Являются ли математические способности врождёнными? Понятие математических способностей и их структура

«Очень большой и сложный вопрос: имеются ли у данного ученика математические способности или нет?

Прежде всего, что понимать под наличием способностей: творческие способности или же способность успешно преодолеть школьную программу по математике, программу втуза?

Слишком большой разброс начальных данных в исходном материале: одни не научились учиться и считают, что если они запомнили без понимания правила, методы решения, то это всё, что от них требуется; других же с раннего детства приучили прежде понимать, а потом запоминать, и к самостоятельному поиску решений; третьих - пользоваться правилами решения, придуманных для разных типов задач, но не самостоятельно мыслить.

Третий тип хорошо известен преподавателям, они знают этих натасканных на правилах мальчиков и девочек, у которых моментально слетают с языка заученные формулировки, но нет привычки искать самостоятельное решение.

Мне приходилось встречаться со школьниками всех трёх указанных типов первоначальной математической подготовки. Конечно, те, кто привык понимать и самостоятельно мыслить, резко выделялись на фоне остальной серенькой массы. Но затем, когда после двух-трёх лет переподготовки и остальные подходили к необходимости понимания материала и отказывались от привычки зазубривания без понимания, появлялись и в их среде яркие личности, способные вносить нечто новое , предлагать неожиданные решения, проявлять свои истинные способности.

Моё убеждение, что способности к хорошему познанию математики, по крайней мере школьной и вузовской, имеют все нормальные дети. Их только нужно научить учиться. Научить пользоваться тем даром, которым наделила человека природа - способностью мыслить. Некоторые школьники буквально менялись коренным образом, когда в их первоначальном математическом образовании удавалось ликвидировать пропуски в знаниях и умениях. Поэтому я резко осуждаю тех, кто слишком рано приклеивает к тому или иному учащемуся ярлык неспособного к математике. Я позволю себе в качестве примера привести самого себя: включительно до шестого класса мне тяжело давалась математика, я испытывал постоянный страх перед задачами.

Я помню, как говорил родителям: «как бы было хорошо учиться, если бы не было математики». В 1925 г. семья переехала в Саратов. Обнаружилось, что в саратовской школе прошли по математике больше, и мне пришлось догонять класс. Я самостоятельно изучил нужные разделы и обратился к прежнему материалу, в котором у меня также оказались пробелы.

Затем мне на глаза попался сборник конкурсных задач, предлагавшихся при поступлении в Петербургский институт путей сообщения. Я перерешал значительное число задач самостоятельно. Через полгода я прослыл лучшим учеником класса по математике. Всё дело в том, что при самостоятельной работе над учебником я доводил дело до понимания и только затем шёл дальше, предварительно закрепляя пройденный материал самостоятельным решением задач. Затем в университете я также занял положение математического лидера, хотя речь шла только об учебном процессе, а не о собственном творчестве. Потребовалось много лет, чтобы я выдвинул проблемы для исследования и начал влиять на творческие интересы других.

Будучи студентом университета, я придерживался такого правила: внимательно слушал лекции, в тот же день просматривал сделанные краткие записи и расширял полученные сведения, прочитывая соответствующие места учебника. Изученное немедленно закреплял несколькими самостоятельно решенными задачами. Такой способ повторения помогал мне избегать горячки перед экзаменами. Мне достаточно было освежить в памяти ранее изученное.

Я никогда не позволял себе идти дальше, не поняв предыдущего. Пожалуй, имеет смысл сказать, что сразу же после лекций, после обдумывания, я вкратце записывал содержание лекции, уделяя внимание четкости формулировок определений и теорем. Дополнительные сведения, почерпнутые из книг, я также помещал после записи содержания лекции. Мои записки пользовались успехом на курсе, их брали, переписывали, просили на время каникул для пересдачи. В результате мне не удалось сохранить ни одной такой тетради, все они разошлись по рукам.

Я считаю, что составление записок мне принесло двойную пользу. Во-первых, я с самого начала изучал как следует всё новое, что нам излагалось и, во-вторых, я приучался кратко излагать то основное, что следовало знать и уметь применять. Эта привычка к кратким и чётким формулировкам сохранилась у меня на всю дальнейшую жизнь.

Если говорить о способностях воспринимать курс школьной и вузовской математики, то я убеждён в том, что в большинстве случаев отсутствие способностей приписывают тем, кто не хочет учиться или же имеет серьёзные пробелы в предшествующих частях курса и не считает нужным восстановить своевременно непознанное. Многолетний опыт общения со студентами, школьниками и их родителями убедил меня в том, что, как правило, неудачи усвоением курса математики связаны не с отсутствием математических способностей, а с отсутствием прочных знаний фундаментальных понятий, с ленью ума, которая мешает систематической работе над материалом, и со стремлением се познание свести к запоминанию без понимания. Мы же должны помнить, что только в самостоятельном преодолении трудностей - ключ к познанию и уверенности в своих гениях и знаниях.

В подавляющем большинстве случаев, когда говорят об отсутствии у учащегося математических способностей для познания обязательного курса, речь должна идти о другом - либо о неумении, либо о нежелании учиться.

Заключение же об отсутствии способностей обычно педагогически необосновано и вредно. Такое заключение способно угнетающе подействовать на психику учащегося. Это во-первых. А во-вторых, оно как бы выдает индульгенцию лентяю или же не научившемуся учиться.

Умение учиться не приходит само собой, а нуждается в систематическом воспитании, постоянном внимании учителей и серьёзных усилиях учащихся. Цель школьного обучения состоит не в том, чтобы перегрузить память учащихся сведениями, которые не превращаются в орудие труда, а в том, чтобы сделать ум пытливым, подвижным, способным анализировать новые ситуации, находить подходы к решению возникающих проблем. Тот, кто делает ставку только на память, на зубрёжку, отключает мысль, разум от работы по познанию. Память обязана играть роль активного помощника разума, и не следует навязывать ей несвойственную роль единственного средства познания. В памяти должны храниться основные сведения и идеи, которые по мере надобности превращаются в активные методы.

Точно так же невозможно научить говорить на чужом языке, если только снабдить память словами и правилами. Этого мало. Необходимо ещё приучить человека активно пользоваться полученным запасом знаний. А для этого нужно говорить, т. е. заставлять знания не лежать мертвым грузом в недрах памяти, а активно действовать. Для математики упражнения на решение задач, на проведение логических заключений так же обязательны, как разговор на чужом языке при его изучении».

Гнеденко Б.В., Математика и жизнь, М., «Комкнига», 2006 г., с.118-121.

Способности - индивидуально выраженные возможности к успешному осуществлению той или иной деятельности. Включают в себя как отдельные знания, умения навыки, так и готовность к обучению новым способам и приемам деятельности. Для классификации способностей используются разные критерии. Так, могут быть выделены сенсомоторные, перцептивные, мнемические, имажинативные, мыслительные, коммуникативные способности. В качестве другого критерия может выступать та или иная предметная область, в соответствии с чем способности могут быть квалифицированы как научные (математические, лингвистические, гуманитарные); творческие (музыкальные, литературные, художественные); инженерные.

Кратко сформулируем несколько положений общей теории способностей:

1. Способности – это всегда способности к определенному роду деятельности , они существуют только в соответствующей конкретной деятельности человека. Поэтому они и выявлены могут быть лишь на основе анализа конкретной деятельности. Соответственно этому и математические способности существуют только в математической деятельности и в ней должны выявляться.

2. Способности – понятие динамическое. Они не только проявляются и существуют в деятельности, они в деятельности создаются, в деятельности и развиваются. Соответственно этому и математические способности существуют только в динамике, в развитии, они формируются, развиваются в математической деятельности.

3. В отдельные периоды развития человека возникают наиболее благоприятные условия для становления и развития отдельных видов способностей и некоторые из этих условий имеют временный, преходящий характер. Такие возрастные периоды, когда условия для развития тех или иных способностей будут наиболее оптимальными, называются сензитивными (Л. С. Выготский, А. Н. Леонтьев). Очевидно, и для развития математических способностей существуют оптимальные периоды.

4. Успешность деятельности зависит от комплекса способностей. Равно и успешность математической деятельности зависит не от отдельно взятой способности, а от комплекса способностей.

5. Высокие достижения в одной и той же деятельности могут быть обусловлены различным сочетанием способностей. Поэтому принципиально можно говорить о различных типах способностей, в том числе и математических.

6. Возможна в широких пределах компенсация одних способностей другими, вследствие чего относительная слабость какой-нибудь одной способности компенсируется другой способностью, что в итоге не исключает возможности успешного выполнения соответствующей деятельности. А. Г. Ковалев и В. Н. Мясищев понимают компенсацию шире – говорят о возможности компенсации недостающей способности умением, характерологическими качествами (терпением, настойчивостью). По-видимому, компенсация того и другого вида может иметь место и в области математических способностей.

7. Сложным и не до конца решенным в психологии является вопрос о соотношении общей и специальной одаренности. Б. М. Теплов склонен был отрицать само понятие общей одаренности, безотносительной к конкретной деятельности. Понятия «способность» и «одаренность» по Б. М. Теплову имеют смысл только в соотношении с конкретными исторически развивающимися формами общественно-трудовой деятельности. Следует, по его мнению говорить о другом, о более общих и более специальных моментах в одаренности. С. Л. Рубинштейн справедливо отметил, что не следует противопоставлять друг другу общую и специальную одаренность – наличие специальных способностей накладывает определенный отпечаток на общую одаренность, а наличие общей одаренности сказывается на характере специальных способностей. Б. Г. Ананьев указал на то, что следует различать общее развитие и специальное развитие и соответственно общие и специальные способности. Каждое из этих понятий правомерно, обе соответствующие категории взаимосвязаны. Б. Г. Ананьев подчеркивает роль общего развития в становлении специальных способностей.

Исследование математических способностей в зарубежной психологии.

В исследование математических способностей внесли свой вклад и такие яркие представители определенных направлений в психологии, как А. Бинэ, Э. Трондайк и Г. Ревеш, и такие выдающиеся математики, как А. Пуанкаре и Ж. Адамар.

Большое разнообразие направлений определило и большое разнообразие в подходе к исследованию математических способностей, в методических средствах и теоретических обобщениях.

Единственное, в чем сходятся все исследователи, это, пожалуй, мнение о том, что следует различать обычные, «школьные» способности к усвоению математических знаний, к их репродуцированию и самостоятельному применению и творческие математические способности, связанные с самостоятельным созданием оригинального и имеющего общественную ценность продукта.

Большое единство взглядов проявляют зарубежные исследователи по вопросу о врожденности или приобретенности математических способностей . Если и здесь различать два разных аспекта этих способностей – «школьные» и творческие способности, то в отношении вторых существует полное единство – творческие способности ученого-математика являются врожденным образованием, благоприятная среда необходима только для их проявления и развития. В отношении «школьных» (учебных) способностей зарубежные психологи высказываются не столь единодушно. Здесь, пожалуй, доминирует теория параллельного действия двух факторов – биологического потенциала и среды.

Основным вопросом в исследовании математических способностей (как учебных, так и творческих) за рубежом был и остается вопрос о сущности этого сложного психологического образования . В этом плане можно выделить три важные проблемы.

1. Проблема специфичности математических способностей . Существуют ли собственно математические способности как специфическое образование, отличное от категории общего интеллекта? Или математические способности есть качественная специализация общих психических процессов и свойств личности, то есть общие интеллектуальные способности, развитые применительно к математической деятельности? Иначе говоря, можно ли утверждать, что математическая одаренность – это не что иное, как общий интеллект плюс интерес к математике и склонность заниматься ею?

2. Проблема структурности математических способностей. Является ли математическая одаренность унитарным (единым неразложимым) или интегральным (сложным) свойством? В последнем случае можно ставить вопрос о структуре математических способностей, о компонентах этого сложного психического образования.

3. Проблема типологических различий в математических способностях. Существуют ли различные типы математической одаренности или при одной и той же основе имеют место различия только в интересах и склонностях к тем или иным разделам математики?

Исследование проблемы способностей в отечественной психологии.

Итак, решающую и определяющую роль играют общественный опыт, социальное воздействие, воспитание. Ну а какова же роль прирожденных способностей?

Конечно, трудно определить в каждом конкретном случае относительную роль врожденного и приобретенного, так как и то и другое слито, неразличимо. Но принципиальное решение этого вопроса в отечественной психологии таково: врожденными способности быть не могут, врожденными могут быть только задатки способностей – некоторые анатомо-физиологические особенности мозга и нервной системы, с которыми человек появляется на свет.

Но какова роль в развитии способностей этих врожденных биологических факторов?

Как отмечал С. Л. Рубинштейн, способности не предопределены, но и не могут быть просто насаждены извне. В индивидах должны существовать предпосылки, внутренние условия для развития способностей. А. Н. Леонтьев, А. Р. Лурия также говорят о необходимых внутренних условиях, делающих возможным возникновение способностей.

Способности не заключены в задатках. В онтогенезе они не проявляются, а формируются. Задаток не потенциальная способность (а способность не задаток в развитии), так как анатомо-физиологическая особенность ни при каких условиях не может развиваться в психическую особенность.

Несколько иное понимание задатков дается в работах А. Г. Ковалева и В. Н. Мясищева. Под задатками они понимают психофизиологические свойства, в первую очередь те, которые обнаруживаются в самой ранней фазе овладении той или иной деятельностью (например, хорошее цветоразличение, зрительная память). Другими словами, задатки – это первичная природная способность, еще не развитая, но дающая себя знать при первых пробах деятельности.

