दशमलव से भिन्न रूपांतरण। कैलकुलेटर ऑनलाइन। दशमलव अंश को साधारण में बदलना

सभी भिन्नों को दो प्रकारों में बांटा गया है: साधारण और दशमलव। इस प्रकार के भिन्नों को साधारण कहा जाता है: 9 / 8.3 / 4.1 / 2.1 3/4। वे ऊपरी संख्या (अंश) और निचली संख्या (भाजक) में अंतर करते हैं। जब अंश हर से कम होता है, तो भिन्न को उचित कहा जाता है, अन्यथा भिन्न अनुचित होता है। 1 7/8 जैसे भिन्नों में एक पूर्णांक भाग (1) और एक भिन्नात्मक भाग (7/8) होता है और इसे मिश्रित कहा जाता है।

तो भिन्न हैं:

1. साधारण
   1. सही
   2. गलत
   3. मिला हुआ
2. दशमलव

सामान्य भिन्न को दशमलव में कैसे बदलें

एक साधारण अंश को दशमलव में कैसे बदलें, एक बुनियादी स्कूल गणित पाठ्यक्रम सिखाता है। सब कुछ बेहद सरल है: आपको अंश को "मैन्युअल रूप से" भाजक से विभाजित करने की आवश्यकता है या, यदि आप पूरी तरह से आलसी हैं, तो एक माइक्रोकैलकुलेटर पर। यहां एक उदाहरण दिया गया है: 2/5=0.4; 3/4=0.75; 1/2=0.5. दशमलव में कनवर्ट करना ज्यादा कठिन नहीं है अनुचित अंश. उदाहरण: 1 3/4= 7/4= 1.75। अंतिम परिणाम बिना विभाजन के प्राप्त किया जा सकता है, यदि हम 3/4 = 0.75 को ध्यान में रखते हैं और एक जोड़ते हैं: 1 + 0.75 = 1.75।

हालांकि, सभी साधारण भिन्न इतने सरल नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए, आइए 1/3 को साधारण भिन्न से दशमलव में बदलने का प्रयास करें। यहां तक ​​​​कि जिनके पास गणित में ट्रिपल था (पांच-बिंदु प्रणाली के अनुसार) यह नोटिस करेंगे कि, विभाजन कितनी भी देर तक जारी रहे, शून्य और अल्पविराम के बाद अनंत संख्या में तिगुने 1/3 = 0.3333 होंगे ... . . इसे निम्नानुसार पढ़ने की प्रथा है: शून्य पूर्णांक, एक अवधि में तीन। यह तदनुसार लिखा गया है: 1/3 = 0, (3)। यदि आप 5/6 को दशमलव भिन्न में बदलने का प्रयास करते हैं तो ऐसी ही स्थिति उत्पन्न होगी: 5/6=0.8(3)। ऐसे भिन्नों को अनंत आवर्त कहा जाता है। यहाँ भिन्न 3/7: 3/7= 0.42857142857142857142857142857143…, यानी 3/7=0,(428571) के लिए एक उदाहरण दिया गया है।

तो, एक साधारण अंश के दशमलव में परिवर्तन के परिणामस्वरूप, कोई प्राप्त कर सकता है:

1. गैर-आवधिक दशमलव;
2. आवधिक दशमलव।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि अनंत गैर-आवधिक अंश भी हैं जो इस तरह की क्रियाओं को करने से प्राप्त होते हैं: n-th डिग्री की जड़ लेना, लघुगणक लेना, प्रबल करना। उदाहरण के लिए, 3= 1.732050807568877…. प्रसिद्ध संख्या 3.1415926535897932384626433832795…. .

आइए अब 3 को 0 से गुणा करें,(3): 3×0,(3)=0,(9)=1. यह पता चला है कि 0,(9) एकता लिखने का एक अलग रूप है। इसी तरह, 9=9/9.16=16.0, आदि।

इस लेख के शीर्षक में दिए गए एक के विपरीत प्रश्न भी वैध है: "एक दशमलव अंश को नियमित रूप से कैसे परिवर्तित करें"। इस प्रश्न का उत्तर एक उदाहरण देता है: 0.5= 5/10=1/2। पिछले उदाहरण में, हमने भिन्न 5/10 के अंश और हर को 5 से घटा दिया था। यानी परिवर्तित करने के लिए दशमलव अंशएक साधारण में, आपको इसे 10 के हर के साथ एक भिन्न के रूप में प्रस्तुत करने की आवश्यकता है।

सामान्य तौर पर कौन से भिन्न होते हैं, इसके बारे में एक वीडियो देखना दिलचस्प होगा:

दशमलव को सामान्य भिन्न में बदलने का तरीका जानने के लिए, यहाँ देखें:

भिन्न को दशमलव में बदलना

मान लीजिए कि हम सामान्य भिन्न 11/4 को दशमलव में बदलना चाहते हैं। इसे करने का सबसे आसान तरीका यह है:

हम सफल हुए क्योंकि इस मामले में भाजक के अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंड केवल दो होते हैं। हमने इस विस्तार को दो और फाइव के साथ पूरक किया, इस तथ्य का लाभ उठाया कि 10 = 2∙5, और एक दशमलव अंश प्राप्त किया। ऐसी प्रक्रिया स्पष्ट रूप से संभव है यदि और केवल यदि भाजक के अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंडन में दो और पांच के अलावा कुछ नहीं है। यदि हर के विस्तार में कोई अन्य अभाज्य संख्या मौजूद है, तो ऐसी भिन्न को दशमलव में नहीं बदला जा सकता है। फिर भी, हम ऐसा करने की कोशिश करेंगे, लेकिन केवल एक अलग तरीके से, जिसे हम उसी अंश 11/4 के उदाहरण से परिचित करेंगे। आइए 11 को 4 "कोने" से विभाजित करें:

प्रतिक्रिया पंक्ति में, हमें पूर्णांक भाग ( 2 ) मिला है, और हमारे पास शेष ( 3 ) भी है। पहले, हमने इस पर विभाजन समाप्त कर दिया था, लेकिन अब हम जानते हैं कि एक अल्पविराम और कुछ शून्य को दाईं ओर लाभांश ( 11 ) के लिए जिम्मेदार ठहराया जा सकता है, जो अब हम मानसिक रूप से करेंगे। दशमलव बिंदु के बाद दसवां स्थान आता है। शून्य, जो इस श्रेणी में लाभांश के लिए खड़ा है, हम परिणामी शेष ( 3 ) को विशेषता देंगे:

अब विभाजन ऐसे जारी रह सकता है जैसे कुछ हुआ ही न हो। आपको उत्तर पंक्ति में पूर्णांक भाग के बाद अल्पविराम लगाना याद रखना होगा:

अब हम शेष ( 2 ) शून्य का श्रेय देते हैं, जो कि सौवें स्थान पर लाभांश के लिए है और विभाजन को अंत तक लाता है:

नतीजतन, हम पहले की तरह प्राप्त करते हैं,

आइए अब ठीक उसी तरह से गणना करने का प्रयास करें कि भिन्न 27/11 किसके बराबर है:

हमें उत्तर पंक्ति में संख्या 2.45 और शेष पंक्ति में संख्या 5 प्राप्त हुई। लेकिन हमने ऐसा अवशेष पहले देखा है। इसलिए, हम तुरंत कह सकते हैं कि यदि हम "कोने" से अपना विभाजन जारी रखते हैं, तो उत्तर पंक्ति में अगला अंक 4 होगा, फिर संख्या 5 जाएगी, फिर 4 और फिर से 5, और इसी तरह, विज्ञापन अनंत :

27 / 11 = 2,454545454545...

हमें तथाकथित प्राप्त हुआ है नियत कालीन 45 की अवधि के साथ एक दशमलव अंश। ऐसे अंशों के लिए, एक अधिक कॉम्पैक्ट नोटेशन का उपयोग किया जाता है, जिसमें अवधि केवल एक बार लिखी जाती है, लेकिन साथ ही यह कोष्ठक में संलग्न होती है:

2,454545454545... = 2,(45).

सामान्यतया, यदि आप एक "कोना" साझा करते हैं प्राकृतिक संख्यादूसरे को, दशमलव भिन्न के रूप में उत्तर लिखने पर, केवल दो परिणाम संभव हैं: (1) जल्दी या बाद में हमें शेष पंक्ति में शून्य मिलेगा, (2) या ऐसा शेष होगा जो हमारे पास है पहले ही सामने आ चुका है (संभावित शेषफलों का समुच्चय सीमित है, क्योंकि वे सभी निश्चित रूप से भाजक से कम हैं)। पहले मामले में, विभाजन का परिणाम अंतिम दशमलव अंश होता है, दूसरे मामले में, आवधिक एक।

एक आवर्त दशमलव को एक सामान्य भिन्न में बदलना

आइए हमें एक शून्य पूर्णांक भाग के साथ एक सकारात्मक आवधिक दशमलव अंश दिया जाए, उदाहरण के लिए:

एक = 0,2(45).

मैं इस भिन्न को वापस सामान्य भिन्न में कैसे बदल सकता हूँ?

आइए इसे 10 . से गुणा करें क, कहाँ पे कअल्पविराम और शुरुआती कोष्ठक के बीच अंकों की संख्या है जो अवधि की शुरुआत को इंगित करती है। इस मामले में क= 1 और 10 क = 10:

एक∙ 10 क = 2,(45).

परिणाम को 10 . से गुणा करें एन, कहाँ पे एन- अवधि की "लंबाई", यानी कोष्ठक के बीच संलग्न अंकों की संख्या। इस मामले में एन= 2 और 10 एन = 100:

एक∙ 10 क ∙ 10 एन = 245,(45).

अब अंतर की गणना करते हैं

एक∙ 10 क ∙ 10 एन − एक∙ 10 क = 245,(45) − 2,(45).

चूँकि मिन्यूएंड और सबट्रेंड के भिन्नात्मक भाग समान हैं, तो अंतर का भिन्नात्मक भाग शून्य है, और हम आते हैं सरल समीकरणअपेक्षाकृत एक:

एक∙ 10 क ∙ (10 एन − 1) = 245 − 2.

यह समीकरण निम्नलिखित परिवर्तनों का उपयोग करके हल किया जाता है:

एक∙ 10 ∙ (100 − 1) = 245 − 2.

एक∙ 10 ∙ 99 = 245 − 2.

हम जानबूझकर गणनाओं को अभी तक अंत तक नहीं लाते हैं, ताकि यह स्पष्ट रूप से देखा जा सके कि मध्यवर्ती तर्कों को छोड़कर, यह परिणाम तुरंत कैसे लिखा जा सकता है। अंश में कमी ( 245 ) संख्या का भिन्नात्मक भाग है

एक = 0,2(45)

यदि आप उसकी प्रविष्टि में कोष्ठक हटाते हैं। अंश में सबट्रेंड ( 2 ) संख्या का गैर-आवधिक भाग है एक, अल्पविराम और प्रारंभिक कोष्ठक के बीच स्थित है। हर (10) में पहला गुणनखंड एक है, जिसके लिए उतने ही शून्य दिए गए हैं जितने कि गैर-आवधिक भाग में अंक हैं ( क) हर (99) में दूसरा गुणनखंड उतने ही नौ हैं जितने कि आवर्त में अंक हैं ( एन).

