एक कॉलम, उदाहरण, समाधान द्वारा प्राकृतिक संख्याओं का घटाव। कॉलम घटाव

दो का अंतर ज्ञात करने की एक सुविधाजनक विधि है प्राकृतिक संख्या- कॉलम में घटाव, या कॉलम में घटाव। इस पद्धति का नाम मिन्यूएंड लिखने की विधि और एक दूसरे के नीचे अंतर से लिया गया है। तो आप संख्याओं के आवश्यक अंकों के अनुसार बुनियादी और मध्यवर्ती दोनों गणना कर सकते हैं।

इस विधि का उपयोग करना सुविधाजनक है क्योंकि यह बहुत सरल, तेज और दृश्य है। सभी प्रतीत होने वाली जटिल गणनाओं को अभाज्य संख्याओं के जोड़ और घटाव में घटाया जा सकता है।

नीचे हम देखेंगे कि इस पद्धति का उपयोग कैसे करें। हमारे तर्क को अधिक स्पष्टता के लिए उदाहरणों द्वारा समर्थित किया जाएगा।

यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1

कॉलम घटाव सीखने से पहले क्या समीक्षा की जानी चाहिए?

विधि कुछ पर आधारित है सरल क्रियाजिस पर हम पहले ही चर्चा कर चुके हैं। जोड़ तालिका का उपयोग करके सही तरीके से घटाना कैसे दोहराना आवश्यक है। समान प्राकृत संख्याओं को घटाने के मूल गुण को जानना भी वांछनीय है (में .) शाब्दिक रूपइसे a - a = 0) के रूप में लिखा जाता है। हमें निम्नलिखित समानताएं a − 0 = a और 0 − 0 = 0 की आवश्यकता होगी, जहां a कोई मनमाना प्राकृत संख्या है (यदि आवश्यक हो, तो पूर्णांकों का अंतर ज्ञात करने के मूल गुण देखें)।

इसके अलावा, यह जानना महत्वपूर्ण है कि प्राकृतिक संख्याओं का अंक कैसे निर्धारित किया जाए।

पहले चरण में मुख्य बात प्रारंभिक डेटा को सही ढंग से लिखना है। सबसे पहले, पहली संख्या लिखिए जिससे हम घटाएंगे। इसके तहत हम सबट्रेंड लगाते हैं। श्रेणी को ध्यान में रखते हुए संख्याओं को एक दूसरे के नीचे सख्ती से स्थित होना चाहिए: दसियों के नीचे दसियों, सैकड़ों के तहत सैकड़ों, इकाइयों के तहत इकाइयां। प्रविष्टि को दाएं से बाएं पढ़ा जाता है। इसके बाद, कॉलम के बाईं ओर एक माइनस लगाएं और दोनों नंबरों के नीचे एक लाइन बनाएं। इसके नीचे फाइनल रिजल्ट लिखा जाएगा।

उदाहरण 1

आइए एक उदाहरण का उपयोग करके दिखाएं कि कौन सी गणना प्रविष्टि सही है:

पहले की सहायता से हम पा सकते हैं कि 56 - 9 कितने होंगे, दूसरे की सहायता से - 3004 - 1670, तीसरे - 203604500 - 56777।

जैसा कि आप देख सकते हैं, इस पद्धति का उपयोग करके, आप अलग-अलग जटिलता की गणना कर सकते हैं।

इसके बाद, अंतर खोजने की प्रक्रिया पर विचार करें। ऐसा करने के लिए, हम बारी-बारी से अंकों के मूल्यों को घटाते हैं: पहले, इकाइयों से इकाइयों को घटाएं, फिर दसियों से दसियों, फिर सैकड़ों से सैकड़ों, आदि। स्रोत डेटा को परिणाम से अलग करने वाली रेखा के नीचे मान लिखे जाते हैं। नतीजतन, हमें एक संख्या प्राप्त करनी चाहिए, जो समस्या का सही उत्तर होगा, अर्थात। मूल संख्याओं के बीच का अंतर।

गणना कैसे की जाती है, इस आरेख में देखा जा सकता है:

हमने रिकॉर्डिंग और गिनती की सामान्य तस्वीर का पता लगाया। हालांकि, इस पद्धति में कुछ बिंदु हैं जिन्हें स्पष्टीकरण की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, हम विशिष्ट उदाहरण देंगे और उन्हें समझाएंगे। आइए सबसे सरल कार्यों से शुरू करें और धीरे-धीरे जटिलता को बढ़ाएं जब तक कि हम अंत में सभी बारीकियों को समझ न लें।

हम आपको सभी उदाहरणों को ध्यान से पढ़ने की सलाह देते हैं, क्योंकि उनमें से प्रत्येक अलग-अलग समझ से बाहर होने वाले बिंदुओं को दिखाता है। यदि आप अंत तक पहुँचते हैं और सभी स्पष्टीकरणों को याद करते हैं, तो भविष्य में प्राकृतिक संख्याओं के अंतर की गणना करने से आपको थोड़ी सी भी कठिनाई नहीं होगी।

उदाहरण 2

स्थि‍ति:कॉलम घटाव का उपयोग करके अंतर 74,805 - 24,003 पाएं।

समाधान:

हम इन संख्याओं को एक दूसरे के नीचे लिखते हैं, अंकों को एक दूसरे के नीचे सही ढंग से रखते हैं, और उन्हें रेखांकित करते हैं:

घटाव दाएं से बाएं, यानी इकाइयों से शुरू होता है। हम विचार करते हैं: 5 - 3 = 2 (यदि आवश्यक हो, तो प्राकृत संख्याओं को जोड़ने के लिए तालिकाओं को दोहराएं)। हम कुल को उस रेखा के नीचे लिखते हैं जहाँ इकाइयाँ इंगित की जाती हैं:

दसियों घटाएं। हमारे कॉलम में दोनों मान शून्य हैं, और शून्य से शून्य घटाना हमेशा शून्य देता है (याद रखें, हमने उल्लेख किया है कि हमें बाद में इस घटाव संपत्ति की आवश्यकता होगी)। परिणाम सही जगह लिखा गया है:

अगला कदम हजार अंतर का मान ज्ञात करना है: 4 − 4 = 0 । परिणामी शून्य को उसके उचित स्थान पर लिखा जाता है और परिणामस्वरूप हमें प्राप्त होता है:

हमें 50 802 मिले, जो उपरोक्त उदाहरण के लिए सही उत्तर होगा। यह गणनाओं को पूरा करता है।

उत्तर: 50 802 .

आइए एक और उदाहरण लें:

उदाहरण 3

स्थि‍ति: एक कॉलम द्वारा अंतर ज्ञात करने की विधि का उपयोग करके गणना करें कि 5 777 - 5 751 कितना होगा।

समाधान:

हमें जो कदम उठाने की जरूरत है, वे पहले ही ऊपर दिए जा चुके हैं। हम उन्हें नए नंबरों के लिए क्रमिक रूप से निष्पादित करते हैं और परिणामस्वरूप हमें मिलता है:

परिणाम दो शून्य से पहले है। इसलिये वे पहले हैं, फिर आप उन्हें सुरक्षित रूप से त्याग सकते हैं और उत्तर में 26 प्राप्त कर सकते हैं। यह संख्या हमारे उदाहरण का सही उत्तर होगी।

उत्तर: 26 .

