यूक्लिडियन ज्यामिति में एक सीधी रेखा के गुण।

किसी भी बिंदु से होकर जाने वाली अपरिमित रूप से अनेक रेखाएँ होती हैं।

किन्हीं दो गैर-संयोग बिंदुओं के माध्यम से, केवल एक सीधी रेखा होती है।

समतल में दो गैर-संयोग रेखाएं या तो एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, या हैं

समानांतर (पिछले एक से अनुसरण करता है)।

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में, दो पंक्तियों की सापेक्ष स्थिति के लिए तीन विकल्प हैं:

• रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं;

• सीधी रेखाएँ समानांतर हैं;

• सीधी रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं।

सीधा रेखा- पहले क्रम का बीजगणितीय वक्र: कार्तीय समन्वय प्रणाली में, एक सीधी रेखा

पहली डिग्री (रैखिक समीकरण) के समीकरण द्वारा विमान पर दिया जाता है।

एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण।

परिभाषा. समतल में किसी भी रेखा को प्रथम कोटि के समीकरण द्वारा दिया जा सकता है

आह + वू + सी = 0,

और स्थिर ए, बीएक ही समय में शून्य के बराबर नहीं। इस प्रथम कोटि के समीकरण को कहा जाता है सामान्य

सीधी रेखा समीकरण।स्थिरांक के मूल्यों के आधार पर ए, बीतथा सेनिम्नलिखित विशेष मामले संभव हैं:

. सी = 0, ए 0, बी ≠ 0- रेखा मूल से होकर गुजरती है

. ए = 0, बी ≠0, सी ≠0 (द्वारा + सी = 0)- अक्ष के समानांतर सीधी रेखा ओह

. बी = 0, ए 0, सी ≠ 0 ( कुल्हाड़ी + सी = 0)- अक्ष के समानांतर सीधी रेखा कहां

. बी = सी = 0, ए 0- रेखा अक्ष के साथ मेल खाती है कहां

. ए = सी = 0, बी 0- रेखा अक्ष के साथ मेल खाती है ओह

एक सीधी रेखा के समीकरण को में दर्शाया जा सकता है विभिन्न रूपकिसी दिए पर निर्भर करता है

आरंभिक स्थितियां।

एक बिंदु और एक सामान्य वेक्टर द्वारा एक सीधी रेखा का समीकरण।

परिभाषा. एक कार्तीय आयताकार समन्वय प्रणाली में, घटकों के साथ एक वेक्टर (ए, बी)

रेखा के लंबवत समीकरण द्वारा दिया गया

आह + वू + सी = 0।

उदाहरण. एक बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए ए(1, 2)वेक्टर के लंबवत (3, -1).

समाधान. आइए A \u003d 3 और B \u003d -1 पर सीधी रेखा के समीकरण की रचना करें: 3x - y + C \u003d 0. गुणांक C खोजने के लिए

हम दिए गए बिंदु A के निर्देशांकों को परिणामी व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं। हमें प्राप्त होता है: 3 - 2 + C = 0, इसलिए

सी = -1। कुल: वांछित समीकरण: 3x - y - 1 \u003d 0।

दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण।

मान लीजिए अंतरिक्ष में दो बिंदु दिए गए हैं एम 1 (एक्स 1 , वाई 1 , जेड 1)तथा एम 2 (एक्स 2, वाई 2, जेड 2),फिर सीधी रेखा समीकरण,

इन बिंदुओं से गुजरते हुए:

यदि हर में से कोई भी शून्य के बराबर है, तो संबंधित अंश को शून्य के बराबर सेट किया जाना चाहिए। पर

समतल, ऊपर लिखी गई एक सीधी रेखा का समीकरण सरल है:

यदि एक्स 1 एक्स 2तथा एक्स = एक्स 1, यदि एक्स 1 = एक्स 2 .

अंश = केबुलाया ढलान कारक सीधा.

