किसी कोण की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा, कोटंगेंट क्या है, यह आपको समकोण त्रिभुज को समझने में मदद करेगा।

पक्षों को क्या कहते हैं? सही त्रिकोण? यह सही है, कर्ण और पैर: कर्ण वह पक्ष है जो विपरीत है समकोण(हमारे उदाहरण में, यह \(AC \) पक्ष है); पैर दो शेष भुजाएँ हैं \ (AB \) और \ (BC \) (जो समकोण के निकट हैं), इसके अलावा, यदि हम कोण \ (BC \) के संबंध में पैरों पर विचार करते हैं, तो पैर \ (एबी \) is आसन्न पैर, और पैर \ (BC \) विपरीत है। तो, अब इस प्रश्न का उत्तर देते हैं: एक कोण की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटंगेंट क्या हैं?

कोण की ज्या- यह कर्ण के विपरीत (दूर) पैर का अनुपात है।

हमारे त्रिकोण में:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

कोण की कोज्या- यह कर्ण से सटे (करीबी) पैर का अनुपात है।

हमारे त्रिकोण में:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

कोण स्पर्शरेखा- यह विपरीत (दूर) पैर से आसन्न (करीब) का अनुपात है।

हमारे त्रिकोण में:

\[ टीजी\बीटा =\dfrac(बीसी)(एबी) \]

एक कोण का कोटैंजेंट- यह आसन्न (करीबी) पैर से विपरीत (दूर) का अनुपात है।

हमारे त्रिकोण में:

\[ सीटीजी \ बीटा = \ डीफ़्रैक (एबी) (बीसी) \]

ये परिभाषाएं आवश्यक हैं याद करना! यह याद रखना आसान बनाने के लिए कि किस पैर को किस से विभाजित करना है, आपको यह स्पष्ट रूप से समझने की आवश्यकता है कि स्पर्शरेखातथा कोटैंजेंटकेवल पैर बैठते हैं, और कर्ण केवल अंदर दिखाई देता है साइनसतथा कोज्या. और फिर आप संघों की एक श्रृंखला के साथ आ सकते हैं। उदाहरण के लिए, यह एक:

कोसाइन → स्पर्श करें → स्पर्श करें → आसन्न;

Cotangent→स्पर्श करें→स्पर्श करें→आसन्न।

सबसे पहले, यह याद रखना आवश्यक है कि एक त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात के रूप में साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट इन पक्षों की लंबाई (एक कोण पर) पर निर्भर नहीं करते हैं। भरोसा मत करो? फिर तस्वीर को देखकर सुनिश्चित करें:

उदाहरण के लिए, कोण \(\beta \) की कोज्या पर विचार करें। परिभाषा के अनुसार, एक त्रिभुज \(ABC \) से: \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), लेकिन हम त्रिभुज \(AHI \) से कोण \(\beta \) की कोज्या की गणना कर सकते हैं: \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). आप देखिए, भुजाओं की लंबाई अलग-अलग होती है, लेकिन एक कोण की कोज्या का मान समान होता है। इस प्रकार, साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कॉटेंजेंट के मान पूरी तरह से कोण के परिमाण पर निर्भर करते हैं।

यदि आप परिभाषाओं को समझते हैं, तो आगे बढ़ें और उन्हें ठीक करें!

नीचे दिए गए चित्र में दिखाए गए त्रिभुज \(ABC \) के लिए, हम पाते हैं \(\sin \ \alpha ,\ \cos \\alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\end(array) \)

अच्छा, क्या आपको मिल गया? फिर इसे स्वयं आज़माएं: कोण के लिए इसकी गणना करें \(\beta \) ।

उत्तर: \(\sin \ \beta =0.6;\ \cos \ \beta =0.8;\ tg\ \beta =0.75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

इकाई (त्रिकोणमितीय) वृत्त

डिग्री और रेडियन की अवधारणाओं को समझते हुए, हमने \ (1 \) के बराबर त्रिज्या वाले एक वृत्त पर विचार किया। ऐसे वृत्त को कहते हैं एक. यह त्रिकोणमिति के अध्ययन में बहुत उपयोगी है। इसलिए, हम इस पर थोड़ा और विस्तार से ध्यान केंद्रित करते हैं।

जैसा कि आप देख सकते हैं, यह सर्कल बनाया गया है कार्तीय प्रणालीनिर्देशांक। वृत्त की त्रिज्या एक के बराबर होती है, जबकि वृत्त का केंद्र मूल बिंदु पर स्थित होता है, त्रिज्या सदिश की प्रारंभिक स्थिति \(x \) अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ तय होती है (हमारे उदाहरण में, यह है त्रिज्या \(AB \))।

सर्कल पर प्रत्येक बिंदु दो संख्याओं से मेल खाता है: अक्ष के साथ समन्वय \(x \) और अक्ष के साथ समन्वय \(y \) । ये निर्देशांक संख्याएँ क्या हैं? और सामान्य तौर पर, उन्हें इस विषय से क्या लेना-देना है? ऐसा करने के लिए, समकोण त्रिभुज के बारे में याद रखें। ऊपर की आकृति में, आप दो पूर्ण समकोण त्रिभुज देख सकते हैं। त्रिभुज \(ACG \) पर विचार करें। यह आयताकार है क्योंकि \(CG \) \(x \) अक्ष के लंबवत है।

त्रिभुज \(ACG \) से \(\cos \ \alpha \) क्या है? सही बात है \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). इसके अलावा, हम जानते हैं कि \(AC \) इकाई वृत्त की त्रिज्या है, इसलिए \(AC=1 \) । इस मान को हमारे कोसाइन सूत्र में बदलें। यहाँ क्या होता है:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

