गणित: भिन्नों के साथ क्रियाएँ। दशमलव और सामान्य अंशों के साथ संचालन। दशमलव

गणित में विभिन्न प्रकार केइसकी स्थापना के बाद से संख्याओं का अध्ययन किया गया है। मौजूद एक बड़ी संख्या कीसेट और संख्याओं के सबसेट। इनमें पूर्णांक, परिमेय, अपरिमेय, प्राकृतिक, सम, विषम, जटिल और भिन्नात्मक हैं। आज हम अंतिम सेट - भिन्नात्मक संख्याओं के बारे में जानकारी का विश्लेषण करेंगे।

अंशों की परिभाषा

फ्रैक्शंस ऐसी संख्याएँ होती हैं जिनमें एक पूरे भाग और एक इकाई के अंश होते हैं। पूर्णांकों की तरह, दो पूर्णांकों के बीच अनंत संख्या में भिन्नात्मक संख्याएँ होती हैं। गणित में, पूर्णांकों और प्राकृतिक संख्याओं की तरह, भिन्नों के साथ संक्रियाएँ की जाती हैं। यह काफी सरल है और इसे कुछ पाठों में सीखा जा सकता है।

लेख दो प्रकार प्रस्तुत करता है

सामान्य अंश

साधारण अंश पूर्णांक भाग a और दो संख्याएँ होती हैं जिन्हें भिन्नात्मक बार b/c के माध्यम से लिखा जाता है। यदि भिन्नात्मक भाग को तर्कसंगत दशमलव रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है तो सामान्य अंश अत्यंत उपयोगी हो सकते हैं। इसके अलावा, भिन्नात्मक रेखा के माध्यम से अंकगणितीय संचालन करना अधिक सुविधाजनक है। शीर्ष भाग को अंश कहा जाता है, निचला भाग भाजक होता है।

साधारण अंशों के साथ क्रियाएँ: उदाहरण

एक अंश की मूल संपत्ति। परअंश और हर को एक ही संख्या से गुणा करना जो शून्य नहीं है, परिणाम दी गई एक के बराबर संख्या है। एक अंश की यह संपत्ति जोड़ने के लिए एक भाजक लाने में मदद करती है (इस पर नीचे चर्चा की जाएगी) या एक अंश को कम करने, इसे गिनती के लिए और अधिक सुविधाजनक बनाने में मदद करता है। ए/बी = ए*सी/बी*सी. उदाहरण के लिए, 36/24 = 6/4 या 9/13 = 18/26

एक आम भाजक में कमी।एक भिन्न के भाजक को लाने के लिए, आपको भाजक को गुणनखंडों के रूप में प्रस्तुत करना होगा, और फिर लापता संख्याओं से गुणा करना होगा। उदाहरण के लिए, 7/15 और 12/30; 7/5*3 और 12/5*3*2। हम देखते हैं कि भाजक दो से भिन्न होते हैं, इसलिए हम पहले भिन्न के अंश और हर को 2 से गुणा करते हैं। हमें मिलता है: 14/30 और 12/30।

यौगिक अंश- हाइलाइट किए गए पूर्णांक भाग के साथ साधारण अंश। (ए बी/सी) एक संयुक्त अंश को एक सामान्य अंश के रूप में प्रस्तुत करने के लिए, भिन्न के सामने की संख्या को भाजक से गुणा करें और फिर इसे अंश में जोड़ें: (A*c + b)/c।

अंशों के साथ अंकगणितीय संचालन

प्रसिद्ध पर विचार करना अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगा अंकगणितीय आपरेशनसकेवल भिन्नात्मक संख्याओं के साथ व्यवहार करते समय।

जोड़ना और घटाना।भिन्नों को जोड़ना और घटाना पूर्ण संख्याओं जितना ही आसान है, एक कठिनाई को छोड़कर - एक भिन्नात्मक बार की उपस्थिति। के साथ भिन्नों को जोड़ना समान भाजक, दोनों अंशों के केवल अंशों को जोड़ना आवश्यक है, भाजक अपरिवर्तित रहते हैं। उदाहरण के लिए: 5/7 + 1/7 = (5+1)/7 = 6/7

यदि दो भिन्नों के हर हैं अलग संख्यासबसे पहले आपको उन्हें एक आम में लाने की जरूरत है (यह कैसे करें ऊपर चर्चा की गई थी)। 1/8 + 3/2 = 1/2*2*2 + 3/2 = 1/8 + 3*4/2*4 = 1/8 + 12/8 = 13/8। घटाव बिल्कुल उसी सिद्धांत के अनुसार होता है: 8/9 - 2/3 \u003d 8/9 - 6/9 \u003d 2/9।

गुणन और भाग। कार्रवाईगुणन द्वारा अंशों के साथ होता है निम्नलिखित सिद्धांत: अंश और हर को अलग-अलग गुणा किया जाता है। में सामान्य रूप से देखेंगुणन सूत्र इस तरह दिखता है: a/b *c/d = a*c/b*d. इसके अलावा, जैसे-जैसे आप गुणा करते हैं, आप अंश और हर से समान कारकों को हटाकर अंश को कम कर सकते हैं। दूसरी भाषा में, अंश और हर एक ही संख्या से विभाज्य होते हैं: 4/16 = 4/4*4 = 1/4।

एक साधारण अंश को दूसरे से विभाजित करने के लिए, आपको भाजक के अंश और हर को बदलने की आवश्यकता है और पहले बताए गए सिद्धांत के अनुसार दो भिन्नों का गुणन करना होगा: 5/11: 25/11 = 5/11 * 11/25 = 5*11/11*25 = 1/5

दशमलव

दशमलव भिन्नात्मक संख्याओं का अधिक लोकप्रिय और आमतौर पर इस्तेमाल किया जाने वाला संस्करण है। उन्हें एक पंक्ति में लिखना या कंप्यूटर पर प्रस्तुत करना आसान होता है। संरचना दशमलव अंशइस प्रकार: पहले पूर्णांक लिखा जाता है, और फिर दशमलव बिंदु के बाद भिन्नात्मक भाग लिखा जाता है। उनके मूल में, दशमलव अंश मिश्रित अंश होते हैं, लेकिन उनके भिन्नात्मक भाग को 10 के गुणक से विभाजित संख्या द्वारा दर्शाया जाता है। इसलिए उनका नाम। दशमलव अंशों के साथ संचालन पूर्णांकों के साथ संचालन के समान हैं, क्योंकि वे दशमलव संख्या प्रणाली में भी लिखे गए हैं। साथ ही, साधारण भिन्नों के विपरीत, दशमलव अपरिमेय हो सकते हैं। इसका मतलब है कि वे अनंत हो सकते हैं। इन्हें 7,(3) के रूप में लिखा गया है। निम्नलिखित प्रविष्टि पढ़ी जाती है: अवधि में सात पूरे, तीन दसवें।

दशमलव संख्या के साथ मूल संचालन

दशमलव अंशों का जोड़ और घटाव।पूर्ण प्राकृतिक संख्याओं की तुलना में भिन्नों के साथ क्रिया करना अधिक कठिन नहीं है। नियम बिल्कुल वही हैं जो जोड़ या घटाव के लिए उपयोग किए जाते हैं। प्राकृतिक संख्या. उन्हें भी इसी तरह एक स्तंभ माना जा सकता है, लेकिन यदि आवश्यक हो, तो लापता स्थानों को शून्य से बदल दें। उदाहरण के लिए: 5.5697 - 1.12। कॉलम घटाव करने के लिए, आपको दशमलव बिंदु के बाद संख्याओं की संख्या को बराबर करना होगा: (5.5697 - 1.1200)। इसलिए, संख्यात्मक मान नहीं बदलेगा और एक कॉलम में गिना जा सकता है।

यदि उनमें से एक का अपरिमेय रूप है, तो दशमलव अंशों के साथ संचालन नहीं किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, आपको दोनों संख्याओं को साधारण अंशों में बदलने की आवश्यकता है, और फिर पहले बताई गई तकनीकों का उपयोग करें।

गुणन और भाग।दशमलव को गुणा करना प्राकृतिक संख्याओं को गुणा करने के समान है। उन्हें एक कॉलम से गुणा भी किया जा सकता है, केवल अल्पविराम को अनदेखा करते हुए, और फिर अंतिम मान में अंकों की समान संख्या के रूप में अल्पविराम से अलग किया जाता है क्योंकि दशमलव बिंदु के बाद योग दो दशमलव अंशों में होता है। उदाहरण के लिए, 1.5 * 2.23 = 3.345। सब कुछ बहुत सरल है, और यदि आप पहले से ही प्राकृतिक संख्याओं के गुणन में महारत हासिल कर चुके हैं, तो कठिनाइयों का कारण नहीं बनना चाहिए।

डिवीजन भी प्राकृतिक संख्या के विभाजन के साथ मेल खाता है, लेकिन थोड़ा विषयांतर के साथ। में विभाजित करना दशमलव संख्याकॉलम, आपको विभाजक में अल्पविराम को त्यागना होगा, और भाजक में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या से लाभांश को गुणा करना होगा। फिर प्राकृतिक संख्याओं की तरह विभाजन करें। अधूरे विभाजन के साथ, आप दशमलव बिंदु के बाद शून्य जोड़कर दाईं ओर लाभांश में शून्य जोड़ सकते हैं।

दशमलव अंशों के साथ क्रियाओं के उदाहरण।अंकगणितीय गणना के लिए दशमलव एक बहुत ही उपयोगी उपकरण है। वे प्राकृतिक, संपूर्ण संख्याओं और सामान्य भिन्नों की शुद्धता की सुविधा को जोड़ते हैं। इसके अलावा, एक अंश को दूसरे में बदलना काफी सरल है। भिन्नों के साथ संक्रियाएँ प्राकृतिक संख्याओं वाले संक्रियाओं से भिन्न नहीं हैं।

1. जोड़: 1.5 + 2.7 = 4.2
2. घटाव: 3.1 - 1.6 = 1.5
3. गुणन: 1.7 * 2.3 = 3.91
4. डिवीजन: 3.6: 0.6 = 6

इसके अलावा, दशमलव प्रतिशत का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयुक्त हैं। इसलिए, 100% = 1; 60% = 0.6; और इसके विपरीत: 0.659 = 65.9%।

भिन्नों के बारे में आपको बस इतना ही पता होना चाहिए। लेख में दो प्रकार के अंशों पर विचार किया गया - साधारण और दशमलव। दोनों की गणना करना काफी आसान है, और यदि आपके पास प्राकृतिक संख्याओं और उनके साथ संचालन की पूरी महारत है, तो आप सुरक्षित रूप से भिन्नात्मक सीखना शुरू कर सकते हैं।

सिलाई कार्यशाला में 5 रिबन रंग थे। नीले रिबन की तुलना में लाल रिबन 2.4 मीटर अधिक था, लेकिन हरे रिबन से 3.8 मीटर कम था। सफेद रिबन काले वाले से 1.5 मीटर अधिक था, लेकिन हरे रंग से 1.9 मीटर कम था। वर्कशॉप में कितने मीटर टेप थे यदि सफेद टेप 7.3 मीटर था?