Однако и при таком понимании задатков сохраняется основное положение: способности в собственном смысле слова формируются в деятельности, являются прижизненным образованием.

Естественно, все вышесказанное можно отнести и к вопросу о математических способностях, как виду общих способностей.

Математические способности и их природные предпосылки (работы Б. М. Теплова).

Хотя математические способности и не были предметом специального рассмотрения в трудах Б. М. Теплова, однако ответы на многие вопросы, связанные с их изучением, можно найти в его работах, посвященных проблемам способностей. Среди них особое место занимают две монографические работы - "Психология музыкальных способностей" и "Ум полководца", ставшие классическими образцами психологического изучения способностей и вобравшими в себя универсальные принципы подхода к этой проблеме, которые возможно и необходимо использовать при изучении любых видов способностей.

В обеих работах Б. М. Теплов не только дает блестящий психологический анализ конкретных видов деятельности, но и на примерах выдающихся представителей музыкального и военного искусства раскрывает необходимые составляющие, из которых складываются яркие таланты в этих областях. Особое внимание Б. М. Теплов уделил вопросу о соотношении общих и специальных способностей, доказывая, что успех в любом виде деятельности, в том числе в музыке и военном деле, зависит не только от специальных компонентов (например, в музыке - слух, чувство ритма), но и от общих особенностей внимания, памяти, интеллекта. При этом общие умственные способности неразрывно связаны со специальными способностями и существенно влияют на уровень развития последних.

Наиболее ярко роль общих способностей продемонстрирована в работе "Ум полководца". Остановимся на рассмотрении основных положений этой работы, поскольку они могут быть использованы при изучении других видов способностей, связанных с мыслительной деятельностью, в том числе и математических способностей. Проведя глубокое изучение деятельности полководца, Б. М. Теплов показал, какое место в ней занимают интеллектуальные функции. Они обеспечивают анализ сложных военных ситуаций, выявление отдельных существенных деталей, способных повлиять на исход предстоящих сражений. Именно способность к анализу обеспечивает первый необходимый этап в принятии верного решения, в составлении плана сражения. Вслед за аналитической работой наступает этап синтеза, позволяющего объединить в единое целое многообразие деталей. По мнению Б. М. Теплова, деятельность полководца требует равновесия процессов анализа и синтеза, при обязательном высоком уровне их развития.

Важное место в интеллектуальной деятельности полководца занимает память. Она очень избирательна, то есть удерживает прежде всего необходимые, существенные детали. В качестве классического примера такой памяти Б. М. Теплов приводит высказывания о памяти Наполеона, который помнил буквально все, что имело непосредственное отношение к его военной деятельности, начиная от номеров частей и кончая лицами солдат. При этом Наполеон был неспособен запоминать бессмысленный материал, но обладал важной особенностью мгновенно усваивать то, что подчинялось классификации, определенному логическому закону.

Б. М. Теплов приходит к выводу, что "умение находить и выделять существенное и постоянная систематизация материала - вот важнейшие условия, обеспечивающие единство анализа и синтеза, то равновесие между этими сторонами мыслительной деятельности, которые отличают работу ума хорошего полководца" (Б. М. Теплов 1985, стр.249). Наряду с выдающимся умом полководец должен обладать определенными личностными качествами. Это прежде всего мужество, решительность, энергия, то есть то, что применительно к полководческой деятельности принято обозначать понятием "воля". Не менее важным личностным качеством является стрессоустойчивость. Эмоциональность талантливого полководца проявляется в сочетании эмоции боевого возбуждения и умении собраться, сосредоточиться.

Особое место в интеллектуальной деятельности полководца Б. М. Теплов отводил наличию такого качества, как интуиция. Он анализировал это качество ума полководца, сравнивая его с интуицией ученого. Между ними существует много общего. Основное же отличие, по мнению Б. М. Теплова, состоит в необходимости для полководца принятия срочного решения, от которого может зависеть успех операции, в то время как ученый не ограничен временными рамками. Но и в том и другом случае "озарению" должен предшествовать упорный труд, на основе которого и может быть принято единственно верное решение проблемы.

Подтверждения положениям, проанализированным и обобщенным Б. М. Тепловым с психологических позиций, можно обнаружить в работах многих выдающихся ученых, в том числе и математиков. Так, в психологическом этюде "Математическое творчество" Анри Пуанкаре подробно описывает ситуацию, при которой ему удалось сделать одно из открытий. Этому предшествовала долгая подготовительная работа, большой удельный вес в которой составлял, по мнению ученого, процесс бессознательного. За этапом "озарения" необходимо следовал второй этап - тщательной сознательной работы по приведению в порядок доказательства и его проверке. А. Пуанкаре пришел к выводу, что важнейшее место в математических способностях занимает умение логически выстроить цепь операций, которые приведут к решению задачи. Казалось бы, это должно быть доступно любому способному логически мыслить человеку. Однако далеко не каждый оказывается способным оперировать математическими символами с той же легкостью, что и при решении логических задач.

Здесь речь идет о математическом творчестве, доступном немногим. Но, как писал Ж. Адамар, "между работой ученика, решающего задачу по алгебре или геометрии, и творческой работой разница лишь в уровне, в качестве, так как обе работы аналогичного характера" (Адамар Ж., стр.98). Для того чтобы понять, какие качества еще требуются для достижения успехов в математике, исследователями анализировалась математическая деятельность: процесс решения задач, способы доказательств, логических рассуждений, особенности математической памяти. Этот анализ привел к созданию различных вариантов структур математических способностей, сложных по своему компонентному составу. При этом мнения большинства исследователей сходились в одном - что нет и не может быть единственной ярко выраженной математической способности - это совокупная характеристика, в которой отражаются особенности разных психических процессов: восприятия, мышления, памяти, воображения.

Среди наиболее важных компонентов математических способностей выделяются специфическая способность к обобщению математического материала, способность к пространственным представлениям, способность к отвлеченному мышлению. Некоторые исследователи выделяют также в качестве самостоятельного компонента математических способностей математическую память на схемы рассуждений и доказательств, методы решения задач и принципы подхода к ним. Советский психолог, исследовавший математические способности у школьников, В. А. Крутецкий дает следующее определение математическим способностям: "Под способностями к изучению математики мы понимаем индивидуально-психологические особенности (прежде всего особенности умственной деятельности), отвечающие требованиям учебной математической деятельности и обусловливающие на прочих равных условиях успешность творческого овладения математикой как учебным предметом, в частности относительно быстрое, легкое и глубокое овладение знаниями, умениями и навыками в области математики" (Крутецкий В.А.,1968).

Исследование математических способностей включает в себя и решение одной из важнейших проблем - поиска природных предпосылок, или задатков, данного вида способностей. К задаткам относятся врожденные анатомо-физиологические особенности индивида, которые рассматриваются как благоприятные условия для развития способностей. Долгое время задатки рассматривались как фактор, фатально предопределяющий уровень и направление развития способностей. Классики отечественной психологии Б. М. Теплов и С. Л. Рубинштейн научно доказали неправомерность такого понимания задатков и показали, что источником развития способностей является тесное взаимодействие внешних и внутренних условий. Выраженность того или иного физиологического качества ни в коей мере не свидетельствует об обязательном развитии конкретного вида способностей. Оно может являться лишь благоприятным условием для этого развития. Типологические свойства, входящие в состав задатков и являющиеся важной их составляющей, отражают такие индивидуальные особенности функционирования организма, как предел работоспособности, скоростные характеристики нервного реагирования, способность перестройки реакции в ответ на изменение внешних воздействий.

Свойства нервной системы, тесно связанные со свойствами темперамента, в свою очередь, влияют на проявление характерологических особенностей личности (В. С. Мерлин, 1986). Б. Г. Ананьев, развивая представления об общей природной основе развития характера и способностей, указывал на формирование в процессе деятельности связей способностей и характера, приводящих к новым психическим образованиям, обозначаемым терминами "талант" и "призвание" (Ананьев Б.Г., 1980). Таким образом, темперамент, способности и характер образуют как бы цепь взаимосвязанных подструктур в структуре личности и индивидуальности, имеющих единую природную основу (Э. А. Голубева 1993).

Общая схема структуры математических способностей в школьном возрасте по В. А. Крутецкому.

Собранный В. А. Крутецким материал позволил ему выстроить общую схему структуры математических способностей в школьном возрасте.

1. Получение математической информации.

1) Способность к формализованному восприятию математического материала, схватыванию формальной структуры задачи.

2. Переработка математической информации.

1) Способность к логическому мышлению в сфере количественных и пространственных отношений, числовой и знаковой символики. Способность мыслить математическими символами.

2) Способность к быстрому и широкому обобщению математических объектов, отношений и действий.

3) Способность к свертыванию процесса математического рассуждения и системы соответствующих действий. Способность мыслить свернутыми структурами.

4) Гибкость мыслительных процессов в математической деятельности.

5) Стремление к ясности, простоте, экономности и рациональности решений.

6) Способность к быстрой и свободной перестройке направленности мыслительного процесса, переключению с прямого на обратный ход мысли (обратимость мыслительного процесса при математическом рассуждении).

3. Хранение математической информации.

1) Математическая память (обобщенная память на математические отношения, типовые характеристики, схемы рассуждений и доказательств, методы решения задач и принципы подхода к ним).

4. Общий синтетический компонент.

1) Математическая направленность ума.

Выделенные компоненты тесно связаны, влияют друг на друга и образуют в своей совокупности единую систему, целостную структуру, своеобразный синдром математической одаренности, математический склад ума.

Не входят в структуру математической одаренности те компоненты, наличие которых в этой системе не обязательно (хотя и полезно). В этом смысле они являются нейтральными по отношению к математической одаренности. Однако их наличие или отсутствие в структуре (точнее, степень их развития) определяют тип математического склада ума. Не являются обязательными в структуре математической одаренности следующие компоненты:

1. Быстрота мыслительных процессов как временная характеристика.

2. Вычислительные способности (способности к быстрым и точным вычислениям, часто в уме).

3. Память на цифры, числа, формулы.

4. Способность к пространственным представлениям.

5. Способность наглядно представить абстрактные математические отношения и зависимости.

Заключение.

Рассмотренные в данной работе книги подтверждают это заключение. Вместе с тем следует отметить неугасающий интерес к этой проблеме во всех течениях психологии, что подтверждает следующий вывод.

Итак, как утверждал В. А. Крутецкий: «Задача всестороннего и гармонического развития личности человека делает совершенно необходимой глубокую научную разработку проблемы способности людей к тем или иным видам деятельности. Разработка этой проблемы представляет как теоретический, так и практический интерес».

Список литературы:

Адамар Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики. М., 1970.
Ананьев Б.Г. Избранные труды: В 2-х томах. М., 1980.
Голубева Э.А., Гусева Е.П., Пасынкова А.В., Максимова Н.Е., Максименко В.И. Биоэлектрические корреляты памяти и успеваемости у старших школьников. Вопросы психологии, 1974, № 5.
Голубева Э.А. Способности и индивидуальность. М., 1993.
Кадыров Б.Р. Уровень активации и некоторые динамические характеристики психической активности.
Дис. канд. психол. наук. М., 1990.
Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников. М., 1968.
Мерлин В.С. Очерк интегрального исследования индивидуальности. М., 1986.
Печенков В.В. Проблема соотношения общих и специально человеческих типов в.н.д. и их психологических проявлений. В книге "Способности и склонности", М., 1989.
Пуанкаре А. Математическое творчество. М., 1909.
Рубинштейн С.Л. Основы общей психологии: В 2-х т. М., 1989.
Теплов Б.М. Избранные труды: В 2-х томах. М., 1985.

математический способность восприятие крутецкий

Анализ способностей вызывает необходимость различить понятия способностей, с одной стороны, и умений и навыков - с другой. Эти категории взаимосвязаны и взаимозависимы. С.Л. Рубинштейн писал о «своеобразной диалектике между способностями и умениями». С одной стороны, в процессе приобретения знаний, умений и навыков развиваются способности. Их формирование и развитие невозможно вне этого процесса. С другой стороны - способности позволяют быстрее, легче и глубже овладеть соответствующими знаниями, умениями и навыками.

Мы считаем, что реальная тесная связь и взаимозависимость способностей и умений, навыков не «закрывает» возможности дифференцировать эти категории. Как неверно было бы разрывать их, так неправильно было бы и отождествлять их.

Как же отличать способности от умений и навыков? В основе определения понятия «способности» лежит характеристика индивидуально-психологических особенностей человека. С другой стороны, все определения навыков, умений основываются из понятия деятельности. А.Н. Леонтьев говорит об умении как о целесообразном выполнении действий. В этом различие: когда говорят о способностях, имеют в виду психологическую характеристику человека в деятельности, когда говорят об умениях (навыках) - психологическую характеристику деятельности человека.

Все это дает основание следующим образом дифференцировать указанные понятия. Под способностями понимается индивидуально-психологические особенности человека, которые благоприятствуют овладению определенной, например, математической деятельностью, овладению соответствующими навыками и умениями; под умениями и навыками понимается конкретные акты деятельности (например, математической), которые осуществляются человеком на сравнительно высоком уровне (это понятие исходит из анализа данной конкретной деятельности).

Необходимо подчеркнуть, что при анализе, как умений, навыков, так и способностей анализируется деятельность. И о наличие способностей, и о наличие умений и навыков, необходимо судить по особенностям выполнения человеком соответствующей (например, математической) деятельности.

Классификация способностей человека.

