परिभाषा। एक दीर्घवृत्त एक समतल में बिंदुओं का स्थान है, इस तल के दो दिए गए बिंदुओं से उनमें से प्रत्येक की दूरी का योग, जिसे foci कहा जाता है, एक स्थिर मान है (बशर्ते कि यह मान foci के बीच की दूरी से अधिक हो)।

चलो उनके बीच की दूरी के माध्यम से foci निरूपित करते हैं - के माध्यम से , और निरंतर मूल्य, योग के बराबरदीर्घवृत्त के प्रत्येक बिंदु से foci तक की दूरी, के माध्यम से (शर्त के अनुसार)।

चलो एक कार्टेशियन समन्वय प्रणाली का निर्माण करते हैं ताकि foci एब्सिस्सा अक्ष पर हो, और निर्देशांक की उत्पत्ति खंड के मध्य के साथ मेल खाती है (चित्र। 44)। तब फ़ोकस में निम्नलिखित निर्देशांक होंगे: बायाँ फ़ोकस और दायाँ फ़ोकस। आइए हमारे द्वारा चुनी गई समन्वय प्रणाली में दीर्घवृत्त के समीकरण को प्राप्त करें। इसके लिए, दीर्घवृत्त के एक मनमाने बिंदु पर विचार करें। दीर्घवृत्त की परिभाषा के अनुसार, इस बिंदु से नाभियों तक की दूरी का योग है:

दो बिंदुओं के बीच की दूरी के सूत्र का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं, इसलिए,

इस समीकरण को सरल बनाने के लिए, हम इसे रूप में लिखते हैं

फिर समीकरण के दोनों पक्षों को चुकता करना देता है

या, स्पष्ट सरलीकरण के बाद:

अब हम फिर से समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करते हैं, जिसके बाद हमारे पास होगा:

या, समान परिवर्तनों के बाद:

चूंकि दीर्घवृत्त की परिभाषा में स्थिति के अनुसार, तब एक धनात्मक संख्या है। हम नोटेशन पेश करते हैं

तब समीकरण निम्नलिखित रूप लेगा:

दीर्घवृत्त की परिभाषा के अनुसार, इसके किसी भी बिंदु के निर्देशांक समीकरण (26) को संतुष्ट करते हैं। लेकिन समीकरण (29) समीकरण (26) का परिणाम है। इसलिए, यह दीर्घवृत्त के किसी भी बिंदु के निर्देशांक को भी संतुष्ट करता है।

यह दिखाया जा सकता है कि दीर्घवृत्त पर स्थित बिंदुओं के निर्देशांक समीकरण (29) को संतुष्ट नहीं करते हैं। इस प्रकार, समीकरण (29) दीर्घवृत्त का समीकरण है। इसे दीर्घवृत्त का विहित समीकरण कहा जाता है।

आइए इसके विहित समीकरण का उपयोग करके दीर्घवृत्त का आकार स्थापित करें।

सबसे पहले, ध्यान दें कि इस समीकरण में केवल x और y की सम घातें हैं। इसका मतलब यह है कि यदि कोई बिंदु दीर्घवृत्त से संबंधित है, तो इसमें एक बिंदु भी शामिल है जो भुज अक्ष के बारे में एक बिंदु के साथ सममित है, और एक बिंदु जो y-अक्ष के बारे में एक बिंदु के साथ सममित है। इस प्रकार, दीर्घवृत्त में सममिति के दो परस्पर लम्बवत् अक्ष होते हैं, जो हमारे चुने हुए निर्देशांक तंत्र में निर्देशांक अक्षों के साथ मेल खाते हैं। दीर्घवृत्त की समरूपता की कुल्हाड़ियों को दीर्घवृत्त की धुरी कहा जाएगा, और उनके चौराहे का बिंदु दीर्घवृत्त का केंद्र होगा। वह धुरी जिस पर दीर्घवृत्त का केंद्र स्थित होता है (इस मामले में, भुज अक्ष) को फोकल अक्ष कहा जाता है।

आइए पहले तिमाही में दीर्घवृत्त के आकार का निर्धारण करें। ऐसा करने के लिए, हम y के संबंध में समीकरण (28) को हल करते हैं:

यह स्पष्ट है कि यहाँ, चूंकि y के लिए काल्पनिक मान लेता है। 0 से a की वृद्धि के साथ, y b से 0 तक घट जाती है। पहली तिमाही में दीर्घवृत्त का हिस्सा बिंदु B (0; b) से घिरा एक चाप होगा और समन्वय अक्षों (चित्र 45) पर स्थित होगा। दीर्घवृत्त की समरूपता का उपयोग करते हुए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि दीर्घवृत्त का आकार चित्र में दिखाया गया है। 45.

अक्षों के साथ दीर्घवृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को दीर्घवृत्त के शीर्ष कहा जाता है। दीर्घवृत्त की समरूपता से यह अनुसरण करता है कि, शीर्षों के अतिरिक्त, दीर्घवृत्त में दो और शीर्ष होते हैं (चित्र 45 देखें)।

खंड और दीर्घवृत्त के विपरीत सिरों को जोड़ने के साथ-साथ उनकी लंबाई को क्रमशः दीर्घवृत्त के प्रमुख और लघु अक्ष कहा जाता है। संख्याएँ a और b दीर्घवृत्त के प्रमुख और लघु अर्ध-अक्ष कहलाते हैं, क्रमशः।

दीर्घवृत्त के अर्ध-प्रमुख अक्ष के foci के बीच की आधी दूरी के अनुपात को दीर्घवृत्त की विलक्षणता कहा जाता है और इसे आमतौर पर अक्षर द्वारा निरूपित किया जाता है:

चूँकि , तब दीर्घवृत्त की उत्केन्द्रता एक से कम होती है: उत्केन्द्रता दीर्घवृत्त के आकार की विशेषता होती है। वास्तव में, यह सूत्र (28) से अनुसरण करता है, इससे यह देखा जा सकता है कि दीर्घवृत्त की उत्केन्द्रता जितनी छोटी होती है, उतनी ही कम इसकी छोटी अर्ध-अक्ष b प्रमुख अर्ध-अक्ष a से भिन्न होती है, अर्थात, दीर्घवृत्त का विस्तार कम होता है (फोकल के साथ) एक्सिस)।

सीमित मामले में, जब आपको त्रिज्या का एक चक्र मिलता है: या। उसी समय, दीर्घवृत्त का केंद्र, जैसा कि था, एक बिंदु पर विलीन हो जाता है - वृत्त का केंद्र। वृत्त की उत्केंद्रता शून्य है:

दीर्घवृत्त और वृत्त के बीच संबंध को दूसरे दृष्टिकोण से स्थापित किया जा सकता है। आइए हम दिखाते हैं कि अर्ध-अक्ष ए और बी के साथ दीर्घवृत्त को त्रिज्या ए के एक चक्र के प्रक्षेपण के रूप में माना जा सकता है।

आइए हम दो विमानों P और Q पर विचार करें, जो आपस में ऐसा कोण बनाते हैं, जिसके लिए (चित्र 46)। हम पी विमान में एक समन्वय प्रणाली का निर्माण करते हैं, और क्यू विमान में एक ऑक्सी प्रणाली एक सामान्य उत्पत्ति ओ और विमानों के चौराहे की रेखा के साथ मेल खाने वाली एक सामान्य एब्सिस्सा अक्ष के साथ। समतल P वृत्त पर विचार करें

मूल और त्रिज्या ए पर केंद्रित। सर्कल का एक मनमाने ढंग से चुना हुआ बिंदु होने दें, क्यू विमान पर इसका प्रक्षेपण हो, और ऑक्स अक्ष पर बिंदु एम का प्रक्षेपण हो। आइए हम दिखाते हैं कि बिंदु सेमी-एक्सिस ए और बी के साथ दीर्घवृत्त पर स्थित है।

