Raportul piciorului adiacent. Sinus, cosinus, tangentă, cotangentă a unui unghi ascuțit. Funcții trigonometrice

Instruire

Un triunghi se numește triunghi dreptunghic dacă unul dintre unghiurile lui are 90 de grade. Este format din două catete și o ipotenuză. Ipotenuza este cea mai lungă latură a acestui triunghi. Ea minte împotriva unghi drept. Picioarele, respectiv, sunt numite laturile sale mai mici. Ele pot fi fie egale între ele, fie au dimensiuni diferite. Egalitatea catetelor pe care le lucrați cu un triunghi dreptunghic. Frumusețea sa este că combină două figuri: un triunghi dreptunghiular și un triunghi isoscel. Dacă picioarele nu sunt egale, atunci triunghiul este arbitrar și conform legii de bază: cu cât unghiul este mai mare, cu atât se rostogolește cel care se află vizavi.

Există mai multe moduri de a găsi ipotenuza prin și unghi. Dar înainte de a utiliza unul dintre ele, ar trebui să determinați care și unghiul sunt cunoscute. Având în vedere un unghi și catetul adiacent acestuia, este mai ușor să găsiți ipotenuza după cosinusul unghiului. cosinus unghi ascutit(cos a) în triunghi dreptunghic numit raportul catetei adiacente la ipotenuza. Aceasta implică faptul că ipotenuza (c) va fi egală cu raportul catetei adiacente (b) și cosinusul unghiului a (cos a). Aceasta se poate scrie astfel: cos a=b/c => c=b/cos a.

Dacă sunt date un unghi și un picior opus, atunci trebuie să se lucreze. Sinusul unui unghi ascuțit (sin a) într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul opus (a) și ipotenuza (c). Aici principiul este același ca în exemplul anterior, doar sinusul este luat în locul funcției cosinus. sin a=a/c => c=a/sin a.

De asemenea, puteți utiliza o funcție trigonometrică, cum ar fi . Dar găsirea valorii dorite este puțin mai complicată. Tangenta unui unghi ascuțit (tg a) într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul opus (a) și cel alăturat (b). După ce am găsit ambele catete, aplicați teorema lui Pitagora (pătratul ipotenuzei este egală cu suma pătrate de picioare) și se va găsi unul mare.

Notă

Când lucrați cu teorema lui Pitagora, nu uitați că aveți de-a face cu o diplomă. După ce ați găsit suma pătratelor picioarelor, pentru a obține răspunsul final, ar trebui să luați rădăcina pătrată.

Surse:

• cum să găsiți catetul și ipotenuza

Ipotenuza este latura dintr-un triunghi dreptunghic care este opus unghiului de 90 de grade. Pentru a-i calcula lungimea, este suficient să cunoaștem lungimea unuia dintre catete și valoarea unuia dintre unghiurile ascuțite ale triunghiului.

Instruire

Cu un unghi drept cunoscut și ascuțit, atunci dimensiunea ipotenuzei este raportul dintre catete și / din acest unghi, dacă unghiul dat este opus / adiacent acestuia:

h = C1(sau C2)/sinα;

h = С1(sau С2)/cosα.

Exemplu: Fie ABC dat cu ipotenuza AB și C. Fie unghiul B de 60 de grade și unghiul A de 30 de grade Lungimea catetei BC este de 8 cm. Aveți nevoie de lungimea ipotenuzei AB. Pentru a face acest lucru, puteți utiliza oricare dintre metodele sugerate mai sus:

AB=BC/cos60=8 cm.

AB = BC/sin30 = 8 cm.

Cuvântul " picior„ vine de la cuvintele grecești „perpendicular” sau „vertical” - asta explică de ce ambele laturi ale unui triunghi dreptunghic, care formează unghiul său de nouăzeci de grade, au fost numite astfel. Găsiți lungimea oricăruia dintre picior ov nu este dificil dacă valoarea unghiului adiacent acestuia și oricare alți parametri sunt cunoscute, deoarece în acest caz, valorile tuturor celor trei unghiuri vor deveni de fapt cunoscute.

Instruire

Dacă, pe lângă valoarea unghiului adiacent (β), lungimea celui de-al doilea picior a (b), apoi lungimea piciorși (a) poate fi definită ca coeficientul lungimii cunoscutului picior iar la un unghi cunoscut: a=b/tg(β). Aceasta rezultă din definiția acestui trigonometric. Poți să faci fără tangentă dacă folosești teorema. Din aceasta rezultă că lungimea dorită la sinusul unghiului opus raportului dintre lungimea unghiului cunoscut. picior ci la sinusul unui unghi cunoscut. Opus celui dorit picior y un unghi ascuțit poate fi exprimat în termenii unui unghi cunoscut ca 180°-90°-β = 90°-β, deoarece suma tuturor unghiurilor oricărui triunghi trebuie să fie de 180°, iar unul dintre unghiurile sale este egal cu 90 °. Deci lungimea dorită piciorși poate fi calculată prin formula a=sin(90°-β)∗b/sin(β).

Dacă se cunosc mărimea unghiului adiacent (β) și lungimea ipotenuzei (c), atunci lungimea piciorși (a) poate fi calculată ca produsul dintre lungimea ipotenuzei și cosinusul unghiului cunoscut: a=c∗cos(β). Aceasta rezultă din definiția cosinusului ca funcție trigonometrică. Dar puteți folosi, ca în pasul anterior, teorema sinusului și apoi lungimea dorită picior a va fi egal cu produsul sinusului între 90° și unghiul cunoscut înmulțit cu raportul dintre lungimea ipotenuzei și sinusul unghiului drept. Și întrucât sinusul de 90° este egal cu unu, se poate scrie astfel: a=sin(90°-β)∗c.

Calcule practice pot fi efectuate, de exemplu, folosind calculatorul software inclus în sistemul de operare Windows. Pentru a-l rula, puteți selecta elementul „Run” din meniul principal de pe butonul „Start”, tastați comanda calc și faceți clic pe butonul „OK”. Cea mai simplă versiune a interfeței acestui program care se deschide implicit nu oferă funcții trigonometrice, așa că după lansarea acesteia, trebuie să faceți clic pe secțiunea „Vizualizare” din meniu și să selectați linia „Științific” sau „Inginerie” (în funcție de versiunea sistemului de operare pe care o utilizați).

Videoclipuri similare

Cuvântul „katet” a venit în rusă din greacă. În traducere exactă, înseamnă un plumb, adică perpendicular pe suprafața pământului. În matematică, catetele sunt numite laturi care formează un unghi drept al unui triunghi dreptunghic. Latura opusă acestui unghi se numește ipotenuză. Termenul „picior” este folosit și în arhitectură și tehnologie lucrari de sudare.

Desenați un triunghi dreptunghic ACB. Etichetează-i catetele a și b și etichetează-i ipotenuza c. Toate laturile și unghiurile unui triunghi dreptunghic sunt definite între ele. Raportul catetului opus unuia dintre unghiurile ascuțite față de ipotenuză se numește sinusul acestui unghi. În acest triunghi sinCAB=a/c. Cosinusul este raportul la ipotenuza catetei adiacente, adică cosCAB=b/c. Relațiile inverse se numesc secante și cosecante.

Secanta acestui unghi se obține prin împărțirea ipotenuzei la catetul adiacent, adică secCAB=c/b. Rezultă reciproca cosinusului, adică poate fi exprimată prin formula secCAB=1/cosSAB.
Cosecanta este egală cu câtul împărțirii ipotenuzei la catetul opus și este reciproca sinusului. Poate fi calculat folosind formula cosecCAB=1/sinCAB

Ambele picioare sunt interconectate și cotangente. În acest caz, tangenta va fi raportul dintre latura a și latura b, adică piciorul opus celui alăturat. Acest raport poate fi exprimat prin formula tgCAB=a/b. În consecință, raportul invers va fi cotangenta: ctgCAB=b/a.

Raportul dintre dimensiunile ipotenuzei și ambele picioare a fost determinat de grecul antic Pitagora. Teorema, numele lui, oamenii încă o folosesc. Se spune că pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor, adică c2 \u003d a2 + b2. În consecință, fiecare picior va fi egal cu rădăcină pătrată din diferența dintre pătratele ipotenuzei și celălalt catet. Această formulă poate fi scrisă ca b=√(c2-a2).

Lungimea piciorului poate fi exprimată și prin relațiile pe care le cunoașteți. Conform teoremelor sinusurilor și cosinusurilor, catetul este egal cu produsul ipotenuzei și una dintre aceste funcții. Îl poți exprima și sau cotangent. Piciorul a poate fi găsit, de exemplu, prin formula a \u003d b * tan CAB. Exact în același mod, în funcție de tangenta dată sau , se determină a doua catenă.

În arhitectură se folosește și termenul „picior”. Este aplicat pe un capitel ionic și trece prin mijlocul spatelui. Adică, în acest caz, prin acest termen, perpendiculara pe dreapta dată.

În tehnologia de sudare, există o „picior de sudură în unghi”. Ca și în alte cazuri, acesta este cel mai mult distanta scurta. Aici vorbim despre decalajul dintre una dintre piesele care trebuie sudate la marginea cusăturii situată pe suprafața celeilalte părți.

Videoclipuri similare

Surse:

• care este catetul și ipotenuza în 2019

În acest articol, vom arăta cum definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unghiului și numărului în trigonometrie. Aici vom vorbi despre notație, vom da exemple de înregistrări, vom oferi ilustrații grafice. În concluzie, facem o paralelă între definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei în trigonometrie și geometrie.

Navigare în pagină.

Definiția sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei

Să urmăm cum se formează conceptul de sinus, cosinus, tangentă și cotangentă la cursul de matematică școlar. În lecțiile de geometrie, este dată definiția sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic. Și mai târziu se studiază trigonometria, care se referă la sinus, cosinus, tangentă și cotangentă a unghiului de rotație și a numărului. Dăm toate aceste definiții, dăm exemple și dăm comentariile necesare.

Unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic

Din cursul geometriei se cunosc definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi ascuțit dintr-un triunghi dreptunghic. Ele sunt date ca raport al laturilor unui triunghi dreptunghic. Vă prezentăm formulările lor.

Definiție.

Sinusul unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul opus și ipotenuză.

Definiție.

Cosinusul unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul adiacent și ipotenuză.

Definiție.

Tangenta unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre piciorul opus și piciorul adiacent.

Definiție.

Cotangenta unui unghi ascutit intr-un triunghi dreptunghic este raportul dintre piciorul adiacent și piciorul opus.

Acolo este introdusă și notația sinus, cosinus, tangente și cotangente - sin, cos, tg și respectiv ctg.

De exemplu, dacă ABC este un triunghi dreptunghic cu unghi drept C, atunci sinusul unghiului ascuțit A este egal cu raportul catetului opus BC și ipotenuza AB, adică sin∠A=BC/AB.

Aceste definiții vă permit să calculați valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi ascuțit din lungimile cunoscute ale laturilor unui triunghi dreptunghic, precum și din valorile cunoscute ale sinusului, cosinusului, tangentă, cotangentă și lungimea uneia dintre laturi, găsiți lungimile celorlalte laturi. De exemplu, dacă am ști că într-un triunghi dreptunghic catetul AC este 3 și ipotenuza AB este 7 , atunci am putea calcula cosinusul unghiului ascuțit A prin definiție: cos∠A=AC/AB=3/7 .

Unghiul de rotație

În trigonometrie, încep să privească unghiul mai larg - introduc conceptul de unghi de rotație. Unghiul de rotație, spre deosebire de un unghi ascuțit, nu este limitat de cadre de la 0 la 90 de grade, unghiul de rotație în grade (și în radiani) poate fi exprimat prin orice număr real de la −∞ la +∞.

În această lumină, definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei nu mai sunt un unghi ascuțit, ci un unghi de mărime arbitrară - unghiul de rotație. Ele sunt date prin coordonatele x și y ale punctului A 1 , în care trece așa-numitul punct inițial A(1, 0) după ce se rotește printr-un unghi α în jurul punctului O - începutul unui sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare și centrul cercului unitar.

Definiție.

Sinusul unghiului de rotațieα este ordonata punctului A 1 , adică sinα=y .

Definiție.

cosinus al unghiului de rotațieα se numește abscisa punctului A 1 , adică cosα=x .

Definiție.

Tangenta unghiului de rotațieα este raportul dintre ordonata punctului A 1 și abscisa acestuia, adică tgα=y/x .

Definiție.

Cotangenta unghiului de rotatieα este raportul dintre abscisa punctului A 1 și ordonata sa, adică ctgα=x/y .

Sinusul și cosinusul sunt definite pentru orice unghi α , deoarece putem determina întotdeauna abscisa și ordonata unui punct, care se obține prin rotirea punctului de plecare prin unghiul α . Și tangenta și cotangenta nu sunt definite pentru niciun unghi. Tangenta nu este definită pentru astfel de unghiuri α la care punctul inițial merge la un punct cu abscisă zero (0, 1) sau (0, −1) , iar aceasta are loc la unghiurile 90°+180° k , k∈Z (π /2+π k rad). Într-adevăr, la astfel de unghiuri de rotație, expresia tgα=y/x nu are sens, deoarece conține împărțirea la zero. În ceea ce privește cotangenta, aceasta nu este definită pentru astfel de unghiuri α la care punctul de plecare merge la un punct cu ordonată zero (1, 0) sau (−1, 0) și acesta este cazul unghiurilor 180° k , k ∈Z (π k rad).

Deci, sinusul și cosinusul sunt definite pentru orice unghi de rotație, tangenta este definită pentru toate unghiurile cu excepția 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad), iar cotangenta este pentru toate unghiurile cu excepția 180 ° ·k , k∈Z (π·k rad).

Notațiile deja cunoscute nouă apar în definițiile sin, cos, tg și ctg, sunt folosite și pentru a desemna sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unghiului de rotație (uneori puteți găsi notația tan și cot corespunzând tangentei și cotangentă). Deci sinusul unghiului de rotație de 30 de grade poate fi scris ca sin30°, înregistrările tg(−24°17′) și ctgα corespund tangentei unghiului de rotație −24 grade 17 minute și cotangentei unghiului de rotație α . Amintiți-vă că atunci când scrieți măsura radianilor unui unghi, notația „rad” este adesea omisă. De exemplu, cosinusul unui unghi de rotație de trei pi rads este de obicei notat cos3 π .

În încheierea acestui paragraf, este de remarcat faptul că, vorbind despre sinus, cosinus, tangentă și cotangentă a unghiului de rotație, expresia „unghi de rotație” sau cuvântul „rotație” este adesea omisă. Adică, în locul expresiei „sinus al unghiului de rotație alfa”, se folosește de obicei expresia „sinus al unghiului alfa” sau chiar mai scurt - „sinus al unghiului alfa”. Același lucru este valabil și pentru cosinus și tangente și cotangente.

Să spunem, de asemenea, că definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi ascuțit dintr-un triunghi dreptunghic sunt în concordanță cu definițiile tocmai date pentru sinus, cosinus, tangente și cotangente ale unui unghi de rotație cuprins între 0 și 90. grade. Vom fundamenta acest lucru.

Numerele

Definiție.

Sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui număr t este un număr egal cu sinusul, cosinusul, tangenta și cotangentei unghiului de rotație în t radiani, respectiv.

De exemplu, cosinusul lui 8 π este, prin definiție, un număr egal cu cosinusul unui unghi de 8 π rad. Și cosinusul unghiului în 8 π rad este egal cu unu, prin urmare, cosinusul numărului 8 π este egal cu 1.

Există o altă abordare a definiției sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui număr. Constă în faptul că fiecărui număr real t i se atribuie un punct al cercului unitar centrat la originea sistemului de coordonate dreptunghiulare, iar sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta sunt determinate prin coordonatele acestui punct. Să ne oprim asupra acestui lucru mai detaliat.

Să arătăm cum se stabilește corespondența dintre numerele reale și punctele cercului:

• numărului 0 i se atribuie punctul de plecare A(1, 0) ;
• un număr pozitiv t este asociat cu un punct de pe cercul unitar, la care vom ajunge dacă ne deplasăm în jurul cercului de la punctul de plecare în sens invers acelor de ceasornic și parcurgem o cale de lungime t;
• un număr negativ t este asociat cu un punct de pe cercul unitar, la care vom ajunge dacă ne deplasăm în jurul cercului de la punctul de plecare în sensul acelor de ceasornic și parcurgem o cale de lungime |t| .

Acum să trecem la definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei numărului t. Să presupunem că numărul t corespunde unui punct al cercului A 1 (x, y) (de exemplu, numărul &pi/2; corespunde punctului A 1 (0, 1) ).

Definiție.

Sinusul unui număr t este ordonata punctului cerc unitar corespunzător numărului t , adică sint=y .

Definiție.

Cosinusul unui număr t se numește abscisa punctului cercului unitar corespunzător numărului t , adică cost=x .

Definiție.

Tangenta unui număr t este raportul dintre ordonata și abscisa punctului cercului unitar corespunzător numărului t, adică tgt=y/x. Într-o altă formulare echivalentă, tangenta numărului t este raportul dintre sinusul acestui număr și cosinus, adică tgt=sint/cost .

Definiție.

Cotangente a unui număr t este raportul dintre abscisa si ordonata punctului cercului unitar corespunzator numarului t, adica ctgt=x/y. O altă formulare este următoarea: tangenta numărului t este raportul dintre cosinusul numărului t și sinusul numărului t : ctgt=cost/sint .

Aici observăm că definițiile tocmai date sunt în acord cu definiția dată la începutul acestei subsecțiuni. Într-adevăr, punctul cercului unitar corespunzător numărului t coincide cu punctul obținut prin rotirea punctului de plecare printr-un unghi de t radiani.

De asemenea, merită să clarificăm acest punct. Să presupunem că avem o intrare sin3. Cum să înțelegeți dacă sinusul numărului 3 sau sinusul unghiului de rotație de 3 radiani este în discuție? Acest lucru este de obicei clar din context, altfel probabil că nu contează.

Funcții trigonometrice ale argumentului unghiular și numeric

Conform definițiilor date în paragraful anterior, fiecărui unghi de rotație α îi corespunde o valoare bine definită a lui sinα, precum și valoarea lui cosα. În plus, toate unghiurile de rotație, altele decât 90°+180° k, k∈Z (π/2+π k rad) corespund valorilor tgα și altele decât 180° k, k∈Z (π k rad) sunt valorile ctgα . Prin urmare sinα, cosα, tgα și ctgα sunt funcții ale unghiului α. Cu alte cuvinte, acestea sunt funcții ale argumentului unghiular.

În mod similar, putem vorbi despre funcțiile sinus, cosinus, tangentă și cotangentă ale unui argument numeric. Într-adevăr, fiecărui număr real t corespunde unei valori bine definite a sint , precum și costului . În plus, toate numerele, altele decât π/2+π·k , k∈Z corespund valorilor tgt , iar numerele π·k , k∈Z corespund valorilor ctgt .

Se numesc funcțiile sinus, cosinus, tangentă și cotangentă funcții trigonometrice de bază.

De obicei, din context, este clar că avem de-a face cu funcții trigonometrice ale unui argument unghiular sau unui argument numeric. În caz contrar, putem considera variabila independentă atât ca măsură a unghiului (argumentul unghiului), cât și ca argument numeric.

Totuși, școala studiază în principal funcțiile numerice, adică funcțiile ale căror argumente, precum și valorile funcției corespunzătoare, sunt numere. Prin urmare, dacă vorbim de funcții, atunci este indicat să considerăm funcțiile trigonometrice drept funcții ale argumentelor numerice.

Legarea definițiilor din geometrie și trigonometrie

Dacă luăm în considerare unghiul de rotație α de la 0 la 90 de grade, atunci datele din contextul trigonometriei definiției sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unghiului de rotație sunt pe deplin în concordanță cu definițiile sinusului, cosinusului , tangente și cotangente ale unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic, care sunt date în cursul geometriei. Să argumentăm acest lucru.

Desenați într-un dreptunghi Sistemul cartezian Cercul unitar de coordonate oxi. Observați punctul de plecare A(1, 0) . Să o rotim cu un unghi α cuprins între 0 și 90 de grade, obținem punctul A 1 (x, y) . Să coborâm perpendiculara A 1 H din punctul A 1 pe axa Ox.

Este ușor de observat că într-un triunghi dreptunghic unghiul A 1 OH este egal cu unghiul de rotație α, lungimea catetei OH adiacent acestui unghi este egală cu abscisa punctului A 1, adică |OH |=x, lungimea catetei A 1 H opus unghiului este egala cu ordonata punctului A 1 , adica |A 1 H|=y , iar lungimea ipotenuzei OA 1 este egala cu unu. , deoarece este raza cercului unitar. Atunci, prin definiție din geometrie, sinusul unui unghi ascuțit α într-un triunghi dreptunghic A 1 OH este egal cu raportul catetului opus față de ipotenuză, adică sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y . Și prin definiție din trigonometrie, sinusul unghiului de rotație α este egal cu ordonata punctului A 1, adică sinα=y. Aceasta arată că definiția sinusului unui unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic este echivalentă cu definiția sinusului unghiului de rotație α pentru α de la 0 la 90 de grade.

În mod similar, se poate demonstra că definițiile cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi ascuțit α sunt în concordanță cu definițiile cosinusului, tangentei și cotangentei unghiului de rotație α.

Bibliografie.

1. Geometrie. 7-9 clase: studii. pentru învăţământul general instituții / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev și alții]. - Ed. 20. M.: Educaţie, 2010. - 384 p.: ill. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. Pogorelov A.V. Geometrie: Proc. pentru 7-9 celule. educatie generala instituţii / A. V. Pogorelov. - Ed. a II-a - M.: Iluminismul, 2001. - 224 p.: ill. - ISBN 5-09-010803-X.
3. Algebră și functii elementare : Tutorial pentru elevii clasei a IX-a liceu/ E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Editat de doctor în științe fizice și matematice O. N. Golovin.- ed. a IV-a. Moscova: Educație, 1969.
4. Algebră: Proc. pentru 9 celule. medie scoala / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Iluminismul, 1990.- 272 p.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
5. Algebră iar începutul analizei: Proc. pentru 10-11 celule. educatie generala instituții / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn și alții; Ed. A. N. Kolmogorova.- ed. a XIV-a- M.: Iluminismul, 2004.- 384 p.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
6. Mordkovich A.G. Algebra și începuturile analizei. Clasa 10. La ora 14:00 Partea 1: un manual pentru instituțiile de învățământ (nivel de profil) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Ed. a IV-a, adaug. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 p.: ill. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. Algebrăși începutul analizei matematice. Clasa a 10-a: manual. pentru învăţământul general instituţii: de bază şi de profil. niveluri /[Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; ed. A. B. Jiţcenko. - Ed. a 3-a. - I .: Educaţie, 2010. - 368 p.: Ill. - ISBN 978-5-09-022771-1.
8. Bashmakov M.I. Algebra și începutul analizei: Proc. pentru 10-11 celule. medie şcoală - Ed. a 3-a. - M.: Iluminismul, 1993. - 351 p.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
9. Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematică (un manual pentru solicitanții la școlile tehnice): Proc. indemnizatie.- M.; Superior scoala, 1984.-351 p., ill.

Care este sinusul, cosinusul, tangenta, cotangenta unui unghi vă va ajuta să înțelegeți un triunghi dreptunghic.

Cum se numesc laturile unui triunghi dreptunghic? Așa este, ipotenuza și catetele: ipotenuza este latura care se află opusă unghiului drept (în exemplul nostru, aceasta este latura \ (AC \) ); picioarele sunt cele două laturi rămase \ (AB \) și \ (BC \) (cele care sunt adiacente unghiului drept), în plus, dacă luăm în considerare picioarele față de unghiul \ (BC \) , atunci catetul \ (AB \) este piciorul adiacent, iar piciorul \ (BC \) este opus. Deci, acum să răspundem la întrebarea: care sunt sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi?

Sinusul unui unghi- acesta este raportul dintre catetul opus (departe) și ipotenuză.

În triunghiul nostru:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

Cosinusul unui unghi- acesta este raportul dintre catetul adiacent (aproape) și ipotenuză.

În triunghiul nostru:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

Tangenta unghiului- acesta este raportul dintre piciorul opus (departe) și cel adiacent (închis).

În triunghiul nostru:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

Cotangenta unui unghi- acesta este raportul dintre piciorul adiacent (aproape) și cel opus (departe).

În triunghiul nostru:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

Aceste definiții sunt necesare tine minte! Pentru a vă ușura să vă amintiți ce picior să împărțiți la ce, trebuie să înțelegeți clar acest lucru tangentăși cotangentă doar picioarele stau, iar ipotenuza apare doar in sinusurilorși cosinus. Și apoi poți veni cu un lanț de asociații. De exemplu, acesta:

cosinus→ating→ating→adiacent;

Cotangent → atinge → atinge → adiacent.

În primul rând, este necesar să ne amintim că sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta ca rapoarte ale laturilor unui triunghi nu depind de lungimile acestor laturi (la un unghi). Sa nu ai incredere? Apoi asigurați-vă că vă uitați la imagine:

Luați în considerare, de exemplu, cosinusul unghiului \(\beta \) . Prin definiție, dintr-un triunghi \(ABC \) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), dar putem calcula cosinusul unghiului \(\beta \) din triunghiul \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Vedeți, lungimile laturilor sunt diferite, dar valoarea cosinusului unui unghi este aceeași. Astfel, valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei depind numai de mărimea unghiului.

Dacă înțelegeți definițiile, atunci mergeți mai departe și remediați-le!

Pentru triunghiul \(ABC \) , prezentat în figura de mai jos, găsim \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0,8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0,6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0,75\end(array) \)

Ei bine, ai primit-o? Apoi încercați singur: calculați același lucru pentru unghiul \(\beta \) .

Raspunsuri: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

Cercul unitar (trigonometric).

Înțelegând conceptele de grad și radian, am considerat un cerc cu raza egală cu \ (1 \) . Un astfel de cerc se numește singur. Este foarte util în studiul trigonometriei. Prin urmare, ne oprim asupra ei mai detaliat.

După cum puteți vedea, acest cerc este construit în sistemul de coordonate carteziene. Raza cercului este egală cu unu, în timp ce centrul cercului se află la origine, poziția inițială a vectorului rază este fixată de-a lungul direcției pozitive a axei \(x \) (în exemplul nostru, acesta este raza \(AB \) ).

Fiecare punct de pe cerc îi corespunde două numere: coordonata de-a lungul axei \(x \) și coordonata de-a lungul axei \(y \) . Care sunt aceste numere de coordonate? Și, în general, ce legătură au ei cu subiectul la îndemână? Pentru a face acest lucru, amintiți-vă despre triunghiul dreptunghic considerat. În figura de mai sus, puteți vedea două triunghiuri dreptunghiulare întregi. Se consideră triunghiul \(ACG \) . Este dreptunghiular deoarece \(CG \) este perpendicular pe axa \(x \).

Ce este \(\cos \ \alpha \) din triunghiul \(ACG \)? Asta e corect \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). În plus, știm că \(AC \) este raza cercului unitar, deci \(AC=1 \) . Înlocuiți această valoare în formula cosinusului. Iată ce se întâmplă:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

Și ce este \(\sin \ \alpha \) din triunghiul \(ACG \)? Ei bine, desigur, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC) \)! Înlocuiți valoarea razei \ (AC \) în această formulă și obțineți:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

Deci, puteți să-mi spuneți care sunt coordonatele punctului \(C \) , care aparține cercului? Ei bine, în niciun caz? Dar dacă îți dai seama că \(\cos \ \alpha \) și \(\sin \alpha \) sunt doar numere? Cu ce ​​coordonată corespunde \(\cos \alpha \)? Ei bine, desigur, coordonata \(x \) ! Și cărei coordonate corespunde \(\sin \alpha \)? Așa este, coordonata \(y \)! Deci ideea \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

Ce sunt atunci \(tg \alpha \) și \(ctg \alpha \)? Așa este, să folosim definițiile adecvate ale tangentei și cotangentei și să obținem asta \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

Ce se întâmplă dacă unghiul este mai mare? Iată, de exemplu, ca în această imagine:

Ce s-a schimbat în acest exemplu? Să ne dăm seama. Pentru a face acest lucru, ne întoarcem din nou la un triunghi dreptunghic. Considerăm un triunghi dreptunghic \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : un unghi (ca adiacent unghiului \(\beta \) ). Care este valoarea sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei pentru un unghi \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Așa este, aderăm la definițiile corespunzătoare ale funcțiilor trigonometrice:

\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac((((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\angle ((C) )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1) ))G)=\dfrac(x)(y)\end(matrice) \)

Ei bine, după cum puteți vedea, valoarea sinusului unghiului corespunde în continuare coordonatei \ (y \) ; valoarea cosinusului unghiului - coordonata \ (x \) ; și valorile tangentei și cotangentei la rapoartele corespunzătoare. Astfel, aceste relații sunt aplicabile oricăror rotații ale vectorului rază.

S-a menționat deja că poziția inițială a vectorului rază este de-a lungul direcției pozitive a axei \(x \). Până acum am rotit acest vector în sens invers acelor de ceasornic, dar ce se întâmplă dacă îl rotim în sensul acelor de ceasornic? Nimic extraordinar, vei obține și un unghi de o anumită dimensiune, dar numai că va fi negativ. Astfel, la rotirea vectorului rază în sens invers acelor de ceasornic, obținem unghiuri pozitive, iar când se rotește în sensul acelor de ceasornic - negativ.

Deci, știm că întreaga revoluție a vectorului rază în jurul cercului este \(360()^\circ \) sau \(2\pi \) . Este posibil să rotiți vectorul rază cu \(390()^\circ \) sau cu \(-1140()^\circ \)? Ei bine, bineînțeles că poți! În primul caz, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), deci vectorul rază va face o rotație completă și se va opri la \(30()^\circ \) sau \(\dfrac(\pi )(6) \) .

În al doilea caz, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), adică vectorul rază va face trei rotații complete și se va opri în poziția \(-60()^\circ \) sau \(-\dfrac(\pi )(3) \) .

Astfel, din exemplele de mai sus, putem concluziona că unghiurile care diferă cu \(360()^\circ \cdot m \) sau \(2\pi \cdot m \) (unde \(m \) este orice număr întreg ) corespund aceleiași poziții a vectorului rază.

Figura de mai jos arată unghiul \(\beta =-60()^\circ \) . Aceeași imagine corespunde colțului \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) etc. Această listă poate fi continuată pe termen nelimitat. Toate aceste unghiuri pot fi scrise cu formula generală \(\beta +360()^\circ \cdot m\) sau \(\beta +2\pi \cdot m \) (unde \(m \) este orice număr întreg)

\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)

Acum, cunoscând definițiile funcțiilor trigonometrice de bază și folosind cercul unitar, încercați să răspundeți cu ce sunt egale valorile:

\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)

Iată un cerc de unitate care vă va ajuta:

Orice dificultăți? Atunci hai să ne dăm seama. Deci știm că:

\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x); )(y).\end(matrice) \)

De aici, determinăm coordonatele punctelor corespunzătoare anumitor măsuri ale unghiului. Ei bine, să începem în ordine: colțul înăuntru \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) corespunde unui punct cu coordonatele \(\left(0;1 \right) \) , prin urmare:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- nu exista;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

Mai departe, aderând la aceeași logică, aflăm că colțurile în \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) corespund punctelor cu coordonate \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \dreapta) \), respectiv. Știind acest lucru, este ușor să determinați valorile funcțiilor trigonometrice în punctele corespunzătoare. Încercați mai întâi singur, apoi verificați răspunsurile.

Raspunsuri:

\(\displaystyle \sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =-1 \)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- nu exista

\(\sin \ 270()^\circ =-1 \)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- nu exista

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \ 360()^\circ =0 \)

\(\cos \ 360()^\circ =1 \)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- nu exista

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- nu exista

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

Astfel, putem realiza următorul tabel:

Nu este nevoie să ne amintim toate aceste valori. Este suficient să ne amintim corespondența dintre coordonatele punctelor de pe cercul unității și valorile funcțiilor trigonometrice:

\(\left. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(Trebuie să vă amintiți sau să puteți scoate!! \) !}

Și aici sunt valorile funcțiilor trigonometrice ale unghiurilor în și \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4) \) prezentate în tabelul de mai jos, trebuie să vă amintiți:

Nu trebuie să vă sperii, acum vom arăta unul dintre exemplele de memorare destul de simplă a valorilor corespunzătoare:

Pentru a utiliza această metodă, este vital să vă amintiți valorile sinusului pentru toate cele trei măsuri de unghi ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3) \)), precum și valoarea tangentei unghiului în \(30()^\circ \) . Cunoscând aceste \(4 \) valori, este destul de ușor să restabiliți întregul tabel - valorile cosinusului sunt transferate în conformitate cu săgețile, adică:

\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3) ))(2)\ \end(matrice) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \)știind acest lucru, este posibil să restabiliți valorile pentru \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Numătorul „\(1 \) ” se va potrivi cu \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) , iar numitorul „\(\sqrt(\text(3)) \) ” se va potrivi cu \ (\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . Valorile cotangentelor sunt transferate în conformitate cu săgețile prezentate în figură. Dacă înțelegeți acest lucru și vă amintiți schema cu săgeți, atunci va fi suficient să vă amintiți numai valorile \(4 \) din tabel.

Coordonatele unui punct pe un cerc

Este posibil să găsim un punct (coordonatele lui) pe un cerc, cunoscând coordonatele centrului cercului, raza și unghiul de rotație al acestuia? Ei bine, bineînțeles că poți! Să derivăm o formulă generală pentru găsirea coordonatelor unui punct. Aici, de exemplu, avem un astfel de cerc:

Ni se dă acest punct \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \) este centrul cercului. Raza cercului este \(1,5 \) . Este necesar să se găsească coordonatele punctului \(P \) obținute prin rotirea punctului \(O \) cu \(\delta \) grade.

După cum se poate observa din figură, coordonata \ (x \) a punctului \ (P \) corespunde lungimii segmentului \ (TP=UQ=UK+KQ \) . Lungimea segmentului \ (UK \) corespunde coordonatei \ (x \) a centrului cercului, adică este egală cu \ (3 \) . Lungimea segmentului \(KQ \) poate fi exprimată folosind definiția cosinusului:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \\delta \).

Atunci avem că pentru punctul \(P \) coordonata \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).

După aceeași logică, găsim valoarea coordonatei y pentru punctul \(P\) . În acest fel,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).

Deci in vedere generala coordonatele punctului sunt determinate de formulele:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(matrice) \), Unde

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - coordonatele centrului cercului,

\(r\) - raza cercului,

\(\delta \) - unghiul de rotație al razei vectoriale.

După cum puteți vedea, pentru cercul unitar pe care îl luăm în considerare, aceste formule sunt reduse semnificativ, deoarece coordonatele centrului sunt zero, iar raza este egală cu unu:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)

Javascript este dezactivat în browserul dvs.
Controalele ActiveX trebuie să fie activate pentru a face calcule!

Instruire

Videoclipuri similare

Notă

Când se calculează laturile unui triunghi dreptunghic, cunoașterea caracteristicilor acestuia poate juca:
1) Dacă catetul unui unghi drept este opus unui unghi de 30 de grade, atunci este egal cu jumătate din ipotenuză;
2) Ipotenuza este întotdeauna mai lungă decât oricare dintre catete;
3) Dacă un cerc este circumscris unui triunghi dreptunghic, atunci centrul său trebuie să se afle în mijlocul ipotenuzei.

Ipotenuza este latura dintr-un triunghi dreptunghic care este opus unghiului de 90 de grade. Pentru a-i calcula lungimea, este suficient să cunoaștem lungimea unuia dintre catete și valoarea unuia dintre unghiurile ascuțite ale triunghiului.

Instruire

Anunțați-ne unul dintre picioare și unghiul adiacent acestuia. Pentru certitudine, să fie piciorul |AB| și unghiul α. Apoi putem folosi formula pentru cosinus trigonometric este cosinusul raportului catetei adiacente la . Acestea. în notația noastră cos α = |AB| / |AC|. De aici obținem lungimea ipotenuzei |AC| = |AB| / cosα.
Dacă cunoaştem piciorul |BC| și unghiul α, atunci folosim formula de calcul a sinusului unghiului - sinusul unghiului este egal cu raportul catetului opus față de ipotenuză: sin α = |BC| / |AC|. Obținem că lungimea ipotenuzei se găsește ca |AC| = |BC| / cosα.

Pentru claritate, luați în considerare un exemplu. Fie lungimea piciorului |AB| = 15. Iar unghiul α = 60°. Obținem |AC| = 15 / cos 60° = 15 / 0,5 = 30.
Luați în considerare cum puteți verifica rezultatul folosind teorema lui Pitagora. Pentru a face acest lucru, trebuie să calculăm lungimea celui de-al doilea segment |BC|. Folosind formula tangentei unghiului tg α = |BC| / |AC|, obținem |BC| = |AB| * tg α = 15 * tg 60° = 15 * √3. În continuare, aplicăm teorema lui Pitagora, obținem 15^2 + (15 * √3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900. Verificarea este făcută.

Sfat util

După calcularea ipotenuzei, verificați dacă valoarea rezultată satisface teorema lui Pitagora.

Surse:

• Tabelul numerelor prime de la 1 la 10000

Picioarele numiți cele două laturi scurte ale unui triunghi dreptunghic care alcătuiesc vârful acestuia, a cărui valoare este 90 °. A treia latură a unui astfel de triunghi se numește ipotenuză. Toate aceste laturi și unghiuri ale triunghiului sunt interconectate prin anumite relații care vă permit să calculați lungimea piciorului dacă sunt cunoscuți mai mulți alți parametri.

Instruire

Utilizați teorema lui Pitagora pentru catetul (A) dacă cunoașteți lungimea celorlalte două laturi (B și C) ale triunghiului dreptunghic. Această teoremă afirmă că suma lungimilor catetelor la pătrat este egală cu pătratul ipotenuzei. De aici rezultă că lungimea fiecărui catete este egală cu rădăcina pătrată a lungimii ipotenuzei și a celui de-al doilea catet: A=√(C²-B²).

Utilizați definiția funcției trigonometrice directe „sinus” pentru un unghi ascuțit, dacă cunoașteți valoarea unghiului (α) opus catetei calculate și lungimea ipotenuzei (C). Aceasta afirmă că sinusul acestui cunoscut este raportul dintre lungimea catetei dorite și lungimea ipotenuzei. Aceasta este că lungimea catetei dorite este egală cu produsul dintre lungimea ipotenuzei și sinusul unghiului cunoscut: A=C∗sin(α). Pentru aceleași valori cunoscute, puteți folosi cosecanta și calcula lungimea dorită împărțind lungimea ipotenuzei la cosecanta unghiului cunoscut A=C/cosec(α).

Utilizați definiția funcției cosinus trigonometric direct dacă, pe lângă lungimea ipotenuzei (C), se cunoaște și valoarea unghiului ascuțit (β) adiacent celui cerut. Cosinusul acestui unghi este raportul dintre lungimile catetei dorite și ale ipotenuzei, iar din aceasta putem concluziona că lungimea catetei este egală cu produsul dintre lungimea ipotenuzei și cosinusul unghiului cunoscut: A=C∗cos(β). Puteți folosi definiția funcției secante și calculați valoarea dorită împărțind lungimea ipotenuzei la secanta unghiului cunoscut A=C/sec(β).

Deduceți formula necesară dintr-o definiție similară pentru derivata funcției trigonometrice tangente, dacă, în plus față de valoarea unghiului ascuțit (α) situat opus catetului dorit (A), lungimea celui de-al doilea catet (B) este cunoscut. Tangenta unghiului opus catetei dorite este raportul dintre lungimea acestui picior și lungimea celui de-al doilea picior. Aceasta înseamnă că valoarea dorită va fi egală cu produsul dintre lungimea catetei cunoscute și tangentei unghiului cunoscut: A=B∗tg(α). Din aceleași cantități cunoscute, poate fi derivată o altă formulă folosind definiția funcției cotangente. În acest caz, pentru a calcula lungimea piciorului, va fi necesar să găsim raportul dintre lungimea piciorului cunoscut și cotangentei unghiului cunoscut: A=B/ctg(α).

Videoclipuri similare

Cuvântul „katet” a venit în rusă din greacă. În traducere exactă, înseamnă un plumb, adică perpendicular pe suprafața pământului. În matematică, catetele sunt numite laturi care formează un unghi drept al unui triunghi dreptunghic. Latura opusă acestui unghi se numește ipotenuză. Termenul „picior” este folosit și în arhitectură și tehnologia de sudare.

Secanta acestui unghi se obține prin împărțirea ipotenuzei la catetul adiacent, adică secCAB=c/b. Rezultă reciproca cosinusului, adică poate fi exprimată prin formula secCAB=1/cosSAB.
Cosecanta este egală cu câtul împărțirii ipotenuzei la catetul opus și este reciproca sinusului. Poate fi calculat folosind formula cosecCAB=1/sinCAB

Ambele picioare sunt interconectate și cotangente. În acest caz, tangenta va fi raportul dintre latura a și latura b, adică piciorul opus celui alăturat. Acest raport poate fi exprimat prin formula tgCAB=a/b. În consecință, raportul invers va fi cotangenta: ctgCAB=b/a.

Raportul dintre dimensiunile ipotenuzei și ambele picioare a fost determinat de grecul antic Pitagora. Teorema, numele lui, oamenii încă o folosesc. Se spune că pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor, adică c2 \u003d a2 + b2. În consecință, fiecare catete va fi egal cu rădăcina pătrată a diferenței dintre pătratele ipotenuzei și celălalt catete. Această formulă poate fi scrisă ca b=√(c2-a2).

Lungimea piciorului poate fi exprimată și prin relațiile pe care le cunoașteți. Conform teoremelor sinusurilor și cosinusurilor, catetul este egal cu produsul ipotenuzei și una dintre aceste funcții. Îl poți exprima și sau cotangent. Piciorul a poate fi găsit, de exemplu, prin formula a \u003d b * tan CAB. Exact în același mod, în funcție de tangenta dată sau , se determină a doua catenă.

În arhitectură se folosește și termenul „picior”. Este aplicat pe un capitel ionic și trece prin mijlocul spatelui. Adică, în acest caz, prin acest termen, perpendiculara pe dreapta dată.

În tehnologia de sudare, există o „picior de sudură în unghi”. Ca și în alte cazuri, aceasta este distanța cea mai scurtă. Aici vorbim despre decalajul dintre una dintre piesele care trebuie sudate la marginea cusăturii situată pe suprafața celeilalte părți.

Videoclipuri similare

Surse:

• care este catetul și ipotenuza în 2019

În viață, de multe ori avem de-a face probleme de matematică: la școală, la universitate și apoi să-ți ajuți copilul cu teme pentru acasă. Oamenii cu anumite profesii vor întâlni matematica zilnic. Prin urmare, este utilă memorarea sau reamintirea regulilor matematice. În acest articol, vom analiza una dintre ele: găsirea catetei unui triunghi dreptunghic.

Ce este un triunghi dreptunghic

În primul rând, să ne amintim ce este un triunghi dreptunghic. Triunghiul dreptunghic este figură geometrică din trei segmente care leagă puncte care nu se află pe aceeași linie dreaptă, iar unul dintre unghiurile acestei figuri este de 90 de grade. Laturile care formează un unghi drept se numesc catete, iar latura care se află opusă unghiului drept se numește ipotenuză.

Găsirea catetei unui triunghi dreptunghic

Există mai multe moduri de a afla lungimea piciorului. Aș dori să le iau în considerare mai detaliat.

Teorema lui Pitagora pentru a afla catetul unui triunghi dreptunghic

Dacă știm ipotenuza și catetul, atunci putem afla lungimea catetei necunoscute folosind teorema lui Pitagora. Sună așa: „Pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor.” Formula: c²=a²+b², unde c este ipotenuza, a și b sunt catetele. Transformăm formula și obținem: a²=c²-b².

Exemplu. Ipotenuza este de 5 cm, iar catetul este de 3 cm. Transformăm formula: c²=a²+b² → a²=c²-b². În continuare, decidem: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (cm).

Relații trigonometrice pentru a găsi catetul unui triunghi dreptunghic

De asemenea, este posibil să găsiți un catet necunoscut dacă sunt cunoscute orice altă latură și orice unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic. Există patru opțiuni pentru găsirea catetei folosind funcții trigonometrice: după sinus, cosinus, tangentă, cotangentă. Pentru a rezolva problemele, tabelul de mai jos ne va ajuta. Să luăm în considerare aceste opțiuni.

Găsiți catetul unui triunghi dreptunghic folosind sinusul

Sinusul unui unghi (sin) este raportul dintre catetul opus și ipotenuză. Formula: sin \u003d a / c, unde a este catetul opus unghiului dat și c este ipotenuza. Apoi, transformăm formula și obținem: a=sin*c.

Exemplu. Ipotenuza este de 10 cm și unghiul A este de 30 de grade. Conform tabelului, calculăm sinusul unghiului A, acesta este egal cu 1/2. Apoi, folosind formula transformată, rezolvăm: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a=5 (cm).

Găsiți catetul unui triunghi dreptunghic folosind cosinus

Cosinusul unui unghi (cos) este raportul catetei adiacente la ipotenuză. Formula: cos \u003d b / c, unde b este catetul adiacent unghiului dat și c este ipotenuza. Să transformăm formula și să obținem: b=cos*c.

Exemplu. Unghiul A este de 60 de grade, ipotenuza este de 10 cm. Conform tabelului, calculăm cosinusul unghiului A, acesta este egal cu 1/2. În continuare, rezolvăm: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (cm).

Găsiți catetul unui triunghi dreptunghic folosind tangenta

Tangenta unui unghi (tg) este raportul catetului opus față de cel alăturat. Formula: tg \u003d a / b, unde a este piciorul opus colțului și b este adiacent. Să transformăm formula și să obținem: a=tg*b.

Exemplu. Unghiul A are 45 de grade, ipotenuza este de 10 cm. Conform tabelului, calculăm tangenta unghiului A, este egală cu Rezolvați: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (cm).

Găsiți catetul unui triunghi dreptunghic folosind cotangente

Cotangenta unui unghi (ctg) este raportul dintre piciorul adiacent și piciorul opus. Formula: ctg \u003d b / a, unde b este piciorul adiacent colțului și este opus. Cu alte cuvinte, cotangenta este „tangenta inversată”. Se obține: b=ctg*a.

Exemplu. Unghiul A este de 30 de grade, piciorul opus este de 5 cm. Conform tabelului, tangenta unghiului A este √3. Calculați: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (cm).

Deci, acum știi cum să găsești piciorul într-un triunghi dreptunghic. După cum puteți vedea, nu este atât de dificil, principalul lucru este să vă amintiți formulele.