के लिए a=b=R समीकरण (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2बिंदु O"(x_0,y_0) पर केन्द्रित त्रिज्या R के एक वृत्त का वर्णन करता है।

एक दीर्घवृत्त का पैरामीट्रिक समीकरण

एक दीर्घवृत्त का पैरामीट्रिक समीकरणविहित समन्वय प्रणाली में रूप है

\begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(cases)0\leqslant t<2\pi.

वास्तव में, इन व्यंजकों को समीकरण (3.49) में प्रतिस्थापित करते हुए, हम मूल त्रिकोणमितीय सर्वसमिका पर पहुँचते हैं \cos^2t+\sin^2t=1.

उदाहरण 3.20।दीर्घवृत्त खींचना \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1विहित समन्वय प्रणाली ऑक्सी में। अर्ध-अक्ष, फोकल लंबाई, विलक्षणता, पहलू अनुपात, फोकल पैरामीटर, डायरेक्ट्रिक्स समीकरण खोजें।

समाधान।दिए गए समीकरण की विहित समीकरण से तुलना करते हुए, हम अर्ध-अक्ष निर्धारित करते हैं: a=2 - प्रमुख अर्ध-अक्ष, b=1 - दीर्घवृत्त का लघु अर्ध-अक्ष। हम मुख्य आयत का निर्माण करते हैं जिसकी भुजाएँ 2a=4,~2b=2 मूल बिंदु पर केन्द्रित हैं (चित्र 3.39)। अंडाकार की समरूपता को देखते हुए, हम इसे मुख्य आयत में फिट करते हैं। यदि आवश्यक हो, तो हम दीर्घवृत्त के कुछ बिंदुओं के निर्देशांक निर्धारित करते हैं। उदाहरण के लिए, x=1 को दीर्घवृत्त समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

\frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \Leftrightarrow \ क्वाड y=\pm\frac(\sqrt(3))(2).

इसलिए, निर्देशांक वाले बिंदु \बाएं(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\right)- एक दीर्घवृत्त के हैं।

संपीड़न अनुपात की गणना करें k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); फोकल लम्बाई 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); सनक e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); फोकल पैरामीटर p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). हम डायरेक्ट्रिक्स समीकरण बनाते हैं: x=\pm\frac(a^2)(c)~\Leftrightarrow~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)).

दूसरे क्रम की पंक्तियाँ।
दीर्घवृत्त और उसका विहित समीकरण। घेरा

गहन अध्ययन के बाद विमान पर सीधी रेखाएंहम द्वि-आयामी दुनिया की ज्यामिति का अध्ययन करना जारी रखते हैं। दांव को दोगुना कर दिया गया है और मैं आपको दीर्घवृत्त, अतिपरवलय, परवलय की सुरम्य गैलरी में जाने के लिए आमंत्रित करता हूं, जो कि विशिष्ट प्रतिनिधि हैं दूसरे क्रम की पंक्तियाँ. दौरा पहले ही शुरू हो चुका है, और सबसे पहले, संग्रहालय की विभिन्न मंजिलों पर पूरी प्रदर्शनी के बारे में एक संक्षिप्त जानकारी:

बीजीय रेखा की अवधारणा और उसका क्रम

समतल पर एक रेखा कहलाती है बीजगणितीय, मैं फ़िन एफ़िन समन्वय प्रणालीइसके समीकरण का रूप है , जहां एक बहुपद है जिसमें रूप की शर्तें शामिल हैं (एक वास्तविक संख्या है, गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं)।

जैसा कि आप देख सकते हैं, बीजीय रेखा के समीकरण में साइन, कोसाइन, लॉगरिदम और अन्य कार्यात्मक ब्यू मोंडे शामिल नहीं हैं। केवल "x" और "y" in पूर्णांक गैर-ऋणात्मकडिग्री।

लाइन ऑर्डरइसमें शामिल शर्तों के अधिकतम मूल्य के बराबर है।

संबंधित प्रमेय के अनुसार, बीजीय रेखा की अवधारणा, साथ ही उसका क्रम, पसंद पर निर्भर नहीं करता है एफ़िन समन्वय प्रणाली, इसलिए, होने में आसानी के लिए, हम मानते हैं कि बाद की सभी गणनाएँ होती हैं कार्तीय निर्देशांक.

सामान्य समीकरणदूसरे क्रम की रेखा का रूप है, जहाँ मनमानी वास्तविक संख्याएं हैं (यह एक गुणक के साथ लिखने के लिए प्रथागत है - "दो"), और गुणांक एक साथ शून्य के बराबर नहीं हैं।

यदि , तो समीकरण सरल हो जाता है , और यदि गुणांक एक साथ शून्य के बराबर नहीं हैं, तो यह ठीक है एक "सपाट" सीधी रेखा का सामान्य समीकरण, जो दर्शाता है पहली ऑर्डर लाइन.