В теории способности в первую очередь различают природные, или естественные и социальные человеческие способности, имеющие общественно-историческое происхождение.

К природным способностям относятся такие элементарные способности как восприятие, память, мышление, способность к элементарным коммуникациям на уровне экспрессии.

К социальным способностям относятся общие и специальные высшие интеллектуальные способности.

Общие способности включают в себя те, которыми определяются успехи человека в самых различных видах деятельности. К ним, например, относятся умственные способности, тонкость и точность ручных движений, развитая память, совершенная речь и ряд других. Специальные способности определяют успехи человека в специфических видах деятельности, для осуществления которых необходимы задатки особого рода и их развитие. К таким способностям можно отнести музыкальные, математические, лингвистические, технические, литературные, художественно-творческие, спортивные и ряд других.

Наличие у человека общих способностей не исключает развития специальных и наоборот. Нередко общие и специальные способности сосуществуют, взаимно дополняя и обогащая друг друга.

В зависимости от деятельности, которую осуществляет человек, специальные способности могут классифицироваться как:

1) Теоретические и практические способности. Эти способности отличаются тем, что первые предопределяют склонность человека к абстрактно-теоретическим размышлениям, а вторые - к конкретным, практическим действиям. Такие способности, в отличие от общих и специальных, часто не сочетаются друг с другом, вместе встречаясь только у одаренных, разносторонне талантливых людей.

2) Способности к общению, взаимодействию с людьми, а также предметно-деятелъностные, или предметно-познавательные, способности. Они в наибольшей степени социально обусловлены. В качестве примеров способностей первого вида можно привести речь человека как средство общения (речь в ее коммуникативной функции), способности межличностного восприятия и оценивания людей, способности социально-психологической адаптации к различным ситуациям, способности входить в контакт с различными людьми, располагать их к себе, оказывать на них влияние и т.п.

3) Учебные и творческие отличаются друг от друга по мнению Р.С. Немова тем, что первые определяют успешность обучения и воспитания, усвоения человеком знаний, умений, навыков, формирования качеств личности, в то время как вторые - создание предметов материальной и духовной культуры, производство новых идей, открытий и изобретений, словом - индивидуальное творчество в различных областях человеческой деятельности. Но нам кажется, различие между двумя способностями не носит абсолютный характер. Изучая математические способности школьников, мы имеем в виду не просто обучаемость.

В нашем исследовании будет идти речь хотя и об учебных способностях школьников, но и о творческих учебных способностях, связанных с самостоятельным творческим овладением математикой в условиях школьного обучения, с самостоятельной постановкой несложных математических проблем и нахождением путей и методов для их решения, изобретением доказательств, самостоятельным выведением формул. Все это несомненно тоже проявление математического творчества. Если критерием собственно математического мышления является наличие творческого начала, то не надо забывать, что математическое творчество может быть не только объективным, но и субъективным.

Устанавливая специфические критерии, отличающие творческий мыслительный процесс от нетворческого, А. Ньюэлл, Д. Шоу и Г. Саймон отмечают следующие признаки творческого мышления:

1) продукт мыслительной деятельности обладает новизной и ценностью как в субъективном и в объективном смысле;

мыслительный процесс также отличается новизной в том смысле, что требует преобразования ранее принятых идей или отказа от них.

Творческий мыслительный процесс характеризуется наличием сильной мотивацией и устойчивости, протекая либо в течение значительного периода времени, либо с большой интенсивностью.

Способности и успешное выполнение деятельности

Определяют успешность выполнения какой-либо деятельности не отдельные способности, а лишь их удачное сочетание, именно такое, какое для данной деятельности необходимо. Практически нет такой деятельности, успех в которой определялся бы лишь одной способностью. С другой стороны, относительная слабость какой-нибудь одной способности не исключает возможности успешного выполнения той деятельности, с которой она связана, так как недостающая способность может быть компенсирована другими, входящими в комплекс, обеспечивающий данную деятельность. К примеру, слабое зрение частично компенсируется особым развитием слуха и кожной чувствительности.

Способности не только совместно определяют успешность деятельности, но и взаимодействуют, оказывая влияние друг на друга. Сочетание различных высокоразвитых способностей называют одаренностью, и эта характеристика относится к человеку, способному ко многим различным видам деятельности.

Многоплановость и разнообразие видов деятельности, в которые одновременно включается человек, выступает как одно из важнейших условий комплексного и разностороннего развития его способностей. В этой связи следует обсудить основные требования, которые предъявляются к деятельности, развивающей способности человека. Р.С. Немов в теории социального научения выделил следующие требования: творческий характер деятельности, оптимальный уровень ее трудности для исполнителя, должная мотивация и обеспечение положительного эмоционального настроя в ходе и по окончании выполнения деятельности.

Если деятельность ребенка носит творческий, нерутинный характер, то она постоянно заставляет его думать и сама по себе становится достаточно привлекательным делом как средство проверки и развития способностей. Такая деятельность всегда связана с созданием чего-либо нового, открытием для себя нового знания, обнаружения в самом себе новых возможностей. Это само по себе становится сильным и действенным стимулом к занятиям ею, к приложению необходимых усилий, направленных на преодоление возникающих трудностей. Такая деятельность укрепляет положительную самооценку, повышает уровень притязаний, порождает уверенность в себе и чувство удовлетворенности от достигнутых успехов.

Если выполняемая деятельность находится в зоне оптимальной трудности, т.е. на пределе возможностей ребенка, то она ведет за собой развитие его способностей, реализуя то, что Л.С.Выготский называл зоной потенциального развития. Деятельность, не находящаяся в пределах этой зоны, гораздо в меньшей степени ведет за собой развитие способностей. Если она слишком проста, то обеспечивает лишь реализацию уже имеющихся способностей; если же она чрезмерно сложна, то становится невыполнимой и, следовательно, также не приводит к формированию новых умений и навыков.

Поддержание интереса к деятельности через стимулирующую мотивацию означает превращение цели соответствующей деятельности в актуальную потребность человека. В русле теории социального научения особо подчеркивалось то обстоятельство, что для приобретения и закрепления у человека новых форм поведения, необходимо научение, а оно без соответствующего подкрепления не происходит. Становление и развитие способностей - это тоже результат научения, и чем сильнее подкрепление, тем быстрее будет идти развитие. Что же касается нужного эмоционального настроя, то он создается таким чередованием успехов и неудач в деятельности, развивающей способности человека, при котором за неудачами (они не исключены, если деятельность находится в зоне потенциального развития) обязательно следует эмоционально подкрепляемые успехи, причем их количество в целом является большим, чем число неудач.

Математические способности

Исследованием математических способностей занимались и такие яркие представители определенных направлений в зарубежной психологии, как А. Бинэ, Э. Трондайк и Г. Ревеш, и такие выдающиеся математики, как А. Пуанкаре и Ж. Адамар. Большое разнообразие направлений определило и большое разнообразие в подходе к исследованию математических способностей, в методических средствах и теоретических обобщениях. Единственное, в чем сходятся все исследователи, это, пожалуй, мнение о том, что следует различать обычные, «школьные» способности к усвоению математических знаний, к их репродуцированию и самостоятельному применению и творческие математические способности, связанные с самостоятельным созданием оригинального и имеющего общественную ценность продукта. Большое единство взглядов проявляют зарубежные исследователи по вопросу о врожденности или приобретенности математических способностей. Если и здесь различать два разных аспекта этих способностей - «школьные» и творческие способности, то в отношении вторых существует полное единство - творческие способности ученого-математика являются врожденным образованием, благоприятная среда необходима только для их проявления и развития. В отношении «школьных» (учебных) способностей зарубежные психологи высказываются не столь единодушно. Здесь, пожалуй, доминирует теория параллельного действия двух факторов - биологического потенциала и среды. Основным вопросом в исследовании математических способностей (как учебных, так и творческих) за рубежом был и остается вопрос о сущности этого сложного психологического образования. Выделяют три важные проблемы.

Проблема специфичности математических способностей. Существуют ли собственно математические способности как специфическое образование, отличное от категории общего интеллекта? Или математические способности есть качественная специализация общих психических процессов и свойств личности, то есть общие интеллектуальные способности, развитые применительно к математической деятельности? Иначе говоря, можно ли утверждать, что математическая одаренность - это не что иное, как общий интеллект плюс интерес к математике и склонность заниматься ею?

Проблема структурности математических способностей. Является ли математическая одаренность унитарным (единым неразложимым) или интегральным (сложным) свойством? В последнем случае можно ставить вопрос о структуре математических способностей, о компонентах этого сложного психического образования.

Проблема типологических различий в математических способностях. Существуют ли различные типы математической одаренности или при одной и той же основе имеют место различия только в интересах и склонностях к тем или иным разделам математики?

Для математика недостаточно иметь хорошую память и внимание. По мнению Пуанкаре, людей, способных к математике, отличает умение уловить порядок, в котором должны быть расположены элементы, необходимые для математического доказательства. Наличие интуиции такого рода - есть основной элемент математического творчества. Одни люди не владеют этим тонким чувством и не обладают сильной памятью и вниманием и поэтому не способны понимать математику. Другие обладают слабой интуицией, но одарены хорошей памятью и способностью к напряженному вниманию и потому могут понимать и применять математику. Третьи владеют такой особой интуицией и даже при отсутствии отличной памяти могут не только понимать математику, но и делать математические открытия. Здесь речь идет о математическом творчестве, доступном немногим. Но, как писал Ж. Адамар, «между работой ученика, решающего задачу по алгебре или геометрии, и творческой работой разница лишь в уровне, в качестве, так как обе работы аналогичного характера». Для того чтобы понять, какие качества еще требуются для достижения успехов в математике, исследователями анализировалась математическая деятельность: процесс решения задач, способы доказательств, логических рассуждений, особенности математической памяти. Этот анализ привел к созданию различных вариантов структур математических способностей, сложных по своему компонентному составу. При этом мнения большинства исследователей сходились в одном - что нет и не может быть единственной ярко выраженной математической способности - это совокупная характеристика, в которой отражаются особенности разных психических процессов: восприятия, мышления, памяти, воображения.

Основным положением отечественной психологии в этом вопросе является положение о решающем значении социальных факторов в развитии способностей, ведущей роли социального опыта человека, условий его жизни и деятельности. Психические особенности не могут быть врожденными. Это целиком относится и к способностям. Способности всегда результат развития. Они формируются и развиваются в жизни, в процессе деятельности, в процессе обучения и воспитания. В индивидах должны существовать предпосылки, внутренние условия для развития способностей. А.Н. Леонтьев и А.Р. Лурия также говорят о необходимых внутренних условиях, делающих возможным возникновение способностей. Способности не заключены в задатках. В онтогенезе они не проявляются, а формируются. Задаток не потенциальная способность (а способность не задаток в развитии), так как анатомо-физиологическая особенность ни при каких условиях не может развиваться в психическую особенность.

Среди наиболее важных компонентов математических способностей выделяются специфическая способность к обобщению математического материала, способность к пространственным представлениям, способность к отвлеченному мышлению. Некоторые исследователи выделяют также в качестве самостоятельного компонента математических способностей математическую память на схемы рассуждений и доказательств, методы решения задач и принципы подхода к ним. Отечественный психолог, исследовавший математические способности у школьников, В.А. Крутецкий дает следующее определение математическим способностям: «Под способностями к изучению математики мы понимаем индивидуально-психологические особенности (прежде всего особенности умственной деятельности), отвечающие требованиям учебной математической деятельности и обусловливающие на прочих равных условиях успешность творческого овладения математикой как учебным предметом, в частности относительно быстрое, легкое и глубокое овладение знаниями, умениями и навыками в области математики».

"Нет ни одного ребенка не способного, бездарного. Важно, чтобы этот ум, эта талантливость стали основой успехов в учении, чтобы ни один ученик не учился ниже своих возможностей" (Сухомлинский В.А.)

В чём же заключаются математические способности? Или они есть не что иное, как качественная специализация общих психических процессов и свойств личности, то есть общие интеллектуальные способности, развитые применительно к математической деятельности? Является ли математическая способность унитарным или интегральным свойством? В последнем случае можно говорить о структуре математических способностей, о компонентах этого сложного образования. Ответы на эти вопросы искали психологи и педагоги еще начала века, но до сих пор нет единого взгляда на проблему математических способностей. Попробуем разобраться в этих вопросах, проанализировав работы некоторых ведущих специалистов, работавших над этой проблемой .

Большое значение в психологии придается проблеме способностей вообще и проблеме способностей школьников в частности. Целый ряд исследований психологов направлен на выявление структуры способностей школьников к различным видам деятельности.

В науке, в частности, в психологической, продолжается дискуссия о самой сущности способностей, их структуре, происхождении и развитии. Не вдаваясь в детали традиционных и новых подходов к проблеме способностей, укажем на некоторые основные спорные пункты различных точек зрения психологов на способности. Однако среди них нет единого подхода к данной проблеме .

Различие в понимании сущности способностей обнаруживается, прежде всего, в том, рассматриваются ли они как социально приобретенные свойства или же признаются как природные. Одни авторы под способностями понимают комплекс индивидуально-психологических особенностей человека, отвечающих требованиям данной деятельности и являющихся условием успешного ее выполнения, которые не сводятся к подготовленности, к имеющимся знаниям, умениям и навыкам. Здесь следует обратить внимание на несколько фактов. Во-первых, способности - это индивидуальные особенности, то есть то, что отличает одного человека от другого. Во-вторых, это не просто особенности, а психологические особенности. И, наконец, способности это не всякие индивидуально-психологические особенности, а лишь те, которые соответствуют требованиям определенной деятельности .

