§7 परोक्ष रूप से परिभाषित एक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न। निहित कार्य का व्युत्पन्न
निस्संदेह, हमारे दिमाग में, किसी फ़ंक्शन की छवि समानता से जुड़ी होती है और उसके अनुरूप रेखा - फ़ंक्शन का ग्राफ। उदाहरण के लिए, - कार्यात्मक निर्भरता, जिसका ग्राफ मूल और ऊपर की शाखाओं में एक शीर्ष के साथ एक द्विघात परवलय है; इसकी तरंगों के लिए जाना जाने वाला साइन फ़ंक्शन है।
इन उदाहरणों में, समानता का बायां पक्ष y है, और दायां पक्ष एक व्यंजक है जो तर्क x पर निर्भर करता है। दूसरे शब्दों में, हमारे पास y के संबंध में हल किया गया एक समीकरण है। इस प्रकार के व्यंजक के रूप में क्रियात्मक निर्भरता के निरूपण को कहते हैं फ़ंक्शन को स्पष्ट रूप से सेट करके(या स्पष्ट रूप से कार्य करें) और इस प्रकार का फंक्शन असाइनमेंट हमारे लिए सबसे अधिक परिचित है। अधिकांश उदाहरणों और समस्याओं में, हमें स्पष्ट कार्यों के साथ प्रस्तुत किया जाता है। हम पहले ही स्पष्ट रूप से दिए गए एक चर के फलनों के विभेदन के बारे में विस्तार से चर्चा कर चुके हैं।
हालांकि, फ़ंक्शन x मानों के एक सेट और y मानों के एक सेट के बीच एक पत्राचार का तात्पर्य है, और यह पत्राचार किसी भी सूत्र या विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति द्वारा आवश्यक रूप से स्थापित नहीं है। अर्थात्, सामान्य के अतिरिक्त किसी फ़ंक्शन को निर्दिष्ट करने के कई तरीके हैं।
इस लेख में, हम देखेंगे निहित कार्य और उनके डेरिवेटिव खोजने के तरीके. निहित कार्यों के उदाहरण हैं या।
जैसा कि आपने देखा, निहित कार्य संबंध द्वारा परिभाषित किया गया है। लेकिन x और y के बीच ऐसे सभी संबंध एक फलन को परिभाषित नहीं करते हैं। उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्या x और y का कोई भी जोड़ा समानता को संतुष्ट नहीं करता है, इसलिए, यह संबंध एक निहित कार्य को परिभाषित नहीं करता है।
यह x और y मानों के बीच पत्राचार के नियम को स्पष्ट रूप से निर्धारित कर सकता है, और तर्क x का प्रत्येक मान किसी एक के अनुरूप हो सकता है (इस मामले में हमारे पास एक एकल-मूल्यवान फ़ंक्शन है) या फ़ंक्शन के कई मान ( इस मामले में, फ़ंक्शन को बहु-मूल्यवान कहा जाता है)। उदाहरण के लिए, मान x = 1 दो वास्तविक मानों y = 2 और y = -2 के निहित रूप से परिभाषित फ़ंक्शन से मेल खाता है।
एक निहित कार्य को एक स्पष्ट रूप में कम करना हमेशा संभव नहीं होता है, अन्यथा निहित कार्यों को स्वयं अलग करना आवश्यक नहीं होगा। उदाहरण के लिए, 
- एक स्पष्ट रूप में परिवर्तित नहीं होता है, लेकिन - परिवर्तित हो जाता है।
अब व्यापार के लिए।
एक निहित रूप से दिए गए फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने के लिए, तर्क x के संबंध में समानता के दोनों पक्षों को अलग करना आवश्यक है, y को x का एक कार्य मानते हुए, और फिर व्यक्त करें।
x और y(x) वाले व्यंजकों का अवकलन विभेदन के नियमों और जटिल फलन का अवकलज ज्ञात करने के नियम का उपयोग करके किया जाता है। आइए तुरंत कुछ उदाहरणों का विस्तार से विश्लेषण करें ताकि आगे कोई प्रश्न न हो।
उदाहरण।
डिफरेंशियल एक्सप्रेशन 
x में, यह मानते हुए कि y x का एक फलन है।
समाधान।
इसलिये y x का एक फलन है, तो एक जटिल फलन है। इसे पारंपरिक रूप से f(g(x)) के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहां f घन फलन है और g(x) = y । फिर, व्युत्पन्न सूत्र के अनुसार जटिल कार्यअपने पास: 
.