उदाहरण. बिंदुओं A(1, 2) और B(3, 4) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

समाधान. उपरोक्त सूत्र को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

एक बिंदु और एक ढलान द्वारा एक सीधी रेखा का समीकरण।

यदि एक सामान्य समीकरणसीधा आह + वू + सी = 0फॉर्म में लाओ:

और नामित करें , तो परिणामी समीकरण कहलाता है

ढलान k के साथ एक सीधी रेखा का समीकरण।

एक बिंदु पर एक सीधी रेखा का समीकरण और एक निर्देशन वेक्टर।

सामान्य वेक्टर के माध्यम से एक सीधी रेखा के समीकरण पर विचार करने वाले बिंदु के अनुरूप, आप कार्य में प्रवेश कर सकते हैं

एक बिंदु के माध्यम से एक सीधी रेखा और एक सीधी रेखा का एक दिशा वेक्टर।

परिभाषा. प्रत्येक गैर-शून्य वेक्टर (α 1, α 2), जिनके घटक शर्त को पूरा करते हैं

Aα 1 + Bα 2 = 0बुलाया सीधी रेखा का दिशा वेक्टर।

आह + वू + सी = 0।

उदाहरण. दिशा सदिश (1, -1) और बिंदु A(1, 2) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

समाधान. हम फॉर्म में वांछित सीधी रेखा के समीकरण की तलाश करेंगे: कुल्हाड़ी + बाय + सी = 0।परिभाषा के अनुसार,

गुणांक को शर्तों को पूरा करना चाहिए:

1 * ए + (-1) * बी = 0, यानी। ए = बी।

तब एक सीधी रेखा के समीकरण का रूप होता है: कुल्हाड़ी + आय + सी = 0,या एक्स + वाई + सी / ए = 0।

पर एक्स = 1, वाई = 2हम पाते हैं सी/ए = -3, अर्थात। वांछित समीकरण:

एक्स + वाई - 3 = 0

खंडों में एक सीधी रेखा का समीकरण।

यदि सरल रेखा के सामान्य समीकरण में Ah + Wu + C = 0 C≠0, तो -C से भाग देने पर, हम प्राप्त करते हैं:

या कहाँ

ज्यामितीय अर्थगुणांक जिसमें गुणांक a प्रतिच्छेदन बिंदु का निर्देशांक है

सीधे धुरी के साथ ओह,एक बी- अक्ष के साथ रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु का समन्वय ओ.यू.

उदाहरण. एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण दिया गया है एक्स - वाई + 1 = 0।इस सीधी रेखा का समीकरण खण्डों में ज्ञात कीजिए।

सी \u003d 1, , ए \u003d -1, बी \u003d 1.

एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण।

यदि समीकरण के दोनों पक्ष आह + वू + सी = 0संख्या से विभाजित करें , जिसे कहा जाता है

सामान्यीकरण कारक, तो हमें मिलता है

xcosφ + ysinφ - p = 0 -एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण.

सामान्यीकरण कारक का चिह्न ± चुना जाना चाहिए ताकि μ * सी< 0.

आर- मूल से रेखा तक गिराए गए लंबवत की लंबाई,

एक φ - इस लंब द्वारा अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ बनने वाला कोण ओह।

उदाहरण. एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण को देखते हुए 12x - 5y - 65 = 0. लिखने के लिए आवश्यक अलग - अलग प्रकारसमीकरण

यह सीधी रेखा।

खंडों में इस सीधी रेखा का समीकरण:

ढलान के साथ इस रेखा का समीकरण: (5 से विभाजित करें)

एक सीधी रेखा का समीकरण:

cos = 12/13; पाप = -5/13; पी = 5।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि प्रत्येक सीधी रेखा को खंडों में समीकरण द्वारा प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, सीधी रेखाएं,

कुल्हाड़ियों के समानांतर या मूल से गुजर रहा है।

समतल पर रेखाओं के बीच का कोण।

परिभाषा. यदि दो पंक्तियाँ दी गई हों वाई \u003d के 1 एक्स + बी 1, वाई \u003d के 2 एक्स + बी 2, फिर तेज़ कोनेइन पंक्तियों के बीच

के रूप में परिभाषित किया जाएगा

दो रेखाएँ समानांतर हैं यदि कश्मीर 1 = कश्मीर 2. दो रेखाएँ लंबवत हैं

यदि के 1 \u003d -1 / के 2 .

प्रमेय.