कई लोगों ने नई शर्तों का अर्थ समझा, लेकिन, फिर भी, सामग्री को 100% आत्मसात करने के लिए, हम अपनी उंगलियों को सॉकेट में चिपका देते हैं। पंक्ति क्रम निर्धारित करने के लिए, पुनरावृति करें सभी शर्तेंइसके समीकरण और उनमें से प्रत्येक के लिए खोजें शक्तियों का योगआने वाले चर।

उदाहरण के लिए:

शब्द में "x" से पहली डिग्री शामिल है;
शब्द में पहली शक्ति में "Y" शामिल है;
पद में कोई चर नहीं हैं, इसलिए उनकी शक्तियों का योग शून्य है।

अब आइए जानें कि समीकरण रेखा को क्यों सेट करता है दूसरागण:

शब्द में दूसरी डिग्री में "x" शामिल है;
शब्द में चरों की डिग्री का योग है: 1 + 1 = 2;
शब्द में दूसरी डिग्री में "y" शामिल है;
अन्य सभी शर्तें - कमतरडिग्री।

अधिकतम मूल्य: 2

यदि हम इसके अतिरिक्त अपने समीकरण में जोड़ते हैं, कहते हैं, तो यह पहले से ही निर्धारित करेगा तीसरी क्रम पंक्ति. यह स्पष्ट है कि तीसरे क्रम रेखा समीकरण के सामान्य रूप में शब्दों का "पूर्ण सेट" होता है, चर की डिग्री का योग जिसमें तीन के बराबर होता है:
, जहां गुणांक एक साथ शून्य के बराबर नहीं हैं।

इस घटना में कि एक या अधिक उपयुक्त शब्द जोड़े जाते हैं जिनमें शामिल हैं , तो हम बात करेंगे चौथी क्रम पंक्तियाँ, आदि।

हमें तीसरी, चौथी और उच्च कोटि की बीजगणितीय रेखाओं से एक से अधिक बार निपटना होगा, विशेष रूप से, जब हम उनसे परिचित हों ध्रुवीय समन्वय प्रणाली.

हालांकि, आइए हम सामान्य समीकरण पर लौटते हैं और इसकी सरलतम स्कूल विविधताओं को याद करते हैं। उदाहरण परवलय हैं, जिनके समीकरण को एक सामान्य रूप में आसानी से कम किया जा सकता है, और एक समान समीकरण के साथ अतिपरवलय। हालाँकि, सब कुछ इतना सहज नहीं है ....

सामान्य समीकरण का एक महत्वपूर्ण दोष यह है कि यह लगभग हमेशा स्पष्ट नहीं होता है कि यह किस रेखा को परिभाषित करता है। सरलतम मामले में भी, आपको तुरंत पता नहीं चलेगा कि यह अतिशयोक्ति है। इस तरह के लेआउट केवल एक बहाना पर अच्छे होते हैं, इसलिए, विश्लेषणात्मक ज्यामिति के दौरान, एक विशिष्ट समस्या पर विचार किया जाता है द्वितीय क्रम रेखा समीकरण को विहित रूप में घटाना.

समीकरण का विहित रूप क्या है?

यह समीकरण का आम तौर पर स्वीकृत मानक रूप है, जब कुछ ही सेकंड में यह स्पष्ट हो जाता है कि यह किस ज्यामितीय वस्तु को परिभाषित करता है। इसके अलावा, कई व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के लिए विहित रूप बहुत सुविधाजनक है। इसलिए, उदाहरण के लिए, विहित समीकरण के अनुसार "फ्लैट" सीधे, सबसे पहले, यह तुरंत स्पष्ट है कि यह एक सीधी रेखा है, और दूसरी बात, इससे संबंधित बिंदु और दिशा वेक्टर बस दिखाई दे रहे हैं।

जाहिर है, कोई भी पहली ऑर्डर लाइनएक सीधी रेखा का प्रतिनिधित्व करता है। दूसरी मंजिल पर, अब कोई चौकीदार नहीं हमारी प्रतीक्षा कर रहा है, बल्कि नौ मूर्तियों की एक और अधिक विविध कंपनी है:

दूसरे क्रम की पंक्तियों का वर्गीकरण

क्रियाओं के एक विशेष सेट की मदद से, किसी भी द्वितीय-क्रम रेखा समीकरण को निम्न प्रकारों में से एक में घटाया जाता है:

(और सकारात्मक वास्तविक संख्याएं हैं)

1) दीर्घवृत्त का विहित समीकरण है;

2) अतिपरवलय का विहित समीकरण है;

3) परवलय का विहित समीकरण है;

4) – काल्पनिकअंडाकार;

5) - प्रतिच्छेदन रेखाओं की एक जोड़ी;

6) - युगल काल्पनिकप्रतिच्छेदन रेखाएं (मूल बिंदु पर प्रतिच्छेदन का एकमात्र वास्तविक बिंदु);

7) - समानांतर रेखाओं की एक जोड़ी;

8) - युगल काल्पनिकसमानांतर रेखाएं;

9) मेल खाने वाली रेखाओं का एक युग्म है।

कुछ पाठकों को यह आभास हो सकता है कि सूची अधूरी है। उदाहरण के लिए, पैराग्राफ संख्या 7 में, समीकरण युग्म सेट करता है प्रत्यक्ष, अक्ष के समानांतर, और प्रश्न उठता है: वह समीकरण कहाँ है जो कोटि अक्ष के समानांतर रेखाओं को निर्धारित करता है? इसका जवाब दो कैनन नहीं माना जाता है. सीधी रेखाएं 90 डिग्री घुमाए गए समान मानक मामले का प्रतिनिधित्व करती हैं, और वर्गीकरण में एक अतिरिक्त प्रविष्टि बेमानी है, क्योंकि इसमें कुछ भी मौलिक रूप से नया नहीं है।

इस प्रकार, नौ और केवल नौ विभिन्न प्रकार की दूसरी क्रम रेखाएं हैं, लेकिन व्यवहार में सबसे आम हैं दीर्घवृत्त, अतिपरवलय और परवलय.