दूसरे क्रम के वक्रसमतल पर समीकरणों द्वारा परिभाषित रेखाएँ कहलाती हैं जिनमें चर निर्देशांक होते हैं एक्सऔर वाईद्वितीय श्रेणी में निहित है। इनमें दीर्घवृत्त, अतिपरवलय और परवलय शामिल हैं।

दूसरे क्रम के वक्र समीकरण का सामान्य रूप इस प्रकार है:

कहाँ ए, बी, सी, डी, ई, एफ- संख्याएं और कम से कम एक गुणांक ए, बी, सीशून्य के बराबर नहीं है।

दूसरे क्रम के वक्रों के साथ समस्याओं को हल करते समय, दीर्घवृत्त, अतिपरवलय और परवलय के विहित समीकरणों पर सबसे अधिक विचार किया जाता है। सामान्य समीकरणों से उन्हें पास करना आसान है, दीर्घवृत्त के साथ समस्याओं का उदाहरण 1 इसके लिए समर्पित होगा।

विहित समीकरण द्वारा दिया गया दीर्घवृत्त

दीर्घवृत्त की परिभाषा।एक दीर्घवृत्त समतल में सभी बिंदुओं का समुच्चय है, जिनके लिए बिंदुओं की दूरियों का योग, जिन्हें नाभियाँ कहा जाता है, एक नियतांक होता है और नाभियों के बीच की दूरी से अधिक होता है।

फ़ोकस को नीचे दिए गए चित्र के रूप में चिह्नित किया गया है।

दीर्घवृत्त का विहित समीकरण है:

कहाँ एऔर बी (ए > बी) - अर्ध-अक्षों की लंबाई, अर्थात्, समन्वय अक्षों पर दीर्घवृत्त द्वारा काटे गए खंडों की आधी लंबाई।

दीर्घवृत्त के foci से गुजरने वाली सीधी रेखा इसकी समरूपता की धुरी है। दीर्घवृत्त की समरूपता का एक अन्य अक्ष इस खंड के लंबवत खंड के मध्य से होकर गुजरने वाली एक सीधी रेखा है। डॉट के बारे मेंइन रेखाओं का प्रतिच्छेदन दीर्घवृत्त के समरूपता के केंद्र के रूप में कार्य करता है, या केवल दीर्घवृत्त के केंद्र के रूप में कार्य करता है।

दीर्घवृत्त का भुज अक्ष बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है ( ए, के बारे में) और (- ए, के बारे में), और y-अक्ष बिंदुओं पर है ( बी, के बारे में) और (- बी, के बारे में). इन चार बिन्दुओं को दीर्घवृत्त का शीर्ष कहते हैं। एब्सिस्सा अक्ष पर दीर्घवृत्त के शीर्षों के बीच के खंड को इसकी प्रमुख धुरी कहा जाता है, और समन्वय अक्ष पर - लघु अक्ष। दीर्घवृत्त के शीर्ष से केंद्र तक के उनके खंडों को सेमिअक्स कहा जाता है।

अगर ए = बी, तब दीर्घवृत्त का समीकरण रूप लेता है। यह त्रिज्या के एक वृत्त के लिए समीकरण है ए, और घेरा विशेष मामलादीर्घवृत्त। त्रिज्या के एक वृत्त से दीर्घवृत्त प्राप्त किया जा सकता है ए, अगर आप इसे कंप्रेस करते हैं ए/बीबार अक्ष के साथ ओए .

उदाहरण 1जांचें कि क्या सामान्य समीकरण द्वारा दी गई रेखा , एक दीर्घवृत्त।

समाधान। हम परिवर्तन करते हैं सामान्य समीकरण. हम एक मुफ्त अवधि के हस्तांतरण का उपयोग करते हैं दाईं ओर, समान संख्या और अंशों की कमी से समीकरण का टर्म-बाय-टर्म डिवीजन:

उत्तर। परिणामी समीकरण दीर्घवृत्त का विहित समीकरण है। अतः यह रेखा एक दीर्घवृत्त है।

उदाहरण 2लिखें विहित समीकरणदीर्घवृत्त यदि इसके अर्द्धअक्ष क्रमश: 5 और 4 हैं।

समाधान। हम दीर्घवृत्त और स्थानापन्न के विहित समीकरण के सूत्र को देखते हैं: अर्ध-प्रमुख अक्ष है ए= 5, गौण अर्द्धअक्ष है बी= 4। हमें दीर्घवृत्त का विहित समीकरण मिलता है:

अंक और प्रमुख अक्ष पर हरे रंग में चिह्नित, जहां

बुलाया चाल.

बुलाया सनकदीर्घवृत्त।

नज़रिया बी/एदीर्घवृत्त की "ओब्लेटनेस" की विशेषता है। यह अनुपात जितना छोटा होता है, उतना ही दीर्घवृत्त प्रमुख अक्ष के साथ विस्तारित होता है। हालांकि, दीर्घवृत्त के बढ़ाव की डिग्री अधिक बार विलक्षणता के संदर्भ में व्यक्त की जाती है, जिसका सूत्र ऊपर दिया गया है। अलग-अलग दीर्घवृत्तों के लिए, विलक्षणता 0 से 1 तक भिन्न होती है, हमेशा एक से कम रहती है।

उदाहरण 3एक दीर्घवृत्त का विहित समीकरण लिखिए यदि नाभियों के बीच की दूरी 8 है और दीर्घ अक्ष 10 है।

समाधान। हम सरल निष्कर्ष निकालते हैं:

यदि दीर्घ अक्ष 10 है, तो उसका आधा अर्थात् अर्द्धअक्ष है ए = 5 ,

यदि नाभियों के बीच की दूरी 8 है, तो संख्या सीफोकस निर्देशांक का 4 है।

स्थानापन्न और गणना करें:

परिणाम दीर्घवृत्त का विहित समीकरण है:

उदाहरण 4एक दीर्घवृत्त का विहित समीकरण लिखिए यदि इसका प्रमुख अक्ष 26 है और उत्केन्द्रता है।

समाधान। दीर्घवृत्त के प्रमुख अर्ध-अक्ष और उत्केन्द्रता समीकरण दोनों के आकार और उत्केन्द्रता समीकरण के अनुसार ए= 13। विलक्षणता समीकरण से, हम संख्या व्यक्त करते हैं सीलघु अर्ध अक्ष की लंबाई की गणना करने के लिए आवश्यक:

.

हम लघु अर्द्धअक्ष की लंबाई के वर्ग की गणना करते हैं:

हम दीर्घवृत्त के विहित समीकरण की रचना करते हैं:

उदाहरण 5विहित समीकरण द्वारा दी गई दीर्घवृत्त की नाभि निर्धारित करें।

समाधान। एक नंबर खोजना है सी, जो दीर्घवृत्त के foci के पहले निर्देशांक को परिभाषित करता है:

.

हमें दीर्घवृत्त का ध्यान मिलता है:

उदाहरण 6दीर्घवृत्त का foci अक्ष पर स्थित है बैलउत्पत्ति के बारे में सममित। दीर्घवृत्त का विहित समीकरण लिखिए यदि:

1) नाभियों के बीच की दूरी 30 है, और दीर्घ अक्ष 34 है

2) छोटी धुरी 24 है, और फोकस में से एक बिंदु पर है (-5; 0)

3) विलक्षणता, और एक फोकस बिंदु (6; 0) पर है

हम दीर्घवृत्त पर एक साथ समस्याओं को हल करना जारी रखते हैं

यदि - दीर्घवृत्त का एक मनमाना बिंदु (दीर्घवृत्त के ऊपरी दाहिने हिस्से में आरेखण में हरे रंग में चिह्नित) और - इस बिंदु से नाभियों से दूरी, तो दूरियों के सूत्र इस प्रकार हैं:

दीर्घवृत्त से संबंधित प्रत्येक बिंदु के लिए, नाभियों से दूरियों का योग 2 के बराबर एक स्थिर मान होता है ए.