प्रत्यक्ष आह + वू + सी = 0तथा ए 1 एक्स + बी 1 वाई + सी 1 \u003d 0समानांतर होते हैं जब गुणांक आनुपातिक होते हैं

ए 1 \u003d ए, बी 1 \u003d बी. अगर भी 1 \u003d, तो रेखाएँ मेल खाती हैं। दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक

इन रेखाओं के समीकरणों के निकाय के हल के रूप में पाए जाते हैं।

किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण दी गई रेखा पर लंबवत होता है।

परिभाषा. एक बिंदु से गुजरने वाली रेखा एम 1 (एक्स 1, वाई 1)और रेखा के लंबवत वाई = केएक्स + बी

समीकरण द्वारा दर्शाया गया:

एक बिंदु से एक रेखा की दूरी।

प्रमेय. यदि एक बिंदु दिया जाता है एम (एक्स 0, वाई 0),फिर रेखा की दूरी आह + वू + सी = 0के रूप में परिभाषित किया गया है:

सबूत. बात करने दो एम 1 (एक्स 1, वाई 1)- बिंदु से गिराए गए लंब का आधार एमकिसी प्रदत्त के लिए

प्रत्यक्ष। फिर बिंदुओं के बीच की दूरी एमतथा एम 1:

(1)

COORDINATES एक्स 1तथा 1समीकरणों की प्रणाली के समाधान के रूप में पाया जा सकता है:

निकाय का दूसरा समीकरण किसी दिए गए बिंदु M 0 से लंबवत रूप से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण है

दी गई पंक्ति। यदि हम सिस्टम के पहले समीकरण को फॉर्म में बदलते हैं:

ए (एक्स - एक्स 0) + बी (वाई - वाई 0) + एक्स 0 + बाय 0 + सी = 0,

फिर, हल करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

इन व्यंजकों को समीकरण (1) में रखने पर, हम पाते हैं:

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

किसी दिए गए बिंदु से किसी दिशा में गुजरने वाली रेखा का समीकरण। दिए गए दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण। दो रेखाओं के बीच का कोण। दो रेखाओं के समांतरता और लंबवतता की स्थिति। दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का निर्धारण

1. किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ए(एक्स 1 , आप 1) ढलान द्वारा निर्धारित किसी दिशा में क,

आप - आप 1 = क(एक्स - एक्स 1). (1)

यह समीकरण एक बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं की एक पेंसिल को परिभाषित करता है ए(एक्स 1 , आप 1), जिसे बीम का केंद्र कहा जाता है।

2. दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण: ए(एक्स 1 , आप 1) और बी(एक्स 2 , आप 2) इस तरह लिखा गया है:

दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का ढलान सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

3. सीधी रेखाओं के बीच का कोण एतथा बीवह कोण है जिसके द्वारा पहली सीधी रेखा को घुमाया जाना चाहिए एइन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के चारों ओर वामावर्त जब तक यह दूसरी पंक्ति के साथ मेल नहीं खाता बी. यदि ढलान समीकरणों द्वारा दो रेखाएँ दी जाती हैं

आप = क 1 एक्स + बी 1 ,

अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के विहित समीकरण ऐसे समीकरण होते हैं जो किसी दिए गए बिंदु से एक दिशा वेक्टर तक जाने वाली सीधी रेखा को परिभाषित करते हैं।

मान लीजिए कि एक बिंदु और एक दिशा वेक्टर दिया गया है। एक मनमाना बिंदु एक रेखा पर स्थित है मैंकेवल तभी जब सदिश और संरेखी हों, अर्थात्, वे शर्त को पूरा करते हैं:

.

उपरोक्त समीकरण हैं विहित समीकरणसीधा।

नंबर एम , एनतथा पीनिर्देशांक अक्षों पर दिशा वेक्टर के प्रक्षेपण हैं। चूँकि सदिश अशून्य है, तो सभी संख्याएँ एम , एनतथा पीएक ही समय में शून्य नहीं हो सकता। लेकिन उनमें से एक या दो शून्य हो सकते हैं। विश्लेषणात्मक ज्यामिति में, उदाहरण के लिए, निम्नलिखित अंकन की अनुमति है:

,

जिसका अर्थ है कि कुल्हाड़ियों पर वेक्टर के अनुमान ओएतथा आउंसशून्य के बराबर हैं। इसलिए, विहित समीकरणों द्वारा दी गई सदिश और सीधी रेखा दोनों अक्षों के लंबवत हैं ओएतथा आउंस, यानी विमान योज़ .

उदाहरण 1समतल के लंबवत अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के समीकरणों की रचना करें और अक्ष के साथ इस विमान के प्रतिच्छेदन बिंदु से गुजरते हुए आउंस .