और त्रिभुज \(ACG \) से \(\sin \ \alpha \) क्या है? ठीक है, बिल्कुल, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC) \)! इस सूत्र में त्रिज्या \ (AC \) का मान रखें और प्राप्त करें:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

तो, क्या आप मुझे बता सकते हैं कि बिंदु \(C \) के निर्देशांक क्या हैं, जो वृत्त से संबंधित है? अच्छा, कोई रास्ता नहीं? लेकिन क्या होगा अगर आपको पता चले कि \(\cos \ \alpha \) और \(\sin \alpha \) सिर्फ संख्याएं हैं? \(\cos \alpha \) किस निर्देशांक से मेल खाता है? ठीक है, निश्चित रूप से, निर्देशांक \(x \) ! और \(\sin \alpha \) किस निर्देशांक से मेल खाता है? यह सही है, \(y \) समन्वय! तो बिंदु \(सी(एक्स;वाई)=सी(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

फिर \(tg \alpha \) और \(ctg \alpha \) क्या हैं? यह सही है, आइए स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की उपयुक्त परिभाषाओं का उपयोग करें और इसे प्राप्त करें \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), एक \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

क्या होगा अगर कोण बड़ा है? यहाँ, उदाहरण के लिए, जैसा कि इस चित्र में है:

इस उदाहरण में क्या बदल गया है? आइए इसका पता लगाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम फिर से एक समकोण त्रिभुज की ओर मुड़ते हैं। एक समकोण त्रिभुज पर विचार करें \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : एक कोण (कोण के निकट \(\beta \) )। एक कोण के लिए साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट का मान क्या है \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? यह सही है, हम त्रिकोणमितीय फलनों की संगत परिभाषाओं का पालन करते हैं:

\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (ए)_(1))((सी)_(1)))=\dfrac(((सी)_(1))जी)(1)=((सी)_(1))जी=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((सी)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\angle ((सी) )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1) ))G)=\dfrac(x)(y)\end(array) \)

ठीक है, जैसा कि आप देख सकते हैं, कोण की ज्या का मान अभी भी निर्देशांक \ (y \) से मेल खाता है; कोण की कोज्या का मान - निर्देशांक \ (x \) ; और संगत अनुपात के लिए स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मान। इस प्रकार, ये संबंध त्रिज्या वेक्टर के किसी भी घुमाव पर लागू होते हैं।

यह पहले ही उल्लेख किया जा चुका है कि त्रिज्या वेक्टर की प्रारंभिक स्थिति \(x \) अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ है। अब तक, हमने इस वेक्टर को वामावर्त घुमाया है, लेकिन अगर हम इसे दक्षिणावर्त घुमाते हैं तो क्या होगा? कुछ भी असाधारण नहीं, आपको एक निश्चित आकार का कोण भी मिलेगा, लेकिन केवल यह नकारात्मक होगा। इस प्रकार, त्रिज्या वेक्टर को वामावर्त घुमाते समय, हम प्राप्त करते हैं सकारात्मक कोण, और दक्षिणावर्त घुमाते समय - नकारात्मक।

तो, हम जानते हैं कि वृत्त के चारों ओर त्रिज्या सदिश की संपूर्ण क्रांति \(360()^\circ \) या \(2\pi \) है। क्या त्रिज्या वेक्टर को \(390()^\circ \) या \(-1140()^\circ \) द्वारा घुमाना संभव है? ठीक है, बेशक आप कर सकते हैं! पहले मामले में, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), इसलिए त्रिज्या वेक्टर एक पूर्ण रोटेशन करेगा और \(30()^\circ \) या \(\dfrac(\pi )(6) \) पर रुक जाएगा।

दूसरे मामले में, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), अर्थात्, त्रिज्या वेक्टर तीन पूर्ण चक्कर लगाएगा और स्थिति \(-60()^\circ \) या \(-\dfrac(\pi )(3) \) पर रुक जाएगा।

इस प्रकार, उपरोक्त उदाहरणों से, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि कोण जो \(360()^\circ \cdot m \) या \(2\pi \cdot m \) से भिन्न होते हैं (जहां \(m \) कोई पूर्णांक है) त्रिज्या वेक्टर की समान स्थिति के अनुरूप।

नीचे दिया गया चित्र कोण दिखाता है \(\beta =-60()^\circ \) । एक ही छवि कोने से मेल खाती है \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \)आदि। इस सूची को अनिश्चित काल तक जारी रखा जा सकता है। इन सभी कोणों को सामान्य सूत्र द्वारा लिखा जा सकता है \(\beta +360()^\circ \cdot m \)या \(\beta +2\pi \cdot m \) (जहां \(m \) कोई पूर्णांक है)

\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)

अब, बुनियादी त्रिकोणमितीय कार्यों की परिभाषाओं को जानने और यूनिट सर्कल का उपयोग करके, यह उत्तर देने का प्रयास करें कि मान किसके बराबर हैं:

\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)

आपकी सहायता के लिए यहां एक इकाई मंडल है:

कोई कठिनाई? तो चलिए इसका पता लगाते हैं। तो हम जानते हैं कि:

\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x) )(y).\end(सरणी) \)

यहां से, हम कोण के कुछ मापों के अनुरूप बिंदुओं के निर्देशांक निर्धारित करते हैं। ठीक है, चलो क्रम में शुरू करते हैं: कोने में \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \)निर्देशांक के साथ एक बिंदु से मेल खाती है \(\left(0;1 \right) \) , इसलिए:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- मौजूद नहीं;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