दूसरे व्यंजक में अंतर करते समय, हम अवकलज के चिह्न से अचर को निकाल लेते हैं और पिछले मामले की तरह कार्य करते हैं (यहाँ f साइन फलन है, g(x) = y ):
तीसरी अभिव्यक्ति के लिए, हम उत्पाद के व्युत्पन्न के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं:
क्रमिक रूप से नियमों को लागू करते हुए, हम अंतिम अभिव्यक्ति में अंतर करते हैं: 
अब आप एक परोक्ष रूप से दिए गए फलन का अवकलज ज्ञात करने के लिए आगे बढ़ सकते हैं, इसके लिए हमारे पास सारा ज्ञान है।
उदाहरण।
एक निहित फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं।
समाधान।
एक निहित फलन के अवकलज को हमेशा x और y : वाले व्यंजक के रूप में दर्शाया जाता है। इस परिणाम पर पहुंचने के लिए, हम समानता के दोनों पक्षों में अंतर करते हैं: 
आइए व्युत्पन्न के संबंध में परिणामी समीकरण को हल करें: 
उत्तर:
.
टिप्पणी।
सामग्री को समेकित करने के लिए, आइए एक और उदाहरण हल करें।
आइए पहले एक चर के एक निहित कार्य पर विचार करें। यह समीकरण (1) द्वारा निर्धारित किया जाता है, जो किसी क्षेत्र X से प्रत्येक x को एक निश्चित y प्रदान करता है। तब फलन y=f(x) को इस समीकरण द्वारा X पर परिभाषित किया जाता है। वे उसे बुलाते हैं अंतर्निहितया परोक्ष रूप से दिया गया. यदि समीकरण (1) को y के सन्दर्भ में हल किया जा सकता है, अर्थात् फॉर्म y \u003d f (x) प्राप्त करें, फिर निहित कार्य का कार्य बन जाता है स्पष्ट।हालाँकि, समीकरण को हल करना हमेशा संभव नहीं होता है, और इस मामले में यह हमेशा स्पष्ट नहीं होता है कि क्या कोई अंतर्निहित कार्य है y \u003d f (x) बिल्कुल, बिंदु के कुछ पड़ोस में समीकरण (1) द्वारा परिभाषित किया गया है ( एक्स 0, वाई 0)।
उदाहरण के लिए, समीकरण 
y के सापेक्ष अघुलनशील है और यह स्पष्ट नहीं है कि क्या यह बिंदु (1,0) के कुछ पड़ोस में एक निहित कार्य को परिभाषित करता है, उदाहरण के लिए। ध्यान दें कि ऐसे समीकरण हैं जो किसी फ़ंक्शन को परिभाषित नहीं करते हैं (x 2 +y 2 +1=0)।
निम्नलिखित प्रमेय सत्य साबित होता है:
प्रमेय"अस्तित्व और एक निहित कार्य की भिन्नता" (कोई प्रमाण नहीं)
चलो समीकरण 
(1) और कार्य 
, शर्तों को पूरा करता है:
फिर:
.
(2)
ज्यामितीय रूप से, प्रमेय कहता है कि एक बिंदु के पड़ोस में 
, जहां प्रमेय की शर्तें संतुष्ट हैं, समीकरण (1) द्वारा परिभाषित निहित कार्य को स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट किया जा सकता है y=f(x), क्योंकि x के प्रत्येक मान का एक अद्वितीय y होता है। भले ही हमें फ़ंक्शन के लिए एक स्पष्ट अभिव्यक्ति नहीं मिल रही है, हमें यकीन है कि बिंदु एम 0 के कुछ पड़ोस में यह सिद्धांत रूप में पहले से ही संभव है।
एक ही उदाहरण पर विचार करें: 
. आइए शर्तों की जाँच करें:
1
)
,
- और फ़ंक्शन और इसके डेरिवेटिव बिंदु (1,0) के आसपास के क्षेत्र में निरंतर हैं (सतत के योग और उत्पाद के रूप में)।
2)
.