समाधान। अक्ष के साथ दिए गए समतल का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए आउंस. चूंकि अक्ष पर कोई बिंदु आउंस, निर्देशांक है, तो, विमान के दिए गए समीकरण में मानते हुए एक्स = वाई = 0, हमें 4 . प्राप्त होता है जेड- 8 = 0 या जेड= 2। इसलिए, दिए गए समतल का अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु आउंसनिर्देशांक हैं (0; 0; 2)। चूंकि वांछित रेखा तल के लंबवत है, इसलिए यह अपने सामान्य वेक्टर के समानांतर है। इसलिए, सामान्य वेक्टर सीधी रेखा के निर्देशन वेक्टर के रूप में काम कर सकता है विमान दिया।

अब हम बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा के वांछित समीकरण लिखते हैं ए= (0; 0; 2) सदिश की दिशा में :

दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण

एक सीधी रेखा को उस पर पड़े दो बिंदुओं द्वारा परिभाषित किया जा सकता है तथा इस मामले में, सीधी रेखा का निर्देशन वेक्टर वेक्टर हो सकता है। तब रेखा के विहित समीकरण रूप लेते हैं

.

उपरोक्त समीकरण दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा को परिभाषित करते हैं।

उदाहरण 2बिंदुओं से होकर जाने वाली अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा का समीकरण लिखिए।

समाधान। हम सैद्धांतिक संदर्भ में ऊपर दिए गए रूप में सीधी रेखा के वांछित समीकरण लिखते हैं:

.

चूँकि , तब वांछित रेखा अक्ष के लंबवत होती है ओए .

समतलों के प्रतिच्छेदन की रेखा के रूप में सीधी

अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा को दो गैर-समानांतर विमानों के प्रतिच्छेदन की रेखा के रूप में परिभाषित किया जा सकता है और, यानी, दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को संतुष्ट करने वाले बिंदुओं के एक सेट के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।

निकाय के समीकरणों को अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण भी कहा जाता है।

उदाहरण 3सामान्य समीकरणों द्वारा दिए गए स्थान में एक सीधी रेखा के विहित समीकरणों की रचना करें

समाधान। एक सीधी रेखा के विहित समीकरण लिखने के लिए या, क्या समान है, दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण को लिखने के लिए, आपको सीधी रेखा पर किन्हीं दो बिंदुओं के निर्देशांक खोजने होंगे। वे किन्हीं दो समन्वय विमानों के साथ एक सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु हो सकते हैं, उदाहरण के लिए योज़तथा xOz .

समतल के साथ एक रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु योज़एब्सिस्सा है एक्स= 0। इसलिए, समीकरणों की इस प्रणाली में मानते हुए एक्स= 0 , हमें दो चरों वाला एक सिस्टम मिलता है:

उसका निर्णय आप = 2 , जेड= 6 साथ में एक्स= 0 एक बिंदु को परिभाषित करता है ए(0; 2; 6) वांछित रेखा का। समीकरणों की दी गई प्रणाली में मान लें आप= 0, हमें सिस्टम मिलता है

उसका निर्णय एक्स = -2 , जेड= 0 साथ में आप= 0 एक बिंदु को परिभाषित करता है बी(-2; 0; 0) एक समतल वाली रेखा का प्रतिच्छेदन xOz .

अब हम बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण लिखते हैं ए(0; 2; 6) और बी (-2; 0; 0) :

,

या हर को -2 से विभाजित करने के बाद:

,

"ज्यामितीय एल्गोरिदम" श्रृंखला से पाठ

नमस्कार प्रिय पाठक!

आज हम ज्यामिति से संबंधित एल्गोरिदम सीखना शुरू करेंगे। तथ्य यह है कि कम्प्यूटेशनल ज्यामिति से संबंधित कंप्यूटर विज्ञान में ओलंपियाड की काफी समस्याएं हैं, और ऐसी समस्याओं का समाधान अक्सर कठिनाइयों का कारण बनता है।

कुछ पाठों में, हम कई प्राथमिक उप-समस्याओं पर विचार करेंगे, जिन पर कम्प्यूटेशनल ज्यामिति की अधिकांश समस्याओं का समाधान आधारित है।

इस पाठ में, हम इसके लिए एक कार्यक्रम लिखेंगे एक सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात करनादिए गए के माध्यम से गुजर रहा है दो बिंदु. ज्यामितीय समस्याओं को हल करने के लिए, हमें कम्प्यूटेशनल ज्यामिति के कुछ ज्ञान की आवश्यकता है। हम उन्हें जानने के लिए पाठ का एक हिस्सा समर्पित करेंगे।