इसके अलावा, उसी तर्क का पालन करते हुए, हम पाते हैं कि कोनों में \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ )निर्देशांक के साथ बिंदुओं के अनुरूप \(\बाएं(-1;0 \दाएं),\पाठ( )\बाएं(0;-1 \दाएं),\पाठ( )\बाएं(1;0 \दाएं),\पाठ( )\बाएं(0 ;1 \दाएं) \), क्रमश। यह जानकर, त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों को संबंधित बिंदुओं पर निर्धारित करना आसान है। पहले इसे स्वयं आजमाएं, फिर उत्तरों की जांच करें।

उत्तर:

\(\displaystyle \sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =-1 \)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- मौजूद नहीं

\(\sin \ 270()^\circ =-1 \)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- मौजूद नहीं

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \ 360()^\circ =0 \)

\(\cos \ 360()^\circ =1 \)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- मौजूद नहीं

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- मौजूद नहीं

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

इस प्रकार, हम निम्नलिखित तालिका बना सकते हैं:

इन सभी मूल्यों को याद रखने की आवश्यकता नहीं है। यूनिट सर्कल पर बिंदुओं के निर्देशांक और त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों के बीच पत्राचार को याद रखना पर्याप्त है:

\(\ बायां। dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(याद रखने या आउटपुट करने में सक्षम होने की आवश्यकता है !! \) !}

और यहाँ कोणों के त्रिकोणमितीय कार्यों के मान हैं और \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4) \)नीचे दी गई तालिका में दिया गया है, आपको याद रखना चाहिए:

डरने की जरूरत नहीं है, अब हम संबंधित मूल्यों के काफी सरल संस्मरण के उदाहरणों में से एक दिखाएंगे:

इस पद्धति का उपयोग करने के लिए, तीनों कोण मापों के लिए साइन मानों को याद रखना महत्वपूर्ण है ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3) \)), साथ ही \(30()^\circ \) में कोण के स्पर्शरेखा का मान। इन \(4 \) मानों को जानने के बाद, संपूर्ण तालिका को पुनर्स्थापित करना काफी आसान है - कोसाइन मानों को तीरों के अनुसार स्थानांतरित किया जाता है, अर्थात्:

\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\ \end(सरणी) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), यह जानकर, के लिए मूल्यों को पुनर्स्थापित करना संभव है \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). अंश "\(1 \) " से मेल खाएगा \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) , और हर "\(\sqrt(\text(3)) \) " से मेल खाएगा \ (\पाठ (tg)\ 60()^\circ \ \) । चित्र में दिखाए गए तीरों के अनुसार कोटैंजेंट मूल्यों को स्थानांतरित किया जाता है। यदि आप इसे समझते हैं और तीर के साथ योजना को याद करते हैं, तो यह तालिका से केवल \(4 \) मानों को याद रखने के लिए पर्याप्त होगा।

एक वृत्त पर एक बिंदु के निर्देशांक

क्या वृत्त के केंद्र के निर्देशांक, उसकी त्रिज्या और घूर्णन कोण को जानकर वृत्त पर एक बिंदु (इसके निर्देशांक) खोजना संभव है? ठीक है, बेशक आप कर सकते हैं! आइए एक बिंदु के निर्देशांक खोजने के लिए एक सामान्य सूत्र प्राप्त करें। यहाँ, उदाहरण के लिए, हमारे पास ऐसा एक वृत्त है:

हमें वह बिंदु दिया गया है \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)वृत्त का केंद्र है। वृत्त की त्रिज्या \(1,5 \) है। बिंदु \(O \) को \(\delta \) डिग्री से घुमाकर प्राप्त किए गए बिंदु \(P \) के निर्देशांक को खोजना आवश्यक है।

जैसा कि चित्र से देखा जा सकता है, बिंदु \ (P \) का निर्देशांक \ (x \) खंड \ (TP=UQ=UK+KQ \) की लंबाई से मेल खाता है। खंड की लंबाई \ (यूके \) सर्कल के केंद्र के निर्देशांक \ (x \) से मेल खाती है, यानी यह \ (3 \) के बराबर है। खंड की लंबाई \(KQ \) कोसाइन की परिभाषा का उपयोग करके व्यक्त की जा सकती है:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

तब हमारे पास वह बिंदु \(P \) के लिए निर्देशांक है \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).

इसी तर्क से, हम बिंदु \(P\) के लिए y निर्देशांक का मान ज्ञात करते हैं। इस तरह,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).

तो में सामान्य दृष्टि सेबिंदु निर्देशांक सूत्रों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \\delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \ डेल्टा \ अंत (सरणी) \), कहाँ पे

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - वृत्त के केंद्र के निर्देशांक,

\(r\) - वृत्त त्रिज्या,

\(\delta \) - सदिश त्रिज्या का घूर्णन कोण।

जैसा कि आप देख सकते हैं, हम जिस यूनिट सर्कल पर विचार कर रहे हैं, उसके लिए ये सूत्र काफी कम हो गए हैं, क्योंकि केंद्र के निर्देशांक शून्य हैं, और त्रिज्या एक के बराबर है:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)

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औसत स्तर

सही त्रिकोण। पूरा सचित्र गाइड (2019)

सही त्रिकोण। प्रथम स्तर।

समस्याओं में, एक समकोण बिल्कुल आवश्यक नहीं है - निचला बाएँ वाला, इसलिए आपको यह सीखने की ज़रूरत है कि इस रूप में एक समकोण त्रिभुज को कैसे पहचाना जाए,

और ऐसे में

और ऐसे में

एक समकोण त्रिभुज के बारे में क्या अच्छा है? खैर... सबसे पहले तो उनकी पार्टियों के लिए खास खूबसूरत नाम हैं।

ड्राइंग पर ध्यान दें!

