अनुदेश

यदि समीकरण को इस प्रकार प्रस्तुत किया जाता है: dy/dx = q(x)/n(y), वियोज्य चरों वाले अवकल समीकरणों की श्रेणी देखें। इन्हें अवकलनों में शर्त लिखकर हल किया जा सकता है: n(y)dy = q(x)dx। फिर दोनों भागों को एकीकृत करें। कुछ मामलों में, समाधान ज्ञात कार्यों से लिए गए इंटीग्रल के रूप में लिखा जाता है। उदाहरण के लिए, dy/dx = x/y के मामले में, हम q(x) = x, n(y) = y प्राप्त करते हैं। इसे ydy = xdx के रूप में लिखें और एकीकृत करें। आपको y^2 = x^2 + c मिलना चाहिए।

रैखिक करने के लिए समीकरणसमीकरण "पहले" को विशेषता दें। इसके व्युत्पन्न के साथ एक अज्ञात फ़ंक्शन को ऐसे समीकरण में केवल पहली डिग्री तक शामिल किया जाता है। रैखिक का रूप dy/dx + f(x) = j(x) है, जहाँ f(x) और g(x) x पर निर्भर फलन हैं। समाधान ज्ञात कार्यों से लिए गए इंटीग्रल का उपयोग करके लिखा गया है।

ध्यान रखें कि कई अंतर समीकरण दूसरे क्रम के समीकरण हैं (दूसरे व्युत्पन्न वाले)। उदाहरण के लिए, यह साधारण हार्मोनिक गति का समीकरण है, जिसे सामान्य रूप में लिखा जाता है: md 2x / dt 2 \u003d -kx। इस तरह के समीकरणों में, आंशिक समाधान होते हैं। सरल हार्मोनिक गति का समीकरण कुछ महत्वपूर्ण का एक उदाहरण है: रैखिक अंतर समीकरण जिनमें निरंतर गुणांक होता है।

यदि समस्या की स्थितियों में केवल एक ही है रेखीय समीकरण, जिसका अर्थ है कि आपको अतिरिक्त शर्तें दी जाती हैं जिसके कारण आप समाधान ढूंढ सकते हैं। इन स्थितियों को खोजने के लिए समस्या को ध्यान से पढ़ें। यदि एक चर x और y दूरी, गति, वजन हैं - सीमा x≥0 और y≥0 निर्धारित करने के लिए स्वतंत्र महसूस करें। यह बहुत संभव है कि x या y सेबों आदि की संख्या छिपा रहा हो। - तब मान केवल हो सकते हैं। यदि x पुत्र की आयु है, तो यह स्पष्ट है कि वह अपने पिता से बड़ा नहीं हो सकता है, इसलिए समस्या की स्थितियों में इसे इंगित करें।

स्रोत:

• एक चर के साथ समीकरण को कैसे हल करें

डिफरेंशियल और इंटीग्रल कैलकुलस के लिए समस्याएं हैं महत्वपूर्ण तत्वगणितीय विश्लेषण के सिद्धांत का समेकन, खंड उच्च गणितविश्वविद्यालयों में अध्ययन किया। अंतर समीकरणएकीकरण विधि द्वारा हल किया जाता है।

अनुदेश

डिफरेंशियल कैलकुलस गुणों की जांच करता है। इसके विपरीत, किसी फ़ंक्शन का एकीकरण दिए गए गुणों के अनुसार अनुमति देता है, अर्थात। किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न या अंतर को स्वयं खोजने के लिए। यह है समाधान अंतर समीकरण.

कोई भी अज्ञात मान और ज्ञात डेटा के बीच का अनुपात है। एक विभेदक समीकरण के मामले में, अज्ञात की भूमिका फ़ंक्शन द्वारा निभाई जाती है, और ज्ञात मात्राओं की भूमिका इसके डेरिवेटिव द्वारा निभाई जाती है। इसके अलावा, अनुपात में एक स्वतंत्र चर हो सकता है: F(x, y(x), y'(x), y''(x),…, y^n(x)) = 0, जहां x अज्ञात है चर, y (x) निर्धारित किया जाने वाला कार्य है, समीकरण का क्रम व्युत्पन्न (n) का अधिकतम क्रम है।

ऐसे समीकरण को साधारण अवकल समीकरण कहते हैं। यदि इन चरों के संबंध में कार्यों के संबंध और आंशिक व्युत्पन्न (अंतर) में कई स्वतंत्र चर हैं, तो समीकरण को आंशिक व्युत्पन्न के साथ एक अंतर समीकरण कहा जाता है और इसका रूप होता है: x∂z/∂y - ∂z/∂ x = 0, जहाँ z(x, y) अभीष्ट फलन है।

इसलिए, अवकल समीकरणों को हल करने का तरीका जानने के लिए, आपको प्रतिअवकलन ज्ञात करने में सक्षम होने की आवश्यकता है, अर्थात्। व्युत्क्रम विभेदन की समस्या को हल करें। उदाहरण के लिए: प्रथम कोटि समीकरण y' = -y/x को हल करें।

हल y' को dy/dx से बदलें: dy/dx = -y/x।

समीकरण को एकीकरण के लिए सुविधाजनक रूप में लाएं। ऐसा करने के लिए, दोनों पक्षों को dx से गुणा करें और y:dy/y = -dx/x से भाग दें।

एकीकृत करें: dy/y = - dx/x + Сln |y| = - लॉग |x| +सी.

इस समाधान को सामान्य अंतर समीकरण कहा जाता है। C एक स्थिरांक है जिसके मानों का समुच्चय समीकरण के समाधान के समुच्चय को निर्धारित करता है। C के किसी विशेष मान के लिए, विलयन अद्वितीय होगा। ऐसा हल अवकल समीकरण का एक विशेष हल होता है।

उच्चतर के अधिकांश समीकरणों का हल डिग्रीइसका कोई स्पष्ट सूत्र नहीं है, जैसे किसी वर्ग के मूल ज्ञात करना समीकरण. हालांकि, कई कमी विधियां हैं जो आपको उच्च डिग्री समीकरण को अधिक दृश्य रूप में बदलने की अनुमति देती हैं।

अनुदेश

उच्च डिग्री के समीकरणों को हल करने के लिए सबसे आम तरीका विस्तार है। यह दृष्टिकोण पूर्णांक जड़ों के चयन का एक संयोजन है, मुक्त पद के विभाजक, और सामान्य बहुपद के बाद के विभाजन (x - x0) में।

उदाहरण के लिए, समीकरण x^4 + x³ + 2 x² - x - 3 = 0 हल करें। हल। इस बहुपद का मुक्त सदस्य -3 है, इसलिए, इसके पूर्णांक भाजक ±1 और ±3 हो सकते हैं। उन्हें समीकरण में एक-एक करके रखें और पता करें कि क्या आपको यह पहचान मिलती है: 1: 1 + 1 + 2 - 1 - 3 = 0।

दूसरा मूल x = -1। व्यंजक (x + 1) से भाग दें। परिणामी समीकरण (x - 1) (x + 1) (x² + x + 3) = 0 लिखें। डिग्री गिरकर दूसरी हो गई है, इसलिए समीकरण के दो और मूल हो सकते हैं। उन्हें खोजने के लिए, द्विघात समीकरण को हल करें: x² + x + 3 = 0D = 1 - 12 = -11

विवेचक एक ऋणात्मक मान है, जिसका अर्थ है कि समीकरण की अब वास्तविक जड़ें नहीं हैं। समीकरण के जटिल मूल ज्ञात कीजिए: x = (-2 + i √11)/2 और x = (-2 - i √11)/2।

एक उच्च डिग्री समीकरण को हल करने का एक अन्य तरीका चर को वर्ग में बदलना है। इस दृष्टिकोण का उपयोग तब किया जाता है जब समीकरण की सभी शक्तियाँ सम हों, उदाहरण के लिए: x^4 - 13 x² + 36 = 0

अब मूल समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए: x1 = 9 = ±3; x2 = 4 = ±2।

टिप 10: रेडॉक्स समीकरण कैसे निर्धारित करें

एक रासायनिक प्रतिक्रिया पदार्थों के परिवर्तन की एक प्रक्रिया है जो उनकी संरचना में परिवर्तन के साथ होती है। वे पदार्थ जो प्रतिक्रिया में प्रवेश करते हैं, प्रारंभिक कहलाते हैं, और जो इस प्रक्रिया के परिणामस्वरूप बनते हैं, उत्पाद कहलाते हैं। ऐसा होता है कि रासायनिक प्रतिक्रिया के दौरान, प्रारंभिक सामग्री बनाने वाले तत्व अपनी ऑक्सीकरण अवस्था बदलते हैं। अर्थात्, वे अन्य लोगों के इलेक्ट्रॉनों को स्वीकार कर सकते हैं और अपना दे सकते हैं। दोनों ही मामलों में, उनका चार्ज बदल जाता है। ऐसी अभिक्रियाओं को रेडॉक्स अभिक्रियाएँ कहते हैं।

डिफरेंशियल इक्वेशन एक ऐसा समीकरण होता है जिसमें एक फंक्शन और उसके एक या अधिक डेरिवेटिव शामिल होते हैं। अधिकांश व्यावहारिक समस्याओं में, कार्य भौतिक मात्राएँ हैं, व्युत्पन्न इन मात्राओं के परिवर्तन की दरों के अनुरूप हैं, और समीकरण उनके बीच के संबंध को निर्धारित करता है।

यह लेख कुछ प्रकार के साधारण अंतर समीकरणों को हल करने के तरीकों पर चर्चा करता है, जिनके समाधान फॉर्म में लिखे जा सकते हैं प्राथमिक कार्य, वह है, बहुपद, घातीय, लघुगणक और त्रिकोणमितीय कार्य, साथ ही साथ उनके व्युत्क्रम कार्य। इनमें से कई समीकरण वास्तविक जीवन में होते हैं, हालांकि अधिकांश अन्य अंतर समीकरणों को इन विधियों द्वारा हल नहीं किया जा सकता है, और उनके लिए उत्तर विशेष कार्यों या शक्ति श्रृंखला के रूप में लिखा जाता है, या संख्यात्मक विधियों द्वारा पाया जाता है।

इस लेख को समझने के लिए, आपको डिफरेंशियल और इंटीग्रल कैलकुलस जानने की जरूरत है, साथ ही आंशिक डेरिवेटिव की कुछ समझ भी होनी चाहिए। विभेदक समीकरणों पर लागू रैखिक बीजगणित की मूल बातें जानने की भी सिफारिश की जाती है, विशेष रूप से दूसरे क्रम के अंतर समीकरण, हालांकि अंतर और अभिन्न कलन का ज्ञान उन्हें हल करने के लिए पर्याप्त है।

प्रारंभिक जानकारी

• विभेदक समीकरणों का एक व्यापक वर्गीकरण है। यह लेख के बारे में बात करता है सामान्य अवकल समीकरण, अर्थात्, उन समीकरणों के बारे में जिनमें एक चर का एक फ़ंक्शन और उसके डेरिवेटिव शामिल हैं। साधारण अंतर समीकरणों को समझना और हल करना बहुत आसान है आंशिक अंतर समीकरण, जिसमें कई चर के कार्य शामिल हैं। यह लेख आंशिक अंतर समीकरणों पर विचार नहीं करता है, क्योंकि इन समीकरणों को हल करने के तरीके आमतौर पर उनके विशिष्ट रूप से निर्धारित होते हैं।
  • नीचे साधारण अवकल समीकरणों के कुछ उदाहरण दिए गए हैं।
    • d y d x = k y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=ky)
    • d 2 x d t 2 + k x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d)) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+kx=0)
  • नीचे आंशिक अवकल समीकरणों के कुछ उदाहरण दिए गए हैं।
    • ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)f)(\partial x^(2)))+(\frac (\partial ^(2) )f)(\आंशिक y^(2)))=0)
    • u ∂ t - α ∂ 2 u ∂ x 2 = 0 (\displaystyle (\frac (\partial u)(\partial t))-\alpha (\frac (\partial ^(2)u)(\partial x ^(2)))=0)
• आदेशअवकल समीकरण इस समीकरण में शामिल उच्चतम अवकलज के क्रम से निर्धारित होता है। उपरोक्त साधारण अंतर समीकरणों में से पहला पहले क्रम का है, जबकि दूसरा दूसरे क्रम का है। डिग्रीअवकल समीकरण कहलाता है उच्चतम डिग्री, जिसमें इस समीकरण की शर्तों में से एक को उठाया गया है।
  • उदाहरण के लिए, नीचे दिया गया समीकरण तीसरा क्रम और दूसरा घात है।
    • (डी 3 वाई डी एक्स 3) 2 + डी वाई डी एक्स = 0 (\displaystyle \बाएं((\frac ((\mathrm (डी)))^(3)y)((\mathrm (डी) )x^(3)))\ दाएँ)^(2)+(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=0)
• अंतर समीकरण है रैखिक अंतर समीकरणयदि फ़ंक्शन और उसके सभी डेरिवेटिव पहली शक्ति में हैं। अन्यथा, समीकरण है अरेखीय अंतर समीकरण. रैखिक अवकल समीकरण इस मायने में उल्लेखनीय हैं कि उनके समाधान से रैखिक संयोजन बनाए जा सकते हैं, जो इस समीकरण के समाधान भी होंगे।
  • नीचे रैखिक अवकल समीकरणों के कुछ उदाहरण दिए गए हैं।
  • नीचे अरैखिक अवकल समीकरणों के कुछ उदाहरण दिए गए हैं। ज्या पद के कारण पहला समीकरण अरैखिक है।
    • d 2 θ d t 2 + g l sin ⁡ = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)\theta )((\mathrm (d) )t^(2)))+( \frac (जी)(एल))\sin \ थीटा = 0)
    • d 2 x d t 2 + (d x d t) 2 + t x 2 = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)x)((\mathrm (d) )t^(2)))+ \बाएं((\frac ((\mathrm (डी)) x)((\mathrm (डी)) टी))\दाएं)^(2)+tx^(2)=0)
• सामान्य निर्णयसाधारण अंतर समीकरण अद्वितीय नहीं है, इसमें शामिल है एकीकरण के मनमाना स्थिरांक. ज्यादातर मामलों में, मनमानी स्थिरांक की संख्या समीकरण के क्रम के बराबर होती है। व्यवहार में, इन स्थिरांकों के मान दिए गए द्वारा निर्धारित किए जाते हैं आरंभिक स्थितियां, अर्थात्, फ़ंक्शन और उसके डेरिवेटिव के मूल्यों द्वारा x = 0. (\displaystyle x=0.)खोजने के लिए आवश्यक प्रारंभिक स्थितियों की संख्या निजी निर्णयअवकल समीकरण, ज्यादातर मामलों में इस समीकरण के क्रम के बराबर भी होता है।
  • उदाहरण के लिए, यह लेख नीचे दिए गए समीकरण को हल करने पर विचार करेगा। यह एक द्वितीय कोटि का रैखिक अवकल समीकरण है। इसके सामान्य समाधान में दो मनमानी स्थिरांक होते हैं। इन स्थिरांकों को ज्ञात करने के लिए, प्रारंभिक स्थितियों को जानना आवश्यक है: x (0) (\displaystyle x(0))तथा एक्स (0) । (\displaystyle x"(0)।)आमतौर पर प्रारंभिक शर्तें बिंदु पर दी जाती हैं x = 0 , (\displaystyle x=0,), हालांकि इसकी आवश्यकता नहीं है। यह लेख इस बात पर भी विचार करेगा कि दी गई प्रारंभिक स्थितियों के लिए विशेष समाधान कैसे खोजें।
    • डी 2 एक्स डी टी 2 + के 2 एक्स = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (डी)))^(2)x)((\mathrm (डी) )t^(2)))+k^(2 ) एक्स = 0)
    • x (t) = c 1 cos k x + c 2 sin ⁡ k x (\displaystyle x(t)=c_(1)\cos kx+c_(2)\sin kx)

