0 există o rădăcină. În cazul D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Despre rădăcini și formula lor

În cazul nostru, discriminantul este: 256 - 4(-612) = 2704. Aceasta indică faptul că problema noastră are un răspuns. Dacă știți, soluția ecuațiilor pătratice trebuie continuată folosind formula de mai jos. Vă permite să calculați rădăcinile.

Aceasta înseamnă că în cazul prezentat: x 1 =18, x 2 =-34. A doua variantă în această dilemă nu poate fi o soluție, deoarece dimensiunile teren nu poate fi măsurat în valori negative, ceea ce înseamnă că x (adică lățimea site-ului) este de 18 m. De aici calculăm lungimea: 18 + 16 = 34, iar perimetrul 2 (34 + 18) = 104 ( m 2).

Exemple și sarcini

Continuăm studiul ecuațiilor pătratice. Mai jos vor fi date exemple și o soluție detaliată a câtorva dintre ele.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Să transferăm totul în partea stângă a egalității, să facem o transformare, adică să obținem forma ecuației, care se numește de obicei cea standard, și să o echivalăm cu zero.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Adăugând altele similare, determinăm discriminantul: D = 49 - 48 = 1. Deci ecuația noastră va avea două rădăcini. Le calculăm conform formulei de mai sus, ceea ce înseamnă că primul dintre ele va fi egal cu 4/3, iar al doilea 1.

2) Acum vom rezolva ghicitori de alt fel.

Să aflăm dacă există rădăcini x 2 - 4x + 5 = 1 aici? Pentru a obține un răspuns exhaustiv, aducem polinomul la forma familiară corespunzătoare și calculăm discriminantul. În acest exemplu, nu este necesar să se rezolve ecuația pătratică, deoarece esența problemei nu este deloc în aceasta. În acest caz, D \u003d 16 - 20 \u003d -4, ceea ce înseamnă că într-adevăr nu există rădăcini.

teorema lui Vieta

Este convenabil să se rezolve ecuații pătratice prin formulele de mai sus și prin discriminant, atunci când rădăcina pătrată este extrasă din valoarea acestuia din urmă. Dar acest lucru nu se întâmplă întotdeauna. Cu toate acestea, există multe modalități de a obține valorile variabilelor în acest caz. Exemplu: rezolvarea ecuațiilor pătratice folosind teorema lui Vieta. Este numit după un bărbat care a trăit în Franța din secolul al XVI-lea și a avut o carieră strălucitoare datorită talentului său matematic și a legăturilor sale la curte. Portretul lui poate fi văzut în articol.

Modelul pe care l-a observat celebrul francez a fost următorul. El a demonstrat că suma rădăcinilor ecuației este egală cu -p=b/a, iar produsul lor corespunde cu q=c/a.

Acum să ne uităm la sarcini specifice.

3x2 + 21x - 54 = 0

Pentru simplitate, să transformăm expresia:

x 2 + 7x - 18 = 0

Folosind teorema Vieta, aceasta ne va da următoarele: suma rădăcinilor este -7, iar produsul lor este -18. De aici obținem că rădăcinile ecuației sunt numerele -9 și 2. După ce am făcut o verificare, ne vom asigura că aceste valori ale variabilelor se potrivesc cu adevărat în expresie.

Graficul și ecuația unei parabole

Conceptele de funcție pătratică și ecuații pătratice sunt strâns legate. Exemple în acest sens au fost deja date anterior. Acum să ne uităm la câteva puzzle-uri matematice mai detaliat. Orice ecuație de tipul descris poate fi reprezentată vizual. O astfel de dependență, desenată sub forma unui grafic, se numește parabolă. Diferitele sale tipuri sunt prezentate în figura de mai jos.

Orice parabolă are un vârf, adică un punct din care ies ramurile sale. Dacă a>0, ele se ridică la infinit, iar când a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Reprezentările vizuale ale funcțiilor ajută la rezolvarea oricăror ecuații, inclusiv a celor pătratice. Această metodă se numește grafică. Iar valoarea variabilei x este coordonata abscisă în punctele în care linia graficului se intersectează cu 0x. Coordonatele vârfului pot fi găsite prin formula tocmai dată x 0 = -b / 2a. Și, înlocuind valoarea rezultată în ecuația inițială a funcției, puteți afla y 0, adică a doua coordonată a vârfului parabolei aparținând axei y.