याद रखें और भ्रमित न हों: पैर - दो, और कर्ण - केवल एक(एकमात्र, अद्वितीय और सबसे लंबा)!

खैर, हमने नामों पर चर्चा की, अब सबसे महत्वपूर्ण बात: पाइथागोरस प्रमेय।

पाइथागोरस प्रमेय।

यह प्रमेय एक समकोण त्रिभुज से संबंधित कई समस्याओं को हल करने की कुंजी है। पाइथागोरस ने इसे पूरी तरह से प्राचीन काल में साबित किया था और तब से यह जानने वालों के लिए कई फायदे लेकर आया है। और उसकी सबसे अच्छी बात यह है कि वह सिंपल है।

इसलिए, पाइथागोरस प्रमेय:

क्या आपको मजाक याद है: "पायथागॉरियन पैंट सभी तरफ बराबर हैं!"?

आइए इन पाइथागोरस पैंटों को ड्रा करें और इन्हें देखें।

क्या यह वास्तव में शॉर्ट्स की तरह दिखता है? खैर, किस तरफ और कहां बराबर हैं? मजाक क्यों और कहां से आया? और यह मजाक पाइथागोरस प्रमेय के साथ ठीक जुड़ा हुआ है, अधिक सटीक रूप से जिस तरह से पाइथागोरस ने अपने प्रमेय को तैयार किया था। और उन्होंने इसे इस तरह तैयार किया:

"जोड़ चौकों का क्षेत्रफल, पैरों पर निर्मित, के बराबर है वर्ग क्षेत्रकर्ण पर निर्मित।

क्या यह थोड़ा अलग नहीं लगता, है ना? और इसलिए, जब पाइथागोरस ने अपने प्रमेय का बयान दिया, तो बस एक ऐसी तस्वीर निकली।

इस चित्र में छोटे वर्गों के क्षेत्रफलों का योग बड़े वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर है। और इसलिए कि बच्चे बेहतर याद रखें कि पैरों के वर्गों का योग कर्ण के वर्ग के बराबर है, किसी ने पाइथागोरस पैंट के बारे में इस मजाक का आविष्कार किया।

अब हम पाइथागोरस प्रमेय क्यों बना रहे हैं?

क्या पाइथागोरस पीड़ित थे और उन्होंने वर्गों के बारे में बात की थी?

आप देखिए, प्राचीन काल में बीजगणित नहीं था! आदि कोई लक्षण नहीं थे। कोई शिलालेख नहीं थे। क्या आप सोच सकते हैं कि गरीब प्राचीन छात्रों के लिए सब कुछ शब्दों में याद रखना कितना भयानक था ??! और हमें खुशी हो सकती है कि हमारे पास पाइथागोरस प्रमेय का एक सरल सूत्रीकरण है। आइए इसे बेहतर ढंग से याद रखने के लिए इसे फिर से दोहराएं:

अब यह आसान होना चाहिए:

कर्ण का वर्ग योग के बराबर हैपैरों के वर्ग।

खैर, एक समकोण त्रिभुज के बारे में सबसे महत्वपूर्ण प्रमेय पर चर्चा की गई। यदि आप रुचि रखते हैं कि यह कैसे साबित होता है, तो सिद्धांत के अगले स्तरों को पढ़ें, और अब चलते हैं ... अंधेरे जंगल में ... त्रिकोणमिति के! भयानक शब्दों के लिए साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट।

एक समकोण त्रिभुज में साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, कोटैंजेंट।

वास्तव में, सब कुछ इतना डरावना नहीं है। बेशक, लेख में साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटेंजेंट की "वास्तविक" परिभाषा को देखा जाना चाहिए। लेकिन तुम सच में नहीं चाहते, है ना? हम आनंदित हो सकते हैं: एक समकोण त्रिभुज के बारे में समस्याओं को हल करने के लिए, आप बस निम्नलिखित सरल चीजें भर सकते हैं:

यह सब कोने के बारे में क्यों है? कोने कहाँ है? इसे समझने के लिए आपको यह जानना होगा कि कथन 1 - 4 को शब्दों में कैसे लिखा जाता है। देखो, समझो और याद करो!

1.
यह वास्तव में ऐसा लगता है:

कोण के बारे में क्या? क्या कोई पैर है जो कोने के विपरीत है, यानी विपरीत पैर (कोने के लिए)? बेशक है! यह एक कैथेट है!

लेकिन कोण का क्या? नज़दीक से देखें। कौन सा पैर कोने से सटा हुआ है? बेशक, बिल्ली। तो, कोण के लिए, पैर आसन्न है, और

और अब, ध्यान! देखो हमें क्या मिला:

देखें कि यह कितना शानदार है:

अब चलिए स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट पर चलते हैं।

अब इसे शब्दों में कैसे बयां करें? कोने के संबंध में पैर क्या है? विपरीत, निश्चित रूप से - यह कोने के विपरीत "झूठ" है। और कैथेट? कोने के पास। तो हमें क्या मिला?

देखें कि अंश और हर को कैसे उलट दिया जाता है?