3)
. अत: निहित फलन y= f(x) बिंदु (1,0) के पड़ोस में मौजूद है। हम इसे स्पष्ट रूप से नहीं लिख सकते हैं, लेकिन हम अभी भी इसका व्युत्पन्न पा सकते हैं, जो निरंतर भी होगा:
अभी विचार करें कई चर के निहित कार्य. चलो समीकरण
. (2)
यदि एक निश्चित क्षेत्र, समीकरण (2) से मूल्यों की प्रत्येक जोड़ी (x, y) z के एक विशिष्ट मान को जोड़ती है, तो वे कहते हैं कि यह समीकरण दो चर के एकल-मूल्यवान फ़ंक्शन को निहित रूप से निर्धारित करता है 
.
कई चरों के एक निहित कार्य के लिए संगत अस्तित्व और विभेदन प्रमेय भी मान्य है।
प्रमेय 2: माना समीकरण दिया गया है 
(2) और कार्य 
शर्तों को पूरा करता है:
उदाहरण:
. यह समीकरण z को x और y . के दो-मूल्यवान निहित फलन के रूप में परिभाषित करता है 
. यदि हम एक बिंदु के पड़ोस में प्रमेय की शर्तों की जाँच करते हैं, उदाहरण के लिए, (0,0,1), तो हम सभी शर्तों की पूर्ति देखते हैं:
इसका मतलब यह है कि बिंदु के पड़ोस में एक निहित एकल-मूल्यवान फ़ंक्शन मौजूद है (0,0,1): हम तुरंत कह सकते हैं कि यह 
, ऊपरी गोलार्ध को परिभाषित करना।
निरंतर आंशिक व्युत्पन्न हैं 
वैसे, यदि हम स्पष्ट रूप से व्यक्त किए गए एक निहित कार्य को सीधे अलग करते हैं, तो वे समान हो जाते हैं।
अस्तित्व की परिभाषा और प्रमेय और बड़ी संख्या में तर्कों के निहित कार्य की भिन्नता समान हैं।
फलन y(x) पर विचार करें, जो कि में निहित तरीके से लिखा गया है सामान्य दृष्टि से$ एफ (एक्स, वाई (एक्स)) = 0 $। एक निहित कार्य का व्युत्पन्न दो तरीकों से पाया जाता है:
- समीकरण के दोनों पक्षों में अंतर करके
- तैयार सूत्र का प्रयोग करके $y" = - \frac(F"_x)(F"_y) $
कैसे ढूंढें?
विधि 1
फ़ंक्शन को एक स्पष्ट रूप में लाने की आवश्यकता नहीं है। हमें तुरंत $ x $ के संबंध में समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों में अंतर करना शुरू कर देना चाहिए। यह ध्यान देने योग्य है कि $ y" $ के व्युत्पन्न की गणना एक जटिल फ़ंक्शन के भेदभाव के नियम के अनुसार की जाती है। उदाहरण के लिए, $ (y^2)"_x = 2yy" $। व्युत्पन्न खोजने के बाद, आपको व्यक्त करने की आवश्यकता है परिणामी समीकरण से $ y" $ और बाईं ओर $ y" $ रखें।
विधि 2
आप एक सूत्र का उपयोग कर सकते हैं जो अंश और हर में निहित फ़ंक्शन $ F(x,y(x)) = 0 $ के आंशिक डेरिवेटिव का उपयोग करता है। अंश का पता लगाने के लिए, हम $ x $ के संबंध में व्युत्पन्न लेते हैं, और हर के लिए, हम $ y $ के संबंध में व्युत्पन्न लेते हैं।
एक निहित फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न एक अंतर्निहित फ़ंक्शन के पहले व्युत्पन्न को फिर से विभेदित करके पाया जा सकता है।
समाधान उदाहरण
विचार करना व्यावहारिक उदाहरणएक निहित रूप से दिए गए फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना के लिए समाधान।
| उदाहरण 1 |
|
एक निहित फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए $3x^2y^2 -5x = 3y - 1 $ |
