Cele mai simple probleme cu o linie dreaptă pe un plan. Aranjamentul reciproc al liniilor. Unghiul dintre linii. Unghiul dintre două linii

colţîntre drepte în spațiu vom numi oricare dintre unghiurile adiacente formate din două drepte trasate printr-un punct arbitrar paralel cu datele.

Să fie date două drepte în spațiu:

Evident, unghiul φ dintre linii poate fi luat ca unghi între vectorii lor de direcție și . Deoarece , atunci conform formulei pentru cosinusul unghiului dintre vectori obținem

Condițiile de paralelism și perpendicularitate a două drepte sunt echivalente cu condițiile de paralelism și perpendicularitate ale vectorilor lor de direcție și:

Două drepte sunt paralele dacă și numai dacă coeficienții lor respectivi sunt proporționali, i.e. l 1 paralelă l 2 dacă și numai dacă sunt paralele .

Două drepte perpendicular dacă şi numai dacă suma produselor coeficienţilor corespunzători este egală cu zero: .

La obiectiv între linie și plan

Lasă linia d- nu perpendicular pe planul θ;
d′− proiecția unei drepte d la planul θ;
Cel mai mic dintre unghiurile dintre liniile drepte dși d„vom suna unghiul dintre linie și plan.
Să o notăm ca φ=( d,θ)
În cazul în care un d⊥θ , atunci ( d,θ)=π/2

Oi→j→k→− sistem de coordonate dreptunghiular.
Ecuația plană:

θ: Topor+De+cz+D=0

Considerăm că linia este dată de un punct și un vector de direcție: d[M 0,p→]
Vector n→(A,B,C)⊥θ
Apoi rămâne de aflat unghiul dintre vectori n→ și p→, notează-l ca γ=( n→,p→).

Dacă unghiul γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

Dacă unghiul γ>π/2 , atunci unghiul necesar φ=γ−π/2

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ

Apoi, unghiul dintre linie și plan poate fi calculat folosind formula:

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+bp 2+cp 3∣ ∣ √A 2+B 2+C 2√p 21+p 22+p 23

Întrebarea 29. Conceptul de formă pătratică. Definitivitatea semnului formelor pătratice.

Forma pătratică j (x 1, x 2, ..., x n) n variabile reale x 1, x 2, ..., x n se numește o sumă a formei
, (1)

Unde aij sunt niște numere numite coeficienți. Fără a pierde generalitatea, putem presupune că aij = a ji.

Forma pătratică se numește valabil, dacă aij О GR. Matrice de formă pătratică se numește matrice alcătuită din coeficienții săi. Forma pătratică (1) corespunde unei matrice simetrice unice
adică A T = A. Prin urmare, forma pătratică (1) poate fi scrisă sub forma matriceală j ( X) = x T Ah, Unde x T = (X 1 X 2 … x n). (2)

Și invers, orice matrice simetrică (2) corespunde unei forme pătratice unice până la notarea variabilelor.

Rangul formei pătratice se numește rangul matricei sale. Forma pătratică se numește nedegenerat, dacă matricea sa este nesingulară DAR. (amintim că matricea DAR se numeşte nedegenerat dacă determinantul său este diferit de zero). În caz contrar, forma pătratică este degenerată.

definit pozitiv(sau strict pozitiv) dacă

j ( X) > 0 , pentru oricine X = (X 1 , X 2 , …, x n), in afara de asta X = (0, 0, …, 0).

Matrice DAR forma patratică definită pozitivă j ( X) se mai numește și definit pozitiv. Prin urmare, o formă pătratică definită pozitivă corespunde unei matrice definite pozitive unice și invers.

Forma pătratică (1) se numește definitiv negativ(sau strict negativ) dacă

j ( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, x n), In afara de asta X = (0, 0, …, 0).

În mod similar ca mai sus, o matrice pătratică negativ-definită este, de asemenea, numită negativ-definită.

Prin urmare, o formă pătratică definită pozitiv (negativ) j ( X) atinge valoarea minimă (maximă) j ( X*) = 0 pentru X* = (0, 0, …, 0).

Rețineți că cele mai multe dintre formele pătratice nu sunt definite de semn, adică nu sunt nici pozitive, nici negative. Astfel de forme pătratice dispar nu numai la originea sistemului de coordonate, ci și în alte puncte.

Când n> 2, sunt necesare criterii speciale pentru a verifica caracterul semnificativ al unei forme pătratice. Să le luăm în considerare.

Minori majori forma pătratică se numesc minore:

adică aceștia sunt minori de ordinul 1, 2, …, n matrici DAR, situat în colțul din stânga sus, ultimul dintre ele coincide cu determinantul matricei DAR.

Criteriul de certitudine pozitivă (criteriul Sylvester)

X) = x T Ah este pozitiv definit, este necesar și suficient ca toți minorii principali ai matricei DAR au fost pozitive, adică: M 1 > 0, M 2 > 0, …, M n > 0. Criteriul certitudinii negative Pentru forma pătratică j ( X) = x T Ah este negativ definit, este necesar și suficient ca principalii săi minori de ordin par să fie pozitivi, iar cei de ordin impar să fie negativi, adică: M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)n

Să fie date linii în spațiu lși m. Prin un punct A al spațiului tragem linii drepte l 1 || lși m 1 || m(Fig. 138).