यदि आप उपरोक्त दो उदाहरणों की शर्तों को देखें, तो यह देखना आसान है कि हमने अभी तक केवल वही संख्याएँ ली हैं जो वर्णों की संख्या के बराबर हैं। लेकिन कॉलम विधि का उपयोग तब भी किया जा सकता है जब मिन्यूएंड में सबट्रेंड की तुलना में अधिक वर्ण शामिल हों।

उदाहरण 4

स्थि‍ति: 502 864 संख्या 2 330 का अंतर ज्ञात कीजिए।

समाधान

हम अंकों के वांछित सहसंबंध को देखते हुए एक दूसरे के नीचे संख्याएँ लिखते हैं। यह इस तरह दिखेगा:

अब हम एक-एक करके मानों की गणना करते हैं:

- इकाइयां: 4 - 0 = 4;

- दहाई: 6 - 3 \u003d 3;

- सैकड़ों: 8 - 3 = 5;

- हजार: 2 - 2 = 0।

आइए लिखें कि हमें क्या मिला:

सबट्रेंड में दसियों और सैकड़ों हजारों के स्थान पर मान होते हैं, लेकिन मिन्यूएंड नहीं होता है। क्या करें? याद रखें कि शून्य गणितीय उदाहरणशून्य के बराबर है। इसलिए हमें मूल मानों से शून्य घटाना होगा। एक प्राकृतिक संख्या से शून्य घटाना हमेशा शून्य देता है, इसलिए, हमारे लिए जो कुछ भी रहता है वह उत्तर क्षेत्र में मूल बिट मानों को फिर से लिखना है:

हमारी गणना पूरी हो गई है। हमें कुल मिला: 502 864 - 2 330 = 500 534।

उत्तर: 500 534 .

हमारे उदाहरणों में, सबट्रेंड के अंकों का मान हमेशा मिन्यूएंड के मूल्यों से कम निकला, इसलिए इससे गणना में कोई कठिनाई नहीं हुई। क्या होगा यदि माइनस में जाए बिना शीर्ष पंक्ति के मान से नीचे की पंक्ति के मान को घटाना असंभव है? फिर हमें उच्च क्रम के मूल्यों को "उधार" लेने की आवश्यकता है। आइए एक विशिष्ट उदाहरण लेते हैं।

उदाहरण 5

स्थि‍ति: 534 - 71 का अंतर ज्ञात कीजिए।

हम पहले से ही परिचित कॉलम लिखते हैं और गणना का पहला कदम उठाते हैं: 4 - 1 = 3। हम पाते हैं:

इसके बाद, हमें दसियों की गिनती की ओर बढ़ना होगा। ऐसा करने के लिए, हमें 3 से 7 घटाना होगा। यह ऑपरेशन प्राकृतिक संख्याओं के साथ नहीं किया जा सकता है, क्योंकि यह केवल तभी समझ में आता है जब मिन्यूएंड सबट्रेंड से बड़ा हो। इसलिए, इस उदाहरण में, हमें उच्चतम क्रम से एक इकाई को "उधार" लेने की आवश्यकता है और इस तरह इसे "विनिमय" करना होगा। यही है, हम 10 दहाई के लिए 100 बदलते हैं और उनमें से एक लेते हैं। इसे न भूलने के लिए, हम वांछित अंक को एक बिंदु के साथ चिह्नित करते हैं, और दसियों में हम एक अलग रंग में 10 लिखते हैं। हमारे पास ऐसा रिकॉर्ड है:

परिणाम में लिखा गया है सही जगहलकीर के नीचे:

सैकड़ों की गणना करके गिनती खत्म करना हमारे लिए बाकी है। हमारे पास संख्या 5 के ऊपर एक बिंदु है: इसका मतलब है कि हमने पिछले अंक के लिए यहां से दस लिया। फिर 5 - 1 = 4। चार में से कुछ भी घटाने की जरूरत नहीं है, क्योंकि सैकड़ों मूल्यों के निर्वहन में घटाए जाने का कोई मतलब नहीं है। हम जगह में 4 लिखते हैं और उत्तर प्राप्त करते हैं:

उत्तर: 463 .

अक्सर, आपको एक उदाहरण में कई बार "एक्सचेंज" क्रिया करनी होती है। आइए इस समस्या पर एक नजर डालते हैं।

उदाहरण 6

स्थि‍ति: 1 632 - 947 कितना होता है?

समाधान

गणना के पहले चरण में, दो को सात में से घटाना आवश्यक है, इसलिए हम तुरंत 10 इकाइयों के बदले दस पर "कब्जा" कर लेते हैं। हम इस क्रिया को एक बिंदु से चिह्नित करते हैं और 10 + 2 - 7 = 5 पर विचार करते हैं। यहाँ हमारी प्रविष्टि अंकों के साथ कैसी दिखती है:

इसके बाद, हमें दहाई गिनने की जरूरत है। निर्दिष्ट बिंदु का अर्थ है कि गणना के लिए हम इस बिट में एक नंबर कम लेते हैं: 3 - 1 = 2। ड्यूस से, हमें चार घटाना है, इसलिए हम सैकड़ों का "विनिमय" करते हैं। हम पाते हैं (10 + 2) - 4 = 12 - 4 = 8।

सैकड़ों की गिनती के लिए आगे बढ़ रहा है। छह में से, हम पहले ही एक पर कब्जा कर चुके हैं, इसलिए 6 - 1 = 5। हम पाँच में से नौ घटाते हैं, जिसके लिए हम अपने पास मौजूद हज़ार लेते हैं और इसे 10 सौ के लिए "विनिमय" करते हैं। तो (10 + 5) - 9 = 15 - 9 = 6। अब हमारी नोट प्रविष्टि इस तरह दिखती है:

हजारवें स्थान पर गणना करना हमारे लिए शेष है। हम यहाँ से पहले ही एक इकाई उधार ले चुके हैं, अतः 1 - 1 = 0 । हम अंतिम पंक्ति के तहत परिणाम लिखते हैं और देखते हैं कि क्या होता है:

यह गणनाओं को पूरा करता है। शुरुआत में शून्य को छोड़ा जा सकता है। तो 1632 - 947 = 685।

उत्तर: 685 .

आइए एक और अधिक जटिल उदाहरण लें।

उदाहरण 7

स्थि‍ति: 8002 में से 907 घटाएं।

जैसा कि हम जानते हैं कि किसी भी संख्या को दस अक्षरों का प्रयोग करके लिखा जा सकता है, जिन्हें अरबी (अरबी) कहा जाता है। आंकड़ों. इसका मतलब है कि किसी भी लिखित गणित के असाइनमेंट को पूरा करने के लिए आपको दस तक गिनती करने में सक्षम होने की आवश्यकता नहीं है। उदाहरण के लिए, हमें मेज पर डाली गई बड़ी संख्या में रेत के दानों को गिनने का कार्य दिया जाता है। हम रेत के दस दाने गिनते हैं और उन्हें एक ढेर में डाल देते हैं। फिर हम रेत के दस और दाने गिनते हैं और उन्हें दूसरे ढेर में डाल देते हैं। और इसी तरह, और इसी तरह, जब तक संभव हो। रेत के शेष दाने जो किसी भी ढेर (यदि कोई हो) में नहीं गिरे, हम तालिका के दूर के छोर पर चले जाते हैं ताकि हस्तक्षेप न हो। हमसे पहले केवल मुट्ठी भर-दर्जन थे। हम उन्हें गिनना शुरू कर रहे हैं। और हमने ठीक उसी तरह काम करना शुरू किया जैसे कि हमारे सामने केवल रेत के अलग-अलग दानों का एक बड़ा बिखराव था। दस ढेर-दहाई गिनने के बाद, हम उन्हें एक और ढेर में इकट्ठा करते हैं - एक ढेर-सौ। फिर हम एक और गुच्छा बनाते हैं-सौ और इसी तरह, जब तक संभव हो। अतिरिक्त ढेर-दहाई, किसी भी ढेर-सौ (यदि कोई हो) में शामिल नहीं हैं, तालिका के सबसे दूर ले जाया जाता है। अब हम ढेर-सैकड़ों की पुनर्गणना के लिए आगे बढ़ते हैं। और इसी तरह, और इसी तरह - पहले से ही परिचित पैटर्न के अनुसार। हर बार हम बड़े और बड़े बवासीर से निपटते हैं। देर-सबेर हम यह हासिल कर लेंगे कि हमारे सामने दस से कम ढेर होंगे। अब यह निम्न तालिका को पूरा करना बाकी है।