अब हमारी गणना पूरी की जा सकती है:

यहाँ अंश में एक आवर्त है, और हर में उतने ही नौ हैं जितने आवर्त में अंक हैं। 9 से कम करने के बाद, परिणामी भिन्न बराबर है

उसी तरह से,

ऐसा होता है कि गणना की सुविधा के लिए एक साधारण अंश को दशमलव में बदलना आवश्यक है और इसके विपरीत। यह कैसे करना है, हम इस लेख में बात करेंगे। हम साधारण भिन्नों को दशमलव और इसके विपरीत में बदलने के नियमों का विश्लेषण करेंगे और उदाहरण भी देंगे।

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हम एक निश्चित क्रम का पालन करते हुए साधारण भिन्नों को दशमलव में बदलने पर विचार करेंगे। सबसे पहले, इस बात पर विचार करें कि 10 के गुणज वाले हर वाले साधारण भिन्नों को दशमलव में कैसे बदला जाता है: 10, 100, 1000, आदि। ऐसे हर वाले भिन्न, वास्तव में, दशमलव भिन्नों का अधिक बोझिल संकेतन होते हैं।

इसके बाद, हम देखेंगे कि साधारण भिन्नों को दशमलव भिन्नों में कैसे परिवर्तित किया जाए, न कि केवल 10 के गुणज, हर में। ध्यान दें कि साधारण भिन्नों को दशमलव भिन्नों में बदलने पर न केवल अंतिम दशमलव भिन्न, बल्कि अनंत आवधिक दशमलव भिन्न भी प्राप्त होते हैं।

आएँ शुरू करें!

10, 100, 1000, आदि हर के साथ साधारण भिन्नों का अनुवाद। दशमलव तक

सबसे पहले, मान लें कि कुछ भिन्नों को दशमलव रूप में बदलने से पहले कुछ तैयारी की आवश्यकता होती है। यह क्या है? अंश में संख्या से पहले इतने शून्य जोड़ना आवश्यक है कि अंश में अंकों की संख्या हर में शून्य की संख्या के बराबर हो जाए। उदाहरण के लिए, भिन्न 3100 के लिए, संख्या 0 को अंश में 3 के बाईं ओर एक बार जोड़ा जाना चाहिए। उपरोक्त नियम के अनुसार भिन्न 610 में सुधार करने की आवश्यकता नहीं है।

एक और उदाहरण पर विचार करें, जिसके बाद हम एक ऐसा नियम बनाते हैं जो पहली बार में उपयोग करने के लिए विशेष रूप से सुविधाजनक है, जबकि भिन्नों को संभालने में इतना अनुभव नहीं है। तो, अंश में शून्य जोड़ने के बाद 1610000 का अंश 001510000 जैसा दिखेगा।

10, 100, 1000, आदि के हर के साथ एक साधारण अंश का अनुवाद कैसे करें। दशमलव के लिए?

साधारण उचित भिन्नों को दशमलव में बदलने का नियम

1. 0 लिखें और उसके बाद अल्पविराम लगाएं।
2. हम अंश से वह संख्या लिखते हैं, जो शून्य जोड़ने के बाद निकली है।

अब चलिए उदाहरणों पर चलते हैं।

उदाहरण 1. साधारण भिन्नों को दशमलव में बदलना

सामान्य भिन्न 39100 को दशमलव में बदलें।

सबसे पहले, हम भिन्न को देखते हैं और देखते हैं कि किसी प्रारंभिक क्रिया की आवश्यकता नहीं है - अंश में अंकों की संख्या हर में शून्य की संख्या से मेल खाती है।

नियम का पालन करते हुए 0 लिखिए, उसके बाद दशमलव बिंदु रखिए और अंश से संख्या लिखिए। हमें दशमलव भिन्न 0, 39 प्राप्त होता है।

आइए इस विषय पर एक और उदाहरण के समाधान का विश्लेषण करें।

उदाहरण 2. साधारण भिन्नों को दशमलव में बदलना

आइए 105 10000000 भिन्न को दशमलव भिन्न के रूप में लिखें।

हर में शून्यों की संख्या 7 होती है और अंश में केवल तीन अंक होते हैं। आइए अंश में संख्या के आगे 4 और शून्य जोड़ें:

0000105 10000000

अब हम 0 लिखते हैं, उसके बाद दशमलव बिंदु डालते हैं और अंश से संख्या लिखते हैं। हमें दशमलव भिन्न 0 , 0000105 प्राप्त होता है।

सभी उदाहरणों में मानी गई भिन्न साधारण उचित भिन्न हैं। लेकिन एक अनुचित सामान्य अंश को दशमलव में कैसे बदलें? मान लीजिए कि इस तरह के अंशों के लिए शून्य जोड़ने की तैयारी की आवश्यकता नहीं है। आइए एक नियम बनाते हैं।

साधारण अनुचित भिन्नों को दशमलव में बदलने का नियम

1. हम वह संख्या लिखते हैं जो अंश में होती है।
2. दशमलव बिंदु के साथ, हम दायीं ओर उतने ही अंक अलग करते हैं जितने मूल साधारण भिन्न के हर में शून्य होते हैं।

नीचे इस नियम का उपयोग करने का एक उदाहरण दिया गया है।

उदाहरण 3. साधारण भिन्नों को दशमलव में बदलना

आइए भिन्न 56888038009 100000 को साधारण अनियमित से दशमलव में बदलें।

सबसे पहले, अंश से संख्या लिखें:

अब, दाईं ओर, हम पांच अंकों को दशमलव बिंदु से अलग करते हैं (हर में शून्य की संख्या पांच है)। हम पाते हैं:

अगला प्रश्न जो स्वाभाविक रूप से उठता है, वह यह है कि मिश्रित संख्या को दशमलव भिन्न में कैसे परिवर्तित किया जाए, यदि उसके भिन्नात्मक भाग का हर संख्या 10, 100, 1000, आदि है। ऐसी संख्या के दशमलव अंश में बदलने के लिए, आप निम्न नियम का उपयोग कर सकते हैं।

मिश्रित संख्याओं को दशमलव में बदलने का नियम

1. यदि आवश्यक हो, तो हम संख्या का भिन्नात्मक भाग तैयार करते हैं।
2. हम मूल संख्या का पूर्णांक भाग लिखते हैं और उसके बाद अल्पविराम लगाते हैं।
3. हम संलग्न शून्य के साथ भिन्नात्मक भाग के अंश से संख्या लिखते हैं।

आइए एक उदाहरण देखें।

उदाहरण 4. मिश्रित संख्याओं को दशमलव में बदलना

मिश्रित संख्या 23 17 10000 को दशमलव में बदलें।

भिन्नात्मक भाग में, हमारे पास व्यंजक 17 10000 है। आइए इसे तैयार करें और अंश के बाईं ओर दो और शून्य जोड़ें। हमें मिलता है: 0017 10000।

अब हम संख्या का पूर्णांक भाग लिखते हैं और उसके बाद अल्पविराम लगाते हैं: 23,। .