При другом подходе, наиболее ярко выраженном у К.К. Платонова, способностью считается любое качество "динамической функциональной структуры личности", если оно обеспечивает успешное освоение и выполнение деятельности. Однако, как отмечал В.Д. Шадриков, "при таком подходе к способностям онтологический аспект проблемы переносится на задатки , под которыми понимаются анатомо-физиологические особенности человека, составляющие основу развития способностей. Решение психофизиологической проблемы заводилось в тупик в контексте способностей как таковых, поскольку способности, как психологическая категория не рассматривались как свойство мозга. Не более продуктивен и признак успешности, ибо успешность деятельности определяется и целью, и мотивацией, и многими другими факторами". Согласно его теории способностей, продуктивно определить способности как особенности можно только по отношению к их единичному и всеобщему .

Всеобщим (общим) для каждой способности В.Д. Шадриков называет свойство, на основе которого реализуется конкретная психическая функция. Каждое свойство представляет собой сущностную характеристику функциональной системы. Именно для того чтобы реализовать это свойство, формировалась конкретная функциональная система в процессе эволюционного развития человека, например свойство адекватно отражать объективный мир (восприятие) или свойство запечатлевать внешние воздействия (память) и так далее. Свойство проявляется в процессе деятельности. Таким образом, теперь можно определить способности с позиции всеобщего как свойство функциональной системы, реализующее отдельные психические функции .

Различают два вида свойств: те, которые не обладают интенсивностью и поэтому не могут ее менять, и те, которые обладают интенсивностью, то есть могут быть больше или меньше. Гуманитарные науки имеют дело главным образом со свойствами первого вида, естественные со свойствами второго вида. Психические функции характеризуются свойствами, которые обладают интенсивностью, мерой выраженности. Это позволяет определить способности с позиции единичного (отдельного, индивидуального). Единичное будет представлено мерой выраженности свойства;

Таким образом, согласно представленной выше теории, способности можно определить как свойства функциональных систем, реализующих отдельные психические функции, которые имеют индивидуальную меру выраженности, проявляющуюся в успешности и качественном своеобразии освоения и реализации деятельности. При оценке индивидуальной меры выраженности способностей целесообразно использовать те же параметры, что и при характеристике любой деятельности: производительность, качество и надежность (в плане рассматриваемой психической функции).

Одним из инициаторов изучения математических способностей школьников был выдающийся французский математик А. Пуанкаре. Он констатировал специфичность творческих математических способностей и выделил их важнейший компонент - математическую интуицию. С этого времени началось изучение этой проблемы. Впоследствии психологи выделили три вида математических способностей - арифметические, алгебраические и геометрические. При этом оставался неразрешимым вопрос о наличии математических способностей .

В свою очередь, исследователи В. Хаекер и Т. Циген выделили четыре основных сложных компонента: пространственный, логический, числовой, символический, являющихся "ядром" математических способностей. В этих компонентах они различали понимание, запоминание, оперирование .

Наряду с основным компонентом математического мышления - способностью к избирательному мышлению, к дедуктивному рассуждению в числовой и символической сферах, способностью к абстрактному мышлению, А. Блекуэлл выделяет еще и способность к манипулированию пространственными объектами. Также он отмечает вербальную способность и способность сохранять в памяти данные в их точном и строгом порядке и значении .

Значительная часть их представляет интерес и сегодня. В книге, которая в оригинале названа "Психология алгебры", Э. Торндайк формулирует сначала общие математические способности : умение обращаться с символами, выбирать и устанавливать соотношения, обобщать и систематизировать, определенным образом выбирать существенные элементы и данные, приводить в систему идеи и навыки. Он выделяет также специальные алгебраические способности : возможность понимать и составлять формулы, выражать в виде формулы количественные соотношения, преобразовывать формулы, составлять уравнения, выражающие данные количественные отношения, решать уравнения, выполнять тождественные алгебраические преобразования, графически выражать функциональную зависимость двух величин и т.д.

Одно из самых значительных со времени выхода работ Э. Торндайка исследований математических способностей принадлежит шведскому психологу И. Верделину. Он дает весьма широкое определение математических способностей, в котором отражает репродуктивный и продуктивный аспекты, понимание и применение, но основное внимание он уделяет важнейшему из этих аспектов - продуктивному, который исследует в процессе решения задач. Ученый полагает, что на характере математических способностей может сказываться метод обучения .

Крупнейший швейцарский психолог Ж. Пиаже придавал большое значение мыслительным операциям, выделяя в онтогенетическом развитии интеллекта стадию малоформализированных конкретных операций, связанных с конкретными данными, и стадию обобщенных формализированных операций, когда организуются операторные структуры. Он соотносил последние с тремя фундаментальными математическими структурами, которые выделены Н. Бурбаки: алгебраическими, структурами порядка и топологическими. Ж. Пиаже обнаруживает все типы этих структур в развитии арифметических и геометрических операций в сознании ребенка и в особенностях логических операций. Отсюда делается вывод о необходимости синтеза математических структур и операторных структур мышления в процессе преподавания математики .

В психологии исследованием проблемы математических способностей занимался В.А. Крутецкий. В своей книге "Психология математических способностей школьников" он приводит следующую общую схему структуры математических способностей школьников. Во-первых, получение математической информации - способность к формализированному восприятию математического материала, схватыванию структуры задачи. Во-вторых, переработка математической информации - способность к логическому мышлению в сфере количественных и пространственных отношений, числовой и знаковой символики, способность мыслить математическими символами, способность к быстрому и широкому обобщению математических объектов, отношений и действий, способность к свертыванию процесса математических рассуждений и системы соответствующих действий, способность мыслить свернутыми структурами. Также необходима гибкость мыслительных процессов в математической деятельности, стремление к ясности, простоте, экономности и рациональности решений. Существенную роль играет тут способность к быстрой и свободной перестройке направленности мыслительного процесса, переключению с прямого на обратный ход мысли (обратимость мыслительного процесса при математическом рассуждении). В-третьих, хранение математической информации - математическая память (обобщенная память на математические отношения, типовые характеристики, схемы рассуждений и доказательств, методы решения задач и принципы подхода к ним). И, наконец, общий синтетический компонент - математическая направленность ума. Все приведенные выше исследования позволяют утверждать, что фактор общих математических рассуждений лежит в основе общих умственных способностей, и математические способности имеют общеинтеллектуальную основу .

Из различного понимания сущности способностей вытекает различный подход к раскрытию их структуры, которая у разных авторов предстает в виде набора разных качеств, классифицируемых по разным основаниям и находящихся в разном соотношении.

Нет однозначного ответа и на вопрос о генезисе и развитии способностей, их связи с деятельностью. Наряду с утверждением, что способности в своей родовой форме существуют у человека до деятельности как предпосылка ее реализации. Высказывалась и другая, противоречивая точка зрения: способности не существуют до деятельности Б.М. Тепловым. Последнее положение заводит в тупик, так как непонятно, каким образом начинает совершаться деятельность без способностей к ней. В действительности способности на определенном уровне их развития существуют до деятельности, а с началом ее проявляются и затем развиваются в деятельности, если она предъявляет все более высокие требования к человеку .

Однако это не раскрывает соотношения навыков и способностей. Решение этой проблемы предложил В.Д. Шадриков. Он считает, что суть онтологических различий способностей и навыков заключается в следующем: способность описывается функциональной системой, одним из ее обязательных элементов является природный компонент, в качестве которого выступают функциональные механизмы способностей, а навыки описываются изоморфной системой, одним из ее главных компонентов являются способности, выполняющие в этой системе те функции, которые в системе способностей реализуют функциональные механизмы. Таким образом, функциональная система навыков как бы произрастает из системы способностей. Это система вторичного уровня интеграции (если принять систему способностей за первичную) .

Говоря о способностях вообще, следует указать, что способности бывают разного уровня учебные и творческие. Учебные способности связаны с усвоением уже известных способов выполнения деятельности, приобретением знаний, умений и навыков. Творческие способности связаны с созданием нового, оригинального продукта, с нахождением новых способов выполнения деятельности. С этой точки зрения различают, например, способности к усвоению, изучению математики и творческие математические способности. Но, как писал Ж. Адамар, "между работой ученика, решающего задачу …, и творческой работой разница лишь в уровне, так как обе работы аналогичного характера" .

Природные предпосылки имеют значение, однако, они не являются собственно способностями, а являются задатками. Сами по себе задатки не означают, что у человека разовьются соответствующие способности. Развитие способностей зависит от многих социальных условий (воспитание, потребность в общении, система образования).

Виды способностей:

1. Природные (естественные) способности.

Являются общими для человека и животных: восприятие, память, способность к элементарной коммуникации. Данные способности непосредственно связаны с врожденными задатками. На базе этих задатков у человека, при наличии элементарного жизненного опыта, через механизмы учения, формируются специфические способности.

2. Специфические способности.

Общие: определяют успехи человека в различных видах деятельности (мыслительные способности, речь, точность ручных движений).

Специальные: определяют успехи человека в специфических видах деятельности, для осуществления которых необходимы задатки особого рода и их развитие (музыкальные, математические, лингвистические, технические, художественные способности).

Кроме того, способности делят на теоретические и практические. Теоретические предопределяют склонность человека к абстрактно-теоретическим размышлениям, а практические - к конкретным практическим действиям. Чаще всего теоретические и практические способности не сочетаются друг с другом. Большинство людей обладают или одним, или другим типом способностей. Вместе они встречаются крайне редко.

Существует также деление на учебные и творческие способности. Первые определяют успешность обучения, усвоения знаний, умений и навыков, а вторые определяют возможность открытий и изобретений, создания новых предметов материальной и духовной культуры.

3. Творческие способности.

Это в первую очередь умение человека находить особый взгляд на привычные и повседневные вещи или задачи. Это умение напрямую зависит от кругозора человека. Чем больше он знает, тем легче ему взглянуть на исследуемый вопрос с разных ракурсов. Творческая личность постоянно стремится больше узнать об окружающем мире не только в области своей основной деятельности, но и в смежных отраслях. В большинстве случаев творческий человек - это в первую очередь оригинально мыслящий человек, способный на нестандартные решения.

Уровни развития способностей:

1) Задатки - природные предпосылки способностей;
2) Способности - сложное, интегральное, психическое образование, своеобразный синтез свойств и компонентов;
3) Одаренность - своеобразное сочетание способностей, которое обеспечивает человеку возможность успешного выполнения какой-либо деятельности;
4) Мастерство - совершенство в конкретном виде деятельности;
5) Талант - высокий уровень развития специальных способностей (это определенное сочетание высокоразвитых способностей, т.к. изолированная способность, даже очень высокоразвитая, не может быть названа талантом);
6) Гениальность - высший уровень развития способностей (за всю историю цивилизации было не более 400 гениев).

Общие умственные способности - это способности, которые необходимы для выполнения ни какой-то одной, а многих видов деятельности. К общим умственным способностям относят, например, такие качества ума, как умственная активность, критичность, систематичность, сосредоточенное внимание. Человек от природы наделен общими способностями. Любая деятельность осваивается на фундаменте общих способностей, которые развиваются в этой деятельности .

Как отмечает В.Д. Шадриков, "специальные способности" есть общие способности, приобретшие черты оперативности под влиянием требований деятельности". Специальные способности это способности, которые необходимы для успешного овладения какой-нибудь одной определенной деятельностью. Эти способности также представляют собой единство отдельных частных способностей. Например, в составе математических способностей большую роль играет математическая память; способность к логическому мышлению в области количественных и пространственных отношений; быстрое и широкое обобщение математического материала; легкое и свободное переключение от одной умственной операции к другой; стремление к ясности, экономичности, рациональности рассуждений и так далее. Все частные способности объединяются стержневой способностью математической направленностью ума (под которой понимают тенденцию вычленять при восприятии пространственные и количественные отношения, функциональные зависимости), связанной с потребностью в математической деятельности.

А. Пуанкаре пришел к выводу, что важнейшее место в математических способностях занимает умение логически выстроить цепь операций, которые приведут к решению задачи. Кроме того, для математика недостаточно иметь хорошую память и внимание. По мнению Пуанкаре, людей, способных к математике, отличает умение уловить порядок, в котором должны быть расположены элементы, необходимые для математического доказательства. Наличие интуиции такого рода есть основной элемент математического творчества .

Л.А. Венгер относит к математическим способностям такие особенности умственной деятельности, как обобщение математических объектов, отношений и действий, то есть способность видеть общее в разных конкретных выражениях и задачах; способность мыслить "свернутыми”, крупными единицами и "экономно", без лишней детализации; способность переключения с прямого на обратный ход мысли .

Для того чтобы понять, какие еще качества требуются для достижения успехов в математике, исследователями анализировалась математическая деятельность: процесс решения задач, способы доказательств, логических рассуждений, особенности математической памяти. Этот анализ привел к созданию различных вариантов структур математических способностей, сложных по своему компонентному составу. При этом мнения большинства исследователей сходились в одном: что нет, и не может быть единственной ярко выраженной математической способности это совокупная характеристика, в которой отражаются особенности разных психических процессов: восприятия, мышления, памяти, воображения.