Rețineți că punctul A poate fi ales în mod arbitrar, în special, poate fi situat pe una dintre liniile date. Dacă drept lși m intersectează, atunci A poate fi luat drept punct de intersecție al acestor drepte ( l 1 = lși m 1 = m).

Unghiul dintre liniile neparalele lși m este valoarea celui mai mic dintre unghiurile adiacente formate prin intersectarea liniilor drepte l 1 și m 1 (l 1 || l, m 1 || m). Unghiul dintre liniile paralele se presupune a fi zero.

Unghiul dintre linii lși m notat cu \(\widehat((l;m)) \). Din definiție rezultă că dacă se măsoară în grade, atunci 0 ° < \(\widehat((l;m)) \) < 90°, iar dacă este în radiani, atunci 0 < \(\widehat((l;m)) \) < π / 2 .

O sarcină. Este dat cubul ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (Fig. 139).

Aflați unghiul dintre dreptele AB și DC 1 .

Traversare dreaptă AB și DC 1. Deoarece linia DC este paralelă cu dreapta AB, unghiul dintre liniile AB și DC 1, conform definiției, este egal cu \(\widehat(C_(1)DC)\).

Prin urmare, \(\widehat((AB;DC_1))\) = 45°.

Direct lși m numit perpendicular, dacă \(\widehat((l;m)) \) = π / 2. De exemplu, într-un cub

Calculul unghiului dintre linii.

Problema calculării unghiului dintre două drepte în spațiu se rezolvă în același mod ca și în plan. Notați cu φ unghiul dintre drepte l 1 și l 2 , iar prin ψ - unghiul dintre vectorii de direcție A și b aceste linii drepte.

Atunci dacă

ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ >90° (Fig. 206.6), apoi φ = 180° - ψ. Este evident că în ambele cazuri egalitatea cos φ = |cos ψ| este adevărată. Conform formulei (cosinusul unghiului dintre vectorii nenuli a și b este egal cu produsul scalar al acestor vectori împărțit la produsul lungimilor lor) avem

$$ cos\psi = cos\widehat((a; b)) = \frac(a\cdot b)(|a|\cdot |b|) $$

Prin urmare,

$$ cos\phi = \frac(|a\cdot b|)(|a|\cdot |b|) $$

Fie dreptele date de ecuațiile lor canonice

$$ \frac(x-x_1)(a_1)=\frac(y-y_1)(a_2)=\frac(z-z_1)(a_3) \;\; și \;\; \frac(x-x_2)(b_1)=\frac(y-y_2)(b_2)=\frac(z-z_2)(b_3) $$

Apoi unghiul φ dintre linii este determinat folosind formula

$$ cos\phi = \frac(|a_(1)b_1+a_(2)b_2+a_(3)b_3|)(\sqrt((a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2 )\sqrt((b_1)^2+(b_2)^2+(b_3)^2)) (1)$$

Dacă una dintre linii (sau ambele) este dată de ecuații non-canonice, atunci pentru a calcula unghiul, trebuie să găsiți coordonatele vectorilor de direcție ai acestor linii și apoi să utilizați formula (1).

Sarcina 1. Calculați unghiul dintre linii

$$ \frac(x+3)(-\sqrt2)=\frac(y)(\sqrt2)=\frac(z-7)(-2) \;\;şi\;\; \frac(x)(\sqrt3)=\frac(y+1)(\sqrt3)=\frac(z-1)(\sqrt6) $$

Vectorii de direcție ai liniilor drepte au coordonate:

a \u003d (-√2; √2; -2), b = (√3 ; √3 ; √6 ).

Prin formula (1) găsim

$$ cos\phi = \frac(|-\sqrt6+\sqrt6-2\sqrt6|)(\sqrt(2+2+4)\sqrt(3+3+6))=\frac(2\sqrt6)( 2\sqrt2\cdot 2\sqrt3)=\frac(1)(2) $$

Prin urmare, unghiul dintre aceste linii este de 60°.

Sarcina 2. Calculați unghiul dintre linii

$$ \begin(cases)3x-12z+7=0\\x+y-3z-1=0\end(cases) și \begin(cases)4x-y+z=0\\y+z+1 =0\end(cazuri) $$

În spatele vectorului ghid A ia prima linie produs vectorial vectori normali n 1 = (3; 0; -12) și n 2 = (1; 1; -3) planuri care definesc această dreaptă. Prin formula \(=\begin(vmatrix) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end(vmatrix) \) obținem

$$ a==\begin(vmatrix) i & j & k \\ 3 & 0 & -12 \\ 1 & 1 & -3 \end(vmatrix)=12i-3i+3k $$

În mod similar, găsim vectorul direcție al celei de-a doua drepte:

$$ b=\begin(vmatrix) i & j & k \\ 4 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end(vmatrix)=-2i-4i+4k $$

Dar formula (1) calculează cosinusul unghiului dorit:

$$ cos\phi = \frac(|12\cdot (-2)-3(-4)+3\cdot 4|)(\sqrt(12^2+3^2+3^2)\sqrt(2) ^2+4^2+4^2))=0 $$

Prin urmare, unghiul dintre aceste linii este de 90°.

Sarcina 3.În piramida triunghiulară MAVS, muchiile MA, MB și MC sunt reciproc perpendiculare, (Fig. 207);

lungimile lor sunt, respectiv, egale cu 4, 3, 6. Punctul D este mijlocul [MA]. Aflați unghiul φ dintre liniile CA și DB.

Fie SA și DB vectorii de direcție ai liniilor SA și DB.

Să luăm punctul M ca origine a coordonatelor. După condiția sarcinii, avem A (4; 0; 0), B(0; 0; 3), C(0; 6; 0), D (2; 0; 0). Prin urmare \(\overrightarrow(CA)\) = (4; - 6;0), \(\overrightarrow(DB)\)= (-2; 0; 3). Folosim formula (1):

$$ cos\phi=\frac(|4\cdot (-2)+(-6)\cdot 0+0\cdot 3|)(\sqrt(16+36+0)\sqrt(4+0+9 )) $$

Conform tabelului cosinusurilor, constatăm că unghiul dintre liniile drepte CA și DB este de aproximativ 72 °.

Fie două drepte l și m pe un plan într-un sistem de coordonate carteziene date de ecuațiile generale: l: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, m: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

Vectorii normalelor acestor drepte: = (A 1 , B 1) - la dreapta l,

= (A 2 , B 2) la dreapta m.

Fie j unghiul dintre liniile l și m.

Deoarece unghiurile cu laturile reciproc perpendiculare sunt fie egale, fie adună p, atunci , adică cos j = .

Deci, am demonstrat următoarea teoremă.

Teorema. Fie j unghiul dintre două drepte în plan și aceste drepte să fie date în sistemul de coordonate carteziene prin ecuațiile generale A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 și A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Atunci cos j = .

Exerciții.

1) Deduceți o formulă pentru calcularea unghiului dintre linii dacă:

(1) ambele linii sunt date parametric; (2) ambele drepte sunt date prin ecuații canonice; (3) o dreaptă este dată parametric, cealaltă dreaptă – prin ecuația generală; (4) ambele drepte sunt date de ecuația pantei.

2) Fie j unghiul dintre două drepte în plan și aceste drepte să fie date sistemului de coordonate carteziene prin ecuațiile y = k 1 x + b 1 și y =k 2 x + b 2 .

Atunci tan j = .

3) Explorați poziția relativă a două drepte date prin ecuații generale în sistemul de coordonate carteziene și completați tabelul:

Distanța de la un punct la o dreaptă dintr-un plan.

Fie ca dreapta l pe planul din sistemul de coordonate carteziene să fie dată de ecuația generală Ax + By + C = 0. Aflați distanța de la punctul M(x 0 , y 0) la dreapta l.

Distanța de la punctul M la dreapta l este lungimea perpendicularei HM (H н l, HM ^ l).

Vectorul și vectorul normal la linia l sunt coliniare, astfel încât | | = | | | | și | | = .

Fie coordonatele punctului H (x,y).

Deoarece punctul H aparține dreptei l, atunci Ax + By + C = 0 (*).

Coordonatele vectorilor și: = (x 0 - x, y 0 - y), = (A, B).

| | = = =

(C = -Ax - By , vezi (*))

Teorema. Fie ca dreapta l să fie dată în sistemul de coordonate carteziene prin ecuația generală Ax + By + C = 0. Atunci distanța de la punctul M(x 0 , y 0) la această dreaptă se calculează prin formula: r (M; l) = .

Exerciții.

1) Deduceți o formulă pentru calcularea distanței de la un punct la o dreaptă dacă: (1) linia este dată parametric; (2) linia este dată de ecuațiile canonice; (3) linia dreaptă este dată de ecuația pantei.

2) Scrieți ecuația unui cerc tangent la dreapta 3x - y = 0 centrată în Q(-2,4).

3) Scrieți ecuațiile dreptelor care împart în jumătate unghiurile formate prin intersecția dreptelor 2x + y - 1 = 0 și x + y + 1 = 0.

§ 27. Definirea analitică a unui plan în spațiu

Definiție. Vectorul normal al planului vom numi un vector diferit de zero, al cărui reprezentant este perpendicular pe planul dat.

Cometariu. Este clar că dacă cel puțin un reprezentant al vectorului este perpendicular pe plan, atunci toți ceilalți reprezentanți ai vectorului sunt perpendiculari pe acest plan.

Lăsa sistemul cartezian coordonate.

Să fie dat planul a, = (A, B, C) – vectorul normal acestui plan, punctul M (x 0 , y 0 , z 0) aparține planului a.

Pentru orice punct N(x, y, z) al planului a, vectorii și sunt ortogonali, adică produs scalar este egal cu zero: = 0. Să scriem ultima egalitate în coordonate: A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0.

Fie -Ax 0 - By 0 - Cz 0 = D, apoi Ax + By + Cz + D = 0.

Luați un punct K (x, y) astfel încât Ax + By + Cz + D \u003d 0. Deoarece D \u003d -Ax 0 - By 0 - Cz 0, atunci A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0. Deoarece coordonatele segmentului direcționat = (x - x 0 , y - y 0 , z - z 0), ultima egalitate înseamnă că ^ , și, prin urmare, K н a.

Deci, am demonstrat următoarea teoremă:

Teorema. Orice plan din spațiu în sistemul de coordonate carteziene poate fi definit printr-o ecuație de forma Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0), unde (A, B, C) sunt coordonatele vectorului normal la acest plan.

Este adevărat și invers.

Teorema. Orice ecuație de forma Ax + By + Cz + D \u003d 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) în sistemul de coordonate carteziene definește un anumit plan, în timp ce (A, B, C) sunt coordonatele vector normal la acest plan.

Dovada.

Luați un punct M (x 0 , y 0 , z 0) astfel încât Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D = 0 și vector = (A, B, C) ( ≠ q).

Un plan (și doar unul) trece prin punctul M perpendicular pe vector. Conform teoremei anterioare, acest plan este dat de ecuația Ax + By + Cz + D = 0.

Definiție. O ecuație de forma Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) se numește ecuația generală a planului.

Exemplu.

Să scriem ecuația planului care trece prin punctele M (0.2.4), N (1,-1.0) și K (-1.0.5).

1. Aflați coordonatele vectorului normal în plan (MNK). Deoarece produsul vectorial ´ nu este ortogonal vectori coliniariși , atunci vectorul este coliniar ´ .

= (1, -3, -4), = (-1, -2, 1);

´ = ,

´ = (-11, 3, -5).

Deci, ca vector normal, luați vectorul = (-11, 3, -5).

2. Să folosim acum rezultatele primei teoreme:

ecuația acestui plan A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0, unde (A, B, C) sunt coordonatele vectorului normal, (x 0) , y 0 , z 0) – coordonatele unui punct situat în plan (de exemplu, punctul M).

11(x - 0) + 3(y - 2) - 5(z - 4) = 0

11x + 3y - 5z + 14 = 0

Răspuns: -11x + 3y - 5z + 14 = 0.

Exerciții.

1) Scrieți ecuația planului dacă

(1) planul trece prin punctul M (-2,3,0) paralel cu planul 3x + y + z = 0;

(2) planul conține axa (Ox) și este perpendicular pe planul x + 2y – 5z + 7 = 0.

2) Scrieți ecuația pentru un plan care trece prin trei puncte date.

§ 28. Specificarea analitică a unui semi-spațiu*

Cometariu*. Să fie reparat un avion. Sub semi-spațiu vom înțelege mulțimea de puncte situate pe o parte a unui plan dat, adică două puncte se află în același semi-spațiu dacă segmentul care le leagă nu intersectează planul dat. Acest avion se numește limita acestui semi-spațiu. Se va numi unirea unui plan dat și a unui semi-spațiu semi-spațiu închis.

Fie fixat în spațiu un sistem de coordonate carteziene.

Teorema. Fie planul a dat de ecuația generală Ax + By + Cz + D = 0. Atunci unul dintre cele două semi-spații în care planul a împarte spațiul este dat de inegalitatea Ax + By + Cz + D > 0 , iar al doilea semi-spațiu este dat de inegalitatea Ax + By + Cz + D< 0.

Dovada.

Să trasăm vectorul normal = (A, B, С) pe planul a din punctul M (x 0 , y 0 , z 0) situat pe acest plan: = , M н a, MN ^ a. Planul împarte spațiul în două semi-spații: b 1 și b 2 . Este clar că punctul N aparține unuia dintre aceste semi-spații. Fără pierderea generalității, presupunem că N н b 1 .

Să demonstrăm că semi-spațiul b 1 este definit de inegalitatea Ax + By + Cz + D > 0.

1) Luați un punct K(x,y,z) în semi-spațiul b 1 . Unghiul Ð NMK este unghiul dintre vectori și este acut, deci produsul scalar al acestor vectori este pozitiv: > 0. Să scriem această inegalitate în coordonate: A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) > 0, adică Ax + By + Cy - Ax 0 - By 0 - C z 0 > 0.

Deoarece M н b 1 , atunci Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0, deci -Ax 0 - By 0 - C z 0 = D. Prin urmare, ultima inegalitate poate fi scrisă astfel: Ax + By + Cz + D > 0.

2) Luați un punct L(x,y) astfel încât Ax + By + Cz + D > 0.

Să rescriem inegalitatea, înlocuind D cu (-Ax 0 - By 0 - C z 0) (deoarece M н b 1, apoi Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0): A(x - x 0) ) + B(y - y 0) + C(z - z 0) > 0.

Vectorul cu coordonatele (x - x 0 ,y - y 0 , z - z 0) este un vector , deci expresia A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) poate fi înțeles ca produsul scalar al vectorilor și . Deoarece produsul scalar al vectorilor și este pozitiv, unghiul dintre ei este ascuțit și punctul L н b 1 .

În mod similar, se poate demonstra că semi-spațiul b 2 este dat de inegalitatea Ax + By + Cz + D< 0.

Remarci.

1) Este clar că demonstrația de mai sus nu depinde de alegerea punctului M din planul a.

2) Este clar că același semi-spațiu poate fi definit prin inegalități diferite.

Este adevărat și invers.

Teorema. Orice inegalitate liniară de forma Ax + By + Cz + D > 0 (sau Ax + By + Cz + D< 0) (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) задает в пространстве в декартовой системе координат полупространство с границей Ax + By + Cz + D = 0.

Dovada.

Ecuația Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) în spațiu definește un plan a (vezi § ...). După cum sa demonstrat în teorema anterioară, unul dintre cele două semi-spații în care planul împarte spațiul este dat de inegalitatea Ax Ax + By + Cz + D > 0.

Remarci.

1) Este clar că un semi-spațiu închis poate fi definit printr-o inegalitate liniară nestrictă, iar orice inegalitate liniară nestrict din sistemul de coordonate carteziene definește un semi-spațiu închis.

2) Orice poliedru convex poate fi definit ca intersecția semi-spațiilor închise (ale căror limite sunt plane care conțin fețele poliedrului), adică, analitic, printr-un sistem de inegalități liniare nestrictive.

Exerciții.

1) Demonstrați cele două teoreme prezentate pentru un sistem de coordonate afine arbitrar.

2) Este adevărat invers, că orice sistem de inegalități liniare nestrict definește un poligon convex?

Un exercitiu.

1) Explorați poziția relativă a două plane date prin ecuații generale în sistemul de coordonate carteziene și completați tabelul.

unghiul dintre planuri

Să considerăm două plane α 1 și α 2 date, respectiv, de ecuațiile:

Sub unghiîntre două planuri vom înțelege unul dintre unghiuri diedrice formate din aceste avioane. Este evident că unghiul dintre vectorii normali și planurile α 1 și α 2 este egal cu unul dintre unghiurile diedrice adiacente indicate sau . De aceea . pentru că și , apoi

.

Exemplu. Determinați unghiul dintre plane X+2y-3z+4=0 și 2 X+3y+z+8=0.

Condiția de paralelism a două plane.

Două plane α 1 și α 2 sunt paralele dacă și numai dacă vectorii lor normali și sunt paraleli și, prin urmare .

Deci, două plane sunt paralele unul cu celălalt dacă și numai dacă coeficienții la coordonatele corespunzătoare sunt proporționali:

sau

Condiția de perpendicularitate a planurilor.

Este clar că două plane sunt perpendiculare dacă și numai dacă vectorii lor normali sunt perpendiculari și, prin urmare, sau .

În acest fel, .

Exemple.

DIRECT ÎN SPAȚIU.

ECUAȚIA VECTORALĂ DIRECT.

ECUATII PARAMETRICE DIRECT

Poziția unei linii drepte în spațiu este complet determinată prin specificarea oricăruia dintre punctele sale fixe M 1 și un vector paralel cu această dreaptă.

Un vector paralel cu o dreaptă se numește îndrumare vectorul acestei linii.

Așa că lasă dreapta l trece printr-un punct M 1 (X 1 , y 1 , z 1) situat pe o dreaptă paralelă cu vectorul .

Luați în considerare un punct arbitrar M(x,y,z) pe o linie dreaptă. Din figură se poate observa că .

Vectorii și sunt coliniari, deci există un astfel de număr t, ce , unde este multiplicatorul t poate lua orice valoare numerică în funcție de poziția punctului M pe o linie dreaptă. Factor t se numește parametru. Indicarea vectorilor de rază ai punctelor M 1 și M respectiv, prin și , obținem . Această ecuație se numește vector ecuație în linie dreaptă. Arată că fiecare parametru este valoarea t corespunde vectorului raza unui punct M culcat pe o linie dreaptă.

Scriem această ecuație sub formă de coordonate. Observa asta , si de aici

Ecuațiile rezultate se numesc parametrice ecuații în linie dreaptă.

La modificarea parametrului t se schimbă coordonatele X, yși zși punct M se mișcă în linie dreaptă.

ECUATII CANONICE DIRECT

Lăsa M 1 (X 1 , y 1 , z 1) - un punct situat pe o linie dreaptă l, și este vectorul său de direcție. Din nou, luați un punct arbitrar pe o linie dreaptă M(x,y,z)și luați în considerare vectorul .

Este clar că vectorii și sunt coliniari, deci coordonatele lor respective trebuie să fie proporționale, prin urmare

– canonic ecuații în linie dreaptă.

Observația 1. Rețineți că ecuațiile canonice ale dreptei pot fi obținute din ecuațiile parametrice prin eliminarea parametrului t. Într-adevăr, din ecuațiile parametrice obținem sau .

Exemplu. Scrieți ecuația unei drepte într-un mod parametric.

Denota , prin urmare X = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Observația 2. Fie linia perpendiculară pe una dintre axele de coordonate, de exemplu, axa Bou. Atunci vectorul direcție al dreptei este perpendicular Bou, Prin urmare, m=0. În consecință, ecuațiile parametrice ale dreptei iau forma

Eliminarea parametrului din ecuații t, obținem ecuațiile dreptei în forma

Totuși, și în acest caz, suntem de acord să scriem formal ecuațiile canonice ale dreptei în formă . Astfel, dacă numitorul uneia dintre fracții este zero, atunci aceasta înseamnă că linia este perpendiculară pe axa de coordonate corespunzătoare.

În mod similar, ecuațiile canonice corespunde unei drepte perpendiculare pe axele Bouși Oi sau axa paralela Oz.

Exemple.

ECUAȚII GENERALE O LINIE DIRECTĂ CA O LINIE DE INTERCEPȚIE A DOUA PLANURI

Prin fiecare linie dreaptă din spațiu trece un număr infinit de plane. Oricare două dintre ele, intersectându-se, îl definesc în spațiu. Prin urmare, ecuațiile oricăror două astfel de planuri, considerate împreună, sunt ecuațiile acestei drepte.

În general, oricare două plane neparalele date de ecuațiile generale

determinați linia lor de intersecție. Aceste ecuații se numesc ecuații generale Drept.

Exemple.

Construiți o dreaptă dată de ecuații

Pentru a construi o dreaptă, este suficient să găsiți oricare dintre punctele sale. Cel mai simplu mod este să alegeți punctele de intersecție ale dreptei cu planurile de coordonate. De exemplu, punctul de intersecție cu planul xOy obţinem din ecuaţiile unei drepte, presupunând z= 0:

Rezolvând acest sistem, găsim ideea M 1 (1;2;0).

În mod similar, presupunând y= 0, obținem punctul de intersecție al dreptei cu planul xOz:

Din ecuațiile generale ale unei linii drepte, se poate trece la ecuațiile ei canonice sau parametrice. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți un punct M 1 pe linie și vectorul de direcție al dreptei.

Coordonatele punctului M 1 obținem din acest sistem de ecuații, dând uneia dintre coordonate o valoare arbitrară. Pentru a găsi vectorul direcție, rețineți că acest vector trebuie să fie perpendicular pe ambii vectori normali și . Prin urmare, pentru vectorul direcție al dreptei l puteți lua produsul încrucișat al vectorilor normali:

.

Exemplu. Conduce ecuații generale Drept la forma canonică.

Găsiți un punct pe o dreaptă. Pentru a face acest lucru, alegem în mod arbitrar una dintre coordonate, de exemplu, y= 0 și rezolvați sistemul de ecuații:

Vectorii normali ai planurilor care definesc dreapta au coordonate Prin urmare, vectorul direcție va fi drept

. Prin urmare, l: .

unghiul dintre drepturi

colţîntre drepte în spațiu vom numi oricare dintre unghiurile adiacente formate din două drepte trasate printr-un punct arbitrar paralel cu datele.

Să fie date două drepte în spațiu:

Evident, unghiul φ dintre linii poate fi luat ca unghi între vectorii lor de direcție și . Deoarece , atunci conform formulei pentru cosinusul unghiului dintre vectori obținem

Acest material este dedicat unui astfel de concept precum unghiul dintre două linii drepte care se intersectează. În primul paragraf, vom explica ce este și o vom arăta în ilustrații. Apoi vom analiza cum puteți găsi sinusul, cosinusul acestui unghi și unghiul în sine (vom lua în considerare separat cazurile cu un plan și spațiu tridimensional), vom da formulele necesare și vom arăta cu exemple cum sunt aplicate exact. in practica.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pentru a înțelege ce este un unghi format la intersecția a două drepte, trebuie să ne amintim însăși definiția unghiului, a perpendicularității și a unui punct de intersecție.

Definiția 1

Numim două linii care se intersectează dacă au una punct comun. Acest punct se numește punctul de intersecție a celor două drepte.

Fiecare linie este împărțită de punctul de intersecție în raze. În acest caz, ambele linii formează 4 unghiuri, dintre care două sunt verticale și două sunt adiacente. Dacă cunoaștem măsura unuia dintre ele, atunci le putem determina pe celelalte rămase.

Să presupunem că știm că unul dintre unghiuri este egal cu α. Într-un astfel de caz, unghiul care este vertical față de acesta va fi, de asemenea, egal cu α. Pentru a găsi unghiurile rămase, trebuie să calculăm diferența 180 ° - α . Dacă α este egal cu 90 de grade, atunci toate unghiurile vor fi drepte. Liniile care se intersectează în unghi drept sunt numite perpendiculare (un articol separat este dedicat conceptului de perpendicularitate).

Aruncă o privire la poză:

Să trecem la formularea definiției principale.

Definiția 2

Unghiul format din două drepte care se intersectează este măsura celui mai mic dintre cele 4 unghiuri care formează aceste două drepte.

Din definiție trebuie trasă o concluzie importantă: mărimea unghiului în acest caz va fi exprimată prin orice număr real din intervalul (0 , 90 ] . Dacă dreptele sunt perpendiculare, atunci unghiul dintre ele va fi în orice caz egal cu 90 de grade.

Capacitatea de a găsi măsura unghiului dintre două drepte care se intersectează este utilă pentru rezolvarea multor probleme practice. Metoda de rezolvare poate fi selectată din mai multe opțiuni.

Pentru început, putem lua metode geometrice. Dacă știm ceva despre unghiuri suplimentare, atunci le putem conecta la unghiul de care avem nevoie folosind proprietățile formelor egale sau similare. De exemplu, dacă cunoaștem laturile unui triunghi și trebuie să calculăm unghiul dintre liniile pe care sunt situate aceste laturi, atunci teorema cosinusului este potrivită pentru rezolvare. Daca avem in stare triunghi dreptunghic, atunci pentru calcule vom avea nevoie și de cunoștințe ale sinusului, cosinusului și tangentei unghiului.

Metoda coordonatelor este, de asemenea, foarte convenabilă pentru rezolvarea problemelor de acest tip. Să explicăm cum să-l folosim corect.

Avem un sistem de coordonate dreptunghiular (cartezian) O x y cu două drepte. Să le notăm cu literele a și b. În acest caz, liniile drepte pot fi descrise folosind orice ecuație. Liniile originale au un punct de intersecție M . Cum se determină unghiul dorit (să-l notăm α) între aceste linii?

Să începem cu formularea principiului de bază al găsirii unui unghi în condiții date.

Știm că concepte precum direcția și vectorul normal sunt strâns legate de conceptul de linie dreaptă. Dacă avem ecuația unei linii drepte, putem lua din ea coordonatele acestor vectori. Putem face acest lucru pentru două linii care se intersectează simultan.

Unghiul format din două drepte care se intersectează poate fi găsit folosind:

• unghiul dintre vectorii de direcție;
• unghiul dintre vectorii normali;
• unghiul dintre vectorul normal al unei linii și vectorul direcție al celeilalte.

Acum să ne uităm la fiecare metodă separat.

1. Să presupunem că avem o dreaptă a cu vector de direcție a → = (a x , a y) și o dreaptă b cu vector de direcție b → (b x , b y) . Acum să lăsăm deoparte doi vectori a → și b → din punctul de intersecție. După aceea, vom vedea că fiecare va fi amplasat pe propria linie. Apoi avem patru opțiuni pentru poziția lor relativă. Vezi ilustrația:

Dacă unghiul dintre doi vectori nu este obtuz, atunci va fi unghiul de care avem nevoie între liniile care se intersectează a și b. Dacă este obtuz, atunci unghiul dorit va fi egal cu unghiul adiacent unghiului a → , b → ^ . Astfel, α = a → , b → ^ dacă a → , b → ^ ≤ 90 ° , și α = 180 ° - a → , b → ^ dacă a → , b → ^ > 90 ° .

Pe baza faptului că cosinusurile unghiurilor egale sunt egale, putem rescrie egalitățile rezultate astfel: cos α = cos a → , b → ^ dacă a → , b → ^ ≤ 90 ° ; cos α = cos 180 ° - a → , b → ^ = - cos a → , b → ^ dacă a → , b → ^ > 90 ° .

În al doilea caz s-au folosit formule de reducere. În acest fel,

cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Să scriem ultima formulă în cuvinte:

Definiția 3

Cosinusul unghiului format din două drepte care se intersectează va fi egal cu modulul cosinusului unghiului dintre vectorii săi de direcție.

Forma generală a formulei pentru cosinusul unghiului dintre doi vectori a → = (a x, a y) și b → = (b x, b y) arată astfel:

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Din aceasta putem deriva formula pentru cosinusul unghiului dintre două drepte date:

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Apoi unghiul în sine poate fi găsit folosind următoarea formulă:

α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Aici a → = (a x , a y) și b → = (b x , b y) sunt vectorii de direcție ai dreptelor date.

Să dăm un exemplu de rezolvare a problemei.

Exemplul 1

Într-un sistem de coordonate dreptunghiular, pe plan sunt date două drepte care se intersectează a și b. Ele pot fi descrise prin ecuații parametrice x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R și x 5 = y - 6 - 3 . Calculați unghiul dintre aceste drepte.

Soluţie

Avem o ecuație parametrică în condiție, ceea ce înseamnă că pentru această linie dreaptă putem nota imediat coordonatele vectorului său de direcție. Pentru a face acest lucru, trebuie să luăm valorile coeficienților la parametru, adică. dreapta x = 1 + 4 λ y = 2 + λ λ ∈ R va avea un vector de direcție a → = (4 , 1) .

A doua linie este descrisă folosind ecuație canonică x 5 = y - 6 - 3 . Aici putem lua coordonatele de la numitori. Astfel, această dreaptă are un vector de direcție b → = (5 , - 3) .

În continuare, trecem direct la găsirea unghiului. Pentru a face acest lucru, pur și simplu înlocuiți coordonatele disponibile ale celor doi vectori în formula de mai sus α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 . Obținem următoarele:

α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45°

Răspuns: Aceste linii formează un unghi de 45 de grade.

Putem rezolva o problemă similară găsind unghiul dintre vectorii normali. Dacă avem o dreaptă a cu un vector normal n a → = (n a x , n a y) și o dreaptă b cu un vector normal n b → = (n b x , n b y) , atunci unghiul dintre ele va fi egal cu unghiul dintre n a → și n b → sau unghiul care va fi adiacent lui n a → , n b → ^ . Această metodă este prezentată în imagine:

Formulele pentru calcularea cosinusului unghiului dintre liniile care se intersectează și acest unghi în sine folosind coordonatele vectorilor normali arată astfel:

cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n de y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n by y 2

Aici n a → și n b → denotă vectorii normali ai două drepte date.

Exemplul 2

Două drepte sunt date într-un sistem de coordonate dreptunghiular folosind ecuațiile 3 x + 5 y - 30 = 0 și x + 4 y - 17 = 0 . Găsiți sinusul, cosinusul unghiului dintre ele și mărimea acelui unghi în sine.

Soluţie

Dreaptele inițiale sunt date folosind ecuații drepte normale de forma A x + B y + C = 0 . Se notează vectorul normal n → = (A , B) . Să găsim coordonatele primului vector normal pentru o dreaptă și să le scriem: n a → = (3 , 5) . Pentru a doua linie x + 4 y - 17 = 0 vectorul normal va avea coordonatele n b → = (1 , 4) . Acum adăugați valorile obținute la formulă și calculați totalul:

cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

Dacă cunoaștem cosinusul unui unghi, atunci putem calcula sinusul acestuia folosind baza identitate trigonometrică. Deoarece unghiul α format din linii drepte nu este obtuz, atunci sin α \u003d 1 - cos 2 α \u003d 1 - 23 2 34 2 \u003d 7 2 34.

În acest caz, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34 .

Răspuns: cos α = 23 2 34 , sin α = 7 2 34 , α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

Să analizăm ultimul caz - găsirea unghiului dintre drepte, dacă știm coordonatele vectorului de direcție al unei linii și vectorului normal al celeilalte.

Să presupunem că linia a are un vector de direcție a → = (a x , a y) , iar linia b are un vector normal n b → = (n b x , n b y) . Trebuie să amânăm acești vectori din punctul de intersecție și să luăm în considerare toate opțiunile pentru poziția lor relativă. Vezi poza:

Dacă unghiul dintre vectorii dați nu este mai mare de 90 de grade, se dovedește că va completa unghiul dintre a și b la un unghi drept.

a → , n b → ^ = 90 ° - α dacă a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

Dacă este mai mică de 90 de grade, atunci obținem următoarele:

a → , n b → ^ > 90 ° , apoi a → , n b → ^ = 90 ° + α

Folosind regula egalității cosinusurilor de unghiuri egale, scriem:

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α pentru a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α la a → , n b → ^ > 90 ° .

În acest fel,

sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Să formulăm o concluzie.

Definiția 4

Pentru a găsi sinusul unghiului dintre două drepte care se intersectează într-un plan, trebuie să calculați modulul cosinusului unghiului dintre vectorul de direcție al primei linii și vectorul normal al celei de-a doua.

Să notăm formulele necesare. Aflarea sinusului unui unghi:

sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Găsirea colțului în sine:

α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Aici a → este vectorul de direcție al primei linii, iar n b → este vectorul normal al celei de-a doua.

Exemplul 3

Două drepte care se intersectează sunt date de ecuațiile x - 5 = y - 6 3 și x + 4 y - 17 = 0 . Aflați unghiul de intersecție.

Soluţie

Luăm coordonatele vectorului de direcție și normal din ecuațiile date. Rezultă a → = (- 5 , 3) ​​​​și n → b = (1 , 4) . Luăm formula α \u003d a r c sin \u003d a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n by y 2 și luăm în considerare:

α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34

Rețineți că am luat ecuațiile din problema anterioară și am obținut exact același rezultat, dar într-un mod diferit.

Răspuns:α = a r c sin 7 2 34

Iată o altă modalitate de a găsi unghiul dorit folosind coeficienții de pantă ai liniilor date.

Avem o linie a , care este definită într-un sistem de coordonate dreptunghiular folosind ecuația y = k 1 · x + b 1 , și o linie b , definită ca y = k 2 · x + b 2 . Acestea sunt ecuații ale dreptelor cu pantă. Pentru a găsi unghiul de intersecție, utilizați formula:

α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 , unde k 1 și k 2 sunt factori de pantă linii date. Pentru a obține această înregistrare s-au folosit formule pentru determinarea unghiului prin coordonatele vectorilor normali.

Exemplul 4

Există două drepte care se intersectează într-un plan, dat de ecuaţii y = - 3 5 x + 6 și y = - 1 4 x + 17 4 . Calculați unghiul de intersecție.

Soluţie

Pantele dreptelor noastre sunt egale cu k 1 = - 3 5 și k 2 = - 1 4 . Să le adăugăm la formula α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 și să calculăm:

α = a r c cos - 3 5 - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 17 16 = a r c cos 23 2 34

Răspuns:α = a r c cos 23 2 34

În concluziile acestui paragraf, trebuie menționat că formulele pentru găsirea unghiului prezentate aici nu trebuie învățate pe de rost. Pentru a face acest lucru, este suficient să cunoașteți coordonatele ghidajelor și/sau ale vectorilor normali ai liniilor date și să le puteți determina din tipuri diferite ecuații. Dar formulele pentru calcularea cosinusului unui unghi sunt mai bine de reținut sau de notat.

Cum se calculează unghiul dintre liniile care se intersectează în spațiu

Calculul unui astfel de unghi poate fi redus la calculul coordonatelor vectorilor de direcție și la determinarea mărimii unghiului format de acești vectori. Pentru astfel de exemple, folosim același raționament pe care l-am dat înainte.

Să presupunem că avem un sistem de coordonate dreptunghiular situat în spațiul 3D. Conține două drepte a și b cu punctul de intersecție M . Pentru a calcula coordonatele vectorilor de direcție, trebuie să cunoaștem ecuațiile acestor drepte. Se notează vectorii de direcție a → = (a x , a y , a z) și b → = (b x , b y , b z) . Pentru a calcula cosinusul unghiului dintre ele, folosim formula:

cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Pentru a găsi unghiul în sine, avem nevoie de această formulă:

α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Exemplul 5

Avem o linie dreaptă definită în spațiul 3D folosind ecuația x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 . Se știe că se intersectează cu axa O z. Calculați unghiul de intersecție și cosinusul acelui unghi.

Soluţie

Să notăm unghiul care trebuie calculat cu litera α. Să notăm coordonatele vectorului direcție pentru prima dreaptă - a → = (1 , - 3 , - 2) . Pentru axa aplicată, putem lua ca ghid vectorul de coordonate k → = (0 , 0 , 1). Am primit datele necesare și le putem adăuga la formula dorită:

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

Ca rezultat, am obținut că unghiul de care avem nevoie va fi egal cu a r c cos 1 2 = 45 °.

Răspuns: cos α = 1 2 , α = 45 ° .

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter