Izvanredna ograničenja. Primjeri rješenja. Druga divna granica

Prva značajna granica naziva se sljedeća jednakost:

\begin(equation)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(equation)

Budući da za $\alpha\to(0)$ imamo $\sin\alpha\to(0)$, kažemo da je prvi divna granica otkriva nesigurnost oblika $\frac(0)(0)$. Općenito govoreći, u formuli (1) umjesto varijable $\alpha$ ispod znaka sinusa i u nazivniku može se nalaziti bilo koji izraz, ako su ispunjena dva uvjeta:

1. Izrazi pod znakom sinusa i u nazivniku istovremeno teže nuli, tj. postoji nesigurnost oblika $\frac(0)(0)$.
2. Izrazi pod znakom sinusa i u nazivniku su isti.

Korolari iz prve izvanredne granice također se često koriste:

\begin(jednadžba) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \kraj(jednadžba)

Na ovoj stranici riješeno je jedanaest primjera. Primjer br. 1 posvećen je dokazu formula (2)-(4). Primjeri #2, #3, #4 i #5 sadrže rješenja s detaljnim komentarima. Primjeri 6-10 sadrže rješenja s malo ili bez komentara, budući da su detaljna objašnjenja dana u prethodnim primjerima. Pri rješavanju se koriste neke trigonometrijske formule koje se mogu pronaći.

Napominjem da prisutnost trigonometrijskih funkcija, zajedno s nesigurnošću $\frac (0) (0)$, ne znači da se mora primijeniti prvo značajno ograničenje. Ponekad su dovoljne jednostavne trigonometrijske transformacije - na primjer, vidi.

Primjer #1

Dokažite da je $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.

a) Budući da je $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$, tada:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\lijevo|\frac(0)(0)\desno| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$

Budući da $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ i $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$, zatim:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$

b) Napravimo zamjenu $\alpha=\sin(y)$. Budući da je $\sin(0)=0$, tada iz uvjeta $\alpha\to(0)$ imamo $y\to(0)$. Osim toga, postoji okolina nule gdje je $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, pa:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\lijevo|\frac(0)(0)\desno| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

Jednakost $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ je dokazana.

c) Napravimo zamjenu $\alpha=\tg(y)$. Budući da je $\tg(0)=0$, uvjeti $\alpha\to(0)$ i $y\to(0)$ su ekvivalentni. Osim toga, postoji okolina nule u kojoj $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, prema tome, na temelju rezultata točke a), imat ćemo:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\lijevo|\frac(0)(0)\desno| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

Jednakost $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ je dokazana.

Jednakosti a), b), c) često se koriste uz prvu značajnu granicu.

Primjer #2

Izračunaj ograničenje $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\desno))(\frac(x^2-4)( x+7))$.

Budući da $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ i $\lim_( x \to(2))\sin\lijevo(\frac(x^2-4)(x+7)\desno)=\sin(0)=0$, tj. a brojnik i nazivnik razlomka istovremeno teže nuli, onda se ovdje radi o nesigurnosti oblika $\frac(0)(0)$, tj. izvedena. Osim toga, može se vidjeti da su izrazi pod znakom sinusa i u nazivniku isti (tj. i je zadovoljeno):

Dakle, ispunjena su oba uvjeta navedena na početku stranice. Iz ovoga slijedi da je formula primjenjiva, tj. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\lijevo(\frac(x^2-4)(x+7)\desno))(\frac(x^2-4)(x+ 7 ))=1$.

Odgovor: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\lijevo(\frac(x^2-4)(x+7)\desno))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.

Primjer #3

Pronađite $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$.

Budući da $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ i $\lim_(x\to(0))x=0$, imamo posla s nesigurnošću oblika $\frac( 0 )(0)$, tj. izvedena. Međutim, izrazi pod znakom sinusa i u nazivniku se ne podudaraju. Ovdje je potrebno prilagoditi izraz u nazivniku željenom obliku. Trebamo izraz $9x$ da bude u nazivniku - tada će postati istina. U biti, nedostaje nam faktor 9$ u nazivniku, koji nije tako teško unijeti, samo pomnožite izraz u nazivniku s 9$. Naravno, da biste kompenzirali množenje s 9$, morat ćete odmah podijeliti s 9$ i podijeliti:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\lijevo|\frac(0)(0)\desno| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x) $$

Sada su izrazi u nazivniku i pod znakom sinusa isti. Oba uvjeta za granicu $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ su zadovoljena. Stoga $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. A to znači da:

$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$

Odgovor: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.

Primjer #4

Pronađite $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$.