अल्पविराम के बाद, हम अंश से शून्य के साथ संख्या लिखते हैं। हमें परिणाम मिलता है:

23 17 10000 = 23 , 0017

साधारण भिन्नों को परिमित और अनंत आवर्त भिन्नों में बदलना

बेशक, आप दशमलव अंशों और साधारण भिन्नों में परिवर्तित कर सकते हैं, जिसमें हर 10, 100, 1000, आदि के बराबर नहीं है।

अक्सर एक भिन्न को आसानी से एक नए हर में घटाया जा सकता है, और फिर इस लेख के पहले पैराग्राफ में उल्लिखित नियम का उपयोग करें। उदाहरण के लिए, यह भिन्न 25 के अंश और हर को 2 से गुणा करने के लिए पर्याप्त है, और हमें भिन्न 410 मिलता है, जो आसानी से दशमलव रूप 0.4 तक कम हो जाता है।

हालाँकि, साधारण भिन्न को दशमलव में बदलने की इस पद्धति का उपयोग हमेशा नहीं किया जा सकता है। नीचे हम विचार करेंगे कि क्या करना है यदि माना विधि को लागू करना असंभव है।

मूलरूप में नया रास्ताएक साधारण भिन्न को दशमलव में बदलने से अंश को हर द्वारा एक कॉलम से विभाजित करने के लिए कम किया जाता है। यह ऑपरेशन एक कॉलम द्वारा प्राकृतिक संख्याओं के विभाजन के समान है, लेकिन इसकी अपनी विशेषताएं हैं।

विभाजित करते समय, अंश को दशमलव अंश के रूप में दर्शाया जाता है - अंश के अंतिम अंक के दाईं ओर एक अल्पविराम लगाया जाता है और शून्य जोड़ा जाता है। परिणामी भागफल में दशमलव बिंदु तब रखा जाता है जब अंश के पूर्णांक भाग का विभाजन समाप्त हो जाता है। उदाहरणों पर विचार करने के बाद यह विधि वास्तव में कैसे काम करती है यह स्पष्ट हो जाएगा।

उदाहरण 5. साधारण भिन्नों को दशमलव में बदलना

आइए साधारण भिन्न 621 4 का दशमलव रूप में अनुवाद करें।

आइए दशमलव अंश के बाद कुछ शून्य जोड़ते हुए, अंश से संख्या 621 को दशमलव भिन्न के रूप में निरूपित करें। 621 = 621 00

अब हम कॉलम 621, 00 को 4 से भाग देंगे। विभाजन के पहले तीन चरण वही होंगे जो प्राकृत संख्याओं को विभाजित करते समय हमें प्राप्त होते हैं।

जब हम लाभांश में दशमलव बिंदु पर पहुंच गए, और शेष गैर-शून्य है, तो हम दशमलव बिंदु को भागफल में रखते हैं, और विभाजित करना जारी रखते हैं, अब लाभांश में अल्पविराम पर ध्यान नहीं देते हैं।

परिणामस्वरूप, हमें दशमलव भिन्न 155 , 25 प्राप्त होता है, जो साधारण भिन्न 621 4 के व्युत्क्रमण का परिणाम है।

621 4 = 155 , 25

सामग्री को ठीक करने के लिए एक अन्य उदाहरण को हल करने पर विचार करें।

उदाहरण 6. साधारण भिन्नों को दशमलव में बदलना

आइए साधारण भिन्न 21 800 को उलट दें।

ऐसा करने के लिए, भिन्न 21,000 को 800 से एक कॉलम में विभाजित करें। पूर्णांक भाग का विभाजन पहले चरण में समाप्त हो जाएगा, इसलिए इसके तुरंत बाद हम भागफल में एक दशमलव बिंदु डालते हैं और विभाजन को जारी रखते हैं, लाभांश में अल्पविराम को अनदेखा करते हुए जब तक हमें शेष शून्य के बराबर नहीं मिलता है।

परिणामस्वरूप, हमें प्राप्त हुआ: 21 800 = 0 02625।

लेकिन क्या होगा अगर, विभाजित करते समय, हमें कभी भी शेषफल नहीं मिलता है। ऐसे मामलों में, विभाजन को अनिश्चित काल तक जारी रखा जा सकता है। हालांकि, एक निश्चित चरण से शुरू होकर, अवशिष्ट समय-समय पर दोहराए जाएंगे। तदनुसार, भागफल में संख्याओं को भी दोहराया जाएगा। इसका मतलब है कि एक साधारण अंश का दशमलव अनंत आवधिक अंश में अनुवाद किया जाता है। आइए उपरोक्त को एक उदाहरण के साथ स्पष्ट करें।

उदाहरण 7. साधारण भिन्नों को दशमलव में बदलना

आइए सामान्य भिन्न को 1944 को दशमलव में बदल दें। ऐसा करने के लिए, हम एक कॉलम द्वारा विभाजन करते हैं।

हम देखते हैं कि भाग देने पर शेषफल 8 और 36 की पुनरावृत्ति होती है। इसी समय, भागफल में संख्या 1 और 8 की पुनरावृत्ति होती है। यह दशमलव अंश में अवधि है। लिखते समय, इन नंबरों को कोष्ठक में लिया जाता है।

इस प्रकार, मूल साधारण अंश का अनंत आवधिक दशमलव अंश में अनुवाद किया जाता है।

19 44 = 0 , 43 (18) .

आइए हमारे पास एक इरेड्यूसबल साधारण अंश है। यह क्या रूप लेगा? कौन सी साधारण भिन्नों को परिमित दशमलव में और किन को अनंत आवर्त में परिवर्तित किया जाता है?