आइए पहले दीर्घवृत्त को देखें। हमेशा की तरह, मैं उन बिंदुओं पर ध्यान केंद्रित करता हूं जो समस्याओं को हल करने के लिए बहुत महत्वपूर्ण हैं, और यदि आपको सूत्रों की विस्तृत व्युत्पत्ति, प्रमेयों के प्रमाण की आवश्यकता है, तो कृपया देखें, उदाहरण के लिए, बाज़िलेव / अतानासियन या अलेक्जेंड्रोव की पाठ्यपुस्तक।

दीर्घवृत्त और उसका विहित समीकरण

वर्तनी ... कृपया कुछ यैंडेक्स उपयोगकर्ताओं की गलतियों को न दोहराएं, जो "एक दीर्घवृत्त का निर्माण कैसे करें", "एक दीर्घवृत्त और एक अंडाकार के बीच का अंतर" और "एलीब्स सनकीपन" में रुचि रखते हैं।

एक दीर्घवृत्त के विहित समीकरण का रूप होता है , जहाँ धनात्मक वास्तविक संख्याएँ होती हैं, तथा । मैं बाद में एक दीर्घवृत्त की परिभाषा तैयार करूंगा, लेकिन अभी के लिए बात करने से विराम लेने और एक सामान्य समस्या को हल करने का समय है:

कैसे एक अंडाकार बनाने के लिए?

हाँ, इसे ले लो और बस इसे खींचो। असाइनमेंट सामान्य है, और छात्रों का एक महत्वपूर्ण हिस्सा ड्राइंग के साथ पूरी तरह से सामना नहीं करता है:

उदाहरण 1

समीकरण द्वारा दिए गए दीर्घवृत्त की रचना कीजिए

समाधान: पहले हम समीकरण को विहित रूप में लाते हैं:

क्यों लाए? विहित समीकरण के फायदों में से एक यह है कि यह आपको तुरंत निर्धारित करने की अनुमति देता है अंडाकार शिखर, जो बिंदुओं पर हैं। यह देखना आसान है कि इनमें से प्रत्येक बिंदु के निर्देशांक समीकरण को संतुष्ट करते हैं।

इस मामले में :


रेखा खंडबुलाया प्रमुख धुरीअंडाकार;
रेखा खंड – छोटी धुरी;
संख्या बुलाया सेमीमेजर एक्सिसअंडाकार;
संख्या – अर्ध-मामूली धुरी.
हमारे उदाहरण में:।

जल्दी से यह कल्पना करने के लिए कि यह या वह दीर्घवृत्त कैसा दिखता है, बस इसके विहित समीकरण के "ए" और "बी" के मूल्यों को देखें।

सब कुछ ठीक, साफ और सुंदर है, लेकिन एक चेतावनी है: मैंने प्रोग्राम का उपयोग करके ड्राइंग को पूरा किया। और आप किसी भी आवेदन के साथ आकर्षित कर सकते हैं। हालाँकि, कठोर वास्तविकता में, कागज का एक चेकर का टुकड़ा मेज पर पड़ा होता है, और चूहे हमारे हाथों के चारों ओर नृत्य करते हैं। कलात्मक प्रतिभा वाले लोग, निश्चित रूप से बहस कर सकते हैं, लेकिन आपके पास चूहे भी हैं (यद्यपि छोटे वाले)। यह व्यर्थ नहीं है कि मानव जाति ने एक शासक, एक कंपास, एक चांदा और ड्राइंग के लिए अन्य सरल उपकरणों का आविष्कार किया।

इस कारण से, हम केवल शीर्षों को जानकर, एक दीर्घवृत्त को सटीक रूप से खींचने में सक्षम होने की संभावना नहीं रखते हैं। फिर भी ठीक है, अगर दीर्घवृत्त छोटा है, उदाहरण के लिए, अर्ध-अक्षों के साथ। वैकल्पिक रूप से, आप पैमाने को कम कर सकते हैं और तदनुसार, ड्राइंग के आयाम। लेकिन सामान्य मामले में अतिरिक्त अंक खोजना अत्यधिक वांछनीय है।

दीर्घवृत्त के निर्माण के दो दृष्टिकोण हैं - ज्यामितीय और बीजीय। छोटे एल्गोरिदम और ड्राइंग के महत्वपूर्ण अव्यवस्था के कारण मुझे कंपास और शासक के साथ निर्माण करना पसंद नहीं है। आपात स्थिति में, कृपया पाठ्यपुस्तक देखें, लेकिन वास्तव में बीजगणित के उपकरणों का उपयोग करना कहीं अधिक तर्कसंगत है। मसौदे पर दीर्घवृत्त समीकरण से, हम जल्दी से व्यक्त करते हैं:

तब समीकरण को दो कार्यों में विभाजित किया जाता है:
- दीर्घवृत्त के ऊपरी चाप को परिभाषित करता है;
- दीर्घवृत्त के निचले चाप को परिभाषित करता है।

विहित समीकरण द्वारा दिया गया दीर्घवृत्त समन्वय अक्षों के साथ-साथ मूल के संबंध में सममित है। और यह बहुत अच्छा है - समरूपता लगभग हमेशा एक फ्रीबी का अग्रदूत होता है। जाहिर है, यह पहली समन्वय तिमाही से निपटने के लिए पर्याप्त है, इसलिए हमें एक फ़ंक्शन की आवश्यकता है . यह एब्सिस्सा के साथ अतिरिक्त अंक खोजने का सुझाव देता है . हमने कैलकुलेटर पर तीन एसएमएस किए:

बेशक, यह भी सुखद है कि यदि गणना में कोई गंभीर त्रुटि होती है, तो यह निर्माण के दौरान तुरंत स्पष्ट हो जाएगा।

ड्राइंग (लाल) पर अंक चिह्नित करें, अन्य चापों (नीला) पर सममित बिंदु और पूरी कंपनी को एक लाइन से सावधानीपूर्वक कनेक्ट करें:


प्रारंभिक स्केच को पतला और पतला बनाना बेहतर है, और उसके बाद ही पेंसिल पर दबाव डालें। परिणाम काफी सभ्य अंडाकार होना चाहिए। वैसे, क्या आप जानना चाहेंगे कि यह वक्र क्या है?

एक दीर्घवृत्त की परिभाषा। दीर्घवृत्त foci और दीर्घवृत्त विलक्षणता

एक अंडाकार अंडाकार का एक विशेष मामला है। शब्द "अंडाकार" को परोपकारी अर्थ में नहीं समझा जाना चाहिए ("बच्चे ने एक अंडाकार खींचा", आदि)। यह एक विस्तृत सूत्रीकरण वाला गणितीय शब्द है। इस पाठ का उद्देश्य अंडाकारों के सिद्धांत और उनके विभिन्न प्रकारों पर विचार करना नहीं है, जिन पर विश्लेषणात्मक ज्यामिति के मानक पाठ्यक्रम में व्यावहारिक रूप से ध्यान नहीं दिया जाता है। और, अधिक वर्तमान जरूरतों के अनुसार, हम तुरंत एक दीर्घवृत्त की सख्त परिभाषा पर जाते हैं:

अंडाकार- यह समतल के सभी बिंदुओं का समुच्चय है, जिनमें से प्रत्येक के लिए दिए गए दो बिंदुओं से दूरियों का योग कहलाता है चालदीर्घवृत्त, एक स्थिर मान है, संख्यात्मक रूप से इस दीर्घवृत्त के प्रमुख अक्ष की लंबाई के बराबर: .
इस मामले में, foci के बीच की दूरी इस मान से कम है: .

अब यह स्पष्ट हो जाएगा:

कल्पना कीजिए कि नीला बिंदु एक दीर्घवृत्त पर "सवारी" करता है। इसलिए, कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम दीर्घवृत्त का कौन सा बिंदु लेते हैं, खंडों की लंबाई का योग हमेशा समान रहेगा:

आइए सुनिश्चित करें कि हमारे उदाहरण में योग का मूल्य वास्तव में आठ के बराबर है। मानसिक रूप से बिंदु "em" को दीर्घवृत्त के दाहिने शीर्ष पर रखें, फिर: , जिसे जाँचना आवश्यक था।

दीर्घवृत्त खींचने का दूसरा तरीका दीर्घवृत्त की परिभाषा पर आधारित है। उच्च गणित, कभी-कभी, तनाव और तनाव का कारण होता है, इसलिए यह एक और सत्र उतारने का समय है। कृपया कागज का एक टुकड़ा या कार्डबोर्ड की एक बड़ी शीट लें और इसे टेबल पर दो कीलों से पिन करें। ये तरकीबें होंगी। उभरे हुए नाखून के सिरों पर एक हरे रंग का धागा बांधें और एक पेंसिल से इसे पूरी तरह से खींचे। पेंसिल की गर्दन किसी बिंदु पर होगी, जो दीर्घवृत्त से संबंधित है। अब हरे धागे को बहुत तना हुआ रखते हुए, पेंसिल को कागज़ की शीट पर चलाना शुरू करें। प्रक्रिया को तब तक जारी रखें जब तक आप प्रारंभिक बिंदु पर वापस नहीं आ जाते ... उत्कृष्ट ... ड्राइंग को डॉक्टर द्वारा सत्यापन के लिए शिक्षक को प्रस्तुत किया जा सकता है =)

दीर्घवृत्त का फोकस कैसे ज्ञात करें?