Выделение наиболее важных компонентов математических способностей представлено на рисунке 1:

Рисунок 1

Некоторые исследователи выделяют также в качестве самостоятельного компонента математическую память на схемы рассуждений и доказательств, методы решения задач и способы подхода к ним. Одним из них является В.А. Крутецкий. Он так определяет математические способности: "Под способностями к изучению математики мы понимаем индивидуально-психологические особенности (прежде всего особенности умственной деятельности), отвечающие требованиям учебной математической деятельности и обуславливающие на прочих равных условиях успешность творческого овладения математикой как учебным предметом, в частности относительно быстрое, легкое и глубокое овладение знаниями, умениями и навыками в области математики".

В своей работе мы, главным образом, будем опираться на исследования именно этого психолога, так как его исследования этой проблемы и на сегодняшний день являются самыми глобальными, а выводы наиболее экспериментально обоснованными.

Итак, В.А. Крутецкий различает девять компонентов математических способностей:

1. Способность к формализации математического материала, к отделению формы от содержания, абстрагированию от конкретных количественных отношений и пространственных форм и оперированию формальными структурами, структурами отношений и связей;
2. Способность обобщать математический материал, вычленять главное, отвлекаясь от несущественного, видеть общее во внешне различном;
3. Способность к оперированию числовой и знаковой символикой;
4. Способность к "последовательному, правильно расчлененному логическому, рассуждению", связанному с потребностью в доказательствах, обосновании, выводах;
5. Способность сокращать процесс рассуждения, мыслить свернутыми структурами;
6. Способность к обратимости мыслительного процесса (к переходу с прямого на обратный ход мысли);
7. Гибкость мышления, способность к переключению от одной умственной операции к другой, свобода от сковывающего влияния шаблонов и трафаретов;
8. Математическая память. Можно предположить, что ее характерные особенности также вытекают из особенностей математической науки, что это память на обобщения, формализованные структуры, логические схемы;
9. Способность к пространственным представлениям, которая прямым образом связана с наличием такой отрасли математики, как геометрия .

Кроме перечисленных, есть и такие компоненты, наличие которых в структуре математических способностей, хотя и полезно, не обязательно. Учителю, прежде чем относить ученика к числу способных или неспособных к математике, необходимо это учитывать. Не являются обязательными в структуре математической одаренности следующие компоненты:

1. Быстрота мыслительных процессов как временная характеристика.
2. Индивидуальный темп работы не имеет решающего значения. Ученик может размышлять неторопливо, медленно, но обстоятельно и глубоко.
3. Способности к быстрым и точным вычислениям (в частности в уме). На самом деле вычислительные способности далеко не всегда связаны с формированием подлинно математических (творческих) способностей.
4. Память на цифры, числа, формулы. Как указывал академик А.Н. Колмогоров, многие выдающиеся математики не обладали сколько-нибудь выдающейся памятью такого рода.

Большинство психологов и педагогов, говоря о математических способностях, опираются именно на эту структуру математических способностей В.А. Крутецкого. Однако в процессе различных исследований математической деятельности учеников, проявляющих способности к этому школьному предмету, некоторыми психологами были выделены и другие компоненты математических способностей. В частности, нас заинтересовали результаты исследовательской работы З.П. Горельченко. Он отметил у способных к математике учеников следующие особенности. Во-первых, он уточнил и расширил компонент структуры математических способностей, называемый в современной психологической литературе "обобщение математических понятий" и высказал мысль о единстве двух противоположных тенденций мышления учащегося к обобщению и "сужению" математических понятий. В указанном компоненте, можно видеть отражение единства индуктивного и дедуктивного методов познания учащимися нового в математике. Во-вторых, диалектические зачатки в мышлении учащихся при усвоении новых математических знаний. Это проявляется в том, что почти в любом отдельном математическом факте наиболее способные учащиеся стремятся усмотреть, понять факт, ему противоположный, или, по крайне мере, рассмотреть предельный случай исследуемого явления. В-третьих, он отметил особое повышенное внимание к возникающим новым математическим закономерностям, противоположным ранее установленным .

Одним из характерных признаков повышенных математических способностей учащихся и переходу их к зрелому математическому мышлению может считаться и относительно раннее понимание надобности аксиом как исходных истин при доказательствах. Доступное изучение аксиом и аксиоматического метода в значительной мере способствует ускорению развития дедуктивного мышления учащихся. Замечено также, что эстетическое чувство в математической работе у разных учащихся проявляется по-разному. По-разному различные ученики отвечают и на попытку воспитать и развить у них эстетическое чувство, соответствующее их математическому мышлению. Помимо указанных компонентов математических способностей, которые можно и должно развивать, необходимо учитывать еще и то, что успешность осуществления математической деятельности является производным определенного сочетания качеств: активного положительного отношения к математике, интереса к ней, стремления заниматься ею, переходящими на высоком уровне развития в страстную увлеченность. Также можно выделить ряд характеристических черт, таких как: трудолюбие, организованность, самостоятельность, целеустремленность, настойчивость, а также устойчивых интеллектуальных качеств, чувства удовлетворения от напряженной умственной работы, радость творчества, открытия и так далее.

Наличие во времени осуществления деятельности благоприятных для выполнения психических состояний, например, состояние заинтересованности, сосредоточенности, хорошего "психического" самочувствия и т.д. Определенный фонд знаний, умений и навыков в соответствующей области. Определенные индивидуально-психологические особенности в сенсорной и умственной сферах, отвечающие требованиям данной деятельности .

Наиболее способных к математике учащихся отличает особый эстетический склад математического мышления. Он позволяет им сравнительно легко понимать некоторые теоретические тонкости в математике, улавливать безупречную логику и красоту математических рассуждений, фиксировать малейшую шероховатость, неточность в логическом строе математических концепций. Самостоятельное устойчивое стремление к оригинальному, нешаблонному, изящному решению математической задачи, к гармоническому единству формальных и семантических компонентов решения задачи, блестящие догадки, иногда опережающие логические алгоритмы, порою трудно переложимые на язык символов, свидетельствуют о наличии в мышлении чувства хорошо развитого математического предвидения, являющегося одной из сторон эстетического мышления в математике. Повышенные эстетические эмоции при математическом размышлении присущи в первую очередь учащимся с высоко развитыми математическими способностями и совместно с эстетическим складом математического мышления могут служить существенным признаком наличия математических способностей у школьников .

ДОКЛАД

НА ТЕМУ:

«Развитие математических способностей младших школьников при обучении математике»

Выполнила:

Сидорова Екатерина Павловна

МОУ «Бендерская средняя

общеобразовательная школа №15»

учитель начальных классов

г. Бендеры, 2014 г.

Тема: «Развитие математических способностей младших школьников при обучении математике»

Глава1:Психолого-педагогические основы формирования математических способностей у младших школьников

1.1Определение понятия «Математические способности»

1.3.Обучение математике - основной способ развития математических способностей младших школьников

Глава2:Методика выявления особенностей формирования математических способностей в процессе решения математических задач

2.1.опытно-экспериментальная работа по формированию математических способностей у младшего школьника в процессе решения математических задач. Его результаты

2.2.определение уровня математических способностей у детей младшего школьного возраста

Введение

Проблема математических способностей в психологии представляет обширное поле действия для исследователя. В силу противоречий между различными течениями в психологии, а также внутри самих течений, пока не ведется речь о точном и строгом понимании содержания этого понятия. Вместе с тем следует отметить неугасающий интерес к этой проблеме во всех течениях психологии, что делает проблему развития математических способностей актуальной.

Практическая ценность исследований по этой теме очевидна: математическое образование играет ведущую роль в большинстве образовательных систем, а оно, в свою очередь, станет более эффективным после научного обоснования его основы – теории математических способностей. Как утверждал В. А. Крутецкий: «Задача всестороннего и гармонического развития личности человека делает совершенно необходимой глубокую научную разработку проблемы способности людей к тем или иным видам деятельности. Разработка этой проблемы представляет как теоретический, так и практический интерес» .

Разработка действенных средств развития математических способностей важна для всех звеньев школы, но особенно актуальна она для системы начального обучения, где закладывается фундамент школьной успеваемости, формируются основные стереотипы учебной деятельности, воспитывается отношение к учебному труду.

В исследование математических способностей внесли свой вклад такие яркие представители определенных направлений в зарубежной психологии, как А. Бинэ, Э. Трондайк и Г. Ревеш. Изучением влияния социальных факторов на способности ребенка занимались С. Л. Рубинштейн, А.Н.Леонтьев, А. Р. Лурия. Проводили исследования задатков, лежащих в основе способностей А.Г. Ковалева, Мясищева. Общую схему структуры математических способностей в школьном возрасте предложил В. А. Крутецкий.

Целью работы является развитие математических способностей младших школьников в процессе решения математических задач.

Объект исследования: учебно-воспитательный процесс в начальных классах, направленный на развитие математических способностей учащихся.

Предметом исследования являются особенности формирования математических способностей у младших школьников.

Гипотезой исследования является следующее предположение: в процессе решения математических задач происходит развитие математических способностей у младших школьников если:

предлагать младшим школьникам для решения эвристические задачи;

задачи на изучение символов математики и геометрических образов чисел;

Задачи исследования:

Выявить содержание понятия математических способностей.

Изучить опыт эффективной психологической деятельности по развитию математических способностей у младших школьников;

Выявить содержание понятия математических способностей;

Учитывать опыт эффективной психологической деятельности по формированию математических способностей у младших школьников;

Методы исследования:

Изучение опыта эффективной деятельности психологических служб по формированию математических способностей у младших школьников в процессе решения математических задач.

Наблюдение за учебной деятельностью младших школьников и процессом решения математических задач.

Педагогический эксперимент.

Практическое значение исследования заключается в том, что выявленная система занятий с детьми по развитию математических способностей, которая включает в себя различные типы математических задач, может быть использована психологами, педагогами и родителями в работе с детьми младшего школьного возраста. Предложенные в курсовой работе методики развития математических способностей у детей младшего школьного возраста через решение задач, с использованием приемов конкретизации, абстрагирования, варьирования, аналогии, постановки аналитических вопросов, могут использоваться в работе школьного психолога.

Глава I . Психолого-педагогические основы формирования математических способностей у младших школьников.

Изучение познавательных особенностей, лежащих в основе овладения знаниями, - одно из главных направлений в поисках резервов повышения эффективности школьного обучения.

Перед современной школой стоят задачи дать общее образование, обеспечить развитие общих способностей и всемерно поддерживать ростки специальных дарований. При этом необходимо учитывать, что обучение и воспитание «оказывают формирующее влияние на умственные возможности подростков не непосредственно, а через внутренние условия - возрастные и индивидуальные».

Под способностями, по Теплову, понимаются индивидуально-психологические особенности, обуславливающие лёгкость и быстроту приобретения знаний, навыков, которые, однако, и не сводятся к этим особенностям. В качестве природных предпосылок развития способностей рассматриваются анатомо-физиологические особенности мозга и нервной системы типологические свойства нервной системы, соотношение 1 и 2 сигнальных систем, индивидуальные особенности строения анализаторов и специфика межполушарного взаимодействия.

Один из самых сложных вопросов психологии способностей – вопрос о соотношении врождённого (природного) и приобретённого в способностях. Основным положением в отечественной психологии в этом вопросе является положение о решающем значении социальных факторов в развитии способностей, ведущей роли социального опыта человека, условий его жизни и деятельности. Психологические особенности не могут быть врождёнными. Это целиком и к способностям. Они формируются и развиваются в жизни, в процессе деятельности, в процессе обучения и воспитания.

А.Н.Леонтьев говорил о необходимости различать у человека два рода способностей природные или естественные (в своей основе биологические, например способность быстрого образования условных связей)и способности специфически человеческие (общественно-исторического происхождения). «Человек наделён от рождения только одной способностью – способностью к формированию специфических человеческих способностей». В дальнейшем речь будет идти только о специфически человеческих способностях.

Решающую и определяющую роль играют общественный опыт, социальное воздействие, воспитание.

Принципиальное решение этого вопроса в отечественной психологии таково: врождёнными способности быть не могут, врождёнными могут быть только задатки способностей - некоторые анатомо-физиологические особенности мозга и нервной системы, с которыми человек появляется на свет.

Природные данные являются одним из важнейших условий сложного процесса формирования и развития способностей. Как отмечал С.Л.Рубинштейн, способности не предопределены, но не могут быть просто насажаны извне. В индивидах должны существовать предпосылки, внутренние условия для развития способностей.

Но признание реального значения врождённых задатков ни в коем случаи не обозначает признание фатальной обусловленности развитие способностей врождёнными особенностями. Способности не заключены в задатках. В онтогенезе они не проявляются, а формируются.

Несколько иное понимание задатков даётся в работах А.Г.Ковалёва и В.Н.Мясищева. Под задатками они понимают психофизиологические свойства, в первую очередь те, которые обнаруживаются в самой ранней фазе овладения той или иной деятельностью (например, хорошее цветоразличение, зрительная память). Другими словами, задатки – это первичная природная способность, ещё не развитая, но дающая о себе знать при первых пробах деятельности. Однако, сохраняется основное положение способности в собственном смысле слова формируются, в деятельности, являются прижизненным образованием.

Когда говорят о задатках способностей, обычно в первую очередь имеют в виду типологические свойства нервной системы. Как известно, типологические свойства – природная основа индивидуальных различий между людьми. На этой основе возникают сложнейшие системы разнообразных временных связей – скорость их образования, их прочность, лёгкость дифференцировок. Они определяют силу сосредоточенного внимания, умственную работоспособность.

Ряд исследований показал, что наряду с общими типологическими свойствами, характеризующими нервную систему в целом, существуют частные типологические свойства, характеризующие работу отдельных областей коры, выявляемые по отношению к разным анализаторам и разным системам мозга. В отличие от общих типологических свойств, которые определяют темперамент, частные типологические свойства имеют наибольшее значение при изучение специальных способностей.