कदम

भाग 1

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1. पहले क्रम के रैखिक समीकरण।यह खंड सामान्य और विशेष मामलों में प्रथम-क्रम रैखिक अंतर समीकरणों को हल करने के तरीकों पर चर्चा करता है जब कुछ शब्द शून्य के बराबर होते हैं। चलो दिखावा करते हैं कि y = y (x) , (\displaystyle y=y(x),) p (x) (\displaystyle p(x))तथा q (x) (\displaystyle q(x))कार्य हैं एक्स । (\ डिस्प्लेस्टाइल एक्स।)

   D y d x + p (x) y = q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+p(x)y=q(x) ))
   

   पी (एक्स) = 0. (\displaystyle पी(एक्स)=0.)गणितीय विश्लेषण के मुख्य प्रमेयों में से एक के अनुसार, किसी फलन के अवकलज का समाकलन भी एक फलन होता है। इस प्रकार, इसका समाधान खोजने के लिए केवल समीकरण को एकीकृत करना पर्याप्त है। हालांकि, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि गणना करते समय अनिश्चितकालीन अभिन्नएक मनमाना स्थिरांक प्रकट होता है।

   • y (x) = q (x) d x (\displaystyle y(x)=\int q(x)(\mathrm (d) )x)

   क्यू (एक्स) = 0. (\displaystyle q(x)=0.)हम विधि का उपयोग करते हैं चर का पृथक्करण. इस मामले में, विभिन्न चर समीकरण के विभिन्न पक्षों में स्थानांतरित किए जाते हैं। उदाहरण के लिए, आप से सभी सदस्यों को स्थानांतरित कर सकते हैं y (\displaystyle y)एक में, और सभी सदस्यों के साथ x (\displaystyle x)समीकरण के दूसरी तरफ। सदस्यों को भी स्थानांतरित किया जा सकता है d x (\displaystyle (\mathrm (d) )x)तथा d y (\displaystyle (\mathrm (d) )y), जो व्युत्पन्न के व्यंजकों में शामिल हैं, तथापि, यह याद रखना चाहिए कि ये न्यायसंगत हैं चिन्ह, प्रतीक, जो एक जटिल फ़ंक्शन को अलग करने के लिए सुविधाजनक है। इन शब्दों की चर्चा, जिन्हें कहा जाता है भिन्नता, इस लेख के दायरे से बाहर है।

   • सबसे पहले, आपको बराबर चिह्न के विपरीत पक्षों पर चरों को स्थानांतरित करने की आवश्यकता है।
     • 1 y d y = - p (x) d x (\displaystyle (\frac (1)(y))(\mathrm (d) )y=-p(x)(\mathrm (d) )x)
   • हम समीकरण के दोनों पक्षों को एकीकृत करते हैं। एकीकरण के बाद, दोनों पक्षों पर मनमाना स्थिरांक दिखाई देते हैं, जिन्हें समीकरण के दाईं ओर स्थानांतरित किया जा सकता है।
     • ln ⁡ y = ∫ − p (x) d x (\displaystyle \ln y=\int -p(x)(\mathrm (d) )x)
     • y (x) = e − p (x) d x (\displaystyle y(x)=e^(-\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • उदाहरण 1.1.अंतिम चरण में, हमने नियम का उपयोग किया e a + b = e a e b (\displaystyle e^(a+b)=e^(a)e^(b))और बदला गया ई सी (\displaystyle ई^(सी))पर सी (\ डिस्प्लेस्टाइल सी), क्योंकि यह एकीकरण का एक मनमाना स्थिरांक भी है।
     • d y d x − 2 y sin ⁡ x = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))-2y\sin x=0)
     • 1 2 y d y = sin ⁡ x d x 1 2 ln ⁡ y = - cos x + C ln ⁡ y = - 2 cos x + C y (x) = C e )(\frac (1)(2y))(\ गणित (डी) )y&=\sin x(\mathrm (डी) )x\\(\frac (1)(2))\ln y&=-\cos x+C\\\ln y&=-2\cos x+C\\y(x)&=Ce^(-2\cos x)\end(aligned)))

   पी (एक्स) ≠ 0 , क्यू (एक्स) ≠ 0. (\displaystyle p(x)\neq 0,\ q(x)\neq 0.)सामान्य समाधान खोजने के लिए, हमने पेश किया एकीकृत कारकके एक समारोह के रूप में x (\displaystyle x)बाईं ओर को एक सामान्य व्युत्पन्न में कम करने और इस प्रकार समीकरण को हल करने के लिए।

   • दोनों पक्षों को से गुणा करें μ (x) (\displaystyle \mu (x))
     • μ d y d x + μ p y = μ q (\displaystyle \mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py=\mu q)
   • बाईं ओर को एक सामान्य व्युत्पन्न में कम करने के लिए, निम्नलिखित परिवर्तन किए जाने चाहिए:
     • d d x (μ y) = d μ d x y + μ d y d x = μ d y d x + μ p y (\displaystyle (\frac (\mathrm (d) )((\mathrm (d) )x))(\mu y)=(\ फ़्रैक ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))y+\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)) =\mu (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+\mu py)
   • अंतिम समानता का अर्थ है कि d μ d x = μ p (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\mu )((\mathrm (d) )x))=\mu p). यह एक समाकलन कारक है जो किसी भी प्रथम कोटि के रैखिक समीकरण को हल करने के लिए पर्याप्त है। अब हम के संबंध में इस समीकरण को हल करने के लिए एक सूत्र प्राप्त कर सकते हैं µ , (\displaystyle \mu ,)हालांकि प्रशिक्षण के लिए सभी मध्यवर्ती गणना करना उपयोगी है।
     • μ (x) = e ∫ p (x) d x (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(x)(\mathrm (d) )x))
   • उदाहरण 1.2.इस उदाहरण में, हम देखते हैं कि दी गई प्रारंभिक स्थितियों के साथ एक अंतर समीकरण का एक विशेष समाधान कैसे प्राप्त किया जाए।
     • t d y d t + 2 y = t 2 , y (2) = 3 (\displaystyle t(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+2y=t^(2) ,\quad y(2)=3)
     • d y d t + 2 t y = t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )t))+(\frac (2)(t))y=t)
     • μ (x) = e ∫ p (t) d t = e 2 ln ⁡ t = t 2 (\displaystyle \mu (x)=e^(\int p(t)(\mathrm (d) )t)=e ^(2\ln t)=t^(2))
     • d d t (t 2 y) = t 3 t 2 y = 1 4 t 4 + C y (t) = 1 4 t 2 + C t 2 (\displaystyle (\begin(aligned)(\frac (\mathrm (d))) )((\mathrm (डी) )t))(t^(2)y)&=t^(3)\\t^(2)y&=(\frac (1)(4))t^(4 )+C\\y(t)&=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (C)(t^(2)))\end(aligned)))
     • 3 = y (2) = 1 + C 4 , C = 8 (\displaystyle 3=y(2)=1+(\frac (C)(4)),\quad C=8)
     • y (t) = 1 4 t 2 + 8 t 2 (\displaystyle y(t)=(\frac (1)(4))t^(2)+(\frac (8)(t^(2)) ))
   
   पहले क्रम के रैखिक समीकरणों को हल करना (Intuit - National Open University द्वारा रिकॉर्ड किया गया)।

2. नॉनलाइनियर फर्स्ट ऑर्डर समीकरण. इस भाग में प्रथम कोटि के कुछ अरैखिक अवकल समीकरणों को हल करने की विधियों पर विचार किया गया है। हालांकि ऐसे समीकरणों को हल करने के लिए कोई सामान्य विधि नहीं है, उनमें से कुछ को नीचे दी गई विधियों का उपयोग करके हल किया जा सकता है।

   डी y d x = f (x , y) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=f(x,y))
   डी वाई डी एक्स = एच (एक्स) जी (वाई)। (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=h(x)g(y).)यदि समारोह f (x , y) = h (x) g (y) (\displaystyle f(x,y)=h(x)g(y))एक चर के फलनों में विभाजित किया जा सकता है, ऐसा समीकरण कहलाता है वियोज्य अंतर समीकरण. इस मामले में, आप उपरोक्त विधि का उपयोग कर सकते हैं:

   • d y h (y) = ∫ g (x) d x (\displaystyle \int (\frac ((\mathrm (d) )y)(h(y)))=\int g(x)(\mathrm (d) )एक्स)
   • उदाहरण 1.3।
     • d y d x = x 3 y (1 + x 4) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (x^(3)))( वाई(1+x^(4)))))
     • y d y = ∫ x 3 1 + x 4 d x 1 2 y 2 = 1 4 ln ⁡ (1 + x 4) + C y (x) = 1 2 ln ⁡ (1 + x 4) + C (\displaystyle (\ start(aligned)\int y(\mathrm (d) )y&=\int (\frac (x^(3))(1+x^(4)))(\mathrm (d) )x\\(\ फ़्रैक (1)(2))y^(2)&=(\frac (1)(4))\ln(1+x^(4))+C\\y(x)&=(\frac ( 1)(2))\ln(1+x^(4))+C\end(गठबंधन)))

   डी वाई डी एक्स = जी (एक्स, वाई) एच (एक्स, वाई)। (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (g(x,y))(h(x,y))).)चलो दिखावा करते हैं कि g (x , y) (\displaystyle g(x, y))तथा h (x , y) (\displaystyle h(x, y))कार्य हैं x (\displaystyle x)तथा वाई। (\ डिस्प्लेस्टाइल वाई।)फिर सजातीय अंतर समीकरणएक समीकरण है जिसमें जी (\ डिस्प्लेस्टाइल जी)तथा एच (\ डिस्प्लेस्टाइल एच)हैं सजातीय कार्यएक ही डिग्री। अर्थात्, कार्यों को शर्त को पूरा करना चाहिए g (α x , α y) = α k g (x , y) , (\displaystyle g(\alpha x,\alpha y)=\alpha ^(k)g(x,y),)कहाँ पे k (\displaystyle k)समरूपता की डिग्री कहा जाता है। कोई भी समांगी अवकल समीकरण एक उपयुक्त द्वारा दिया जा सकता है चर का परिवर्तन (v = y / x (\displaystyle v=y/x)या v = x / y (\displaystyle v=x/y)) वियोज्य चर वाले समीकरण में बदलने के लिए।

   • उदाहरण 1.4.समरूपता का उपरोक्त विवरण अस्पष्ट लग सकता है। आइए इस अवधारणा को एक उदाहरण के साथ देखें।
     • d y d x = y 3 - x 3 y 2 x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y^(3)-x^ (3))(y^(2)x)))
     • आरंभ करने के लिए, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यह समीकरण के संबंध में गैर-रैखिक है वाई। (\ डिस्प्लेस्टाइल वाई।)हम यह भी देखते हैं कि इस मामले में चरों को अलग करना असंभव है। हालाँकि, यह अंतर समीकरण सजातीय है, क्योंकि अंश और हर दोनों 3 की शक्ति के साथ सजातीय हैं। इसलिए, हम चर का परिवर्तन कर सकते हैं। वी = वाई / एक्स। (\displaystyle v=y/x.)
     • d y d x = y x - x 2 y 2 = v - 1 v 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac (y)(x) ))-(\frac (x^(2))(y^(2)))=v-(\frac (1)(v^(2))))
     • y = v x , d y d x = d v d x x + v (\displaystyle y=vx,\quad (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=(\frac ((\mathrm) (डी) )v)((\mathrm (डी) )x))x+v)
     • डी वी डी एक्स एक्स = - 1 वी 2। (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )v)((\mathrm (d) )x))x=-(\frac (1)(v^(2))).)नतीजतन, हमारे पास . के लिए एक समीकरण है वी (\ डिस्प्लेस्टाइल वी)साझा चर के साथ।
     • v (x) = − 3 लॉग ⁡ x + C 3 (\displaystyle v(x)=(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))
     • y (x) = x − 3 ln ⁡ x + C 3 (\displaystyle y(x)=x(\sqrt[(3)](-3\ln x+C)))

   डी वाई डी एक्स = पी (एक्स) वाई + क्यू (एक्स) वाई एन। (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=p(x)y+q(x)y^(n).)यह बर्नौली अंतर समीकरण- पहली डिग्री का एक विशेष प्रकार का गैर-रेखीय समीकरण, जिसका समाधान प्राथमिक कार्यों का उपयोग करके लिखा जा सकता है।

   • समीकरण के दोनों पक्षों को से गुणा करें (1 - n) y - n (\displaystyle (1-n)y^(-n)):
     • (1 - n) y - n d d x = p (x) (1 - n) y 1 - n + (1 - n) q (x) (\displaystyle (1-n)y^(-n)(\frac ( (\mathrm (डी) )y)((\mathrm (डी) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))
   • हम बाईं ओर एक जटिल फ़ंक्शन के विभेदन के नियम का उपयोग करते हैं और समीकरण को के संबंध में एक रैखिक समीकरण में बदलते हैं y 1 - n , (\displaystyle y^(1-n),)जिसे उपरोक्त विधियों द्वारा हल किया जा सकता है।
     • d y 1 - n d x = p (x) (1 - n) y 1 - n + (1 - n) q (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y^(1-n)) ((\mathrm (डी) )x))=p(x)(1-n)y^(1-n)+(1-n)q(x))

   एम (x , y) + N (x , y) d y d x = 0. (\displaystyle M(x,y)+N(x,y)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm) (डी)) एक्स)) = 0।)यह कुल अंतर समीकरण. तथाकथित खोजने के लिए आवश्यक है संभावित कार्य (x , y) , (\displaystyle \varphi (x,y),), जो शर्त को संतुष्ट करता है d φ d x = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=0.)