उपरोक्त उदाहरण में, मैंने "तैयार" फोकस बिंदुओं को चित्रित किया है, और अब हम सीखेंगे कि उन्हें ज्यामिति की गहराई से कैसे निकाला जाए।

यदि दीर्घवृत्त को विहित समीकरण द्वारा दिया जाता है, तो इसके नाभियों में निर्देशांक होते हैं , वह कहां है दीर्घवृत्त के समरूपता के केंद्र में प्रत्येक foci से दूरी.

उबले हुए शलजम की तुलना में गणना आसान है:

! अर्थ "सीई" के साथ चाल के विशिष्ट निर्देशांक की पहचान करना असंभव है!मैं दोहराता हूं, यह है प्रत्येक फोकस से केंद्र की दूरी(जो सामान्य स्थिति में बिल्कुल मूल स्थान पर स्थित होना आवश्यक नहीं है)।
और, इसलिए, foci के बीच की दूरी को दीर्घवृत्त की विहित स्थिति से भी नहीं जोड़ा जा सकता है। दूसरे शब्दों में, दीर्घवृत्त को दूसरी जगह ले जाया जा सकता है और मान अपरिवर्तित रहेगा, जबकि चालें, निश्चित रूप से, उनके निर्देशांक बदल देंगी। कृपया इसे ध्यान में रखें क्योंकि आप इस विषय को और अधिक एक्सप्लोर करते हैं।

एक दीर्घवृत्त की विलक्षणता और उसका ज्यामितीय अर्थ

एक दीर्घवृत्त की विलक्षणता एक ऐसा अनुपात है जो मूल्यों को भीतर ले जा सकता है।

हमारे मामले में:

आइए जानें कि दीर्घवृत्त का आकार उसकी उत्केन्द्रता पर कैसे निर्भर करता है। इसके लिए बाएँ और दाएँ कोने को ठीक करेंविचाराधीन दीर्घवृत्त का, अर्थात् अर्ध-प्रमुख अक्ष का मान स्थिर रहेगा। तब विलक्षणता सूत्र रूप लेगा:।

आइए एकता के लिए विलक्षणता के मूल्य का अनुमान लगाना शुरू करें। यह तभी संभव है जब . इसका क्या मतलब है? ...याद करने की तरकीबें . इसका मतलब यह है कि अंडाकार का फॉसी एब्सिस्सा अक्ष के साथ साइड शिखर तक "फैलाएगा"। और, चूंकि "हरे खंड रबर नहीं हैं", दीर्घवृत्त अनिवार्य रूप से चपटा होना शुरू हो जाएगा, अक्ष पर पतले और पतले सॉसेज में बदल जाएगा।

इस तरह, दीर्घवृत्त की उत्केन्द्रता एक के जितनी करीब होती है, दीर्घवृत्त उतना ही अधिक तिरछा होता है.

अब विपरीत प्रक्रिया का अनुकरण करते हैं: दीर्घवृत्त का फोकस केंद्र की ओर बढ़ते हुए एक दूसरे की ओर गए। इसका मतलब है कि "सीई" का मान छोटा होता जा रहा है और, तदनुसार, विलक्षणता शून्य हो जाती है:।
इस मामले में, "ग्रीन सेगमेंट", इसके विपरीत, "भीड़ हो जाएगा" और वे दीर्घवृत्त की रेखा को ऊपर और नीचे "धक्का" देना शुरू कर देंगे।

इस तरह, विलक्षणता मान शून्य के जितना करीब होगा, दीर्घवृत्त उतना ही अधिक दिखाई देगा... सीमित मामले को देखें, जब मूल रूप से फ़ॉसी सफलतापूर्वक फिर से जुड़ जाते हैं:

एक वृत्त एक दीर्घवृत्त का एक विशेष मामला है

वास्तव में, अर्ध-अक्षों की समानता के मामले में, दीर्घवृत्त का विहित समीकरण रूप लेता है, जो रिफ्लेक्सिव रूप से "ए" त्रिज्या के मूल में केंद्र के साथ स्कूल से जाने-माने सर्कल समीकरण में बदल जाता है।

व्यवहार में, "बोलने वाले" अक्षर "एर" के साथ अंकन का अधिक बार उपयोग किया जाता है:। त्रिज्या को खंड की लंबाई कहा जाता है, जबकि वृत्त के प्रत्येक बिंदु को त्रिज्या की दूरी से केंद्र से हटा दिया जाता है।

ध्यान दें कि एक दीर्घवृत्त की परिभाषा पूरी तरह से सही रहती है: फ़ॉसी का मिलान होता है, और वृत्त पर प्रत्येक बिंदु के लिए मिलान किए गए खंडों की लंबाई का योग एक स्थिर मान होता है। चूँकि foci के बीच की दूरी है किसी भी वृत्त की उत्केन्द्रता शून्य होती है.