कम्प्यूटेशनल ज्यामिति से जानकारी

कम्प्यूटेशनल ज्यामिति कंप्यूटर विज्ञान की एक शाखा है जो ज्यामितीय समस्याओं को हल करने के लिए एल्गोरिदम का अध्ययन करती है।

इस तरह की समस्याओं के लिए प्रारंभिक डेटा विमान पर बिंदुओं का एक सेट, खंडों का एक सेट, एक बहुभुज (दिया गया, उदाहरण के लिए, दक्षिणावर्त क्रम में इसके शीर्षों की सूची द्वारा) आदि हो सकता है।

परिणाम या तो किसी प्रश्न का उत्तर हो सकता है (जैसे कि एक बिंदु एक खंड से संबंधित है, दो खंड प्रतिच्छेद करते हैं, ...), या कुछ ज्यामितीय वस्तु (उदाहरण के लिए, दिए गए बिंदुओं को जोड़ने वाला सबसे छोटा उत्तल बहुभुज, का क्षेत्रफल एक बहुभुज, आदि)।

हम केवल समतल पर और केवल कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में कम्प्यूटेशनल ज्यामिति की समस्याओं पर विचार करेंगे।

वेक्टर और निर्देशांक

कम्प्यूटेशनल ज्यामिति के तरीकों को लागू करने के लिए, ज्यामितीय छवियों को संख्याओं की भाषा में अनुवाद करना आवश्यक है। हम मानते हैं कि विमान में दिया गया है कार्तीय प्रणालीनिर्देशांक, जिसमें घूर्णन की दिशा वामावर्त धनात्मक कहलाती है।

अब ज्यामितीय वस्तुओं को एक विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति प्राप्त होती है। तो, एक बिंदु निर्धारित करने के लिए, इसके निर्देशांक निर्दिष्ट करने के लिए पर्याप्त है: संख्याओं की एक जोड़ी (x; y)। एक खंड को इसके सिरों के निर्देशांक निर्दिष्ट करके निर्दिष्ट किया जा सकता है, इसके बिंदुओं की एक जोड़ी के निर्देशांक निर्दिष्ट करके एक सीधी रेखा निर्दिष्ट की जा सकती है।

लेकिन समस्याओं को हल करने का मुख्य साधन वैक्टर होंगे। इसलिए मैं आपको उनके बारे में कुछ जानकारी याद दिला दूं।

रेखा खंड अब, जिसमें एक बिंदु है लेकिनशुरुआत (आवेदन का बिंदु), और बिंदु माना जाता है पर- अंत को सदिश कहा जाता है अबऔर या तो , या एक बोल्ड लोअरकेस अक्षर द्वारा दर्शाया गया है, उदाहरण के लिए एक .

एक वेक्टर की लंबाई (अर्थात, संबंधित खंड की लंबाई) को दर्शाने के लिए, हम मॉड्यूल प्रतीक (उदाहरण के लिए, ) का उपयोग करेंगे।

एक मनमाना वेक्टर के अंत और शुरुआत के संबंधित निर्देशांक के बीच अंतर के बराबर निर्देशांक होंगे:

,

यहाँ बिंदु एतथा बी निर्देशांक हैं क्रमश।

गणना के लिए, हम अवधारणा का उपयोग करेंगे उन्मुख कोण, यानी एक कोण जो ध्यान में रखता है आपसी व्यवस्थावैक्टर

सदिशों के बीच उन्मुख कोण एक तथा बी सकारात्मक अगर रोटेशन वेक्टर से दूर है एक वेक्टर के लिए बी सकारात्मक दिशा (वामावर्त) में किया जाता है और दूसरे मामले में नकारात्मक। अंजीर देखें। 1 ए, अंजीर। 1 बी। यह भी कहा जाता है कि वैक्टर की एक जोड़ी एक तथा बी सकारात्मक (नकारात्मक) उन्मुख।

इस प्रकार, उन्मुख कोण का मान वैक्टर की गणना के क्रम पर निर्भर करता है और अंतराल में मान ले सकता है।

कई कम्प्यूटेशनल ज्यामिति समस्याएं वैक्टर के वेक्टर (तिरछा या स्यूडोस्केलर) उत्पादों की अवधारणा का उपयोग करती हैं।

वैक्टर ए और बी का वेक्टर उत्पाद इन वैक्टरों की लंबाई और उनके बीच के कोण की साइन का उत्पाद है:

.