Intersecția ramurilor parabolei cu axa absciselor

Există o mulțime de exemple cu rezolvarea ecuațiilor pătratice, dar există și modele generale. Să le luăm în considerare. Este clar că intersecția graficului cu axa 0x pentru a>0 este posibilă numai dacă y 0 ia valori negative. Și pentru a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Altfel D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Din graficul unei parabole, puteți determina și rădăcinile. Este adevărat și invers. Adică, dacă nu este ușor să obțineți o reprezentare vizuală a unei funcții pătratice, puteți echivala partea dreaptă a expresiei cu 0 și puteți rezolva ecuația rezultată. Și cunoscând punctele de intersecție cu axa 0x, este mai ușor de trasat.

Din istorie

Cu ajutorul ecuațiilor care conțin o variabilă pătrată, pe vremuri, nu numai că se făceau calcule matematice și se determina aria formelor geometrice. Anticii aveau nevoie de astfel de calcule pentru descoperiri grandioase în domeniul fizicii și astronomiei, precum și pentru a face prognoze astrologice.

După cum sugerează oamenii de știință moderni, locuitorii Babilonului au fost printre primii care au rezolvat ecuații patratice. S-a întâmplat cu patru secole înainte de apariția erei noastre. Desigur, calculele lor erau fundamental diferite de cele acceptate în prezent și s-au dovedit a fi mult mai primitive. De exemplu, matematicienii mesopotamieni nu aveau idee despre existența numerelor negative. De asemenea, nu erau familiarizați cu alte subtilități ale celor cunoscute oricărui student al timpului nostru.

Poate chiar mai devreme decât oamenii de știință din Babilon, înțeleptul din India, Baudhayama, a preluat soluția ecuațiilor pătratice. Acest lucru s-a întâmplat cu aproximativ opt secole înainte de apariția erei lui Hristos. Adevărat, ecuațiile de ordinul doi, metodele de rezolvare pe care le-a dat, erau cele mai simple. Pe lângă el, matematicienii chinezi erau și ei interesați de întrebări similare pe vremuri. În Europa, ecuațiile pătratice au început să fie rezolvate abia la începutul secolului al XIII-lea, dar mai târziu au fost folosite în lucrările lor de oameni de știință atât de mari precum Newton, Descartes și mulți alții.

Doar. După formule și reguli clare simple. La prima etapă

este necesar să aducem ecuația dată la forma standard, adică. la vedere:

Dacă ecuația vă este deja dată în această formă, nu trebuie să faceți prima etapă. Cel mai important lucru este corect

determina toti coeficientii A, bși c.

Formula pentru găsirea rădăcinilor unei ecuații pătratice.

Expresia de sub semnul rădăcinii se numește discriminant . După cum puteți vedea, pentru a găsi x, noi

utilizare doar a, b și c. Acestea. cote de la ecuație pătratică. Doar introduceți cu grijă

valorile a, b și cîn această formulă și numărați. Înlocuiește cu al lor semne!

De exemplu, în ecuația:

A =1; b = 3; c = -4.

Înlocuiți valorile și scrieți:

Exemplu aproape rezolvat:

Acesta este răspunsul.

Cele mai frecvente greșeli sunt confuzia cu semnele valorilor a, bși Cu. Mai degrabă, cu înlocuire

valori negative în formula de calcul a rădăcinilor. Aici se salvează formula detaliată

cu numere specifice. Dacă există probleme cu calculele, fă-o!

Să presupunem că trebuie să rezolvăm următorul exemplu:

Aici A = -6; b = -5; c = -1

Pictăm totul în detaliu, cu atenție, fără să lipsească nimic cu toate semnele și parantezele:

Adesea, ecuațiile pătratice arată ușor diferit. De exemplu, așa:

Acum luați notă de tehnicile practice care reduc dramatic numărul de erori.

Prima recepție. Nu fi leneș înainte rezolvarea unei ecuații pătratice aduceți-o la forma standard.

Ce inseamna asta?

Să presupunem că, după orice transformări, obțineți următoarea ecuație:

Nu vă grăbiți să scrieți formula rădăcinilor! Aproape sigur vei amesteca șansele a, b și c.

Construiți corect exemplul. Mai întâi, x pătrat, apoi fără pătrat, apoi un membru liber. Ca aceasta:

Scapa de minus. Cum? Trebuie să înmulțim întreaga ecuație cu -1. Primim:

Și acum puteți scrie în siguranță formula rădăcinilor, puteți calcula discriminantul și completați exemplul.

Decide pe cont propriu. Ar trebui să ajungeți cu rădăcinile 2 și -1.

A doua recepție. Verifică-ți rădăcinile! De teorema lui Vieta.

Pentru a rezolva ecuațiile pătratice date, i.e. dacă coeficient

x2+bx+c=0,

apoix 1 x 2 =c

x1 +x2 =−b

Pentru o ecuație pătratică completă în care a≠1:

x 2 +bx+c=0,

împărțiți întreaga ecuație la A:

→ →

Unde x 1și X 2 - rădăcinile ecuației.