समाधान
• 1) 7.3 + 1.9 = 9.2 (एम) ग्रीन टेप वर्कशॉप में था;
• 2) 7.3 - 1.5 = 5.8 (एम) काला टेप;
• 3) 9.2 - 3.8 = 5.4 (एम) लाल रिबन;
• 4) 5.4 - 2.4 = 3 (एम) नीला रिबन;
• 5) 7.3 + 9.2 + 5.8 + 5.4 + 3 = 30.7 (एम)।
• उत्तर: वर्कशॉप में कुल मिलाकर 30.7 मीटर टेप थे।

कार्य 2

आयताकार खंड की लंबाई 19.4 मीटर है, और चौड़ाई 2.8 मीटर कम है। क्षेत्र की परिधि की गणना करें।

समाधान
• 1) 19.4 - 2.8 = 16.6 (एम) प्लॉट की चौड़ाई;
• 2) 16.6 * 2 + 19.4 * 2 = 33.2 + 38.8 = 72 (एम)।
• उत्तर प्लॉट का परिमाप 72 मीटर है।

कार्य 3

कंगारू जंप की लंबाई 13.5 मीटर तक हो सकती है। मानव के लिए विश्व रिकॉर्ड 8.95 मीटर है। कंगारू कितनी दूर तक छलांग लगा सकता है?

समाधान
• 1) 13.5 - 8.95 = 4.55 (एम)।
• 2) उत्तर: कंगारू 4.55 मीटर आगे कूदता है।

कार्य 4

21 जुलाई, 1983 की गर्मियों में, ग्रह पर सबसे कम तापमान अंटार्कटिका के वोस्तोक स्टेशन पर दर्ज किया गया था, और -89.2 ° C था, और 13 सितंबर, 1922 को एल अज़ीज़िया शहर में सबसे गर्म +57.8 था। डिग्री सेल्सियस तापमान के बीच अंतर की गणना करें।

समाधान
• 1) 89.2 + 57.8 = 147°C।
• उत्तर: तापमान के बीच का अंतर 147°C है।



कार्य 5

गज़ेल वैन की वहन क्षमता 1.5 टन है, और बेलाज़ खनन डंप ट्रक 24 गुना बड़ा है। BelAZ डंप ट्रक की भार क्षमता की गणना करें।

समाधान
• 1) 1.5 * 24 = 36 (टन)।
• उत्तर: बेलाज की वहन क्षमता 36 टन है।

टास्क 6

पृथ्वी की अपनी कक्षा में अधिकतम गति 30.27 किमी/सेकण्ड तथा बुध की गति 17.73 किमी अधिक है। बुध अपनी कक्षा में कितनी तेजी से है?

समाधान
• 1) 30.27 + 17.73 = 48 (किमी/सेकंड)।
• उत्तर: बुध की कक्षीय गति 48 किमी/सेकेंड है।

टास्क 7

गहराई मेरियाना गर्त 11.023 किमी है, और की ऊंचाई ऊंचे पहाड़दुनिया में - चोमोलुंगमी समुद्र तल से 8.848 किमी ऊपर। इन दो बिंदुओं के बीच के अंतर की गणना करें।

समाधान
• 1) 11.023 + 8.848 = 19.871 (किमी)।
• उत्तर: 19.871 किमी।

टास्क 8

कोल्या के लिए, किसी के लिए भी स्वस्थ व्यक्ति, शरीर का सामान्य तापमान 36.6 ° C है, और उसके चार पैर वाले दोस्त शारिक के लिए यह 2.2 ° C अधिक है। शारिक के लिए कौन सा तापमान सामान्य माना जाता है?

समाधान
• 1) 36.6 + 2.2 = 38.8°C।
• उत्तर: शारिक के शरीर का सामान्य तापमान 38.8°C होता है।

टास्क 9

चित्रकार ने 1 दिन में 18.6 वर्ग मीटर बाड़ को चित्रित किया, और उसके सहायक ने 4.4 वर्ग मीटर कम चित्रित किया। कार्य सप्ताह के दौरान पेंटर और उसका सहायक कितने एम2 बाड़ को पेंट करेंगे, यदि यह पांच दिनों के बराबर है?

समाधान
• 1) 18.6 - 4.4 \u003d 14.2 (वर्ग मीटर) सहायक चित्रकार द्वारा 1 दिन में चित्रित किया जाएगा;
• 2) 14.2 + 18.6 = 32.8 (एम²) 1 दिन में एक साथ पेंट किया जाएगा;
• 3) 32.8 * 5 = 164 (एम²)।
• उत्तर: कार्य सप्ताह के दौरान, पेंटर और उसका सहायक एक साथ 164 वर्ग मीटर बाड़ को पेंट करेंगे।

टास्क 10

एक ही समय में दो नावें दो घाटों से एक दूसरे की ओर चलीं। एक नाव की गति 42.2 किमी/घंटा है और दूसरी 6 किमी/घंटा अधिक है। यदि घाटों के बीच की दूरी 140.5 किमी है तो 2.5 घंटे बाद नावों के बीच की दूरी कितनी होगी?

समाधान
• 1) 42.2 + 6 = 48.2 (किमी/घंटा) दूसरी नाव की गति;
• 2) 42.2 * 2.5 = 105.5 (किमी) 2.5 घंटे में पहली नाव को पार कर जाएगा;
• 3) 48.2 * 2.5 = 120.5 (किमी) 2.5 घंटे में दूसरी नाव को पार करेगा;
• 4) 140.5 - 105.5 = 35 (किमी) पहली नाव से विपरीत घाट तक की दूरी;
• 5) 140.5 - 120, 5 = 20 (किमी) दूसरी नाव से विपरीत घाट तक की दूरी;
• 6) 35 + 20 = 55 (किमी);
• 7) 140 - 55 = 85 (किमी)।
• उत्तर: नावों के बीच 85 किमी की दूरी होगी।

टास्क 11

हर दिन एक साइकिल सवार 30.2 किमी की दूरी तय करता है। एक मोटर साइकिल चालक, यदि वह उतना ही समय व्यतीत करता है, तो वह एक साइकिल चालक की तुलना में 2.5 गुना अधिक दूरी तय करेगा। एक मोटरसाइकिल सवार 4 दिनों में कितनी दूरी तय कर सकता है?

समाधान
• 1) 30.2 * 2.5 = 75.5 (किमी) एक मोटरसाइकिल सवार 1 दिन में पार कर लेगा;
• 2) 75.5 * 4 = 302 (किमी)।
• उत्तर: एक मोटरसाइकिल सवार 4 दिनों में 302 किमी की दूरी तय कर सकता है।

टास्क 12

स्टोर ने 1 दिन में 18.3 किलो कुकीज और 2.4 किलो कम मिठाइयाँ बेचीं। उस दिन स्टोर में कुल कितनी मिठाइयाँ और कुकीज़ बेची गईं?

समाधान
• 1) 18.3 - 2, 4 = 15.9 (किलो) मिठाई स्टोर में बेची गई;
• 2) 15.9 + 18.3 = 34.2 (किग्रा)।
• उत्तर: 34.2 किलो मिठाइयां और कुकीज बिकीं।



उदाहरण:

दशमलव में अल्पविराम अलग करता है:
1) भिन्नात्मक का पूर्णांक भाग;
2) साधारण भिन्न के हर में जितने चिन्ह शून्य होते हैं।

दशमलव को सामान्य भिन्न में कैसे बदलें?

उदाहरण के लिए, \(0.35\) "शून्य बिंदु, पैंतीस सौवां" पढ़ता है। अतः हम लिखते हैं: \(0 \frac(35)(100)\). पूर्णांक भाग शून्य के बराबर है, अर्थात, इसे केवल लिखा नहीं जा सकता है, और भिन्नात्मक भाग को \(5\) से कम किया जा सकता है।
हमें मिलता है: \(0,35=0\frac(35)(100)=\frac(35)(100)=\frac(7)(20)\)।
और उदाहरण: \(2,14=2\frac(14)(100)=\frac(214)(100)=\frac(107)(50)\);
\(7,026=7\frac(26)(1000)=\frac(7026)(1000)\)।

यह परिवर्तन और भी तेजी से किया जा सकता है:

अंश में एक अल्पविराम के बिना पूरी संख्या लिखें, और भाजक में - एक और कई शून्य, जितने अंक एक अल्पविराम द्वारा अलग किए गए थे।

जटिल लगता है, इसलिए चित्र देखें:

आप एक सामान्य भिन्न को दशमलव में कैसे बदलते हैं?

ऐसा करने के लिए, भिन्न के अंश और हर को ऐसी संख्या से गुणा करें कि हर \(10\), \(100\),\(1000\), आदि हो, और फिर परिणाम को दशमलव रूप में लिखें।

उदाहरण:\(\frac(3)(5)\) \(=\)\(\frac(3\cdot 2)(5\cdot 2)\) \(=\)\(\frac(6)(10) \) \ (= 0.6 \); \(\frac(63)(25)\) \(=\frac(63 \cdot 4)(25\cdot 4)\)\(=\)\(\frac(252)(100)\) \(=2,52\); \(\frac(7)(200)\) \(=\) \(\frac(7 \cdot 5)(200\cdot 5)\)\(=\)\(\frac(35)(1000)\) \(=0,035\).

यह विधि अच्छी तरह से काम करती है जब भिन्न का हर है: \(2\), \(5\), \(20\), \(25\)..., आदि, जब यह तुरंत स्पष्ट हो जाता है कि क्या करना है गुणा करें। हालाँकि, अन्य मामलों में:

किसी भिन्न को दशमलव में बदलने के लिए, अंश को हर से विभाजित करें।

उदाहरण के लिए, \(\frac(7)(8)\) \(7\) को \(8\) से विभाजित करके परिवर्तित करना आसान है, यह अनुमान लगाने की तुलना में कि \(8\) को \(125\) से गुणा किया जा सकता है और \(1000\) प्राप्त करें।

सभी साधारण भिन्न बिना किसी समस्या के दशमलव में नहीं बदलते। अधिक सटीक रूप से, हर कोई रूपांतरित होता है, लेकिन इस तरह के परिवर्तन के परिणाम को लिखना बहुत कठिन हो सकता है। उदाहरण के लिए, अंश \(\frac(9)(17)\) दशमलव रूप में \(0.52941…\) जैसा दिखेगा - और इसी तरह, गैर-दोहराए जाने वाले अंकों की एक अंतहीन श्रृंखला। ऐसे अंश आमतौर पर साधारण के रूप में छोड़े जाते हैं।

हालाँकि, कुछ अंश जो दशमलव के रूप में अनंत अंक देते हैं, लिखे जा सकते हैं। ऐसा तब होता है जब इस पंक्ति में संख्याएँ दोहराई जाती हैं। उदाहरण के लिए, अंश \(\frac(2)(3)\) दशमलव रूप में इस तरह दिखता है \(0.66666…\) - छक्कों की एक अनंत श्रृंखला। इसे इस प्रकार लिखा जाता है: \(0,(6)\). कोष्ठक की सामग्री केवल असीम रूप से दोहराए जाने वाला भाग (तथाकथित अंश अवधि) है।

और उदाहरण: \(\frac(100)(27)\) \(=\)\(3,7037037037...=3,(703)\).
\(\frac(579)(110)\) \(=5.2636363636…=5.2(63)\).