सबसे पहले, मान लें कि यदि किसी भिन्न को हर 10, 100, 1000... में से किसी एक में घटाया जा सकता है, तो यह अंतिम दशमलव भिन्न जैसा दिखेगा। इन हरों में से किसी एक के लिए एक अंश को कम करने के लिए, इसका हर 10, 100, 1000, आदि संख्याओं में से कम से कम एक का विभाजक होना चाहिए। संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करने के नियमों से, यह इस प्रकार है कि संख्या 10, 100, 1000, आदि का भाजक इस प्रकार है। अभाज्य गुणनखंडों में विघटित होने पर, केवल 2 और 5 संख्याएँ होनी चाहिए।

आइए संक्षेप में बताएं कि क्या कहा गया है:

1. एक साधारण भिन्न को अंतिम दशमलव भिन्न के रूप में घटाया जा सकता है यदि उसके हर को 2 और 5 के अभाज्य गुणनखंडों में विघटित किया जा सकता है।
2. यदि, संख्या 2 और 5 के अतिरिक्त, हर के विस्तार में अन्य अभाज्य संख्याएँ हैं, तो भिन्न एक अनंत आवधिक दशमलव भिन्न के रूप में कम हो जाती है।

आइए एक उदाहरण लेते हैं।

उदाहरण 8. साधारण भिन्नों को दशमलव में बदलना

दिए गए भिन्नों में से कौन सा अंश 47 20, 7 12, 21 56, 31 17 को अंतिम दशमलव भिन्न में परिवर्तित किया गया है, और कौन सा - केवल आवधिक एक में। हम इस प्रश्न का उत्तर एक साधारण भिन्न को सीधे दशमलव में बदले बिना देंगे।

भिन्न 47 20, जैसा कि आप आसानी से देख सकते हैं, अंश और हर को 5 से गुणा करने पर एक नया हर 100 हो जाता है।

4720 = 235100। इससे हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि इस भिन्न का अंतिम दशमलव भिन्न में अनुवाद किया जाता है।

भिन्न 7 12 के हर का गुणनखंड करने पर 12 = 2 2 3 प्राप्त होता है। चूँकि साधारण गुणनखंड 3 2 और 5 से भिन्न है, इस भिन्न को एक परिमित दशमलव भिन्न के रूप में नहीं दर्शाया जा सकता है, लेकिन यह एक अनंत आवर्त भिन्न का रूप धारण करेगा।

अंश 21 56, सबसे पहले, आपको कम करने की आवश्यकता है। 7 से घटाने के बाद, हमें एक अपरिमेय भिन्न 3 8 प्राप्त होता है, जिसके हर का गुणनखंडों में विस्तार करने पर 8 = 2 · 2 · 2 प्राप्त होता है। इसलिए, यह एक सांत दशमलव है।

भिन्न 31 17 के मामले में, हर का गुणनखंड अभाज्य संख्या 17 ही है। तदनुसार, इस भिन्न को अनंत आवर्त दशमलव भिन्न में बदला जा सकता है।

एक साधारण अंश को अनंत और गैर-दोहराव वाले दशमलव अंश में नहीं बदला जा सकता है

ऊपर, हमने केवल परिमित और अनंत आवर्त भिन्नों के बारे में बात की। लेकिन क्या किसी साधारण भिन्न को अनंत गैर-आवधिक भिन्न में बदला जा सकता है?

हम जवाब देते हैं: नहीं!

महत्वपूर्ण!

जब आप एक अनंत अंश को दशमलव में बदलते हैं, तो आपको या तो एक परिमित दशमलव अंश या एक अनंत आवधिक दशमलव अंश मिलता है।

एक भाग का शेष भाग हमेशा भाजक से छोटा होता है। दूसरे शब्दों में, विभाज्यता प्रमेय के अनुसार, यदि हम किसी प्राकृत संख्या को संख्या q से विभाजित करते हैं, तो किसी भी स्थिति में भाग का शेष भाग q-1 से बड़ा नहीं हो सकता। विभाजन की समाप्ति के बाद, निम्न स्थितियों में से एक संभव है:

1. हमें शेषफल 0 मिलता है, और यह वह जगह है जहाँ विभाजन समाप्त होता है।
2. हमें एक शेषफल मिलता है, जिसे बाद के विभाजन के दौरान दोहराया जाता है, परिणामस्वरूप हमारे पास एक अनंत आवर्त भिन्न होता है।

साधारण भिन्न को दशमलव में बदलने पर कोई अन्य विकल्प नहीं हो सकता है। आइए यह भी कहें कि अनंत आवधिक अंश में अवधि की लंबाई (अंकों की संख्या) हमेशा संबंधित साधारण अंश के हर में अंकों की संख्या से कम होती है।

दशमलव को उभयनिष्ठ भिन्नों में बदलें

अब समय आ गया है कि एक दशमलव भिन्न को एक साधारण अंश में बदलने की रिवर्स प्रक्रिया पर विचार किया जाए। आइए हम एक अनुवाद नियम तैयार करें जिसमें तीन चरण शामिल हों। दशमलव को सामान्य भिन्न में कैसे बदलें?