एक सर्कल आसानी से और जल्दी से बनाया जाता है, यह अपने आप को एक कंपास के साथ बांटने के लिए पर्याप्त है। फिर भी, कभी-कभी इसके कुछ बिंदुओं के निर्देशांक का पता लगाना आवश्यक होता है, इस मामले में हम परिचित तरीके से चलते हैं - हम समीकरण को एक हंसमुख मतन के रूप में लाते हैं:

ऊपरी अर्धवृत्त का कार्य है;
निचले अर्धवृत्त का कार्य है।

तब हम वांछित मान पाते हैं, विभेदक, एकीकृतऔर अन्य अच्छे काम करें।

बेशक, लेख केवल संदर्भ के लिए है, लेकिन दुनिया में कोई प्यार के बिना कैसे रह सकता है? स्वतंत्र समाधान के लिए रचनात्मक कार्य

उदाहरण 2

एक दीर्घवृत्त के विहित समीकरण की रचना करें यदि उसका एक नाभ और अर्ध-लघु अक्ष ज्ञात हो (केंद्र मूल में है)। शीर्ष, अतिरिक्त बिंदु ज्ञात कीजिए और रेखाचित्र पर एक रेखा खींचिए। विलक्षणता की गणना करें।

पाठ के अंत में समाधान और ड्राइंग

आइए एक क्रिया जोड़ें:

किसी दीर्घवृत्त को घुमाएँ और अनुवाद करें

आइए दीर्घवृत्त के विहित समीकरण पर लौटते हैं, अर्थात्, उस स्थिति पर, जिसकी पहेली इस वक्र के पहले उल्लेख के बाद से जिज्ञासु मन को पीड़ा दे रही है। यहाँ हमने एक दीर्घवृत्त पर विचार किया है , लेकिन व्यवहार में समीकरण नहीं हो सकता ? आखिरकार, यहाँ, हालांकि, यह एक दीर्घवृत्त की तरह भी लगता है!

ऐसा समीकरण दुर्लभ है, लेकिन यह सामने आता है। और यह एक दीर्घवृत्त को परिभाषित करता है। आइए रहस्यवादी को दूर भगाएं:

निर्माण के परिणामस्वरूप, हमारा मूल अंडाकार प्राप्त होता है, जिसे 90 डिग्री घुमाया जाता है। वह है, - ये है गैर-विहित प्रविष्टिअंडाकार . अभिलेख!- समीकरण किसी अन्य अंडाकार को निर्दिष्ट नहीं करता है, क्योंकि धुरी पर कोई बिंदु (फोसी) नहीं है जो अंडाकार की परिभाषा को पूरा करेगा।

एक दीर्घवृत्त एक विमान में बिंदुओं का स्थान है, उनमें से प्रत्येक से दो दिए गए बिंदुओं की दूरी का योग F_1, और F_2 एक स्थिर मान (2a) है, जो इन दिए गए बिंदुओं के बीच की दूरी (2c) से अधिक है (चित्र। 3.36, ए)। यह ज्यामितीय परिभाषा व्यक्त करती है एक दीर्घवृत्त की फोकल संपत्ति.

एक दीर्घवृत्त की फोकल संपत्ति

अंक F_1 और F_2 को दीर्घवृत्त का केंद्र कहा जाता है, उनके बीच की दूरी 2c=F_1F_2 फोकल लंबाई है, खंड का मध्य बिंदु O F_1F_2 दीर्घवृत्त का केंद्र है, संख्या 2a प्रमुख अक्ष की लंबाई है दीर्घवृत्त (क्रमशः, संख्या a दीर्घवृत्त का प्रमुख अर्ध-अक्ष है)। खंड F_1M तथा F_2M दीर्घवृत्त के एक मनमाना बिंदु M को उसकी नाभियों से जोड़ने वाले खंड बिंदु M की फोकल त्रिज्या कहलाते हैं। दीर्घवृत्त के दो बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड को दीर्घवृत्त की जीवा कहते हैं।

अनुपात e=\frac(c)(a) दीर्घवृत्त की उत्केन्द्रता कहलाता है। परिभाषा (2a>2c) से यह इस प्रकार है कि 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).

दीर्घवृत्त की ज्यामितीय परिभाषा, अपनी फोकल संपत्ति को व्यक्त करना, इसकी विश्लेषणात्मक परिभाषा के बराबर है - दीर्घवृत्त के विहित समीकरण द्वारा दी गई रेखा:

दरअसल, आइए एक आयताकार समन्वय प्रणाली पेश करें (चित्र 3.36, सी)। अंडाकार के केंद्र ओ को समन्वय प्रणाली की उत्पत्ति के रूप में लिया जाता है; फॉसी (फोकल अक्ष या दीर्घवृत्त की पहली धुरी) से गुजरने वाली सीधी रेखा, हम भुज अक्ष (बिंदु F_1 से बिंदु F_2 तक उस पर सकारात्मक दिशा) के रूप में लेंगे; फोकल अक्ष के लंबवत और दीर्घवृत्त के केंद्र (दीर्घवृत्त की दूसरी धुरी) से गुजरने वाली सीधी रेखा को y-अक्ष के रूप में लिया जाता है (y-अक्ष पर दिशा को चुना जाता है ताकि आयताकार समन्वय प्रणाली ऑक्सी सही हो )

आइए हम इसकी ज्यामितीय परिभाषा का उपयोग करके एक दीर्घवृत्त का समीकरण तैयार करें, जो फोकल गुण को व्यक्त करता है। चयनित समन्वय प्रणाली में, हम foci . के निर्देशांक निर्धारित करते हैं F_1(-c,0),~F_2(c,0). अंडाकार से संबंधित एक मनमाना बिंदु एम (एक्स, वाई) के लिए, हमारे पास है:

\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.