समीकरणों द्वारा परिभाषित सीधी रेखाएँ

बुलाया निदेशकदीर्घवृत्त (ड्राइंग में - किनारों के साथ लाल रेखाएँ)।

उपरोक्त दो समीकरणों से यह दीर्घवृत्त के किसी भी बिंदु के लिए अनुसरण करता है

,

कहाँ और इस बिंदु की नियता और की दूरियाँ हैं।

उदाहरण 7दीर्घवृत्त दिया। इसकी नियताओं के लिए एक समीकरण लिखिए।

समाधान। हम डायरेक्ट्रिक्स समीकरण में देखते हैं और पाते हैं कि दीर्घवृत्त की विलक्षणता को खोजने के लिए आवश्यक है, अर्थात। इसके लिए सभी डेटा है। हम गणना करते हैं:

.

हमें दीर्घवृत्त की नियता का समीकरण मिलता है:

उदाहरण 8एक दीर्घवृत्त का विहित समीकरण लिखिए यदि इसकी नाभियाँ बिंदु हैं और नियताएँ रेखाएँ हैं।

परिभाषा 7.1।समतल पर सभी बिंदुओं का वह समुच्चय जिसके लिए दो निश्चित बिंदुओं F1 और F2 की दूरियों का योग दिया गया स्थिरांक कहलाता है दीर्घवृत्त।

दीर्घवृत्त की परिभाषा इसे ज्यामितीय रूप से बनाने का निम्नलिखित तरीका देती है। हम समतल पर दो बिंदु F1 और F2 तय करते हैं, और एक गैर-ऋणात्मक स्थिर मान को 2a से निरूपित करते हैं। बता दें कि बिंदु F 1 और F 2 के बीच की दूरी 2c के बराबर है। कल्पना कीजिए कि लंबाई 2a का एक अटूट धागा बिंदु F 1 और F 2 पर तय किया गया है, उदाहरण के लिए, दो सुइयों की मदद से। यह स्पष्ट है कि यह केवल a ≥ c के लिए संभव है। धागे को पेंसिल से खींचकर एक रेखा खींचिए, जो एक दीर्घवृत्त होगी (चित्र 7.1)।

तो, वर्णित सेट खाली नहीं है अगर a ≥ c। जब a = c, दीर्घवृत्त F 1 और F 2 सिरों वाला एक खंड होता है, और जब c = 0 होता है, अर्थात। यदि दीर्घवृत्त संपाती की परिभाषा में निर्दिष्ट निश्चित बिंदु, यह त्रिज्या a का एक वृत्त है। इन पतित मामलों को छोड़कर, हम एक नियम के रूप में आगे मानेंगे कि a> c> 0।

दीर्घवृत्त की परिभाषा 7.1 में निर्धारित बिंदु F 1 और F 2 (चित्र देखें। 7.1) कहलाते हैं दीर्घवृत्त चाल, उनके बीच की दूरी, 2c द्वारा निरूपित, - फोकल लम्बाई, और खंड F 1 M और F 2 M, एक मनमाना बिंदु M को उसके foci के साथ दीर्घवृत्त पर जोड़ते हैं, - फोकल त्रिज्या.

दीर्घवृत्त का रूप पूरी तरह से फोकल लंबाई |F 1 F 2 | द्वारा निर्धारित किया जाता है = 2с और पैरामीटर a, और विमान पर इसकी स्थिति - बिंदुओं की एक जोड़ी द्वारा F 1 और F 2 ।

यह दीर्घवृत्त की परिभाषा से अनुसरण करता है कि यह foci F 1 और F 2 से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के साथ-साथ एक सीधी रेखा के बारे में सममित है जो खंड F 1 F 2 को आधे में विभाजित करता है और इसके लिए लंबवत है (चित्र)। 7.2, ए)। इन पंक्तियों को कहा जाता है दीर्घवृत्त कुल्हाड़ियों. उनके चौराहे का बिंदु O दीर्घवृत्त की समरूपता का केंद्र है, और इसे कहा जाता है दीर्घवृत्त का केंद्र, और सममिति के अक्षों के साथ दीर्घवृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदु (चित्र 7.2 में अंक A, B, C और D) - दीर्घवृत्त के शिखर.

नंबर ए कहा जाता है दीर्घवृत्त का अर्ध-प्रमुख अक्ष, और बी = √ (ए 2 - सी 2) - इसके अर्ध-लघु अक्ष. यह देखना आसान है कि c> 0 के लिए, प्रमुख अर्ध-अक्ष a, दीर्घवृत्त के केंद्र से उसके शीर्षों की दूरी के बराबर है जो दीर्घवृत्त के foci के समान अक्ष पर हैं (अंजीर में कोने A और B) . 7.2, a), और माइनर सेमीएक्सिस b, केंद्र दीर्घवृत्त से उसके अन्य दो शीर्षों (चित्र 7.2, a में कोने C और D) की दूरी के बराबर है।

दीर्घवृत्त समीकरण।बिंदु F 1 और F 2, प्रमुख अक्ष 2a पर foci के साथ समतल पर कुछ दीर्घवृत्त पर विचार करें। चलो 2c फोकल लम्बाई हो, 2c = |F 1 F 2 |

हम समतल पर एक आयताकार समन्वय प्रणाली ऑक्सी का चयन करते हैं ताकि इसकी उत्पत्ति दीर्घवृत्त के केंद्र के साथ मेल खाती हो, और foci चालू हो सूच्याकार आकृति का भुज(चित्र। 7.2, बी)। इस समन्वय प्रणाली को कहा जाता है कैनन काविचाराधीन दीर्घवृत्त के लिए, और संबंधित चर हैं कैनन का.

चयनित समन्वय प्रणाली में, foci के निर्देशांक F 1 (c; 0), F 2 (-c; 0) हैं। बिंदुओं के बीच की दूरी के सूत्र का उपयोग करते हुए, हम शर्त लिखते हैं |F 1 M| + |एफ 2 एम| = 2a निर्देशांक में:

√((x - c) 2 + y 2) + √((x + c) 2 + y 2) = 2a। (7.2)

यह समीकरण असुविधाजनक है क्योंकि इसमें दो वर्ग मूलक हैं। तो चलिए इसे बदलते हैं। हम दूसरे रेडिकल को समीकरण (7.2) में दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं और इसे स्क्वायर करते हैं:

(x - c) 2 + y 2 = 4a 2 - 4a√((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y 2 ।

कोष्ठक खोलने और समान शर्तों को कम करने के बाद, हम प्राप्त करते हैं

√((x + c) 2 + y 2) = a + εx

जहां ε = सी/ए। हम दूसरे रेडिकल को भी हटाने के लिए स्क्वेरिंग ऑपरेशन दोहराते हैं: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + ε 2 x 2, या, दर्ज किए गए पैरामीटर ε का मान दिया गया है, (a 2 - c 2 ) एक्स 2 / ए 2 + वाई 2 = ए 2 - सी 2। चूँकि a 2 - c 2 = b 2 > 0, तब

x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, a > b > 0. (7.4)

समीकरण (7.4) दीर्घवृत्त पर स्थित सभी बिंदुओं के निर्देशांकों से संतुष्ट होती है। लेकिन इस समीकरण को प्राप्त करते समय, मूल समीकरण (7.2) के गैर-समतुल्य परिवर्तनों का उपयोग किया गया था - दो वर्ग जो वर्गमूलों को हटाते हैं। किसी समीकरण का वर्ग करना एक समतुल्य परिवर्तन है यदि दोनों पक्षों में समान चिन्ह वाली मात्राएँ हैं, लेकिन हमने अपने परिवर्तनों में इसकी जाँच नहीं की।