दशमलव के प्रकार:

दशमलव को जोड़ना और घटाना

दशमलव अंशों का जोड़ (घटाव) उसी तरह से किया जाता है जैसे जोड़ (घटाव): मुख्य बात यह है कि दूसरी संख्या में अल्पविराम पहले में अल्पविराम के नीचे होना चाहिए।

दशमलव गुणन

दो दशमलवों को गुणा करने के लिए, आपको अल्पविरामों की उपेक्षा करते हुए उन्हें नियमित संख्याओं की तरह गुणा करना होगा। फिर पहली संख्या और दूसरी में दशमलव स्थानों की संख्या जोड़ें, और फिर अंतिम संख्या में दशमलव स्थानों की संख्या को दाएँ से बाएँ की ओर गिनते हुए अलग करें।

किसी तस्वीर को \(1\) बार पढ़ने से बेहतर है कि उसे \(1\) बार देखा जाए, इसलिए आनंद लें:

दशमलव विभाजन

दशमलव को दशमलव से विभाजित करने के लिए, आपको अल्पविराम को दूसरी संख्या (भाजक) में तब तक ले जाना होगा जब तक कि यह पूर्णांक न बन जाए। फिर कॉमा को पहले नंबर (विभाज्य) में उसी राशि से ले जाएं। फिर आपको परिणामी संख्याओं को हमेशा की तरह विभाजित करने की आवश्यकता है। इस मामले में, उत्तर में, आपको लाभांश में जैसे ही हम "अल्पविराम से ऊपर जाते हैं" अल्पविराम लगाना याद रखना होगा।

एक बार फिर, एक चित्र सिद्धांत को किसी भी पाठ से बेहतर समझाएगा।

व्यवहार में, विभाजन को एक साधारण अंश के रूप में प्रस्तुत करना आसान होता है, फिर अंश और हर को गुणा करके अल्पविराम हटा दें (या अल्पविराम को तुरंत हटा दें, जैसा कि हमने ऊपर किया था), और फिर परिणामी संख्याओं को कम करें।

\(13,12:1,6=\)\(\frac(13,12)(1,6)\) \(=\) \(\frac(13.12 100)(1.6 100)\)\(=\)\(\frac(1312)(160)\) \(=\)\(\frac(328)(40)\) \(=\)\(\frac(82)(10)\ )\(=8,2\).

उदाहरण . कंप्यूट \(0.0625:(\)\(\frac(1)(8)\) \(+\)\(\frac(5)(16)\) \()\cdot 2,8\)।

समाधान :

\(0.0625:(\)\(\frac(1)(8)\) \(+\)\(\frac(5)(16)\) \()\cdot 2,8=\)

§ 31. दशमलव अंशों के साथ सभी कार्यों के लिए कार्य और उदाहरण।

निम्न चरणों का पालन करें:

767. विभाजन का भागफल ज्ञात कीजिए:

772. गणना करें:

पाना एक्स , अगर:

776. अज्ञात संख्या को 1 और 0.57 के बीच के अंतर से गुणा किया गया और गुणनफल में हमें 3.44 प्राप्त हुआ। एक अज्ञात संख्या खोजें।

777. अज्ञात संख्या और 0.9 के योग को 1 और 0.4 के बीच के अंतर से गुणा किया गया और गुणनफल में हमें 2.412 प्राप्त हुआ। एक अज्ञात संख्या खोजें।

778. RSFSR (चित्र 36) में लोहे के गलाने पर आरेख के अनुसार, एक समस्या बनाएँ, जिसके समाधान के लिए जोड़, घटाव और विभाजन की क्रियाओं को लागू करना आवश्यक है।

779. 1) स्वेज नहर की लंबाई 165.8 किमी है, पनामा नहर की लंबाई स्वेज नहर से 84.7 किमी कम है, और व्हाइट सी-बाल्टिक नहर की लंबाई पनामा नहर की लंबाई से 145.9 किमी अधिक है। व्हाइट सी-बाल्टिक नहर की लंबाई कितनी है?

2) मास्को मेट्रो (1959 तक) 5 चरणों में बनाई गई थी। मेट्रो की पहली लाइन की लंबाई 11.6 किमी, दूसरी - 14.9 किमी, तीसरी की लंबाई दूसरी लाइन की लंबाई से 1.1 किमी कम, चौथी लाइन की लंबाई तीसरी लाइन से 9.6 किमी अधिक है , और पांचवीं पंक्ति की लंबाई 11.5 किमी कम चौथी है। 1959 की शुरुआत तक मास्को मेट्रो की लंबाई कितनी है?

780. 1) अटलांटिक महासागर की सबसे बड़ी गहराई 8.5 किमी है, प्रशांत महासागर की सबसे बड़ी गहराई अटलांटिक महासागर की गहराई से 2.3 किमी अधिक है, और आर्कटिक महासागर की सबसे बड़ी गहराई इसकी सबसे बड़ी गहराई से 2 गुना कम है। प्रशांत महासागर। आर्कटिक महासागर की सबसे बड़ी गहराई क्या है?

2) मोस्किविच कार प्रति 100 किमी में 9 लीटर गैसोलीन की खपत करती है, पोबेडा कार मोस्किविच की तुलना में 4.5 लीटर अधिक खपत करती है, और वोल्गा पोबेडा की तुलना में 1.1 गुना अधिक है। वोल्गा कार प्रति 1 किमी में कितना पेट्रोल खर्च करती है? (निकटतम 0.01 लीटर का गोल उत्तर।)

781. 1) विद्यार्थी छुट्टियों में अपने दादा के पास गया। रेल द्वारा, वह 8.5 घंटे और घोड़े की पीठ पर स्टेशन से 1.5 घंटे की सवारी करता है। कुल मिलाकर उन्होंने 440 किमी की यात्रा की। यदि छात्र 10 किमी प्रति घंटे की गति से घोड़ों की सवारी कर रहा था तो उसने रेलमार्ग पर किस गति से सवारी की थी?

2) सामूहिक किसान को अपने घर से 134.7 किमी की दूरी पर स्थित एक बिंदु पर होना था। 2.4 घंटे के लिए उन्होंने 55 किमी प्रति घंटे की औसत गति से बस से यात्रा की, और बाकी के रास्ते 4.5 किमी प्रति घंटे की गति से चले। वह कितनी देर चला?

782. 1) गर्मियों के दौरान, एक गोफर लगभग 0.12 सेंटर ब्रेड को नष्ट कर देता है। अग्रदूतों ने वसंत में 37.5 हेक्टेयर में 1,250 जमीनी गिलहरियों को नष्ट कर दिया। स्कूली बच्चों ने सामूहिक खेत के लिए कितनी रोटी बचाई? प्रति हेक्टेयर कितनी रोटी बचती है?

2) सामूहिक खेत ने गणना की कि 15 हेक्टेयर कृषि योग्य भूमि पर गोफरों को नष्ट करके, स्कूली बच्चों ने 3.6 टन अनाज बचाया। यदि एक गिलहरी गर्मियों में 0.012 टन अनाज नष्ट कर देती है, तो प्रति हेक्टेयर भूमि पर औसतन कितनी गिलहरियाँ नष्ट हो जाती हैं?

783. 1) गेहूँ को आटे में पीसते समय, उसका 0.1 वजन कम हो जाता है, और बेक करते समय, आटे के वजन के 0.4 के बराबर एक बेक प्राप्त होता है। 2.5 टन गेहूँ से कितनी पकी हुई रोटी प्राप्त होगी?

2) सामूहिक खेत ने 560 टन सूरजमुखी के बीज का उत्पादन किया। यदि अनाज का वजन सूरजमुखी के बीज के वजन का 0.7 है, और प्राप्त तेल का वजन अनाज के वजन का 0.25 है, तो कटे हुए अनाज से कितना सूरजमुखी तेल बनाया जाएगा?

784. 1) दूध से क्रीम की उपज दूध का 0.16 वजन है और क्रीम से मक्खन की उपज क्रीम का 0.25 वजन है। 1 क्विंटल मक्खन प्राप्त करने के लिए कितने दूध (वजन के अनुसार) की आवश्यकता होती है?

2) 1 किलो सूखे मशरूम प्राप्त करने के लिए कितने किलोग्राम पोर्सिनी मशरूम एकत्र किए जाने चाहिए, यदि सुखाने की तैयारी के दौरान 0.5 वजन रहता है, और सुखाने के दौरान संसाधित मशरूम का 0.1 वजन रहता है?

785. 1) सामूहिक खेत को आवंटित भूमि का उपयोग निम्नानुसार किया जाता है: इसमें से 55% कृषि योग्य भूमि, 35% घास के मैदान, और शेष भूमि 330.2 हेक्टेयर सामूहिक कृषि उद्यान के लिए और के लिए आवंटित की जाती है। सामूहिक किसानों की संपत्ति। सामूहिक खेत पर कितनी जमीन है?

2) सामूहिक खेत में पूरे बोए गए क्षेत्र का 75% अनाज फसलों के साथ, 20% सब्जियों के साथ, और बाकी चारा घास के साथ बोया गया। यदि सामूहिक खेत में चारा घास के साथ 60 हेक्टेयर बोया गया तो कितना बोया गया क्षेत्र था?

786. 1) 875 मीटर लंबे और 640 मीटर चौड़े आयत के आकार वाले खेत को बोने के लिए कितने केंद्र बीजों की आवश्यकता होगी, यदि प्रति हेक्टेयर 1.5 सेंटीमीटर बीज बोए जाते हैं?

2) एक खेत को बोने के लिए कितने केंद्र बीज की आवश्यकता होगी, जिसकी परिधि 1.6 किमी है, एक आयत का आकार है? खेत की चौड़ाई 300 मीटर है 1 हेक्टेयर की बुवाई के लिए 1.5 क्विंटल बीज की आवश्यकता होती है।

787. 0.4 dm x 10 dm मापने वाले आयत में 0.2 dm की भुजा वाली कितनी वर्गाकार प्लेटें फिट होंगी?

788. वाचनालय का आयाम 9.6 मीटर x 5 मीटर x 4.5 मीटर है। मीटर हवा?