Recepția a treia. Dacă ecuația ta are coeficienți fracționali, scapă de fracții! Multiplica

ecuație pentru un numitor comun.

Concluzie. Sfaturi practice:

1. Înainte de a rezolva, aducem ecuația pătratică la forma standard, construim-o dreapta.

2. Dacă există un coeficient negativ în fața lui x în pătrat, îl eliminăm înmulțind totul

ecuații pentru -1.

3. Dacă coeficienții sunt fracționali, eliminăm fracțiile înmulțind întreaga ecuație cu corespunzătoare

factor.

4. Dacă x pătrat este pur, coeficientul pentru acesta este egal cu unu, soluția poate fi verificată cu ușurință prin

În continuarea subiectului „Rezolvarea ecuațiilor”, materialul din acest articol vă va introduce în ecuațiile pătratice.

Să luăm în considerare totul în detaliu: esența și notarea unei ecuații pătratice, stabilim termenii însoțitori, analizăm schema de rezolvare a ecuațiilor incomplete și complete, ne familiarizăm cu formula rădăcinilor și a discriminantului, stabilim conexiuni între rădăcini și coeficienți și de desigur vom oferi o soluție vizuală de exemple practice.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ecuația pătratică, tipurile sale

Ecuație cuadratică este ecuația scrisă ca a x 2 + b x + c = 0, Unde X– variabilă, a , b și c sunt niște numere, în timp ce A nu este zero.

Adesea, ecuațiile pătratice sunt numite și ecuații de gradul doi, deoarece de fapt o ecuație pătratică este o ecuație algebrică de gradul doi.

Să dăm un exemplu pentru a ilustra definiția dată: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 etc. sunt ecuații pătratice.

Definiția 2

Numerele a, b și c sunt coeficienții ecuației pătratice a x 2 + b x + c = 0, în timp ce coeficientul A se numește primul, sau senior, sau coeficient la x 2, b - al doilea coeficient, sau coeficient la X, A c numit membru liber.

De exemplu, în ecuația pătratică 6 x 2 - 2 x - 11 = 0 cel mai mare coeficient este 6, al doilea coeficient este − 2 , iar termenul liber este egal cu − 11 . Să fim atenți la faptul că atunci când coeficienții bși/sau c sunt negative, atunci se folosește forma scurtă 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, dar nu 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Să lămurim şi acest aspect: dacă coeficienţii Ași/sau b egal 1 sau − 1 , atunci ei nu pot participa în mod explicit la scrierea ecuației pătratice, ceea ce se explică prin particularitățile scrierii coeficienților numerici indicați. De exemplu, în ecuația pătratică y 2 − y + 7 = 0 coeficientul senior este 1 iar al doilea coeficient este − 1 .

Ecuații patratice reduse și nereduse

În funcție de valoarea primului coeficient, ecuațiile pătratice se împart în reduse și nereduse.

Definiția 3

Ecuație pătratică redusă este o ecuație pătratică în care coeficientul principal este 1 . Pentru alte valori ale coeficientului principal, ecuația pătratică este neredusă.

Iată câteva exemple: ecuațiile pătratice x 2 − 4 · x + 3 = 0 , x 2 − x − 4 5 = 0 sunt reduse, în fiecare dintre ele coeficientul principal este 1 .

9 x 2 - x - 2 = 0- ecuație pătratică neredusă, unde primul coeficient este diferit de 1 .

Orice ecuație pătratică neredusă poate fi convertită într-o ecuație redusă prin împărțirea ambelor părți la primul coeficient (transformare echivalentă). Ecuația transformată va avea aceleași rădăcini ca și ecuația neredusă dată sau, de asemenea, nu va avea deloc rădăcini.

Luarea în considerare a unui exemplu specific ne va permite să demonstrăm clar trecerea de la o ecuație pătratică neredusă la una redusă.

Exemplul 1

Având în vedere ecuația 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Este necesar să convertiți ecuația originală în forma redusă.

Soluţie

Conform schemei de mai sus, împărțim ambele părți ale ecuației inițiale la coeficientul de conducere 6 . Atunci obținem: (6 x 2 + 18 x - 7) : 3 = 0: 3, și acesta este același cu: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0și mai departe: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0 . De aici: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Astfel, se obține o ecuație echivalentă cu cea dată.

Răspuns: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Ecuații pătratice complete și incomplete

Să ne întoarcem la definiția unei ecuații pătratice. În el am precizat că a ≠ 0. O condiție similară este necesară pentru ecuație a x 2 + b x + c = 0 era exact pătrat, din moment ce a = 0 se transformă în esență într-o ecuație liniară b x + c = 0.