यदि हम निम्नलिखित पर विचार करें तो हम परिवर्तनों की समानता की जाँच नहीं कर सकते हैं। बिंदुओं की एक जोड़ी F 1 और F 2 , |F 1 F 2 | = 2c, समतल पर दीर्घवृत्तों के एक परिवार को इन बिंदुओं पर foci के साथ परिभाषित करता है। खंड F 1 F 2 के बिंदुओं को छोड़कर, विमान का प्रत्येक बिंदु, संकेतित परिवार के किसी दीर्घवृत्त से संबंधित है। इस मामले में, कोई भी दो दीर्घवृत्त प्रतिच्छेद नहीं करते हैं, क्योंकि फोकल त्रिज्या का योग विशिष्ट दीर्घवृत्त को विशिष्ट रूप से निर्धारित करता है। तो, चौराहों के बिना दीर्घवृत्त का वर्णित परिवार पूरे विमान को कवर करता है, खंड F 1 F 2 के बिंदुओं को छोड़कर। उन बिंदुओं के एक सेट पर विचार करें जिनके निर्देशांक समीकरण (7.4) को पैरामीटर a के दिए गए मान से संतुष्ट करते हैं। क्या यह सेट कई दीर्घवृत्तों के बीच वितरित किया जा सकता है? सेट के कुछ बिंदु अर्ध-प्रमुख अक्ष के साथ दीर्घवृत्त से संबंधित हैं। बता दें कि इस सेट में एक सेमी-मेजर एक्सिस ए के साथ दीर्घवृत्त पर स्थित एक बिंदु है। तब इस बिंदु के निर्देशांक समीकरण का पालन करते हैं

वे। समीकरण (7.4) और (7.5) हैं सामान्य समाधान. हालांकि, यह सत्यापित करना आसान है कि system

ã ≠ a का कोई हल नहीं है। ऐसा करने के लिए, यह बाहर करने के लिए पर्याप्त है, उदाहरण के लिए, पहले समीकरण से x:

जो परिवर्तनों के बाद समीकरण की ओर जाता है

ã ≠ a के लिए कोई समाधान नहीं है, क्योंकि। इसलिए, (7.4) सेमी-मेजर एक्सिस a> 0 और माइनर सेमी-एक्सिस b = √ (a 2 - c 2)> 0 के साथ दीर्घवृत्त का समीकरण है। इसे कहा जाता है दीर्घवृत्त का विहित समीकरण.

दीर्घवृत्त दृश्य।ऊपर दी गई दीर्घवृत्त के निर्माण की ज्यामितीय विधि पर्याप्त विचार देती है उपस्थितिदीर्घवृत्त। लेकिन एक दीर्घवृत्त के रूप की जांच उसके विहित समीकरण (7.4) की सहायता से भी की जा सकती है। उदाहरण के लिए, y ≥ 0 पर विचार करते हुए, आप y को x: y = b√(1 - x 2 /a 2) के संदर्भ में व्यक्त कर सकते हैं, और, इस फ़ंक्शन की जांच करने के बाद, इसका ग्राफ़ बनाएं। दीर्घवृत्त बनाने का एक और तरीका है। दीर्घवृत्त (7.4) की विहित समन्वय प्रणाली के मूल पर केंद्रित त्रिज्या का एक वृत्त समीकरण x 2 + y 2 = a 2 द्वारा वर्णित है। यदि इसे गुणांक a/b> 1 के साथ संकुचित किया जाता है शाफ़्ट, तो आपको एक वक्र मिलता है जिसे समीकरण x 2 + (ya / b) 2 \u003d a 2, यानी दीर्घवृत्त द्वारा वर्णित किया जाता है।

टिप्पणी 7.1।यदि समान वृत्त को गुणांक a/b से संपीडित किया जाता है

दीर्घवृत्त सनकीपन. किसी दीर्घवृत्त की फोकस दूरी का उसके प्रमुख अक्ष से अनुपात कहलाता है दीर्घवृत्त सनकीपनऔर ε ​​द्वारा निरूपित। दिए गए दीर्घवृत्त के लिए

विहित समीकरण (7.4), ε = 2c/2a = с/a। यदि (7.4) में पैरामीटर ए और बी असमानता ए से संबंधित हैं

c = 0 के लिए, जब दीर्घवृत्त एक वृत्त में बदल जाता है, और ε = 0. अन्य मामलों में, 0

समीकरण (7.3) समीकरण (7.4) के समतुल्य है क्योंकि समीकरण (7.4) और (7.2) समतुल्य हैं। अतः (7.3) भी एक दीर्घवृत्त समीकरण है। इसके अलावा, संबंध (7.3) इस मायने में दिलचस्प है कि यह लंबाई के लिए एक सरल रेडिकल-मुक्त सूत्र देता है |F 2 M| दीर्घवृत्त के बिंदु M(x; y) की फोकल त्रिज्या में से एक: |F 2 M| = ए + εx।

दूसरे फोकल त्रिज्या के लिए एक समान सूत्र समरूपता के विचारों से या गणनाओं को दोहराकर प्राप्त किया जा सकता है, जिसमें समीकरण (7.2) को स्क्वायर करने से पहले, पहले रेडिकल को दाईं ओर स्थानांतरित किया जाता है, न कि दूसरे को। अतः, दीर्घवृत्त पर स्थित किसी बिंदु M(x; y) के लिए (चित्र 7.2 देखें)।

|एफ 1 एम | = ए - εx, |एफ 2 एम| = ए + εx, (7.6)

और इनमें से प्रत्येक समीकरण एक दीर्घवृत्त समीकरण है।

उदाहरण 7.1।अर्ध-प्रमुख अक्ष 5 और उत्केन्द्रता 0.8 के साथ दीर्घवृत्त का विहित समीकरण ज्ञात करें और इसकी रचना करें।

दीर्घवृत्त a = 5 और उत्केंद्रता ε = 0.8 के प्रमुख अर्धवृत्त को जानने के बाद, हम इसका लघु अर्धवृत्त b पाते हैं। चूँकि b \u003d √ (a 2 - c 2), और c \u003d εa \u003d 4, तब b \u003d √ (5 2 - 4 2) \u003d 3. इसलिए विहित समीकरण का रूप x 2 / 5 2 है + y 2 / 3 2 \u003d 1. दीर्घवृत्त का निर्माण करने के लिए, विहित समन्वय प्रणाली के मूल में केंद्रित एक आयत खींचना सुविधाजनक है, जिसके किनारे दीर्घवृत्त की समरूपता के अक्ष के समानांतर और इसके बराबर हैं संबंधित कुल्हाड़ियों (चित्र। 7.4)। यह आयत साथ प्रतिच्छेद करती है

दीर्घवृत्त की कुल्हाड़ियाँ इसके शीर्षों A(-5; 0), B(5; 0), C(0; -3), D(0; 3) पर हैं, और स्वयं दीर्घवृत्त इसमें खुदा हुआ है। अंजीर पर। 7.4 दीर्घवृत्त के foci F 1.2 (±4; 0) को भी दर्शाता है।

दीर्घवृत्त के ज्यामितीय गुण।आइए (7.6) में पहले समीकरण को |F 1 M| के रूप में फिर से लिखें = (ए/ε - x)ε. ध्यान दें कि a > c के लिए a / ε - x का मान धनात्मक है, क्योंकि फ़ोकस F 1 दीर्घवृत्त से संबंधित नहीं है। यह मान लंबवत रेखा d: x = a/ε बिंदु M(x; y) से इस रेखा के बाईं ओर की दूरी है। दीर्घवृत्त समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है

|एफ 1 एम|/(ए/ε - एक्स) = ε

इसका अर्थ है कि इस दीर्घवृत्त में विमान के उन बिंदुओं M (x; y) के होते हैं, जिनके लिए फोकल त्रिज्या F 1 M की लंबाई का अनुपात सीधी रेखा d से दूरी के बराबर होता है, जो ε (चित्र। 7.5).