सबसे दाहिने कॉलम में, आपको रेत के अलग-अलग दानों की संख्या दर्ज करने की आवश्यकता है जो किसी भी ढेर में नहीं गिरे। वैज्ञानिक रूप से, तालिका के इस स्तंभ को कहा जाता है इकाई अंक. इसे संख्या का सबसे छोटा सार्थक अंक भी कहा जाता है। दाएं से दूसरे कॉलम में ( दस जगह) आपको ढेर-दसियों की संख्या डालनी चाहिए। और इसी तरह। यदि आवश्यक हो, तो बाईं ओर की तालिका में किसी भी संख्या में कॉलम (सबसे महत्वपूर्ण अंक) असाइन किए जा सकते हैं, और यह इतना महत्वपूर्ण नहीं है कि उन्हें क्या कहा जाता है। यदि, इसके विपरीत, बहुत अधिक स्तंभ हैं, तो बाईं ओर के अतिरिक्त स्तंभों को हटाया जा सकता है। बालू के दाने गिनने का काम पूरा हो गया है।

अब विचार करें कि आप बिना अबेकस के दो बड़ी संख्याओं को कैसे जोड़ सकते हैं। मान लीजिए कि रेत के 1234 दाने में 2345 दाने रेत मिलाना है। हम दोनों संख्याओं को तालिका में रखते हैं:

जब से हम इकट्ठे हुए हैं तहये नंबर, फिर हमने उन्हें कॉल किया शर्तें. आइए प्रत्येक अंक की सामग्री को अलग से जोड़ें: एक के साथ वाले, दहाई के साथ, सैकड़ों के साथ सैकड़ों, हजारों के साथ हजारों, और हमें उत्तर मिलता है:

ध्यान दें कि जोड़ के परिणाम को वैज्ञानिक रूप से योग कहा जाता है। इस तरह,

1234 + 2345 = 3579.

दुर्भाग्य से, चीजें हमेशा इतनी आसान नहीं होती हैं। आइए गणना करें

हम तालिका में शर्तें दर्ज करते हैं, प्रत्येक श्रेणी को अलग से जोड़ते हैं और प्राप्त करते हैं:

मान लीजिए कि यह बुरी तरह से चला गया। यहाँ, उदाहरण के लिए, सबसे छोटी श्रेणी में रेत के 17 दाने थे। इतने सारे बालू के दानों से आप दस का एक पूरा गुच्छा बना सकते हैं, और दस के इस गुच्छे का स्थान अगली उच्चतम श्रेणी में है। हमें तालिका को एक अलग रूप में फिर से लिखना होगा, आवश्यकतानुसार नए ढेर बनाकर उन्हें तुरंत सही श्रेणी में रखना होगा। उसके बाद, यह प्रत्येक अंक के अंदर फिर से जोड़ करने के लिए रहता है, और उसके बाद ही सही उत्तर प्राप्त होगा:

ठीक है, सिद्धांत रूप में, आप ऐसा कर सकते हैं, लेकिन उत्तर हमेशा जल्दी प्राप्त नहीं होता है। यहाँ, उदाहरण के लिए, 9999 और 1 को इस प्रकार जोड़ने के लिए आपको कितनी लंबी तालिका बनानी होगी:

आइए देखें कि क्या हम छोटी प्रविष्टि के साथ प्राप्त कर सकते हैं। आइए 5678 और 6789 संख्याओं को फिर से जोड़ें और यथासंभव संक्षिप्त होने का प्रयास करें। ठीक है, सबसे पहले, तालिका को इतनी सावधानी से पंक्तिबद्ध करने और कॉलम और पंक्ति शीर्षकों को लिखने की कोई आवश्यकता नहीं है। आइए बस इस तरह की शर्तें लिखें:

इस जोड़ के परिणामस्वरूप, हमने दस का एक अतिरिक्त गुच्छा बनाया है, जिसे हमने इसके लिए उपयुक्त श्रेणी में लिखा है। अब, जब हम ढेर-दहाई जोड़ते हैं, तो हम इस अतिरिक्त ढेर को भी ध्यान में रखेंगे: 7 दहाई + 8 दहाई = 15 दहाई; 15 दहाई + 1 दहाई = 16 दहाई; 16 दहाई = 1 सौ + 6 दहाई। तो आपको लिखना चाहिए:

अंत में, यह सब कुछ जोड़ना बाकी है जो हजारों स्थान पर निकला (और, सुंदरता के लिए, नीचे की पंक्ति में सबसे महत्वपूर्ण अंक से एक इकाई फिर से लिखें):

ऐसी छोटी सीढ़ियाँ लिखना जारी रखते हुए, हमें अंतिम उत्तर फॉर्म में मिलता है:

दहाई के स्थान के लिए कतार। हम 7 और 8 को जोड़ते हैं और 15 प्राप्त करते हैं। अच्छा, अब संख्या 1 कहाँ लिखनी है, संख्या 5 कहाँ है? हम लाइन के नीचे एक फ्री लाइन छोड़ना भूल गए, जहां से सीढ़ी शुरू होनी चाहिए! लेकिन, निश्चित रूप से, हम कुछ भी पार नहीं करेंगे या फिर से नहीं करेंगे। हम केवल तालिका के शीर्ष पर नंबर 1 लिखेंगे। केवल महत्वपूर्ण बात यह है कि यह सही श्रेणी में आता है:

अंत में, सब ठीक है! लेकिन आप और भी बेहतर कर सकते हैं। सबसे ऊपर, सभी समान, इकाइयों के अलावा कुछ भी नहीं खड़ा हो सकता है। इसलिए, इन इकाइयों को इतनी सावधानी से लिखना बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है। इन इकाइयों की जगह छोटे-छोटे साफ-सुथरे डॉट्स लगाना ही काफी है। ऐशे ही:

हम प्रत्येक अंक में अलग से घटाव करते हैं और उत्तर प्राप्त करते हैं:

एम-हाँ ... इकाइयों की श्रेणी में स्थिति बहुत अप्रिय है। सात में से आठ घटाएं। लेकिन हमारे पास पहले से ही कुछ अनुभव है। हम इस स्थिति से बाहर निकलना जानते हैं। रेत के अलग-अलग अनाज में दस का एक गुच्छा तोड़ना जरूरी है, और फिर सब कुछ जगह में गिर जाएगा। आप इसे इस तरह लिख सकते हैं:

चलो दसियों पर चलते हैं। यहां भी मुसीबत हमारा इंतजार कर रही है। छह में से, आपको सात घटाना होगा, और फिर एक और इकाई घटानी होगी। हम एक उच्च क्रम से एक गुच्छा को विभाजित करके चाल को दोहराते हैं:

दहाई के स्थान पर अब हमारे पास है: 10 + 6 = 16; 16 - 7 = 9; 9 - 1 = 8. हम इसी तरह आगे बढ़ते हैं और अंत में हमें मिलता है:

सब कुछ ठीक हो जाएगा, लेकिन हम पहले से ही जानते हैं कि इस तरह की रिकॉर्डिंग से कुछ असुविधा हो सकती है। आइए गणना करने का प्रयास करें

इकाइयों की श्रेणी में, स्थिति बहुत सफल है:

हम दसियों के अंकों में गणना की ओर मुड़ते हैं। लेकिन यहाँ सब कुछ इतना सहज नहीं है। आपको इस तरह लिखना है:

हम गणनाओं को अंत तक लाते हैं और प्राप्त करते हैं:

इस सभी संरचना को एक बिंदु से बदला जा सकता है, जिसे "-1" के स्थान पर आसानी से लिखा जाता है। परिणाम है:

यहाँ, इकाइयों की श्रेणी में घटाव करने के लिए, दस के एक गुच्छा को रेत के अलग-अलग दानों में तोड़ना आवश्यक होगा, लेकिन हमारे पास दसियों का गुच्छा भी नहीं है। कोई बात नहीं! हम थोड़ा ध्यान लगा रहे हैं। अब हम पतली हवा में से दस में से एक गुच्छा उधार लेंगे, लेकिन फिर, जब हम दसियों की श्रेणी में गणना करेंगे, तो उधार ली गई गुच्छा को वापस करना आवश्यक होगा। बेझिझक एक बिंदु को दहाई की श्रेणी में रखें। इकाई के स्थान पर हम पाते हैं: 10 + 0 = 10; 10 - 1 = 9:

यह दहाई के स्थान से निपटने का समय है। यहां हमारे पास शून्य ढेर है, और एक और ढेर वापस किया जाना चाहिए, जैसा कि ऊपर दिया गया बिंदु हमें याद दिलाता है। हम एक बिंदु को सैकड़ों की श्रेणी में रखते हैं और इस बारे में नहीं सोचते हैं कि असली ढेर-सौ दस ढेर में टूट गया है या ऐसा ढेर "पतली हवा से बाहर" उधार लिया गया है। अब हमारे पास दहाई के स्थान पर दस ढेर हैं। हम उनमें से एक लौटाते हैं, नौ शेष हैं:

अब हम घटाव के बारे में सब कुछ जानते हैं। यह कौशल विकसित करना बाकी है।

का उपयोग करके अंतर खोजने के लिए " स्तंभ घटाव”(दूसरे शब्दों में, किसी कॉलम या कॉलम से घटाव की गणना कैसे करें), आपको इन चरणों का पालन करना चाहिए:

• सबट्रेंड को माइन्यूएंड के नीचे रखें, इकाइयों को इकाइयों के तहत लिखें, दहाई के नीचे दहाई, और इसी तरह।
• थोड़ा-थोड़ा करके घटाना।
• अगर आपको किसी बड़ी कैटेगरी से दस लेना है तो जिस कैटेगरी से लिया है उस पर एक डॉट लगाएं। जिस श्रेणी के लिए उन्होंने लिया, उसके ऊपर 10 लगाएं।
• यदि जिस अंक में हमने कब्जा किया है वह 0 है, तो हम घटते हुए अंक को अगले अंक से लेते हैं और उस पर एक बिंदु लगाते हैं। जिस श्रेणी के लिए उन्होंने लिया, उसके ऊपर 9 डालें, क्योंकि। एक दर्जन व्यस्त हैं।

नीचे दिए गए उदाहरण आपको दिखाएंगे कि कैसे दो-अंकीय, तीन-अंकीय और किसी भी घटाना है बहु अंक संख्याकॉलम।

एक कॉलम में संख्याओं का घटावबड़ी संख्या (साथ ही एक कॉलम में जोड़) को घटाते समय बहुत मदद मिलती है। सीखने का सबसे अच्छा तरीका उदाहरण है।

संख्याओं को एक के नीचे इस प्रकार लिखना आवश्यक है कि पहली संख्या का सबसे दाहिना अंक दूसरी संख्या के सबसे दाहिने अंक के नीचे हो जाए। जो संख्या अधिक होती है (घटती है) उसके ऊपर लिखा होता है। संख्याओं के बीच बाईं ओर हम क्रिया चिह्न लगाते हैं, यहाँ यह "-" (घटाव) है।

2 - 1 = 1 . हमें जो मिलता है वह लाइन के नीचे लिखा होता है:

10 + 3 = 13.

13 में से नौ घटाएं।

13 - 9 = 4.

चूंकि हमने चार में से दस लिया, यह 1 से कम हो गया। इस बारे में न भूलने के लिए, हमारे पास एक बिंदु है।

4 - 1 = 3.

परिणाम:

शून्य वाली संख्याओं से कॉलम घटाना।

फिर से, आइए एक उदाहरण देखें:

हम एक कॉलम में नंबर लिखते हैं। कौन सा अधिक है - शीर्ष पर। हम दाएं से बाएं, एक बार में एक अंक घटाना शुरू करते हैं। 9 - 3 = 6.

शून्य में से 2 घटाने से काम नहीं चलेगा, फिर हम बाईं ओर की संख्या से उधार लेते हैं। यह शून्य है। हम एक बिंदु को शून्य से ऊपर रखते हैं। और फिर, आप शून्य से उधार नहीं ले पाएंगे, फिर हम अगले अंक की ओर बढ़ते हैं। हम इकाई से उधार लेते हैं। हम उस पर एक बिंदी लगाते हैं।

टिप्पणी:जब घटाव में 0 से ऊपर एक बिंदु होता है, तो शून्य नौ हो जाता है।

हमारे शून्य के ऊपर एक बिंदु है, जिसका अर्थ है कि यह नौ हो गया है। इसमें से 4 घटाएं। 9 - 4 = 5 . इकाई के ऊपर एक बिंदु होता है, अर्थात यह 1 से घटता है। 1 - 1 = 0. परिणामी शून्य को दर्ज करने की आवश्यकता नहीं है।

में भी बहुत महत्वपूर्ण है रोजमर्रा की जिंदगी. किसी स्टोर में बदलाव की गिनती करते समय घटाव अक्सर काम आ सकता है। उदाहरण के लिए, आपके पास एक हजार (1000) रूबल हैं, और आपकी खरीदारी की राशि 870 है। आप अभी तक भुगतान किए बिना पूछेंगे: "मेरे पास कितना परिवर्तन होगा?"। तो, 1000-870 130 होगा। और ऐसी कई अलग-अलग गणनाएं हैं और इस विषय में महारत हासिल किए बिना, वास्तविक जीवन में यह मुश्किल होगा। घटाव है अंकगणितीय संक्रिया, जिसके दौरान पहली संख्या से दूसरी संख्या घटा दी जाती है, और तीसरी संख्या परिणाम है।

जोड़ सूत्र इस प्रकार व्यक्त किया गया है: ए - बी = सी

एक- वास्या के पास शुरू में सेब थे।

बी- पेट्या को दिए गए सेबों की संख्या।

सी- स्थानांतरण के बाद वास्या के पास सेब हैं।

सूत्र में प्रतिस्थापित करें:

संख्याओं का घटाव

किसी भी पहले ग्रेडर के लिए मास्टर के लिए संख्याओं को घटाना आसान है। उदाहरण के लिए, 5 को 6 से घटाया जाना चाहिए। 6-5 = 1, 6, 5 से एक बडा बड़ा है, जिसका अर्थ है कि उत्तर एक होगा। चेक करने के लिए आप 1+5=6 जोड़ सकते हैं। यदि आप जोड़ से परिचित नहीं हैं, तो आप हमारा पढ़ सकते हैं।

एक बड़ी संख्या को भागों में विभाजित किया गया है, आइए संख्या 1234 लें, और इसमें: 4-एक, 3-दस, 2-सौ, 1-हजार। यदि आप इकाइयाँ घटाएँ, तो सब कुछ आसान और सरल है। लेकिन आइए एक उदाहरण लेते हैं: 14-7। संख्या 14 में: 1 दस है, और 4 इकाइयाँ हैं। 1 दस - 10 यूनिट। फिर हमें 10 + 4-7 मिलता है, हम यह करते हैं: 10-7 + 4, 10 - 7 \u003d 3, और 3 + 4 \u003d 7। सही उत्तर मिला!

आइए एक उदाहरण 23 -16 पर विचार करें। पहली संख्या 2 दहाई और 3 इकाई है, और दूसरी संख्या 1 दहाई और 6 इकाई है। आइए संख्या 23 को 10+10+3 और 16 को 10+6 के रूप में निरूपित करें, फिर 23-16 को 10+10+3-10-6 के रूप में निरूपित करें। फिर 10-10=0, 10+3-6 शेष, 10-6=4, फिर 4+3=7. उत्तर मिल गया!

इसी तरह, यह सैकड़ों और हजारों के साथ किया जाता है

कॉलम घटाव

उत्तर: 3411.

भिन्नों का घटाव

एक तरबूज की कल्पना करो। एक तरबूज एक पूरा है, और आधे में काटने से हमें एक से कुछ कम मिलता है, है ना? आधी इकाई। इसे कैसे लिखें?