În cazul în care coeficienţii bși c sunt egale cu zero (ceea ce este posibil, atât individual, cât și în comun), ecuația pătratică se numește incompletă.

Definiția 4

Ecuație pătratică incompletă este o ecuație pătratică a x 2 + b x + c \u003d 0, unde cel puţin unul dintre coeficienţi bși c(sau ambele) este zero.

Ecuația pătratică completă este o ecuație pătratică în care toți coeficienții numerici nu sunt egali cu zero.

Să discutăm de ce tipurilor de ecuații pătratice li se dau exact astfel de nume.

Pentru b = 0, ecuația pătratică ia forma a x 2 + 0 x + c = 0, care este la fel ca a x 2 + c = 0. La c = 0 ecuația pătratică se scrie ca a x 2 + b x + 0 = 0, care este echivalent a x 2 + b x = 0. La b = 0și c = 0 ecuația va lua forma a x 2 = 0. Ecuațiile pe care le-am obținut diferă de ecuația pătratică completă prin faptul că părțile lor din stânga nu conțin nici un termen cu variabila x, nici un termen liber, sau ambele deodată. De fapt, acest fapt a dat numele acestui tip de ecuații - incomplete.

De exemplu, x 2 + 3 x + 4 = 0 și − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 sunt ecuații patratice complete; x 2 \u003d 0, − 5 x 2 \u003d 0; 11 x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 x = 0 sunt ecuații patratice incomplete.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete

Definiția dată mai sus face posibilă distingerea următoarelor tipuri de ecuații pătratice incomplete:

• a x 2 = 0, coeficienții corespund unei astfel de ecuații b = 0şi c = 0;
• a x 2 + c \u003d 0 pentru b \u003d 0;
• a x 2 + b x = 0 pentru c = 0 .

Se consideră succesiv soluția fiecărui tip de ecuație pătratică incompletă.

Rezolvarea ecuației a x 2 \u003d 0

După cum am menționat deja mai sus, o astfel de ecuație corespunde coeficienților bși c, egal cu zero. Ecuația a x 2 = 0 poate fi convertit într-o ecuație echivalentă x2 = 0, pe care îl obținem împărțind ambele părți ale ecuației inițiale la număr A, nu este egal cu zero. Faptul evident este că rădăcina ecuației x2 = 0 este zero pentru că 0 2 = 0 . Această ecuație nu are alte rădăcini, ceea ce se explică prin proprietățile gradului: pentru orice număr p, nu este egal cu zero, inegalitatea este adevărată p2 > 0, din care rezultă că la p ≠ 0 egalitate p2 = 0 nu va fi niciodată atins.

Definiția 5

Astfel, pentru ecuația pătratică incompletă a x 2 = 0, există o singură rădăcină x=0.

Exemplul 2

De exemplu, să rezolvăm o ecuație pătratică incompletă − 3 x 2 = 0. Este echivalent cu ecuația x2 = 0, singura sa rădăcină este x=0, atunci ecuația originală are o singură rădăcină - zero.

Soluția este rezumată după cum urmează:

− 3 x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0.

Rezolvarea ecuației a x 2 + c \u003d 0

Următoarea pe linie este soluția ecuațiilor pătratice incomplete, unde b \u003d 0, c ≠ 0, adică ecuații de forma a x 2 + c = 0. Să transformăm această ecuație prin mutarea termenului dintr-o parte a ecuației în cealaltă, schimbând semnul în opus și împărțind ambele părți ale ecuației la un număr care nu este egal cu zero:

• îndura cîn partea dreaptă, ceea ce dă ecuația a x 2 = − c;
• împărțiți ambele părți ale ecuației cu A, în cele din urmă obținem x = - c a .

Transformările noastre sunt echivalente, respectiv, ecuația rezultată este echivalentă și cu cea originală, iar acest fapt face posibilă tragerea unei concluzii despre rădăcinile ecuației. Din care sunt valorile Ași c depinde de valoarea expresiei - c a: poate avea semnul minus (de exemplu, dacă a = 1și c = 2, atunci - c a = - 2 1 = - 2) sau un semn plus (de exemplu, dacă a = -2și c=6, atunci - c a = - 6 - 2 = 3); nu este egal cu zero deoarece c ≠ 0. Să ne oprim mai în detaliu asupra situațiilor când - c a< 0 и - c a > 0 .

În cazul în care - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа p egalitatea p 2 = - c a nu poate fi adevărată.

Totul este diferit atunci când - c a > 0: amintiți-vă rădăcina pătrată și va deveni evident că rădăcina ecuației x 2 \u003d - c a va fi numărul - c a, deoarece - c a 2 \u003d - c a. Este ușor de înțeles că numărul - - c a - este și rădăcina ecuației x 2 = - c a: într-adevăr, - - c a 2 = - c a .