| समाधान |
|
आइए विधि # 1 का उपयोग करें। अर्थात्, हम समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों में अंतर करते हैं: $$ (3x^2y^2 -5x)"_x = (3y - 1)"_x $$ अंतर करते समय, फ़ंक्शन के उत्पाद के व्युत्पन्न के लिए सूत्र का उपयोग करना न भूलें: $$ (3x^2)"_x y^2 + 3x^2 (y^2)"_x - (5x)"_x = (3y)"_x - (1)"_x $$ $$ 6x y^2 + 3x^2 2yy" - 5 = 3y" $$ $$ 6x y^2 - 5 = 3y" - 6x^2 yy" $$ $$ 6x y^2 - 5 = y"(3-6x^2 y) $$ $$ y" = \frac(6x y^2 - 5)(3 - 6x^2y ) $$ यदि आप अपनी समस्या का समाधान नहीं कर सकते हैं, तो हमें भेजें। हम विस्तृत समाधान देंगे। आप गणना की प्रगति से खुद को परिचित करने और जानकारी इकट्ठा करने में सक्षम होंगे। इससे आपको समय पर शिक्षक से क्रेडिट प्राप्त करने में मदद मिलेगी! |
| उत्तर |
| $$ y" = \frac(6x y^2 - 5)(3 - 6x^2y ) $$ |
| उदाहरण 2 |
|
फ़ंक्शन निहित रूप से दिया गया है, व्युत्पन्न $ 3x^4 y^5 + e^(7x-4y) -4x^5 -2y^4 = 0 $ खोजें |
| समाधान |
|
आइए विधि # 2 का उपयोग करें। फलन $ F(x,y) = 0 $ . का आंशिक अवकलज ज्ञात करना मान लीजिए $ y $ स्थिर है और $ x $ के संबंध में अंतर करता है: $$ F"_x = 12x^3 y^5 + e^(7x-4y) \cdot 7 - 20x^4 $$ $$ F"_x = 12x^3 y^5 + 7e^(7x-4y) - 20x^4 $$ अब हम $ x $ को स्थिर मानते हैं और $ y $ के संबंध में अंतर करते हैं: $$ F"_y = 15x^4 y^4 + e^(7x-4y) \cdot (-4) - 8y^3 $$ $$ F"_y = 15x^4 y^4 - 4e^(7x-4y) - 8y^3 $$ अब हम $ y" = -\frac(F"_y)(F"_x) $ को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं और प्राप्त करते हैं: $$ y" = -\frac(12x^3 y^5 + 7e^(7x-4y) - 20x^4)(15x^4 y^4 - 4e^(7x-4y) - 8y^3) $$ |
| उत्तर |
| $$ y" = -\frac(12x^3 y^5 + 7e^(7x-4y) - 20x^4)(15x^4 y^4 - 4e^(7x-4y) - 8y^3) $$ |
मान लें कि समीकरण का प्रयोग करते हुए फ़ंक्शन को परोक्ष रूप से दिया जाता है
(1)
.
और मान लें कि इस समीकरण का, कुछ मान के लिए, एक अद्वितीय हल है। मान लें कि फलन बिंदु पर एक अवकलनीय फलन है, और
.
फिर, इस मान के लिए, एक व्युत्पन्न है, जो सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:
(2)
.
सबूत
प्रमाण के लिए, फ़ंक्शन को चर के एक जटिल कार्य के रूप में मानें:
.
हम एक जटिल फलन के विभेदन के नियम को लागू करते हैं और बाईं ओर से चर के संबंध में अवकलज पाते हैं और सही भागसमीकरण
(3)
:
.
चूँकि अचर का अवकलज शून्य और , के बराबर है, तो
(4)
;
.
सूत्र सिद्ध हुआ है।
उच्च आदेशों के डेरिवेटिव
आइए अन्य संकेतन का उपयोग करके समीकरण (4) को फिर से लिखें:
(4)
.
इसके अलावा, और चर के जटिल कार्य हैं:
;
.
निर्भरता समीकरण (1) को परिभाषित करती है:
(1)
.
हम समीकरण (4) के बाएँ और दाएँ पक्षों से चर के संबंध में अवकलज पाते हैं।
एक जटिल कार्य के व्युत्पन्न के सूत्र के अनुसार, हमारे पास है:
;
.
व्युत्पन्न उत्पाद सूत्र के अनुसार:
.
व्युत्पन्न योग सूत्र के अनुसार:
.