789. 1) यदि प्रत्येक घास काटने की मशीन की चौड़ाई 1.56 मीटर है और ट्रैक्टर की गति 4.5 किमी प्रति घंटा है, तो ट्रैक्टर द्वारा 8 घंटे में चार घास काटने वाले ट्रेलर द्वारा घास के मैदान के किस क्षेत्र की कटाई की जाएगी? (स्टॉप के लिए समय पर ध्यान नहीं दिया जाता है।) (निकटतम 0.1 हेक्टेयर का गोल उत्तर।)

2) ट्रैक्टर वेजिटेबल सीडर की कार्यशील चौड़ाई 2.8 मीटर है इस सीडर से 8 घंटे में कितने क्षेत्र में बोई जा सकती है। 5 किमी प्रति घंटे की रफ्तार से काम करते हैं?

790. 1) 10 घंटे में तीन-फरो ट्रैक्टर हल का उत्पादन ज्ञात कीजिए। कार्य, यदि ट्रैक्टर की गति 5 किमी प्रति घंटा है, तो एक शरीर पर कब्जा 35 सेमी है, और समय की बर्बादी कुल समय का 0.1 है। (निकटतम 0.1 हेक्टेयर का गोल उत्तर।)

2) 6 घंटे में पांच फरो वाले ट्रैक्टर हल का उत्पादन ज्ञात कीजिए। कार्य, यदि ट्रैक्टर की गति 4.5 किमी प्रति घंटा है, तो एक शरीर पर कब्जा 30 सेमी है, और समय की बर्बादी कुल समय का 0.1 है। (निकटतम 0.1 हेक्टेयर का गोल उत्तर।)

791. एक पैसेंजर ट्रेन के स्टीम लोकोमोटिव के लिए प्रति 5 किमी चलने पर पानी की खपत 0.75 टन है।टेंडर की पानी की टंकी में 16.5 टन पानी है। यदि टंकी को उसकी क्षमता से 0.9 तक भर दिया जाए तो रेलगाड़ी में कितने किलोमीटर तक पर्याप्त पानी होगा?

792. 7.6 मीटर की औसत कार लंबाई के साथ केवल 120 मालवाहक कारें साइडिंग पर फिट हो सकती हैं। 19.2 मीटर की लंबाई वाली कितनी चार-एक्सल यात्री कारें इस ट्रैक पर फिट होंगी यदि 24 और boxcars?

793. रेलवे तटबंध की मजबूती के लिए, खेत की घास बोकर ढलानों को मजबूत करने की सिफारिश की जाती है। तटबंध के प्रत्येक वर्ग मीटर के लिए 0.25 रूबल के 2.8 ग्राम बीज की आवश्यकता होती है। 1 किलो के लिए। यदि कार्य की लागत बीज की लागत का 0.4 है तो 1.02 हेक्टेयर ढलानों को बोने में कितना खर्च आएगा? (उत्तर को निकटतम 1 रगड़ तक गोल करें।)

794. ईंट फैक्ट्री स्टेशन पहुंचाई रेलवेईंटें। 25 घोड़ों और 10 ट्रकों ने ईंटें ढोने का काम किया। प्रत्येक घोड़े ने प्रति चक्कर 0.7 टन ढोया और प्रति दिन 4 चक्कर लगाए। प्रत्येक कार ने प्रति ट्रिप 2.5 टन का परिवहन किया और प्रति दिन 15 ट्रिप किए। यात्रा में 4 दिन लगे। यदि एक ईंट का औसत वजन 3.75 किलोग्राम है तो स्टेशन पर ईंटों के कितने टुकड़े पहुंचाए गए? (उत्तर को निकटतम 1,000 टुकड़ों तक गोल करें।)

795. आटे का स्टॉक तीन बेकरियों के बीच वितरित किया गया: पहले को कुल स्टॉक का 0.4 प्राप्त हुआ, शेष का 0.4 दूसरा, और तीसरे बेकरी को पहले की तुलना में 1.6 टन कम आटा प्राप्त हुआ। कुल कितना आटा बांटा गया?

796. संस्थान के दूसरे वर्ष में 176 छात्र हैं, तीसरे वर्ष में इस संख्या के 0.875, और पहले वर्ष में तीसरे वर्ष की तुलना में डेढ़ गुना अधिक है। पहले, दूसरे और तीसरे वर्ष में छात्रों की संख्या इस संस्थान के कुल छात्रों की संख्या का 0.75 थी। संस्थान में कितने छात्र थे?

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797. अंकगणितीय माध्य ज्ञात कीजिए:

1) दो संख्याएँ: 56.8 और 53.4; 705.3 और 707.5;

2) तीन नंबर: 46.5; 37.8 और 36; 0.84; 0.69 और 0.81;

3) चार नंबर: 5.48; 1.36; 3.24 और 2.04।

798. 1) सुबह का तापमान 13.6°, दोपहर का 25.5° और शाम का 15.2° था। उस दिन के औसत तापमान की गणना करें।

2) सप्ताह के लिए औसत तापमान क्या है, यदि सप्ताह के दौरान थर्मामीटर ने दिखाया: 21 °; 20.3°; 22.2°; 23.5°; 21.1°; 22.1°; 20.8°?

799. 1) स्कूल की टीम ने पहले दिन 4.2 हेक्टेयर, दूसरे दिन 3.9 हेक्टेयर और तीसरे दिन 4.5 हेक्टेयर चुकंदर की निराई की। प्रति दिन ब्रिगेड का औसत उत्पादन निर्धारित करें।

2) एक नए हिस्से के निर्माण के लिए समय का मानदंड स्थापित करने के लिए, 3 टर्नर की आपूर्ति की गई। पहले ने 3.2 मिनट में, दूसरे ने 3.8 मिनट में और तीसरे ने 4.1 मिनट में हिस्सा बनाया। भाग के निर्माण के लिए निर्धारित मानक समय की गणना करें।

800. 1) दो संख्याओं का अंकगणितीय माध्य 36.4 है। इनमें से एक संख्या 36.8 है। अन्य ढूंढें।

2) हवा का तापमान दिन में तीन बार मापा गया: सुबह, दोपहर और शाम को। सुबह हवा का तापमान ज्ञात कीजिए, यदि दोपहर में यह 28.4°C था, शाम को 18.2°C था, और दिन का औसत तापमान 20.4°C था।

801. 1) कार ने पहले दो घंटों में 98.5 किमी और अगले तीन घंटों में 138 किमी की दूरी तय की। कार ने प्रति घंटे औसतन कितने किलोमीटर की यात्रा की?

2) ट्रायल कैच और वार्षिक वजन से पता चला कि 10 कार्प में से 4 का वजन 0.6 किलोग्राम, 3 का वजन 0.65 किलोग्राम, 2 का वजन 0.7 किलोग्राम और 1 का वजन 0.8 किलोग्राम था। एक वार्षिक कार्प का औसत वजन कितना होता है?

802. 1) 1.05 रूबल के 2 लीटर सिरप के लिए। 1 लीटर के लिए 8 लीटर पानी डाला। सिरप के साथ 1 लीटर पानी की कीमत कितनी है?

2) परिचारिका ने 36 कोप्पेक के लिए डिब्बाबंद बोर्स्ट का 0.5 लीटर कैन खरीदा। और 1.5 लीटर पानी में उबाल लें। अगर इसकी मात्रा 0.5 लीटर है तो बोर्स्ट की प्लेट की कीमत कितनी है?

803. प्रयोगशाला कार्य"दो बिंदुओं के बीच की दूरी को मापना",

पहला रिसेप्शन। एक टेप माप (माप टेप) के साथ माप। वर्ग को तीन लोगों की इकाइयों में विभाजित किया गया है। सहायक उपकरण: 5-6 मील के पत्थर और 8-10 टैग।

कार्य की प्रगति: 1) बिंदु ए और बी को चिह्नित किया गया है और उनके बीच एक सीधी रेखा खींची गई है (कार्य 178 देखें); 2) टेप माप को निश्चित सीधी रेखा के साथ रखें और हर बार टेप माप के अंत को एक टैग के साथ चिह्नित करें। दूसरा रिसेप्शन। मापन, कदम। वर्ग को तीन लोगों की इकाइयों में विभाजित किया गया है। प्रत्येक छात्र ए से बी तक की दूरी तय करता है, उनके द्वारा उठाए गए कदमों की संख्या की गिनती करता है। परिणामी चरणों की संख्या से अपने कदम की औसत लंबाई को गुणा करके, A से B की दूरी ज्ञात करें।

तीसरा रिसेप्शन। आँख से मापना। प्रत्येक छात्र खींचता है बायां हाथएक उठे हुए अंगूठे के साथ (चित्र 37) और निर्देश अँगूठाएक मील के पत्थर पर बिंदु B (आकृति में - एक पेड़) ताकि बाईं आंख (बिंदु A), अंगूठा और बिंदु B एक ही सीधी रेखा पर हों। स्थिति बदले बिना, बाईं आंख बंद करें और अंगूठे को दाईं ओर देखें। परिणामी विस्थापन को आंख से मापा जाता है और 10 के कारक से बढ़ाया जाता है। यह A से B की दूरी है।

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804. 1) 1959 की जनगणना के अनुसार, यूएसएसआर की जनसंख्या 208.8 मिलियन लोग थे, और ग्रामीण आबादी शहरी आबादी से 9.2 मिलियन अधिक थी। 1959 में USSR में कितनी शहरी और कितनी ग्रामीण आबादी थी?

2) 1913 की जनगणना के अनुसार, रूस की जनसंख्या 159.2 मिलियन थी, और शहरी आबादी ग्रामीण आबादी से 103.0 मिलियन कम थी। 1913 में रूस में शहरी और ग्रामीण आबादी कितनी थी?

805. 1) तार की लंबाई 24.5 मीटर है इस तार को दो भागों में काटा गया ताकि पहला भाग दूसरे से 6.8 मीटर लंबा हो। प्रत्येक टुकड़ा कितने मीटर लंबा है?

2) दो संख्याओं का योग 100.05 है। एक संख्या दूसरी से 97.06 अधिक है। इन नंबरों को खोजें।

806. 1) तीन कोयला गोदामों में 8656.2 टन कोयला है, दूसरे गोदाम में पहले की तुलना में 247.3 टन अधिक कोयला है, और तीसरे में यह दूसरे की तुलना में 50.8 टन अधिक है। प्रत्येक गोदाम में कितने टन कोयला है?

2) तीन संख्याओं का योग 446.73 है। पहली संख्या दूसरी से 73.17 कम और तीसरी संख्या 32.22 से अधिक है। इन नंबरों को खोजें।

807. 1) नाव नदी के किनारे 14.5 किमी प्रति घंटे की गति से और धारा के विपरीत 9.5 किमी प्रति घंटे की गति से चल रही थी। शांत जल में नाव की गति कितनी है और नदी की गति क्या है?

2) स्टीमबोट ने 4 घंटे में नदी के किनारे 85.6 किमी और धारा के विपरीत 46.2 किमी की दूरी 3 घंटे में तय की। शांत जल में नाव की गति कितनी है और नदी की गति क्या है?