रेखा d में एक "डबल" है - एक ऊर्ध्वाधर रेखा d", दीर्घवृत्त के केंद्र के संबंध में d के सममित, जो समीकरण x \u003d -a / ε द्वारा दिया गया है। d के संबंध में, दीर्घवृत्त का वर्णन किया गया है उसी तरह जैसे डी के संबंध में। दोनों रेखाएँ d और d" कहलाती हैं दीर्घवृत्त नियता. दीर्घवृत्त की नियताएँ दीर्घवृत्त की समरूपता के अक्ष के लंबवत होती हैं, जिस पर इसके foci स्थित होते हैं, और दीर्घवृत्त के केंद्र से दूरी a / ε = a 2 / c (चित्र देखें। 7.5) से अलग होते हैं।

नियता से उसके निकटतम फोकस तक की दूरी p कहलाती है दीर्घवृत्त का फोकल पैरामीटर. यह पैरामीटर बराबर है

पी \u003d ए / ε - सी \u003d (ए 2 - सी 2) / सी \u003d बी 2 / सी

दीर्घवृत्त की एक और महत्वपूर्ण ज्यामितीय संपत्ति है: फोकल त्रिज्या F 1 M और F 2 M बिंदु M (चित्र। 7.6) पर दीर्घवृत्त की स्पर्शरेखा के साथ समान कोण बनाते हैं।

इस संपत्ति का स्पष्ट भौतिक अर्थ है। यदि एक प्रकाश स्रोत को फोकस F 1 पर रखा जाता है, तो इस फ़ोकस से निकलने वाली किरण, दीर्घवृत्त से परावर्तन के बाद, दूसरे फोकल त्रिज्या के साथ जाएगी, क्योंकि परावर्तन के बाद यह वक्र के समान कोण पर होगी जैसा कि परावर्तन से पहले था . इस प्रकार, फोकस एफ 1 छोड़ने वाली सभी किरणें दूसरे फोकस एफ 2 में केंद्रित होंगी और इसके विपरीत। इस व्याख्या के आधार पर, इस संपत्ति को कहा जाता है एक दीर्घवृत्त की ऑप्टिकल संपत्ति.

दीर्घवृत्त के विहित समीकरण का रूप है

जहां a अर्ध-प्रमुख अक्ष है; बी - मामूली सेमियाक्सिस। बिंदु F1(c,0) और F2(-c,0) - c कहलाते हैं

ए, बी - दीर्घवृत्त का अर्धवृत्त।

किसी दीर्घवृत्त की नाभियाँ, उत्केन्द्रता, नियता ज्ञात करना यदि उसका विहित समीकरण ज्ञात हो।

हाइपरबोला की परिभाषा। हाइपरबोले का फॉसी।

परिभाषा। एक अतिपरवलय एक समतल में बिंदुओं का एक समूह है जिसके लिए दो दिए गए बिंदुओं से दूरी में अंतर का मापांक, जिसे foci कहा जाता है, एक स्थिर मान है, जो foci के बीच की दूरी से कम है।

परिभाषा के अनुसार, |r1 – r2|= 2a। F1, F2 हाइपरबोला के foci हैं। F1F2 = 2c।

हाइपरबोला का विहित समीकरण। अतिपरवलय का सेमियाक्स। एक अतिपरवलय का निर्माण यदि इसका विहित समीकरण ज्ञात हो।

विहित समीकरण:

हाइपरबोला की अर्ध-प्रमुख धुरी, हाइपरबोला की दो शाखाओं के बीच धनात्मक और नकारात्मक पक्षकुल्हाड़ियों (मूल के सापेक्ष बाएँ और दाएँ)। पर स्थित शाखा के लिए सकारात्मक पक्ष, अर्द्धअक्ष के बराबर होगा:

यदि हम इसे शंक्वाकार खंड और विलक्षणता के संदर्भ में व्यक्त करते हैं, तो अभिव्यक्ति रूप ले लेगी:

एक अतिपरवलय की नाभियाँ, उत्केन्द्रता, नियता ज्ञात करना यदि इसकी विहित समीकरण ज्ञात हो।

अतिपरवलय की विलक्षणता

परिभाषा। अनुपात को अतिपरवलय की उत्केन्द्रता कहते हैं, जहाँ c -

foci के बीच की आधी दूरी, और वास्तविक अर्ध-अक्ष है।

इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि c2 - a2 = b2:

यदि a \u003d b, e \u003d, तो हाइपरबोला को समबाहु (समबाहु) कहा जाता है।

अतिशयोक्ति के निदेशक

परिभाषा। हाइपरबोला की वास्तविक धुरी के लंबवत दो रेखाएँ और केंद्र के बारे में सममित रूप से ए / ई की दूरी पर स्थित हाइपरबोला के डायरेक्ट्रिक्स कहलाते हैं। उनके समीकरण हैं:

प्रमेय। यदि r अतिपरवलय के किसी मनमाना बिंदु M से किसी फ़ोकस की दूरी है, d उसी बिंदु से इस फ़ोकस के संगत नियता की दूरी है, तो अनुपात r/d उत्केन्द्रता के बराबर एक स्थिर मान है।

एक परबोला की परिभाषा। परवलय का फोकस और नियता।

परबोला। एक परबोला बिंदुओं का स्थान है, जिनमें से प्रत्येक एक निश्चित बिंदु से और एक निश्चित रेखा से समान रूप से दूर है। परिभाषा में निर्दिष्ट बिंदु को परवलय का फोकस कहा जाता है, और सीधी रेखा को इसकी नियता कहा जाता है।

परवलय का विहित समीकरण। पैराबोला पैरामीटर। परवलय का निर्माण।

एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक परवलय का विहित समीकरण है: (या यदि अक्षों को उलट दिया जाता है)।

पैरामीटर पी के दिए गए मान के लिए पैराबोला का निर्माण निम्नलिखित क्रम में किया जाता है:

पैराबोला की समरूपता की धुरी बनाएं और उस पर सेगमेंट रखें KF=p;

डाइरेक्ट्रिक्स DD1 सममिति के अक्ष के लम्बवत बिंदु K से होकर खींचा जाता है;

परवलय का शीर्ष 0 प्राप्त करने के लिए खंड KF को आधे में विभाजित किया गया है;

कई मनमाना बिंदु 1, 2, 3, 5, 6 को ऊपर से उनके बीच धीरे-धीरे बढ़ती दूरी के साथ मापा जाता है;

इन बिंदुओं के माध्यम से, परबोला की धुरी के लंबवत सहायक रेखाएँ खींची जाती हैं;

सहायक सीधी रेखाओं पर, सीधी रेखा से डायरेक्ट्रिक्स की दूरी के बराबर त्रिज्या के साथ सेरिफ़ बनाए जाते हैं;

परिणामी बिंदु एक चिकनी वक्र से जुड़े हुए हैं।

दूसरे क्रम की पंक्तियाँ।
दीर्घवृत्त और इसका विहित समीकरण। घेरा

गहन अध्ययन के बाद विमान पर सीधी रेखाएँहम द्वि-आयामी दुनिया की ज्यामिति का अध्ययन करना जारी रखते हैं। दांव दोगुना हो गया है और मैं आपको दीर्घवृत्त, अतिपरवलय, परवलय की सुरम्य गैलरी में जाने के लिए आमंत्रित करता हूं, जो विशिष्ट प्रतिनिधि हैं दूसरी ऑर्डर लाइनें. दौरा शुरू हो चुका है और संक्षिप्त जानकारीसंग्रहालय के विभिन्न तलों पर संपूर्ण प्रदर्शनी के बारे में:

एक बीजगणितीय रेखा और उसके क्रम की अवधारणा

समतल पर एक रेखा कहलाती है बीजगणितीय, मैं फ़िन एफ़िन समन्वय प्रणालीइसके समीकरण का रूप है, जहां एक बहुपद है जिसमें रूप की शर्तें हैं (एक वास्तविक संख्या है, गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं)।

जैसा कि आप देख सकते हैं, एक बीजगणितीय रेखा के समीकरण में ज्या, कोसाइन, लघुगणक और अन्य कार्यात्मक ब्यू मोंडे शामिल नहीं हैं। केवल "x" और "y" में पूर्णांक गैर-नकारात्मकडिग्री।

रेखा क्रमइसमें शामिल शर्तों के अधिकतम मूल्य के बराबर है।

संबंधित प्रमेय के अनुसार, एक बीजगणितीय रेखा की अवधारणा, साथ ही साथ इसका क्रम, पसंद पर निर्भर नहीं करता है एफ़िन समन्वय प्रणाली, इसलिए, होने में आसानी के लिए, हम मानते हैं कि बाद की सभी गणनाएँ होती हैं कार्तीय निर्देशांक.