और अब फिर से कोनों और विनिमय किया:

सारांश

आइए संक्षेप में लिखें कि हमने क्या सीखा है।

पाइथागोरस प्रमेय:

मुख्य समकोण त्रिभुज प्रमेय पाइथागोरस प्रमेय है।

पाइथागोरस प्रमेय

वैसे, क्या आपको अच्छी तरह याद है कि पैर और कर्ण क्या हैं? अगर नहीं तो तस्वीर देखिये - ताज़ा कीजिये अपना ज्ञान

यह बहुत संभव है कि आपने पाइथागोरस प्रमेय का कई बार प्रयोग किया हो, लेकिन क्या आपने कभी सोचा है कि ऐसा प्रमेय सत्य क्यों है। आप इसे कैसे साबित करेंगे? चलो प्राचीन यूनानियों की तरह करते हैं। आइए एक भुजा के साथ एक वर्ग बनाएं।

आप देखते हैं कि हमने कितनी चतुराई से इसके पक्षों को लंबाई के खंडों में विभाजित किया है और!

अब चिह्नित बिंदुओं को जोड़ते हैं

हालाँकि, यहाँ हमने कुछ और नोट किया है, लेकिन आप स्वयं चित्र को देखें और सोचें कि क्यों।

बड़े वर्ग का क्षेत्रफल कितना है? सही ढंग से, . छोटे क्षेत्र के बारे में क्या? बेशक, । चारों कोनों का कुल क्षेत्रफल रहता है। कल्पना कीजिए कि हमने उनमें से दो को लिया और कर्ण के साथ एक दूसरे के खिलाफ झुक गए। क्या हुआ? दो आयताकार। तो, "कटिंग" का क्षेत्रफल बराबर है।

आइए अब यह सब एक साथ करें।

आइए रूपांतरित करें:

इसलिए हमने पाइथागोरस का दौरा किया - हमने उनके प्रमेय को प्राचीन तरीके से सिद्ध किया।

समकोण त्रिभुज और त्रिकोणमिति

एक समकोण त्रिभुज के लिए, निम्नलिखित संबंध धारण करते हैं:

एक न्यून कोण की ज्या विपरीत पैर के कर्ण से अनुपात के बराबर होती है

एक न्यून कोण की कोज्या आसन्न टांग और कर्ण के अनुपात के बराबर होती है।

एक न्यून कोण की स्पर्शरेखा विपरीत टांग और आसन्न टांग के अनुपात के बराबर होती है।

एक न्यून कोण का कोटेंजेंट आसन्न पैर के विपरीत पैर के अनुपात के बराबर होता है।

और एक बार फिर, यह सब एक प्लेट के रूप में:

यह बहुत आरामदायक है!

समकोण त्रिभुजों की समानता के लक्षण

I. दो पैरों पर

द्वितीय. पैर और कर्ण से

III. कर्ण और न्यून कोण से

चतुर्थ। पैर और तीव्र कोण के साथ

एक)

बी)

ध्यान! यहां यह बहुत महत्वपूर्ण है कि पैर "संबंधित" हों। उदाहरण के लिए, यदि यह इस तरह जाता है:

तब त्रिभुज समान नहीं हैं, इस तथ्य के बावजूद कि उनके पास एक समान तीव्र कोण है।

करने की जरूरत है दोनों त्रिभुजों में पैर आसन्न था, या दोनों में - विपरीत.

क्या आपने देखा है कि समकोण त्रिभुजों की समानता के चिन्ह त्रिभुजों की समानता के सामान्य चिह्नों से कैसे भिन्न होते हैं? विषय को देखें "और इस तथ्य पर ध्यान दें कि" साधारण "त्रिकोण की समानता के लिए, आपको उनके तीन तत्वों की समानता की आवश्यकता है: दो पक्ष और उनके बीच का कोण, दो कोण और उनके बीच का एक पक्ष, या तीन भुजाएँ। लेकिन समकोण त्रिभुजों की समानता के लिए केवल दो संगत तत्व ही पर्याप्त हैं। यह बढ़िया है, है ना?

समकोण त्रिभुजों की समानता के संकेतों के साथ लगभग समान स्थिति।

समकोण त्रिभुजों की समानता के लक्षण

I. एक्यूट कॉर्नर

द्वितीय. दो पैरों पर

III. पैर और कर्ण से

एक समकोण त्रिभुज में माध्यिका

ऐसा क्यों है?

एक समकोण त्रिभुज के बजाय एक संपूर्ण आयत पर विचार करें।

आइए एक विकर्ण बनाएं और एक बिंदु पर विचार करें - विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु। आयत के विकर्णों के बारे में आप क्या जानते हैं?

और इससे क्या होता है?

तो हुआ यह कि

1. - माध्यिका:

इस तथ्य को याद रखें! बहुत मदद करता है!

इससे भी ज्यादा हैरान करने वाली बात यह है कि इसका उल्टा भी सच है।

इस तथ्य से क्या लाभ हो सकता है कि कर्ण की ओर खींची गई माध्यिका कर्ण के आधे के बराबर है? आइए देखते हैं तस्वीर

नज़दीक से देखें। हमारे पास है: , अर्थात्, बिंदु से त्रिभुज के तीनों शीर्षों तक की दूरी बराबर निकली। लेकिन एक त्रिभुज में केवल एक ही बिंदु होता है, जिसकी दूरियाँ त्रिभुज के लगभग तीनों शीर्षों के बराबर होती हैं, और यह वर्णित चक्र का केंद्र है। तो क्या हुआ?

तो चलिए इसे "इसके अलावा ..." से शुरू करते हैं।

आइए देखें आई.

लेकिन समरूप त्रिभुजों में सभी कोण बराबर होते हैं!