चूँकि समीकरण (4) के दाएँ पक्ष का अवकलज शून्य के बराबर है, तो
(5)
.
यहां व्युत्पन्न को प्रतिस्थापित करते हुए, हम दूसरे क्रम के व्युत्पन्न का मूल्य निहित रूप में प्राप्त करते हैं।
समीकरण (5) को इसी तरह से अवकलित करने पर, हमें एक तृतीय क्रम अवकलज वाला समीकरण प्राप्त होता है:
.
यहां पहले और दूसरे ऑर्डर के डेरिवेटिव के पाए गए मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हुए, मूल्य खोजेंतीसरे क्रम का व्युत्पन्न।
निरंतर विभेदन, कोई भी किसी भी क्रम का व्युत्पन्न पा सकता है।
उदाहरण
उदाहरण 1
समीकरण द्वारा निहित रूप से दिए गए फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न खोजें:
(पी1) .
फॉर्मूला 2 समाधान
हम सूत्र (2) द्वारा व्युत्पन्न पाते हैं:
(2)
.
आइए सभी चरों को बाईं ओर ले जाएं ताकि समीकरण का रूप ले लें।
.
यहाँ से।
हम व्युत्पन्न पाते हैं, यह मानते हुए कि यह स्थिर है।
;
;
;
.
हम चर के संबंध में व्युत्पन्न पाते हैं, यह मानते हुए कि चर स्थिर है।
;
;
;
.
सूत्र (2) से हम पाते हैं:
.
हम परिणाम को सरल बना सकते हैं यदि हम ध्यान दें कि मूल समीकरण (A.1) के अनुसार, . स्थानापन्न :
.
अंश और हर को इससे गुणा करें:
.
दूसरे तरीके से समाधान
आइए इस उदाहरण को दूसरे तरीके से हल करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम मूल समीकरण (P1) के बाएँ और दाएँ भागों के चर के संबंध में अवकलज पाते हैं।
हम आवेदन करते हैं:
.
हम भिन्न के व्युत्पन्न के लिए सूत्र लागू करते हैं:
;
.
हम एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए सूत्र लागू करते हैं:
.
हम मूल समीकरण (P1) में अंतर करते हैं।
(पी1) ;
;
.
से गुणा करें और शर्तों को समूहित करें।
;
.
स्थानापन्न (समीकरण (P1) से):
.
आइए इससे गुणा करें:
.
उत्तर
उदाहरण 2
समीकरण का उपयोग करके निहित रूप से दिए गए फ़ंक्शन का दूसरा क्रम व्युत्पन्न खोजें:
(पी 2.1) .
समाधान
चर के संबंध में मूल समीकरण को अलग करें, यह मानते हुए कि यह एक कार्य है:
;
.
हम एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के लिए सूत्र लागू करते हैं।
.
हम मूल समीकरण (A2.1) में अंतर करते हैं:
;
.
यह मूल समीकरण (A2.1) से इस प्रकार है कि . स्थानापन्न :
.
कोष्ठक का विस्तार करें और सदस्यों को समूहित करें:
;
(पी2.2) .
हम पहले क्रम का व्युत्पन्न पाते हैं:
(पी2.3) .
द्वितीय कोटि अवकलज ज्ञात करने के लिए, हम समीकरण (A2.2) में अंतर करते हैं।
;
;
;
.
हम पहले क्रम के व्युत्पन्न (A2.3) के लिए व्यंजक को प्रतिस्थापित करते हैं:
.
आइए इससे गुणा करें:
;
.
यहां से हम दूसरे क्रम का व्युत्पन्न पाते हैं।
उत्तर
उदाहरण 3
समीकरण का उपयोग करके निहित रूप से दिए गए फ़ंक्शन के लिए तीसरा क्रम व्युत्पन्न खोजें:
(पी3.1) .
समाधान
चर के संबंध में मूल समीकरण को अलग करें, यह मानते हुए कि यह का एक कार्य है।
;
;
;
;
;
;
(पी3.2) ;
हम चर के संबंध में समीकरण (A3.2) में अंतर करते हैं।
;
;
;
;
;
(पी3.3) .
हम समीकरण (A3.3) में अंतर करते हैं।
;
;
;
;
;
(पी 3.4) .