इस समानता को समन्वय रूप में लिखने पर, हम प्राप्त करते हैं:

\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.

हम दूसरे रेडिकल को दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, समीकरण के दोनों पक्षों को वर्गाकार करते हैं और समान पद देते हैं:

(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\Leftrightarrow ~4a\sqrt((x-c) )^2+y^2)=4a^2-4cx।

4 से भाग देने पर हम समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करते हैं:

A^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Leftrightarrow~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2)।

दर्शाने b=\sqrt(a^2-c^2)>0, हम पाते हैं b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. दोनों भागों को a^2b^2\ne0 से विभाजित करने पर, हम दीर्घवृत्त के विहित समीकरण पर पहुँचते हैं:

\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.

इसलिए, चयनित समन्वय प्रणाली विहित है।

यदि दीर्घवृत्त की नाभियाँ मेल खाती हैं, तो दीर्घवृत्त एक वृत्त है (चित्र 3.36.6), क्योंकि a=b है। इस मामले में, बिंदु पर मूल के साथ कोई भी आयताकार समन्वय प्रणाली O\equiv F_1\equiv F_2, और समीकरण x^2+y^2=a^2 केंद्र O और त्रिज्या a वाले वृत्त का समीकरण है।

पीछे की ओर तर्क करके, यह दिखाया जा सकता है कि सभी बिंदु जिनके निर्देशांक समीकरण (3.49) को संतुष्ट करते हैं, और केवल वे, बिंदुओं के स्थान से संबंधित हैं, जिन्हें दीर्घवृत्त कहा जाता है। दूसरे शब्दों में, एक अंडाकार की विश्लेषणात्मक परिभाषा इसकी ज्यामितीय परिभाषा के बराबर है, जो अंडाकार की फोकल संपत्ति को व्यक्त करती है।

एक दीर्घवृत्त की निर्देशिका संपत्ति

एक दीर्घवृत्त की दिशाएँ दो सीधी रेखाएँ होती हैं जो विहित निर्देशांक प्रणाली के y-अक्ष के समानांतर जाती हैं जो उससे समान दूरी \frac(a^2)(c) पर होती हैं। c=0 के लिए, जब दीर्घवृत्त एक वृत्त होता है, तो कोई डायरेक्ट्रिक्स नहीं होते हैं (हम मान सकते हैं कि डायरेक्ट्रिक्स असीम रूप से हटा दिए गए हैं)।

विलक्षणता के साथ दीर्घवृत्त 0 विमान में बिंदुओं का स्थान, जिनमें से प्रत्येक के लिए किसी दिए गए बिंदु F (फोकस) की दूरी का अनुपात किसी दी गई सीधी रेखा d (डायरेक्ट्रिक्स) से दूरी का अनुपात है जो किसी दिए गए बिंदु से नहीं गुजरता है और बराबर है विलक्षणता ई ( अंडाकार निर्देशिका संपत्ति). यहाँ F और d दीर्घवृत्त के फॉसी में से एक हैं और इसके एक डायरेक्ट्रिक्स हैं, जो विहित समन्वय प्रणाली के y-अक्ष के एक ही तरफ स्थित हैं, अर्थात। F_1,d_1 या F_2,d_2।

दरअसल, उदाहरण के लिए, फोकस F_2 और डायरेक्ट्रिक्स d_2 (चित्र 3.37.6) के लिए स्थिति \frac(r_2)(\rho_2)=eसमन्वय रूप में लिखा जा सकता है:

\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\right)

अतार्किकता से छुटकारा और प्रतिस्थापित करना e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, हम दीर्घवृत्त (3.49) के विहित समीकरण पर पहुँचते हैं। फोकस F_1 और डायरेक्ट्रिक्स के लिए भी इसी तरह का तर्क दिया जा सकता है d_1\colon\frac(r_1)(\rho_1)=e.

ध्रुवीय निर्देशांक में दीर्घवृत्त समीकरण

ध्रुवीय निर्देशांक प्रणाली में दीर्घवृत्त समीकरण F_1r\varphi (Fig.3.37,c and 3.37(2)) का रूप है

R=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)

जहां p=\frac(b^2)(a) अंडाकार का फोकल पैरामीटर है।

वास्तव में, आइए दीर्घवृत्त के बाएं फोकस F_1 को ध्रुवीय समन्वय प्रणाली के ध्रुव के रूप में और किरण F_1F_2 को ध्रुवीय अक्ष के रूप में चुनें (चित्र 3.37, c)। फिर एक मनमाना बिंदु के लिए M(r,\varphi) , एक अंडाकार की ज्यामितीय परिभाषा (फोकल संपत्ति) के अनुसार, हमारे पास r+MF_2=2a है। हम बिंदु M(r,\varphi) और F_2(2c,0) के बीच की दूरी को व्यक्त करते हैं (टिप्पणी 2.8 का बिंदु 2 देखें):

\begin(aligned)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)।\end(संरेखित)

इसलिए, समन्वय रूप में, अंडाकार के समीकरण F_1M+F_2M=2a का रूप है

R+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.