और . के बारे में भी यही कहा जा सकता है

अब इसे एक साथ ड्रा करें:

इस "ट्रिपल" समानता से क्या फायदा हो सकता है।

खैर, उदाहरण के लिए - एक समकोण त्रिभुज की ऊंचाई के लिए दो सूत्र।

हम संबंधित पक्षों के संबंध लिखते हैं:

ऊंचाई खोजने के लिए, हम अनुपात को हल करते हैं और प्राप्त करते हैं पहला सूत्र "एक समकोण त्रिभुज में ऊँचाई":

तो, आइए समानता लागू करें: ।

अब क्या होगा?

फिर से हम अनुपात को हल करते हैं और दूसरा सूत्र प्राप्त करते हैं:

इन दोनों फ़ार्मुलों को बहुत अच्छी तरह से याद रखना चाहिए और जो लागू करने के लिए अधिक सुविधाजनक है। आइए उन्हें फिर से लिखें।

पाइथागोरस प्रमेय:

एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर होता है:।

समकोण त्रिभुजों की समानता के लक्षण:

• दो पैरों पर:
• पैर और कर्ण के साथ: or
• पैर और आसन्न तीव्र कोण के साथ: या
• पैर और विपरीत तीव्र कोण के साथ: or
• कर्ण और न्यून कोण द्वारा: या।

समकोण त्रिभुजों की समानता के लक्षण:

• एक नुकीला कोना: or
• दो पैरों की आनुपातिकता से:
• पैर और कर्ण की आनुपातिकता से: या।

एक समकोण त्रिभुज में ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा, कोटांगेंट

• एक समकोण त्रिभुज के न्यून कोण की ज्या विपरीत पैर का कर्ण से अनुपात है:
• एक समकोण त्रिभुज के न्यून कोण की कोज्या कर्ण से आसन्न पैर का अनुपात है:
• एक समकोण त्रिभुज के एक न्यून कोण की स्पर्शरेखा विपरीत पैर का आसन्न एक से अनुपात है:
• एक समकोण त्रिभुज के न्यून कोण का कोटेंजेंट आसन्न पैर का विपरीत :. का अनुपात होता है।

एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई: या।

एक समकोण त्रिभुज में, समकोण के शीर्ष से खींची गई माध्यिका कर्ण के आधे के बराबर होती है: .

एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल:

• कैथेटर के माध्यम से:

अनुदेश

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टिप्पणी

एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं की गणना करते समय, इसकी विशेषताओं का ज्ञान हो सकता है:
1) यदि एक समकोण का पैर 30 डिग्री के कोण के विपरीत स्थित है, तो यह आधे कर्ण के बराबर है;
2) कर्ण हमेशा किसी भी पैर से लंबा होता है;
3) यदि एक वृत्त एक समकोण त्रिभुज के चारों ओर परिबद्ध है, तो उसका केंद्र कर्ण के मध्य में होना चाहिए।

कर्ण एक समकोण त्रिभुज की भुजा है जो 90 डिग्री के कोण के विपरीत है। इसकी लंबाई की गणना करने के लिए, एक पैर की लंबाई और त्रिभुज के तीव्र कोणों में से एक का मान जानना पर्याप्त है।

अनुदेश

आइए जानते हैं इनमें से एक पैर और उससे लगे कोण को। निश्चितता के लिए, इसे टांग होने दें |AB| और कोण α। तब हम सूत्र का उपयोग कर सकते हैं त्रिकोणमितीय कोसाइनआसन्न पैर के अनुपात का कोज्या है। वे। हमारे अंकन में cos α = |AB| / |एसी|. यहाँ से हम कर्ण की लंबाई प्राप्त करते हैं |AC| = |एबी| / cosα.
अगर हम पैर जानते हैं |BC| और कोण α, फिर हम कोण की ज्या की गणना के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं - कोण की ज्या विपरीत पैर के कर्ण के अनुपात के बराबर होती है: sin α = |BC| / |एसी|. हम पाते हैं कि कर्ण की लंबाई के रूप में पाया जाता है |AC| = |बीसी| / cosα.

स्पष्टता के लिए, एक उदाहरण पर विचार करें। माना पैर की लंबाई |AB| = 15. और कोण α = 60°। हमें मिलता है |एसी| = 15 / क्योंकि 60° = 15 / 0.5 = 30।
विचार करें कि आप पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके अपना परिणाम कैसे देख सकते हैं। ऐसा करने के लिए, हमें दूसरे चरण की लंबाई की गणना करने की आवश्यकता है |BC|। कोण tg α = |BC| . के स्पर्शरेखा के लिए सूत्र का उपयोग करना / |एसी|, हम प्राप्त करते हैं |बीसी| = |एबी| * टीजी α = 15 * टीजी 60° = 15 * 3। इसके बाद, हम पाइथागोरस प्रमेय लागू करते हैं, हमें 15^2 + (15 * √3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900 मिलता है। सत्यापन किया जाता है।

उपयोगी सलाह

कर्ण की गणना करने के बाद, जांचें कि क्या परिणामी मान पाइथागोरस प्रमेय को संतुष्ट करता है।

स्रोत:

• 1 से 10000 तक अभाज्य संख्याओं की तालिका

पैरएक समकोण त्रिभुज की दो छोटी भुजाओं के नाम लिखिए जो इसका शीर्ष बनाती हैं, जिसका मान 90° है। ऐसे त्रिभुज की तीसरी भुजा कर्ण कहलाती है। त्रिभुज के ये सभी पक्ष और कोण कुछ रिश्तों से जुड़े हुए हैं जो आपको पैर की लंबाई की गणना करने की अनुमति देते हैं यदि कई अन्य पैरामीटर ज्ञात हैं।