½, इसलिए हम एक पूरे तरबूज के आधे को निरूपित करते हैं, और यदि हम तरबूज को 4 बराबर भागों में विभाजित करते हैं, तो उनमें से प्रत्येक को के रूप में दर्शाया जाएगा। और इसी तरह…

भिन्नों को कैसे घटाएं

सब कुछ सरल है। 2/4 -वें से घटाएं। घटाते समय, यह महत्वपूर्ण है कि एक भिन्न का हर (4) दूसरे के हर के साथ मेल खाता हो। (1) और (2) अंश कहलाते हैं।

तो चलिए घटाते हैं। सुनिश्चित करें कि भाजक समान हैं। फिर हम अंश (2-1) / 4 घटाते हैं, इसलिए हमें 1/4 मिलता है।

घटाव सीमा

सीमा घटाना मुश्किल नहीं है। यहां, एक सरल सूत्र पर्याप्त है, जो कहता है कि यदि कार्यों के अंतर की सीमा संख्या a तक जाती है, तो यह इन कार्यों के अंतर के बराबर है, जिनमें से प्रत्येक की सीमा संख्या a की ओर जाती है।

मिश्रित संख्याओं का घटाव

एक मिश्रित संख्या एक भिन्नात्मक भाग वाला पूर्णांक है। अर्थात् यदि अंश हर से छोटा है, तो भिन्न एक से छोटा है, और यदि अंश हर से बड़ा है, तो भिन्न एक से बड़ा होता है। मिश्रित संख्या एक भिन्न है जो एक से अधिक है और एक पूर्णांक भाग हाइलाइट किया गया है, आइए एक उदाहरण का उपयोग करें:

मिश्रित संख्याओं को घटाने के लिए, आपको चाहिए:

भिन्नों को एक सामान्य हर में लाएँ।

अंश में पूर्णांक भाग दर्ज करें

गणना करें

घटाव पाठ

घटाव एक अंकगणितीय ऑपरेशन है, जिसके दौरान 2 संख्याओं का अंतर खोजा जाता है और उत्तर तीसरे होते हैं। जोड़ सूत्र इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: ए - बी = सी.

आप नीचे उदाहरण और कार्य पा सकते हैं।

पर अंश घटावयह याद रखना चाहिए कि:

एक भिन्न 7/4 को देखते हुए, हम पाते हैं कि 7 4 से बड़ा है, जिसका अर्थ है कि 7/4 1 से बड़ा है। पूरे भाग का चयन कैसे करें? (4+3)/4, तो हमें भिन्नों का योग 4/4 + 3/4, 4:4 + 3/4=1 + 3/4 प्राप्त होता है। परिणाम: एक पूरा, तीन चौथाई।

घटाव ग्रेड 1

प्रथम श्रेणी यात्रा की शुरुआत है, घटाव सहित मूल बातें सीखने और सीखने की शुरुआत है। प्रशिक्षण में किया जाना चाहिए खेल का रूप. हमेशा पहली कक्षा में, सेब, मिठाई, नाशपाती पर सरल उदाहरणों से गणना शुरू होती है। इस पद्धति का उपयोग व्यर्थ नहीं किया जाता है, बल्कि इसलिए कि जब बच्चों के साथ खेला जाता है तो वे अधिक रुचि रखते हैं। और यही एकमात्र कारण नहीं है। बच्चों ने अपने जीवन में बहुत बार सेब, मिठाइयाँ और इसी तरह की चीजें देखीं और हस्तांतरण और मात्रा से निपटा, इसलिए ऐसी चीजों को जोड़ना सिखाना मुश्किल नहीं होगा।

पहले ग्रेडर के लिए घटाव कार्य पूरे क्लाउड के साथ आ सकते हैं, उदाहरण के लिए:

कार्य 1।सुबह जंगल में घूमते हुए, हेजहोग को 4 मशरूम मिले, और शाम को जब वह घर आया, तो हेजहोग ने रात के खाने में 2 मशरूम खाए। कितने मशरूम बचे हैं?

कार्य 2.माशा रोटी के लिए दुकान पर गई। माँ ने माशा को 10 रूबल दिए, और रोटी की कीमत 7 रूबल थी। माशा को कितना पैसा घर लाना चाहिए?

कार्य 3.सुबह दुकान में काउंटर पर 7 किलो पनीर था। दोपहर के भोजन से पहले, आगंतुकों ने 5 किलोग्राम खरीदा। कितने किलोग्राम बचे हैं?

कार्य 4.रोमा ने मिठाई निकाली जो उसके पिता ने उसे यार्ड में दी थी। रोमा के पास 9 मिठाइयाँ थीं, और उसने अपनी मित्र निकिता को 4 मिठाइयाँ दीं। रोमा के पास कितनी मिठाइयाँ बची हैं?

प्रथम-ग्रेडर ज्यादातर उन समस्याओं को हल करते हैं जिनमें उत्तर 1 से 10 तक की संख्या होती है।

घटाव ग्रेड 2

दूसरा वर्ग पहले से ही उच्च है, और तदनुसार, हल करने के लिए उदाहरण भी। तो चलो शुरू करते है:

संख्यात्मक कार्य:

एकल अंक:

1. 10 - 5 =
2. 7 - 2 =
3. 8 - 6 =
4. 9 - 1 =
5. 9 - 3 - 4 =
6. 8 - 2 - 3 =
7. 9 - 9 - 0 =
8. 4 - 1 - 3 =

दोहरे आंकड़े:

1. 10 - 10 =
2. 17 - 12 =
3. 19 - 7 =
4. 15 - 8 =
5. 13 - 7 =
6. 64 - 37 =
7. 55 - 53 =
8. 43 - 12 =
9. 34 - 25 =
10. 51 - 17 - 18 =
11. 47 - 12 - 19 =
12. 31 - 19 - 2 =
13. 99 - 55 - 33 =

पाठ कार्य

घटाव 3-4 ग्रेड

ग्रेड 3-4 में घटाव का सार बड़ी संख्या के कॉलम में घटाव है।

उदाहरण 4312-901 पर विचार करें। आरंभ करने के लिए, आइए संख्याओं को एक के नीचे एक लिखें, ताकि संख्या 901 से इकाई 2 के अंतर्गत, 0 के अंतर्गत 1, 9 के अंतर्गत 3 हो।

फिर हम दाएं से बाएं, यानी संख्या 2 से संख्या 1 घटाते हैं। हमें इकाई मिलती है:

तीन में से नौ घटाकर, आपको 1 दस उधार लेना होगा। यानी 4 में से 1 दहाई घटाएं। 10+3-9=4.

और चूंकि 4 ने 1 लिया, तो 4-1 = 3

उत्तर: 3411.

घटाव ग्रेड 5

पांचवीं कक्षा काम करने का समय है यौगिक भिन्नसाथ विभिन्न भाजक. आइए नियमों को दोहराएं: 1. अंश घटाए जाते हैं, हर नहीं।

तो चलिए घटाते हैं। सुनिश्चित करें कि भाजक समान हैं। फिर हम अंश (2-1) / 4 घटाते हैं, इसलिए हमें 1/4 मिलता है। भिन्न जोड़ते समय, केवल अंश घटाए जाते हैं!

2. घटाने के लिए, सुनिश्चित करें कि हर बराबर हैं।

यदि भिन्नों के बीच अंतर है, उदाहरण के लिए, 1/2 और 1/3, तो आपको एक भिन्न को गुणा नहीं करना होगा, लेकिन दोनों को एक सामान्य हर में लाने के लिए। ऐसा करने का सबसे आसान तरीका है कि पहली भिन्न को दूसरे के हर से गुणा किया जाए, और दूसरी भिन्न को पहले के हर से गुणा किया जाए, हमें प्राप्त होता है: 3/6 और 2/6। (3-2)/6 जोड़ें और 1/6 प्राप्त करें।

3. अंश और हर को एक ही संख्या से विभाजित करके एक अंश को कम किया जाता है।

भिन्न 2/4 को ½ के रूप में घटाया जा सकता है। क्यों? एक अंश क्या है? ½ \u003d 1: 2, और यदि आप 2 को 4 से विभाजित करते हैं, तो यह 1 को 2 से विभाजित करने के समान है। इसलिए, अंश 2/4 \u003d 1/2।

4. यदि भिन्न एक से अधिक है, तो आप पूरे भाग का चयन कर सकते हैं।

एक भिन्न 7/4 को देखते हुए, हम पाते हैं कि 7 4 से बड़ा है, जिसका अर्थ है कि 7/4 1 से बड़ा है। पूरे भाग का चयन कैसे करें? (4+3)/4, तो हमें भिन्नों का योग 4/4 + 3/4, 4:4 + 3/4=1 + 3/4 प्राप्त होता है। परिणाम: एक पूरा, तीन चौथाई।

घटाव प्रस्तुति

प्रस्तुति का लिंक नीचे है। प्रस्तुति में छठी कक्षा घटाव की मूल बातें शामिल हैं: प्रस्तुति डाउनलोड करें