निर्देशांक में सदिशों का सदिश गुणनफल:

दाईं ओर का व्यंजक दूसरे क्रम का निर्धारक है:

विश्लेषणात्मक ज्यामिति में दी गई परिभाषा के विपरीत, यह एक अदिश राशि है।

क्रॉस उत्पाद का चिन्ह एक दूसरे के सापेक्ष वैक्टर की स्थिति निर्धारित करता है:

एक तथा बी सकारात्मक रूप से उन्मुख।

यदि मान है , तो सदिशों का युग्म एक तथा बी नकारात्मक उन्मुख।

गैर-शून्य वैक्टर का क्रॉस उत्पाद शून्य है यदि और केवल अगर वे संरेख हैं ( ) इसका मतलब है कि वे एक ही रेखा पर या समानांतर रेखाओं पर स्थित हैं।

आइए अधिक जटिल कार्यों को हल करने के लिए आवश्यक कुछ सरल कार्यों पर विचार करें।

आइए दो बिंदुओं के निर्देशांक द्वारा एक सीधी रेखा के समीकरण को परिभाषित करें।

दो अलग-अलग बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण उनके निर्देशांकों द्वारा दिया जाता है।

मान लीजिए कि रेखा पर दो गैर-संपाती बिंदु दिए गए हैं: निर्देशांक (x1;y1) और निर्देशांक (x2; y2) के साथ। तदनुसार, बिंदु पर शुरुआत और बिंदु पर अंत वाले वेक्टर में निर्देशांक (x2-x1, y2-y1) होते हैं। यदि P(x, y) हमारी रेखा पर एक मनमाना बिंदु है, तो सदिश के निर्देशांक (x-x1, y - y1) हैं।

क्रॉस उत्पाद की मदद से, वैक्टर की समरूपता की स्थिति और निम्नानुसार लिखी जा सकती है:

वे। (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

हम अंतिम समीकरण को इस प्रकार फिर से लिखते हैं:

कुल्हाड़ी + बाय + सी = 0, (1)

सी = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

तो, सरल रेखा को फॉर्म (1) के समीकरण द्वारा दिया जा सकता है।

कार्य 1. दो बिंदुओं के निर्देशांक दिए गए हैं। इसका निरूपण ax + by + c = 0 के रूप में करें।

इस पाठ में, हम कम्प्यूटेशनल ज्यामिति से कुछ जानकारी से परिचित हुए। हमने दो बिंदुओं के निर्देशांक द्वारा रेखा के समीकरण को खोजने की समस्या को हल किया।

अगले पाठ में, हम अपने समीकरणों द्वारा दी गई दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए एक प्रोग्राम लिखेंगे।

परिभाषा।समतल में किसी भी रेखा को प्रथम कोटि के समीकरण द्वारा दिया जा सकता है

आह + वू + सी = 0,

और अचर A, B एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं हैं। इस प्रथम कोटि के समीकरण को कहा जाता है एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण।मूल्यों के आधार पर स्थिर ए, बीऔर सी, निम्नलिखित विशेष मामले संभव हैं:

सी \u003d 0, ए 0, बी ≠ 0 - रेखा मूल से गुजरती है

ए \u003d 0, बी ≠ 0, सी 0 (बाय + सी \u003d 0) - रेखा ऑक्स अक्ष के समानांतर है

बी \u003d 0, ए 0, सी ≠ 0 ( कुल्हाड़ी + सी \u003d 0) - रेखा ओए अक्ष के समानांतर है

बी \u003d सी \u003d 0, ए 0 - सीधी रेखा ओए अक्ष के साथ मेल खाती है

ए \u003d सी \u003d 0, बी 0 - सीधी रेखा ऑक्स अक्ष के साथ मेल खाती है

किसी दी गई प्रारंभिक स्थितियों के आधार पर एक सीधी रेखा के समीकरण को विभिन्न रूपों में प्रस्तुत किया जा सकता है।

एक बिंदु और एक सामान्य वेक्टर द्वारा एक सीधी रेखा का समीकरण

परिभाषा।एक कार्तीय आयताकार निर्देशांक प्रणाली में, घटकों (ए, बी) के साथ एक वेक्टर समीकरण एक्स + बाय + सी = 0 द्वारा दी गई रेखा के लंबवत है।