सामान्य समीकरणदूसरे क्रम की रेखा का रूप है, जहाँ मनमाना वास्तविक संख्याएँ हैं (गुणक के साथ लिखने की प्रथा है - "दो"), और गुणांक एक साथ शून्य के बराबर नहीं हैं।

अगर , तो समीकरण सरल हो जाता है , और यदि गुणांक एक साथ शून्य के बराबर नहीं हैं, तो यह बिल्कुल है एक "सपाट" सीधी रेखा का सामान्य समीकरण, जो दर्शाता है पहली ऑर्डर लाइन.

कई लोगों ने नई शर्तों का अर्थ समझा, लेकिन फिर भी, सामग्री को 100% आत्मसात करने के लिए, हम अपनी उंगलियों को सॉकेट में चिपका देते हैं। पंक्ति क्रम निर्धारित करने के लिए, पुनरावृति करें सभी शर्तेंइसके समीकरण और उनमें से प्रत्येक के लिए खोजें शक्तियों का योगआने वाले चर।

उदाहरण के लिए:

शब्द में "x" से पहली डिग्री है;
शब्द में पहली शक्ति के लिए "वाई" शामिल है;
पद में कोई चर नहीं हैं, इसलिए उनकी शक्तियों का योग शून्य है।

अब आइए जानें कि समीकरण रेखा को क्यों सेट करता है दूसराआदेश देना:

शब्द में दूसरी डिग्री में "x" है;
शब्द में चरों की डिग्री का योग है: 1 + 1 = 2;
शब्द में दूसरी डिग्री में "वाई" शामिल है;
अन्य सभी शर्तें - कमतरडिग्री।

अधिकतम मूल्य: 2

यदि हम भी अपने समीकरण में जोड़ते हैं, कहते हैं, तो यह पहले से ही तय कर लेगा तीसरी ऑर्डर लाइन. यह स्पष्ट है कि तीसरी ऑर्डर लाइन समीकरण के सामान्य रूप में शब्दों का एक "पूर्ण सेट" होता है, जिसमें चर की डिग्री का योग तीन के बराबर होता है:
, जहां गुणांक एक साथ शून्य के बराबर नहीं हैं।

इस घटना में कि एक या एक से अधिक उपयुक्त शब्द जोड़े जाते हैं , फिर हम बात करेंगे चौथी आदेश पंक्तियाँ, वगैरह।

हमें एक से अधिक बार तीसरी, चौथी और उच्च क्रम की बीजगणितीय रेखाओं से निपटना होगा, विशेष रूप से, परिचित होने पर ध्रुवीय समन्वय प्रणाली.

हालाँकि, आइए हम सामान्य समीकरण पर लौटें और इसके सरलतम स्कूल विविधताओं को याद करें। उदाहरण के तौर पर, पैराबोला खुद को सुझाव देता है, जिसके समीकरण को आसानी से कम किया जा सकता है सामान्य रूप से देखें, और एक समतुल्य समीकरण के साथ एक अतिपरवलय। हालांकि, सब कुछ इतना सहज नहीं है ....

सामान्य समीकरण का एक महत्वपूर्ण दोष यह है कि यह लगभग हमेशा स्पष्ट नहीं होता है कि यह किस रेखा को परिभाषित करता है। यहां तक ​​​​कि सबसे सरल मामले में, आप तुरंत महसूस नहीं करेंगे कि यह अतिशयोक्ति है। इस तरह के लेआउट केवल एक बहाना में अच्छे होते हैं, इसलिए विश्लेषणात्मक ज्यामिति के दौरान एक विशिष्ट समस्या पर विचार किया जाता है द्वितीय क्रम रेखा समीकरण को विहित रूप में घटाना.

समीकरण का विहित रूप क्या है?

यह समीकरण का आम तौर पर स्वीकृत मानक रूप है, जब कुछ ही सेकंड में यह स्पष्ट हो जाता है कि यह किस ज्यामितीय वस्तु को परिभाषित करता है। इसके अलावा, कई व्यावहारिक कार्यों को हल करने के लिए विहित रूप बहुत सुविधाजनक है। इसलिए, उदाहरण के लिए, विहित समीकरण के अनुसार "फ्लैट" सीधे, सबसे पहले, यह तुरंत स्पष्ट है कि यह एक सीधी रेखा है, और दूसरी बात, इससे संबंधित बिंदु और दिशा वेक्टर बस दिखाई दे रहे हैं।

जाहिर है, कोई पहली ऑर्डर लाइनएक सीधी रेखा का प्रतिनिधित्व करता है। दूसरी मंजिल पर, अब कोई चौकीदार हमारा इंतजार नहीं कर रहा है, बल्कि नौ मूर्तियों की एक बहुत अधिक विविध कंपनी है:

दूसरी ऑर्डर लाइनों का वर्गीकरण

क्रियाओं के एक विशेष सेट की मदद से, किसी भी दूसरे क्रम के रेखा समीकरण को निम्न प्रकारों में से एक में घटाया जाता है:

(और धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं)

1) दीर्घवृत्त का विहित समीकरण है;

2) अतिपरवलय का विहित समीकरण है;

3) परवलय का विहित समीकरण है;

4) – काल्पनिकदीर्घवृत्त;

5) - प्रतिच्छेदी रेखाओं की एक जोड़ी;

6) - युगल काल्पनिकप्रतिच्छेदी रेखाएँ (मूल बिंदु पर प्रतिच्छेदन का एकमात्र वास्तविक बिंदु);

7) - समानांतर रेखाओं की एक जोड़ी;

8) - युगल काल्पनिकसमानांतर रेखाएं;

9) संपाती रेखाओं का एक युग्म है।

कुछ पाठकों को यह आभास हो सकता है कि सूची अधूरी है। उदाहरण के लिए, अनुच्छेद संख्या 7 में, समीकरण जोड़ी सेट करता है प्रत्यक्ष, अक्ष के समानांतर, और प्रश्न उठता है: वह समीकरण कहाँ है जो y-अक्ष के समानांतर रेखाओं को निर्धारित करता है? इसका जवाब दो कैनन नहीं माना. सीधी रेखाएं 90 डिग्री घुमाए गए समान मानक मामले का प्रतिनिधित्व करती हैं, और वर्गीकरण में अतिरिक्त प्रविष्टि बेमानी है, क्योंकि इसमें कुछ भी मौलिक रूप से नया नहीं है।

तो नौ हैं और केवल नौ हैं विभिन्न प्रकारदूसरे क्रम की पंक्तियाँ, लेकिन व्यवहार में सबसे आम दीर्घवृत्त, अतिपरवलय और परवलय.

आइए पहले दीर्घवृत्त को देखें। हमेशा की तरह, मैं उन बिंदुओं पर ध्यान केंद्रित करता हूं जो समस्याओं को हल करने के लिए बहुत महत्वपूर्ण हैं, और यदि आपको सूत्रों की एक विस्तृत व्युत्पत्ति, प्रमेयों के प्रमाण की आवश्यकता है, तो कृपया, उदाहरण के लिए, बाज़ीलेव/अटानास्यान या अलेक्जेंड्रोव की पाठ्यपुस्तक देखें।

दीर्घवृत्त और इसका विहित समीकरण

वर्तनी ... कृपया कुछ यैंडेक्स उपयोगकर्ताओं की गलतियों को न दोहराएं जो "दीर्घवृत्त का निर्माण कैसे करें", "दीर्घवृत्त और अंडाकार के बीच का अंतर" और "हाथी विलक्षणता" में रुचि रखते हैं।

दीर्घवृत्त के विहित समीकरण का रूप है, जहां सकारात्मक वास्तविक संख्याएं हैं, और। मैं बाद में दीर्घवृत्त की परिभाषा तैयार करूंगा, लेकिन अभी के लिए बात करने से विराम लेने और एक सामान्य समस्या को हल करने का समय आ गया है:

एक दीर्घवृत्त का निर्माण कैसे करें?