   • इस शर्त को पूरा करने के लिए जरूरी है कुल व्युत्पन्न. कुल व्युत्पन्न अन्य चर पर निर्भरता को ध्यान में रखता है। कुल व्युत्पन्न की गणना करने के लिए (\displaystyle \varphi )पर x , (\displaystyle x,)हम मानते हैं कि y (\displaystyle y)पर भी निर्भर हो सकता है एक्स । (\ डिस्प्लेस्टाइल एक्स।)
     • d φ d x = ∂ x + y d y d x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )\varphi )((\mathrm (d) )x))=(\frac (\partial \varphi) )(\partial x))+(\frac (\partial \varphi )(\partial y))(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x)))
   • शर्तों की तुलना हमें देता है एम (x , y) = ∂ x (\displaystyle M(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial x)))तथा एन (एक्स, वाई) = φ ∂ वाई। (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y)).)यह कई चर वाले समीकरणों के लिए एक विशिष्ट परिणाम है, जहां चिकनी कार्यों के मिश्रित डेरिवेटिव एक दूसरे के बराबर होते हैं। कभी-कभी इस मामले को कहा जाता है क्लैरॉट की प्रमेय. इस मामले में, अवकल समीकरण कुल अंतरों में एक समीकरण है यदि निम्न शर्त पूरी होती है:
     • ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x (\displaystyle (\frac (\partial M)(\partial y))=(\frac (\partial N)(\partial x)))
   • कुल अंतरों में समीकरणों को हल करने की विधि कई व्युत्पन्नों की उपस्थिति में संभावित कार्यों को खोजने के समान है, जिसकी हम संक्षेप में चर्चा करेंगे। पहले हम एकीकृत करें एम (\ डिस्प्लेस्टाइल एम)पर एक्स । (\ डिस्प्लेस्टाइल एक्स।)क्यों कि एम (\ डिस्प्लेस्टाइल एम)एक समारोह है और x (\displaystyle x), तथा y , (\displaystyle y,)एकीकृत करते समय, हमें एक अधूरा कार्य मिलता है , (\displaystyle \varphi ,)के रूप में लेबल किया गया ~ (\displaystyle (\tilde (\varphi ))). परिणाम में पर निर्भर भी शामिल है y (\displaystyle y)एकीकरण की निरंतरता।
     • φ (x , y) = ∫ M (x , y) d x = φ ~ (x , y) + c (y) (\displaystyle \varphi (x,y)=\int M(x,y)(\mathrm (डी) )x=(\tilde (\varphi ))(x,y)+c(y))
   • उसके बाद, प्राप्त करने के लिए c (y) (\displaystyle c(y))आप के संबंध में परिणामी फलन का आंशिक अवकलज ले सकते हैं y , (\displaystyle y,)परिणाम की बराबरी करें एन (एक्स, वाई) (\displaystyle एन(एक्स, वाई))और एकीकृत करें। कोई भी पहले एकीकृत कर सकता है एन (\ डिस्प्लेस्टाइल एन), और फिर के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न लें x (\displaystyle x), जो हमें एक मनमाना कार्य खोजने की अनुमति देगा डी (एक्स)। (\ डिस्प्लेस्टाइल डी (एक्स)।)दोनों विधियां उपयुक्त हैं, और आमतौर पर एकीकरण के लिए सरल कार्य को चुना जाता है।
     • N (x , y) = ∂ y = ~ ∂ y + d c d y (\displaystyle N(x,y)=(\frac (\partial \varphi )(\partial y))=(\frac (\ आंशिक (\tilde (\varphi )))(\partial y))+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y)))
   • उदाहरण 1.5.आप आंशिक व्युत्पन्न ले सकते हैं और सत्यापित कर सकते हैं कि नीचे दिया गया समीकरण कुल अंतर समीकरण है।
     • 3 x 2 + y 2 + 2 x y d y d x = 0 (\displaystyle 3x^(2)+y^(2)+2xy(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x) )=0)
     • = ∫ (3 x 2 + y 2) d x = x 3 + x y 2 + c (y) y = N (x , y) = 2 x y + d c d y (\displaystyle (\begin(aligned)\varphi &=\int (3x^(2)+y^(2))(\mathrm (डी) )x=x^(3)+xy^(2)+c(y)\\(\frac (\partial) \varphi )(\partial y))&=N(x,y)=2xy+(\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))\end(aligned)))
     • d c d y = 0 , c (y) = C (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )c)((\mathrm (d) )y))=0,\quad c(y)=C)
     • x 3 + x y 2 = C (\displaystyle x^(3)+xy^(2)=C)
   • यदि अवकल समीकरण कुल अवकल समीकरण नहीं है, तो कुछ मामलों में आप एक समाकलन कारक पा सकते हैं जो आपको इसे कुल अंतर समीकरण में बदलने की अनुमति देगा। हालांकि, ऐसे समीकरण शायद ही कभी व्यवहार में उपयोग किए जाते हैं, और हालांकि एकीकृत कारक मौजूद, खोजें ऐसा होता है आसान नहीं है, इसलिए इस लेख में इन समीकरणों पर विचार नहीं किया गया है।

भाग 2

1. निरंतर गुणांक वाले सजातीय रैखिक अंतर समीकरण।व्यवहार में इन समीकरणों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, इसलिए उनका समाधान सर्वोपरि है। इस मामले में, हम सजातीय कार्यों के बारे में बात नहीं कर रहे हैं, लेकिन इस तथ्य के बारे में कि समीकरण के दाईं ओर 0 है। अगले भाग में, हम दिखाएंगे कि कैसे संबंधित विजातीयविभेदक समीकरण। नीचे ए (\ डिस्प्लेस्टाइल ए)तथा बी (\ डिस्प्लेस्टाइल बी)स्थिरांक हैं।

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a(\frac ((\mathrm (डी) )y)((\mathrm (डी) )x))+by=0)
   

   विशेषता समीकरण. यह अंतर समीकरण इस मायने में उल्लेखनीय है कि इसे बहुत आसानी से हल किया जा सकता है यदि आप ध्यान दें कि इसके समाधान में कौन से गुण होने चाहिए। समीकरण से देखा जा सकता है कि y (\displaystyle y)और इसके व्युत्पन्न एक दूसरे के समानुपाती होते हैं। पिछले उदाहरणों से, जिन्हें प्रथम-क्रम समीकरणों के अनुभाग में माना गया था, हम जानते हैं कि केवल घातांक प्रकार्य. इसलिए, सामने रखना संभव है अंसात्ज़(एक शिक्षित अनुमान) दिए गए समीकरण का हल क्या होगा।

   • समाधान एक घातीय कार्य का रूप ले लेगा ई आर एक्स , (\displaystyle ई^(आरएक्स),)कहाँ पे r (\displaystyle r)एक स्थिरांक है जिसका मान ज्ञात करना है। इस फ़ंक्शन को समीकरण में प्रतिस्थापित करें और निम्नलिखित व्यंजक प्राप्त करें
     • ई आर एक्स (आर 2 + ए आर + बी) = 0 (\displaystyle e^(rx)(r^(2)+ar+b)=0)
   • यह समीकरण इंगित करता है कि एक घातीय फलन और एक बहुपद का गुणनफल शून्य होना चाहिए। यह ज्ञात है कि डिग्री के किसी भी मान के लिए घातांक शून्य के बराबर नहीं हो सकता है। इसलिए हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि बहुपद शून्य के बराबर है। इस प्रकार, हमने एक अवकल समीकरण को हल करने की समस्या को एक बीजीय समीकरण को हल करने की एक बहुत ही सरल समस्या में कम कर दिया है, जिसे किसी दिए गए अंतर समीकरण के लिए विशेषता समीकरण कहा जाता है।
     • r 2 + a r + b = 0 (\displaystyle r^(2)+ar+b=0)
     • r ± = − a ± a 2 − 4 b 2 (\displaystyle r_(\pm )=(\frac (-a\pm (\sqrt (a^(2)-4b)))(2)))
   • हमारी दो जड़ें हैं। चूँकि यह अवकल समीकरण रैखिक है, इसका व्यापक हल आंशिक हलों का एक रैखिक संयोजन है। चूँकि यह द्वितीय कोटि का समीकरण है, हम जानते हैं कि यह है वास्तव मेंसामान्य समाधान, और कोई अन्य नहीं हैं। इसके लिए एक अधिक कठोर औचित्य समाधान के अस्तित्व और विशिष्टता पर प्रमेयों में निहित है, जो पाठ्यपुस्तकों में पाया जा सकता है।
   • यह जांचने का एक उपयोगी तरीका है कि क्या दो समाधान रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, गणना करना है व्रोनस्कियन. व्रोनस्कियन डब्ल्यू (\ डिस्प्लेस्टाइल डब्ल्यू)- यह मैट्रिक्स का निर्धारक है, जिसके स्तंभों में कार्य और उनके क्रमिक व्युत्पन्न हैं। रैखिक बीजगणित प्रमेय कहता है कि यदि व्रोनस्कियन शून्य के बराबर है, तो व्रोनस्कियन में कार्य रैखिक रूप से निर्भर हैं। इस खंड में, हम यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि दो समाधान रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं या नहीं, यह सुनिश्चित करके कि व्रोनस्कियन गैर-शून्य है। पैरामीटर भिन्नता विधि द्वारा निरंतर गुणांक वाले गैर-समरूप अंतर समीकरणों को हल करने में व्रोनस्कियन महत्वपूर्ण है।
     • डब्ल्यू = | y 1 y 2 y 1 y 2 | (\displaystyle W=(\begin(vmatrix)y_(1)&y_(2)\\y_(1)"&y_(2)"\end(vmatrix)))
   • रैखिक बीजगणित के संदर्भ में, किसी दिए गए अंतर समीकरण के सभी समाधानों का सेट एक वेक्टर स्थान बनाता है जिसका आयाम अंतर समीकरण के क्रम के बराबर होता है। इस स्थान में, कोई एक आधार चुन सकता है रैखिक रूप से स्वतंत्रएक दूसरे से निर्णय। यह इस तथ्य के कारण संभव है कि फ़ंक्शन y (x) (\displaystyle y(x))वैध रैखिक ऑपरेटर. यौगिक हैरैखिक ऑपरेटर, क्योंकि यह अलग-अलग कार्यों के स्थान को सभी कार्यों के स्थान में बदल देता है। समीकरणों को उन मामलों में सजातीय कहा जाता है जहां कुछ रैखिक संकारक के लिए एल (\ डिस्प्लेस्टाइल एल)समीकरण का हल खोजना आवश्यक है एल [ y ] = 0. (\displaystyle एल[y]=0.)