समीकरणों (A3.2), (A3.3) और (A3.4) से हम अवकलजों के मान ज्ञात करते हैं।
;
;
.
परिभाषा।मान लें कि फ़ंक्शन \(y = f(x) \) को कुछ अंतराल में परिभाषित किया जाता है जिसमें बिंदु \(x_0 \) अंदर होता है। आइए तर्क में वृद्धि \(\Delta x \) करें ताकि इस अंतराल को न छोड़ें। फ़ंक्शन की संगत वृद्धि खोजें \(\Delta y \) (बिंदु \(x_0 \) से बिंदु \(x_0 + \Delta x \) तक जाते समय) और संबंध लिखें \(\frac(\Delta y) ) (\ डेल्टा एक्स) \)। यदि इस संबंध की सीमा \(\Delta x \rightarrow 0 \) पर है, तो संकेतित सीमा कहलाती है व्युत्पन्न कार्य\(y=f(x) \) बिंदु \(x_0 \) पर और \(f"(x_0) \) को निरूपित करें।
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
प्रतीक y अक्सर व्युत्पन्न को दर्शाने के लिए प्रयोग किया जाता है। ध्यान दें कि y" = f(x) एक नया फ़ंक्शन है, लेकिन स्वाभाविक रूप से फ़ंक्शन y = f(x) से जुड़ा हुआ है, जो सभी बिंदुओं x पर परिभाषित है जहां उपरोक्त सीमा मौजूद है। इस फ़ंक्शन को इस तरह कहा जाता है: फ़ंक्शन का व्युत्पन्न y \u003d f (x).
व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थनिम्नलिखित से मिलकर बनता है। यदि एक स्पर्शरेखा जो y अक्ष के समानांतर नहीं है, को फ़ंक्शन y \u003d f (x) के एक बिंदु पर भुज x \u003d a के साथ खींचा जा सकता है, तो f (a) स्पर्शरेखा के ढलान को व्यक्त करता है:
\(के = एफ"(ए)\)
चूँकि \(k = tg(a) \), समानता \(f"(a) = tg(a) \) सत्य है।
और अब हम व्युत्पन्न की परिभाषा की व्याख्या सन्निकट समानता के रूप में करते हैं। मान लें कि फलन \(y = f(x) \) का एक विशेष बिंदु \(x \) पर एक अवकलज है:
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
इसका मतलब है कि बिंदु x के पास, अनुमानित समानता \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) \), यानी \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Deltax\)। प्राप्त अनुमानित समानता का सार्थक अर्थ इस प्रकार है: फ़ंक्शन की वृद्धि तर्क की वृद्धि के लिए "लगभग आनुपातिक" है, और आनुपातिकता का गुणांक व्युत्पन्न का मान है दिया गया बिंदुएक्स। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन \(y = x^2 \) के लिए अनुमानित समानता \(\Delta y \लगभग 2x \cdot \Delta x \) सत्य है। यदि हम व्युत्पन्न की परिभाषा का ध्यानपूर्वक विश्लेषण करते हैं, तो हम पाएंगे कि इसमें इसे खोजने के लिए एक एल्गोरिथम शामिल है।
आइए इसे तैयार करें।
फ़ंक्शन y \u003d f (x) का व्युत्पन्न कैसे खोजें?
1. मान स्थिर करें \(x \), \(f(x) \) खोजें
2. वृद्धि \(x \) तर्क \(\Delta x \), एक नए बिंदु \(x+ \Delta x \) पर जाएं, \(f(x+ \Delta x) \) खोजें
3. फलन वृद्धि ज्ञात कीजिए: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. संबंध लिखें \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$ की गणना करें
यह सीमा x पर फलन का अवकलज है।
यदि फलन y = f(x) का व्युत्पन्न बिंदु x पर है, तो इसे बिंदु x पर अवकलनीय कहा जाता है। फ़ंक्शन y \u003d f (x) के व्युत्पन्न को खोजने की प्रक्रिया को कहा जाता है भेदभावफलन y = f(x)।
आइए हम निम्नलिखित प्रश्न पर चर्चा करें: एक बिंदु पर एक फलन की निरंतरता और भिन्नता कैसे संबंधित हैं?