जोड़ और घटाव की प्रस्तुति

जोड़ और घटाव के उदाहरण

मानसिक गणना के विकास के लिए खेल

स्कोल्कोवो के रूसी वैज्ञानिकों की भागीदारी से विकसित विशेष शैक्षिक खेल एक दिलचस्प खेल रूप में मौखिक गिनती कौशल में सुधार करने में मदद करेंगे।

खेल "त्वरित स्कोर"

गेम "क्विक काउंट" आपको अपना सुधार करने में मदद करेगा विचार. खेल का सार यह है कि आपके सामने प्रस्तुत तस्वीर में, आपको "हां" या "नहीं" प्रश्न का उत्तर चुनना होगा "क्या 5 समान फल हैं?"। अपने लक्ष्य का पालन करें, और यह गेम इसमें आपकी सहायता करेगा।

खेल "गणितीय मैट्रिक्स"

"गणितीय मैट्रिक्स" महान बच्चों के लिए मस्तिष्क व्यायाम, जो आपको उसके मानसिक कार्य, मानसिक गणना, सही घटकों की त्वरित खोज, चौकसता विकसित करने में मदद करेगा। खेल का सार यह है कि खिलाड़ी को प्रस्तावित 16 संख्याओं में से एक जोड़ी ढूंढनी होती है जो कुल मिलाकर दी गई संख्या देगी, उदाहरण के लिए, नीचे दी गई तस्वीर में, यह संख्या "29" है, और वांछित जोड़ी "5" है। "और" 24 "।

खेल "संख्यात्मक कवरेज"

इस अभ्यास के साथ अभ्यास करते समय खेल "नंबर कवरेज" आपकी याददाश्त को लोड करेगा।

खेल का सार संख्या को याद रखना है, जिसे याद करने में लगभग तीन सेकंड लगते हैं। फिर आपको इसे खेलने की जरूरत है। जैसे-जैसे आप खेल के चरणों में आगे बढ़ते हैं, संख्याओं की संख्या बढ़ती जाती है, दो से शुरू करें और आगे बढ़ें।

खेल "गणितीय तुलना"

एक अद्भुत खेल जिसके साथ आप अपने शरीर को आराम दे सकते हैं और अपने मस्तिष्क को तनाव में डाल सकते हैं। स्क्रीनशॉट इस गेम का एक उदाहरण दिखाता है, जिसमें चित्र से संबंधित एक प्रश्न होगा, और आपको इसका उत्तर देना होगा। समय सीमित है। आप कितनी बार उत्तर दे सकते हैं?

खेल "ऑपरेशन लगता है"

खेल "ऑपरेशन का अनुमान लगाएं" सोच और स्मृति विकसित करता है। मुख्य सारखेल, आपको समानता के सत्य होने के लिए एक गणितीय चिन्ह चुनने की आवश्यकता है। उदाहरण स्क्रीन पर दिए गए हैं, ध्यान से देखें और वांछित "+" या "-" चिह्न लगाएं ताकि समानता सत्य हो। चिह्न "+" और "-" चित्र के नीचे स्थित हैं, वांछित चिह्न का चयन करें और वांछित बटन पर क्लिक करें। यदि आप सही उत्तर देते हैं, तो आप अंक अर्जित करते हैं और खेलना जारी रखते हैं।

खेल "सरलीकृत करें"

खेल "सरलीकृत" सोच और स्मृति विकसित करता है। खेल का मुख्य सार जल्दी से एक गणितीय ऑपरेशन करना है। ब्लैकबोर्ड पर एक छात्र को स्क्रीन पर खींचा जाता है, और एक गणितीय क्रिया दी जाती है, छात्र को इस उदाहरण की गणना करने और उत्तर लिखने की आवश्यकता होती है। नीचे तीन उत्तर दिए गए हैं, गिनें और माउस से अपनी जरूरत की संख्या पर क्लिक करें। यदि आप सही उत्तर देते हैं, तो आप अंक अर्जित करते हैं और खेलना जारी रखते हैं।

खेल "दृश्य ज्यामिति"

खेल "विजुअल ज्योमेट्री" सोच और स्मृति विकसित करता है। खेल का मुख्य सार छायांकित वस्तुओं की संख्या को जल्दी से गिनना और उत्तरों की सूची से इसका चयन करना है। इस गेम में कुछ सेकंड के लिए स्क्रीन पर नीले वर्ग दिखाए जाते हैं, उन्हें जल्दी से गिना जाना चाहिए, फिर वे बंद हो जाते हैं। टेबल के नीचे चार नंबर लिखे हुए हैं, आपको एक सही नंबर चुनना होगा और माउस से उस पर क्लिक करना होगा। यदि आप सही उत्तर देते हैं, तो आप अंक अर्जित करते हैं और खेलना जारी रखते हैं।

पिग्गी बैंक गेम

खेल "गुल्लक" सोच और स्मृति विकसित करता है। खेल का मुख्य सार यह चुनना है कि कौन सा गुल्लक चुनें अधिक पैसेइस खेल में, चार गुल्लक दिए गए हैं, आपको गणना करने की आवश्यकता है कि किस गुल्लक के पास अधिक पैसा है और इस गुल्लक को माउस से दिखाएं। यदि आप सही उत्तर देते हैं, तो आप अंक अर्जित करते हैं और आगे खेलना जारी रखते हैं।

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पैसा और करोड़पति की मानसिकता

पैसे की समस्या क्यों है? इस पाठ्यक्रम में, हम इस प्रश्न का विस्तार से उत्तर देंगे, समस्या की गहराई से जांच करेंगे, मनोवैज्ञानिक, आर्थिक और भावनात्मक दृष्टिकोण से धन के साथ हमारे संबंधों पर विचार करेंगे। पाठ्यक्रम से, आप सीखेंगे कि अपनी सभी वित्तीय समस्याओं को हल करने के लिए आपको क्या करने की आवश्यकता है, पैसे बचाना शुरू करें और भविष्य में इसे निवेश करें।

पैसे के मनोविज्ञान को जानना और उनके साथ कैसे काम करना है, यह एक व्यक्ति को करोड़पति बनाता है। आय में वृद्धि वाले 80% लोग अधिक ऋण लेते हैं, और भी गरीब हो जाते हैं। दूसरी ओर, स्व-निर्मित करोड़पति, यदि वे खरोंच से शुरू करते हैं, तो 3-5 वर्षों में फिर से लाखों कमाएंगे। यह पाठ्यक्रम सिखाता है कि आय को ठीक से कैसे वितरित किया जाए और लागत कम की जाए, आपको सीखने और लक्ष्यों को प्राप्त करने के लिए प्रेरित किया जाए, आपको एक घोटाले में निवेश करना और पहचानना सिखाया जाए।

स्कूल में, इन क्रियाओं का अध्ययन सरल से जटिल तक किया जाता है। इसलिए, सरल उदाहरणों का उपयोग करके उपरोक्त कार्यों को करने के लिए एल्गोरिथ्म में महारत हासिल करना निश्चित रूप से आवश्यक है। ताकि बाद में दशमलव भिन्नों को एक कॉलम में विभाजित करने में कोई कठिनाई न हो। आखिरकार, यह ऐसे कार्यों का सबसे कठिन संस्करण है।

इस विषय को लगातार अध्ययन की आवश्यकता है। ज्ञान में अंतराल यहाँ अस्वीकार्य है। यह सिद्धांत पहली कक्षा में पहले से ही प्रत्येक छात्र द्वारा सीखा जाना चाहिए। इसलिए, यदि आप लगातार कई पाठ छोड़ते हैं, तो आपको सामग्री में स्वयं महारत हासिल करनी होगी। नहीं तो बाद में न केवल गणित बल्कि इससे जुड़े अन्य विषयों में भी दिक्कत होगी।

दूसरा आवश्यक शर्तगणित में सफलता का अर्थ है कि जोड़, घटाव और गुणा में महारत हासिल करने के बाद ही लंबे विभाजन के उदाहरणों की ओर बढ़ना है।

यदि बच्चे ने गुणन सारणी नहीं सीखी है तो उसे भाग देना कठिन होगा। वैसे, इसे पाइथागोरस तालिका से सीखना बेहतर है। कुछ भी अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं है, और इस मामले में गुणा को पचाना आसान है।

कॉलम में प्राकृतिक संख्याओं को कैसे गुणा किया जाता है?