   आइए अब कुछ पर नजर डालते हैं ठोस उदाहरण. अभिलाक्षणिक समीकरण के बहुमूलों के मामले पर थोड़ी देर बाद, क्रम में कमी के खंड में विचार किया जाएगा।

   अगर जड़ें r ± (\displaystyle r_(\pm ))भिन्न वास्तविक संख्याएँ हैं, अवकल समीकरण का निम्नलिखित हल है:

   • y (x) = c 1 e r + x + c 2 e r - x (\displaystyle y(x)=c_(1)e^(r_(+)x)+c_(2)e^(r_(-)x ))

   दो जटिल जड़ें।यह बीजगणित के मूल प्रमेय से यह निष्कर्ष निकलता है कि वास्तविक गुणांक वाले बहुपद समीकरणों के समाधान के मूल वास्तविक होते हैं या संयुग्मी जोड़े बनाते हैं। इसलिए, यदि सम्मिश्र संख्या r = α + i β (\displaystyle r=\alpha +i\beta )विशेषता समीकरण की जड़ है, तो r ∗ = α - i β (\displaystyle r^(*)=\alpha -i\beta )इस समीकरण की जड़ भी है। इस प्रकार, समाधान को रूप में लिखा जा सकता है c 1 e (α + i β) x + c 2 e (α - i β) x , (\displaystyle c_(1)e^((\alpha +i\beta)x)+c_(2)e^( (\alpha -i\beta)x),)हालांकि, यह एक जटिल संख्या है और व्यावहारिक समस्याओं को हल करने में अवांछनीय है।

   • इसके बजाय, आप उपयोग कर सकते हैं यूलर सूत्र e i x = cos x + i sin ⁡ x (\displaystyle e^(ix)=\cos x+i\sin x), जो हमें फॉर्म में समाधान लिखने की अनुमति देता है त्रिकोणमितीय फलन:
     • e α x (c 1 cos β x + i c 1 sin β x + c 2 cos β x - i c 2 sin ⁡ β x) (\displaystyle e^(\alpha x)(c_(1)\cos \ बीटा x+ic_(1)\sin \beta x+c_(2)\cos \beta x-ic_(2)\sin \beta x))
   • अब आप स्थिरांक के बजाय कर सकते हैं सी 1 + सी 2 (\displaystyle c_(1)+c_(2))लिखो c 1 (\displaystyle c_(1)), और अभिव्यक्ति मैं (सी 1 - सी 2) (\displaystyle i(c_(1)-c_(2)))द्वारा प्रतिस्थापित ग 2। (\displaystyle c_(2).)उसके बाद हमें निम्नलिखित समाधान मिलता है:
     • y (x) = e α x (c 1 cos β x + c 2 sin β x) (\displaystyle y(x)=e^(\alpha x)(c_(1)\cos \beta x+c_ (2)\sin \beta x))
   • आयाम और चरण के संदर्भ में समाधान लिखने का एक और तरीका है, जो शारीरिक समस्याओं के लिए बेहतर अनुकूल है।
   • उदाहरण 2.1.आइए नीचे दी गई प्रारंभिक शर्तों के साथ दिए गए अवकल समीकरण का हल खोजें। इसके लिए प्राप्त समाधान लेना आवश्यक है, साथ ही इसके व्युत्पन्न, और उन्हें प्रारंभिक स्थितियों में प्रतिस्थापित करें, जो हमें मनमानी स्थिरांक निर्धारित करने की अनुमति देगा।
     • d 2 x d t 2 + 3 d x d t + 10 x = 0 , x (0) = 1 , x (0) = − 1 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d)) )^(2)x)(( \mathrm (d) )t^(2)))+3(\frac ((\mathrm (d) )x)((\mathrm (d) )t))+10x=0,\quad x(0) =1,\ x"(0)=-1)
     • r 2 + 3 r + 10 = 0 , r ± = − 3 ± 9 − 40 2 = − 3 2 ± 31 2 i (\displaystyle r^(2)+3r+10=0,\quad r_(\pm ) =(\frac (-3\pm (\sqrt (9-40)))(2))=-(\frac (3)(2))\pm (\frac (\sqrt (31))(2) )मैं)
     • x (t) = e − 3 t / 2 (c 1 cos 31 2 t + c 2 sin 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(c_(1 )\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
     • x (0) = 1 = c 1 (\displaystyle x(0)=1=c_(1))
     • एक्स ′ (टी) = -3 2 ई -3 टी / 2 (सी 1 कॉस ⁡ 31 2 टी + सी 2 पाप ⁡ 31 2 टी) + ई -3 टी / 2 (- 31 2 सी 1 पाप ⁡ 31 2 टी + 31 2 c 2 cos ⁡ 31 2 t) (\displaystyle (\begin(aligned)x"(t)&=-(\frac (3)(2))e^(-3t/2)\left(c_) (1)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t+c_(2)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\\&+e ^(-3t/2)\left(-(\frac (\sqrt (31))(2))c_(1)\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t+(\frac ( \sqrt (31))(2))c_(2)\cos (\frac (\sqrt (31))(2))t\right)\end(aligned)))
     • x ′ (0) = − 1 = -3 2 c 1 + 31 2 c 2 , c 2 = 1 31 (\displaystyle x"(0)=-1=-(\frac (3)(2))c_( 1)+(\frac (\sqrt (31))(2))c_(2),\quad c_(2)=(\frac (1)(\sqrt (31))))
     • x (t) = e − 3 t / 2 (cos 31 2 t + 1 31 sin ⁡ 31 2 t) (\displaystyle x(t)=e^(-3t/2)\left(\cos (\frac) (\sqrt (31))(2))t+(\frac (1)(\sqrt (31)))\sin (\frac (\sqrt (31))(2))t\right))
   
   निरंतर गुणांकों के साथ nवें क्रम के अंतर समीकरणों को हल करना (Intuit - National Open University द्वारा रिकॉर्ड किया गया)।

2. डाउनग्रेडिंग ऑर्डर।जब एक रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान ज्ञात होता है, तो अवकल समीकरणों को हल करने के लिए ऑर्डर रिडक्शन एक विधि है। इस पद्धति में समीकरण के क्रम को एक से कम करना शामिल है, जो आपको पिछले अनुभाग में वर्णित विधियों का उपयोग करके समीकरण को हल करने की अनुमति देता है। समाधान ज्ञात होने दो। ऑर्डर को कम करने का मुख्य विचार नीचे दिए गए फॉर्म में समाधान ढूंढना है, जहां फ़ंक्शन को परिभाषित करना आवश्यक है वी (एक्स) (\displaystyle वी(एक्स)), इसे अवकल समीकरण में प्रतिस्थापित करना और खोजना वी (एक्स)। (\ डिस्प्लेस्टाइल वी (एक्स)।)आइए विचार करें कि निरंतर गुणांक और कई जड़ों के साथ अंतर समीकरण को हल करने के लिए ऑर्डर कमी का उपयोग कैसे किया जा सकता है।

   
   

   एकाधिक जड़ेंनिरंतर गुणांक के साथ सजातीय अंतर समीकरण। याद रखें कि दूसरे क्रम के समीकरण में दो रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान होने चाहिए। यदि अभिलक्षणिक समीकरण के अनेक मूल हैं, तो समाधान का समुच्चय नहींएक स्थान बनाता है क्योंकि ये समाधान रैखिक रूप से निर्भर होते हैं। इस मामले में, दूसरा रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान खोजने के लिए ऑर्डर कमी का उपयोग किया जाना चाहिए।

   • मान लें कि अभिलक्षणिक समीकरण के अनेक मूल हैं r (\displaystyle r). हम मानते हैं कि दूसरा समाधान इस प्रकार लिखा जा सकता है y (x) = e r x v (x) (\displaystyle y(x)=e^(rx)v(x)), और इसे अवकल समीकरण में प्रतिस्थापित करें। इस मामले में, फ़ंक्शन के दूसरे व्युत्पन्न के साथ शब्द के अपवाद के साथ अधिकांश शर्तें वी , (\displaystyle वी,)कम कर दिया जाएगा।
     • वी ″ (एक्स) ई आर एक्स = 0 (\displaystyle v""(x)e^(rx)=0)
   • उदाहरण 2.2.निम्नलिखित समीकरण को देखते हुए, जिसके कई मूल हैं r = - 4. (\displaystyle r=-4.)प्रतिस्थापित करते समय, अधिकांश शर्तें रद्द कर दी जाती हैं।
     • d 2 y d x 2 + 8 d y d x + 16 y = 0 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+8( \frac ((\mathrm (डी) )y)((\mathrm (डी) )x))+16y=0)
     • y = v (x) e − 4 x y ′ = v ′ (x) e − 4 x − 4 v (x) e − 4 x y ″ = v (x) e − 4 x − 8 v ′ (x) e − 4 x + 16 v (x) e − 4 x (\displaystyle (\begin(aligned)y&=v(x)e^(-4x)\\y"&=v"(x)e^(-4x) )-4v(x)e^(-4x)\\y""&=v""(x)e^(-4x)-8v"(x)e^(-4x)+16v(x)e^ (-4x)\end(गठबंधन)))
     • v ″ e − 4 x − 8 v ′ e − 4 x + 16 v e − 4 x + 8 v ′ e − 4 x − 32 v e − 4 x + 16 v e − 4 x = 0 (\displaystyle (\begin(aligned) )v""e^(-4x)&-(\cancel (8v"e^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))\\&+(\cancel (8v"e) ^(-4x)))-(\cancel (32ve^(-4x)))+(\cancel (16ve^(-4x)))=0\end(aligned)))
   • स्थिर गुणांक वाले अवकल समीकरण के लिए हमारे ansatz की तरह, इस मामले में केवल दूसरा व्युत्पन्न शून्य के बराबर हो सकता है। हम दो बार एकीकृत करते हैं और वांछित अभिव्यक्ति प्राप्त करते हैं वी (\ डिस्प्लेस्टाइल वी):
     • v (x) = c 1 + c 2 x (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)x)
   • फिर अचर गुणांकों वाले अवकल समीकरण का सामान्य हल, यदि अभिलक्षणिक समीकरण के अनेक मूल हों, को निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है। सुविधा के लिए, आप याद रख सकते हैं कि रैखिक स्वतंत्रता प्राप्त करने के लिए, बस दूसरे पद को गुणा करने के लिए पर्याप्त है x (\displaystyle x). समाधानों का यह सेट रैखिक रूप से स्वतंत्र है, और इस प्रकार हमें इस समीकरण के सभी समाधान मिल गए हैं।
     • y (x) = (c 1 + c 2 x) e r x (\displaystyle y(x)=(c_(1)+c_(2)x)e^(rx))

   डी 2 वाई डी एक्स 2 + पी (एक्स) डी वाई डी एक्स + क्यू (एक्स) वाई = 0. (\displaystyle (\frac ((\mathrm (डी)) )^(2)y)((\mathrm (डी) )x^( 2)))+p(x)(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+q(x)y=0.)समाधान ज्ञात होने पर आदेश में कमी लागू होती है y 1 (x) (\displaystyle y_(1)(x)), जो समस्या कथन में पाया या दिया जा सकता है।

   • हम फॉर्म में समाधान ढूंढ रहे हैं y (x) = v (x) y 1 (x) (\displaystyle y(x)=v(x)y_(1)(x))और इसे इस समीकरण में प्लग करें:
     • v y 1 + 2 v ′ y 1 ′ + p (x) v y 1 + v (y 1 + p (x) y 1 ′ + q (x)) = 0 (\displaystyle v""y_( 1)+2v"y_(1)"+p(x)v"y_(1)+v(y_(1)""+p(x)y_(1)"+q(x))=0)
   • क्यों कि y 1 (\displaystyle y_(1))अवकल समीकरण का एक हल है, सभी पदों के साथ वी (\ डिस्प्लेस्टाइल वी)सिकुड़ रहे हैं। नतीजतन, यह रहता है पहला क्रम रैखिक समीकरण. इसे और स्पष्ट रूप से देखने के लिए, आइए हम चरों को बदलें w (x) = v′ (x) (\displaystyle w(x)=v"(x)):
     • y 1 w ′ + (2 y 1 ′ + p (x) y 1) w = 0 (\displaystyle y_(1)w"+(2y_(1)"+p(x)y_(1))w=0 )
     • w (x) = expक्स्प (∫ (2 y 1 ′ (x) y 1 (x) + p (x)) d x) (\displaystyle w(x)=\exp \left(\int \left((\) फ्रैक (2y_(1)"(x))(y_(1)(x)))+p(x)\right)(\mathrm (d) )x\right))
     • v (x) = ∫ w (x) d x (\displaystyle v(x)=\int w(x)(\mathrm (d) )x)
   • यदि इंटीग्रल की गणना की जा सकती है, तो हमें प्राथमिक कार्यों के संयोजन के रूप में सामान्य समाधान मिलता है। अन्यथा, समाधान को अभिन्न रूप में छोड़ा जा सकता है।

3. कॉची-यूलर समीकरण।कॉची-यूलर समीकरण दूसरे क्रम के अंतर समीकरण का एक उदाहरण है चरगुणांक, जिनके सटीक समाधान हैं। इस समीकरण का प्रयोग अभ्यास में किया जाता है, उदाहरण के लिए, गोलाकार निर्देशांक में लाप्लास समीकरण को हल करने के लिए।

   X 2 d 2 y d x 2 + a x d y d x + b y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2) ))+ax(\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=0)
   

   विशेषता समीकरण।जैसा कि आप देख सकते हैं, इस अंतर समीकरण में, प्रत्येक पद में एक शक्ति कारक होता है, जिसकी डिग्री संबंधित व्युत्पन्न के क्रम के बराबर होती है।

   • इस प्रकार, कोई व्यक्ति प्रपत्र में समाधान खोजने का प्रयास कर सकता है y (x) = x n , (\displaystyle y(x)=x^(n),)कहाँ परिभाषित करना है n (\displaystyle n), जैसे हम स्थिर गुणांक वाले रैखिक अवकल समीकरण के लिए एक घातांकीय फलन के रूप में एक समाधान की तलाश कर रहे थे। विभेदन और प्रतिस्थापन के बाद, हम प्राप्त करते हैं
     • x n (n 2 + (a − 1) n + b) = 0 (\displaystyle x^(n)(n^(2)+(a-1)n+b)=0)
   • अभिलक्षणिक समीकरण का उपयोग करने के लिए, हमें यह मान लेना चाहिए कि x ≠ 0 (\displaystyle x\neq 0). दूरसंचार विभाग x = 0 (\displaystyle x=0)बुलाया नियमित एकवचन बिंदुअंतर समीकरण। घात श्रेणी का उपयोग करके अवकल समीकरणों को हल करते समय ऐसे बिंदु महत्वपूर्ण होते हैं। इस समीकरण के दो मूल हैं, जो भिन्न और वास्तविक, बहु या जटिल संयुग्मी हो सकते हैं।
     • n ± = 1 − a ± (a − 1) 2 − 4 b 2 (\displaystyle n_(\pm )=(\frac (1-a\pm (\sqrt ((a-1)^(2))-4b )))(2)))

   दो अलग वास्तविक जड़ें।अगर जड़ें n ± (\displaystyle n_(\pm ))वास्तविक और भिन्न हैं, तो अवकल समीकरण के हल का निम्न रूप है:

   • y (x) = c 1 x n + + c 2 x n - (\displaystyle y(x)=c_(1)x^(n_(+))+c_(2)x^(n_(-)))

   दो जटिल जड़ें।यदि अभिलक्षणिक समीकरण की जड़ें हैं n ± = α ± β i (\displaystyle n_(\pm )=\alpha \pm \beta i), समाधान एक जटिल कार्य है।