Ecuația nu va avea alte rădăcini. Putem demonstra acest lucru folosind metoda opusă. Mai întâi, să setăm notația rădăcinilor găsite mai sus ca x 1și − x 1. Să presupunem că ecuația x 2 = - c a are și rădăcină x 2, care este diferit de rădăcini x 1și − x 1. Știm că prin substituirea în ecuație în loc de X rădăcinile sale, transformăm ecuația într-o egalitate numerică corectă.

Pentru x 1și − x 1 scrieți: x 1 2 = - c a , iar pentru x 2- x 2 2 \u003d - c a. Pe baza proprietăților egalităților numerice, scădem o egalitate adevărată dintr-un alt termen cu termen, ceea ce ne va da: x 1 2 − x 2 2 = 0. Utilizați proprietățile operațiilor cu numere pentru a rescrie ultima egalitate ca (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) = 0. Se știe că produsul a două numere este zero dacă și numai dacă cel puțin unul dintre numere este zero. Din cele spuse rezultă că x1 − x2 = 0și/sau x1 + x2 = 0, care este la fel x2 = x1și/sau x 2 = − x 1. A apărut o contradicție evidentă, deoarece la început s-a convenit că rădăcina ecuației x 2 difera de x 1și − x 1. Deci, am demonstrat că ecuația nu are alte rădăcini decât x = - c a și x = - - c a .

Rezum toate argumentele de mai sus.

Definiția 6

Ecuație pătratică incompletă a x 2 + c = 0 este echivalentă cu ecuația x 2 = - c a , care:

• nu va avea rădăcini la - c a< 0 ;
• va avea două rădăcini x = - c a și x = - - c a când - c a > 0 .

Să dăm exemple de rezolvare a ecuațiilor a x 2 + c = 0.

Exemplul 3

Având în vedere o ecuație pătratică 9 x 2 + 7 = 0 . Este necesar să-i găsim soluția.

Soluţie

Transferăm termenul liber în partea dreaptă a ecuației, apoi ecuația va lua forma 9 x 2 = - 7 .
Împărțim ambele părți ale ecuației rezultate la 9 , ajungem la x 2 = - 7 9 . În partea dreaptă vedem un număr cu semnul minus, ceea ce înseamnă: ecuația dată fara radacini. Apoi ecuația pătratică incompletă inițială 9 x 2 + 7 = 0 nu va avea rădăcini.

Răspuns: ecuația 9 x 2 + 7 = 0 nu are rădăcini.

Exemplul 4

Este necesar să se rezolve ecuația − x2 + 36 = 0.

Soluţie

Să mutăm 36 în partea dreaptă: − x 2 = − 36.
Să împărțim ambele părți în − 1 , primim x2 = 36. În partea dreaptă este un număr pozitiv, din care putem concluziona că x = 36 sau x = - 36 .
Extragem rădăcina și scriem rezultatul final: o ecuație pătratică incompletă − x2 + 36 = 0 are două rădăcini x=6 sau x = -6.

Răspuns: x=6 sau x = -6.

Rezolvarea ecuației a x 2 +b x=0

Să analizăm al treilea tip de ecuații pătratice incomplete, când c = 0. Pentru a găsi o soluție la o ecuație pătratică incompletă a x 2 + b x = 0, folosim metoda factorizării. Să factorizăm polinomul, care se află în partea stângă a ecuației, luând factorul comun din paranteze X. Acest pas va face posibilă transformarea ecuației pătratice incomplete inițiale în echivalentul ei x (a x + b) = 0. Și această ecuație, la rândul său, este echivalentă cu setul de ecuații x=0și a x + b = 0. Ecuația a x + b = 0 liniară și rădăcina sa: x = −b a.

Definiția 7

Astfel, ecuația pătratică incompletă a x 2 + b x = 0 va avea două rădăcini x=0și x = −b a.

Să consolidăm materialul cu un exemplu.

Exemplul 5

Este necesar să găsim soluția ecuației 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 .

Soluţie

Hai să scoatem Xîn afara parantezelor și obținem ecuația x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Această ecuație este echivalentă cu ecuațiile x=0și 2 3 x - 2 2 7 = 0 . Acum ar trebui să rezolvați ecuația liniară rezultată: 2 3 · x = 2 2 7 , x = 2 2 7 2 3 .

Pe scurt, scriem soluția ecuației după cum urmează:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 sau 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 sau x = 3 3 7

Răspuns: x = 0 , x = 3 3 7 .