यदि विभाजन और गुणा के लिए एक कॉलम में उदाहरणों को हल करने में कठिनाई होती है, तो गुणा के साथ समस्या को हल करना शुरू करना आवश्यक है। क्योंकि विभाजन गुणन का विलोम है:

1. दो संख्याओं को गुणा करने से पहले, आपको उन्हें ध्यान से देखना होगा। अधिक अंकों वाला (लंबा) चुनें, इसे पहले लिख लें। इसके नीचे दूसरा रखें। इसके अलावा, संबंधित श्रेणी की संख्या एक ही श्रेणी के अंतर्गत होनी चाहिए। यानी पहली संख्या का सबसे दाहिना अंक दूसरे के सबसे दाहिने अंक से ऊपर होना चाहिए।
2. नीचे की संख्या के सबसे दाहिने अंक को शीर्ष संख्या के प्रत्येक अंक से गुणा करें, दाईं ओर से शुरू करें। उत्तर को पंक्ति के नीचे इस प्रकार लिखें कि उसका अंतिम अंक उसी के नीचे हो जिससे उसे गुणा किया गया था।
3. नीचे की संख्या के दूसरे अंक के साथ भी यही दोहराएं। लेकिन गुणन के परिणाम को एक अंक बाईं ओर स्थानांतरित किया जाना चाहिए। इस मामले में, इसका अंतिम अंक उसके नीचे होगा जिससे इसे गुणा किया गया था।

इस गुणन को एक कॉलम में तब तक जारी रखें जब तक कि दूसरे गुणक की संख्या समाप्त न हो जाए। अब उन्हें मोड़ने की जरूरत है। यह वांछित उत्तर होगा।

दशमलव अंशों के एक कॉलम में गुणा करने के लिए एल्गोरिदम

सबसे पहले, यह कल्पना की जानी चाहिए कि दशमलव अंश नहीं दिए गए हैं, बल्कि प्राकृतिक हैं। अर्थात्, उनमें से अल्पविराम हटा दें और फिर पिछले मामले में बताए अनुसार आगे बढ़ें।

अंतर तब शुरू होता है जब उत्तर लिखा जाता है। इस बिंदु पर, दोनों अंशों में दशमलव बिंदुओं के बाद की सभी संख्याओं को गिनना आवश्यक है। उत्तर के अंत से आपको उनमें से कितने को गिनने और वहां अल्पविराम लगाने की आवश्यकता है।

इस एल्गोरिथ्म को एक उदाहरण के साथ स्पष्ट करना सुविधाजनक है: 0.25 x 0.33:

विभाजित करना सीखना कैसे शुरू करें?

एक कॉलम में विभाजन के उदाहरणों को हल करने से पहले, उन संख्याओं के नाम याद रखना चाहिए जो विभाजन के उदाहरण में हैं। उनमें से पहला (जो विभाजित करता है) विभाज्य है। दूसरा (इससे विभाजित) एक भाजक है। उत्तर निजी है।

उसके बाद, एक साधारण दैनिक उदाहरण का उपयोग करते हुए, हम इस गणितीय संक्रिया का सार समझाएंगे। उदाहरण के लिए, यदि आप 10 मिठाइयाँ लेते हैं, तो उन्हें माँ और पिताजी के बीच समान रूप से विभाजित करना आसान है। लेकिन क्या होगा अगर आपको उन्हें अपने माता-पिता और भाई को बांटना है?

उसके बाद, आप विभाजन के नियमों से परिचित हो सकते हैं और उन पर महारत हासिल कर सकते हैं ठोस उदाहरण. पहले सरल वाले, और फिर अधिक से अधिक जटिल वाले।

संख्याओं को कॉलम में विभाजित करने के लिए एल्गोरिदम

सबसे पहले, हम उन प्राकृत संख्याओं की प्रक्रिया प्रस्तुत करते हैं जो एक अंक वाली संख्या से विभाज्य होती हैं। वे बहु-अंकीय भाजक या दशमलव अंशों के लिए भी आधार होंगे। तभी इसे छोटे बदलाव करने चाहिए, लेकिन उस पर और बाद में:

• किसी कॉलम में भाग करने से पहले, आपको यह पता लगाना होगा कि लाभांश और भाजक कहाँ हैं।
• लाभांश लिखिए। इसके दाईं ओर एक विभक्त है।
• बाईं ओर एक कोना बनाएं और आखिरी कोने के पास नीचे।
• अपूर्ण लाभांश का निर्धारण करें, अर्थात वह संख्या जो विभाजन के लिए न्यूनतम होगी। आमतौर पर इसमें एक अंक होता है, अधिकतम दो।
• वह संख्या चुनें जो उत्तर में सबसे पहले लिखी जाएगी। यह वह संख्या होनी चाहिए जितनी बार भाजक लाभांश में फिट बैठता है।
• इस संख्या को एक भाजक से गुणा करने का परिणाम लिखिए।
• इसे अपूर्ण भाजक के नीचे लिखिए। घटाव करें।
• जो भाग पहले ही विभाजित हो चुका है उसके बाद के पहले अंक को शेषफल पर ले जाएँ।
• उत्तर के लिए फिर से संख्या चुनें।
• गुणा और घटाव दोहराएं। यदि शेषफल शून्य है और लाभांश समाप्त हो गया है, तो उदाहरण किया जाता है। अन्यथा, चरणों को दोहराएं: संख्या को ध्वस्त करें, संख्या उठाएं, गुणा करें, घटाएं।

भाजक में एक से अधिक अंक होने पर लॉन्ग डिवीजन को कैसे हल करें?

एल्गोरिथ्म स्वयं पूरी तरह से ऊपर वर्णित के साथ मेल खाता है। अंतर अपूर्ण लाभांश में अंकों की संख्या का होगा। अब उनमें से कम से कम दो होने चाहिए, लेकिन अगर वे भाजक से कम निकलते हैं, तो इसे पहले तीन अंकों के साथ काम करना चाहिए।

इस विभाजन में एक और बारीकियां है। तथ्य यह है कि शेषफल और उस तक ले जाए गए अंक कभी-कभी भाजक द्वारा विभाज्य नहीं होते हैं। फिर इसे क्रम में एक और आकृति का श्रेय देना चाहिए। लेकिन साथ ही, उत्तर शून्य होना चाहिए। यदि तीन अंकों की संख्याओं को एक कॉलम में विभाजित किया जाता है, तो दो से अधिक अंकों को ध्वस्त करने की आवश्यकता हो सकती है। फिर नियम पेश किया जाता है: उत्तर में शून्य नीचे दिए गए अंकों की संख्या से एक कम होना चाहिए।

आप इस तरह के विभाजन पर उदाहरण - 12082: 863 का उपयोग करके विचार कर सकते हैं।

• इसमें अपूर्ण विभाज्य संख्या 1208 है। इसमें संख्या 863 को केवल एक बार रखा गया है। इसलिए, प्रत्युत्तर में, इसे 1 लगाना चाहिए और 1208 के अंतर्गत 863 लिखना चाहिए।
• घटाने के बाद, शेष 345 है।
• उसके लिए आपको नंबर 2 को ध्वस्त करने की जरूरत है।
• संख्या 3452 में 863 चार बार फिट बैठता है।
• उत्तर में चार लिखे जाने चाहिए। इसके अलावा, जब 4 से गुणा किया जाता है, तो यह संख्या प्राप्त होती है।
• घटाने के बाद शेषफल शून्य है। यानी विभाजन पूरा हो गया है।

उदाहरण में उत्तर 14 है।

क्या होगा यदि लाभांश शून्य में समाप्त होता है?