   • समाधान को वास्तविक फलन में बदलने के लिए, हम चरों में परिवर्तन करते हैं एक्स = ई टी , (\displaystyle x=e^(t),)वह है t = ln x , (\displaystyle t=\ln x,)और यूलर सूत्र का उपयोग करें। मनमानी स्थिरांक को परिभाषित करते समय इसी तरह की कार्रवाइयां पहले की गई थीं।
     • y (t) = e α t (c 1 e β i t + c 2 e - β i t) (\displaystyle y(t)=e^(\alpha t)(c_(1)e^(\beta it)+ c_(2)e^(-\beta it)))
   • तब सामान्य हल को इस प्रकार लिखा जा सकता है
     • y (x) = x α (c 1 cos ⁡ (β ln ⁡ x) + c 2 sin ⁡ (β ln ⁡ x)) (\displaystyle y(x)=x^(\alpha )(c_(1)\ cos(\beta \ln x)+c_(2)\sin(\beta \ln x)))

   एकाधिक जड़ें।दूसरा रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान प्राप्त करने के लिए, क्रम को फिर से कम करना आवश्यक है।

   • यह काफी गणना लेता है, लेकिन सिद्धांत समान है: हम प्रतिस्थापित करते हैं y = v (x) y 1 (\displaystyle y=v(x)y_(1))एक समीकरण में जिसका पहला हल है y 1 (\displaystyle y_(1)). कटौती के बाद, निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होता है:
     • वी ″ + 1 एक्स वी ′ = 0 (\displaystyle v""+(\frac (1)(x))v"=0)
   • यह के संबंध में प्रथम कोटि का रैखिक समीकरण है वी (एक्स)। (\displaystyle v"(x).)उसका समाधान है वी (एक्स) = सी 1 + सी 2 एलएन ⁡ एक्स। (\displaystyle v(x)=c_(1)+c_(2)\ln x.)इस प्रकार, समाधान को निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है। यह याद रखना बहुत आसान है - दूसरा रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान प्राप्त करने के लिए, आपको बस एक अतिरिक्त शब्द की आवश्यकता है ln x (\displaystyle \ln x).
     • y (x) = x n (c 1 + c 2 ln ⁡ x) (\displaystyle y(x)=x^(n)(c_(1)+c_(2)\ln x))

4. निरंतर गुणांक वाले अमानवीय रैखिक अंतर समीकरण।गैर-समरूप समीकरणों का रूप होता है एल [ y (x) ] = f (x) , (\displaystyle L=f(x),)कहाँ पे f (x) (\displaystyle f(x))- तथाकथित स्वतंत्र सदस्य. अवकल समीकरणों के सिद्धांत के अनुसार, इस समीकरण का सामान्य हल एक अध्यारोपण है निजी निर्णय y p (x) (\displaystyle y_(p)(x))तथा अतिरिक्त समाधान वाई सी (एक्स)। (\displaystyle y_(c)(x).)हालांकि, इस मामले में, एक विशेष समाधान का मतलब प्रारंभिक स्थितियों द्वारा दिया गया समाधान नहीं है, बल्कि एक ऐसा समाधान है जो असमानता (मुक्त सदस्य) की उपस्थिति के कारण होता है। पूरक समाधान संगत सजातीय समीकरण का समाधान है जिसमें f (x) = 0. (\displaystyle f(x)=0.)सामान्य समाधान इन दो समाधानों का एक सुपरपोजिशन है, क्योंकि एल [ y p + y c ] = L [ y p ] + L [ y c ] = f (x) (\displaystyle L=L+L=f(x)), और तबसे एल [ y c ] = 0 , (\displaystyle L=0,)ऐसा सुपरपोजिशन वास्तव में है सामान्य समाधान.

   D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = f (x) (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) )x^(2)))+a (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))+by=f(x))
   

   अनिश्चित गुणांक की विधि।अनिश्चित गुणांक की विधि का उपयोग उन मामलों में किया जाता है जहां मुक्त शब्द घातांक, त्रिकोणमितीय, अतिशयोक्तिपूर्ण या का संयोजन होता है। शक्ति कार्य. केवल इन कार्यों को रैखिक रूप से स्वतंत्र डेरिवेटिव की एक सीमित संख्या की गारंटी है। इस खंड में, हम समीकरण का एक विशेष हल खोजेंगे।

   • शब्दों की तुलना करें f (x) (\displaystyle f(x))निरंतर कारकों की अनदेखी में शर्तों के साथ। तीन मामले संभव हैं।
     • कोई समान सदस्य नहीं हैं।इस मामले में, एक विशेष समाधान y p (\displaystyle y_(p))से पदों का एक रैखिक संयोजन होगा y p (\displaystyle y_(p))
     • f (x) (\displaystyle f(x)) सदस्य शामिल है x n (\displaystyle x^(n)) और से एक सदस्य y c , (\displaystyle y_(c),) कहाँ पे n (\displaystyle n) शून्य या एक धनात्मक पूर्णांक है, और यह पद अभिलक्षणिक समीकरण के एकल मूल से मेल खाता है।इस मामले में y p (\displaystyle y_(p))समारोह के संयोजन से मिलकर बनेगा x n + 1 h (x) , (\displaystyle x^(n+1)h(x),)इसके रैखिक रूप से स्वतंत्र डेरिवेटिव, साथ ही साथ अन्य शर्तें f (x) (\displaystyle f(x))और उनके रैखिक रूप से स्वतंत्र डेरिवेटिव।
     • f (x) (\displaystyle f(x)) सदस्य शामिल है h (x) , (\displaystyle h(x),) जो एक काम है x n (\displaystyle x^(n)) और से एक सदस्य y c , (\displaystyle y_(c),) कहाँ पे n (\displaystyle n) 0 या एक धनात्मक पूर्णांक के बराबर है, और यह पद से मेल खाता है विभिन्नविशेषता समीकरण की जड़।इस मामले में y p (\displaystyle y_(p))फ़ंक्शन का एक रैखिक संयोजन है x n + s h (x) (\displaystyle x^(n+s)h(x))(कहाँ पे s (\displaystyle s)- जड़ की बहुलता) और इसके रैखिक रूप से स्वतंत्र व्युत्पन्न, साथ ही फ़ंक्शन के अन्य सदस्य f (x) (\displaystyle f(x))और इसके रैखिक रूप से स्वतंत्र डेरिवेटिव।
   • आइए लिखते हैं y p (\displaystyle y_(p))उपरोक्त शर्तों के एक रैखिक संयोजन के रूप में। एक रैखिक संयोजन में इन गुणांकों के लिए धन्यवाद यह विधिअनिश्चित गुणांक की विधि कहा जाता है। में निहित लोगों की उपस्थिति पर y c (\displaystyle y_(c))में मनमानी स्थिरांक की उपस्थिति के कारण उनके सदस्यों को त्याग दिया जा सकता है वाई सी। (\displaystyle y_(c).)उसके बाद हम प्रतिस्थापित करते हैं y p (\displaystyle y_(p))एक समीकरण में और समान पदों को समान करें।
   • हम गुणांक निर्धारित करते हैं। इस स्तर पर, सिस्टम बीजीय समीकरण, जिसे आमतौर पर बिना हल किया जा सकता है विशेष समस्या. इस प्रणाली का समाधान प्राप्त करना संभव बनाता है y p (\displaystyle y_(p))और इस तरह समीकरण को हल करें।
   • उदाहरण 2.3।एक अमानवीय अंतर समीकरण पर विचार करें, जिसके मुक्त पद में रैखिक रूप से स्वतंत्र डेरिवेटिव की एक सीमित संख्या होती है। इस तरह के समीकरण का एक विशेष समाधान अनिश्चित गुणांक की विधि द्वारा पाया जा सकता है।
     • d 2 y d t 2 + 6 y = 2 e 3 t - cos 5 t (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d)) )^(2)y)((\mathrm (d) )t^(2) ))+6y=2e^(3t)-\cos 5t)
     • y c (t) = c 1 cos 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t (\displaystyle y_(c)(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6))t+c_(2)\sin (\ sqrt(6))टी)
     • y p (t) = A e 3 t + B cos ⁡ 5 t + C sin ⁡ 5 t (\displaystyle y_(p)(t)=Ae^(3t)+B\cos 5t+C\sin 5t)
     • 9 ए ई 3 टी -25 बी कॉस ⁡ 5 टी -25 सी पाप ⁡ 5 टी + 6 ए ई 3 टी + 6 बी कॉस 5 टी + 6 सी पाप ⁡ 5 टी = 2 ई 3 टी - क्योंकि 5 टी ( \displaystyle (\begin(aligned)9Ae^(3t)-25B\cos 5t&-25C\sin 5t+6Ae^(3t)\\&+6B\cos 5t+6C\sin 5t=2e^(3t)-\ cos 5t\end(संरेखित)))
     • ( 9 ए + 6 ए = 2 , ए = 2 15 - 25 बी + 6 बी = − 1 , बी = 1 19 − 25 सी + 6 सी = 0, सी = 0 (\displaystyle (\begin(cases)9A+ 6A) =2,&A=(\dfrac (2)(15))\\-25B+6B=-1,&B=(\dfrac (1)(19))\\-25C+6C=0,&C=0 \ अंत (मामलों)))
     • y (t) = c 1 cos ⁡ 6 t + c 2 sin ⁡ 6 t + 2 15 e 3 t + 1 19 cos ⁡ 5 t (\displaystyle y(t)=c_(1)\cos (\sqrt (6) ))t+c_(2)\sin (\sqrt (6))t+(\frac (2)(15))e^(3t)+(\frac (1)(19))\cos 5t)

   लैग्रेंज विधि।लैग्रेंज विधि, या मनमानी स्थिरांक की भिन्नता की विधि, अमानवीय अंतर समीकरणों को हल करने के लिए एक अधिक सामान्य विधि है, खासकर उन मामलों में जहां मुक्त शब्द में रैखिक रूप से स्वतंत्र डेरिवेटिव की सीमित संख्या नहीं होती है। उदाहरण के लिए, मुक्त सदस्यों के साथ तन ⁡ एक्स (\displaystyle \तन एक्स)या x - n (\displaystyle x^(-n))एक विशेष समाधान खोजने के लिए, लैग्रेंज विधि का उपयोग करना आवश्यक है। लैग्रेंज विधि का उपयोग चर गुणांकों के साथ अंतर समीकरणों को हल करने के लिए भी किया जा सकता है, हालांकि इस मामले में, कॉची-यूलर समीकरण के अपवाद के साथ, इसका उपयोग कम बार किया जाता है, क्योंकि अतिरिक्त समाधान आमतौर पर प्राथमिक कार्यों के संदर्भ में व्यक्त नहीं किया जाता है।

   • आइए मान लें कि समाधान का निम्न रूप है। इसका व्युत्पन्न दूसरी पंक्ति में दिया गया है।
     • y (x) = v 1 (x) y 1 (x) + v 2 (x) y 2 (x) (\displaystyle y(x)=v_(1)(x)y_(1)(x)+v_ (2)(x)y_(2)(x))
     • y ′ = v 1 ′ y 1 + v 1 y 1 ′ + v 2 ′ y 2 + v 2 y 2 (\displaystyle y"=v_(1)"y_(1)+v_(1)y_(1) "+v_(2)"y_(2)+v_(2)y_(2)")
   • चूंकि प्रस्तावित समाधान में शामिल हैं दोअज्ञात मात्रा, थोपना आवश्यक है अतिरिक्तस्थि‍ति। हम इस अतिरिक्त शर्त को निम्नलिखित रूप में चुनते हैं:
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 (\displaystyle v_(1)"y_(1)+v_(2)"y_(2)=0)
     • y ′ = v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 ′ (\displaystyle y"=v_(1)y_(1)"+v_(2)y_(2)")
     • y ″ = v 1 ′ y 1 ′ + v 1 y 1 ″ + v 2 ′ y 2 + v 2 y 2 (\displaystyle y""=v_(1)"y_(1)"+v_(1) y_(1)""+v_(2)"y_(2)"+v_(2)y_(2)"")
   • अब हम दूसरा समीकरण प्राप्त कर सकते हैं। सदस्यों को प्रतिस्थापित और पुनर्वितरित करने के बाद, आप सदस्यों को एक साथ समूहित कर सकते हैं v 1 (\displaystyle v_(1))और सदस्यों से वी 2 (\displaystyle v_(2)). ये शर्तें रद्द की जाती हैं क्योंकि y 1 (\displaystyle y_(1))तथा y 2 (\displaystyle y_(2))संगत समांगी समीकरण के हल हैं। नतीजतन, हम समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली प्राप्त करते हैं:
     • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 v 1 ′ y 1 ′ + v 2 y 2 ′ = f (x) (\displaystyle (\begin(aligned)v_(1)"y_(1)+ v_(2)"y_(2)&=0\\v_(1)"y_(1)"+v_(2)"y_(2)"&=f(x)\\\end(गठबंधन)))
   • इस प्रणाली को फॉर्म के मैट्रिक्स समीकरण में बदला जा सकता है A x = b , (\displaystyle A(\mathbf (x) )=(\mathbf (b) ),)जिसका समाधान है एक्स = ए - 1 बी। (\displaystyle (\mathbf (x) )=A^(-1)(\mathbf (b) ))मैट्रिक्स के लिए 2 × 2 (\displaystyle 2\बार 2) उलटा मैट्रिक्सनिर्धारक द्वारा विभाजित करके, विकर्ण तत्वों की अनुमति देकर, और ऑफ-विकर्ण तत्वों के संकेत को बदलकर पाया जाता है। वास्तव में, इस मैट्रिक्स का निर्धारक एक व्रोनस्कियन है।
     • (v 1 ′ v 2 ′) = 1 W (y 2 - y 2 - y 1 ′ y 1) (0 f (x)) (\displaystyle (\begin(pmatrix)v_(1)"\\v_( 2)"\end(pmatrix))=(\frac (1)(W))(\begin(pmatrix)y_(2)"&-y_(2)\\-y_(1)"&y_(1)\ end(pmatrix))(\begin(pmatrix)0\\f(x)\end(pmatrix)))
   • अभिव्यक्ति के लिए v 1 (\displaystyle v_(1))तथा वी 2 (\displaystyle v_(2))नीचे सूचीबद्ध हैं। जैसा कि क्रम में कमी विधि में है, इस मामले में, एकीकरण के दौरान एक मनमाना स्थिरांक दिखाई देता है, जिसमें अंतर समीकरण के सामान्य समाधान में एक अतिरिक्त समाधान शामिल होता है।
     • v 1 (x) = - ∫ 1 W f (x) y 2 (x) d x (\displaystyle v_(1)(x)=-\int (\frac (1)(W))f(x)y_( 2)(x)(\mathrm (डी) )x)
     • v 2 (x) = ∫ 1 W f (x) y 1 (x) d x (\displaystyle v_(2)(x)=\int (\frac (1)(W))f(x)y_(1) (एक्स) (\ गणित (डी)) एक्स)
   