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808. 1) दो जहाजों ने 3,500 टन माल पहुँचाया, और एक जहाज ने दूसरे की तुलना में 1.5 गुना अधिक माल पहुँचाया। प्रत्येक जहाज ने कितना माल पहुँचाया?

2) दो कमरों का क्षेत्रफल 37.2 वर्ग मीटर है। मी. एक कमरे का क्षेत्रफल दूसरे से 2 गुना बड़ा है। प्रत्येक कमरे का क्षेत्रफल क्या है?

809. 1) दो बस्तियों से, जिनके बीच की दूरी 32.4 किमी है, एक मोटरसाइकिल सवार और एक साइकिल सवार एक साथ एक दूसरे की ओर निकल पड़े। उनमें से प्रत्येक मिलने से पहले कितने किलोमीटर की यात्रा करेगा यदि मोटरसाइकिल सवार की गति साइकिल सवार की गति से 4 गुना है?

2) ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योग 26.35 हो और एक संख्या को दूसरी संख्या से भाग देने का भागफल 7.5 हो।

810. 1) कारखाने ने 19.2 टन के कुल वजन के साथ तीन प्रकार के कार्गो भेजे। पहले प्रकार के कार्गो का वजन दूसरे प्रकार के कार्गो के वजन का तीन गुना था, और तीसरे प्रकार के कार्गो का वजन वजन का आधा था। पहले और दूसरे प्रकार के कार्गो का एक साथ। प्रत्येक प्रकार के कार्गो का वजन क्या है?

2) तीन महीने के लिए खनिकों की एक टीम ने 52.5 हजार टन लौह अयस्क का खनन किया। मार्च में इसे 1.3 गुना, फरवरी में जनवरी की तुलना में 1.2 गुना अधिक खनन किया गया था। ब्रिगेड ने मासिक रूप से कितना अयस्क निकाला?

811. 1) सेराटोव-मॉस्को गैस पाइपलाइन मॉस्को नहर से 672 किमी लंबी है। दोनों संरचनाओं की लंबाई ज्ञात कीजिए यदि गैस पाइपलाइन की लंबाई मास्को नहर की लंबाई का 6.25 गुना है।

2) डॉन नदी की लंबाई मास्को नदी की लंबाई का 3.934 गुना है। प्रत्येक नदी की लंबाई ज्ञात कीजिए यदि डॉन नदी की लंबाई मॉस्को नदी की लंबाई से 1467 किमी अधिक है।

812. 1) दो संख्याओं का अंतर 5.2 है और एक संख्या को दूसरी संख्या से भाग देने पर भागफल 5 आता है। इन संख्याओं को ज्ञात कीजिए।

2) दो संख्याओं का अंतर 0.96 है, और उनका भागफल 1.2 है। इन नंबरों को खोजें।

813. 1) एक संख्या दूसरी से 0.3 कम है और उसका 0.75 है। इन नंबरों को खोजें।

2) एक संख्या दूसरी संख्या से 3.9 अधिक है। यदि छोटी संख्या को दोगुना कर दिया जाए, तो वह बड़ी संख्या का 0.5 हो जाएगी। इन नंबरों को खोजें।

814. 1) सामूहिक खेत में गेहूँ और राई के साथ 2,600 हेक्टेयर भूमि बोई गई। गेहूँ के साथ कितने हेक्टेयर और राई के साथ कितनी भूमि बोई गई, यदि गेहूँ के साथ बोए गए क्षेत्र का 0.8 भाग राई के साथ बोए गए क्षेत्र के 0.5 के बराबर है?

2) दो लड़कों का एक साथ संग्रह 660 डाक टिकट है। प्रत्येक लड़के के संग्रह में कितने टिकट हैं यदि पहले लड़के के टिकटों की संख्या का 0.5 दूसरे लड़के के संग्रह के टिकटों की संख्या के 0.6 के बराबर है?

815. दो छात्रों ने मिलकर 5.4 रूबल लिए। पहले ने अपने पैसे का 0.75 और दूसरे ने अपने पैसे का 0.8 खर्च करने के बाद, उनके पास बराबर पैसे बचे हैं। प्रत्येक छात्र के पास कितना पैसा था?

816. 1) दो जहाज दो बंदरगाहों से एक दूसरे की ओर रवाना हुए, जिनके बीच की दूरी 501.9 किमी है। उन्हें मिलने में कितना समय लगेगा यदि पहले स्टीमर की गति 25.5 किमी/घंटा है और दूसरे की गति 22.3 किमी/घंटा है?

2) दो ट्रेनें दो बिंदुओं से एक दूसरे की ओर रवाना हुईं, जिनके बीच की दूरी 382.2 किमी है। यदि पहली ट्रेन की औसत गति 52.8 किमी प्रति घंटा और दूसरी 56.4 किमी प्रति घंटा थी, तो वे कितने समय बाद मिलेंगे?

817. 1) दो शहरों से, जिनके बीच की दूरी 462 किमी है, दो कारें एक ही समय पर निकलीं और 3.5 घंटे के बाद मिलीं। प्रत्येक कार की गति ज्ञात कीजिए यदि पहली कार की गति दूसरी कार की गति से 12 किमी प्रति घंटा अधिक थी।

2) दो बस्तियों से, जिनके बीच की दूरी 63 किमी है, एक मोटर साइकिल चालक और एक साइकिल चालक एक साथ एक दूसरे की ओर निकले और 1.2 घंटे के बाद मिले। मोटरसाइकिल सवार की गति ज्ञात कीजिए यदि साइकिल सवार मोटरसाइकिल सवार की गति से 27.5 किमी प्रति घंटा कम की गति से यात्रा कर रहा था।

818. छात्र ने देखा कि एक लोकोमोटिव और 40 वैगन वाली एक ट्रेन 35 सेकंड के लिए उसके पास से गुजरी। प्रति घंटे ट्रेन की गति निर्धारित करें यदि लोकोमोटिव की लंबाई 18.5 मीटर है और कार की लंबाई 6.2 मीटर है (उत्तर 1 किमी प्रति घंटे की सटीकता के साथ दें।)

819. 1) एक साइकिल सवार 12.4 किमी प्रति घंटे की औसत गति से A से B के लिए रवाना हुआ। 3 घंटे 15 मिनट बाद। एक अन्य साइकिल सवार ने B को 10.8 किमी प्रति घंटे की औसत गति से उसकी ओर छोड़ा। कितने घंटे बाद और A से कितनी दूरी पर मिलेंगे यदि 0.32 A और B के बीच की दूरी 76 किमी है?

2) शहरों A और B से, जिनके बीच की दूरी 164.7 किमी है, शहर A से एक ट्रक और शहर B से एक यात्री कार एक दूसरे की ओर चली। गति ट्रक 36 किमी, और यात्री 1.25 गुना अधिक है। यात्री कार ट्रक से 1.2 घंटे बाद निकली। कितने समय बाद और शहर B से कितनी दूरी पर यात्री कार ट्रक से मिलेगी?

820. दो जहाज एक ही बंदरगाह से एक ही समय निकले और एक ही दिशा में जा रहे हैं। पहला स्टीमर हर 1.5 घंटे में 37.5 किमी और दूसरा हर 2 घंटे में 45 किमी की यात्रा करता है। पहले जहाज को दूसरे जहाज से 10 किमी की दूरी पर होने में कितना समय लगेगा?

821. एक बिंदु से, एक पैदल यात्री पहले चला गया, और उसके बाहर निकलने के 1.5 घंटे बाद, एक साइकिल चालक उसी दिशा में चला गया। यदि पैदल यात्री 4.25 किमी प्रति घंटे की गति से चल रहा था, और साइकिल चालक 17 किमी प्रति घंटे की गति से चल रहा था, तो उस बिंदु से कितनी दूरी पर साइकिल सवार पैदल यात्री को पकड़ लेगा?

822. ट्रेन 6 बजे मास्को से लेनिनग्राद के लिए रवाना हुई। दस मिनट। सुबह और 50 किमी प्रति घंटे की औसत गति से चला। बाद में, एक यात्री विमान ने मॉस्को से लेनिनग्राद के लिए उड़ान भरी और ट्रेन के आने के साथ ही लेनिनग्राद पहुंचा। औसत गतिविमान 325 किमी प्रति घंटा था, और मास्को और लेनिनग्राद के बीच की दूरी 650 किमी थी। मास्को से विमान ने कब उड़ान भरी थी?

823. स्टीमबोट 5 घंटे के लिए नीचे की ओर चला गया, और 3 घंटे के लिए करंट के खिलाफ और केवल 165 किमी ही गुजरा। यदि नदी की गति 2.5 किमी प्रति घंटा है, तो वह धारा के अनुकूल कितने किलोमीटर और धारा के प्रतिकूल कितने किलोमीटर गया?

824. ट्रेन A को छोड़ती है और एक निश्चित समय पर B पर पहुँचनी चाहिए; आधा रास्ता तय करने और 1 मिनट में 0.8 किमी करने के बाद, ट्रेन को 0.25 घंटे के लिए रोक दिया गया; गति को 100 मीटर बढ़ाकर 1 मिलियन करने के बाद, ट्रेन समय पर बी पर पहुंच गई। A और B के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

825. सामूहिक खेत से शहर तक 23 कि.मी. एक डाकिया 12.5 किमी प्रति घंटे की गति से शहर से सामूहिक खेत तक साइकिल चला रहा था। सामूहिक खेत के इस IW के 0.4 घंटे बाद, एक सामूहिक किसान डाकिया की गति से 0.6 की गति से घोड़े पर शहर में घुस गया। उसके जाने के कितने समय बाद सामूहिक किसान डाकिये से मिल पायेगा?

826. एक कार शहर A से शहर B तक, A से 234 किमी दूर, 32 किमी प्रति घंटे की गति से चली। 1.75 घंटे बाद, एक दूसरी कार शहर B से पहली कार की ओर रवाना होती है, जिसकी गति पहली कार की गति की 1.225 गुना है। उसके जाने के कितने घंटे बाद दूसरी कार पहली कार से मिलेगी?