हाँ, इसे ले लो और बस इसे खींचो। असाइनमेंट सामान्य है, और छात्रों का एक महत्वपूर्ण हिस्सा ड्राइंग के साथ काफी सक्षमता से सामना नहीं करता है:

उदाहरण 1

एक दीर्घवृत्त बनाएँ समीकरण द्वारा दिया गया

समाधान: पहले हम समीकरण को विहित रूप में लाते हैं:

क्यों लाए? विहित समीकरण के फायदों में से एक यह है कि यह आपको तुरंत निर्धारित करने की अनुमति देता है दीर्घवृत्त शिखर, जो बिंदुओं पर हैं। यह देखना आसान है कि इनमें से प्रत्येक बिंदु के निर्देशांक समीकरण को संतुष्ट करते हैं।

इस मामले में :


रेखा खंडबुलाया प्रमुख अक्षदीर्घवृत्त;
रेखा खंड – लघु अक्ष;
संख्या बुलाया सेमीमेजर एक्सिसदीर्घवृत्त;
संख्या – अर्ध-लघु अक्ष.
हमारे उदाहरण में: .

जल्दी से कल्पना करने के लिए कि यह या वह दीर्घवृत्त कैसा दिखता है, बस इसके विहित समीकरण के "ए" और "बी" के मूल्यों को देखें।

सब कुछ ठीक, साफ-सुथरा और सुंदर है, लेकिन एक चेतावनी है: मैंने प्रोग्राम का उपयोग करके ड्राइंग पूरी की। और आप किसी भी एप्लिकेशन के साथ ड्रा कर सकते हैं। हालाँकि, कठोर वास्तविकता में, कागज का एक चेकदार टुकड़ा मेज पर रहता है, और चूहे हमारे हाथों के चारों ओर नृत्य करते हैं। कलात्मक प्रतिभा वाले लोग बेशक बहस कर सकते हैं, लेकिन आपके पास चूहे भी हैं (यद्यपि छोटे वाले)। यह व्यर्थ नहीं है कि मानव जाति ने ड्राइंग के लिए एक शासक, एक कम्पास, एक प्रोट्रैक्टर और अन्य सरल उपकरणों का आविष्कार किया।

इस कारण से, हम केवल कोने को जानते हुए, एक दीर्घवृत्त को सटीक रूप से आकर्षित करने में सक्षम होने की संभावना नहीं है। अभी भी ठीक है, अगर दीर्घवृत्त छोटा है, उदाहरण के लिए, अर्ध-अक्ष के साथ। वैकल्पिक रूप से, आप पैमाने को कम कर सकते हैं और तदनुसार, ड्राइंग के आयाम। लेकिन सामान्य स्थिति में अतिरिक्त बिंदुओं को खोजना अत्यधिक वांछनीय है।

दीर्घवृत्त के निर्माण के लिए दो दृष्टिकोण हैं - ज्यामितीय और बीजगणितीय। मुझे कम्पास और शासक के साथ निर्माण करना पसंद नहीं है क्योंकि छोटे एल्गोरिदम और ड्राइंग के महत्वपूर्ण अव्यवस्था हैं। आपातकाल के मामले में, कृपया पाठ्यपुस्तक देखें, लेकिन वास्तव में बीजगणित के उपकरणों का उपयोग करना अधिक तर्कसंगत है। मसौदे पर दीर्घवृत्त समीकरण से, हम शीघ्रता से व्यक्त करते हैं:

समीकरण को तब दो कार्यों में विभाजित किया जाता है:
– दीर्घवृत्त के ऊपरी चाप को परिभाषित करता है;
- दीर्घवृत्त के निचले चाप को परिभाषित करता है।

विहित समीकरण द्वारा दिया गया दीर्घवृत्त समन्वय अक्षों के साथ-साथ मूल के संबंध में सममित है। और यह बहुत अच्छा है - समरूपता लगभग हमेशा एक फ्रीबी का अग्रदूत है। जाहिर है, यह पहली समन्वय तिमाही से निपटने के लिए पर्याप्त है, इसलिए हमें एक फ़ंक्शन की आवश्यकता है . यह भुज के साथ अतिरिक्त बिंदु खोजने का सुझाव देता है . हमने कैलकुलेटर पर तीन एसएमएस किए:

बेशक, यह भी सुखद है कि अगर गणना में कोई गंभीर त्रुटि हुई है, तो निर्माण के दौरान यह तुरंत स्पष्ट हो जाएगा।

हम ड्राइंग (लाल रंग) में बिंदुओं को चिह्नित करते हैं, शेष चापों पर सममित बिंदु ( नीला रंग) और पूरी कंपनी को एक लाइन से बड़े करीने से कनेक्ट करें:


प्रारंभिक स्केच को पतले और पतले से खींचना बेहतर है, और उसके बाद ही पेंसिल पर दबाव डालें। परिणाम काफी सभ्य दीर्घवृत्त होना चाहिए। वैसे, क्या आप जानना चाहेंगे कि यह वक्र क्या है?

दीर्घवृत्त की परिभाषा। दीर्घवृत्त foci और दीर्घवृत्त विलक्षणता

दीर्घवृत्त एक अंडाकार का एक विशेष मामला है। "अंडाकार" शब्द को बुर्जुआ अर्थ में नहीं समझा जाना चाहिए ("बच्चे ने एक अंडाकार खींचा", आदि)। यह एक गणितीय शब्द है जिसका विस्तृत सूत्रीकरण है। इस पाठ का उद्देश्य अंडाकार और उनके विभिन्न प्रकारों के सिद्धांत पर विचार करना नहीं है, जिन पर विश्लेषणात्मक ज्यामिति के मानक पाठ्यक्रम में व्यावहारिक रूप से ध्यान नहीं दिया जाता है। और, अधिक वर्तमान आवश्यकताओं के अनुसार, हम तुरंत दीर्घवृत्त की सख्त परिभाषा पर जाते हैं:

अंडाकार- यह समतल के सभी बिंदुओं का समुच्चय है, जिनमें से प्रत्येक की दूरियों का योग दो दिए गए बिंदुओं से कहा जाता है चालदीर्घवृत्त, संख्यात्मक रूप से एक स्थिर मान है लंबाई के बराबरइस दीर्घवृत्त की प्रमुख धुरी: .
इस स्थिति में, foci के बीच की दूरी इस मान से कम होती है: .

अब यह और स्पष्ट हो जाएगा:

कल्पना कीजिए कि नीला बिंदु दीर्घवृत्त पर "सवारी" करता है। इसलिए, कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम दीर्घवृत्त का कौन सा बिंदु लेते हैं, खंडों की लंबाई का योग हमेशा समान रहेगा:

आइए सुनिश्चित करें कि हमारे उदाहरण में योग का मान वास्तव में आठ के बराबर है। मानसिक रूप से बिंदु "em" को दीर्घवृत्त के दाहिने शीर्ष पर रखें, फिर: , जिसे जाँचने की आवश्यकता थी।

दीर्घवृत्त खींचने का दूसरा तरीका दीर्घवृत्त की परिभाषा पर आधारित है। उच्च गणितकभी-कभी, तनाव और तनाव का कारण, इसलिए यह एक और अनलोडिंग सत्र होने का समय है। कृपया कागज का एक टुकड़ा या कार्डबोर्ड की एक बड़ी शीट लें और इसे दो कीलों से टेबल पर पिन करें। ये टोटके होंगे। उभरे हुए कीलों के सिरों पर एक हरे रंग का धागा बांधें और इसे एक पेंसिल से पूरी तरह खींच लें। पेंसिल की गर्दन किसी बिंदु पर होगी, जो दीर्घवृत्त से संबंधित है। अब पेंसिल को कागज की शीट पर रखते हुए गाइड करना शुरू करें हरा धागादृढ़ता से फैला हुआ। प्रक्रिया को तब तक जारी रखें जब तक आप प्रारंभिक बिंदु पर वापस नहीं आ जाते ... उत्कृष्ट ... ड्राइंग को डॉक्टर द्वारा सत्यापन के लिए शिक्षक को प्रस्तुत किया जा सकता है =)

दीर्घवृत्त का फोकस कैसे पता करें?