А.Г. Ковалёв и В.Н.Мясищев склонны придавать несколько большее значение, чем другие психологи, природной стороне, естественным предпосылкам развития. А.Н.Леонтьев и его последователи склонны в большей степени подчёркивать, роль воспитания в формировании способностей.

В исследование математических способностей внесли свой вклад и такие яркие представители определённых направлений в психологии, как А.Бинэ, Э.Торндайк и Г.Ревеш, и такие выдающиеся математики, как А.Пуанкаре и Ж.Адамар. Большое разнообразие направлений определяет и большое разнообразие в подходах к исследованию математических способностей. Разумеется, исследование математических способностей следует начинать с определения. Попытки такого рода делались неоднократно, но установившегося, удовлетворяющего всех определения математических способностей не имеется до сих пор. Единственное, в чём сходятся все исследователи, это, пожалуй, мнение о том, что следует различать обычные, «школьные» способности к усвоению математических знаний, к их репродуцированию и самостоятельному применению и творческие математические способности, связанные с самостоятельным созданием оригинального и имеющего общественную ценность продукта.

Ещё в 1918 году в работе А.Роджерс отмечались две стороны математических способностей, репродуктивная (связанная с функцией памяти) и продуктивная (связанная с функцией мышления). В. Бетц определяет математические способности как способности ясного осознания внутренней связи математических отношений и способность точно мыслить математическими понятиями.

Из работ отечественных авторов необходимо упомянуть оригинальную статью Д.Мордухай-Болтовского «Психология математического мышления», опубликованную в 1918 мы обсуждали необходимость применения источников до конца прошлого века!

году. Автор, специалист математик, писал с идеалистической позиции, придавая, например, особо значение «бессознательному мыслительному процессу», утверждая, что «мышление математика глубоко внедряется в бессознательную сферу, то, всплывая на её поверхность, то погружаясь в глубину. Математик не осознает каждого шага своей мысли, как виртуоз движения смычка». Внезапное появление в сознание готового решения какой-либо задачи, которую мы не можем долго решить, -пишет автор, - мы объясняем бессознательным мышлением, которое продолжало заниматься задачей, а результат всплывает за порог сознания. По мнению Мордухай-Болтовского наш ум способен производить кропотливую и сложную работу в подсознании, где и совершается вся «черновая» работа, причём бессознательная работа мысли даже отличается меньшей погрешностью, чем сознательная.

Автор отмечает совершенно специфический характер математического таланта и математического мышления. Он утверждает, что способность к математике не всегда присуще даже гениальным людям, что между математическим и нематематическим умом есть существенная разница. Большой интерес представляет попытка Мордухай-Болтовского выделить компоненты математических способностей. К таким компонентам он относит в частности:

*«сильную память», память на «предметы того типа, с которыми имеет дело математика», память скорее не на факты, а на идеи и мысли.

*«остроумие», под которым понимается способность «обнимать в одном суждении» понятия из двух малосвязанных областей мысли, находить в уже известном сходное с данным, отыскивать сходное в самых отделённых казалось бы, совершенно разнородных предметах.

* «быстроту мысли» (быстрота мысли объясняется той работой, которую совершает бессознательное мышление в помощь сознательному). Бессознательное мышление, по мнению автора, протекает гораздо быстрее, чем сознательное.

Д.Мордухай-Болтовский высказывает так же свои соображения по поводу типов математического воображения, которые лежат в основе разных типов математиков – «геометров» и «алгебраистов». Арифметики, алгебраисты и вообще аналитики, у которых открытие производится в самой абстрактной форме прорывных количественных символов и их взаимоотношений, не могут воображать так, как «геометр».

Советская теория способностей создавалась совместным трудом виднейших отечественных психологов, из которых в первую очередь надо назвать Б.М.Теплова, а так же Л.С.Выготского, А.Н.Леонтьева, С.Л.Рубинштейна и Б.Г.Ананьева.

Помимо общетеоретических исследований проблемы математических способностей, В.А.Крутецкий своей монографией «Психология математических способностей школьников» положил начало экспериментальному анализу структуры математических способностей.

Под способностями к изучению математики он понимает индивидуально-психологические особенности (прежде всего особенности умственной деятельности), отвечающие требованиям учебной математической деятельности и обуславливающие при прочих равных условиях успешность творческого овладения математикой как учебным предметом, в частности относительно быстрое, лёгкое и глубокое овладения знаниями, умениями, навыками в области математики. Д.Н.Богоявленский и Н.А.Менчинская, говоря об индивидуальных различиях в обучаемости детей, вводит понятие психологических свойств, определяющих при прочих равных условиях успех в учении. Они не употребляют термина «способности», но по существу соответствующее понятие близко к тому определению, которое дано выше.

Математические способности - сложное структурное психическое образование, своеобразный синтез свойств, интегральное качество ума, охватывающее разнообразные его стороны и развивающееся в процессе математической деятельности. Указанная совокупность представляет собой единое качественно-своеобразное целое, - только в целях анализа мы выделяем отдельные компоненты, отнюдь не рассматривая их как изолированные свойства. Эти компоненты тесно связаны, влияют друг на друга и образуют в своей совокупности единую систему, проявления которой мы условно называем «синдром математической одаренности».

Исследование математических способностей включает в себя и решение одной из важнейших проблем - поиска природных предпосылок, или задатков, данного вида способностей. К задаткам относятся врожденные анатомо-физиологические особенности индивида, которые рассматриваются как благоприятные условия для развития способностей. Долгое время задатки рассматривались как фактор, фатально предопределяющий уровень и направление развития способностей. Классики отечественной психологии Б. М. Теплов и С.Л. Рубинштейн научно доказали неправомерность такого понимания задатков и показали, что источником развития способностей является тесное взаимодействие внешних и внутренних условий. Выраженность того или иного физиологического качества ни в коей мере не свидетельствует об обязательном развитии конкретного вида способностей. Оно может являться лишь благоприятным условием для этого развития. Типологические свойства, входящие в состав задатков и являющиеся важной их составляющей, отражают такие индивидуальные особенности функционирования организма, как предел работоспособности, скоростные характеристики нервного реагирования, способность перестройки реакции в ответ на изменение внешних воздействий.

Общая схема структуры математических способностей в школьном возрасте по В. А. Крутецкому. Собранный В. А. Крутецким материал позволил ему выстроить общую схему структуры математических способностей в школьном возрасте:

Получение математической информации.

Способность к формализованному восприятию математического материала, схватыванию формальной структуры задачи.

Переработка математической информации.

Способность к логическому мышлению в сфере количественных и пространственных отношений, числовой и знаковой символики.

Способность мыслить математическими символами.

Способность к быстрому и широкому обобщению математических объектов, отношений и действий.

Способность к свертыванию процесса математического рассуждения и системы соответствующих действий. Способность мыслить свернутыми структурами.

Гибкость мыслительных процессов в математической деятельности.

Стремление к ясности, простоте, экономности и рациональности решений.

Способность к быстрой и свободной перестройке направленности мыслительного процесса, переключению с прямого на обратный ход мысли (обратимость мыслительного процесса при математическом рассуждении).

Хранение математической информации.

Математическая память (обобщенная память на математические отношения, типовые характеристики, схемы рассуждений и доказательств, методы решения задач и принципы подхода к ним).

Общий синтетический компонент.

Математическая направленность ума.

1.2.Условия формирования математических способностей младших школьников в процессе обучения математике.

Так как целью нашей работы является не просто список рекомендаций, необходимых для успешного овладения детьми математическими знаниями, а разработка рекомендаций к занятиям, целью которых является развитие математических способностей, то остановимся подробней на условиях формирования собственно математических способностей. Как уже отмечалось, способности формируются и развиваются только в деятельности. Однако, для того, чтобы деятельность положительно влияла на способности, она должна удовлетворять некоторым условиям.

Во-первых, деятельность должна вызывать у ребенка сильные и устойчивые положительные эмоции, удовольствие. Ребенок должен испытывать чувство радостного удовлетворения от деятельности, тогда у него возникает стремление по собственной инициативе, без принуждений заниматься ею. Живая заинтересованность, желание выполнить работу возможно лучше, а не формальное, равнодушное, безразличное отношение к ней необходимые условия того, чтобы деятельность положительно влияла на развитие способностей.Если ребенок предполагает, что ему не справиться с задачей, он стремится ее обойти, формируется негативное отношение к заданию и к предмету вообще. Чтобы этого избежать, учитель должен создавать для ребенка “ситуацию успеха”, должен замечать и одобрять любые достижения ученика, повышать его самооценку. Это особенно касается математики, так как этот предмет большинству детей дается нелегко.

Поскольку способности могут принести плоды лишь в том случае, когда они сочетаются с глубоким интересом и устойчивой склонностью к соответствующей деятельности, учителю надо активно развивать интересы детей, стремясь к тому, чтобы эти интересы не носили поверхностного характера, а были серьезными, глубокими, устойчивыми и действенными.

Во-вторых, деятельность ребенка должна быть по возможности творческой. Творчество детей при занятиях математикой может проявляться в необычном, нестандартном решении задачи, в раскрытии детьми способов и приемов вычислений. Для этого учитель должен ставить перед детьми посильные проблемы и добиваться того, чтобы дети с помощью наводящих вопросов самостоятельно решали их.

В-третьих, важно организовать деятельность ребенка так, чтобы он преследовал цели, всегда немного превосходящие его наличные возможности, уже достигнутый им уровень выполнения деятельности. Здесь мы можем говорить об ориентировании на “зону ближайшего развития” учащегося. Но чтобы соблюсти это условие, необходим индивидуальный подход к каждому ученику.

Таким образом, исследуя структуру способностей вообще и математических способностей в частности, а также возрастные и индивидуально характерологические особенности детей младшего школьного возраста, можем сделать следующие выводы:

В психологической науке еще не выработано единого взгляда на проблему способностей, их структуры, происхождения и развития.

Если под математическими способностями подразумевать все индивидуально-психологические особенности человека, способствующие успешному овладению математической деятельностью, то нужно вычленить такие группы способностей: самые общие способности (условия), необходимые для успешного осуществления любой деятельности:

 трудолюбие;

 настойчивость;

 работоспособность;

кроме того, хорошо развитые произвольная память и произвольное внимание, интерес и склонность заниматься данной деятельностью;

общие элементы математических способностей, те общие особенности мыслительной деятельности, которые необходимы для очень широкого круга деятельности;

специфические элементы математических способностей  особенности умственной деятельности, которые свойственны только математику, специфичные именно для математической деятельности в отличие от всех других.

Математические способности -это сложное, интегрированное образование, основными компонентами которого являются:

Способность к формализации математического материала;

Способность к обобщению математического материала;

Способность к логическому рассуждению;

Способность к обратимости мыслительного процесса;

Гибкость мышления;

Математическая память;

Стремление к экономии умственных сил.

Компоненты математических способностей в младшем школьном возрасте представлены лишь в своем “зародышевом” состоянии. Однако в процессе школьного обучения происходит заметное их развитие, младший же школьный возраст является наиболее плодотворным для этого развития.

Существуют так же и природные предпосылки развития математических способностей, к коим надо отнести:

Высокий уровень общего интеллекта;

Преобладание вербального интеллекта над невербальным;

Высокая степень развития словесно-логических функций;

Сильный тип нервной системы;

Некоторые личностные особенности, такие как разумность, рассудительность, упорство, независимость, самостоятельность.

При разработке занятий по развитию математических способностей следует учитывать не только возрастные и индивидуально типологические особенности детей, но и соблюдать определенные условия, чтобы это развитие было максимально возможным:

Деятельность должна вызывать у ребенка сильные и устойчивые положительные эмоции;

Деятельность должна быть по возможности творческой;

Деятельность должна быть ориентирована на “зону ближайшего развития” ученика.

1.3 Обучение математике - основной способ развития математических способностей младших школьников

Одной из важнейших теоретических и практических проблем современной педагогики является совершенствование процесса обучения младших школьников. История развития зарубежной и российской педагогики и психологии неразрывно связана с изучением различных аспектов затруднений в обучении. По данным многих авторов (Н. П. Вайзман, Г. Ф. Кумарина, С. Г. Шевченко и др.), число детей, которые уже в начальных классах оказываются не в состоянии за отведенное время и в необходимом объеме усвоить программу, колеблется от 20% до 30% от общего числа учащихся. Являясь умственно сохранными, не имея классических форм аномалий развития, такие дети испытывают трудности в социальной и школьной адаптации, проявляя неуспешность в обучении .

Затруднения, возникающие у младших школьников в процессе обучения, можно объединить в три группы: биогенные, социогенные и психогенные, что обусловливает ослабление познавательных способностей (внимания, восприятия, памяти, мышления, воображения, речи) ребенка и значительно снижает эффективность обучения. Помимо общих предпосылок трудностей в учении существуют специфические – трудности усвоения математического материала.

Проблеме обучения элементарному курсу математики посвящен ряд исследований современных авторов (Н. Б. Истомина, Н. П. Локалова, А. Р. Лурия, Г. Ф. Кумарина, Н. А. Менчинская, Л. С. Цветкова и др.). В результате анализа названных литературных источников и в ходе собственных исследований были выявлены следующие основные затруднения младших школьников при обучении математике:

Отсутствие устойчивых навыков счета.

Незнание отношений между смежными числами.

Неспособность перехода из конкретного плана в абстрактный.