अनुदेश

यदि आप समकोण त्रिभुज की अन्य दो भुजाओं (B और C) की लंबाई जानते हैं, तो पैर (A) के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करें। इस प्रमेय में कहा गया है कि वर्ग की टाँगों की लंबाई का योग कर्ण के वर्ग के बराबर होता है। इससे यह पता चलता है कि प्रत्येक पैर की लंबाई बराबर है वर्गमूलकर्ण और दूसरे पैर की लंबाई से: A=√(C²-B²)।

एक न्यून कोण के लिए प्रत्यक्ष त्रिकोणमितीय फलन "साइन" की परिभाषा का उपयोग करें, यदि आप परिकलित पैर के विपरीत कोण (α) का मान और कर्ण (C) की लंबाई जानते हैं। यह बताता है कि इस ज्ञात की ज्या वांछित पैर की लंबाई और कर्ण की लंबाई का अनुपात है। यह है कि वांछित पैर की लंबाई कर्ण की लंबाई और ज्ञात कोण की ज्या के गुणनफल के बराबर है: A=C∗sin(α)। समान ज्ञात मानों के लिए, आप कोसेकेंट का उपयोग कर सकते हैं और कर्ण की लंबाई को ज्ञात कोण A=C/cosec(α) के कोसेकेंट से विभाजित करके वांछित लंबाई की गणना कर सकते हैं।

प्रत्यक्ष त्रिकोणमितीय कोसाइन फ़ंक्शन की परिभाषा का उपयोग करें, यदि, कर्ण (सी) की लंबाई के अलावा, आवश्यक कोण के निकट तीव्र कोण (β) का मान भी जाना जाता है। इस कोण की कोज्या वांछित पैर और कर्ण की लंबाई का अनुपात है, और इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि पैर की लंबाई कर्ण की लंबाई और ज्ञात कोण की कोज्या के गुणनफल के बराबर है: A=C∗cos(β). आप छेदक फलन की परिभाषा का उपयोग कर सकते हैं और कर्ण की लंबाई को ज्ञात कोण A=C/sec(β) के छेदक से विभाजित करके वांछित मान की गणना कर सकते हैं।

त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन स्पर्शरेखा के व्युत्पन्न के लिए समान परिभाषा से आवश्यक सूत्र प्राप्त करें, यदि, वांछित पैर (ए) के विपरीत स्थित तीव्र कोण (α) के मूल्य के अतिरिक्त, दूसरे पैर (बी) की लंबाई है ज्ञात। वांछित पैर के विपरीत कोण की स्पर्शरेखा इस पैर की लंबाई और दूसरे पैर की लंबाई का अनुपात है। इसका मतलब है कि वांछित मान ज्ञात पैर की लंबाई और ज्ञात कोण की स्पर्शरेखा के गुणनफल के बराबर होगा: A=B∗tg(α)। इन समान ज्ञात मात्राओं से, कोटैंजेंट फ़ंक्शन की परिभाषा का उपयोग करके एक और सूत्र प्राप्त किया जा सकता है। इस मामले में, पैर की लंबाई की गणना करने के लिए, ज्ञात पैर की लंबाई और ज्ञात कोण के कोटेंजेंट के अनुपात को खोजना आवश्यक होगा: ए = बी/सीटीजी (α)।

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शब्द "केट" ग्रीक से रूसी में आया था। सटीक अनुवाद में, इसका अर्थ है एक साहुल रेखा, यानी पृथ्वी की सतह के लंबवत। गणित में, टाँगों को वे भुजाएँ कहते हैं जो एक समकोण त्रिभुज का समकोण बनाती हैं। इस कोण के सम्मुख भुजा को कर्ण कहते हैं। शब्द "पैर" का प्रयोग वास्तुकला और प्रौद्योगिकी में भी किया जाता है वेल्डिंग का काम.

इस कोण का छेदक कर्ण को आसन्न पैर से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है, अर्थात secCAB=c/b। यह कोज्या का व्युत्क्रम निकालता है, अर्थात इसे सूत्र secCAB=1/cosSAB द्वारा व्यक्त किया जा सकता है।
कोसेकेंट कर्ण को विपरीत पैर से विभाजित करने के भागफल के बराबर होता है और ज्या का व्युत्क्रम होता है। इसकी गणना सूत्र cosecCAB=1/sinCAB . का उपयोग करके की जा सकती है

दोनों पैर आपस में जुड़े हुए हैं और स्पर्शरेखा हैं। इस मामले में, स्पर्शरेखा पक्ष ए से साइड बी का अनुपात होगा, यानी विपरीत पैर से आसन्न एक। इस अनुपात को सूत्र tgCAB=a/b द्वारा व्यक्त किया जा सकता है। तदनुसार, प्रतिलोम अनुपात कोटैंजेंट होगा: ctgCAB=b/a.