उपरोक्त उदाहरण में, मैंने "तैयार" फ़ोकस बिंदुओं को दर्शाया है, और अब हम सीखेंगे कि उन्हें ज्यामिति की गहराई से कैसे निकाला जाए।

यदि दीर्घवृत्त विहित समीकरण द्वारा दिया गया है, तो इसके foci में निर्देशांक हैं , कहाँ है प्रत्येक foci से दीर्घवृत्त के समरूपता के केंद्र की दूरी.

उबले हुए शलजम की तुलना में गणना आसान है:

! अर्थ "सीई" के साथ चाल के विशिष्ट निर्देशांक की पहचान करना असंभव है!मैं दोहराता हूं, यह है DISTANCE प्रत्येक फोकस से केंद्र तक(जो सामान्य स्थिति में बिल्कुल मूल स्थान पर स्थित नहीं होता है)।
और, इसलिए, foci के बीच की दूरी को दीर्घवृत्त की विहित स्थिति से भी नहीं जोड़ा जा सकता है। दूसरे शब्दों में, दीर्घवृत्त को दूसरी जगह ले जाया जा सकता है और मान अपरिवर्तित रहेगा, जबकि foci स्वाभाविक रूप से अपने निर्देशांक बदल देगा। कृपया ध्यान रखें इस पलविषय के आगे के अध्ययन के दौरान।

दीर्घवृत्त की विलक्षणता और इसका ज्यामितीय अर्थ

दीर्घवृत्त की विलक्षणता एक अनुपात है जो मूल्यों को भीतर ले जा सकता है।

हमारे मामले में:

आइए जानें कि दीर्घवृत्त का आकार उसकी उत्केंद्रता पर कैसे निर्भर करता है। इसके लिए बाएँ और दाएँ कोने को ठीक करेंविचाराधीन दीर्घवृत्त का, अर्थात्, अर्ध-प्रमुख अक्ष का मान स्थिर रहेगा। तब उत्केन्द्रता सूत्र का रूप होगा: .

आइए एकता के लिए सनकीपन के मूल्य का अनुमान लगाना शुरू करें। यह तभी संभव है जब . इसका मतलब क्या है? ... तरकीबें याद रखना . इसका मतलब यह है कि दीर्घवृत्त का foci अनुपस्थ अक्ष के साथ-साथ पार्श्व सिरों तक "फैलाएगा"। और, चूंकि "हरे खंड रबर नहीं हैं", दीर्घवृत्त अनिवार्य रूप से चपटा होना शुरू हो जाएगा, एक धुरी पर पतले और पतले सॉसेज में बदल जाएगा।

इस प्रकार, दीर्घवृत्त की उत्केन्द्रता एक के जितनी निकट होती है, दीर्घवृत्त उतना ही अधिक आयताकार होता है.

अब विपरीत प्रक्रिया का अनुकरण करते हैं: दीर्घवृत्त का फोकस केंद्र के पास पहुंचकर एक दूसरे की ओर चले गए। इसका मतलब है कि "सीई" का मान कम हो रहा है और तदनुसार, विलक्षणता शून्य हो जाती है:।
इस मामले में, "ग्रीन सेगमेंट", इसके विपरीत, "भीड़ हो जाएगा" और वे दीर्घवृत्त की रेखा को ऊपर और नीचे "धक्का" देना शुरू कर देंगे।

इस प्रकार, विलक्षणता का मान शून्य के जितना करीब होता है, उतना ही अधिक दीर्घवृत्त जैसा दिखता है... सीमित मामले को देखें, जब मूल रूप से foci सफलतापूर्वक पुन: जुड़ जाते हैं:

एक वृत्त दीर्घवृत्त का एक विशेष मामला है

वास्तव में, अर्ध-अक्षों की समानता के मामले में, दीर्घवृत्त का विहित समीकरण रूप लेता है, जो त्रिज्या "ए" के मूल में केंद्र के साथ स्कूल से जाने-माने सर्कल समीकरण में स्पष्ट रूप से बदल जाता है।

व्यवहार में, "बोलने" अक्षर "एर" के साथ अंकन अधिक बार उपयोग किया जाता है:। त्रिज्या को खंड की लंबाई कहा जाता है, जबकि वृत्त के प्रत्येक बिंदु को त्रिज्या की दूरी से केंद्र से हटा दिया जाता है।

ध्यान दें कि दीर्घवृत्त की परिभाषा पूरी तरह से सही रहती है: फ़ॉसी का मिलान होता है, और वृत्त पर प्रत्येक बिंदु के लिए मिलान किए गए खंडों की लंबाई का योग एक स्थिर मान होता है। चूंकि foci के बीच की दूरी है किसी भी वृत्त की उत्केन्द्रता शून्य होती है.

एक सर्कल आसानी से और जल्दी से बनाया गया है, यह अपने आप को कम्पास के साथ बांधे रखने के लिए पर्याप्त है। हालाँकि, कभी-कभी इसके कुछ बिंदुओं के निर्देशांक का पता लगाना आवश्यक होता है, इस मामले में हम परिचित तरीके से चलते हैं - हम समीकरण को एक हंसमुख मटन के रूप में लाते हैं:

ऊपरी अर्धवृत्त का कार्य है;
निचले अर्धवृत्त का कार्य है।

फिर हम वांछित मान पाते हैं, विभेदक, एकीकृतऔर अन्य अच्छे काम करो।

लेख, बेशक, केवल संदर्भ के लिए है, लेकिन कोई दुनिया में प्यार के बिना कैसे रह सकता है? के लिए रचनात्मक कार्य स्वतंत्र निर्णय

उदाहरण 2

एक दीर्घवृत्त के विहित समीकरण की रचना करें यदि इसकी एक नाभियाँ और अर्ध-लघु अक्ष ज्ञात हैं (केंद्र मूल में है)। कोने, अतिरिक्त बिंदु खोजें और आरेखण पर एक रेखा खींचें। सनकीपन की गणना करें।

पाठ के अंत में समाधान और ड्राइंग

आइए एक क्रिया जोड़ें:

दीर्घवृत्त को घुमाएँ और अनुवाद करें

आइए दीर्घवृत्त के विहित समीकरण पर लौटते हैं, अर्थात्, उस स्थिति के लिए, जिसकी पहेली इस वक्र के पहले उल्लेख के बाद से जिज्ञासु मन को पीड़ा देती रही है। यहाँ हमने एक दीर्घवृत्त पर विचार किया है , लेकिन व्यवहार में समीकरण नहीं कर सकते ? आखिरकार, यहाँ, हालाँकि, यह एक दीर्घवृत्त जैसा भी लगता है!

ऐसा समीकरण दुर्लभ है, लेकिन यह सामने आता है। और यह एक दीर्घवृत्त को परिभाषित करता है। आइए रहस्यवाद को दूर करें:

निर्माण के परिणामस्वरूप, हमारा मूल दीर्घवृत्त 90 डिग्री से घुमाया जाता है। वह है, - यह गैर विहित प्रविष्टिअंडाकार . अभिलेख!- समीकरण किसी अन्य दीर्घवृत्त को निर्दिष्ट नहीं करता है, क्योंकि अक्ष पर कोई बिंदु (फोसी) नहीं है जो एक दीर्घवृत्त की परिभाषा को पूरा करेगा।