Нестабильность графических форм, т.е. несформированность понятия "рабочая строка", зеркальное написание цифр.

Неумение решать арифметические задачи.

“Интеллектуальная пассивность” .

На основании анализа психологических и психофизических причин, лежащих в основе этих трудностей, можно выделить следующие группы:

1 группа – трудности, связанные с недостаточностью операций абстрагирования, что проявляется при переходе из конкретного в абстрактный план действий. В связи с этим возникают трудности при усвоении числового ряда и его свойств, смысла счетного действия.

2 группа – трудности, связанные с недостаточным развитием мелкой моторики, несформированностью зрительно-моторных координаций. Эти причины лежат в основе таких затруднений учащихся, как овладение написанием цифр, зеркальное их изображение.

3группа – трудности, связанные с недостаточным развитием ассоциативных связей и пространственной ориентацией. Эти причины лежат в основе таких затруднений учащихся, как трудности при переводе из одной формы (словесной) в другую (цифровую), при определении геометрических линий и фигур, затруднений в счете, при выполнении счетных операций с переходом через десяток.

4 группа – трудности, связанные с недостаточным развитием мыслительной деятельности и индивидуально-психологическими особенностями личности учащихся. В связи с этим младшие школьники испытывают трудности в формировании правил на основе анализа нескольких примеров, трудности в процессе формирования умения рассуждать при решении задач. В основе этих затруднений лежит недостаточность такой мыслительной операции, как обобщение.

5 группа – трудности, связанные с несформированностью познавательного отношения к действительности, что характеризуется “интеллектуальной пассивностью”. Учебную задачу дети воспринимают лишь тогда, когда она переведена в практический план. При необходимости решать интеллектуальные задачи у них появляется стремление использовать различные обходные пути (заучивание без запоминания, угадывание, стремление действовать по образцу, использовать подсказки).

Немаловажное значение при обучении учащихся имеет мотивация предстоящей деятельности. Для младшего школьника первостепенной задачей при организации мотивации является преодоление страха перед трудной, абстрактной, непонятной математической информацией, пробуждение уверенности в возможности ее усвоения и интереса к обучению.

Учителю необходимо в каждом конкретном случае профессионально подходить к построению и реализации учебного процесса, ориентируясь на личностный рост ребенка, учитывая индивидуальные особенности его психической деятельности, создавая позитивные перспективы развития личности ученика, организовывая личностно-ориентированную образовательную среду, позволяющую на практике выявлять и реализовывать творческий потенциал ребенка. Опираясь на теоретические знания, учитель должен уметь предвидеть затруднения ребенка в обучении и устранять их; планировать коррекционно-развивающую работу, создавать проблемные ситуации для активизации динамики развития познавательных процессов; организовывать продуктивную самостоятельную работу, создавать благоприятный эмоционально-психологический фон процесса обучения. Особенность методических знаний и умений заключается в том, что они тесно связаны с психологическими, педагогическими и математическими знаниями.

Зависимость одних математических знаний и умений от других, их последовательность и логичность показывают, что пробелы на той или иной ступени задерживают дальнейшее изучение математики и являются причиной школьных трудностей. Решающую роль в предупреждении школьных трудностей играет диагностика математических знаний и умений учащихся. При организации, и проведении которой необходимо соблюдать определенные условия: формулировать вопросы четко и конкретно; предоставлять время для обдумывания ответа; относиться к ответам ученика позитивно.

Рассмотрим типичную ситуацию, которая часто имеет место на практике. Ученику предложено задание: “Вставь пропущенное число так, чтобы неравенство было верным 5> ? ”. Задание школьник выполнил неверно: 5 > 9. Как поступить учителю? Обратиться к другому ученику или попытаться разобраться в причинах допущенной ошибки?

Выбор действий учителя в этом случае может быть обусловлен рядом психолого-педагогических причин: индивидуальными особенностями ученика, уровнем его математической подготовки, целью с которой предлагалось задание, и др. Предположим, был выбран второй путь, т.е. решили выявить причины ошибки.

Прежде всего, необходимо предложить ученику прочитать выполненную запись.

Если школьник читает ее, как “пять меньше девяти”, значит ошибка в том, что не усвоен математический символ. Для устранения ошибки необходимо учитывать особенности восприятия младшего школьника. Так как оно имеет наглядно-образный характер, то необходимо использовать прием сравнения знака с конкретным образом, например, с клювиком, который раскрыт к большему числу и закрыт к меньшему.

Если ученик читает запись, как “пять больше девяти”, значит ошибка в том, что не усвоено какое-то из математических понятий: отношение “больше”, “меньше”; установление взаимно-однозначного соответствия; количественное число; натуральный ряд чисел; счет. Учитывая наглядно-образный характер мышления ребенка, необходимо организовать работу над данными понятиями с применением практических заданий.

Учитель предлагает одному ученику выложить на парте 5 треугольников, а другому – 9 и подумать, как можно расположить их, чтобы выяснить, у кого больше или меньше треугольников.

Опираясь на свой жизненный опыт, ребенок может самостоятельно предложить способ действий или найти его с помощью учителя, т.е. установить взаимно-однозначное соответствие между элементами данных предметных множеств (треугольников):

Если ученик успешно справился с выполнением заданий на сравнение чисел, то необходимо установить, насколько осознаны его действия. Здесь учителю понадобится знание таких математических понятий, как “счет” и “натуральный ряд чисел”, так как именно они лежат в основе обоснования: “Число, которое называют при счете раньше, всегда меньше любого числа, следующего за ним”.

Практическая деятельность педагога требует целого комплекса знаний по психологии, педагогике и математике. С одной стороны, знания должны быть синтезированы и объединены вокруг определенной практической проблемы, имеющей многосторонний целостный характер. С другой стороны, они должны быть переведены на язык практических действий, практических ситуаций, то есть должны стать средством решения реальных практических задач.

При обучении математике младших школьников педагог должен уметь создавать проблемные ситуации для развития познавательных процессов; организовывать продуктивную самостоятельную работу, создавать благоприятный эмоционально-психологический фон процесса обучения.

В психолого-педагогических исследованиях, посвященных проблемам обучения математике, отмечаются трудности, которые испытывают учащиеся младших классов общеобразовательной школы в овладении умением решать арифметические задачи. Вместе с тем решение арифметических задач имеет большое значение для развития познавательной деятельности учащихся, т.к. способствует развитию логического мышления.

Г.М. Капустина отмечает, что дети с трудностями в обучении на разных этапах работы над задачей испытывают затруднения: при чтении условия, в анализе предметно-действенной ситуации, в установлении связей между величинами, в формулировке ответа. Они часто действуют импульсивно, необдуманно, не могут охватить многообразия зависимостей, составляющих математическое содержание задачи. Вместе с тем решение арифметических задач имеет большое значение для развития познавательной деятельности учащихся, т.к. способствует развитию их словесно-логического мышления и произвольности деятельности. В процессе решения арифметических задач дети учатся планировать и контролировать свою деятельность, овладевают приемами самоконтроля, у них воспитывается настойчивость, воля, развивается интерес к математике.

В своих исследованиях М. Н. Перова предложила следующую классификацию ошибок, которые учащиеся допускают при решении задач:

1. Привнесение лишнего вопроса и действия.

2. Исключение нужного вопроса и действия.

3. Несоответствие вопросов действиям: правильно поставленные вопросы и неправильный выбор действий или, наоборот, правильный выбор действий и неверная формулировка вопросов.

4. Случайный подбор чисел и действий.

5. Ошибки в наименовании величин при выполнении действий: а) наименования не пишутся; б) наименования пишутся ошибочно, вне предметного понимания содержания задачи; в) наименования пишутся лишь при отдельных компонентах.

6. Ошибки в вычислениях.

7. Неверная формулировка ответа задачи (сформулированный ответ не соответствует вопросу задачи, стилистически построен неверно и т.д.).

При решении задач у младших школьников развивается произвольное внимание, наблюдательность, логическое мышление, речь, сообразительность. Решение задач способствует развитию таких процессов познавательной деятельности, как анализ, синтез, сравнение, обобщение. Решение арифметических задач помогает раскрыть основной смысл арифметических действий, конкретизировать их, связать с определенной жизненной ситуацией. Задачи способствуют усвоению математических понятий, отношений, закономерностей. В этом случае они, как правило, служат конкретизации этих понятий и отношений, так как каждая сюжетная задача отражает определенную жизненную ситуацию.

Глава II . Методика выявления особенностей формирования математических способностей в процессе решения математических задач.

2.1.Опытно-экспериментальная работа по формированию математических способностей у младшего школьника в процессе решения математических задач.

С целью практического обоснования выводов, полученных в ходе теоретического изучения проблемы: каковы наиболее эффективные формы и методы, направленные на развитие математических способностей школьников в процессе решения математических задач было проведено исследование. В эксперименте приняли участие два класса: экспериментальный 2 (4) «Б», контрольный – 2 (4) «В» УВК «Школа-гимназия»№1 п.г.т. Советский.

Этапы экспериментальной деятельности

I – Подготовительный. Цель: определение уровня математических способнос-тей по результатам наблюдений.

II – Констатирующий этап эксперимента. Цель: определение уровня сформированности математических способностей.

III – Формирующий эксперимент. Цель: создание необходимых условий для развития математических способностей.

IV – Контрольный эксперимент.Цель: определение эффективности форм и методов, способствующих развитию математических способностей.

На подготовительном этапе проведены наблюдения за учащимися контрольного – 2 «Б» и экспериментального 2 «В» классов. Наблюдения проводились как в процессе изучения нового материала, так и при решении задач. Для наблюдений были выделены те признаки математических способностей, которые наиболее ярко прявляются у младших школьников:

1) относительно быстрое и успешное овладение математическими знаниями, умениями и навыками;

2) способность к последовательному правильному логическому рассуждению;

3) находчивость и сообразительность при изучении математики;

4) гибкость мышления;

5) способность к оперированию числовой и знаковой символикой;

6) пониженная утомляемость при занятиях математикой;

7) способность сокращать процесс рассуждения, мыслить свернутыми структурами;

8) способность переходить с прямого на обратный ход мысли;

9) развитость образно–геометрического мышления и пространственных представлений.

В ноябре 2011 г. мы заполнили таблицу математических способностей школьников, в которой оценили в баллах каждое из перечисленных качеств (0-низкий уровень, 1-средний уровень, 2-высокий уровень).

На втором этапе в экспериментальном и контрольном классах проведена диагностика развития математических способностей.

Для этого использовался тест «Решение задач»:

1. Составь из данных простых задач составные. Реши одну составную задачу разными способами, подчеркни рациональный.

Корова кота Матроскина в понедельник дала 12 литров молока. Молоко разлили в трёхлитровые банки. Сколько банок получилось у кота Матроскина?

Коля купил 3 ручки по 20 рублей каждая. Сколько денег он заплатил?

Коля купил 5 карандашей по цене 20 рублей. Сколько стоят карандаши?

Корова кота Матроскина во вторник дала 15 литров молока. Это молоко разлили в трёхлитровые банки. Сколько банок получилось у кота Матроскина?

2. Прочитай задачу. Прочитай вопросы и выражения. Соедини каждый вопрос с нужным выражением.

а + 18

классе 18 мальчиков и а девочек.

Сколько всего учеников в классе?

18 - а

На сколько мальчиков больше, чем девочек?

а - 18

На сколько девочек меньше, чем мальчиков?

3. Реши задачу.

В своём письме родителям Дядя Фёдор написал, что его дом, дом почтальона Печкина и колодец находятся на одной стороне улицы. От дома Дяди Фёдора до дома почтальона Печкина 90 метров, а от колодца до дома Дяди Фёдора 20 метров. Какое расстояние от колодца до дома почтальона Печкина?

С помощью теста проверялись те же компоненты структуры математических способностей, что и при наблюдении.

Цель: установить уровень математических способностей.

Оборудование: карточка ученика (лист).

Тест проверяет умения и математические способности:

Умения, необходимые для решения задачи.

Способности, проявляющиеся в математической деятельности.

Умение отличать задачу от других текстов.

Способность к формализации математического материала.

Умение записывать решение задачи, производить вычисления.

Способность к оперированию числовой и знаковой символикой.

Умение записывать решение задачи выражением. Умение решать задачу разными способами.

Гибкость мышления, способность сокращать процесс рассуждения.

Умение выполнять построение гео-метрических фигур.

Развитость образно–геометри-ческого мышления и прост-ранственных представлений.

На данном этапе изучены математические способности и определены следующие уровни:

Низкий уровень: математические способности проявляются в общей, всем присущей потребности.

Средний уровень: способности появляются в сходных условиях (по образцу).

Высокий уровень: творческое проявление математических способностей в новых, неожиданных ситуациях.