827. 1) एक टाइपिस्ट पांडुलिपि को 1.6 घंटे में और दूसरा 2.5 घंटे में दोबारा टाइप कर सकता है। दोनों टाइपिस्टों को एक साथ काम करते हुए इस पांडुलिपि को फिर से टाइप करने में कितना समय लगेगा? (निकटतम 0.1 घंटे का गोल उत्तर।)

2) पूल अलग-अलग शक्ति के दो पंपों से भरा है। पहला पंप अकेले काम करके पूल को 3.2 घंटे में और दूसरा 4 घंटे में भर सकता है। इन पंपों के एक साथ संचालन से पूल को भरने में कितना समय लगता है? (निकटतम 0.1 का गोल उत्तर।)

828. 1) एक टीम किसी ऑर्डर को 8 दिनों में पूरा कर सकती है। इस आदेश को पूरा करने के लिए दूसरे को पहले वाले का 0.5 गुना चाहिए। तीसरी ब्रिगेड इस ऑर्डर को 5 दिन में पूरा कर सकती है। कब तक पूरा ऑर्डर कितने दिनों में पूरा हो जाएगा संयुक्त कार्यतीन ब्रिगेड? (निकटतम 0.1 दिन के लिए गोल उत्तर।)

2) पहला कर्मचारी 4 घंटे में ऑर्डर पूरा कर सकता है, दूसरा 1.25 गुना तेजी से और तीसरा 5 घंटे में पूरा कर सकता है। यदि तीन कर्मचारी एक साथ काम करते हैं तो ऑर्डर कितने घंटे में पूरा होगा? (निकटतम 0.1 घंटे का गोल उत्तर।)

829. दो गाडिय़ां सड़क की सफाई का काम कर रही हैं। उनमें से पहला 40 मिनट में पूरी सड़क को साफ कर सकता है, दूसरे को पहले के 75% समय की आवश्यकता होती है। दोनों मशीनें एक ही समय पर शुरू हुईं। 0.25 घंटे तक संयुक्त कार्य करने के बाद दूसरी मशीन ने काम करना बंद कर दिया। उसके कितने समय बाद पहली कार ने सड़क की सफाई पूरी की?

830. 1) त्रिभुज की एक भुजा 2.25 सेमी, दूसरी पहली से 3.5 सेमी अधिक और तीसरी दूसरी से 1.25 सेमी कम है। त्रिभुज की परिधि ज्ञात कीजिए।

2) त्रिभुज की एक भुजा 4.5 सेमी है, दूसरी पहली से 1.4 सेमी कम है, और तीसरी भुजा पहली दो भुजाओं के योग का आधा है। त्रिभुज का परिमाप क्या है?

831 . 1) त्रिभुज का आधार 4.5 सेमी है, और इसकी ऊंचाई 1.5 सेमी कम है। त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

2) त्रिभुज की ऊँचाई 4.25 सेमी है, और इसका आधार 3 गुना बड़ा है। त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (निकटतम 0.1 का गोल उत्तर।)

832. छायांकित आकृतियों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (चित्र 38)।

833. कौन-सा क्षेत्रफल बड़ा है: 5 सेमी और 4 सेमी भुजाओं वाला एक आयत, 4.5 सेमी भुजाओं वाला एक वर्ग, या एक त्रिभुज जिसका आधार और ऊँचाई प्रत्येक 6 सेमी है?

834. कमरे की लंबाई 8.5 मीटर, चौड़ाई 5.6 मीटर और ऊंचाई 2.75 मीटर है।खिड़कियों, दरवाजों और स्टोव का क्षेत्रफल कमरे की दीवारों के कुल क्षेत्रफल का 0.1 है। यदि वॉलपेपर का टुकड़ा 7 मीटर लंबा और 0.75 मीटर चौड़ा है तो इस कमरे को कवर करने के लिए वॉलपेपर के कितने टुकड़ों की आवश्यकता होगी? (निकटतम 1 पीस का गोल उत्तर।)

835. एक मंजिला घर को बाहर से प्लास्टर और सफेदी करना आवश्यक है, जिसके आयाम हैं: लंबाई 12 मीटर, चौड़ाई 8 मीटर और ऊंचाई 4.5 मीटर। घर में प्रत्येक 0.75 मीटर x 1.2 मीटर आकार में 7 खिड़कियां और 2 दरवाजे हैं। 0.75 मीटर x 2.5 मीटर यदि सफेदी और पलस्तर 1 वर्ग मीटर है तो सभी कार्य में कितना खर्च आएगा? मी की कीमत 24 कोपेक है।? (उत्तर को निकटतम 1 रगड़ तक गोल करें।)

836. अपने कमरे की सतह क्षेत्र और मात्रा की गणना करें। माप कर कमरे के आयामों का पता लगाएं।

837. बगीचे में एक आयत का आकार है, जिसकी लंबाई 32 मीटर है, चौड़ाई 10 मीटर है। बगीचे के पूरे क्षेत्र का 0.05 गाजर के साथ बोया जाता है, और बाकी बगीचे में आलू और प्याज लगाए जाते हैं। , और क्षेत्र प्याज के मुकाबले 7 गुना बड़ा आलू के साथ लगाया जाता है। आलू, प्याज और गाजर के साथ व्यक्तिगत रूप से कितनी भूमि लगाई जाती है?

838. बगीचे में एक आयत का आकार है, जिसकी लंबाई 30 मीटर और चौड़ाई 12 मीटर है। मी गाजर से अधिक है। आलू, चुकंदर और गाजर के तहत अलग से कितनी जमीन?

839. 1) क्यूब के आकार का एक बॉक्स प्लाईवुड के साथ सभी तरफ से ढका हुआ था। यदि घन का किनारा 8.2 डीएम है तो प्लाईवुड का कितना उपयोग किया जाता है? (उत्तर को निकटतम 0.1 वर्ग डीएम में गोल करें।)

2) 28 सेमी के किनारे वाले घन को पेंट करने के लिए कितना पेंट चाहिए, यदि प्रति 1 वर्ग मीटर है। सेमी पेंट के 0.4 ग्राम खर्च होंगे? (उत्तर, निकटतम 0.1 किग्रा तक सन्निकटित करें।)

840. कास्ट-आयरन बिलेट की लंबाई, जिसमें एक आयताकार समांतर चतुर्भुज का आकार होता है, 24.5 सेमी, चौड़ाई 4.2 सेमी और ऊंचाई 3.8 सेमी होती है। 200 कास्ट-आयरन बिलेट का वजन 1 सीयू कितना होता है। डीएम कच्चा लोहा 7.8 किलो वजन का होता है? (निकटतम 1 किग्रा का गोल उत्तर।)

841. 1) एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के आकार वाले बॉक्स की लंबाई (ढक्कन के साथ) 62.4 सेमी, चौड़ाई 40.5 सेमी, ऊंचाई 30 सेमी है। वर्ग मीटरबोर्ड के निर्माण में बोर्डों का निर्माण हुआ, अगर बोर्डों की बर्बादी बोर्डों के साथ म्यान की जाने वाली सतह का 0.2 है? (उत्तर को निकटतम 0.1 वर्ग मीटर तक गोल करें।)

2) गड्ढे के नीचे और बगल की दीवारें, जिसमें एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज का आकार होता है, को बोर्डों से ढंकना चाहिए। गड्ढे की लंबाई 72.5 मीटर, चौड़ाई 4.6 मीटर और ऊंचाई 2.2 मीटर है।कितने वर्ग मीटर बोर्ड का उपयोग शीथिंग के लिए किया गया था, यदि बोर्ड की बर्बादी बोर्डों से ढकी जाने वाली सतह का 0.2 है? (उत्तर को निकटतम 1 वर्ग मीटर तक गोल करें।)

842. 1) तहखाने की लंबाई, जिसमें एक आयताकार समांतर चतुर्भुज का आकार है, 20.5 मीटर है, चौड़ाई इसकी लंबाई की 0.6 है, और ऊंचाई 3.2 मीटर है। तहखाने को इसकी मात्रा के 0.8 द्वारा आलू से भर दिया गया था। अगर 1 क्यूबिक मीटर आलू का वजन 1.5 टन होता है तो बेसमेंट में कितने टन आलू आ सकते हैं? (निकटतम 1 टन का गोल उत्तर।)

2) टैंक की लंबाई, जिसमें एक आयताकार समांतर चतुर्भुज का आकार है, 2.5 मीटर है, चौड़ाई इसकी लंबाई की 0.4 है, और ऊंचाई 1.4 मीटर है। टैंक को इसकी मात्रा के 0.6 मिट्टी के तेल से भरा जाता है। टैंक में कितने टन मिट्टी का तेल डाला जाता है, अगर मिट्टी के तेल का वजन 1 घन मीटर है। मीटर 0.9 टी के बराबर है? (निकटतम 0.1 टन का गोल उत्तर।)

843. 1) 8.5 मीटर लंबे, 6 मीटर चौड़े और 3.2 मीटर ऊंचे कमरे में खिड़की से 1 सेकंड में हवा कितने समय में नवीनीकृत की जा सकती है। 0.1 सीयू पास करता है। मीटर हवा?

2) अपने कमरे में हवा को अद्यतन करने के लिए आवश्यक समय की गणना करें।

844. DIMENSIONS कंक्रीट ब्लॉकदीवारों के निर्माण के लिए निम्नानुसार हैं: 2.7 मीटर x 1.4 मीटर x 0.5 मीटर। शून्य ब्लॉक की मात्रा का 30% है। ऐसे 100 ब्लॉक बनाने के लिए कितने घन मीटर कंक्रीट की आवश्यकता होगी?

845. ग्रेडर-एलेवेटर (खाई खोदने की मशीन) 8 घंटे में। कार्य 30 सेमी चौड़ा, 34 सेमी गहरा और 15 किमी लंबा एक खाई बनाता है। यदि एक डिगर 0.8 क्यूबिक मीटर निकाल सकता है तो ऐसी मशीन कितने डिगर की जगह ले सकती है। मी प्रति घंटा? (परिणाम को गोल करें।)

846. एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के रूप में बिन 12 मीटर लंबा और 8 मीटर चौड़ा है। इस बिन में 1.5 मीटर की ऊंचाई तक अनाज डाला जाता है, यह पता लगाने के लिए कि पूरे अनाज का वजन कितना है, उन्होंने 0.5 मीटर लंबा, 0.5 मीटर चौड़ा और 0.4 मीटर ऊंचा एक बॉक्स लिया, इसे अनाज से भर दिया और तौला। यदि डिब्बे में अनाज का वजन 80 किग्रा है तो बिन में अनाज का वजन कितना है?