उदाहरण. बिंदु A(1, 2) से (3, -1) के लंबवत गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

समाधान. A = 3 और B = -1 पर, हम एक सीधी रेखा के समीकरण की रचना करते हैं: 3x - y + C = 0. गुणांक C को खोजने के लिए, हम दिए गए बिंदु A के निर्देशांक को परिणामी व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं। हम प्राप्त करते हैं: 3 - 2 + सी = 0, इसलिए, सी = -1। कुल: वांछित समीकरण: 3x - y - 1 \u003d 0।

दो बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा का समीकरण

मान लीजिए अंतरिक्ष में दो बिंदु M 1 (x 1, y 1, z 1) और M 2 (x 2, y 2, z 2) दिए गए हैं, तो इन बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण:

यदि हर में से कोई भी शून्य के बराबर है, तो संबंधित अंश को शून्य के बराबर सेट किया जाना चाहिए। समतल पर, ऊपर लिखी गई सीधी रेखा समीकरण को सरल बनाया गया है:

यदि x 1 x 2 और x = x 1 यदि x 1 = x 2 है।

भिन्न = k कहा जाता है ढलान कारकसीधा।

उदाहरण. बिंदुओं A(1, 2) और B(3, 4) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

समाधान।उपरोक्त सूत्र को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

एक बिंदु और एक ढलान से एक सीधी रेखा का समीकरण

यदि कुल कुल्हाड़ी + वू + सी = 0 फॉर्म की ओर ले जाती है:

और नामित करें , तो परिणामी समीकरण कहलाता है ढलान के साथ एक सीधी रेखा का समीकरणक.

एक बिंदु और दिशा वेक्टर के साथ एक सीधी रेखा का समीकरण

सामान्य वेक्टर के माध्यम से एक सीधी रेखा के समीकरण पर विचार करने वाले बिंदु के अनुरूप, आप एक बिंदु के माध्यम से एक सीधी रेखा के असाइनमेंट और एक सीधी रेखा के एक निर्देशन वेक्टर में प्रवेश कर सकते हैं।

परिभाषा।प्रत्येक गैर-शून्य वेक्टर (α 1, α 2), जिसके घटक A α 1 + B α 2 = 0 की स्थिति को संतुष्ट करते हैं, रेखा का निर्देशन वेक्टर कहा जाता है

आह + वू + सी = 0।

उदाहरण। दिशा सदिश (1, -1) और बिंदु A(1, 2) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

समाधान।हम वांछित सीधी रेखा के समीकरण को इस रूप में देखेंगे: कुल्हाड़ी + बाय + सी = 0। परिभाषा के अनुसार, गुणांक को शर्तों को पूरा करना चाहिए:

1 * ए + (-1) * बी = 0, यानी। ए = बी।

तब एक सीधी रेखा के समीकरण का रूप होता है: Ax + Ay + C = 0, या x + y + C / A = 0. x = 1, y = 2 के लिए हमें C / A = -3 प्राप्त होता है, अर्थात। वांछित समीकरण:

खंडों में एक सीधी रेखा का समीकरण

यदि सरल रेखा के सामान्य समीकरण में Ah + Wu + C = 0 C≠0, तो –C से भाग देने पर, हम प्राप्त करते हैं: या

गुणांक का ज्यामितीय अर्थ यह है कि गुणांक एक x-अक्ष के साथ रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु का निर्देशांक है, और बी- ओए अक्ष के साथ सीधी रेखा के चौराहे के बिंदु का समन्वय।

उदाहरण।रेखा x - y + 1 = 0 के सामान्य समीकरण को देखते हुए। खंडों में इस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

सी \u003d 1, , ए \u003d -1, बी \u003d 1.

एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण

यदि समीकरण Ax + Vy + C = 0 के दोनों पक्षों को संख्या से गुणा किया जाता है , जिसे कहा जाता है सामान्यीकरण कारक, तो हमें मिलता है

xcosφ + ysinφ - p = 0 -

एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण। सामान्यीकरण कारक का चिह्न ± चुना जाना चाहिए ताकि μ *< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

उदाहरण. रेखा के सामान्य समीकरण को देखते हुए 12x - 5y - 65 = 0. इस रेखा के लिए विभिन्न प्रकार के समीकरणों को लिखना आवश्यक है।

खंडों में इस सीधी रेखा का समीकरण:

ढलान के साथ इस रेखा का समीकरण: (5 से विभाजित करें)

; cos = 12/13; पाप = -5/13; पी = 5।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि प्रत्येक सीधी रेखा को खंडों में समीकरण द्वारा प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, कुल्हाड़ियों के समानांतर या मूल बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखाएं।

उदाहरण. सीधी रेखा निर्देशांक अक्षों पर समान धनात्मक खंडों को काटती है। एक सरल रेखा का समीकरण लिखिए यदि इन खण्डों से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल 8 सेमी 2 है।

समाधान।सीधी रेखा के समीकरण का रूप है: , ab /2 = 8; एबी = 16; ए = 4, ए = -4। ए = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

उदाहरण. बिंदु A (-2, -3) और मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण लिखिए।

समाधान. एक सीधी रेखा के समीकरण का रूप है: , जहाँ x 1 \u003d y 1 \u003d 0; एक्स 2 \u003d -2; वाई 2 \u003d -3।

समतल पर रेखाओं के बीच का कोण

परिभाषा।यदि दो रेखाएँ y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2 दी गई हों, तो इन रेखाओं के बीच का न्यून कोण इस प्रकार परिभाषित होगा

.

दो रेखाएँ समांतर हैं यदि k 1 = k 2 । दो रेखाएँ लंबवत हैं यदि k 1 = -1/ k 2 ।

प्रमेय।सीधी रेखाएँ Ax + Vy + C \u003d 0 और A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 समानांतर होती हैं जब गुणांक A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB आनुपातिक होते हैं। यदि 1 = भी हो, तो रेखाएँ संपाती होती हैं। दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक इन रेखाओं के समीकरणों के निकाय के हल के रूप में पाए जाते हैं।

किसी दिए गए बिंदु से किसी दी गई रेखा के लंबवत गुजरने वाली रेखा का समीकरण

परिभाषा।बिंदु M 1 (x 1, y 1) से गुजरने वाली रेखा और रेखा y \u003d kx + b के लंबवत को समीकरण द्वारा दर्शाया गया है:

बिंदु से रेखा की दूरी

प्रमेय।यदि एक बिंदु M(x 0, y 0) दिया जाता है, तो रेखा Ax + Vy + C \u003d 0 की दूरी को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है

.

सबूत।मान लीजिए कि बिंदु M 1 (x 1, y 1) बिंदु M से दी गई रेखा पर गिराए गए लंब का आधार है। फिर बिंदु M और M 1 के बीच की दूरी:

(1)

x 1 और y 1 निर्देशांक समीकरणों की प्रणाली के समाधान के रूप में पाए जा सकते हैं:

सिस्टम का दूसरा समीकरण किसी दिए गए बिंदु M 0 से होकर जाने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण है जो किसी दी गई सीधी रेखा के लंबवत है। यदि हम सिस्टम के पहले समीकरण को फॉर्म में बदलते हैं:

ए (एक्स - एक्स 0) + बी (वाई - वाई 0) + एक्स 0 + बाय 0 + सी = 0,

फिर, हल करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

इन व्यंजकों को समीकरण (1) में रखने पर, हम पाते हैं:

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

उदाहरण. रेखाओं के बीच के कोण का निर्धारण करें: y = -3 x + 7; वाई = 2 एक्स + 1।

के 1 \u003d -3; के2 = 2; टीजीφ = ; = /4।

उदाहरण. दिखाएँ कि रेखाएँ 3x - 5y + 7 = 0 और 10x + 6y - 3 = 0 लंबवत हैं।

समाधान. हम पाते हैं: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, इसलिए, रेखाएँ लंबवत हैं।

उदाहरण. त्रिभुज A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) के शीर्ष दिए गए हैं। शीर्ष C से खींची गई ऊँचाई का समीकरण ज्ञात कीजिए।

समाधान. हम भुजा AB का समीकरण पाते हैं: ; 4 एक्स = 6 वाई - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

वांछित ऊंचाई समीकरण है: कुल्हाड़ी + बाय + सी = 0 या वाई = केएक्स + बी। के =। फिर वाई =। इसलिये ऊंचाई बिंदु C से होकर गुजरती है, तो इसके निर्देशांक इस समीकरण को संतुष्ट करते हैं: जहां से बी = 17. कुल:।

उत्तर: 3x + 2y - 34 = 0।