या कुछ शून्य? इस मामले में, शून्य शेष प्राप्त होता है, और लाभांश में अभी भी शून्य होते हैं। निराशा न करें, सब कुछ जितना आसान लगता है उससे कहीं अधिक आसान है। यह उत्तर देने के लिए केवल उन सभी शून्यों का उत्तर देने के लिए पर्याप्त है जो अविभाजित रहे।

उदाहरण के लिए, आपको 400 को 5 से विभाजित करने की आवश्यकता है। अधूरा लाभांश 40 है। इसमें पांच को 8 बार रखा जाता है। इसका मतलब है कि उत्तर 8 लिखा जाना चाहिए। घटाते समय, कोई शेष नहीं होता है। यानी विभाजन खत्म हो गया है, लेकिन लाभांश में शून्य रहता है। इसे उत्तर में जोड़ना होगा। इस प्रकार, 400 को 5 से भाग देने पर 80 प्राप्त होता है।

क्या होगा यदि आपको दशमलव को विभाजित करने की आवश्यकता है?

फिर, यह संख्या एक प्राकृतिक संख्या की तरह दिखती है, यदि अल्पविराम के लिए पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग से अलग नहीं किया जाता है। इससे पता चलता है कि दशमलव अंशों का एक कॉलम में विभाजन ऊपर वर्णित के समान है।

केवल अर्धविराम का अंतर होगा। इसका उत्तर तुरंत दिया जाना चाहिए, जैसे ही भिन्नात्मक भाग से पहला अंक हटा दिया जाता है। दूसरे तरीके से, इसे इस तरह कहा जा सकता है: पूर्णांक भाग का विभाजन समाप्त हो गया है - एक अल्पविराम लगाएं और समाधान को आगे जारी रखें।

दशमलव अंशों वाले कॉलम में विभाजित करने के उदाहरणों को हल करते समय, आपको यह याद रखना होगा कि दशमलव बिंदु के बाद किसी भी संख्या में शून्य निर्दिष्ट किए जा सकते हैं। कभी-कभी संख्याओं को अंत तक पूरा करने के लिए यह आवश्यक होता है।

दो दशमलवों का विभाजन

यह जटिल लग सकता है। लेकिन केवल शुरुआत में। आखिरकार, एक प्राकृतिक संख्या द्वारा अंशों के एक स्तंभ में विभाजन कैसे किया जाता है, यह पहले से ही स्पष्ट है। इसलिए, हमें इस उदाहरण को पहले से ही परिचित रूप में कम करने की आवश्यकता है।

इसे आसान बनाएं। यदि कार्य की आवश्यकता हो तो आपको दोनों भिन्नों को 10, 100, 1,000, या 10,000, या शायद एक मिलियन से गुणा करना होगा। भाजक के दशमलव भाग में कितने शून्य हैं, इसके आधार पर गुणक का चयन किया जाना चाहिए। यही है, परिणामस्वरूप, यह पता चला है कि आपको एक अंश को एक प्राकृतिक संख्या से विभाजित करना होगा।

और यह सबसे खराब स्थिति में होगा। आखिरकार, यह पता चल सकता है कि इस ऑपरेशन से लाभांश एक पूर्णांक बन जाता है। फिर अंशों के एक स्तंभ में विभाजन के साथ उदाहरण का समाधान कम कर दिया जाएगा सरल विकल्प: प्राकृतिक संख्याओं के साथ संचालन।

एक उदाहरण के रूप में: 28.4 3.2 से विभाजित:

• सबसे पहले, उन्हें 10 से गुणा किया जाना चाहिए, क्योंकि दूसरी संख्या में दशमलव बिंदु के बाद केवल एक अंक होता है। गुणा करने पर 284 और 32 प्राप्त होंगे।
• उन्हें विभाजित किया जाना चाहिए। और एक बार में पूरी संख्या 284 बटा 32 है.
• उत्तर के लिए पहली सुमेलित संख्या 8 है। इसे गुणा करने पर 256 प्राप्त होता है। शेष 28 है।
• पूर्णांक भाग का विभाजन समाप्त हो गया है, और उत्तर में अल्पविराम लगाया जाना चाहिए।
• 0 शेष के लिए ध्वस्त करें।
• फिर से 8 लो।
• शेष: 24. इसमें एक और 0 जोड़ें।
• अब आपको 7 लेना है।
• गुणा का परिणाम 224 है, शेष 16 है।
• एक और 0 को ध्वस्त करें। 5 लें और ठीक 160 प्राप्त करें। शेष 0 है।

डिवीजन पूरा किया। 28.4:3.2 उदाहरण का परिणाम 8.875 है।

क्या होगा यदि भाजक 10, 100, 0.1 या 0.01 है?

गुणा के साथ, यहां लंबे विभाजन की आवश्यकता नहीं है। एक निश्चित संख्या में अंकों के लिए अल्पविराम को सही दिशा में ले जाने के लिए पर्याप्त है। इसके अलावा, इस सिद्धांत के अनुसार, आप पूर्णांक और दशमलव भिन्न दोनों के उदाहरणों को हल कर सकते हैं।

इसलिए, यदि आपको 10, 100 या 1000 से विभाजित करने की आवश्यकता है, तो अल्पविराम को बाईं ओर उतने अंकों से ले जाया जाता है जितने कि भाजक में शून्य होते हैं। अर्थात्, जब कोई संख्या 100 से विभाज्य हो, तो अल्पविराम को दो अंकों से बाईं ओर ले जाना चाहिए। यदि लाभांश एक प्राकृतिक संख्या है, तो यह माना जाता है कि अल्पविराम इसके अंत में है।

यह क्रिया उसी परिणाम को उत्पन्न करती है जैसे कि संख्या को 0.1, 0.01, या 0.001 से गुणा किया जाना था। इन उदाहरणों में, अंकों की संख्या से अल्पविराम को भी बाईं ओर ले जाया जाता है, लंबाई के बराबरआंशिक हिस्सा।

जब 0.1 (आदि) से विभाजित किया जाता है या 10 (आदि) से गुणा किया जाता है, तो अल्पविराम को एक अंक (या दो, तीन, शून्य की संख्या या भिन्नात्मक भाग की लंबाई के आधार पर) से दाईं ओर जाना चाहिए।

यह ध्यान देने योग्य है कि लाभांश में दिए गए अंकों की संख्या पर्याप्त नहीं हो सकती है। फिर लापता शून्य को बाईं ओर (पूर्णांक भाग में) या दाईं ओर (दशमलव बिंदु के बाद) सौंपा जा सकता है।

आवधिक अंशों का विभाजन

इस मामले में, आप कॉलम में विभाजित करते समय सटीक उत्तर प्राप्त करने में सक्षम नहीं होंगे। एक उदाहरण को कैसे हल करें यदि एक अवधि के साथ एक अंश का सामना करना पड़ता है? यहां सामान्य अंशों पर जाना आवश्यक है। और फिर पहले से अध्ययन किए गए नियमों के अनुसार उनका विभाजन करें।

उदाहरण के लिए, आपको 0, (3) को 0.6 से भाग देना होगा। पहला अंश आवधिक है। इसे भिन्न 3/9 में बदल दिया जाता है, जो घटाने के बाद 1/3 देगा। दूसरा अंश अंतिम दशमलव है। एक साधारण को लिखना और भी आसान है: 6/10, जो 3/5 के बराबर है। साधारण भिन्नों को विभाजित करने का नियम विभाजन को गुणा से और भाजक को किसी संख्या के व्युत्क्रम से प्रतिस्थापित करने के लिए निर्धारित करता है। यही है, उदाहरण 1/3 को 5/3 से गुणा करने के लिए उबलता है। उत्तर 5/9 है।

यदि उदाहरण में भिन्न भिन्न हैं...

फिर कई संभावित समाधान हैं। पहले तो, सामान्य अंशआप दशमलव में बदलने का प्रयास कर सकते हैं। फिर उपरोक्त एल्गोरिथम के अनुसार पहले से ही दो दशमलव को विभाजित करें।

दूसरे, प्रत्येक परिमित दशमलवसामान्य के रूप में लिखा जा सकता है यह हमेशा सुविधाजनक नहीं होता है। अक्सर, ऐसे अंश बहुत बड़े हो जाते हैं। हां, और जवाब बोझिल हैं। इसलिए, पहला दृष्टिकोण अधिक बेहतर माना जाता है।