849. यूएसएसआर में शहरी आबादी के विकास के एक रैखिक आरेख का निर्माण करें, अगर 1913 में शहरी आबादी 28.1 मिलियन लोग थे, 1926 में - 24.7 मिलियन, 1939 में - 56.1 मिलियन और 1959 में - 99, 8 मिलियन लोग।

850. 1) यदि आपको दीवारों और छत पर सफेदी करने के साथ-साथ फर्श को रंगने की आवश्यकता है, तो अपनी कक्षा के कमरे के नवीनीकरण के लिए एक अनुमान लगाएं। स्कूल के आपूर्ति प्रबंधक से एक अनुमान (कक्षा का आकार, सफेदी करने की लागत 1 वर्ग मीटर, फर्श 1 वर्ग मीटर की पेंटिंग की लागत) तैयार करने के लिए डेटा प्राप्त करें।

2) बगीचे में रोपण के लिए, स्कूल ने रोपे खरीदे: 30 सेब के पेड़ 0.65 रूबल पर। प्रति टुकड़ा, 0.4 रूबल के लिए 50 चेरी। प्रति टुकड़ा, 0.2 रूबल के लिए 40 आंवले की झाड़ियाँ। और 0.03 रूबल के लिए 100 रास्पबेरी झाड़ियों। एक झाड़ी के लिए इस खरीद के लिए मॉडल के अनुसार चालान लिखें:

जवाब

हम इस सामग्री को दशमलव भिन्न जैसे महत्वपूर्ण विषय पर समर्पित करेंगे। पहले, आइए मूल परिभाषाओं को परिभाषित करें, उदाहरण दें और दशमलव अंकन के नियमों पर ध्यान दें, साथ ही साथ दशमलव अंशों के अंक क्या हैं। अगला, हम मुख्य प्रकारों पर प्रकाश डालते हैं: परिमित और अनंत, आवधिक और गैर-आवधिक भिन्न। अंतिम भाग में, हम दिखाएंगे कि भिन्नात्मक संख्याओं के संगत बिंदु किस प्रकार निर्देशांक अक्ष पर स्थित होते हैं।

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भिन्नात्मक संख्याओं के लिए दशमलव अंकन क्या है

भिन्नात्मक संख्याओं के लिए तथाकथित दशमलव संकेतन का उपयोग प्राकृतिक और भिन्नात्मक दोनों संख्याओं के लिए किया जा सकता है। यह उनके बीच अल्पविराम के साथ दो या दो से अधिक संख्याओं के समूह जैसा दिखता है।

दशमलव बिंदु का उपयोग पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग से अलग करने के लिए किया जाता है। एक नियम के रूप में, दशमलव का अंतिम अंक कभी भी शून्य नहीं होता, जब तक कि दशमलव बिंदु पहले शून्य के तुरंत बाद न हो।

दशमलव अंकन में भिन्नात्मक संख्याओं के कुछ उदाहरण क्या हैं? यह 34, 21, 0, 35035044, 0, 0001, 11 231 552, 9 आदि हो सकता है।

कुछ पाठ्यपुस्तकों में, आप अल्पविराम (5. 67, 6789. 1011, आदि) के बजाय बिंदु का उपयोग पा सकते हैं। इस विकल्प को समतुल्य माना जाता है, लेकिन यह अंग्रेजी भाषा के स्रोतों के लिए अधिक विशिष्ट है।

दशमलव की परिभाषा

दशमलव अंकन की उपरोक्त अवधारणा के आधार पर, हम दशमलव भिन्न की निम्नलिखित परिभाषा तैयार कर सकते हैं:

परिभाषा 1

दशमलव दशमलव संकेतन में भिन्नात्मक संख्याएँ हैं।

हमें भिन्नों को इस रूप में लिखने की आवश्यकता क्यों है? यह हमें सामान्य लोगों की तुलना में कुछ लाभ देता है, उदाहरण के लिए, एक अधिक संक्षिप्त संकेतन, विशेष रूप से उन मामलों में जहां हर 1000, 100, 10, आदि या एक मिश्रित संख्या है। उदाहरण के लिए, 6 10 के बजाय हम 0, 6 निर्दिष्ट कर सकते हैं, 25 10000 - 0, 0023 के बजाय, 512 3 100 - 512, 03 के बजाय।

दसियों, सैकड़ों, हजारों के साथ दशमलव रूप में साधारण अंशों का सही ढंग से प्रतिनिधित्व कैसे करें, एक अलग सामग्री में वर्णित किया जाएगा।

दशमलव को सही तरीके से कैसे पढ़ें

दशमलव के अभिलेखों को पढ़ने के कुछ नियम हैं। तो, वे दशमलव अंश जो उनके सही सामान्य समकक्षों के अनुरूप होते हैं, लगभग उसी तरह पढ़े जाते हैं, लेकिन शुरुआत में "शून्य दसवें" शब्दों के साथ। इसलिए, प्रविष्टि 0 , 14 , जो 14 100 से मेल खाती है, को "शून्य दशमलव चौदह सौवें" के रूप में पढ़ा जाता है।

यदि एक मिश्रित संख्या के साथ एक दशमलव अंश जोड़ा जा सकता है, तो इसे इस संख्या के समान ही पढ़ा जाता है। इसलिए, यदि हमारे पास भिन्न 56, 002 है, जो 56 2 1000 से मेल खाता है, तो हम इस तरह की प्रविष्टि को "छप्पन बिंदु दो हज़ारवें" के रूप में पढ़ते हैं।

दशमलव संकेतन में एक अंक का मान इस बात पर निर्भर करता है कि वह कहाँ स्थित है (जैसे प्राकृतिक संख्याओं के मामले में)। तो, दशमलव अंश 0, 7 में, सात दसवां है, 0, 0007 में यह दस हज़ारवाँ है, और अंश 70,000, 345 में इसका अर्थ है सात दसियों हज़ार पूरी इकाइयाँ। इस प्रकार, दशमलव अंशों में, संख्या अंक की अवधारणा भी होती है।

अल्पविराम से पहले स्थित अंकों के नाम प्राकृतिक संख्या में मौजूद अंकों के समान होते हैं। उन लोगों के नाम जो बाद में स्थित हैं, तालिका में स्पष्ट रूप से प्रस्तुत किए गए हैं:

आइए एक उदाहरण लेते हैं।

उदाहरण 1

हमारे पास दशमलव 43, 098 है। उसके दहाई के स्थान पर एक चार, इकाई के स्थान पर एक तीन, दसवें स्थान पर शून्य, सौवें स्थान पर 9 और हज़ारवें स्थान पर 8 है।

यह वरिष्ठता के आधार पर दशमलव अंशों के अंकों को भेद करने की प्रथा है। यदि हम संख्याओं को बाएँ से दाएँ घुमाते हैं, तो हम उच्च से निम्न अंकों में जाएँगे। यह पता चला है कि सैकड़ों दसियों से पुराने हैं, और मिलियनवें सौवें से छोटे हैं। यदि हम उस अंतिम दशमलव अंश को लेते हैं, जिसे हमने ऊपर एक उदाहरण के रूप में उद्धृत किया है, तो इसमें सबसे बड़ा, या उच्चतम, सैकड़ों का अंक होगा, और निम्नतम, या निम्नतम, 10,000 का अंक होगा।

किसी भी दशमलव अंश को अलग-अलग अंकों में विघटित किया जा सकता है, अर्थात योग के रूप में दर्शाया जा सकता है। यह संक्रिया उसी प्रकार की जाती है जैसे प्राकृत संख्याओं के लिए की जाती है।

उदाहरण 2

आइए अंश 56, 0455 को अंकों में विस्तारित करने का प्रयास करें।

हम यह कर सकेंगे:

56 , 0455 = 50 + 6 + 0 , 4 + 0 , 005 + 0 , 0005

यदि हम योग के गुणों को याद रखें, तो हम इस भिन्न को अन्य रूपों में प्रस्तुत कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, योग 56 + 0, 0455, या 56, 0055 + 0, 4, आदि।

अनुगामी दशमलव क्या होते हैं

ऊपर जिन भिन्नों के बारे में हमने बात की है वे सभी अनुगामी दशमलव हैं। इसका अर्थ है कि दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या परिमित है। आइए परिभाषा प्राप्त करें:

परिभाषा 1

अनुगामी दशमलव एक प्रकार का दशमलव है जिसमें अल्पविराम के बाद अंकों की एक सीमित संख्या होती है।

ऐसे अंशों के उदाहरण 0, 367, 3, 7, 55, 102567958, 231032, 49, आदि हो सकते हैं।

इनमें से किसी भी अंश को मिश्रित संख्या में परिवर्तित किया जा सकता है (यदि उनके भिन्नात्मक भाग का मान शून्य से भिन्न है), या एक साधारण अंश में (यदि पूर्णांक भाग शून्य है)। यह कैसे किया जाता है इसके लिए हमने एक अलग सामग्री समर्पित की है। आइए यहां केवल कुछ उदाहरणों को इंगित करें: उदाहरण के लिए, हम अंतिम दशमलव अंश 5 , 63 को 5 63 100 के रूप में ला सकते हैं, और 0 , 2 2 10 (या इसके बराबर कोई अन्य भिन्न, उदाहरण के लिए, 4 20 या 1 5।)

लेकिन विपरीत प्रक्रिया, यानी एक साधारण अंश को दशमलव रूप में लिखना हमेशा नहीं किया जा सकता है। इसलिए, 5 13 को 100, 10, आदि के भाजक के साथ एक समान भिन्न द्वारा प्रतिस्थापित नहीं किया जा सकता है, जिसका अर्थ है कि अंतिम दशमलव भिन्न इससे काम नहीं करेगा।

मुख्य प्रकार के अनंत दशमलव अंश: आवधिक और गैर-आवधिक अंश

हमने ऊपर बताया कि परिमित अंश इसलिए कहलाते हैं क्योंकि उनके पास दशमलव बिंदु के बाद अंकों की एक सीमित संख्या होती है। हालाँकि, यह अच्छी तरह से अनंत हो सकता है, जिस स्थिति में स्वयं अंशों को भी अनंत कहा जाएगा।

परिभाषा 2

अनंत दशमलव वे होते हैं जिनमें दशमलव बिंदु के बाद अनंत संख्या में अंक होते हैं।

जाहिर है, ऐसी संख्याएं पूरी तरह से नहीं लिखी जा सकती हैं, इसलिए हम उनमें से केवल एक भाग को इंगित करते हैं और फिर दीर्घवृत्त डालते हैं। यह चिन्ह दशमलव स्थानों के अनुक्रम की अनंत निरंतरता को इंगित करता है। अनंत दशमलव के उदाहरण होंगे 0 , 143346732 ... , 3 , 1415989032 ... , 153 , 0245005 ... , 2 , 66666666666 ... , 69 , 748768152 ... । वगैरह।

इस तरह के एक अंश की "पूंछ" में न केवल संख्याओं के यादृच्छिक क्रम हो सकते हैं, बल्कि एक ही वर्ण या वर्णों के समूह की निरंतर पुनरावृत्ति हो सकती है। दशमलव बिंदु के बाद प्रत्यावर्तन वाले अंशों को आवधिक कहा जाता है।

परिभाषा 3

आवधिक दशमलव अंश ऐसे अनंत दशमलव अंश होते हैं जिनमें दशमलव बिंदु के बाद एक अंक या कई अंकों के समूह को दोहराया जाता है। दोहराए जाने वाले भाग को अंश की अवधि कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, भिन्न 3, 444444 ... के लिए। अवधि संख्या 4 होगी, और 76 के लिए, 134134134134 ... - समूह 134।

आवधिक अंश में अनुमत वर्णों की न्यूनतम संख्या क्या है? आवधिक अंशों के लिए, संपूर्ण अवधि को एक बार कोष्ठक में लिखना पर्याप्त होगा। इसलिए, भिन्न 3, 444444 ... है। इसे 3, (4), और 76, 134134134134 ... - 76, (134) के रूप में लिखना सही होगा।