मान लीजिए फलन y = f(x) बिंदु x पर अवकलनीय है। फिर बिंदु M (x; f (x)) पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर एक स्पर्शरेखा खींची जा सकती है और, याद रखें, स्पर्शरेखा का ढलान f "(x) के बराबर है। ऐसा ग्राफ "टूट" नहीं सकता है बिंदु M, अर्थात् फलन x पर सतत होना चाहिए।
यह "उंगलियों पर" तर्क कर रहा था। आइए हम एक और कठोर तर्क प्रस्तुत करें। यदि फलन y = f(x) बिंदु x पर अवकलनीय है, तो सन्निकट समानता \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \) शून्य है, फिर \(\Delta y \ ) भी शून्य हो जाएगा, और यह एक बिंदु पर फ़ंक्शन की निरंतरता के लिए शर्त है।
इसलिए, यदि कोई फलन बिंदु x पर अवकलनीय है, तो वह उस बिंदु पर भी सतत होता है.
इसका उलट सत्य नहीं है। उदाहरण के लिए: फ़ंक्शन y = |x| हर जगह निरंतर है, विशेष रूप से बिंदु x = 0 पर, लेकिन "संयुक्त बिंदु" (0; 0) पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा मौजूद नहीं है। यदि किसी बिंदु पर फ़ंक्शन ग्राफ़ पर स्पर्शरेखा खींचना असंभव है, तो इस बिंदु पर कोई व्युत्पन्न नहीं है।
एक और उदाहरण। फ़ंक्शन \(y=\sqrt(x) \) बिंदु x = 0 सहित संपूर्ण संख्या रेखा पर निरंतर है। और फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा बिंदु x = 0 सहित किसी भी बिंदु पर मौजूद है। । लेकिन इस बिंदु पर स्पर्शरेखा y-अक्ष के साथ मेल खाती है, अर्थात यह भुज अक्ष के लंबवत है, इसके समीकरण का रूप x \u003d 0 है। ढलानऐसी कोई रेखा नहीं है, जिसका अर्थ है कि \(f"(0) \) या तो मौजूद नहीं है
इस प्रकार, हम एक फलन के एक नए गुण - अवकलनीयता से परिचित हुए। आप कैसे बता सकते हैं कि कोई फ़ंक्शन किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ से भिन्न है या नहीं?
उत्तर वास्तव में ऊपर दिया गया है। यदि किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर एक स्पर्शरेखा खींची जा सकती है जो x-अक्ष के लंबवत नहीं है, तो इस बिंदु पर फ़ंक्शन भिन्न होता है। यदि किसी बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा मौजूद नहीं है या यह x-अक्ष के लंबवत है, तो इस बिंदु पर फ़ंक्शन अवकलनीय नहीं है।
विभेदन नियम
अवकलज ज्ञात करने की क्रिया कहलाती है भेदभाव. इस ऑपरेशन को करते समय, आपको अक्सर भागफल, योग, कार्यों के उत्पादों के साथ-साथ "फ़ंक्शन ऑफ़ फ़ंक्शंस", यानी जटिल फ़ंक्शंस के साथ काम करना पड़ता है। व्युत्पन्न की परिभाषा के आधार पर, हम इस कार्य को सुविधाजनक बनाने वाले विभेदन नियम प्राप्त कर सकते हैं। यदि सी एक स्थिर संख्या है और f=f(x), g=g(x) कुछ अलग-अलग कार्य हैं, तो निम्नलिखित सत्य हैं भेदभाव नियम:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$
कुछ कार्यों के डेरिवेटिव की तालिका
$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) "= a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \बाएं(ई^x \दाएं) " = ई^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) "= \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) "= \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $
इंजीनियरिंग सिस्टम फूल का बगीचा सर्दियों का उद्यान उर्वरक जलाशयों व्यापार विचार बगीचे में इमारतें देने के लिए शिल्प खरपतवार युद्ध स्वस्थ
अवशेष, धन और छल निष्कर्ष "पवित्र शहीदों के पवित्र शरीर ... वास्तव में पूजनीय होना चाहिए, क्योंकि इन अवशेषों के माध्यम से लोगों के लिए भगवान से कई आशीर्वाद उतरते हैं। इसलिए जो लोग पवित्र अवशेषों की पूजा और वंदना करना आवश्यक नहीं समझते...
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