Discriminant, formula rădăcinilor unei ecuații pătratice

Pentru a găsi o soluție la ecuațiile pătratice, există o formulă rădăcină:

Definiția 8

x = - b ± D 2 a, unde D = b 2 − 4 a c este așa-numitul discriminant al unei ecuații pătratice.

Scrierea x \u003d - b ± D 2 a înseamnă în esență că x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a.

Va fi util să înțelegeți cum a fost derivată formula indicată și cum să o aplicați.

Derivarea formulei rădăcinilor unei ecuații pătratice

Să presupunem că ne confruntăm cu sarcina de a rezolva o ecuație pătratică a x 2 + b x + c = 0. Să efectuăm o serie de transformări echivalente:

• împărțiți ambele părți ale ecuației la număr A, diferit de zero, obținem ecuația pătratică redusă: x 2 + b a x + c a \u003d 0;
• selectați pătratul complet din partea stângă a ecuației rezultate:
  x 2 + b a x + c a = x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a = = x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a
  După aceasta, ecuația va lua forma: x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a \u003d 0;
• acum este posibil să transferăm ultimii doi termeni în partea dreaptă, schimbând semnul în opus, după care obținem: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• în cele din urmă, transformăm expresia scrisă în partea dreaptă a ultimei egalități:
  b 2 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2.

Astfel, am ajuns la ecuația x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 , care este echivalentă cu ecuația inițială a x 2 + b x + c = 0.

Am discutat soluția unor astfel de ecuații în paragrafele anterioare (soluția ecuațiilor pătratice incomplete). Experiența acumulată deja face posibilă tragerea unei concluzii cu privire la rădăcinile ecuației x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2:

• pentru b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• pentru b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0, ecuația are forma x + b 2 · a 2 = 0, atunci x + b 2 · a = 0.

De aici, singura rădăcină x = - b 2 · a este evidentă;

• pentru b 2 - 4 a c 4 a 2 > 0, cel corect este: x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 sau x = b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , care este la fel ca x + - b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 sau x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , adică. ecuația are două rădăcini.

Se poate concluziona că prezența sau absența rădăcinilor ecuației x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 (și, prin urmare, ecuația inițială) depinde de semnul expresiei b 2 - 4 a c 4 · un 2 scris pe partea dreaptă. Iar semnul acestei expresii este dat de semnul numărătorului (numitorul 4 la 2 va fi întotdeauna pozitiv), adică semnul expresiei b 2 − 4 a c. Această expresie b 2 − 4 a c se dă un nume - discriminantul unei ecuații pătratice și litera D este definită ca desemnare a acesteia. Aici puteți nota esența discriminantului - după valoarea și semnul său, ei concluzionează dacă ecuația pătratică va avea rădăcini reale și, dacă da, câte rădăcini - una sau două.

Să revenim la ecuația x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 . Să o rescriem folosind notația discriminantă: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Să recapitulăm concluziile:

Definiția 9

• la D< 0 ecuația nu are rădăcini reale;
• la D=0 ecuaţia are o singură rădăcină x = - b 2 · a ;
• la D > 0 ecuația are două rădăcini: x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 sau x \u003d - b 2 a - D 4 a 2. Pe baza proprietăților radicalilor, aceste rădăcini pot fi scrise ca: x \u003d - b 2 a + D 2 a sau - b 2 a - D 2 a. Și când deschidem modulele și reducem fracțiile la un numitor comun, obținem: x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a.

Deci, rezultatul raționamentului nostru a fost derivarea formulei pentru rădăcinile ecuației pătratice:

x = - b + D 2 a , x = - b - D 2 a , discriminant D calculate prin formula D = b 2 − 4 a c.

Aceste formule fac posibilă, atunci când discriminantul este mai mare decât zero, să se determine ambele rădăcini reale. Când discriminantul este zero, aplicarea ambelor formule va da aceeași rădăcină ca singura soluție a ecuației pătratice. În cazul în care discriminantul este negativ, încercând să folosim formula rădăcinii pătratice, ne vom confrunta cu nevoia de a extrage rădăcina pătrată a unui număr negativ, ceea ce ne va duce dincolo de numerele reale. Cu un discriminant negativ, ecuația pătratică nu va avea rădăcini reale, dar este posibilă o pereche de rădăcini conjugate complexe, determinate de aceleași formule de rădăcină pe care le-am obținut.

Algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice cu ajutorul formulelor rădăcinilor

Este posibil să se rezolve o ecuație pătratică folosind imediat formula rădăcinii, dar practic acest lucru se face atunci când este necesar să se găsească rădăcini complexe.