कर्ण और दोनों पैरों के आकार के बीच का अनुपात प्राचीन ग्रीक पाइथागोरस द्वारा निर्धारित किया गया था। प्रमेय, उसका नाम, लोग अभी भी उपयोग करते हैं। यह कहता है कि कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर है, अर्थात c2 \u003d a2 + b2। तदनुसार, प्रत्येक पैर कर्ण और दूसरे पैर के वर्गों के बीच के अंतर के वर्गमूल के बराबर होगा। यह सूत्र b=√(c2-a2) के रूप में लिखा जा सकता है।

पैर की लंबाई को उन रिश्तों के माध्यम से भी व्यक्त किया जा सकता है जिन्हें आप जानते हैं। साइन और कोसाइन के प्रमेय के अनुसार, पैर कर्ण के उत्पाद के बराबर है और इनमें से एक कार्य है। आप इसे और या कोटैंजेंट व्यक्त कर सकते हैं। पैर a पाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, सूत्र a \u003d b * tan CAB द्वारा। ठीक उसी तरह, दी गई स्पर्शरेखा या के आधार पर, दूसरा चरण निर्धारित किया जाता है।

वास्तुकला में, "पैर" शब्द का भी प्रयोग किया जाता है। यह एक आयनिक पूंजी पर लगाया जाता है और इसकी पीठ के बीच से होकर जाता है। अर्थात्, इस स्थिति में, इस पद से, दी गई रेखा पर लम्ब।

वेल्डिंग तकनीक में, "एक पट्टिका वेल्ड का पैर" होता है। अन्य मामलों की तरह, यह सबसे अधिक है कम दूरी. यहां हम दूसरे भाग की सतह पर स्थित सीम की सीमा तक वेल्ड किए जाने वाले भागों में से एक के बीच की खाई के बारे में बात कर रहे हैं।

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स्रोत:

• 2019 में पैर और कर्ण क्या है

विपरीत पैर का कर्ण से अनुपात कहलाता है एक न्यून कोण की ज्यासही त्रिकोण।

\sin \alpha = \frac(a)(c)

समकोण त्रिभुज के न्यून कोण की कोज्या

निकटतम पैर और कर्ण के अनुपात को कहा जाता है न्यून कोण की कोज्यासही त्रिकोण।

\cos \alpha = \frac(b)(c)

समकोण त्रिभुज के न्यून कोण की स्पर्श रेखा

विपरीत पैर का आसन्न पैर से अनुपात कहलाता है तीव्र कोण स्पर्शरेखासही त्रिकोण।

tg \alpha = \frac(a)(b)

एक समकोण त्रिभुज के न्यून कोण का कोटैंजेंट

आसन्न पैर का विपरीत पैर के अनुपात को कहा जाता है एक न्यून कोण का कोटैंजेंटसही त्रिकोण।

सीटीजी \ अल्फा = \ फ्रैक (बी) (ए)

एक मनमाना कोण की ज्या

इकाई वृत्त पर उस बिंदु की कोटि, जिससे कोण \alpha संगत होता है, कहलाता है एक मनमाना कोण की ज्यारोटेशन \ अल्फा।

\sin \alpha=y

एक मनमाना कोण की कोज्या

इकाई वृत्त पर एक बिंदु का भुज जिससे कोण \alpha संगत होता है, कहलाता है एक मनमाना कोण की कोज्यारोटेशन \ अल्फा।

\cos \alpha=x

एक मनमाना कोण की स्पर्शरेखा

एक मनमाना घूर्णन कोण \alpha की ज्या का उसके कोज्या से अनुपात कहलाता है एक मनमाना कोण की स्पर्शरेखारोटेशन \ अल्फा।

टीजी \अल्फा = y_(ए)

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

एक मनमाना कोण का कोटैंजेंट

एक मनमाना घूर्णन कोण \alpha की कोज्या का उसकी ज्या से अनुपात कहलाता है एक मनमाना कोण का कोटैंजेंटरोटेशन \ अल्फा।

सीटीजी \अल्फा =x_(ए)

सीटीजी \अल्फा = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

एक मनमाना कोण खोजने का एक उदाहरण

यदि \alpha कोई कोण AOM है, जहाँ M इकाई वृत्त पर एक बिंदु है, तो

\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , टीजी \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), सीटीजी \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).

उदाहरण के लिए, यदि \कोण एओएम = -\frac(\pi)(4), तो: बिंदु M की कोटि है -\frac(\sqrt(2))(2), भुज is \frac(\sqrt(2))(2)और यही कारण है

\पाप \बाएं (-\frac(\pi)(4) \right)=-\frac(\sqrt(2))(2);

\cos \बाएं (\frac(\pi)(4) \right)=\frac(\sqrt(2))(2);

टीजी;

सीटीजी \बाएं (-\frac(\pi)(4) \right)=-1.

कोटैंजेंट की स्पर्शरेखाओं की कोज्या की ज्या के मूल्यों की तालिका

मुख्य अक्सर सामने आने वाले कोणों के मान तालिका में दिए गए हैं:

	0^(\circ) (0)	30^(\circ)\बाएं(\frac(\pi)(6)\right)	45^(\circ)\बाएं(\frac(\pi)(4)\right)	60^(\circ)\बाएं(\frac(\pi)(3)\right)	90^(\circ)\बाएं(\frac(\pi)(2)\right)	180^(\circ)\बाएं(\pi\दाएं)	270^(\circ)\बाएं(\frac(3\pi)(2)\right)	360^(\circ)\बाएं(2\pi\दाएं)
\पाप\अल्फा	0	\frac12	\frac(\sqrt 2)(2)	\frac(\sqrt 3)(2)	1	0	−1	0
\cos\alpha	1	\frac(\sqrt 3)(2)	\frac(\sqrt 2)(2)	\frac12	0	−1	0	1
टीजी\अल्फा	0	\frac(\sqrt 3)(3)	1	\sqrt3	—	0	—	0
सीटीजी\अल्फा	—	\sqrt3	1	\frac(\sqrt 3)(3)	0	—	0	—