Качественный анализ теста показал основные причины затруднения выполнения теста. Среди них: а) отсутствие конкретных знаний в решении задач (не могут определить, во сколько действий решается задача, не могут записать решение задачи выражением (во 2 «Б» (экспериментальном) классе 4 человека - 15%, во 2 «В» классе - 3 человека - 12%) б) недостаточное формирование вычислительных навыков (во 2 «Б» классе 7 человек – 27%, во 2 «В» классе 8 человек – 31%.Развитие математических способностей учащихся обеспечивается, в первую очередь, развитием математического стиля мышления. Для определения различий в развитии у детей способности рассуждать было проведено групповое занятие на материале диагностического задания «разное-одинаковое» по методике А.З. Зака. Выявлены следующие уровни способности к рассуждению:

высокий уровень – решены задачи № 1-10 (содержат 3-5 персонажей)

средний уровень – решены задачи № 1-8 (содержат 3-4 персонажа)

низкий уровень – решены задачи № 1 - 4 (содержат 3 персонажа)

В эксперименте применялись такие методы работы: объяснительно-иллюстративный, репродуктивный, эвристический, проблемного изложения, исследовательский метод. В настоящем научном творчестве постановка проблемы идёт через проблемную ситуацию. Мы стремились к тому, чтобы ученик самостоятельно научился видеть проблему, формулировать её, исследовать возможности и способы её решения. Исследовательский метод характеризуется самым высоким уровнем познавательной самостоятельности учащихся. На уроках мы организовывали самос-тоятельную работу учащихся, давая им проблемные познавательные задачи и задания, имеющие практический характер.

2.2. Определение уровня математических способностей у детей младшего школьного возраста.

Таким образом, поведённое нами исследование, позволяет утверждать, что работа над развитием математических способностей в процессе решения текстовых задач дело важное и необходимое. Поиск новых путей по развитию математических способностей является одной из неотложных задач современной психологии и педагогики.

Проведённое нами исследование имеет определённое практическое значение.

В ходе опытно-экспериментальной работы по результатам наблюдений и анализу полученных данных можно сделать вывод о том, что скорость и успешность развития математических способностей не зависит от скорости и качества усвоения программных знаний, умений и навыков. Нам удалось достичь основной цели данного исследования – определить наиболее эффектив-ные формы и методы, способствующие развитию математических способностей учащихся в процессе решения текстовых задач.

Как показывает анализ исследовательской деятельности, развитие математических способностей детей развивается более интенсивно, так как:

а) создано соответствующее методическое обеспечение (таблицы, инструкционные карточки и листы заданий для учащихся с разным уровнем математических способностей, пакет программированного обеспечения, серии задач и упражнений для развития определённых компонентов математических способностей;

б) создана программа факультативного курса « Нестандартные и занимательные задачи», которая предусматривает реализацию развития математических способностей учащихся;

в) разработан диагностический материал, который позволяет своевременно определять уровень развития математических способностей и корректировать организацию учебной деятельности;

г) разработана система развития математических способностей (согласно плану формирующего эксперимента).

Необходимость использования комплекса упражнений для развития математических способностей определяется на основе выявленных противоречий:

Между необходимостью использования заданий разных уровней сложности на уроках математики и отсутствием их в обучении;

Между необходимостью развития математических способностей у детей и реальными условиями их развития;

Между высокими требованиями к задачам формирования творческой личности учащихся и слабым развитием математических способностей школьников;

Между признанием приоритета введения системы форм и методов работы для развития математических способностей и недостаточным уровнем разработки путей реализации этого подхода.

Основой для исследования является выбор, изучение, реализация наиболее эффективных форм, методов работы в развитии математических способностей.

Заключение

Подводя итог, следует отметить, что рассматриваемая нами тема является актуальной для современной школы. Для профилактики и устранения трудностей в обучении математике младших школьников учитель должен: знать психолого-педагогические особенности младшего школьника; уметь организовывать и проводить профилактическую и диагностическую работу; создавать проблемные ситуации и создавать благоприятный эмоционально-психологический фон процесса обучения математике младших школьников.

В связи с проблемой формирования и развития способностей следует указать, что целый ряд исследований психологов направлен на выявление структуры способностей дошкольников к различным видам деятельности. При этом под способностями понимается комплекс индивидуально – психологических особенностей человека, отвечающих требованиям данной деятельности и являющиеся условием успешного выполнения. Таким образом, способности – сложное, интегральное, психическое образование, своеобразный синтез свойств, или как их называют компонентов.

Общий закон образования способностей состоит в том, что они формируются в процессе овладения и выполнения тех видов деятельности, для которых они необходимы.

Способности не есть нечто раз и навсегда предопределённое, они формируются и развиваются в процессе обучения, в процессе упражнения, овладения соответствующей деятельностью, поэтому нужно формировать, развивать, воспитывать, совершенствовать способности детей и нельзя заранее точно предвидеть, как далеко может пойти это развитие.

Говоря о математических способностях как особенностях умственной деятельности, следует, прежде всего, указать на несколько распространенных среди педагогов заблуждений.

Во-первых, многие считают, что математические способности заключаются, прежде всего, в способности к быстрому и точному вычислению (в частности в уме). На самом деле вычислительные способности далеко не всегда связаны с формированием подлинно математических (творческих) способностей. Во-вторых, многие думают, что способные к математике дошкольники отличаются хорошей памятью на формулы, цифры, числа. Однако, как указывает академик А. Н. Колмогоров, успех в математике меньше всего основан на способности быстро и прочно запоминать большое количество фактов, цифр, формул. Наконец, считают, что одним из показателей математических способностей является быстрота мыслительных процессов. Особенно быстрый темп работы сам по себе не имеет отношения к математических способностям. Ребенок может работать медленно и неторопливо, но в то же время вдумчиво, творчески, успешно продвигаясь в усвоении математики.

Крутецкий В.А. в книге «Психология математических способностей дошкольников» различает девять способностей (компонентов математических способностей):

1) Способность к формализации математического материала, к отделению формы от содержания, абстрагированию от конкретных количественных отношений и пространственных форм и оперированию формальными структурами, структурами отношений и связей;

2) Способность обобщать математический материал, вычленять главное, отвлекаясь от несущественного, видеть общее во внешне различном;

3) Способность к оперированию числовой и знаковой символикой;

4) Способность к «последовательному, правильно расчленённому логическому рассуждению», связанному с потребностью в доказательствах, обосновании, выводах;

5) Способность сокращать процесс рассуждения, мыслить свернутыми структурами;

6) Способность к обратимости мыслительного процесса (к переходу с прямого на обратный ход мысли);

7) Гибкость мышления, способность к переключению от одной умственной операции к другой, свобода от сковывающего влияния шаблонов и трафаретов;

8) Математическая память. Можно предположить, что её характерные особенности также вытекают из особенностей математической науки, что это память на обобщения, формализованные структуры, логические схемы;

9) Способность к пространственным представлениям, которая прямым образом связана с наличием такой отрасли математики как геометрия.

Список литературы

1. Аристова, Л Активность учения школьника [Текст] / Л. Аристова. – М: Просвещение, 1968.

2. Балк, М.Б. Математика после уроков [Текст]: пособие для учителей / М.Б. Балк, Г.Д. Балк. – М: Просвещение, 1671. – 462с.

3. Виноградова, М.Д. Коллективная познавательная деятельность и воспитание школьников [Текст] / М.Д. Виноградова, И.Б. Первин. – М: Просвещение, 1977.

4. Водзинский, Д.И. Воспитание интереса к знаниям у подростков [Текст] / Д.И. Водзинский. – М: Учпедгиз, 1963. – 183с.

5. Ганичев, Ю. Интеллектуальные игры: вопросы их классификации и разработки [Текст] // Воспитание школьника, 2002. - №2.

6. Гельфанд, М.Б. Внеклассная работа по математике в восьмилетней школе [Текс] / М.Б. Гельфанд. – М: Просвещение, 1962. – 208с.

7. Горностаев, П.В. Играть или учится на уроке [Текст] // Математика в школе, 1999. – №1.

8. Доморяд, А.П. Математические игры и развлечения [Текст] / А.П. Доморяд. – М: Гос. издание Физико-математической литературы, 1961. – 267с.

9.Дышинский, Е.А. Игротека математического кружка [Текст] / Е.А. Дышинский. – 1972.-142с.

10. Игра в педагогическом процессе [Текст] - Новосибирс, 1989.

11. Игры – обучение, тренинг, досуг [Текст] / под ред. В.В. Перусинского. – М: Новая школа, 1994. - 368с.

12. Калинин, Д. Математический кружок. Новые игровые технологии [Текст] // Математика. Приложение к газете «Первое сентября», 2001. - №28.

13. Коваленко, В.Г. Дидактические игры на уроках математики [Текст]: книга для учителя / В.Г. Коваленко. – М: Просвещение, 1990. – 96с.

14.Кордемский, Б.А. Увлечь школьника математикой [Текст]: материал для классных и внеклассных занятий / Б.А.Кордемский. - М: Просвещение, 1981. – 112с.

15.Кулько, В.Н. Формирование у учащихся умения учиться [Текст] / В.Н. Кулько, Г.Ц. Цехмистрова. – М: Просвещение, 1983.

16.Ленивенко, И.П. К проблемам организации внеклассной работы в 6-7 классах [Текст] // Математика в школе, 1993. - №4.

17.Макаренко, А.С. О воспитании в семье [Текст] / А.С.Макаренко. – М: Учпедгиз, 1955.

18.Метнльский, Н.В. Дидактика математики: общая методика и ее проблемы [Текст] / Н.В. Метельский. – Минск: Издательсто БГУ, 1982. – 308с.

19.Минский, Е.М. От игры к знаниям [Текст] / Е.М. Минский. – М: Просвещение, 1979.

20.Морозова, Н.Г. Учителю о познавательном интересе [Текст] / Н.Г. Морозова. – М: Просвещение, 1979. – 95с.

21.Пахутина, Г.М. Игра как форма организации обучения [текст] / Г.М. Пахутина. – Арзамас,2002.

22.Петрова, Е.С. Теория и методика обучения математике [Текст]: Учебно-методическое пособие для студентов математических специальностей / Е.С. Петрова. – Саратов: Издательство саратовского университета, 2004. – 84с.

23Самойлик, Г. Развивающие игры [Текст] // Математика. Приложение к газете «Первое сентября», 2002. - №24.

24.Сиденко, А. Игровой подход в обучении [Текст] // Народное образование, 2000. - №8.

25Степанов, В.Д. Активизация внеурочной работы по математике в средней школе [Текст]: книга для учителя / В.Д. Степанов. – М: Просвещение, 1991. – 80с.

26Талызина, Н.Ф. Формирование познавательной деятельности учащихся [Текст] / Н.Ф. Талызина. – М: Знания, 1983. – 96с.

27Технология игровой деятельности [Текст]: учебное пособие / Л.А. Байкова, Л.К. Теренкина, О.В. Еремкина. – Рязань: Издательство РГПУ, 1994. – 120с.

28Факультативные занятия по математике в школе [Текст] / сост. М.Г. Лускина, В.И.Зубарева. - К: ВГГУ, 1995. – 38с

29Эльконин Д.Б. психология игры [текст] / Д.Б. Эльконин. М: Педагогика, 1978

Инженерные системы

Полезно

Техника для сада

Вазоны

Планировка участка

Стройматериалы

Ограждения и заборы

Садовые дорожки

Война с сорняками

Цветник

Квашеная капуста Квашение зеленых щей на зиму

В нашей местности в октябре то тут, то там слышен стук тяпки: люди рубят щи. Это целый ритуал, определенный этап, завершающий огородный сезон и начинающий новый - долгой холодной зимы.Зеленые щи, а ещи про них говорят: серые, квашеные или просто зимние, л

Православный зашел в мечеть

Исламский сонник Эту историю нам передал Абдулла ибн Хамид аль-Факих со слов Ибрахима ибн Мухаммада аль-Харауи, ссылавшегося на Абу Шакира Майсару ибн Абдуллу, который ссылался на Абу Абдуллу аль-Иджли, говорившего со слов Амра ибн Мухаммада, пересказавше

Расшифровка окпо и задачи кода

В результате регистрации своей деятельности в налоговом органе каждый предприниматель получает регистрационные документы, в которых указан, в частности, и ОКПО. Кому присваивают данную аббревиатуру? Что такое ОКПО? Как его узнать? Давайте разберемся.Что т

Самые читаемые материалы

Квашеная капуста Квашение зеленых щей на зиму

Православный зашел в мечеть

Расшифровка окпо и задачи кода

Авраам чей сын. Авраам праведный. лет в Хевроне. Отделение от Лота

Приготовление чахохбили из курицы по классическим грузинским рецептам

Каша гурьевская Рецепт гурьевской каши 19 века

Финансовые реформы Александра II

Последние материалы

Авраам чей сын. Авраам праведный. лет в Хевроне. Отделение от Лота

В Ветхом Завете Повествование о жизни и деятельности Авраама содержится в книге Бытие ( -). Авраам, первоначальное имя которого было Аврам (אַבְרָם), родился в шумерском городе Ур в XXI-XX веке до н. э. (в Библии «Ур Касдим» - «Ур-халдейский»), одном из.

Приготовление чахохбили из курицы по классическим грузинским рецептам

Кто бы, что не говорил, но чахохбили из курицы всё-таки грузинское блюдо. Все мы знаем, что грузинская кухня очень славиться. Особенно хороши в ней мясные блюда. Одно из таких известных блюд мы с вами здесь и рассмотрим. В общем-то, кто не знает чахохбили.

Каша гурьевская Рецепт гурьевской каши 19 века

Гурьевская каша - каша, приготовляемая из манной крупы на молоке с добавлением орехов (лещины, грецких, миндаля), каймака (сливочных пенок), сухофруктов. История Считается традиционным блюдом русской кухни, но было изобретено лишь в начале XIX века. Назв.

Финансовые реформы Александра II

Кафедра Экономики и Финансов Специальность Экономика и управление на предприятии по дисциплине «Отечественная История» Реформы Александра Второго Выполнил: студент 1 курса Проверил: Доцент кафедры истории и культурологи, кандидат исторических Каменчук Н.

samsdom.ru

Задать вопрос эксперту Связь с администрацией