   नेशनल ओपन यूनिवर्सिटी इंटुइट का व्याख्यान "निरंतर गुणांक के साथ एन-वें क्रम के रैखिक अंतर समीकरण" शीर्षक।

प्रायोगिक उपयोग

अवकल समीकरण किसी फलन और उसके एक या अधिक अवकलजों के बीच संबंध स्थापित करते हैं। चूंकि इस तरह के संबंध इतने सामान्य हैं, विभेदक समीकरणों ने विभिन्न क्षेत्रों में व्यापक आवेदन पाया है, और चूंकि हम चार आयामों में रहते हैं, इसलिए ये समीकरण अक्सर अंतर समीकरण होते हैं निजीडेरिवेटिव। यह खंड इस प्रकार के कुछ सबसे महत्वपूर्ण समीकरणों पर चर्चा करता है।

• घातीय वृद्धि और क्षय।रेडियोधर्मी क्षय। चक्रवृद्धि ब्याज। रफ़्तार रसायनिक प्रतिक्रिया. रक्त में दवाओं की एकाग्रता। असीमित जनसंख्या वृद्धि। न्यूटन-रिचमैन कानून। वास्तविक दुनिया में, ऐसी कई प्रणालियाँ हैं जिनमें किसी भी समय वृद्धि या क्षय की दर की मात्रा के समानुपाती होती है इस पलसमय या मॉडल द्वारा अच्छी तरह से अनुमानित किया जा सकता है। इसका कारण यह है कि इस अंतर समीकरण का समाधान, घातीय फलन, सबसे अधिक में से एक है महत्वपूर्ण कार्यगणित और अन्य विज्ञानों में। अधिक आम तौर पर, नियंत्रित जनसंख्या वृद्धि के तहत, सिस्टम में अतिरिक्त शर्तें शामिल हो सकती हैं जो वृद्धि को सीमित करती हैं। नीचे दिए गए समीकरण में, स्थिरांक k (\displaystyle k)शून्य से अधिक या कम हो सकता है।
  • d y d x = k x (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=kx)
• हार्मोनिक कंपन।शास्त्रीय और क्वांटम यांत्रिकी दोनों में, हार्मोनिक थरथरानवाला सबसे महत्वपूर्ण भौतिक प्रणालियों में से एक है क्योंकि इसकी सादगी और अधिक जटिल प्रणालियों जैसे कि एक साधारण पेंडुलम का अनुमान लगाने के लिए व्यापक अनुप्रयोग है। शास्त्रीय यांत्रिकी में, हार्मोनिक दोलनों को एक समीकरण द्वारा वर्णित किया जाता है जो हुक के नियम के माध्यम से एक भौतिक बिंदु की स्थिति को उसके त्वरण से संबंधित करता है। इस मामले में, भिगोना और ड्राइविंग बलों को भी ध्यान में रखा जा सकता है। नीचे दी गई अभिव्यक्ति में x (\displaystyle (\dot (x)))- समय व्युत्पन्न x , (\displaystyle x,) β (\displaystyle \बीटा )एक पैरामीटर है जो अवमंदन बल का वर्णन करता है, 0 (\displaystyle \omega _(0))- प्रणाली की कोणीय आवृत्ति, एफ (टी) (\ डिस्प्लेस्टाइल एफ (टी))एक समय पर निर्भर प्रेरक शक्ति है। हार्मोनिक ऑसिलेटर इलेक्ट्रोमैग्नेटिक ऑसिलेटरी सर्किट में भी मौजूद होता है, जहां इसे मैकेनिकल सिस्टम की तुलना में अधिक सटीकता के साथ लागू किया जा सकता है।
  • x ¨ + 2 β x ˙ + ω 0 2 x = F (टी) (\displaystyle (\ddot (x))+2\beta (\dot (x))+\omega _(0)^(2)x = एफ (टी))
• बेसेल समीकरण।बेसेल अंतर समीकरण का उपयोग भौतिकी के कई क्षेत्रों में किया जाता है, जिसमें तरंग समीकरण, लाप्लास समीकरण और श्रोडिंगर समीकरण का समाधान शामिल है, विशेष रूप से बेलनाकार या गोलाकार समरूपता की उपस्थिति में। चर गुणांकों वाला यह द्वितीय-क्रम अंतर समीकरण कॉची-यूलर समीकरण नहीं है, इसलिए इसके समाधानों को प्राथमिक कार्यों के रूप में नहीं लिखा जा सकता है। बेसेल समीकरण के समाधान बेसेल फलन हैं, जिनका इस तथ्य के कारण अच्छी तरह से अध्ययन किया जाता है कि उनका उपयोग कई क्षेत्रों में किया जाता है। नीचे दी गई अभिव्यक्ति में α (\displaystyle \alpha )एक स्थिरांक है जो मेल खाता है गणबेसेल कार्य करता है।
  • x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + (x 2 - α 2) y = 0 (\displaystyle x^(2)(\frac ((\mathrm (d) )^(2)y)((\mathrm (d) ) )x^(2)))+x(\frac ((\mathrm (डी) )y)((\mathrm (डी) )x))+(x^(2)-\alpha ^(2)) वाई = 0)
• मैक्सवेल के समीकरण।लोरेंत्ज़ बल के साथ, मैक्सवेल के समीकरण शास्त्रीय विद्युतगतिकी का आधार बनते हैं। ये विद्युत के लिए चार आंशिक अवकल समीकरण हैं ई (आर, टी) (\displaystyle (\mathbf (ई) )((\mathbf (आर) ),टी))और चुंबकीय बी (आर, टी) (\displaystyle (\mathbf (बी) )((\mathbf (आर) ),टी))खेत। नीचे के भावों में ρ = ρ (r , t) (\displaystyle \rho =\rho ((\mathbf (r) ),t))- चार्ज का घनत्व, जे = जे (आर, टी) (\displaystyle (\mathbf (जे) )=(\mathbf (जे) )((\mathbf (आर)), टी))वर्तमान घनत्व है, और 0 (\displaystyle \epsilon _(0))तथा μ 0 (\displaystyle \mu _(0))क्रमशः विद्युत और चुंबकीय स्थिरांक हैं।
  • E = ρ ϵ 0 B = 0 × E = - ∂ B ∂ t ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 E ∂ t (\displaystyle (\begin(aligned)\nabla \cdot (\mathbf (E) )&=(\frac (\rho )(\epsilon _(0)))\\\nabla \cdot (\mathbf (B) )&=0\\\nabla \times (\mathbf) (ई) )&=-(\frac (\partial (\mathbf (B) )))(\partial t))\\\nabla \times (\mathbf (B) )&=\mu _(0)(\ mathbf (J) )+\mu _(0)\epsilon _(0)(\frac (\partial (\mathbf (E) )))(\partial t))\end(aligned)))
• श्रोडिंगर समीकरण।क्वांटम यांत्रिकी में, श्रोडिंगर समीकरण गति का मूल समीकरण है जो तरंग फ़ंक्शन में परिवर्तन के अनुसार कणों की गति का वर्णन करता है Ψ = Ψ (आर, टी) (\displaystyle \साई =\साई ((\mathbf (आर)),टी))समय के साथ। गति के समीकरण का वर्णन व्यवहार द्वारा किया जाता है हैमिल्टनियन एच ^ (\displaystyle (\टोपी(एच))) - ऑपरेटर, जो सिस्टम की ऊर्जा का वर्णन करता है। भौतिकी में श्रोडिंगर समीकरण के प्रसिद्ध उदाहरणों में से एक गैर-सापेक्ष कण के लिए समीकरण है, जो संभावित के अधीन है वी (आर, टी) (\displaystyle वी((\mathbf (आर)),टी)). कई प्रणालियों को समय-निर्भर श्रोडिंगर समीकरण द्वारा वर्णित किया गया है, बाईं ओर समीकरण के साथ ई Ψ , (\displaystyle ई\साई ,)कहाँ पे ई (\ डिस्प्लेस्टाइल ई)कण की ऊर्जा है। नीचे के भावों में (\displaystyle \hbar )घटा हुआ प्लैंक स्थिरांक है।
  • मैं t = H ^ Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=(\hat (H))\Psi )
  • i t = (− ℏ 2 2 m ∇ 2 + V (r , t)) Ψ (\displaystyle i\hbar (\frac (\partial \Psi )(\partial t))=\left(- (\frac (\hbar ^(2))(2m))\nabla ^(2)+V((\mathbf (r) ),t)\right)\Psi )
• तरंग समीकरण।तरंगों के बिना भौतिकी और प्रौद्योगिकी की कल्पना करना असंभव है, वे सभी प्रकार की प्रणालियों में मौजूद हैं। सामान्य तौर पर, तरंगों का वर्णन नीचे दिए गए समीकरण द्वारा किया जाता है, जिसमें u = u (r , t) (\displaystyle u=u((\mathbf (r) ),t))वांछित कार्य है, और सी (\ डिस्प्लेस्टाइल सी)- प्रयोगात्मक रूप से निर्धारित स्थिर। डी'अलेम्बर्ट ने सबसे पहले यह खोजा था कि एक-आयामी मामले के लिए तरंग समीकरण का समाधान है कोईतर्क के साथ कार्य x - c t (\displaystyle x-ct), जो दाईं ओर फैलने वाली एक मनमाना लहर का वर्णन करता है। एक-आयामी मामले के लिए सामान्य समाधान इस फ़ंक्शन का एक दूसरे फ़ंक्शन के साथ एक तर्क के साथ एक रैखिक संयोजन है x + c t (\displaystyle x+ct), जो बाईं ओर फैलने वाली लहर का वर्णन करता है। यह समाधान दूसरी पंक्ति में प्रस्तुत किया गया है।
  • ∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∇ 2 u (\displaystyle (\frac (\partial ^(2)u)(\partial t^(2)))=c^(2)\nabla ^(2)u )
  • u (x , t) = f (x - c t) + g (x + c t) (\displaystyle u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct))
• नेवियर-स्टोक्स समीकरण।नेवियर-स्टोक्स समीकरण तरल पदार्थों की गति का वर्णन करते हैं। चूंकि विज्ञान और प्रौद्योगिकी के लगभग हर क्षेत्र में तरल पदार्थ मौजूद हैं, ये समीकरण मौसम की भविष्यवाणी, विमान डिजाइन, महासागरीय धाराओं और कई अन्य अनुप्रयोगों के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण हैं। नेवियर-स्टोक्स समीकरण गैर-रैखिक आंशिक अंतर समीकरण हैं, और ज्यादातर मामलों में उन्हें हल करना बहुत मुश्किल है, क्योंकि गैर-रैखिकता अशांति की ओर ले जाती है, और संख्यात्मक तरीकों से एक स्थिर समाधान प्राप्त करने के लिए, इसे विभाजित करना आवश्यक है बहुत छोटी कोशिकाएं, जिन्हें महत्वपूर्ण कंप्यूटिंग शक्ति की आवश्यकता होती है। हाइड्रोडायनामिक्स में व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए, अशांत प्रवाह को मॉडल करने के लिए समय औसत जैसी विधियों का उपयोग किया जाता है। गैर-रेखीय आंशिक अंतर समीकरणों के समाधान के अस्तित्व और विशिष्टता जैसे और भी बुनियादी प्रश्न, जटिल समस्याएं हैं, और तीन आयामों में नेवियर-स्टोक्स समीकरणों के समाधान के अस्तित्व और विशिष्टता को साबित करना सहस्राब्दी की गणितीय समस्याओं में से एक है। . नीचे असंपीड्य द्रव प्रवाह समीकरण और निरंतरता समीकरण हैं।
  • u t + (u ) u - 2 u = - h , t + (ρ u) = 0 (\displaystyle (\frac (\partial (\mathbf (u) ))) )(\partial t))+((\mathbf (u) )\cdot \nabla)(\mathbf (u) )-\nu \nabla ^(2)(\mathbf (u) )=-\nabla h, \quad (\frac (\partial \rho )(\partial t))+\nabla \cdot (\rho (\mathbf (u) ))=0)

• कई अवकल समीकरणों को केवल उपरोक्त विधियों द्वारा हल नहीं किया जा सकता है, विशेष रूप से पिछले खंड में उल्लिखित। यह तब लागू होता है जब समीकरण में चर गुणांक होते हैं और कॉची-यूलर समीकरण नहीं होता है, या जब समीकरण गैर-रैखिक होता है, कुछ बहुत ही दुर्लभ मामलों को छोड़कर। हालाँकि, उपरोक्त विधियाँ आपको कई महत्वपूर्ण अंतर समीकरणों को हल करने की अनुमति देती हैं जो अक्सर विज्ञान के विभिन्न क्षेत्रों में सामने आते हैं।
• भेदभाव के विपरीत, जो आपको किसी भी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने की अनुमति देता है, कई अभिव्यक्तियों का अभिन्न अंग प्राथमिक कार्यों में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। इसलिए, जहां यह असंभव है, वहां अभिन्न की गणना करने में समय बर्बाद न करें। इंटीग्रल की तालिका देखें। यदि किसी अवकल समीकरण के हल को प्राथमिक फलनों के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है, तो कभी-कभी इसे समाकलन रूप में निरूपित किया जा सकता है, और इस मामले में इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि इस समाकल की गणना विश्लेषणात्मक रूप से की जा सकती है या नहीं।