Budući da $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ i $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$, ovdje imamo posla s neodređenošću obliku $\frac(0)(0)$. Međutim, forma prve izvanredne granice je probijena. Brojnik koji sadrži $\sin(5x)$ zahtijeva $5x$ u nazivniku. U ovoj situaciji, najlakši način je podijeliti brojnik s $5x$ i odmah pomnožiti s $5x$. Osim toga, izvršit ćemo sličnu operaciju s nazivnikom, množenjem i dijeljenjem $\tg(8x)$ s $8x$:

$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\lijevo|\frac(0)(0)\desno| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$

Smanjivanjem za $x$ i uklanjanjem konstante $\frac(5)(8)$ izvan znaka granice, dobivamo:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$

Imajte na umu da $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ u potpunosti zadovoljava zahtjeve za prvu značajnu granicu. Za pronalaženje $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ primjenjiva je sljedeća formula:

$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$

Odgovor: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.

Primjer #5

Pronađite $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$.

Budući da je $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (sjetite se da je $\cos(0)=1$) i $\ lim_(x\to(0))x^2=0$, tada imamo posla s neodređenošću oblika $\frac(0)(0)$. Međutim, kako biste primijenili prvu divnu granicu, trebali biste se riješiti kosinusa u brojniku tako da prijeđete na sinuse (kako biste zatim primijenili formulu) ili tangente (kako biste zatim primijenili formulu). To možete učiniti sljedećom transformacijom:

$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\lijevo(1-\cos^2(5x)\desno)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\lijevo(1-\cos^2(5x)\desno)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$

Vratimo se na limit:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\lijevo|\frac(0)(0)\desno| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\lijevo(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\desno) $$

Razlomak $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ već je blizu oblika potrebnog za prvu značajnu granicu. Poradimo malo s razlomkom $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$, prilagođavajući ga prvoj divnoj granici (imajte na umu da se izrazi u brojniku i ispod sinusa moraju podudarati):

$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\lijevo(\frac(\sin(5x))(5x)\desno)^2$$

Vratimo se razmatranoj granici:

$$ \lim_(x\to(0))\lijevo(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\desno) =\lim_(x\to(0) ))\lijevo(25\cos(5x)\cdot\lijevo(\frac(\sin(5x))(5x)\desno)^2\desno)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\lijevo(\frac(\sin(5x))(5x)\desno)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. $$

Odgovor: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.

Primjer #6

Pronađite granicu $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$.

Budući da $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ i $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, tada imamo posla s nesigurnošću $\frac(0)(0)$. Otvorimo ga uz pomoć prve izvanredne granice. Da bismo to učinili, prijeđimo s kosinusa na sinuse. Budući da je $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$, tada:

$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$

Prelazeći zadanu granicu na sinuse, imat ćemo:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\lijevo|\frac(0)(0)\desno| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\lijevo(\ frac(\sin(3x))(3x)\desno)^2\cdot(9x^2))(\lijevo(\frac(\sin(x))(x)\desno)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\lijevo(\frac(\sin(3x))(3x)\desno)^2)(\displaystyle\lim_(x \to(0))\lijevo(\frac(\sin(x))(x)\desno)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$

Odgovor: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.

Primjer #7

Izračunajte ograničenje $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ dano $\alpha\neq\ beta $.

Detaljna objašnjenja dana su ranije, ali ovdje jednostavno napominjemo da ponovno postoji neodređenost $\frac(0)(0)$. Prijeđimo s kosinusa na sinuse pomoću formule

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$

Koristeći gornju formulu, dobivamo:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\lijevo|\frac(0)( 0)\desno| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ beta(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\lijevo(x\cdot\frac(\alpha+\beta )(2)\desno)\cdot\sin\lijevo(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\desno))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\lijevo(\frac(\sin\lijevo(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\desno))(x)\cdot\frac(\sin\lijevo(x\cdot\frac (\alpha-\beta)(2)\desno))(x)\desno)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\lijevo(\frac(\sin\lijevo(x) \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\desno))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\lijevo(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\desno))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\desno)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\lijevo(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\desno))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\lijevo(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\desno))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alfa^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alfa^2)(2). $$

Odgovor: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ alfa^2)(2)$.

Primjer #8

Pronađite granicu $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$.

Budući da je $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (sjetite se da je $\sin(0)=\tg(0)=0$) i $\ lim_(x\to(0))x^3=0$, onda se ovdje radi o neodređenosti oblika $\frac(0)(0)$. Raščlanimo to ovako:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\lijevo|\frac(0)(0)\desno| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\lijevo(\frac(1)(\cos(x))-1\desno))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\lijevo(1-\cos(x)\desno))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\lijevo(\frac(\sin(x))(x)\cdot\lijevo(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\desno)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\desno) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) =\frac(1)(2). $$

Odgovor: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.

Primjer #9

Pronađite granicu $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$.

Budući da je $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ i $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$, tada postoji neodređenost oblika $\frac(0)(0)$. Prije nego što prijeđete na njezino širenje, zgodno je promijeniti varijablu na takav način da nova varijabla teži nuli (primijetite da je varijabla $\alpha \to 0$ u formulama). Najlakši način je uvesti varijablu $t=x-3$. Međutim, radi pogodnosti daljnjih transformacija (ova se korist može vidjeti u tijeku rješenja u nastavku), vrijedi napraviti sljedeću zamjenu: $t=\frac(x-3)(2)$. Napominjem da su obje zamjene primjenjive u ovom slučaju, samo će vam druga zamjena omogućiti manje rada s razlomcima. Budući da je $x\to(3)$, onda $t\to(0)$.

$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\lijevo|\frac (0)(0)\desno| =\lijevo|\početak(poravnano)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\kraj(poravnano)\desno| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\lijevo(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\desno) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$

Odgovor: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.

Primjer #10

Pronađite granicu $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\lijevo(\frac(\pi)(2)-x\desno)^ 2 )$.

Opet imamo posla s nesigurnošću $\frac(0)(0)$. Prije nego što prijeđete na njeno proširenje, zgodno je promijeniti varijablu na takav način da nova varijabla teži nuli (imajte na umu da je varijabla $\alpha\to(0)$ u formulama). Najlakši način je uvesti varijablu $t=\frac(\pi)(2)-x$. Budući da $x\to\frac(\pi)(2)$, onda $t\to(0)$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\lijevo(\frac(\pi)(2)-x\desno)^2) =\lijevo|\frac(0)(0)\desno| =\lijevo|\početak(poravnano)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\kraj(poravnano)\desno| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\lijevo(\frac(\pi)(2)-t\desno))(t^2) =\lim_(t\to(0) ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\lijevo(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\desno)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$

Odgovor: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\lijevo(\frac(\pi)(2)-x\desno)^2) =\frac(1)(2)$.

Primjer #11

Pronađite granice $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2\) pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.

U ovom slučaju ne moramo koristiti prvu divnu granicu. Imajte na umu: i u prvoj i u drugoj granici postoje samo trigonometrijske funkcije i brojevi. Često je u primjerima ove vrste moguće pojednostaviti izraz koji se nalazi ispod znaka granice. Štoviše, nakon spomenutog pojednostavljenja i smanjenja nekih faktora, nesigurnost nestaje. Dao sam ovaj primjer samo s jednom svrhom: da pokažem da prisutnost trigonometrijskih funkcija ispod znaka granice ne znači nužno primjenu prve značajne granice.

Budući da je $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (sjetite se da je $\sin\frac(\pi)(2)=1$ ) i $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (podsjetimo se da $\cos\frac(\pi)(2)=0$), tada imamo posla s neizvjesnošću oblika $\frac(0)(0)$. Međutim, to uopće ne znači da trebamo koristiti prvu značajnu granicu. Da bi se otkrila nesigurnost, dovoljno je uzeti u obzir da $\cos^2x=1-\sin^2x$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\lijevo|\frac(0)(0)\desno| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$

Slično rješenje nalazi se iu Demidovičevu rješeniku (br. 475). Što se tiče druge granice, kao u prethodnim primjerima ovog odjeljka, imamo nesigurnost oblika $\frac(0)(0)$. Zašto nastaje? Nastaje jer $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ i $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$. Koristimo ove vrijednosti za transformaciju izraza u brojniku i nazivniku. Svrha naših radnji: napišite zbroj u brojniku i nazivniku kao umnožak. Usput, često je zgodno promijeniti varijablu unutar sličnog oblika tako da nova varijabla teži nuli (vidi, na primjer, primjere br. 9 ili br. 10 na ovoj stranici). Međutim, u ovom primjeru nema smisla mijenjati varijablu, iako je, po želji, zamjenu varijable $t=x-\frac(2\pi)(3)$ lako izvesti.

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ do\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\lijevo(\cos(x)+\frac(1)(2)\desno )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\lijevo(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\desno))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin \lijevo(x-\frac(2\pi)(3)\desno))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3 ))\frac(\sin\lijevo(x-\frac(2\pi)(3)\desno))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3 ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\lijevo(-\frac(1)(2)\desno)\cdot\lijevo( -\frac(1)(2)\desno)) =-\frac(4 )(\sqrt(3)). $$

Kao što vidite, nismo morali primijeniti prvo divno ograničenje. Naravno, to se može učiniti po želji (vidi napomenu ispod), ali nije nužno.

Koje bi bilo rješenje korištenjem prve značajne granice? Pokaži sakrij

Koristeći prvu značajnu granicu, dobivamo:

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\lijevo(x-\frac(2\pi)(3)\desno))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\lijevo(\frac(\sin\lijevo(x-\frac(2\pi)(3)\ desno))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\desno) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\lijevo(-\frac(1)(2)\desno)\cdot\lijevo(-\frac(1)(2)\desno)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$

Odgovor: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$.

Izraz "značajna granica" naširoko se koristi u udžbenicima i nastavnim pomagalima za označavanje važnih identiteta koji značajno pomažu pojednostaviti posao pronaći granice.

Ali da moći donijeti njihovu granicu izvanrednog, morate je dobro sagledati, jer se ne javljaju izravno, već često u obliku posljedica, opremljenih dodatnim pojmovima i čimbenicima. Ipak, prvo teorija, zatim primjeri i uspjet ćete!

Prva divna granica

Sviđa mi se? Knjižna oznaka

Prva značajna granica je napisana kako slijedi (nesigurnost oblika $0/0$):

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin x)(x)=1. $$

Posljedice prve izvanredne granice

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(x)(\sin x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (ax))(\sin (bx))=\frac(a)(b). $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\tan x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arcsin x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arctan x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos x)(x^2/2)=1. $$

Primjeri rješenja: 1 divna granica

Primjer 1 Izračunaj ograničenje $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x).$$

Riješenje. Prvi korak je uvijek isti - graničnu vrijednost $x=0$ zamijenimo u funkciju i dobijemo:

$$\lijevo[ \frac(\sin 0)(0) \desno] = \lijevo[\frac(0)(0)\desno].$$

Dobili smo nesigurnost oblika $\left[\frac(0)(0)\right]$ koju treba riješiti. Ako bolje pogledate, izvorna je granica vrlo slična prvoj izvanrednoj, ali se ne podudara s njom. Naš zadatak je dovesti do sličnosti. Transformirajmo to ovako - pogledajmo izraz ispod sinusa, učinimo isto u nazivniku (relativno govoreći, pomnožili smo i podijelili s $3x$), zatim smanjimo i pojednostavimo:

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(3x)\frac(3x)(8x )=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (3x))(3x)\frac(3)(8)=\frac(3)(8). $$

Gore je dobivena prva divna granica: $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (3x))(3x) = \lim\limits_(y\to 0)\frac(\sin ( y))(y)=1, \text( je napravio uvjetnu zamjenu ) y=3x. $$ Odgovor: $3/8$.

Primjer 2 Izračunaj ograničenje $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x).$$

Riješenje. Zamjenjujemo graničnu vrijednost $x=0$ u funkciju i dobivamo:

$$\lijevo[ \frac(1-\cos 0)(\tan 0\cdot \sin 0)\desno] =\lijevo[ \frac(1-1)( 0\cdot 0)\desno] = \lijevo [\frac(0)(0)\right].$$

Dobili smo nesigurnost oblika $\left[\frac(0)(0)\right]$. Transformirajmo granicu, koristeći prvu prekrasnu granicu u pojednostavljenju (tri puta!):

$$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac( 2 \sin^2 (3x/2))(\sin 2x\cdot \sin 4x)\cdot \cos 2x = $$ $$ = 2\lim\limits_(x\to 0)\frac( \sin^2 (3x/2) )((3x/2)^2) \cdot \frac( 2x)(\sin 2x) \cdot \frac( 4x)( \sin 4x)\cdot \frac( (3x/2)^2)( 2x \ cdot 4x) \cdot \cos 2x = $$ $$ =2\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac( (9/4)x^2)( 8x^2 ) \cdot \cos 2x= 2 \cdot \frac( 9)( 32) \lim\limits_(x\to 0) \cos 2x=\frac(9)(16). $$

Odgovor: $9/16$.

Primjer 3 Pronađite granicu $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5).$$

Riješenje.Što ako pod trigonometrijskom funkcijom složeni izraz? Nema veze, i ovdje se ponašamo na isti način. Prvo provjerite vrstu nesigurnosti, zamijenite $x=0$ u funkciju i dobijete:

$$\lijevo[ \frac(\sin (0+0))(0-0)\desno] = \lijevo[\frac(0)(0)\desno].$$

Dobili smo nesigurnost oblika $\left[\frac(0)(0)\right]$. Pomnožite i podijelite s $2x^3+3x$:

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x ^3+3x))((2x^3+3x)) \cdot \frac(2x^3+3x)(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot \frac( 2x^3+3x)(5x-x^5)= \lijevo[\frac(0)(0)\desno] = $$

Opet imam neizvjesnost, ali u ovom slučaju to je samo djelić. Smanjimo brojnik i nazivnik za $x$:

$$ =\lim\limits_(x\to 0) \frac(2x^2+3)(5-x^4)= \lijevo[\frac(0+3)(5-0)\desno] =\ frac(3)(5). $$

Odgovor: $3/5$.

Druga divna granica

Druga izvanredna granica napisana je na sljedeći način (neodređenost oblika $1^\infty$):

$$ \lim\limits_(x\to \infty) \lijevo(1+\frac(1)(x)\desno)^(x)=e, \quad \text(ili) \quad \lim\limits_( x\do 0) \lijevo(1+x\desno)^(1/x)=e. $$

Posljedice drugog izvanrednog ograničenja

$$ \lim\limits_(x\to \infty) \lijevo(1+\frac(a)(x)\desno)^(bx)=e^(ab). $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\ln (1+x))(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(e^x -1)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(a^x-1)(x \ln a)=1, a>0, a \ne 1. $$ $$ \lim\limits_( x\do 0)\frac((1+x)^(a)-1)(ax)=1. $$

Primjeri rješenja: 2 divna ograničenja

Primjer 4 Pronađite granicu $$\lim\limits_(x\to \infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3).$$

Riješenje. Provjerimo vrstu nesigurnosti, zamijenimo $x=\infty$ u funkciju i dobijemo:

$$\lijevo[ \lijevo(1-\frac(2)(\infty)\desno)^(\infty) \desno] = \lijevo.$$

Dobili smo nesigurnost oblika $\left$. Granica se može svesti na drugu izvanrednu. Preobrazimo se:

$$ \lim\limits_(x\to \infty)\lijevo(1-\frac(2)(3x)\desno)^(x+3) = \lim\limits_(x\to \infty)\lijevo( 1+\frac(1)((-3x/2))\desno)^(\frac(-3x/2)(-3x/2)(x+3))= $$ $$ = \lim\limits_ (x\to \infty)\lijevo(\lijevo(1+\frac(1)((-3x/2))\desno)^((-3x/2))\desno)^\frac(x+3 )(-3x/2)= $$

Izraz u zagradama je zapravo druga divna granica $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, samo $t=- 3x/2$, dakle

$$ = \lim\limits_(x\to \infty)\lijevo(e\desno)^\frac(x+3)(-3x/2)= \lim\limits_(x\to \infty)e^\ frac(1+3/x)(-3/2)=e^(-2/3). $$

Odgovor:$e^(-2/3)$.

Primjer 5 Pronađite granicu $$\lim\limits_(x\to \infty)\lijevo(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\desno)^(x).$ $

Riješenje. Zamijenite $x=\infty$ u funkciju i dobijete nesigurnost oblika $\left[ \frac(\infty)(\infty)\right]$. I trebamo $\left$. Pa počnimo pretvaranjem izraza u zagradama:

$$ \lim\limits_(x\to \infty)\lijevo(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\desno)^(x) = \lim\limits_ (x\to \infty)\lijevo(\frac(x^3+(x-7)-(x-7)+2x^2+1)(x^3+x-7)\desno)^(x ) = \lim\limits_(x\to \infty)\lijevo(\frac((x^3+x-7)+(-x+7+2x^2+1))(x^3+x-7 )\desno)^(x) = $$ $$ = \lim\limits_(x\to \infty)\lijevo(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7) \desno)^(x) = \lim\limits_(x\to \infty)\lijevo(\lijevo(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)\desno) ^(\frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8))\desno)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)) = $$

Izraz u zagradama je zapravo druga divna granica $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, samo $t=\ frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8) \to \infty$, dakle

$$ = \lim\limits_(x\to \infty)\lijevo(e\desno)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7))= \lim\limits_ (x\to \infty)e^( \frac(2x^2-x+8)(x^2+1-7/x))= \lim\limits_(x\to \infty)e^( \frac (2-1/x+8/x^2)(1+1/x^2-7/x^3))=e^(2). $$

Postoji nekoliko prekrasnih granica, ali najpoznatiji su prvi i drugi prekrasni limit. Izvanredna stvar u vezi s ovim ograničenjima je to što se naširoko koriste i mogu se koristiti za pronalaženje drugih ograničenja koja se susreću u brojnim problemima. To je ono što ćemo raditi u praktičnom dijelu ove lekcije. Da bi se problemi riješili svođenjem na prvu ili drugu izvanrednu granicu, nije potrebno otkrivati ​​nesigurnosti sadržane u njima, budući da su vrijednosti tih granica davno zaključili veliki matematičari.

Prvo značajno ograničenje naziva se granica omjera sinusa beskonačno malog luka prema istom luku, izraženog u radijanima:

Prijeđimo na rješavanje problema na prvoj značajnoj granici. Napomena: ako je trigonometrijska funkcija ispod znaka granice, to je gotovo siguran znak da se ovaj izraz može svesti na prvu značajnu granicu.

Primjer 1 Pronađite granicu.

Riješenje. Umjesto toga zamjena x nula dovodi do neizvjesnosti:

.

Nazivnik je sinus, stoga se izraz može svesti na prvu značajnu granicu. Započnimo transformaciju:

.

U nazivniku - sinus od tri x, au brojniku je samo jedan x, što znači da trebate dobiti tri x u brojniku. Za što? Predstaviti 3 x = a i dobiti izraz.

I dolazimo do varijante prve značajne granice:

jer nije svejedno koje je slovo (varijabla) u ovoj formuli umjesto x.

Množimo x s tri i odmah dijelimo:

.

U skladu s navedenim prvim značajnim ograničenjem, zamjenjujemo frakcijski izraz:

Sada konačno možemo riješiti ovu granicu:

.

Primjer 2 Pronađite granicu.

Riješenje. Izravna supstitucija ponovno dovodi do nesigurnosti "nula podijeljena s nulom":

.

Da bismo dobili prvu značajnu granicu, potrebno je da x ispod znaka sinusa u brojniku i samo x u nazivniku budu s istim koeficijentom. Neka ovaj koeficijent bude jednak 2. Da biste to učinili, zamislite trenutni koeficijent pri x kao ispod, izvodeći akcije s razlomcima, dobivamo:

.

Primjer 3 Pronađite granicu.

Riješenje. Prilikom zamjene ponovno dobivamo nesigurnost "nula podijeljena s nulom":

.

Vjerojatno već razumijete da iz izvornog izraza možete dobiti prvu divnu granicu pomnoženu s prvom divnom granicom. Da bismo to učinili, rastavljamo kvadrate x u brojniku i sinusa u nazivniku na iste faktore, a da bismo dobili iste koeficijente za x i sinus, dijelimo x u brojniku s 3 i odmah pomnožimo sa 3. Dobivamo:

.

Primjer 4 Pronađite granicu.

Riješenje. Opet dobivamo nesigurnost "nula podijeljena s nulom":

.

Možemo dobiti omjer prve dvije izvanredne granice. I brojnik i nazivnik dijelimo s x. Zatim, da bi se koeficijenti kod sinusa i kod x podudarali, pomnožimo gornji x s 2 i odmah podijelimo s 2, a donji x pomnožimo s 3 i odmah podijelimo s 3. Dobivamo:

Primjer 5 Pronađite granicu.

Riješenje. I opet, neizvjesnost "nula podijeljena s nulom":

Iz trigonometrije se sjećamo da je tangens omjer sinusa i kosinusa, a kosinus nule jednak je jedan. Vršimo transformacije i dobivamo:

.

Primjer 6 Pronađite granicu.

Riješenje. trigonometrijska funkcija pod znakom granice ponovno sugerira ideju primjene prve značajne granice. Predstavljamo ga kao omjer sinusa i kosinusa.

Dokaz:

Dokažimo prvo teorem za slučaj niza

Prema Newtonovoj binomnoj formuli:

Pod pretpostavkom da dobijemo

Iz ove jednakosti (1) slijedi da s porastom n raste broj pozitivnih članova na desnoj strani. Osim toga, kako n raste, broj se smanjuje, pa se količine povećati. Stoga slijed raste, dok (2)* Pokažimo da je ograničen. Zamijenimo svaku zagradu s desne strane jednakosti s jednom, desni dio povećava, dobivamo nejednakost

Dobivenu nejednakost pojačamo, 3,4,5, ..., koji stoje u nazivnicima razlomaka, zamijenimo brojem 2: Zbroj u zagradama nalazimo pomoću formule za zbroj članova geometrijska progresija: Zato (3)*

Dakle, niz je omeđen odozgo, a vrijede nejednakosti (2) i (3): Stoga, na temelju Weierstrassovog teorema (kriterija za konvergenciju niza), niz monotono raste i ograničena je, što znači da ima granicu, označenu slovom e. Oni.

Znajući da je druga izvanredna granica istinita za prirodne vrijednosti x, dokazujemo drugu izvanrednu granicu za pravi x, to jest, dokazujemo da . Razmotrimo dva slučaja:

1. Neka je svaka x vrijednost između dva pozitivna cijela broja: , gdje je cijeli broj od x. => =>

Ako , onda Dakle, prema granici Imamo

Na temelju (na limitu srednje funkcije) postojanja limita

2. Neka . Napravimo, dakle, zamjenu − x = t

Iz ova dva slučaja proizlazi da za pravi x.

Posljedice:

9 .) Usporedba infinitezimalnih veličina. Teorem o zamjeni infinitezimala ekvivalentnim u limitu i teorem o glavnom dijelu infinitezimala.

Neka su funkcije a( x) i b( x) – b.m. na x ® x 0 .

DEFINICIJE.

1) a( x) nazvao infinitezimalnog višeg reda od b (x) ako

Zapišite: a( x) = o(b( x)) .

2) a( x) i b( x)nazvao infinitezimale istog reda, ako

gdje je C nℝ i C¹ 0 .

Zapišite: a( x) = O(b( x)) .

3) a( x) i b( x) nazvao ekvivalent , ako

Zapišite: a( x) ~ b( x).

4) a( x) naziva se infinitezimalni red k u odnosu na
vrlo infinitezimalno b( x), ako je infiniteziman a( x)i(b( x)) k imaju isti redoslijed, tj. ako

gdje je C nℝ i C¹ 0 .

TEOREMA 6 (o zamjeni infinitezimalnih ekvivalentima).

Neka a( x), b( x), a 1 ( x), b 1 ( x)– b.m. na x ® x 0 . Ako a a( x) ~ a 1 ( x), b( x) ~ b 1 ( x),

zatim

Dokaz: Neka je a( x) ~ a 1 ( x), b( x) ~ b 1 ( x), onda

TEOREMA 7 (o glavnom dijelu beskonačno malog).

Neka a( x)i b( x)– b.m. na x ® x 0 , i b( x)– b.m. višeg reda od a( x).

= , a budući da b( x) – viši red od a( x), tada tj. iz jasno je da a( x) + b( x) ~ a( x)

10) Kontinuitet funkcije u točki (u jeziku granica epsilon-delta, geometrijski) Jednostrani kontinuitet. Kontinuitet na intervalu, na segmentu. Svojstva neprekidnih funkcija.

1. Osnovne definicije

Neka f(x) je definirana u nekoj okolini točke x 0 .

DEFINICIJA 1. funkcija f(x) nazvao kontinuirano u točki x 0 ako je jednakost istinita

Opaske.

1) Prema teoremu 5 iz §3, jednakost (1) se može napisati kao

Uvjet (2) - definicija kontinuiteta funkcije u točki u jeziku jednostranih limita.

2) Jednakost (1) se može napisati i kao:

Kažu: "ako je funkcija neprekidna u točki x 0 , tada se predznak granice i funkcije mogu zamijeniti.

DEFINICIJA 2 (u jeziku e-d).

funkcija f(x) nazvao kontinuirano u točki x 0 ako"e>0 $d>0 takav, što

ako x OU( x 0 , d) (odnosno | x – x 0 | < d),

zatim f(x)OU( f(x 0), e) (tj. | f(x) – f(x 0) | < e).

Neka x, x 0 Î D(f) (x 0 - fiksno, x- proizvoljan)

Označi: D x= x-x 0 – povećanje argumenta

D f(x 0) = f(x) – f(x 0) – prirast funkcije u točki x 0

DEFINICIJA 3 (geometrijska).

funkcija f(x) na nazvao kontinuirano u točki x 0 ako u ovom trenutku infinitezimalni prirast argumenta odgovara infinitezimalnom prirastu funkcije, tj.

Neka funkcija f(x) definiran je na intervalu [ x 0 ; x 0 + d) (na intervalu ( x 0 - d; x 0 ]).

DEFINICIJA. funkcija f(x) nazvao kontinuirano u točki x 0 desno (lijevo ), ako je jednakost istinita

Očito je da f(x) kontinuirana je u točki x 0 Û f(x) kontinuirana je u točki x 0 desno i lijevo.

DEFINICIJA. funkcija f(x) nazvao kontinuirano po intervalu e ( a; b) ako je kontinuirana u svakoj točki ovog intervala.

funkcija f(x) nazivamo kontinuiranim na segmentu [a; b] ako je kontinuirana na intervalu (a; b) a u graničnim točkama ima jednostrani kontinuitet(tj. kontinuirano u točki a desno, točka b- na lijevo).

11) Prijelomne točke, njihova klasifikacija

DEFINICIJA. Ako funkcija f(x) definirana je u nekoj okolini točke x 0 , ali tada nije kontinuirana u toj točki f(x) naziva se diskontinuiranim u točki x 0 , ali točka x 0 naziva prijelomnom točkom funkcije f(x) .

Opaske.

1) f(x) može se definirati u nepotpunoj okolini točke x 0 .

Zatim razmotrite odgovarajući jednostrani kontinuitet funkcije.

2) Iz definicije z, točka x 0 je prijelomna točka funkcije f(x) u dva slučaja:

a) U( x 0 , d)n D(f) , ali za f(x) jednakost nije zadovoljena

b) U * ( x 0 , d)n D(f) .

Za elementarne funkcije moguć je samo slučaj b).

Neka x 0 - prijelomna točka funkcije f(x) .

DEFINICIJA. točka x 0 nazvao prijelomna točka ja ljubazan ako je funkcija f(x)ima konačne granice u ovoj točki s lijeve i s desne strane.

Ako su k tome te granice jednake, tada je točka x 0 nazvao prijelomna točka , inače - točka skoka .

DEFINICIJA. točka x 0 nazvao prijelomna točka II ljubazan ako je barem jedna od jednostranih limesa funkcije f(x)u ovom trenutku je jednako¥ ili ne postoji.

12) Svojstva funkcija neprekidnih na segmentu (Weierstrassov (bez dokaza) i Cauchyjev teorem

Weierstrassov teorem

Neka je funkcija f(x) neprekidna na segmentu, tada

1)f(x) ograničeno je na

2) f (x) poprima na intervalu najmanju i najveću vrijednost

Definicija: Vrijednost funkcije m=f naziva se najmanjom ako je m≤f(x) za bilo koji x € D(f).

Vrijednost funkcije m=f naziva se najvećom ako je m≥f(x) za bilo koji x € D(f).

Funkcija može uzeti najmanju \ najveću vrijednost u nekoliko točaka segmenta.

f(x 3)=f(x 4)=maks

Cauchyjev teorem.

Neka je funkcija f(x) kontinuirana na intervalu i x je broj zatvoren između f(a) i f(b), tada postoji barem jedna točka x 0 € takva da je f(x 0)= g

Sada, mirne duše, prelazimo na razmatranje divne granice.
izgleda kao .

Umjesto varijable x mogu biti prisutne razne funkcije, glavno je da teže 0.

Moramo izračunati granicu

Kao što vidite, ova je granica vrlo slična prvoj izvanrednoj, ali to nije u potpunosti točno. Općenito, ako primijetite grijeh u granici, tada biste trebali odmah razmisliti o tome je li moguće koristiti prvu značajnu granicu.

Prema našem pravilu br. 1, zamijenit ćemo x s nulom:

Dobivamo neizvjesnost.

Sada pokušajmo samostalno organizirati prvo izvanredno ograničenje. Da bismo to učinili, izvest ćemo jednostavnu kombinaciju:

Dakle, rasporedili smo brojnik i nazivnik tako da se 7x ističe. Već se pojavila poznata izvanredna granica. Preporučljivo je istaknuti ga prilikom odlučivanja:

Zamijenimo rješenje prvog izvanrednog primjera i dobijemo:

Pojednostavite razlomak:

Odgovor: 7/3.

Kao što vidite, sve je vrlo jednostavno.

Ima formu , gdje je e = 2,718281828… iracionalan broj.

Umjesto varijable x mogu biti prisutne razne funkcije, glavno je da teže .

Moramo izračunati granicu

Ovdje vidimo prisutnost diplome ispod znaka granice, što znači da se može primijeniti druga značajna granica.

Kao i uvijek, koristit ćemo pravilo broj 1 - zamijeniti umjesto x:

Vidi se da je za x baza stupnja , a eksponent 4x > , tj. dobivamo nesigurnost oblika:

Iskoristimo drugu divnu granicu da otkrijemo svoju neizvjesnost, ali prvo je moramo organizirati. Kao što vidite, potrebno je postići prisutnost u indikatoru, za što podižemo bazu na potenciju 3x, a istovremeno na potenciju 1/3x, tako da se izraz ne mijenja:

Ne zaboravite istaknuti naše prekrasno ograničenje:

Ovo su stvarno divne granice!
Ako imate pitanja o prva i druga divna granica slobodno ih pitajte u komentarima.
Svima ćemo odgovoriti u najkraćem mogućem roku.

Također možete raditi s učiteljem na ovoj temi.
Zadovoljstvo nam je ponuditi vam usluge odabira kvalificiranog učitelja u vašem gradu. Naši partneri će u najkraćem roku odabrati dobrog učitelja za vas po povoljnim uvjetima.

Nema dovoljno informacija? - Možeš !

Matematičke izračune možete zapisivati ​​u bilježnice. Mnogo je ugodnije pisati u pojedinačne bilježnice s logotipom (http://www.blocnot.ru).