दशमलव भिन्नों को उभयनिष्ठ भिन्नों में बदलने का नियम

1. अंश में हम मूल दशमलव भिन्न से संख्या लिखते हैं, अल्पविराम और बाईं ओर के सभी शून्य, यदि कोई हो, को हटाते हैं।
2. हर में हम एक और उसके बाद उतने ही शून्य लिखते हैं जितने दशमलव बिंदु के बाद मूल दशमलव भिन्न में होते हैं।
3. यदि आवश्यक हो, तो परिणामी साधारण अंश को कम करें।

उदाहरण सहित इस नियम के लागू होने पर विचार करें।

उदाहरण 8. दशमलव को साधारण में बदलना

आइए संख्या 3, 025 को एक साधारण भिन्न के रूप में निरूपित करें।

1. अंश में हम अल्पविराम को छोड़कर दशमलव अंश को ही लिखते हैं: 3025।
2. हर में हम एक लिखते हैं, और उसके बाद तीन शून्य - यानी दशमलव बिंदु के बाद मूल अंश में कितने अंक होते हैं: 3025 1000।
3. परिणामी भिन्न 3025 1000 को 25 से घटाया जा सकता है, परिणामस्वरूप हमें प्राप्त होता है: 3025 1000 = 121 40।

उदाहरण 9. दशमलव को साधारण में बदलना

आइए भिन्न 0, 0017 को दशमलव से साधारण में बदलें।

1. अंश में हम बाईं ओर अल्पविराम और शून्य को छोड़कर भिन्न 0, 0017 लिखते हैं। 17 प्राप्त करें।
2. हम हर में एक लिखते हैं, और उसके बाद हम चार शून्य लिखते हैं: 17,000,000। यह अंश अपूरणीय है।

यदि दशमलव भिन्न में कोई पूर्णांक भाग हो तो ऐसी भिन्न को तुरंत मिश्रित संख्या में बदला जा सकता है। यह कैसे करना है?

आइए एक और नियम बनाते हैं।

दशमलव अंशों को मिश्रित संख्याओं में बदलने का नियम।

1. दशमलव बिंदु तक की संख्या को मिश्रित संख्या के पूर्णांक भाग के रूप में लिखा जाता है।
2. अंश में, हम दशमलव बिंदु के बाद भिन्न में जो संख्या लिखते हैं, बाईं ओर शून्य को छोड़कर, यदि कोई हो, लिखते हैं।
3. भिन्नात्मक भाग के हर में हम एक और उतने ही शून्य जोड़ते हैं जितने दशमलव बिंदु के बाद भिन्नात्मक भाग में अंक होते हैं।

आइए एक उदाहरण देखें

उदाहरण 10: दशमलव को मिश्रित संख्या में बदलना

आइए भिन्न 155, 06005 को मिश्रित संख्या के रूप में निरूपित करें।

1. हम संख्या 155 को एक पूर्णांक भाग के रूप में लिखते हैं।
2. अंश में हम शून्य को छोड़कर दशमलव बिंदु के बाद की संख्याएँ लिखते हैं।
3. हर में हम एक और पांच शून्य लिखते हैं

मिश्रित संख्या पढ़ाना: 155 6005 100000

भिन्नात्मक भाग को 5 से कम किया जा सकता है। हम कम करते हैं, और हमें अंतिम परिणाम मिलता है:

155 , 06005 = 155 1201 20000

अनंत आवर्ती दशमलव को सामान्य भिन्नों में बदलना

आइए उदाहरणों को देखें कि कैसे आवधिक दशमलव अंशों का साधारण अंशों में अनुवाद किया जाए। शुरू करने से पहले, आइए स्पष्ट करें: किसी भी आवधिक दशमलव अंश को सामान्य में बदला जा सकता है।

सबसे सरल मामला यह है कि भिन्न की अवधि शून्य है। एक शून्य अवधि के साथ एक आवधिक अंश को एक परिमित दशमलव अंश से बदल दिया जाता है, और इस तरह के एक अंश को बदलने की प्रक्रिया को अंतिम दशमलव अंश को उलटने के लिए कम कर दिया जाता है।

उदाहरण 11. एक आवर्त दशमलव को एक सामान्य भिन्न में बदलना

आइए आवर्त भिन्न 3, 75 (0) को उल्टा करें।

शून्य को दाईं ओर छोड़ने पर, हमें अंतिम दशमलव भिन्न 3, 75 प्राप्त होता है।

पिछले पैराग्राफ में चर्चा की गई एल्गोरिदम के अनुसार इस अंश को सामान्य में बदलना, हम प्राप्त करते हैं:

3 , 75 (0) = 3 , 75 = 375 100 = 15 4 .

क्या होगा यदि भिन्न का आवर्त शून्येतर हो? आवधिक भाग को एक ज्यामितीय प्रगति के सदस्यों के योग के रूप में माना जाना चाहिए, जो घट रहा है। आइए इसे एक उदाहरण से समझाते हैं:

0 , (74) = 0 , 74 + 0 , 0074 + 0 , 000074 + 0 , 00000074 + . .

एक अनंत घटती ज्यामितीय प्रगति की शर्तों के योग के लिए एक सूत्र है। यदि प्रगति का पहला पद b है और q का हर ऐसा है कि 0< q < 1 , то сумма равна b 1 - q .

आइए इस सूत्र का उपयोग करते हुए कुछ उदाहरण देखें।

उदाहरण 12. एक आवर्त दशमलव को एक सामान्य भिन्न में बदलना

मान लीजिए कि हमारे पास एक आवधिक अंश 0, (8) है और हमें इसे एक साधारण अंश में बदलने की आवश्यकता है।

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . .

यहां हमारे पास अनंत घट रहा है ज्यामितीय अनुक्रमपहले सदस्य 0 , 8 और हर 0 , 1 के साथ।

आइए सूत्र लागू करें:

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . . = 0 , 8 1 - 0 , 1 = 0 , 8 0 , 9 = 8 9

यह वांछित साधारण अंश है।

सामग्री को समेकित करने के लिए, एक और उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण 13. एक आवर्त दशमलव को साधारण में बदलना

भिन्न 0 , 43 (18) को उल्टा करें।

सबसे पहले, हम भिन्न को अनंत योग के रूप में लिखते हैं:

0 , 43 (18) = 0 , 43 + (0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . .)

कोष्ठक में शर्तों पर विचार करें। इस ज्यामितीय प्रगति को निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है:

0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . . = 0 , 0018 1 - 0 , 01 = 0 , 0018 0 , 99 = 18 9900 .