चेतावनी

• दिखावटअंतर समीकरण भ्रामक हो सकता है। उदाहरण के लिए, नीचे दो प्रथम-क्रम अंतर समीकरण हैं। इस आलेख में वर्णित विधियों का उपयोग करके पहले समीकरण को आसानी से हल किया जाता है। पहली नज़र में मामूली बदलाव y (\displaystyle y)पर y 2 (\displaystyle y^(2))दूसरे समीकरण में इसे अरैखिक बनाता है और इसे हल करना बहुत कठिन हो जाता है।
  • d y d x = x 2 + y (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y)
  • d y d x = x 2 + y 2 (\displaystyle (\frac ((\mathrm (d) )y)((\mathrm (d) )x))=x^(2)+y^(2))

विभेदक समीकरणों का समाधान। हमारे लिए धन्यवाद ऑनलाइन सेवा आप किसी भी प्रकार और जटिलता के अंतर समीकरणों को हल कर सकते हैं: अमानवीय, सजातीय, गैर-रैखिक, रैखिक, पहला, दूसरा क्रम, वियोज्य या गैर-वियोज्य चर के साथ, आदि। आपको एक विस्तृत विवरण के साथ एक विश्लेषणात्मक रूप में अंतर समीकरणों का समाधान मिलता है। बहुत से लोग रुचि रखते हैं: अंतर समीकरणों को ऑनलाइन हल करना क्यों आवश्यक है? इस प्रकार के समीकरण गणित और भौतिकी में बहुत आम हैं, जहाँ एक विभेदक समीकरण की गणना के बिना कई समस्याओं को हल करना असंभव होगा। इसके अलावा, अर्थशास्त्र, चिकित्सा, जीव विज्ञान, रसायन विज्ञान और अन्य विज्ञानों में अंतर समीकरण आम हैं। इस तरह के समीकरण को ऑनलाइन हल करने से आपके कार्यों में बहुत सुविधा होती है, इससे सामग्री को बेहतर ढंग से आत्मसात करना और स्वयं का परीक्षण करना संभव हो जाता है। अंतर समीकरणों को ऑनलाइन हल करने के लाभ। एक आधुनिक गणितीय सेवा साइट आपको किसी भी जटिलता के अंतर समीकरणों को ऑनलाइन हल करने की अनुमति देती है। जैसा कि आप जानते हैं, बड़ी संख्या में अवकल समीकरण होते हैं, और उनमें से प्रत्येक का अपना समाधान होता है। हमारी सेवा पर आप किसी भी आदेश और प्रकार के अंतर समीकरणों का समाधान ऑनलाइन पा सकते हैं। समाधान प्राप्त करने के लिए, हमारा सुझाव है कि आप प्रारंभिक डेटा भरें और "समाधान" बटन पर क्लिक करें। सेवा के संचालन में त्रुटियों को बाहर रखा गया है, इसलिए आप 100% सुनिश्चित हो सकते हैं कि आपको सही उत्तर मिला है। हमारी सेवा के साथ अंतर समीकरणों को हल करें। अंतर समीकरणों को ऑनलाइन हल करें। डिफ़ॉल्ट रूप से, ऐसे समीकरण में, y फ़ंक्शन x चर का एक फ़ंक्शन होता है। लेकिन आप अपना स्वयं का चर पदनाम भी निर्धारित कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि आप अंतर समीकरण में y(t) निर्दिष्ट करते हैं, तो हमारी सेवा स्वचालित रूप से निर्धारित करेगी कि y t चर का एक कार्य है। संपूर्ण अवकल समीकरण का क्रम समीकरण में मौजूद फलन के अवकलज के अधिकतम क्रम पर निर्भर करेगा। ऐसे समीकरण को हल करने का अर्थ है वांछित फलन ज्ञात करना। हमारी सेवा आपको अंतर समीकरणों को ऑनलाइन हल करने में मदद करेगी। समीकरण को हल करने में आपकी ओर से अधिक प्रयास नहीं करना पड़ता है। आपको बस अपने समीकरण के बाएँ और दाएँ भागों को आवश्यक क्षेत्रों में दर्ज करना होगा और "समाधान" बटन पर क्लिक करना होगा। किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न में प्रवेश करते समय, इसे एक एस्ट्रोफ़े के साथ निरूपित करना आवश्यक है। कुछ ही सेकंड में, आपके पास अवकल समीकरण का तैयार विस्तृत समाधान होगा। हमारी सर्विस बिल्कुल फ्री है। वियोज्य चर के साथ विभेदक समीकरण। यदि एक अवकल समीकरण में बाईं ओर एक व्यंजक है जो y पर निर्भर करता है, और दाईं ओर एक व्यंजक है जो x पर निर्भर करता है, तो ऐसे अवकल समीकरण को वियोज्य चरों के साथ कहा जाता है। बायीं ओर y का अवकलज हो सकता है, इस प्रकार के अवकल समीकरणों का हल y के फलन के रूप में होगा, जिसे समीकरण के दाहिने पक्ष के समाकलन द्वारा व्यक्त किया जाता है। यदि बाईं ओर y के किसी फलन का अंतर है, तो समीकरण के दोनों भाग एकीकृत हो जाते हैं। जब एक अवकल समीकरण में चरों को अलग नहीं किया जाता है, तो उन्हें एक अलग अंतर समीकरण प्राप्त करने के लिए विभाजित करने की आवश्यकता होगी। रैखिक अंतर समीकरण। एक अवकल समीकरण को रैखिक कहा जाता है यदि फलन और उसके सभी अवकलज प्रथम अंश में हों। सामान्य फ़ॉर्मसमीकरण: y'+a1(x)y=f(x)। f(x) और a1(x) x के सतत फलन हैं। इस प्रकार के विभेदक समीकरणों का समाधान अलग-अलग चर के साथ दो अंतर समीकरणों के एकीकरण के लिए कम हो जाता है। विभेदक समीकरण का क्रम। अवकल समीकरण पहले, दूसरे, n-वें क्रम का हो सकता है। अवकल समीकरण का क्रम उसमें निहित उच्चतम अवकलज का क्रम निर्धारित करता है। हमारी सेवा में आप अंतर समीकरणों को हल कर सकते हैं पहले ऑनलाइन, दूसरा, तीसरा, आदि। गण। समीकरण का हल कोई भी फलन y=f(x) होगा, जिसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर आपको एक सर्वसमिका प्राप्त होगी। अवकल समीकरण का हल खोजने की प्रक्रिया को समाकलन कहते हैं। कॉची समस्या। यदि, अवकल समीकरण के अलावा, प्रारंभिक स्थिति y(x0)=y0 निर्दिष्ट की जाती है, तो इसे कॉची समस्या कहा जाता है। संकेतक y0 और x0 को समीकरण के समाधान में जोड़ा जाता है और एक मनमाना स्थिरांक C का मान निर्धारित किया जाता है, और फिर C के इस मान के लिए समीकरण का एक विशेष समाधान होता है। यह कॉची समस्या का समाधान है। कॉची समस्या को सीमा स्थितियों के साथ समस्या भी कहा जाता है, जो भौतिकी और यांत्रिकी में बहुत आम है। आपके पास कॉची समस्या को सेट करने का अवसर भी है, यानी समीकरण के सभी संभावित समाधानों से, एक विशेष चुनें जो दी गई प्रारंभिक शर्तों को पूरा करता है।

आज, किसी भी विशेषज्ञ के लिए सबसे महत्वपूर्ण कौशल में से एक अंतर समीकरणों को हल करने की क्षमता है। विभेदक समीकरणों का समाधान - इसके बिना एक भी लागू कार्य नहीं हो सकता है, चाहे वह किसी भौतिक पैरामीटर की गणना हो या अपनाई गई व्यापक आर्थिक नीति के परिणामस्वरूप परिवर्तनों का मॉडलिंग हो। ये समीकरण कई अन्य विज्ञानों जैसे रसायन विज्ञान, जीव विज्ञान, चिकित्सा आदि के लिए भी महत्वपूर्ण हैं। नीचे हम अर्थशास्त्र में अवकल समीकरणों के उपयोग का एक उदाहरण देंगे, लेकिन इससे पहले हम संक्षेप में मुख्य प्रकार के समीकरणों के बारे में बात करेंगे।

विभेदक समीकरण - सरलतम प्रकार

ऋषियों ने कहा कि हमारे ब्रह्मांड के नियम गणितीय भाषा में लिखे गए हैं। बेशक, बीजगणित में विभिन्न समीकरणों के कई उदाहरण हैं, लेकिन ये ज्यादातर शैक्षिक उदाहरण हैं जो व्यवहार में लागू नहीं होते हैं। वास्तव में दिलचस्प गणित तब शुरू होता है जब हम वास्तविक जीवन में होने वाली प्रक्रियाओं का वर्णन करना चाहते हैं। लेकिन समय कारक को कैसे प्रतिबिंबित किया जाए, जो वास्तविक प्रक्रियाओं के अधीन है - मुद्रास्फीति, उत्पादन या जनसांख्यिकीय संकेतक?

किसी फलन के अवकलज के संबंध में गणित पाठ्यक्रम की एक महत्वपूर्ण परिभाषा याद कीजिए। व्युत्पन्न फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर है, इसलिए यह समीकरण में समय कारक को प्रतिबिंबित करने में हमारी सहायता कर सकता है।

यही है, हम एक फ़ंक्शन के साथ एक समीकरण बनाते हैं जो हमारे लिए ब्याज के संकेतक का वर्णन करता है और इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को समीकरण में जोड़ता है। यह अंतर समीकरण है। अब सबसे सरल पर चलते हैं डमी के लिए अंतर समीकरणों के प्रकार.

सबसे सरल अंतर समीकरण का रूप $y'(x)=f(x)$ है, जहां $f(x)$ कुछ फ़ंक्शन है, और $y'(x)$ वांछित फ़ंक्शन के व्युत्पन्न या परिवर्तन की दर है . इसे साधारण एकीकरण द्वारा हल किया जाता है: $$y(x)=\int f(x)dx.$$

दूसरे सरलतम प्रकार को वियोज्य अंतर समीकरण कहा जाता है। ऐसा समीकरण इस तरह दिखता है $y'(x)=f(x)\cdot g(y)$। यह देखा जा सकता है कि आश्रित चर $y$ भी निर्मित फ़ंक्शन का हिस्सा है। समीकरण को बहुत ही सरलता से हल किया जाता है - आपको "चरों को अलग करना" की आवश्यकता है, अर्थात, इसे $y'(x)/g(y)=f(x)$ या $dy/g(y)= के रूप में लाएं। एफ (एक्स) डीएक्स $। यह दोनों भागों को एकीकृत करने के लिए बनी हुई है $$\int \frac(dy)(g(y))=\int f(x)dx$$ - यह एक वियोज्य प्रकार के अंतर समीकरण का समाधान है।

अंतिम सरल प्रकार पहला क्रम रैखिक अंतर समीकरण है। इसका रूप $y'+p(x)y=q(x)$ है। यहां $p(x)$ और $q(x)$ कुछ फ़ंक्शन हैं, और $y=y(x)$ वांछित फ़ंक्शन है। इस तरह के समीकरण को हल करने के लिए, पहले से ही विशेष विधियों का उपयोग किया जाता है (एक मनमाना स्थिरांक की भिन्नता की लैग्रेंज विधि, बर्नौली प्रतिस्थापन विधि)।

अधिक जटिल प्रकार के समीकरण हैं - दूसरे, तीसरे और आम तौर पर मनमाना क्रम के समीकरण, सजातीय और अमानवीय समीकरण, साथ ही साथ अंतर समीकरणों की प्रणाली। उन्हें हल करने के लिए, आपको सरल समस्याओं को हल करने में प्रारंभिक तैयारी और अनुभव की आवश्यकता होती है।

भौतिकी के लिए बहुत महत्व है और आश्चर्यजनक रूप से, वित्त तथाकथित आंशिक अंतर समीकरण हैं। इसका मतलब है कि वांछित कार्य एक ही समय में कई चर पर निर्भर करता है। उदाहरण के लिए, वित्तीय इंजीनियरिंग के क्षेत्र से ब्लैक-स्कोल्स समीकरण एक विकल्प के मूल्य का वर्णन करता है (फॉर्म का) सुरक्षा) इसकी लाभप्रदता, भुगतान की राशि, साथ ही भुगतान की शुरुआत और समाप्ति के समय के आधार पर। आंशिक अंतर समीकरण को हल करना काफी जटिल है, आमतौर पर आपको मैटलैब या मेपल जैसे विशेष कार्यक्रमों का उपयोग करने की आवश्यकता होती है।

अर्थशास्त्र में अंतर समीकरण लागू करने का एक उदाहरण

जैसा कि वादा किया गया था, हम एक अंतर समीकरण को हल करने का एक सरल उदाहरण देते हैं। आइए पहले कार्य निर्धारित करें।

कुछ फर्म के लिए, अपने उत्पादों की बिक्री से सीमांत राजस्व का कार्य $MR=10-0.2q$ रूप में होता है। यहाँ $MR$ फर्म का सीमांत राजस्व है और $q$ आउटपुट है। हमें कुल आय का पता लगाना होगा।

जैसा कि समस्या से देखा जा सकता है, यह सूक्ष्मअर्थशास्त्र से एक लागू उदाहरण है। कई फर्मों और उद्यमों को अपनी गतिविधियों के दौरान लगातार ऐसी गणनाओं का सामना करना पड़ता है।

आइए निर्णय पर आते हैं। जैसा कि सूक्ष्मअर्थशास्त्र से जाना जाता है, सीमांत राजस्व कुल राजस्व का व्युत्पन्न है, और राजस्व शून्य बिक्री पर शून्य है।

गणितीय दृष्टिकोण से, समस्या $R(0)=0$ की स्थिति के तहत अंतर समीकरण $R'=10-0.2q$ को हल करने के लिए कम हो गई थी।

हम समीकरण को एकीकृत करते हैं, दोनों भागों के एंटीडेरिवेटिव फ़ंक्शन को लेते हुए, हमें सामान्य समाधान मिलता है: $$R(q) = \int (10-0,2q)dq = 10 q-0,1q^2+C। $$