हम रेडिकल को अलग करते हैं, समीकरण के दोनों पक्षों को वर्गाकार करते हैं, 4 से विभाजित करते हैं और समान पद देते हैं:

R^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2.

हम ध्रुवीय त्रिज्या r व्यक्त करते हैं और प्रतिस्थापन करते हैं e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):

R=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1 -e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),

क्यू.ई.डी.

दीर्घवृत्त समीकरण में गुणांकों का ज्यामितीय अर्थ

आइए दीर्घवृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदु (चित्र 3.37, ए देखें) को निर्देशांक अक्षों (zllips के शीर्ष) के साथ खोजें। समीकरण में y=0 को प्रतिस्थापित करते हुए, हम दीर्घवृत्त के भुज अक्ष (फोकल अक्ष के साथ) के प्रतिच्छेदन बिंदु पाते हैं: x=\pm a । इसलिए, अंडाकार के भीतर संलग्न फोकल अक्ष के खंड की लंबाई 2a के बराबर है। जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, इस खंड को दीर्घवृत्त का प्रमुख अक्ष कहा जाता है, और संख्या a दीर्घवृत्त का प्रमुख अर्ध-अक्ष है। x=0 को प्रतिस्थापित करने पर, हमें y=\pm b प्राप्त होता है। इसलिए, दीर्घवृत्त के अंदर संलग्न दीर्घवृत्त के दूसरे अक्ष के खंड की लंबाई 2b के बराबर है। इस खंड को दीर्घवृत्त का लघु अक्ष कहा जाता है, और संख्या b को दीर्घवृत्त का लघु अर्ध-अक्ष कहा जाता है।

सचमुच, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, और समानता b=a केवल c=0 स्थिति में प्राप्त होती है जब दीर्घवृत्त एक वृत्त होता है। रवैया k=\frac(b)(a)\leqslant1दीर्घवृत्त का संकुचन कारक कहलाता है।

टिप्पणी 3.9

1. रेखाएँ x=\pm a,~y=\pm b निर्देशांक तल पर मुख्य आयत को सीमित करती हैं, जिसके अंदर दीर्घवृत्त स्थित है (चित्र 3.37, a देखें)।

2. एक दीर्घवृत्त को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है एक वृत्त को उसके व्यास से सिकोड़कर प्राप्त किए गए बिंदुओं का बिंदुपथ।

दरअसल, आयताकार समन्वय प्रणाली ऑक्सी में सर्कल समीकरण का रूप है x^2+y^2=a^2 । 0 . के गुणनखंड के साथ x-अक्ष पर संपीडित होने पर

\begin(मामलों)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(मामलों)

x=x" और y=\frac(1)(k)y" को वृत्त के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम बिंदु M(x) के प्रतिबिम्ब M"(x",y") के निर्देशांकों के लिए एक समीकरण प्राप्त करते हैं , वाई):

(x")^2+(\बाएं(\frac(1)(k)\cdot y"\right)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1, !}

चूंकि b=k\cdot a । यह दीर्घवृत्त का विहित समीकरण है।

3. निर्देशांक अक्ष (विहित समन्वय प्रणाली के) दीर्घवृत्त की समरूपता की कुल्हाड़ियाँ हैं (जिन्हें दीर्घवृत्त का प्रमुख अक्ष कहा जाता है), और इसका केंद्र समरूपता का केंद्र है।

वास्तव में, यदि बिंदु M(x,y) दीर्घवृत्त से संबंधित है। तब बिंदु M"(x,-y) और M""(-x,y) , जो निर्देशांक अक्षों के संबंध में बिंदु M के सममित हैं, भी एक ही दीर्घवृत्त से संबंधित हैं।

4. ध्रुवीय निर्देशांक प्रणाली में दीर्घवृत्त के समीकरण से r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(अंजीर देखें। 3.37, सी), फोकल पैरामीटर का ज्यामितीय अर्थ स्पष्ट किया गया है - यह दीर्घवृत्त की जीवा की आधी लंबाई है जो इसके फोकस से फोकल अक्ष पर लंबवत गुजरती है ( r = p पर \varphi=\frac(\pi)(2)).

5. विलक्षणता ई दीर्घवृत्त के आकार की विशेषता है, अर्थात् दीर्घवृत्त और वृत्त के बीच का अंतर। जितना बड़ा ई, उतना ही लंबा अंडाकार, और करीब ई शून्य के करीब है, अंडाकार सर्कल के करीब है (चित्र 3.38, ए)। वास्तव में, दिया गया है कि e=\frac(c)(a) तथा c^2=a^2-b^2 , हम पाते हैं

E^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\left(\frac(a)(b)\right )\^2=1-k^2, !}

जहाँ k दीर्घवृत्त का संकुचन कारक है, 0

6. समीकरण \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1एक के लिए

7. समीकरण \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant bबिंदु O "(x_0, y_0) पर केंद्रित एक दीर्घवृत्त को परिभाषित करता है, जिसकी कुल्हाड़ियाँ निर्देशांक अक्षों के समानांतर होती हैं (चित्र 3.38, c)। समानांतर अनुवाद (3.36) का उपयोग करके यह समीकरण विहित में कम हो जाता है।