În cea mai mare parte a cazurilor, căutarea este de obicei menită nu pentru rădăcini complexe, ci pentru rădăcini reale ale unei ecuații pătratice. Atunci este optim, înainte de a folosi formulele pentru rădăcinile ecuației pătratice, mai întâi să determinați discriminantul și să vă asigurați că acesta nu este negativ (în caz contrar vom trage concluzia că ecuația nu are rădăcini reale), apoi se procedează la calcularea valoarea rădăcinilor.

Raționamentul de mai sus face posibilă formularea unui algoritm pentru rezolvarea unei ecuații pătratice.

Definiția 10

Pentru a rezolva o ecuație pătratică a x 2 + b x + c = 0, necesar:

• conform formulei D = b 2 − 4 a c găsiți valoarea discriminantului;
• la D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• pentru D = 0 găsiți singura rădăcină a ecuației prin formula x = - b 2 · a ;
• pentru D > 0, determinați două rădăcini reale ale ecuației pătratice prin formula x = - b ± D 2 · a.

Rețineți că atunci când discriminantul este zero, puteți utiliza formula x = - b ± D 2 · a , aceasta va da același rezultat ca și formula x = - b 2 · a .

Luați în considerare exemple.

Exemple de rezolvare a ecuațiilor pătratice

Să dăm un exemplu de soluție pentru valori diferite discriminant.

Exemplul 6

Este necesar să găsiți rădăcinile ecuației x 2 + 2 x - 6 = 0.

Soluţie

Scriem coeficienții numerici ai ecuației pătratice: a \u003d 1, b \u003d 2 și c = − 6. În continuare, acționăm conform algoritmului, adică. Să începem să calculăm discriminantul, pentru care înlocuim coeficienții a , b și cîn formula discriminantă: D = b 2 − 4 a c = 2 2 − 4 1 (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Deci, avem D > 0, ceea ce înseamnă că ecuația inițială va avea două rădăcini reale.
Pentru a le găsi, folosim formula rădăcină x \u003d - b ± D 2 · a și, înlocuind valorile corespunzătoare, obținem: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Simplificam expresia rezultata prin scoaterea factorului din semnul radacinii, urmata de reducerea fractiei:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 sau x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 sau x = - 1 - 7

Răspuns: x = - 1 + 7 , x = - 1 - 7 .

Exemplul 7

Este necesar să se rezolve o ecuație pătratică − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Soluţie

Să definim discriminantul: D = 28 2 − 4 (− 4) (− 49) = 784 − 784 = 0. Cu această valoare a discriminantului, ecuația inițială va avea o singură rădăcină, determinată de formula x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5

Răspuns: x = 3, 5.

Exemplul 8

Este necesar să se rezolve ecuația 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Soluţie

Coeficienții numerici ai acestei ecuații vor fi: a = 5 , b = 6 și c = 2 . Folosim aceste valori pentru a găsi discriminantul: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Discriminantul calculat este negativ, astfel încât ecuația pătratică originală nu are rădăcini reale.

În cazul în care sarcina este de a indica rădăcini complexe, aplicăm formula rădăcinii efectuând operații cu numere complexe:

x \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 i 10 sau x \u003d - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 i sau x = - 3 5 - 1 5 i .

Răspuns: nu există rădăcini reale; rădăcinile complexe sunt: ​​- 3 5 + 1 5 i , - 3 5 - 1 5 i .

În programa școlară, ca standard, nu există o cerință de a căuta rădăcini complexe, prin urmare, dacă discriminantul este definit ca negativ în timpul deciziei, se înregistrează imediat răspunsul că nu există rădăcini reale.

Formula rădăcină pentru chiar al doilea coeficienți

Formula rădăcină x = - b ± D 2 a (D = b 2 − 4 a c) face posibilă obținerea unei alte formule, mai compacte, permițându-vă să găsiți soluții la ecuații pătratice cu coeficient par la x (sau cu coeficient de forma 2 a n, de exemplu, 2 3 sau 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Să arătăm cum este derivată această formulă.

Să ne confruntăm cu sarcina de a găsi o soluție la ecuația pătratică a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 . Acționăm conform algoritmului: determinăm discriminantul D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) , iar apoi folosim formula rădăcinii:

x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .

Să se noteze expresia n 2 − a c cu D 1 (uneori se notează D”). Atunci formula pentru rădăcinile ecuației pătratice considerate cu al doilea coeficient 2 n va lua forma:

x \u003d - n ± D 1 a, unde D 1 \u003d n 2 - a c.

Este ușor de observat că D = 4 · D 1 , sau D 1 = D 4 . Cu alte cuvinte, D 1 este un sfert din discriminant. Evident, semnul lui D 1 este același cu semnul lui D, ceea ce înseamnă că semnul lui D 1 poate servi și ca indicator al prezenței sau absenței rădăcinilor unei ecuații pătratice.