स्थिर $C$ खोजने के लिए, शर्त $R(0)=0$ को याद करें। स्थानापन्न: $$R(0) =0-0+C = 0. $$ तो C=0 और हमारा कुल राजस्व फलन $R(q)=10q-0.1q^2$ हो जाता है। समस्या हल हो गई।

के लिए अन्य उदाहरण अलग - अलग प्रकारपृष्ठ पर डीयू एकत्र किए जाते हैं:

शैक्षिक संस्थान "बेलारूसी राज्य"

कृषि अकादमी"

उच्च गणित विभाग

पहला आदेश विभेदक समीकरण

लेखांकन छात्रों के लिए व्याख्यान सारांश

शिक्षा का पत्राचार प्रपत्र (NISPO)

गोर्की, 2013

पहले क्रम के अंतर समीकरण

विभेदक समीकरण की अवधारणा। सामान्य और विशेष समाधान

विभिन्न घटनाओं का अध्ययन करते समय, अक्सर ऐसा कानून खोजना संभव नहीं होता है जो स्वतंत्र चर और वांछित फ़ंक्शन को सीधे जोड़ता है, लेकिन वांछित फ़ंक्शन और उसके डेरिवेटिव के बीच संबंध स्थापित करना संभव है।

स्वतंत्र चर, वांछित फलन और उसके अवकलजों को जोड़ने वाला संबंध कहलाता है अंतर समीकरण :

यहां एक्सएक स्वतंत्र चर है, आपवांछित कार्य है,
वांछित फ़ंक्शन के व्युत्पन्न हैं। इस मामले में, संबंध (1) को कम से कम एक व्युत्पन्न की उपस्थिति की आवश्यकता होती है।

अवकल समीकरण का क्रम समीकरण में उच्चतम व्युत्पन्न का क्रम है।

अंतर समीकरण पर विचार करें

. (2)

चूँकि इस समीकरण में केवल प्रथम कोटि का अवकलज शामिल है, तो इसे कहा जाता है प्रथम कोटि का अवकल समीकरण है।

यदि समीकरण (2) को व्युत्पन्न के संबंध में हल किया जा सकता है और लिखा जा सकता है

, (3)

तो ऐसे समीकरण को सामान्य रूप में प्रथम-कोटि अवकल समीकरण कहा जाता है।

कई मामलों में फॉर्म के समीकरण पर विचार करना समीचीन है

जिसे कहा जाता है अंतर रूप में लिखा गया एक प्रथम-क्रम अंतर समीकरण।

इसलिये
, तो समीकरण (3) को के रूप में लिखा जा सकता है
या
, जहां कोई गिन सकता है
तथा
. इसका मतलब है कि समीकरण (3) को समीकरण (4) में बदल दिया गया है।

हम समीकरण (4) को रूप में लिखते हैं
. फिर
,
,
, जहां कोई गिन सकता है
, अर्थात। फॉर्म (3) का एक समीकरण प्राप्त होता है। इस प्रकार, समीकरण (3) और (4) समतुल्य हैं।

अवकल समीकरण को हल करके (2) या (3) कोई भी फलन कहलाता है
, जो इसे समीकरण (2) या (3) में प्रतिस्थापित करते समय, इसे एक पहचान में बदल देता है:

या
.

अवकल समीकरण के सभी हल ज्ञात करने की प्रक्रिया कहलाती है एकीकरण , और समाधान ग्राफ
अवकल समीकरण कहलाता है अभिन्न वक्र यह समीकरण।

यदि अवकल समीकरण का हल निहित रूप में प्राप्त किया जाता है
, तो इसे कहा जाता है अभिन्न दिया गया अंतर समीकरण।

सामान्य समाधान पहले क्रम का अंतर समीकरण रूप के कार्यों का एक परिवार है
, एक मनमाना स्थिरांक पर निर्भर करता है से, जिनमें से प्रत्येक एक मनमाना स्थिरांक के किसी भी स्वीकार्य मूल्य के लिए दिए गए अंतर समीकरण का एक समाधान है से. इस प्रकार, अवकल समीकरण के अनंत हल होते हैं।

निजी निर्णय अवकल समीकरण को एक मनमाना स्थिरांक के विशिष्ट मान के लिए सामान्य समाधान सूत्र से प्राप्त समाधान कहा जाता है से, समेत
.

कॉची की समस्या और उसके ज्यामितीय व्याख्या

समीकरण (2) के अनंत हल हैं। इस समुच्चय से एक समाधान, जिसे एक विशेष समाधान कहा जाता है, को अलग करने के लिए, कुछ अतिरिक्त शर्तों को निर्दिष्ट किया जाना चाहिए।

दी गई शर्तों के तहत समीकरण (2) का एक विशेष हल खोजने की समस्या को कहा जाता है कौची समस्या . यह समस्या अवकल समीकरणों के सिद्धांत में सबसे महत्वपूर्ण में से एक है।

कॉची समस्या निम्नानुसार तैयार की गई है: समीकरण (2) के सभी हलों में से एक ऐसा हल ज्ञात कीजिए
, जिसमें समारोह
एक दिया गया संख्यात्मक मान लेता है यदि स्वतंत्र चर एक्स एक दिया गया संख्यात्मक मान लेता है , अर्थात।

,
, (5)

कहाँ पे डीफ़ंक्शन का डोमेन है
.

अर्थ बुलाया फ़ंक्शन का प्रारंभिक मान , एक – स्वतंत्र चर का प्रारंभिक मान . दशा (5) कहलाती है आरंभिक दशा या कॉची की स्थिति .

ज्यामितीय दृष्टिकोण से, अवकल समीकरण (2) के लिए कॉची समस्या को निम्नानुसार तैयार किया जा सकता है: समीकरण (2) के समाकल वक्रों के समुच्चय में से उस एक का चयन करें जो किसी दिए गए बिंदु से होकर गुजरता है
.

वियोज्य चर के साथ विभेदक समीकरण

सबसे सरल प्रकार के अंतर समीकरणों में से एक प्रथम-क्रम अंतर समीकरण है जिसमें वांछित कार्य नहीं होता है:

. (6)

मान लें कि
, हम समीकरण को रूप में लिखते हैं
या
. अंतिम समीकरण के दोनों पक्षों को एकीकृत करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
या

. (7)

इस प्रकार, (7) समीकरण (6) का एक सामान्य हल है।

उदाहरण 1 . अवकल समीकरण का सामान्य हल ज्ञात कीजिए
.

समाधान . हम समीकरण को फॉर्म में लिखते हैं
या
. हम परिणामी समीकरण के दोनों भागों को एकीकृत करते हैं:
,
. आइए अंत में लिखते हैं
.

उदाहरण 2 . समीकरण का हल खोजें
इस शर्त पर
.

समाधान . आइए समीकरण का सामान्य हल खोजें:
,
,
,
. शर्त के अनुसार
,
. सामान्य समाधान में स्थानापन्न करें:
या
. हम सामान्य समाधान के लिए सूत्र में एक मनमाना स्थिरांक के पाए गए मान को प्रतिस्थापित करते हैं:
. यह अवकल समीकरण का विशेष हल है जो दी गई शर्त को पूरा करता है।

समीकरण

(8)

बुलाया एक प्रथम-क्रम अंतर समीकरण जिसमें एक स्वतंत्र चर शामिल नहीं है . हम इसे फॉर्म में लिखते हैं
या
. हम अंतिम समीकरण के दोनों भागों को एकीकृत करते हैं:
या
- समीकरण का सामान्य हल (8)।

उदाहरण . समीकरण का एक सामान्य हल खोजें
.

समाधान . हम इस समीकरण को इस रूप में लिखते हैं:
या
. फिर
,
,
,
. इस तरह,
इस समीकरण का सामान्य हल है।

समीकरण टाइप करें

(9)

चर के पृथक्करण का उपयोग करके एकीकृत। ऐसा करने के लिए, हम समीकरण को फॉर्म में लिखते हैं
, और फिर, गुणा और भाग के संचालन का उपयोग करके, हम इसे इस तरह के रूप में लाते हैं कि एक भाग में केवल कार्य शामिल होता है एक्सऔर अंतर डीएक्स, और दूसरे भाग में - का एक समारोह परऔर अंतर डीवाई. ऐसा करने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों को गुणा किया जाना चाहिए डीएक्सऔर विभाजित करें
. नतीजतन, हम समीकरण प्राप्त करते हैं

, (10)

जिसमें चर एक्सतथा परअलग। हम समीकरण (10) के दोनों भागों को एकीकृत करते हैं:
. परिणामी संबंध समीकरण (9) का सामान्य समाकलन है।

उदाहरण 3 . एकीकृत समीकरण
.

समाधान . समीकरण को रूपांतरित करें और चरों को अलग करें:
,
. आइए एकीकृत करें:
,
या इस समीकरण का सामान्य समाकलन है।
.

मान लीजिए समीकरण को रूप में दिया गया है

इस तरह के समीकरण को कहा जाता है वियोज्य चर के साथ प्रथम-क्रम अंतर समीकरण सममित रूप में।

चरों को अलग करने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों को से विभाजित किया जाना चाहिए
:

. (12)

परिणामी समीकरण कहलाता है पृथक अंतर समीकरण . हम समीकरण (12) को एकीकृत करते हैं:

.(13)

संबंध (13) अवकल समीकरण (11) का एक सामान्य समाकल है।

उदाहरण 4 . अंतर समीकरण को एकीकृत करें।

समाधान . हम समीकरण को फॉर्म में लिखते हैं

और दोनों भागों को में विभाजित करें
,
. परिणामी समीकरण:
एक पृथक चर समीकरण है। आइए इसे एकीकृत करें:

,
,

,
. अंतिम समानता दिए गए अवकल समीकरण का सामान्य समाकल है।

उदाहरण 5 . अवकल समीकरण का विशेष हल ज्ञात कीजिए
, शर्त को संतुष्ट करना
.

समाधान . मान लें कि
, हम समीकरण को रूप में लिखते हैं
या
. आइए चर को अलग करें:
. आइए इस समीकरण को एकीकृत करें:
,
,
. परिणामी संबंध इस समीकरण का सामान्य समाकलन है। शर्त के अनुसार
. सामान्य समाकल में प्रतिस्थापित करें और खोजें से:
,से= 1। फिर अभिव्यक्ति
दिए गए अवकल समीकरण का एक विशेष हल है, जिसे एक विशेष समाकल के रूप में लिखा जाता है।

पहले क्रम के रैखिक अंतर समीकरण

समीकरण

(14)

बुलाया प्रथम कोटि का रैखिक अवकल समीकरण . अज्ञात कार्य
और इसके व्युत्पन्न इस समीकरण को रैखिक रूप से दर्ज करते हैं, और कार्य
तथा
निरंतर।

यदि एक
, फिर समीकरण

(15)

बुलाया रैखिक सजातीय . यदि एक
, तो समीकरण (14) कहा जाता है रैखिक अमानवीय .

समीकरण (14) का हल खोजने के लिए, आमतौर पर उपयोग किया जाता है प्रतिस्थापन विधि (बर्नौली) , जिसका सार इस प्रकार है।

समीकरण (14) का हल दो फलनों के गुणनफल के रूप में खोजा जाएगा

, (16)

कहाँ पे
तथा
- कुछ निरंतर कार्य। स्थानापन्न
और व्युत्पन्न
समीकरण (14) में:

समारोह वीइस तरह से चुना जाएगा कि शर्त
. फिर
. इस प्रकार, समीकरण (14) का हल खोजने के लिए, अवकल समीकरणों के निकाय को हल करना आवश्यक है

सिस्टम का पहला समीकरण एक रैखिक सजातीय समीकरण है और इसे चर के पृथक्करण की विधि द्वारा हल किया जा सकता है:
,
,
,
,
. एक समारोह के रूप में
सजातीय समीकरण का कोई एक विशेष हल ले सकते हैं, अर्थात्। पर से=1:
. सिस्टम के दूसरे समीकरण में रखें:
या
।फिर
. इस प्रकार, प्रथम कोटि के रैखिक अवकल समीकरण के सामान्य हल का रूप होता है
.

उदाहरण 6 . प्रश्न हल करें
.

समाधान . हम इस रूप में समीकरण के हल की तलाश करेंगे
. फिर
. समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

या
. समारोह वीइस तरह से चुनें कि समानता
. फिर
. हम इनमें से पहले समीकरण को चरों के पृथक्करण की विधि द्वारा हल करते हैं:
,
,
,
,. समारोह वीदूसरे समीकरण में रखें:
,
,
,
. इस समीकरण का सामान्य हल है
.

ज्ञान के आत्म-नियंत्रण के लिए प्रश्न

एक अंतर समीकरण क्या है?

अंतर समीकरण का क्रम क्या है?

किस अवकल समीकरण को प्रथम कोटि अवकल समीकरण कहा जाता है?

प्रथम-क्रम अवकल समीकरण को अवकल रूप में कैसे लिखा जाता है?

अवकल समीकरण का हल क्या है?

एक अभिन्न वक्र क्या है?

प्रथम कोटि अवकल समीकरण का सामान्य हल क्या है?

अवकल समीकरण का विशेष हल क्या है?

कॉची समस्या को प्रथम-क्रम अवकल समीकरण के लिए कैसे तैयार किया जाता है?

कौची समस्या की ज्यामितीय व्याख्या क्या है?

वियोज्य चर के साथ सममित रूप में एक अंतर समीकरण कैसे लिखा जाता है?

किस समीकरण को प्रथम कोटि का रैखिक अवकल समीकरण कहा जाता है?

प्रथम-क्रम रैखिक अवकल समीकरण को हल करने के लिए किस विधि का उपयोग किया जा सकता है और इस पद्धति का सार क्या है?

स्वतंत्र कार्य के लिए कार्य

वियोज्य चर के साथ अंतर समीकरण हल करें:

एक)
; बी)
;

में)
; जी)
.

2. प्रथम कोटि के रैखिक अवकल समीकरणों को हल करें:

एक)
; बी)
; में)
;

जी)
; इ)
.