सामान्य तौर पर, कोष्ठक में कई अवधियों वाली प्रविष्टियों का बिल्कुल समान अर्थ होगा: उदाहरण के लिए, आवधिक अंश 0.677777 0.6 (7) और 0.6 (77), आदि के समान है। 0 , 67777 (7), 0 , 67 (7777) और अन्य जैसी प्रविष्टियों की भी अनुमति है।

त्रुटियों से बचने के लिए, हम अंकन की एकरूपता का परिचय देते हैं। आइए केवल एक अवधि (अंकों का सबसे छोटा संभव क्रम) लिखने के लिए सहमत हों, जो दशमलव बिंदु के सबसे करीब है, और इसे कोष्ठक में संलग्न करें।

अर्थात्, उपरोक्त अंश के लिए, हम प्रविष्टि 0, 6 (7) को मुख्य मानेंगे, और, उदाहरण के लिए, अंश 8, 9134343434 के मामले में, हम 8, 91 (34) लिखेंगे।

यदि किसी साधारण भिन्न के हर में 5 और 2 के बराबर अभाज्य गुणनखण्ड हों, तो जब परिवर्तित किया जाता है दशमलव अंकनवे अनंत अंश बनाते हैं।

सिद्धांत रूप में, हम किसी भी परिमित अंश को आवर्त के रूप में लिख सकते हैं। ऐसा करने के लिए, हमें केवल दाईं ओर अनंत संख्या में शून्य जोड़ने की आवश्यकता है। यह रिकॉर्ड पर कैसा दिखता है? मान लीजिए कि हमारे पास अंतिम अंश 45, 32 है। आवधिक रूप में, यह 45, 32 (0) जैसा दिखेगा। यह क्रिया इसलिए संभव है क्योंकि किसी भी दशमलव अंश के दाईं ओर शून्य जोड़ने से हमें परिणाम के बराबर भिन्न मिलती है।

अलग से, किसी को 9 की अवधि के साथ आवधिक अंशों पर ध्यान देना चाहिए, उदाहरण के लिए, 4, 89 (9), 31, 6 (9) । वे 0 की अवधि के साथ समान अंशों के लिए एक वैकल्पिक संकेतन हैं, इसलिए उन्हें अक्सर शून्य अवधि वाले अंशों के साथ लिखते समय बदल दिया जाता है। उसी समय, एक को अगले अंक के मान में जोड़ा जाता है, और (0) को कोष्ठक में इंगित किया जाता है। परिणामी संख्याओं की समानता को साधारण अंशों के रूप में प्रस्तुत करके जांचना आसान है।

उदाहरण के लिए, अंश 8, 31 (9) को संगत भिन्न 8, 32 (0) से बदला जा सकता है। या 4, (9) = 5, (0) = 5।

अनंत दशमलव आवधिक अंश परिमेय संख्याएँ हैं। दूसरे शब्दों में, किसी भी आवधिक अंश को साधारण अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है, और इसके विपरीत।

ऐसे अंश भी हैं जिनमें दशमलव बिंदु के बाद कोई असीम रूप से दोहराव वाला क्रम नहीं है। इस मामले में, उन्हें गैर-आवधिक अंश कहा जाता है।

परिभाषा 4

गैर-आवधिक दशमलव अंशों में वे अनंत दशमलव अंश शामिल होते हैं जिनमें दशमलव बिंदु के बाद की अवधि नहीं होती है, अर्थात संख्याओं का दोहराव समूह।

कभी-कभी गैर-आवधिक अंश आवधिक वाले के समान दिखते हैं। उदाहरण के लिए, 9 , 03003000300003 ... पहली नज़र में एक अवधि लगती है, लेकिन दशमलव स्थानों का एक विस्तृत विश्लेषण पुष्टि करता है कि यह अभी भी एक गैर-आवधिक अंश है। आपको इस तरह के नंबरों से बेहद सावधान रहने की जरूरत है।

गैर-आवधिक अंश अपरिमेय संख्याएँ हैं। वे साधारण अंशों में परिवर्तित नहीं होते हैं।

दशमलव के साथ बुनियादी संचालन

दशमलव अंशों के साथ निम्नलिखित कार्य किए जा सकते हैं: तुलना, घटाव, जोड़, भाग और गुणा। आइए उनमें से प्रत्येक का अलग-अलग विश्लेषण करें।

मूल दशमलव के अनुरूप साधारण भिन्नों की तुलना करने के लिए दशमलव की तुलना को कम किया जा सकता है। लेकिन अनंत गैर-आवधिक अंशों को इस रूप में कम नहीं किया जा सकता है, और दशमलव अंशों को साधारण में परिवर्तित करना अक्सर श्रमसाध्य कार्य होता है। यदि समस्या को हल करने के दौरान हमें इसे करने की आवश्यकता है तो तुलनात्मक क्रिया को जल्दी से कैसे करें? जिस तरह हम प्राकृतिक संख्याओं की तुलना करते हैं, उसी तरह अंकों के आधार पर दशमलव अंशों की तुलना करना सुविधाजनक है। हम इस पद्धति के लिए एक अलग लेख समर्पित करेंगे।

एक दशमलव अंश को दूसरे में जोड़ने के लिए, प्राकृतिक संख्याओं के लिए कॉलम जोड़ विधि का उपयोग करना सुविधाजनक है। आवधिक दशमलव अंशों को जोड़ने के लिए, आपको पहले उन्हें साधारण से बदलना होगा और उसके अनुसार गिनना होगा मानक योजना. यदि, समस्या की शर्तों के अनुसार, हमें अनंत गैर-आवधिक अंशों को जोड़ना है, तो हमें पहले उन्हें एक निश्चित अंक तक गोल करना होगा, और फिर उन्हें जोड़ना होगा। जिस अंक को हम राउंड करते हैं वह जितना छोटा होगा, गणना की सटीकता उतनी ही अधिक होगी। अनंत अंशों के घटाव, गुणा और भाग के लिए प्रारंभिक गोलाई भी आवश्यक है।

दशमलव अंशों का अंतर ज्ञात करना जोड़ के विपरीत है। वास्तव में, घटाव की मदद से, हम एक संख्या का पता लगा सकते हैं, जिसका घटा हुआ अंश के साथ योग हमें घटा हुआ देगा। हम इसके बारे में एक अलग लेख में अधिक विस्तार से बात करेंगे।

दशमलव अंशों का गुणन उसी तरह से किया जाता है जैसे प्राकृतिक संख्याओं के लिए। एक स्तम्भ द्वारा गणना की विधि भी इसके लिए उपयुक्त होती है। हम पहले से अध्ययन किए गए नियमों के अनुसार इस क्रिया को फिर से आवधिक अंशों के साथ साधारण अंशों के गुणा तक कम करते हैं। जैसा कि हमें याद है, अनंत अंशों को गिनने से पहले गोल किया जाना चाहिए।

दशमलव को विभाजित करने की प्रक्रिया गुणन प्रक्रिया के विपरीत होती है। समस्याओं को हल करते समय, हम कॉलम काउंट का भी उपयोग करते हैं।

आप अंतिम दशमलव और निर्देशांक अक्ष पर एक बिंदु के बीच एक सटीक पत्राचार सेट कर सकते हैं। आइए जानें कि अक्ष पर एक बिंदु को कैसे चिह्नित किया जाए जो आवश्यक दशमलव अंश के बिल्कुल अनुरूप होगा।

हम पहले ही अध्ययन कर चुके हैं कि साधारण अंशों के अनुरूप बिंदुओं का निर्माण कैसे किया जाता है, और दशमलव अंशों को इस रूप में कम किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक साधारण भिन्न 14 10 1 , 4 के समान है, इसलिए इससे संबंधित बिंदु मूल से धनात्मक दिशा में ठीक उसी दूरी से हटा दिया जाएगा:

आप दशमलव अंश को साधारण के साथ बदले बिना कर सकते हैं, और अंकों के विस्तार की विधि को आधार के रूप में ले सकते हैं। इसलिए, यदि हमें एक बिंदु को चिन्हित करने की आवश्यकता है जिसका निर्देशांक 15 , 4008 के बराबर होगा, तो हम पहले इस संख्या को 15 + 0 , 4 + , 0008 के योग के रूप में प्रस्तुत करेंगे। आरंभ करने के लिए, हम उत्पत्ति से सकारात्मक दिशा में 15 संपूर्ण इकाई खंडों को अलग करते हैं, फिर एक खंड के 4 दसवें हिस्से और फिर एक खंड के 8 दस-हजारवें हिस्से को अलग करते हैं। नतीजतन, हमें एक समन्वय बिंदु मिलता है, जो अंश 15, 4008 से मेल खाता है।

एक अनंत दशमलव अंश के लिए, इस विशेष विधि का उपयोग करना बेहतर है, क्योंकि यह आपको वांछित बिंदु तक पहुंचने की अनुमति देता है जितना आप चाहते हैं। कुछ मामलों में, समन्वय अक्ष पर एक अनंत अंश का सटीक पत्राचार बनाना संभव है: उदाहरण के लिए, 2 = 1, 41421। . . , और इस अंश को निर्देशांक किरण पर एक बिंदु के साथ जोड़ा जा सकता है, वर्ग के विकर्ण की लंबाई से 0 से दूरस्थ, जिसकी भुजा एक इकाई खंड के बराबर होगी।

यदि हम अक्ष पर कोई बिंदु नहीं पाते हैं, लेकिन इसके अनुरूप एक दशमलव अंश है, तो इस क्रिया को खंड का दशमलव माप कहा जाता है। आइए देखें कि इसे सही तरीके से कैसे किया जाए।

मान लीजिए कि हमें निर्देशांक अक्ष पर शून्य से दिए गए बिंदु तक पहुंचने की आवश्यकता है (या अनंत अंश के मामले में जितना संभव हो उतना करीब हो)। ऐसा करने के लिए, हम धीरे-धीरे इकाई खंडों को निर्देशांक की उत्पत्ति से अलग करते हैं जब तक कि हम वांछित बिंदु तक नहीं पहुंच जाते। पूरे खंडों के बाद, यदि आवश्यक हो, तो हम दसवें, सौवें और छोटे भागों को मापते हैं ताकि पत्राचार यथासंभव सटीक हो। नतीजतन, हमें एक दशमलव अंश मिला, जो इससे मेल खाता है दिया बिंदुसमन्वय अक्ष पर।

ऊपर हमने एक बिंदु M के साथ एक तस्वीर दी है। इसे फिर से देखें: इस बिंदु पर जाने के लिए, आपको एक इकाई खंड को शून्य और उसके चार दसवें हिस्से से मापने की आवश्यकता है, क्योंकि यह बिंदु दशमलव अंश 1, 4 से मेल खाता है।

यदि हम दशमलव माप की प्रक्रिया में एक बिंदु पर नहीं पहुँच सकते हैं, तो इसका मतलब है कि एक अनंत दशमलव अंश इसके अनुरूप है।

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