हम परिणामी अंश को अंतिम अंश 0, 43 \u003d 43 100 में जोड़ते हैं और हमें परिणाम मिलता है:

0 , 43 (18) = 43 100 + 18 9900

इन भिन्नों को जोड़ने और घटाने के बाद, हमें अंतिम उत्तर मिलता है:

0 , 43 (18) = 19 44

इस लेख के अंत में, हम कहेंगे कि गैर-आवधिक अनंत दशमलव अंशों को साधारण भिन्नों में परिवर्तित नहीं किया जा सकता है।

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फिर बटन दबाएं, और कार्य पूरा हो गया है। नतीजतन, आपको या तो एक पूर्णांक या दशमलव अंश मिलेगा। एक दशमलव अंश के बाद एक लंबा शेष रह सकता है। इस मामले में, अंश को एक निश्चित अंक तक गोल किया जाना चाहिए, जिसकी आपको गोलाई का उपयोग करने की आवश्यकता होती है (5 तक की संख्या को गोल किया जाता है, 5 समावेशी और अधिक - ऊपर से)।

यदि कैलकुलेटर हाथ में नहीं है, लेकिन आपको करना होगा। एक भिन्न के अंश को हर के साथ लिखें, उनके बीच एक छोटा कोना, अर्थ। उदाहरण के लिए, भिन्न 10/6 को एक संख्या में बदलें। आरंभ करने के लिए, 10 को 6 से विभाजित करें। यह निकला 1. परिणाम को एक कोने में लिखें। 1 को 6 से गुणा करने पर, आपको 6 प्राप्त होता है। 10 में से 6 घटाएं। आपको शेष 4 प्राप्त होता है। शेष को फिर से 6 से विभाजित किया जाना चाहिए। 0 को 4 में जोड़ें, और 40 को 6 से विभाजित करें। 6 प्राप्त करें। परिणाम में 6 लिखें। , दशमलव बिंदु के बाद। 6 को 6 से गुणा करें। आपको 36 मिलता है। 40 में से 36 घटाएं। आपको शेष 4 फिर से मिलता है। फिर आप जारी नहीं रख सकते, क्योंकि यह स्पष्ट हो जाता है कि परिणाम संख्या 1.66 (6) होगी। दिए गए भिन्न को उस अंक में गोल करें जिसकी आपको आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, 1.67. यह अंतिम परिणाम है।

संबंधित लेख

स्रोत:

• भिन्नों को पूर्ण संख्याओं में बदलना

उन संख्याओं को दर्शाने के लिए भिन्नों की आवश्यकता होती है जिनमें इकाई के एक या अधिक भाग होते हैं। शब्द "अंश" लैटिन फ्रैक्चुरा से आया है, जिसका अर्थ है "कुचलना, तोड़ना"। साधारण और दशमलव भिन्न हैं। उसी समय, साधारण भिन्नों में, एक इकाई को किसी भी संख्या में भागों में विभाजित किया जा सकता है, और दशमलव अंशों में, यह संख्या 10 का गुणक होना चाहिए। कोई भी अंश साधारण और दशमलव दोनों हो सकता है।

आपको चाहिये होगा

• परिणाम की गणना करने के लिए, आपको एक कैलकुलेटर या कागज के एक टुकड़े और एक पेन की आवश्यकता होगी।

अनुदेश

तो, शुरुआत के लिए, एक साधारण अंश लें और इसे भागों में विभाजित करें। उदाहरण के लिए, 2 1/8, जिसमें 2 एक पूर्णांक भाग है, और 1/8 एक भिन्न है। इससे आप देख सकते हैं कि संख्या को 8 से विभाजित किया गया था, लेकिन केवल एक ही लिया गया था। जो भाग लिया गया था वह अंश है, और जिन भागों में इसे विभाजित किया गया है, वह हर है।

टिप्पणी

अक्सर ऐसे अंश होते हैं जिन्हें दशमलव में पूरी तरह से परिवर्तित नहीं किया जा सकता है। यह वह जगह है जहाँ गोलाई काम आती है। अगर आप हजारवें तक चक्कर लगाना चाहते हैं, तो दशमलव बिंदु के बाद चौथी संख्या देखें। यदि यह 5 से कम है, तो उत्तर में दशमलव बिंदु के बाद के पहले तीन अंक बिना परिवर्तन के लिख दें, अन्यथा तीनों के अंतिम अंक में एक जोड़ा जाना चाहिए। उदाहरण के लिए, 0.89643123 को 0.896 के रूप में लिखा जा सकता है, लेकिन 0.89663123 को 0.897 के रूप में लिखा जा सकता है।

उपयोगी सलाह

यदि आप परिणाम की गणना मैन्युअल रूप से करते हैं, तो अंश को विभाजित करने से पहले, इसे जितना संभव हो उतना कम करना बेहतर होता है, और इसके पूरे भागों का चयन करना भी बेहतर होता है।

स्रोत:

• भिन्नों को कैसे परिवर्तित करें

अंशसूत्रों के तत्वों में से एक है जिसके इनपुट के लिए वर्ड प्रोसेसर वर्ड में एक माइक्रोसॉफ्ट इक्वेशन टूल है। इसके साथ, आप कोई भी जटिल गणितीय या . दर्ज कर सकते हैं भौतिक सूत्र, समीकरण और अन्य तत्व जिनमें विशेष वर्ण शामिल हैं।

अनुदेश

Microsoft समीकरण टूल लॉन्च करने के लिए, आपको पते पर जाने की आवश्यकता है: "इन्सर्ट" -> "ऑब्जेक्ट", खुलने वाले डायलॉग बॉक्स में, सूची से पहले टैब पर, Microsoft समीकरण का चयन करें और "ओके" पर क्लिक करें या डबल- चयनित आइटम पर क्लिक करें। संपादक को लॉन्च करने के बाद, आपके सामने एक टूलबार खुलेगा और एक इनपुट फ़ील्ड प्रदर्शित होगी: एक बिंदीदार में एक आयत। टूलबार को खंडों में विभाजित किया गया है, जिनमें से प्रत्येक में क्रिया संकेतों या अभिव्यक्तियों का एक सेट होता है। जब आप किसी एक अनुभाग पर क्लिक करते हैं, तो उसमें मौजूद टूल की एक सूची विस्तृत हो जाएगी। खुलने वाली सूची से, वांछित प्रतीक का चयन करें और उस पर क्लिक करें। एक बार चयनित होने पर, निर्दिष्ट वर्ण दस्तावेज़ में चयनित आयत में दिखाई देगा।

वह खंड जिसमें भिन्न लिखने के लिए तत्व होते हैं, टूलबार की दूसरी पंक्ति में स्थित होता है। जब आप अपना माउस कर्सर उस पर मँडराते हैं, तो आपको टूलटिप "फ्रैक्शन और रेडिकल पैटर्न" दिखाई देगा। एक बार किसी अनुभाग पर क्लिक करें और सूची का विस्तार करें। ड्रॉप-डाउन मेनू में क्षैतिज और तिरछी भिन्नों के लिए टेम्पलेट हैं। दिखाई देने वाले विकल्पों में से, आप वह चुन सकते हैं जो आपके कार्य के अनुकूल हो। वांछित विकल्प पर क्लिक करें। क्लिक करने के बाद, दस्तावेज़ में खुलने वाले इनपुट फ़ील्ड में, एक अंश चिह्न और अंक और हर में प्रवेश करने के लिए स्थान, एक बिंदीदार रेखा द्वारा तैयार किए गए, दिखाई देंगे। डिफॉल्ट कर्सर स्वचालित रूप से अंश में प्रवेश करने के लिए फ़ील्ड में रखा जाता है। अंकगणित दर्ज करें। संख्याओं के अलावा, आप प्रतीक, अक्षर या क्रिया चिह्न भी दर्ज कर सकते हैं। उन्हें कीबोर्ड और Microsoft समीकरण टूलबार के संबंधित अनुभागों से दोनों में दर्ज किया जा सकता है। अंश जल के बाद, हर पर जाने के लिए TAB कुंजी दबाएं। आप हर में प्रवेश करने के लिए फ़ील्ड में माउस को क्लिक करके भी जा सकते हैं। एक बार लिखे जाने के बाद, दस्तावेज़ में कहीं भी माउस पॉइंटर से क्लिक करें, टूलबार बंद हो जाएगा, अंश इनपुट पूरा हो जाएगा। संपादित करने के लिए, बाईं माउस बटन से उस पर डबल-क्लिक करें।

यदि, जब आप मेनू "सम्मिलित करें" -> "ऑब्जेक्ट" खोलते हैं, तो आपको सूची में Microsoft समीकरण उपकरण नहीं मिला, आपको इसे स्थापित करने की आवश्यकता है। संस्थापन डिस्क, डिस्क छवि, या Word वितरण फ़ाइल चलाएँ। दिखाई देने वाली इंस्टॉलर विंडो में, "घटक जोड़ें या निकालें" चुनें। अलग-अलग घटकों को जोड़ना या हटाना" और "अगला" पर क्लिक करें। अगली विंडो में, आइटम "उन्नत एप्लिकेशन सेटिंग्स" की जांच करें। अगला पर क्लिक करें। अगली विंडो में, सूची आइटम "कार्यालय उपकरण" ढूंढें और बाईं ओर धन चिह्न पर क्लिक करें। विस्तारित सूची में, हम "सूत्र संपादक" आइटम में रुचि रखते हैं। "सूत्र संपादक" के बगल में स्थित आइकन पर क्लिक करें और खुलने वाले मेनू में, "कंप्यूटर से चलाएं" पर क्लिक करें। उसके बाद, "अपडेट" पर क्लिक करें और आवश्यक घटक स्थापित होने तक प्रतीक्षा करें।

अक्सर स्कूली गणित के पाठ्यक्रम में, बच्चों को इस समस्या का सामना करना पड़ता है कि एक सामान्य भिन्न को दशमलव में कैसे बदला जाए। एक उभयनिष्ठ भिन्न को दशमलव में बदलने के लिए, आइए पहले याद करें कि एक उभयनिष्ठ भिन्न और एक दशमलव भिन्न क्या हैं। एक उभयनिष्ठ भिन्न, m/n के रूप का एक भिन्न है, जहाँ m अंश है और n हर है। उदाहरण: 8/13; 6/7 आदि। भिन्नों को नियमित, अनुचित और मिश्रित संख्याओं में विभाजित किया जाता है। एक उचित अंश तब होता है जब अंश हर से कम होता है: एम / एन, जहां एम 3. एक अनुचित अंश को हमेशा मिश्रित संख्या के रूप में दर्शाया जा सकता है, अर्थात्: 4/3 \u003d 1 और 1/3;

साधारण भिन्न को दशमलव में बदलना

अब आइए देखें कि मिश्रित भिन्न को दशमलव में कैसे बदला जाए। कोई भी साधारण भिन्न, चाहे वह सही हो या गलत, को दशमलव में बदला जा सकता है। ऐसा करने के लिए, आपको अंश को हर से विभाजित करने की आवश्यकता है। उदाहरण: साधारण अंश(सही) 1/2। हम अंश 1 को हर 2 से विभाजित करते हैं, हमें 0.5 मिलता है। 45/12 का उदाहरण लें, तो यह तुरंत स्पष्ट हो जाता है कि यह एक अनुचित भिन्न है। यहाँ हर अंश से छोटा है। हम अनुचित अंश को दशमलव में बदल देते हैं: 45: 12 \u003d 3.75।

मिश्रित संख्याओं को दशमलव में बदलें

उदाहरण: 25/8। सबसे पहले, हम मिश्रित संख्या को एक अनुचित भिन्न में बदलते हैं: 25/8 = 3x8+1/8 = 3 और 1/8; फिर हम 1 के बराबर अंश को 8 के बराबर हर से विभाजित करते हैं, एक कॉलम में या कैलकुलेटर पर, और हमें 0.125 के बराबर दशमलव अंश मिलता है। लेख दशमलव अंशों में बदलने का सबसे आसान उदाहरण प्रदान करता है। सरल उदाहरणों का उपयोग करके अनुवाद तकनीक को समझने के बाद, आप सबसे जटिल को आसानी से हल कर सकते हैं।