Definiția 11

Astfel, pentru a găsi o soluție la o ecuație pătratică cu un al doilea coeficient de 2 n, este necesar:

• găsiți D 1 = n 2 − a c ;
• la D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• pentru D 1 = 0, determinați singura rădăcină a ecuației cu formula x = - n a ;
• pentru D 1 > 0, determinați două rădăcini reale folosind formula x = - n ± D 1 a.

Exemplul 9

Este necesar să se rezolve ecuația pătratică 5 · x 2 − 6 · x − 32 = 0.

Soluţie

Al doilea coeficient al ecuației date poate fi reprezentat ca 2 · (− 3) . Apoi rescriem ecuația pătratică dată ca 5 · x 2 + 2 · (− 3) · x − 32 = 0 , unde a = 5 , n = − 3 și c = − 32 .

Să calculăm a patra parte a discriminantului: D 1 = n 2 − a c = (− 3) 2 − 5 (− 32) = 9 + 160 = 169 . Valoarea rezultată este pozitivă, ceea ce înseamnă că ecuația are două rădăcini reale. Le definim prin formula corespunzătoare a rădăcinilor:

x = - n ± D 1 a , x = - - 3 ± 169 5 , x = 3 ± 13 5 ,

x = 3 + 13 5 sau x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 sau x = - 2

Ar fi posibil să se efectueze calcule folosind formula obișnuită pentru rădăcinile unei ecuații pătratice, dar în acest caz soluția ar fi mai greoaie.

Răspuns: x = 3 1 5 sau x = - 2 .

Simplificarea formei ecuațiilor pătratice

Uneori este posibil să se optimizeze forma ecuației originale, ceea ce va simplifica procesul de calcul al rădăcinilor.

De exemplu, ecuația pătratică 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 este în mod clar mai convenabilă pentru rezolvare decât 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0.

Mai des, simplificarea formei unei ecuații pătratice se realizează prin înmulțirea sau împărțirea ambelor părți cu un anumit număr. De exemplu, mai sus am arătat o reprezentare simplificată a ecuației 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0, obținută prin împărțirea ambelor părți la 100.

O astfel de transformare este posibilă atunci când coeficienții ecuației pătratice nu sunt coprimi. Apoi, de obicei, ambele părți ale ecuației sunt împărțite la cel mai mare divizor comun al valorilor absolute ale coeficienților săi.

Ca exemplu, folosim ecuația pătratică 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Să definim mcd-ul valorilor absolute ale coeficienților săi: mcd (12 , 42 , 48) = mcd(mcd (12 , 42) , 48) = mcd (6 , 48) = 6 . Să împărțim ambele părți ale ecuației pătratice originale la 6 și să obținem ecuația pătratică echivalentă 2 · x 2 − 7 · x + 8 = 0 .

Prin înmulțirea ambelor părți ale ecuației pătratice, coeficienții fracționali sunt de obicei eliminați. În acest caz, înmulțiți cu cel mai mic multiplu comun al numitorilor coeficienților săi. De exemplu, dacă fiecare parte a ecuației pătratice 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 este înmulțită cu LCM (6, 3, 1) \u003d 6, atunci va fi scrisă în mai multe formă simplă x 2 + 4 x - 18 = 0 .

În cele din urmă, observăm că aproape întotdeauna scăpați de minus la primul coeficient al ecuației pătratice, schimbând semnele fiecărui termen al ecuației, ceea ce se realizează prin înmulțirea (sau împărțirea) ambelor părți cu - 1. De exemplu, din ecuația pătratică - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0, puteți merge la versiunea sa simplificată 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0.

Relația dintre rădăcini și coeficienți

Formula deja cunoscută pentru rădăcinile ecuațiilor pătratice x = - b ± D 2 · a exprimă rădăcinile ecuației în termeni de coeficienți numerici. Pe baza acestei formule, avem posibilitatea de a stabili alte dependențe între rădăcini și coeficienți.

Cele mai faimoase și aplicabile sunt formulele teoremei Vieta:

x 1 + x 2 \u003d - b a și x 2 \u003d c a.

În special, pentru ecuația pătratică dată, suma rădăcinilor este al doilea coeficient cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor este egal cu termenul liber. De exemplu, prin forma ecuației pătratice 3 x 2 - 7 x + 22 \u003d 0, este posibil să se determine imediat că suma rădăcinilor sale este 7 3, iar produsul rădăcinilor este 22 3.

De asemenea, puteți găsi o serie de alte relații între rădăcinile și coeficienții unei ecuații pătratice. De exemplu, suma pătratelor rădăcinilor unei ecuații pătratice poate fi exprimată în termeni de coeficienți:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter