द्विघात समीकरणों को कैसे हल करें. द्विघात समीकरणों को हल करना: मूल सूत्र, उदाहरण

अधिक सरल तरीके से. ऐसा करने के लिए, कोष्ठक से z निकालें। आपको मिलता है: z(az + b) = 0. गुणनखंड लिखे जा सकते हैं: z=0 और az + b = 0, क्योंकि दोनों का परिणाम शून्य हो सकता है। अंकन az + b = 0 में, हम दूसरे को एक अलग चिह्न के साथ दाईं ओर ले जाते हैं। यहां से हमें z1 = 0 और z2 = -b/а मिलता है। ये मूल की जड़ें हैं.

यदि az² + c \u003d 0 के रूप का कोई अधूरा समीकरण है, तो इस स्थिति में वे केवल मुक्त पद को समीकरण के दाईं ओर स्थानांतरित करके पाए जाते हैं। साथ ही इसका चिन्ह भी बदल दें. आपको रिकॉर्ड az² = -s मिलता है। व्यक्त करें z² = -c/a. मूल लें और दो समाधान लिखें - वर्गमूल का एक सकारात्मक और एक नकारात्मक मान।

टिप्पणी

यदि समीकरण में भिन्नात्मक गुणांक हैं, तो भिन्नों से छुटकारा पाने के लिए संपूर्ण समीकरण को उचित कारक से गुणा करें।

द्विघात समीकरणों को हल करने का तरीका जानना स्कूली बच्चों और छात्रों दोनों के लिए आवश्यक है, कभी-कभी यह रोजमर्रा की जिंदगी में एक वयस्क की मदद कर सकता है। कई विशिष्ट निर्णय विधियाँ हैं।

द्विघात समीकरणों को हल करना

इस समीकरण को हल करने के लिए, आपको विएटा प्रमेय का उपयोग करना होगा या विवेचक का पता लगाना होगा। सबसे आम तरीका विवेचक को ढूंढना है, क्योंकि ए, बी, सी के कुछ मूल्यों के लिए विएटा प्रमेय का उपयोग करना संभव नहीं है।

विवेचक (D) को खोजने के लिए, आपको सूत्र D=b^2 - 4*a*c लिखना होगा। D का मान शून्य से अधिक, कम या शून्य के बराबर हो सकता है। यदि D शून्य से अधिक या कम है, तो दो जड़ें होंगी, यदि D = 0 है, तो केवल एक जड़ बचती है, अधिक सटीक रूप से, हम कह सकते हैं कि इस मामले में D की दो समकक्ष जड़ें हैं। ज्ञात गुणांक a, b, c को सूत्र में रखें और मान की गणना करें।

विवेचक मिल जाने के बाद, x ज्ञात करने के लिए, सूत्रों का उपयोग करें: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a जहां sqrt दी गई संख्या का वर्गमूल निकालने का कार्य है। इन भावों की गणना करने के बाद, आपको अपने समीकरण की दो जड़ें मिलेंगी, जिसके बाद समीकरण को हल माना जाता है।

यदि D शून्य से कम है, तो इसकी जड़ें अभी भी हैं। स्कूल में, इस खंड का व्यावहारिक रूप से अध्ययन नहीं किया जाता है। विश्वविद्यालय के छात्रों को इस बात की जानकारी होनी चाहिए कि मूल के नीचे एक ऋणात्मक संख्या अंकित होती है। हम काल्पनिक भाग को अलग करके इससे छुटकारा पा लेते हैं, अर्थात मूल के नीचे -1 हमेशा काल्पनिक तत्व "i" के बराबर होता है, जिसे उसी सकारात्मक संख्या के साथ मूल से गुणा किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि D=sqrt(-20), परिवर्तन के बाद, D=sqrt(20)*i प्राप्त होता है। इस परिवर्तन के बाद, समीकरण का समाधान मूलों की उसी खोज तक कम हो जाता है, जैसा कि ऊपर वर्णित है।

विएटा के प्रमेय में x(1) और x(2) मानों का चयन शामिल है। दो समान समीकरणों का उपयोग किया जाता है: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=s. और बहुत महत्वपूर्ण बिंदुगुणांक b से पहले का चिह्न है, याद रखें कि यह चिह्न समीकरण में दिए गए चिह्न के विपरीत है। पहली नज़र में, ऐसा लगता है कि x(1) और x(2) की गणना करना बहुत सरल है, लेकिन हल करते समय, आप इस तथ्य का सामना करेंगे कि संख्याओं को सटीक रूप से चुनना होगा।

में आधुनिक समाजवर्गांकित चर वाले समीकरणों के साथ काम करने की क्षमता गतिविधि के कई क्षेत्रों में उपयोगी हो सकती है और वैज्ञानिक और तकनीकी विकास में इसका व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। इसका प्रमाण समुद्र और नदी के जहाजों, विमानों और मिसाइलों के डिजाइन से लगाया जा सकता है। ऐसी गणनाओं की सहायता से, अंतरिक्ष वस्तुओं सहित विभिन्न पिंडों की गति के प्रक्षेप पथ निर्धारित किए जाते हैं। द्विघात समीकरणों के समाधान वाले उदाहरणों का उपयोग न केवल आर्थिक पूर्वानुमान, इमारतों के डिजाइन और निर्माण में किया जाता है, बल्कि सबसे सामान्य रोजमर्रा की परिस्थितियों में भी किया जाता है। कैंपिंग ट्रिप पर, खेल आयोजनों में, दुकानों में खरीदारी करते समय और अन्य बहुत सामान्य स्थितियों में उनकी आवश्यकता हो सकती है।

आइए अभिव्यक्ति को घटक कारकों में तोड़ें

किसी समीकरण की डिग्री दिए गए अभिव्यक्ति में शामिल चर की डिग्री के अधिकतम मान से निर्धारित होती है। यदि यह 2 के बराबर है, तो ऐसे समीकरण को द्विघात समीकरण कहा जाता है।

यदि हम सूत्रों की भाषा में कहें तो ये भाव, चाहे वे कैसे भी दिखें, हमेशा उस रूप में लाए जा सकते हैं जब अभिव्यक्ति के बाएँ भाग में तीन पद हों। उनमें से: ax 2 (अर्थात, इसके गुणांक के साथ एक चर का वर्ग), bx (इसके गुणांक के साथ एक वर्ग के बिना एक अज्ञात) और c (मुक्त घटक, अर्थात, एक साधारण संख्या)। यह सब दाहिनी ओर 0 के बराबर है। उस स्थिति में जब ऐसे बहुपद में ax 2 के अपवाद के साथ, इसके घटक पदों में से एक भी नहीं होता है, तो इसे अपूर्ण द्विघात समीकरण कहा जाता है। ऐसी समस्याओं के समाधान वाले उदाहरणों पर पहले विचार किया जाना चाहिए, जिनमें चरों का मान ज्ञात करना कठिन नहीं है।

यदि अभिव्यक्ति ऐसी दिखती है जैसे कि अभिव्यक्ति के दाईं ओर दो पद हैं, अधिक सटीक रूप से ax 2 और bx, तो चर को कोष्ठक में रखकर x को ढूंढना सबसे आसान है। अब हमारा समीकरण इस तरह दिखेगा: x(ax+b). इसके अलावा, यह स्पष्ट हो जाता है कि या तो x=0, या समस्या निम्न अभिव्यक्ति से एक चर खोजने तक कम हो जाती है: ax+b=0। यह गुणन के गुणों में से एक द्वारा निर्धारित होता है। नियम कहता है कि दो कारकों का गुणनफल तभी 0 होता है जब उनमें से एक शून्य हो।

उदाहरण

x=0 या 8x - 3 = 0

परिणामस्वरूप, हमें समीकरण की दो जड़ें मिलती हैं: 0 और 0.375।

इस प्रकार के समीकरण गुरुत्वाकर्षण की क्रिया के तहत पिंडों की गति का वर्णन कर सकते हैं, जो मूल बिंदु के रूप में लिए गए एक निश्चित बिंदु से चलना शुरू करते हैं। यहां गणितीय अंकन निम्नलिखित रूप लेता है: y = v 0 t + gt 2 /2। आवश्यक मानों को प्रतिस्थापित करके, दाईं ओर को 0 के बराबर करके और संभावित अज्ञात का पता लगाकर, आप शरीर के उठने के क्षण से लेकर उसके गिरने के क्षण तक बीता हुआ समय, साथ ही कई अन्य मात्राओं का पता लगा सकते हैं। लेकिन हम इस बारे में बाद में बात करेंगे.

एक अभिव्यक्ति का गुणनखंडन

ऊपर वर्णित नियम अधिक जटिल मामलों में इन समस्याओं को हल करना संभव बनाता है। इस प्रकार के द्विघात समीकरणों के समाधान वाले उदाहरणों पर विचार करें।

X2 - 33x + 200 = 0

यह वर्ग त्रिपदतैयार है। सबसे पहले, हम अभिव्यक्ति को बदलते हैं और इसे कारकों में विघटित करते हैं। उनमें से दो हैं: (x-8) और (x-25) = 0. परिणामस्वरूप, हमारे पास दो जड़ें 8 और 25 हैं।

ग्रेड 9 में द्विघात समीकरणों के समाधान के उदाहरण इस विधि को न केवल दूसरे, बल्कि तीसरे और चौथे क्रम के भावों में भी एक चर खोजने की अनुमति देते हैं।

उदाहरण के लिए: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. जब दाएँ पक्ष को एक चर वाले कारकों में विभाजित किया जाता है, तो उनमें से तीन होते हैं, अर्थात्, (x + 1), (x-3) और (x + 3)।

परिणामस्वरूप, यह स्पष्ट हो जाता है कि इस समीकरण के तीन मूल हैं: -3; -1; 3.

वर्गमूल निकालना

एक और मामला अधूरा समीकरणदूसरा क्रम अक्षरों की भाषा में इस प्रकार व्यक्त की गई अभिव्यक्ति है दाहिना भागघटकों ax 2 और c से बनाया गया है। यहां, चर का मान प्राप्त करने के लिए, मुक्त पद को दाईं ओर स्थानांतरित किया जाता है, और उसके बाद, समानता के दोनों भागों से, वर्गमूल. यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि इस मामले में आमतौर पर समीकरण की दो जड़ें होती हैं। एकमात्र अपवाद समानताएं हैं जिनमें शब्द सी बिल्कुल भी शामिल नहीं है, जहां चर शून्य के बराबर है, साथ ही अभिव्यक्ति के भिन्न रूप भी हैं जब दाहिना पक्ष नकारात्मक हो जाता है। बाद के मामले में, कोई समाधान नहीं है, क्योंकि उपरोक्त क्रियाएं जड़ों के साथ नहीं की जा सकतीं। इस प्रकार के द्विघात समीकरणों के समाधान के उदाहरणों पर विचार किया जाना चाहिए।

इस स्थिति में, समीकरण की जड़ें संख्याएँ -4 और 4 होंगी।

भूमि के क्षेत्रफल की गणना

इस प्रकार की गणना की आवश्यकता प्राचीन काल में दिखाई दी, क्योंकि उन दूर के समय में गणित का विकास काफी हद तक भूमि भूखंडों के क्षेत्रों और परिधि को सबसे बड़ी सटीकता के साथ निर्धारित करने की आवश्यकता के कारण था।

हमें इस प्रकार की समस्याओं के आधार पर संकलित द्विघात समीकरणों के समाधान वाले उदाहरणों पर भी विचार करना चाहिए।

तो, मान लीजिए कि जमीन का एक आयताकार टुकड़ा है, जिसकी लंबाई चौड़ाई से 16 मीटर अधिक है। आपको साइट की लंबाई, चौड़ाई और परिधि ज्ञात करनी चाहिए, यदि यह ज्ञात हो कि इसका क्षेत्रफल 612 मीटर 2 है।

काम पर उतरते हुए, सबसे पहले हम आवश्यक समीकरण बनाएंगे। आइए अनुभाग की चौड़ाई को x के रूप में निरूपित करें, तो इसकी लंबाई (x + 16) होगी। जो लिखा गया है उससे यह पता चलता है कि क्षेत्रफल अभिव्यक्ति x (x + 16) द्वारा निर्धारित किया जाता है, जो कि हमारी समस्या की स्थिति के अनुसार 612 है। इसका मतलब है कि x (x + 16) = 612।

संपूर्ण द्विघात समीकरणों का समाधान, और यह अभिव्यक्ति बिल्कुल वैसी ही है, उसी तरह से नहीं किया जा सकता है। क्यों? हालाँकि इसके बाएँ भाग में अभी भी दो गुणनखंड हैं, उनका गुणनफल बिल्कुल भी 0 के बराबर नहीं है, इसलिए यहाँ अन्य विधियों का उपयोग किया जाता है।

विभेदक

सबसे पहले, हम आवश्यक परिवर्तन करते हैं उपस्थितियह अभिव्यक्ति इस तरह दिखेगी: x 2 + 16x - 612 = 0. इसका मतलब है कि हमें पहले निर्दिष्ट मानक के अनुरूप रूप में एक अभिव्यक्ति प्राप्त हुई है, जहां a=1, b=16, c=-612.

यह विवेचक के माध्यम से द्विघात समीकरणों को हल करने का एक उदाहरण हो सकता है। यहां आवश्यक गणनाएँ योजना के अनुसार की गई हैं: D = b 2 - 4ac। यह सहायक मान न केवल दूसरे क्रम के समीकरण में वांछित मान ढूंढना संभव बनाता है, बल्कि संख्या भी निर्धारित करता है विकल्प. मामले D>0 में, उनमें से दो हैं; D=0 के लिए एक जड़ है। मामले में डी<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

जड़ों और उनके सूत्र के बारे में

हमारे मामले में, विवेचक है: 256 - 4(-612) = 2704। यह इंगित करता है कि हमारी समस्या का उत्तर है। यदि आप जानते हैं, तो नीचे दिए गए सूत्र का उपयोग करके द्विघात समीकरणों का समाधान जारी रखना चाहिए। यह आपको जड़ों की गणना करने की अनुमति देता है।

इसका मतलब है कि प्रस्तुत मामले में: x 1 =18, x 2 =-34. इस दुविधा में दूसरा विकल्प कोई समाधान नहीं हो सकता, क्योंकि भूमि भूखंड का आकार नकारात्मक मानों में नहीं मापा जा सकता है, जिसका अर्थ है कि x (अर्थात भूखंड की चौड़ाई) 18 मीटर है। यहां से हम लंबाई की गणना करते हैं: 18 + 16 = 34, और परिधि 2 (34 + 18) = 104 (एम 2)।

उदाहरण और कार्य

हम द्विघात समीकरणों का अध्ययन जारी रखते हैं। उनमें से कई के उदाहरण और विस्तृत समाधान नीचे दिए जाएंगे।

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

आइए सब कुछ समानता के बाईं ओर स्थानांतरित करें, एक परिवर्तन करें, अर्थात, हमें समीकरण का रूप मिलता है, जिसे आमतौर पर मानक एक कहा जाता है, और इसे शून्य के बराबर करते हैं।

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

समान जोड़ने के बाद, हम विभेदक निर्धारित करते हैं: डी \u003d 49 - 48 \u003d 1. तो हमारे समीकरण की दो जड़ें होंगी। हम उनकी गणना उपरोक्त सूत्र के अनुसार करते हैं, जिसका अर्थ है कि उनमें से पहला 4/3 के बराबर होगा, और दूसरा 1 के बराबर होगा।

2) अब हम एक अलग तरह की पहेलियां उजागर करेंगे।

आइए जानें कि क्या यहां मूल x 2 - 4x + 5 = 1 हैं? विस्तृत उत्तर प्राप्त करने के लिए, हम बहुपद को संबंधित परिचित रूप में लाते हैं और विवेचक की गणना करते हैं। इस उदाहरण में द्विघात समीकरण को हल करना आवश्यक नहीं है, क्योंकि समस्या का सार इसमें बिल्कुल भी नहीं है। इस मामले में, D = 16 - 20 = -4, जिसका अर्थ है कि वास्तव में कोई जड़ें नहीं हैं।

विएटा का प्रमेय

द्विघातीय समीकरणजब विवेचक के मान से वर्गमूल निकाला जाता है तो उपरोक्त सूत्रों और विवेचक का उपयोग करके हल करना सुविधाजनक होता है। लेकिन ऐसा हमेशा नहीं होता. हालाँकि, इस मामले में चर के मान प्राप्त करने के कई तरीके हैं। उदाहरण: विएटा के प्रमेय का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करना। इसका नाम एक ऐसे व्यक्ति के नाम पर रखा गया है जो 16वीं सदी के फ्रांस में रहता था और अपनी गणितीय प्रतिभा और अदालत में संबंधों के कारण उसका करियर शानदार था। लेख में उनका चित्र देखा जा सकता है।

प्रसिद्ध फ्रांसीसी ने जिस पैटर्न पर ध्यान दिया वह इस प्रकार था। उन्होंने साबित किया कि समीकरण के मूलों का योग -p=b/a के बराबर है, और उनका उत्पाद q=c/a से मेल खाता है।

आइए अब विशिष्ट कार्यों पर नजर डालें।

3x2 + 21x - 54 = 0

सरलता के लिए, आइए अभिव्यक्ति को रूपांतरित करें:

x 2 + 7x - 18 = 0

विएटा प्रमेय का उपयोग करते हुए, यह हमें निम्नलिखित देगा: जड़ों का योग -7 है, और उनका उत्पाद -18 है। यहां से हमें पता चलता है कि समीकरण की जड़ें संख्याएं -9 और 2 हैं। जांच करने के बाद, हम यह सुनिश्चित करेंगे कि चर के ये मान वास्तव में अभिव्यक्ति में फिट बैठते हैं।

परवलय का ग्राफ और समीकरण

द्विघात फलन और द्विघात समीकरण की अवधारणाएँ आपस में घनिष्ठ रूप से संबंधित हैं। इसके उदाहरण पहले ही दिये जा चुके हैं। आइए अब कुछ गणितीय पहेलियों को थोड़ा और विस्तार से देखें। वर्णित प्रकार के किसी भी समीकरण को दृश्य रूप से दर्शाया जा सकता है। ग्राफ़ के रूप में खींची गई ऐसी निर्भरता को परवलय कहा जाता है। इसके विभिन्न प्रकार नीचे चित्र में दिखाए गए हैं।

किसी भी परवलय का एक शीर्ष होता है, अर्थात एक बिंदु जहाँ से उसकी शाखाएँ निकलती हैं। यदि a>0, तो वे अनंत तक ऊपर जाते हैं, और जब a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

फ़ंक्शंस का दृश्य निरूपण द्विघात समीकरणों सहित किसी भी समीकरण को हल करने में मदद करता है। इस विधि को ग्राफ़िक कहा जाता है. और x वेरिएबल का मान उन बिंदुओं पर भुज निर्देशांक है जहां ग्राफ़ रेखा 0x के साथ प्रतिच्छेद करती है। शीर्ष के निर्देशांक दिए गए सूत्र x 0 = -b / 2a द्वारा पाए जा सकते हैं। और, परिणामी मान को फ़ंक्शन के मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करके, आप y 0 प्राप्त कर सकते हैं, अर्थात, y-अक्ष से संबंधित परवलय शीर्ष का दूसरा निर्देशांक।

भुज अक्ष के साथ परवलय की शाखाओं का प्रतिच्छेदन

द्विघात समीकरणों के समाधान के बहुत सारे उदाहरण हैं, लेकिन सामान्य पैटर्न भी हैं। आइए उन पर विचार करें। यह स्पष्ट है कि a>0 के लिए 0x अक्ष के साथ ग्राफ़ का प्रतिच्छेदन केवल तभी संभव है जब y 0 नकारात्मक मान लेता है। और एक के लिए<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. अन्यथा डी<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

परवलय के ग्राफ से आप मूल भी निर्धारित कर सकते हैं। विपरीत भी सही है। अर्थात्, यदि किसी द्विघात फलन का दृश्य प्रतिनिधित्व प्राप्त करना आसान नहीं है, तो आप अभिव्यक्ति के दाहिने पक्ष को 0 के बराबर कर सकते हैं और परिणामी समीकरण को हल कर सकते हैं। और 0x अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदुओं को जानने से, प्लॉट करना आसान हो जाता है।

इतिहास से

पुराने दिनों में वर्ग चर वाले समीकरणों की सहायता से न केवल गणितीय गणनाएँ की जाती थीं और ज्यामितीय आकृतियों का क्षेत्रफल भी निर्धारित किया जाता था। पूर्वजों को भौतिकी और खगोल विज्ञान के क्षेत्र में भव्य खोजों के साथ-साथ ज्योतिषीय पूर्वानुमान लगाने के लिए ऐसी गणनाओं की आवश्यकता थी।

जैसा कि आधुनिक वैज्ञानिकों का सुझाव है, बेबीलोन के निवासी द्विघात समीकरणों को हल करने वाले पहले लोगों में से थे। यह हमारे युग के आगमन से चार शताब्दी पहले हुआ था। निःसंदेह, उनकी गणनाएँ वर्तमान में स्वीकृत गणनाओं से मौलिक रूप से भिन्न थीं और बहुत अधिक आदिम निकलीं। उदाहरण के लिए, मेसोपोटामिया के गणितज्ञों को ऋणात्मक संख्याओं के अस्तित्व के बारे में कोई जानकारी नहीं थी। वे हमारे समय के किसी भी छात्र को ज्ञात अन्य सूक्ष्मताओं से भी अपरिचित थे।

शायद बेबीलोन के वैज्ञानिकों से भी पहले, भारत के ऋषि बौधायमा ने द्विघात समीकरणों का समाधान निकाला था। यह ईसा के युग के आगमन से लगभग आठ शताब्दी पहले हुआ था। सच है, दूसरे क्रम के समीकरण, हल करने के जो तरीके उन्होंने दिए, वे सबसे सरल थे। उनके अलावा, पुराने दिनों में चीनी गणितज्ञ भी इसी तरह के सवालों में रुचि रखते थे। यूरोप में, द्विघात समीकरणों को 13वीं शताब्दी की शुरुआत में ही हल किया जाने लगा, लेकिन बाद में न्यूटन, डेसकार्टेस और कई अन्य जैसे महान वैज्ञानिकों ने उन्हें अपने काम में इस्तेमाल किया।

कई गैर-सरल सूत्रों के कारण यह विषय पहली बार में जटिल लग सकता है। न केवल द्विघात समीकरणों में लंबी प्रविष्टियाँ होती हैं, बल्कि विवेचक के माध्यम से जड़ें भी पाई जाती हैं। कुल तीन नए फॉर्मूले हैं. याद रखना बहुत आसान नहीं है. ऐसे समीकरणों के लगातार समाधान के बाद ही यह संभव है। फिर सारे सूत्र अपने आप याद हो जायेंगे।

द्विघात समीकरण का सामान्य दृश्य

यहां उनका स्पष्ट अंकन प्रस्तावित है, जब सबसे बड़ी डिग्री पहले लिखी जाती है, और फिर - अवरोही क्रम में। अक्सर ऐसी स्थितियाँ होती हैं जब शर्तें अलग-अलग हो जाती हैं। फिर चर की डिग्री के अवरोही क्रम में समीकरण को फिर से लिखना बेहतर है।

आइए हम संकेतन का परिचय दें। उन्हें नीचे दी गई तालिका में प्रस्तुत किया गया है।

यदि हम इन नोटेशनों को स्वीकार करते हैं, तो सभी द्विघात समीकरण निम्नलिखित नोटेशन में कम हो जाते हैं।

इसके अलावा, गुणांक a ≠ 0. इस सूत्र को संख्या एक से निरूपित करें।

जब समीकरण दिया जाता है तो यह स्पष्ट नहीं होता कि उत्तर में कितने मूल होंगे। क्योंकि तीन विकल्पों में से एक हमेशा संभव है:

• समाधान की दो जड़ें होंगी;
• उत्तर एक अंक होगा;
• समीकरण की कोई जड़ नहीं है।

और जब तक निर्णय अंत तक नहीं लाया जाता है, तब तक यह समझना मुश्किल है कि किसी विशेष मामले में कौन सा विकल्प समाप्त हो जाएगा।

द्विघात समीकरणों के अभिलेखों के प्रकार

कार्यों में अलग-अलग प्रविष्टियाँ हो सकती हैं। वे हमेशा द्विघात समीकरण के सामान्य सूत्र की तरह नहीं दिखेंगे। कभी-कभी इसमें कुछ शर्तों का अभाव होगा. ऊपर जो लिखा गया वह पूरा समीकरण है। यदि आप इसमें दूसरा या तीसरा पद हटा दें तो आपको कुछ और मिलता है। इन अभिलेखों को द्विघात समीकरण भी कहा जाता है, जो केवल अधूरे हैं।

इसके अलावा, केवल वे पद जिनके लिए गुणांक "बी" और "सी" गायब हो सकते हैं। संख्या "ए" किसी भी परिस्थिति में शून्य के बराबर नहीं हो सकती। क्योंकि इस स्थिति में सूत्र एक रैखिक समीकरण में बदल जाता है। समीकरणों के अपूर्ण रूप के सूत्र इस प्रकार होंगे:

तो, केवल दो प्रकार हैं, पूर्ण के अलावा, अपूर्ण द्विघात समीकरण भी हैं। मान लीजिए कि पहला सूत्र नंबर दो है, और दूसरा नंबर तीन है।

विभेदक और उसके मूल्य पर जड़ों की संख्या की निर्भरता

समीकरण के मूलों की गणना करने के लिए यह संख्या ज्ञात होनी चाहिए। इसकी गणना हमेशा की जा सकती है, चाहे द्विघात समीकरण का सूत्र कोई भी हो। विवेचक की गणना करने के लिए, आपको नीचे लिखी समानता का उपयोग करने की आवश्यकता है, जिसमें संख्या चार होगी।

इस सूत्र में गुणांकों के मानों को प्रतिस्थापित करने के बाद, आप विभिन्न चिह्नों वाली संख्याएँ प्राप्त कर सकते हैं। यदि उत्तर हाँ है, तो समीकरण का उत्तर दो भिन्न मूल होंगे। ऋणात्मक संख्या के साथ, द्विघात समीकरण के मूल अनुपस्थित होंगे। यदि यह शून्य के बराबर है, तो उत्तर एक होगा।

पूर्ण द्विघात समीकरण कैसे हल किया जाता है?

दरअसल, इस मसले पर विचार शुरू हो चुका है. क्योंकि सबसे पहले आपको विवेचक को ढूंढना होगा। यह स्पष्ट हो जाने के बाद कि द्विघात समीकरण की जड़ें हैं, और उनकी संख्या ज्ञात है, आपको चर के लिए सूत्रों का उपयोग करने की आवश्यकता है। यदि दो जड़ें हैं, तो आपको ऐसा सूत्र लागू करने की आवश्यकता है।

चूँकि इसमें "±" चिन्ह है, इसलिए दो मान होंगे। वर्गमूल चिह्न के अंतर्गत अभिव्यक्ति विभेदक है। इसलिए, सूत्र को अलग तरीके से फिर से लिखा जा सकता है।

फॉर्मूला पांच. उसी रिकॉर्ड से यह देखा जा सकता है कि यदि विवेचक शून्य है, तो दोनों जड़ें समान मान लेंगी।

यदि द्विघात समीकरणों का समाधान अभी तक नहीं निकाला गया है, तो विभेदक और चर सूत्रों को लागू करने से पहले सभी गुणांकों के मूल्यों को लिखना बेहतर है। बाद में यह क्षण कठिनाइयों का कारण नहीं बनेगा। लेकिन शुरुआत में ही भ्रम की स्थिति है.

अपूर्ण द्विघात समीकरण को कैसे हल किया जाता है?

यहां सब कुछ बहुत सरल है. यहां तक ​​कि अतिरिक्त फॉर्मूलों की भी जरूरत नहीं है. और आपको उन लोगों की आवश्यकता नहीं होगी जो पहले से ही विभेदक और अज्ञात के लिए लिखे गए हैं।

सबसे पहले, अपूर्ण समीकरण संख्या दो पर विचार करें। इस समानता में, अज्ञात मान को कोष्ठक से बाहर निकालना और रैखिक समीकरण को हल करना माना जाता है, जो कोष्ठक में रहेगा। उत्तर की दो जड़ें होंगी. पहला आवश्यक रूप से शून्य के बराबर है, क्योंकि चर में ही एक कारक होता है। दूसरा एक रैखिक समीकरण को हल करके प्राप्त किया जाता है।

संख्या तीन पर अपूर्ण समीकरण को समीकरण के बाईं ओर से दाईं ओर स्थानांतरित करके हल किया जाता है। फिर आपको अज्ञात के सामने गुणांक से विभाजित करने की आवश्यकता है। यह केवल वर्गमूल निकालने के लिए ही रहता है और इसे विपरीत चिह्नों के साथ दो बार लिखना न भूलें।

निम्नलिखित कुछ क्रियाएं हैं जो आपको यह सीखने में मदद करती हैं कि सभी प्रकार की समानताओं को कैसे हल किया जाए जो द्विघात समीकरणों में बदल जाती हैं। वे छात्र को असावधानी के कारण होने वाली गलतियों से बचने में मदद करेंगे। व्यापक विषय "क्वाड्रिक समीकरण (ग्रेड 8)" का अध्ययन करते समय ये कमियाँ खराब ग्रेड का कारण हैं। इसके बाद, इन क्रियाओं को लगातार करने की आवश्यकता नहीं होगी। क्योंकि एक स्थिर आदत होगी.

• सबसे पहले आपको समीकरण को मानक रूप में लिखना होगा। अर्थात्, पहले चर की सबसे बड़ी घात वाला पद, और फिर - बिना घात वाला और अंतिम - केवल एक संख्या।

• यदि गुणांक "ए" से पहले एक माइनस दिखाई देता है, तो यह द्विघात समीकरणों का अध्ययन करने वाले शुरुआती के लिए काम को जटिल बना सकता है। इससे छुटकारा पाना ही बेहतर है. इस प्रयोजन के लिए, सभी समानता को "-1" से गुणा किया जाना चाहिए। इसका मतलब यह है कि सभी पद विपरीत दिशा में संकेत बदल देंगे।

• उसी तरह, भिन्नों से छुटकारा पाने की अनुशंसा की जाती है। बस समीकरण को उचित कारक से गुणा करें ताकि हर रद्द हो जाए।

उदाहरण

निम्नलिखित द्विघात समीकरणों को हल करना आवश्यक है:

x 2 - 7x = 0;

15 - 2x - x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12एक्स + एक्स 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

पहला समीकरण: x 2 - 7x \u003d 0. यह अधूरा है, इसलिए इसे सूत्र संख्या दो में वर्णित अनुसार हल किया गया है।

ब्रैकेटिंग के बाद, यह पता चलता है: x (x - 7) \u003d 0।

पहला मूल मान लेता है: x 1 \u003d 0. दूसरा रैखिक समीकरण से पाया जाएगा: x - 7 \u003d 0. यह देखना आसान है कि x 2 \u003d 7.

दूसरा समीकरण: 5x2 + 30 = 0. फिर अधूरा। केवल इसे तीसरे सूत्र के अनुसार हल किया गया है।

30 को समीकरण के दाईं ओर स्थानांतरित करने के बाद: 5x 2 = 30। अब आपको 5 से विभाजित करने की आवश्यकता है। यह पता चला है: x 2 = 6। उत्तर संख्याएँ होंगी: x 1 = √6, x 2 = - √6।

तीसरा समीकरण: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. इसके बाद, द्विघात समीकरणों का समाधान उन्हें एक मानक रूप में फिर से लिखने से शुरू होगा: - x 2 - 2x + 15 \u003d 0. अब दूसरी उपयोगी युक्ति का उपयोग करने और सब कुछ शून्य से एक से गुणा करने का समय है। यह x 2 + 2x - 15 \u003d 0 निकला। चौथे सूत्र के अनुसार, आपको विवेचक की गणना करने की आवश्यकता है: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64। यह एक सकारात्मक संख्या है। ऊपर जो कहा गया, उससे पता चलता है कि समीकरण की दो जड़ें हैं। उन्हें पांचवें सूत्र के अनुसार गणना करने की आवश्यकता है। इसके अनुसार, यह पता चलता है कि x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. फिर x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5.

चौथा समीकरण x 2 + 8 + 3x \u003d 0 इस प्रकार परिवर्तित होता है: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. इसका विवेचक इस मान के बराबर है: -23। चूँकि यह संख्या ऋणात्मक है, इस कार्य का उत्तर निम्नलिखित प्रविष्टि होगी: "कोई जड़ें नहीं हैं।"

पांचवें समीकरण 12x + x 2 + 36 = 0 को इस प्रकार फिर से लिखा जाना चाहिए: x 2 + 12x + 36 = 0. विवेचक के लिए सूत्र लागू करने के बाद, संख्या शून्य प्राप्त होती है। इसका मतलब है कि इसका एक मूल होगा, अर्थात्: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6।

छठे समीकरण (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) में परिवर्तन की आवश्यकता है, जिसमें यह तथ्य शामिल है कि आपको कोष्ठक खोलने से पहले समान पद लाने की आवश्यकता है। पहले के स्थान पर ऐसी अभिव्यक्ति होगी: x 2 + 2x + 1. समानता के बाद, यह प्रविष्टि दिखाई देगी: x 2 + 3x + 2. समान पदों की गणना के बाद, समीकरण फॉर्म लेगा: x 2 - x \u003d 0. यह अधूरा हो गया। इसके समान पहले से ही थोड़ा अधिक माना गया है। इसके मूल अंक 0 और 1 होंगे।

द्विघात समीकरण पर विचार करें:
(1) .
द्विघात समीकरण की जड़ें(1) सूत्रों द्वारा निर्धारित होते हैं:
; .
इन सूत्रों को इस प्रकार जोड़ा जा सकता है:
.
जब द्विघात समीकरण की जड़ें ज्ञात होती हैं, तो दूसरी डिग्री के बहुपद को कारकों (कारक) के उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है:
.

इसके अलावा, हम मानते हैं कि ये वास्तविक संख्याएँ हैं।
विचार करना द्विघात समीकरण का विभेदक:
.
यदि विवेचक सकारात्मक है, तो द्विघात समीकरण (1) के दो अलग-अलग वास्तविक मूल हैं:
; .
तब वर्ग त्रिपद के गुणनखंडन का रूप होता है:
.
यदि विवेचक शून्य है, तो द्विघात समीकरण (1) के दो गुणज (समान) वास्तविक मूल हैं:
.
गुणनखंडन:
.
यदि विवेचक ऋणात्मक है, तो द्विघात समीकरण (1) के दो जटिल संयुग्मी मूल हैं:
;
.
यहाँ काल्पनिक इकाई है, ;
और जड़ों के वास्तविक और काल्पनिक भाग हैं:
; .
तब

.

ग्राफिक व्याख्या

यदि हम फ़ंक्शन को ग्राफ़ करते हैं
,
जो एक परवलय है, तो अक्ष के साथ ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदु समीकरण की जड़ें होंगी
.
जब, ग्राफ भुज अक्ष (अक्ष) को दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है।
जब, ग्राफ़ एक बिंदु पर x-अक्ष को स्पर्श करता है।
जब, ग्राफ़ x-अक्ष को पार नहीं करता है।

नीचे ऐसे ग्राफ़ के उदाहरण दिए गए हैं।

द्विघात समीकरण से संबंधित उपयोगी सूत्र

(एफ.1) ;
(एफ.2) ;
(f.3) .

द्विघात समीकरण के मूलों के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति

हम परिवर्तन करते हैं और सूत्र (f.1) और (f.3) लागू करते हैं:




,
कहाँ
; .

तो, हमें दूसरी डिग्री के बहुपद का सूत्र इस रूप में मिला:
.
इससे पता चलता है कि समीकरण

पर प्रदर्शन किया गया
और ।
अर्थात्, और द्विघात समीकरण के मूल हैं
.

द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करने के उदाहरण

उदाहरण 1

(1.1) .

समाधान

.
हमारे समीकरण (1.1) से तुलना करने पर, हम गुणांकों के मान पाते हैं:
.
विभेदक ढूँढना:
.
चूँकि विवेचक सकारात्मक है, समीकरण के दो वास्तविक मूल हैं:
;
;
.

यहां से हम वर्ग त्रिपद का गुणनखंडों में अपघटन प्राप्त करते हैं:

.

फ़ंक्शन का ग्राफ़ y = 2 x 2 + 7 x + 3दो बिंदुओं पर x-अक्ष को पार करता है।

आइए फ़ंक्शन को प्लॉट करें
.
इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक परवलय है। यह x-अक्ष को दो बिंदुओं पर पार करता है:
और ।
ये बिंदु मूल समीकरण (1.1) की जड़ें हैं।

उत्तर

;
;
.

उदाहरण 2

द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए:
(2.1) .

समाधान

हम द्विघात समीकरण को सामान्य रूप में लिखते हैं:
.
मूल समीकरण (2.1) से तुलना करने पर, हम गुणांकों के मान पाते हैं:
.
विभेदक ढूँढना:
.
चूँकि विवेचक शून्य है, समीकरण के दो एकाधिक (समान) मूल हैं:
;
.

तब त्रिपद के गुणनखंडन का रूप होता है:
.

फ़ंक्शन का ग्राफ़ y = x 2 - 4 एक्स + 4एक बिंदु पर x-अक्ष को स्पर्श करता है।

आइए फ़ंक्शन को प्लॉट करें
.
इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक परवलय है। यह एक बिंदु पर x-अक्ष (अक्ष) को स्पर्श करता है:
.
यह बिंदु मूल समीकरण (2.1) का मूल है। चूँकि इस मूल का दो बार गुणनखंड किया गया है:
,
तो ऐसे मूल को एकाधिक कहा जाता है। अर्थात्, वे मानते हैं कि दो समान जड़ें हैं:
.

उत्तर

;
.

उदाहरण 3

द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए:
(3.1) .

समाधान

हम द्विघात समीकरण को सामान्य रूप में लिखते हैं:
(1) .
आइए मूल समीकरण (3.1) को फिर से लिखें:
.
(1) से तुलना करने पर, हम गुणांकों के मान पाते हैं:
.
विभेदक ढूँढना:
.
विभेदक नकारात्मक है, . इसलिए, कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं।

आप जटिल जड़ें पा सकते हैं:
;
;

आइए फ़ंक्शन को प्लॉट करें
.
इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक परवलय है। यह भुज (अक्ष) को पार नहीं करता है। इसलिए, कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं।

उत्तर

कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं. जटिल जड़ें:
;
;
.

मुझे आशा है कि इस लेख का अध्ययन करने के बाद, आप सीखेंगे कि पूर्ण द्विघात समीकरण की जड़ें कैसे खोजें।

विवेचक की सहायता से केवल पूर्ण द्विघात समीकरण ही हल किए जाते हैं; अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए अन्य विधियों का उपयोग किया जाता है, जो आपको "अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करना" लेख में मिलेगा।

किस द्विघात समीकरण को पूर्ण कहा जाता है? यह ax 2 + b x + c = 0 के रूप के समीकरण, जहां गुणांक ए, बी और सी शून्य के बराबर नहीं हैं। इसलिए, संपूर्ण द्विघात समीकरण को हल करने के लिए, आपको विवेचक डी की गणना करने की आवश्यकता है।

डी = बी 2 - 4एसी।

विवेचक के पास क्या मूल्य है, इसके आधार पर हम उत्तर लिखेंगे।

यदि विवेचक एक ऋणात्मक संख्या है (D< 0),то корней нет.

यदि विवेचक शून्य है, तो x \u003d (-b) / 2a। जब विवेचक एक धनात्मक संख्या (D > 0) हो,

तब x 1 = (-b - √D)/2a, और x 2 = (-b + √D)/2a।

उदाहरण के लिए। प्रश्न हल करें एक्स 2– 4x + 4= 0.

डी = 4 2 - 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

उत्तर: 2.

समीकरण 2 हल करें एक्स 2 + एक्स + 3 = 0.

डी = 1 2 - 4 2 3 = - 23

उत्तर: कोई जड़ नहीं.

समीकरण 2 हल करें एक्स 2 + 5x - 7 = 0.

डी = 5 2 - 4 2 (-7) = 81

x 1 = (-5 - √81) / (2 2) = (-5 - 9) / 4 = - 3.5

x 2 = (-5 + √81) / (2 2) = (-5 + 9) / 4 = 1

उत्तर:-3.5; 1.

तो आइए चित्र 1 में दी गई योजना के अनुसार पूर्ण द्विघात समीकरणों के समाधान की कल्पना करें।

इन सूत्रों का उपयोग किसी भी पूर्ण द्विघात समीकरण को हल करने के लिए किया जा सकता है। आपको बस सावधान रहने की जरूरत है समीकरण को मानक रूप के बहुपद के रूप में लिखा गया था

ए एक्स 2 + बीएक्स + सी,अन्यथा आप गलती कर सकते हैं. उदाहरण के लिए, समीकरण x + 3 + 2x 2 = 0 लिखते समय, आप गलती से यह तय कर सकते हैं कि

ए = 1, बी = 3 और सी = 2. फिर

डी = 3 2 - 4 1 2 = 1 और फिर समीकरण के दो मूल हैं। और ये सच नहीं है. (ऊपर उदाहरण 2 समाधान देखें)।

इसलिए, यदि समीकरण को मानक रूप के बहुपद के रूप में नहीं लिखा जाता है, तो पहले पूर्ण द्विघात समीकरण को मानक रूप के बहुपद के रूप में लिखा जाना चाहिए (पहले स्थान पर सबसे बड़े घातांक वाला एकपदी होना चाहिए, अर्थात) ए एक्स 2 , फिर कम के साथ – बीएक्स, और फिर मुक्त अवधि साथ।

उपरोक्त द्विघात समीकरण और दूसरे पद के लिए सम गुणांक वाले द्विघात समीकरण को हल करते समय, अन्य सूत्रों का भी उपयोग किया जा सकता है। आइये इन सूत्रों से परिचित होते हैं। यदि दूसरे पद के साथ पूर्ण द्विघात समीकरण में गुणांक सम (बी = 2k) है, तो चित्र 2 के आरेख में दिखाए गए सूत्रों का उपयोग करके समीकरण को हल किया जा सकता है।

यदि गुणांक पर हो तो पूर्ण द्विघात समीकरण को घटा हुआ कहा जाता है एक्स 2 एकता के बराबर होता है और समीकरण रूप लेता है एक्स 2 + पीएक्स + क्यू = 0. ऐसे समीकरण को हल करने के लिए दिया जा सकता है, या समीकरण के सभी गुणांकों को गुणांक से विभाजित करके प्राप्त किया जा सकता है एपर खड़ा है एक्स 2 .

चित्र 3 कम किए गए वर्ग के समाधान का एक आरेख दिखाता है
समीकरण. इस आलेख में चर्चा किए गए सूत्रों के अनुप्रयोग के उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण। प्रश्न हल करें

3एक्स 2 + 6x - 6 = 0.

आइए चित्र 1 में दिखाए गए सूत्रों का उपयोग करके इस समीकरण को हल करें।

डी = 6 2 - 4 3 (- 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6 √ 3) / (2 3) = (6 (-1- √ (3))) / 6 = -1 - √ 3

x 2 = (-6 + 6 √ 3) / (2 3) = (6 (-1 + √ (3))) / 6 = -1 + √ 3

उत्तर: -1 - √3; –1 + √3

आप देख सकते हैं कि इस समीकरण में x पर गुणांक एक सम संख्या है, अर्थात b = 6 या b = 2k, जहाँ से k = 3. तो आइए आकृति D 1 = 3 2 - 3 (- 6) = 9 + 18 = 27 के आरेख में दिखाए गए सूत्रों का उपयोग करके समीकरण को हल करने का प्रयास करें।

√(डी 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3) / 3 = (3 (-1 - √ (3))) / 3 = - 1 - √3

x 2 = (-3 + 3√3) / 3 = (3 (-1 + √ (3))) / 3 = - 1 + √3

उत्तर: -1 - √3; –1 + √3. यह देखते हुए कि इस द्विघात समीकरण में सभी गुणांक 3 से विभाज्य हैं और विभाजित करने पर, हमें लघु द्विघात समीकरण x 2 + 2x - 2 = 0 प्राप्त होता है। हम इस समीकरण को लघु द्विघात समीकरण के सूत्रों का उपयोग करके हल करते हैं।
समीकरण चित्र 3.

डी 2 = 2 2 - 4 (- 2) = 4 + 8 = 12

√(डी 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3) / 2 = (2 (-1 - √ (3))) / 2 = - 1 - √3

x 2 = (-2 + 2 √ 3) / 2 = (2 (-1 + √ (3))) / 2 = - 1 + √ 3

उत्तर: -1 - √3; –1 + √3.

जैसा कि आप देख सकते हैं, विभिन्न सूत्रों का उपयोग करके इस समीकरण को हल करने पर हमें एक ही उत्तर मिला। इसलिए, चित्र 1 के आरेख में दिखाए गए सूत्रों में अच्छी तरह से महारत हासिल करने के बाद, आप हमेशा किसी भी पूर्ण द्विघात समीकरण को हल कर सकते हैं।

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