एक वर्ग ट्रिनोमियल कैसे विघटित होता है। वर्ग ट्रिनोमियल का गुणनखंडन

उत्पाद प्राप्त करने के लिए बहुपदों का विस्तार करना कभी-कभी भ्रमित करने वाला लगता है। लेकिन अगर आप प्रक्रिया को चरण दर चरण समझ लें तो यह इतना मुश्किल नहीं है। लेख में बताया गया है कि एक वर्ग ट्रिनोमियल को कैसे गुणनखंडित किया जाए।

बहुत से लोग यह नहीं समझ पाते हैं कि वर्ग त्रिपद का गुणनखंडन कैसे किया जाता है और ऐसा क्यों किया जाता है। पहले तो ऐसा लग सकता है कि यह एक बेकार व्यायाम है। लेकिन गणित में ऐसा कुछ भी नहीं किया जाता है। अभिव्यक्ति को सरल बनाने और गणना की सुविधा के लिए रूपांतरण आवश्यक है।

एक बहुपद का रूप है - ax² + bx + c, वर्ग त्रिपद कहा जाता है।शब्द "ए" नकारात्मक या सकारात्मक होना चाहिए। व्यवहार में, इस अभिव्यक्ति को द्विघात समीकरण कहा जाता है। इसलिए, कभी-कभी वे अलग तरह से कहते हैं: कैसे विघटित करें द्विघात समीकरण.

दिलचस्प!एक वर्ग बहुपद को इसकी सबसे बड़ी डिग्री - एक वर्ग के कारण कहा जाता है। और एक त्रिपद - 3 घटक पदों के कारण।

कुछ अन्य प्रकार के बहुपद:

• रैखिक द्विपद (6x+8);
• घन चतुर्भुज (x³+4x²-2x+9)।

वर्ग ट्रिनोमियल का गुणनखंडन

सबसे पहले, अभिव्यक्ति शून्य के बराबर है, फिर आपको जड़ों x1 और x2 के मूल्यों को खोजने की जरूरत है। कोई जड़ नहीं हो सकती, एक या दो जड़ें हो सकती हैं। जड़ों की उपस्थिति विवेचक द्वारा निर्धारित की जाती है। इसका सूत्र कंठस्थ होना चाहिए: D=b²-4ac।

यदि D का परिणाम ऋणात्मक है, तो कोई मूल नहीं है। यदि सकारात्मक है, तो दो जड़ें हैं। यदि परिणाम शून्य है, तो मूल एक है। जड़ों की गणना भी सूत्र द्वारा की जाती है।

यदि विवेचक की गणना शून्य में आती है, तो आप किसी भी सूत्र को लागू कर सकते हैं। व्यवहार में, सूत्र केवल संक्षिप्त रूप में है: -b / 2a।

के लिए सूत्र विभिन्न मूल्यविवेचक भिन्न हैं।

यदि डी सकारात्मक है:

यदि डी शून्य है:

ऑनलाइन कैलकुलेटर

इंटरनेट है ऑनलाइन कैलकुलेटर. इसका उपयोग कारक बनाने के लिए किया जा सकता है। कुछ संसाधन चरण दर चरण समाधान देखने का अवसर प्रदान करते हैं। ऐसी सेवाएं विषय को बेहतर ढंग से समझने में मदद करती हैं, लेकिन आपको अच्छी तरह से समझने की कोशिश करने की जरूरत है।

उपयोगी वीडियो: वर्ग त्रिपद का गुणनखण्ड करना

उदाहरण

हम सुझाव देते हैं कि एक द्विघात समीकरण के गुणनखंडन के सरल उदाहरण देखें।

उदाहरण 1

यहाँ यह स्पष्ट रूप से दिखाया गया है कि परिणाम दो x होगा, क्योंकि D धनात्मक है। उन्हें सूत्र में प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है। यदि मूल ऋणात्मक हैं, तो सूत्र में चिह्न उलट दिया जाता है।

हम वर्ग त्रिपद का गुणनखंडन करने का सूत्र जानते हैं: a(x-x1)(x-x2)। हम मानों को कोष्ठक में रखते हैं: (x+3)(x+2/3)। घातांक में पद से पहले कोई संख्या नहीं है। इसका मतलब है कि एक इकाई है, इसे कम किया जाता है।

उदाहरण 2

यह उदाहरण स्पष्ट रूप से दिखाता है कि एक रूट वाले समीकरण को कैसे हल किया जाए।

परिणामी मान को प्रतिस्थापित करें:

उदाहरण 3

दिया गया: 5x²+3x+7

सबसे पहले, हम विवेचक की गणना करते हैं, जैसा कि पिछले मामलों में है।

डी=9-4*5*7=9-140= -131।

विवेचक नकारात्मक है, जिसका अर्थ है कि कोई जड़ नहीं है।

परिणाम प्राप्त करने के बाद, यह कोष्ठक खोलने और परिणाम की जाँच करने के लायक है। मूल ट्रिनोमियल दिखाई देना चाहिए।

दूसरा तरीका

कुछ लोग कभी भी विवेचक से मित्रता नहीं कर पाए। वर्ग त्रिपद का गुणनखंड करने का एक और तरीका है। सुविधा के लिए, विधि को एक उदाहरण में दिखाया गया है।

दिया गया है: x²+3x-10

हम जानते हैं कि हमें 2 कोष्ठकों के साथ समाप्त होना चाहिए: (_)(_)। जब अभिव्यक्ति इस तरह दिखती है: x² + bx + c, हम x को प्रत्येक कोष्ठक की शुरुआत में रखते हैं: (x_) (x_)। शेष दो संख्याएं उत्पाद हैं जो इस मामले में "सी", यानी -10 देती हैं। यह पता लगाने के लिए कि ये संख्याएँ क्या हैं, आप केवल चयन पद्धति का उपयोग कर सकते हैं। प्रतिस्थापित संख्याओं को शेष पद से मेल खाना चाहिए।

उदाहरण के लिए, गुणन निम्नलिखित संख्याएँदेता है -10:

• -1, 10;
• -10, 1;
• -5, 2;
• -2, 5.

1. (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10। नहीं।
2. (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10। नहीं।
3. (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10। नहीं।
4. (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. फिट बैठता है।

तो, एक्सप्रेशन का परिवर्तन x2+3x-10 इस तरह दिखता है: (x-2)(x+5).

महत्वपूर्ण!संकेतों को भ्रमित न करने के लिए आपको सावधान रहना चाहिए।

एक जटिल ट्रिनोमियल का अपघटन

यदि "ए" एक से बड़ा है, तो कठिनाइयाँ शुरू हो जाती हैं। लेकिन सब कुछ उतना मुश्किल नहीं है जितना लगता है।

गुणनखंड करने के लिए, किसी को पहले यह देखना चाहिए कि क्या किसी चीज़ का गुणनखंड करना संभव है।

उदाहरण के लिए, दिया गया व्यंजक: 3x²+9x-30। यहाँ संख्या 3 कोष्ठक से निकाली गई है:

3(x²+3x-10). परिणाम पहले से ही ज्ञात ट्रिनोमियल है। उत्तर ऐसा दिखता है: 3(x-2)(x+5)

अगर चुकता शब्द ऋणात्मक है तो कैसे विघटित होगा? इस स्थिति में, संख्या -1 को कोष्ठक से बाहर कर दिया जाता है। उदाहरण के लिए: -x²-10x-8। अभिव्यक्ति तब इस तरह दिखेगी:

योजना पिछले वाले से थोड़ी अलग है। कुछ ही नई चीजें हैं। मान लीजिए कि अभिव्यक्ति दी गई है: 2x²+7x+3। उत्तर भी 2 कोष्ठकों में लिखा गया है, जिसे (_) (_) में भरना है। दूसरे कोष्ठक में X लिखा है, और पहले में क्या बचा है। ऐसा दिखता है: (2x_)(x_). अन्यथा, पिछली योजना दोहराई जाती है।

नंबर 3 नंबर देता है:

• -1, -3;
• -3, -1;
• 3, 1;
• 1, 3.

हम दी गई संख्याओं को प्रतिस्थापित करके समीकरणों को हल करते हैं। आखिरी विकल्प फिट बैठता है। तो अभिव्यक्ति का परिवर्तन 2x²+7x+3 इस तरह दिखता है: (2x+1)(x+3).

अन्य मामले

एक अभिव्यक्ति को बदलना हमेशा संभव नहीं होता है। दूसरी विधि में, समीकरण के हल की आवश्यकता नहीं है। लेकिन शर्तों को उत्पाद में बदलने की संभावना केवल विवेचक के माध्यम से जांची जाती है।

यह द्विघात समीकरणों को हल करने का अभ्यास करने योग्य है ताकि सूत्रों का उपयोग करते समय कोई कठिनाई न हो।

उपयोगी वीडियो: त्रिपद का गुणनखंडन

निष्कर्ष

आप इसे किसी भी तरह से इस्तेमाल कर सकते हैं। लेकिन दोनों को स्वचालितता के लिए काम करना बेहतर है। इसके अलावा, जो लोग अपने जीवन को गणित से जोड़ने जा रहे हैं, उन्हें यह सीखने की जरूरत है कि कैसे द्विघात समीकरणों को अच्छी तरह से हल किया जाए और बहुपदों को कारकों में विघटित किया जाए। निम्नलिखित सभी गणितीय विषय इसी पर निर्मित हैं।

वर्ग ट्रिनोमियल का गुणनखंडनसमस्या C3 या पैरामीटर C5 के साथ समस्या से असमानताओं को हल करते समय उपयोगी हो सकता है। इसके अलावा, यदि आप वीटा के प्रमेय को जानते हैं तो कई बी13 शब्द समस्याएं बहुत तेजी से हल हो जाएंगी।

यह प्रमेय, निश्चित रूप से, 8 वीं कक्षा के दृष्टिकोण से माना जा सकता है, जिसमें यह पहली बार उत्तीर्ण हुआ है। लेकिन हमारा काम परीक्षा के लिए अच्छी तरह से तैयारी करना है और यह सीखना है कि परीक्षा के कार्यों को यथासंभव कुशलता से कैसे हल किया जाए। इसलिए, इस पाठ में, दृष्टिकोण स्कूल वाले से थोड़ा अलग है।

वीटा के प्रमेय के अनुसार समीकरण की जड़ों का सूत्रजानिए (या कम से कम देखा है) कई:

$$x_1+x_2 = -\frac(ख)(ए), \quad x_1 x_2 = \frac(सी)(ए),$$

कहा पे a, b तथा c वर्ग ट्रिनोमियल के गुणांक हैं ax^2+bx+c ।

प्रमेय को आसानी से उपयोग करने का तरीका जानने के लिए, आइए समझें कि यह कहाँ से आता है (इस तरह याद रखना वास्तव में आसान होगा)।

आइए समीकरण `ax^2+ bx+ c = 0` है। आगे की सुविधा के लिए, हम इसे a से विभाजित करते हैं और x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = 0 प्राप्त करते हैं। ऐसा समीकरण एक कम द्विघात समीकरण कहा जाता है।

महत्वपूर्ण पाठ बिंदु: जड़ों वाले किसी भी वर्ग बहुपद को कोष्ठक में विघटित किया जा सकता है।मान लीजिए कि हमारा प्रतिनिधित्व x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = (x + k)(x+l) के रूप में किया जा सकता है, जहां k और l - कुछ स्थिरांक।

आइए देखें कि कोष्ठक कैसे खुलते हैं:

$$(x + k)(x+l) = x^2 + kx+ lx+kl = x^2 +(k+l)x+kl.$$

इस प्रकार, k+l = \frac(b)(a), kl = \frac(c)(a)

यह इससे थोड़ा अलग है शास्त्रीय व्याख्या वीटा के प्रमेय- इसमें हम समीकरण की जड़ों की तलाश कर रहे हैं। मैं शर्तों की तलाश करने का प्रस्ताव करता हूं ब्रैकेट विस्तार- इसलिए आपको सूत्र से ऋण के बारे में याद रखने की आवश्यकता नहीं है (मतलब `x_1+x_2 = -\frac(b)(a)`)। यह दो ऐसी संख्याओं को चुनने के लिए पर्याप्त है, जिनमें से योग औसत गुणांक के बराबर है, और उत्पाद मुक्त अवधि के बराबर है।

अगर हमें समीकरण के समाधान की आवश्यकता है, तो यह स्पष्ट है: जड़ें x=-k या x=-l (क्योंकि इन मामलों में एक ब्रैकेट शून्य होगा, जिसका अर्थ है कि पूरी अभिव्यक्ति होगी शून्य के बराबर)।

उदाहरण के लिए, मैं एल्गोरिदम दिखाऊंगा, एक वर्ग बहुपद को कोष्ठक में कैसे विघटित करें।

उदाहरण एक। एक वर्ग Trinomial फैक्टरिंग के लिए एल्गोरिथम

हमारे पास जो रास्ता है वह वर्ग त्रिपद है x^2+5x+4 ।

यह कम हो गया है (का गुणांक x^2 एक के बराबर है)। उसकी जड़ें हैं। (सुनिश्चित करने के लिए, आप विवेचक का अनुमान लगा सकते हैं और सुनिश्चित कर सकते हैं कि यह शून्य से अधिक है।)

आगे के चरण (सभी प्रशिक्षण कार्यों को पूरा करके उन्हें सीखने की आवश्यकता है):

1. निम्नलिखित अंकन करें: $$x^2+5x+4=(x \ldots)(x \ldots).$$ डॉट्स के बजाय खाली स्थान छोड़ दें, हम वहां उपयुक्त संख्याएं और चिह्न जोड़ देंगे।
2. सभी को देखें संभव विकल्प, आप संख्या `4` को दो संख्याओं के गुणनफल में कैसे विघटित कर सकते हैं। हमें समीकरण की जड़ों के लिए "उम्मीदवारों" के जोड़े मिलते हैं: `2, 2` और `1, 4`।
3. अनुमान लगाएं कि किस जोड़ी से आप औसत गुणांक प्राप्त कर सकते हैं। जाहिर है यह `1, 4` है।
4. $$x^2+5x+4=(x \quad 4)(x \quad 1)$$ लिखें।
5. अगला कदम सम्मिलित संख्याओं के सामने चिन्ह लगाना है।

   कैसे समझें और हमेशा याद रखें कि कोष्ठक में संख्याओं के सामने कौन से चिन्ह होने चाहिए? उन्हें (कोष्ठक) विस्तृत करने का प्रयास करें। पहली शक्ति के लिए `x` से पहले गुणांक `(± 4 ± 1)` होगा (हम अभी तक संकेतों को नहीं जानते हैं - हमें चुनने की आवश्यकता है), और इसे `5` के बराबर होना चाहिए। जाहिर है, यहां दो प्लस $$x^2+5x+4=(x + 4)(x + 1)$$ होंगे।

   इस ऑपरेशन को कई बार करें (हैलो, प्रशिक्षण कार्य!) और इससे अधिक समस्याएं कभी नहीं होंगी।

यदि आपको समीकरण x^2+5x+4 को हल करने की आवश्यकता है, तो अब इसका समाधान मुश्किल नहीं है। इसकी जड़ें -4, -1 हैं।

दूसरा उदाहरण। विभिन्न चिह्नों के गुणांकों के साथ एक वर्ग त्रिपद का गुणनखंडन

हमें समीकरण को हल करने की आवश्यकता है `x^2-x-2=0`। ऑफहैंड, विवेचक सकारात्मक है।

हम एल्गोरिदम का पालन करते हैं।

1. $$x^2-x-2=(x \ldots) (x \ldots).$$
2. 2: `2 · 1` का केवल एक पूर्णांक गुणनखंड है।
3. हम बिंदु छोड़ देते हैं - चुनने के लिए कुछ भी नहीं है।
4. $$x^2-x-2=(x \quad 2) (x \quad 1).$$
5. हमारी संख्याओं का गुणनफल ऋणात्मक है (`-2` एक मुक्त पद है), जिसका अर्थ है कि उनमें से एक ऋणात्मक होगा और दूसरा धनात्मक।
   चूँकि उनका योग `-1` (`x` का गुणांक) के बराबर है, तो `2` नकारात्मक होगा (सहज स्पष्टीकरण - दो दो संख्याओं में से बड़ा है, यह अधिक मजबूती से "खींच" जाएगा नकारात्मक पक्ष). हमें $$x^2-x-2=(x - 2) (x + 1).$$ मिलता है

तीसरा उदाहरण। वर्ग ट्रिनोमियल का गुणनखंडन

समीकरण x^2+5x -84 = 0।

1. $$x+ 5x-84=(x \ldots) (x \ldots).$$
2. पूर्णांक कारकों में 84 का अपघटन: `4 21, 6 14, 12 7, 2 42`।
3. चूँकि हमें संख्याओं का अंतर (या योग) 5 चाहिए, इसलिए `7, 12` का जोड़ा चलेगा।
4. $$x+ 5x-84=(x\quad 12) (x \quad 7).$$
5. $$x+ 5x-84=(x + 12) (x - 7).$$

आशा, इस वर्ग त्रिपद का कोष्ठकों में अपघटनयह स्पष्ट है।

यदि आपको समीकरण के समाधान की आवश्यकता है, तो यह है: `12, -7`।

प्रशिक्षण के लिए कार्य

यहाँ कुछ उदाहरण दिए गए हैं जो आसान हैं वीटा के प्रमेय का उपयोग करके हल किया जाता है।(गणित, 2002 से लिए गए उदाहरण।)

1. x^2+x-2=0
2. x^2-x-2=0
3. x^2+x-6=0
4. x^2-x-6=0
5. x^2+x-12=0
6. `x^2-x-12=0`
7. x^2+x-20=0
8. `x^2-x-20=0`
9. x^2+x-42=0
10. `x^2-x-42=0`
11. x^2+x-56=0
12. `x^2-x-56=0`
13. x^2+x-72=0
14. x^2-x-72=0
15. x^2+x-110=0
16. `x^2-x-110=0`
17. x^2+x-420=0
18. x^2-x-420=0

लेख लिखे जाने के कुछ साल बाद, 150 अपघटन कार्यों का एक संग्रह सामने आया वर्ग बहुपदवीटा के प्रमेय द्वारा।

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वर्ग ट्रिनोमियल्स का गुणनखंड स्कूल के उन कार्यों में से एक है जिसका सामना सभी को देर-सबेर करना पड़ता है। इसे कैसे करना है? वर्ग त्रिपद का गुणनखंडन करने का सूत्र क्या है? आइए इसे उदाहरणों के साथ चरण दर चरण देखें।

सामान्य सूत्र

द्विघात समीकरण को हल करके वर्ग ट्रिनोमियल्स का गुणनखंड किया जाता है। यह एक सरल कार्य है जिसे कई तरीकों से हल किया जा सकता है - विवेचक का पता लगाकर, वीटा प्रमेय का उपयोग करके, इसे हल करने का एक चित्रमय तरीका भी है। हाई स्कूल में पहली दो विधियों का अध्ययन किया जाता है।

सामान्य सूत्र इस तरह दिखता है:एलएक्स 2 + केएक्स + एन = एल (एक्स-एक्स 1) (एक्स-एक्स 2) (1)

कार्य निष्पादन एल्गोरिथ्म

वर्ग ट्रिनोमियल्स को गुणनखंडित करने के लिए, आपको विट के प्रमेय को जानना होगा, हाथ में हल करने के लिए एक कार्यक्रम होना चाहिए, ग्राफिक रूप से एक समाधान खोजने में सक्षम होना चाहिए या विवेचक सूत्र के माध्यम से दूसरी डिग्री के समीकरण की जड़ों की तलाश करना चाहिए। यदि एक वर्ग ट्रिनोमियल दिया गया है और इसका गुणनखंड किया जाना चाहिए, तो क्रियाओं का एल्गोरिथम इस प्रकार है:

1) समीकरण प्राप्त करने के लिए मूल व्यंजक को शून्य के बराबर करें।

2) समान पद दें (यदि आवश्यक हो)।

3) किसी का मूल ज्ञात कीजिए ज्ञात तरीका. ग्राफिकल विधि का सबसे अच्छा उपयोग किया जाता है यदि यह पहले से ज्ञात हो कि जड़ें पूर्णांक हैं और छोटी संख्या. यह याद रखना चाहिए कि जड़ों की संख्या समीकरण की अधिकतम डिग्री के बराबर होती है, अर्थात द्विघात समीकरण की दो जड़ें होती हैं।

4) स्थानापन्न मूल्य एक्सअभिव्यक्ति में (1)।

5) वर्ग ट्रिनोमियल्स का गुणनखंड लिखिए।

उदाहरण

अभ्यास आपको अंततः यह समझने की अनुमति देता है कि यह कार्य कैसे किया जाता है। उदाहरण वर्ग ट्रिनोमियल के गुणनखंड को दर्शाते हैं:

आपको अभिव्यक्ति का विस्तार करने की आवश्यकता है:

आइए हमारे एल्गोरिदम का उपयोग करें:

1) x 2 -17x+32=0

2) समान शब्द कम हो गए हैं

3) वीटा सूत्र के अनुसार, इस उदाहरण के लिए जड़ों को खोजना मुश्किल है, इसलिए विवेचक के लिए अभिव्यक्ति का उपयोग करना बेहतर है:

डी=289-128=161=(12.69) 2

4) अपघटन के मुख्य सूत्र में पाई गई जड़ों को प्रतिस्थापित करें:

(एक्स-2.155) * (एक्स-14.845)

5) तो उत्तर होगा:

x 2 -17x + 32 \u003d (x-2.155) (x-14.845)

आइए देखें कि विवेचक द्वारा पाया गया समाधान वीटा के सूत्रों के अनुरूप है या नहीं:

14,845 . 2,155=32

इन जड़ों के लिए, वीटा के प्रमेय को लागू किया जाता है, वे सही ढंग से पाए जाते हैं, जिसका अर्थ है कि हमने जो गुणनखंड प्राप्त किया है वह भी सही है।

इसी प्रकार, हम 12x 2 + 7x-6 का विस्तार करते हैं।

एक्स 1 \u003d -7 + (337) 1/2

एक्स 2 \u003d -7- (337) 1/2

पिछले मामले में, समाधान गैर-पूर्णांक थे, लेकिन वास्तविक संख्याएँ थीं, जिन्हें आपके सामने कैलकुलेटर के साथ खोजना आसान है। अब और विचार करें जटिल उदाहरण, जिसमें जड़ें जटिल होंगी: x 2 + 4x + 9 का गुणनखंड करें। वीटा सूत्र के अनुसार, जड़ें नहीं मिल सकती हैं, और विवेचक नकारात्मक है। जड़ें जटिल तल पर होंगी।

डी = -20

इसके आधार पर, हम उन जड़ों को प्राप्त करते हैं जिनमें हम रुचि रखते हैं -4 + 2i * 5 1/2 और -4-2i * 5 1/2 क्योंकि (-20) 1/2 = 2आई * 5 1/2।

सामान्य सूत्र में मूलों को प्रतिस्थापित करके हम वांछित विस्तार प्राप्त करते हैं।

एक और उदाहरण: आपको 23x 2 -14x + 7 अभिव्यक्ति को फ़ैक्टराइज़ करने की आवश्यकता है।

हमारे पास समीकरण है 23x 2 -14x+7 =0

डी = -448

तो मूल हैं 14+21,166i और 14-21,166i। उत्तर होगा:

23x 2 -14x+7 =23(एक्स- 14-21,166i )*(एक्स- 14+21.166i ).

आइए एक उदाहरण दें जिसे विवेचक की सहायता के बिना हल किया जा सकता है।

द्विघात समीकरण x 2 -32x + 255 को विघटित करना आवश्यक है। जाहिर है, इसे विवेचक द्वारा भी हल किया जा सकता है, लेकिन इस मामले में जड़ों को ढूंढना ज्यादा तेज है।

एक्स 1 = 15

x2=17

साधन एक्स 2 -32x + 255 =(x-15)(x-17).

बहुपदों के गुणनखंडन के 8 उदाहरण दिए गए हैं। इनमें द्विघात और द्विघात समीकरणों को हल करने के उदाहरण, पुनरावर्ती बहुपदों के उदाहरण और तीसरी और चौथी डिग्री के बहुपदों के पूर्णांक मूल खोजने के उदाहरण शामिल हैं।

1. द्विघात समीकरण के हल के उदाहरण

उदाहरण 1.1

एक्स 4 + x 3 - 6 x 2.

समाधान

एक्स निकालो 2 कोष्ठक के लिए:
.
2 + एक्स - 6 = 0:
.
समीकरण जड़ें:
, .

.

उत्तर

उदाहरण 1.2

तृतीय-डिग्री बहुपद का गुणनखंडन:
एक्स 3 + 6 x 2 + 9 x.

समाधान

हम कोष्ठक से x निकालते हैं:
.
हम द्विघात समीकरण x को हल करते हैं 2 + 6 x + 9 = 0:
इसका विवेचक है।
चूँकि विविक्तकर शून्य के बराबर है, समीकरण के मूल गुणक हैं: ;
.

यहाँ से हम बहुपद का गुणनखंडों में अपघटन प्राप्त करते हैं:
.

उत्तर

उदाहरण 1.3

पांचवीं डिग्री के बहुपद का गुणनखंडन:
एक्स 5 - 2 x 4 + 10 x 3.

समाधान

एक्स निकालो 3 कोष्ठक के लिए:
.
हम द्विघात समीकरण x को हल करते हैं 2 - 2 x + 10 = 0.
इसका विवेचक है।
चूँकि विविक्तकर शून्य से कम है, समीकरण के मूल जटिल हैं: ;
, .

बहुपद के गुणनखंड का रूप है:
.

यदि हम वास्तविक गुणांकों के साथ गुणनखंडन में रुचि रखते हैं, तो:
.

उत्तर

सूत्रों का उपयोग करके बहुपदों के गुणनखंडन के उदाहरण

द्विवर्गीय बहुपद वाले उदाहरण

उदाहरण 2.1

द्विवर्गीय बहुपद का गुणनखंडन करें:
एक्स 4 + x 2 - 20.

समाधान

सूत्र लागू करें:
ए 2 + 2 एबी + बी 2 = (ए + बी) 2;
ए 2 - बी 2 = (ए - बी) (ए + बी).

;
.

उत्तर

उदाहरण 2.2

एक बहुपद को गुणनखण्ड करना जो द्विवर्गीय में घटता है:
एक्स 8 + x 4 + 1.

समाधान

सूत्र लागू करें:
ए 2 + 2 एबी + बी 2 = (ए + बी) 2;
ए 2 - बी 2 = (ए - बी) (ए + बी):

;

;
.

उत्तर

पुनरावर्ती बहुपद के साथ उदाहरण 2.3

पुनरावर्ती बहुपद का गुणनखंडन:
.

समाधान

पुनरावर्ती बहुपद की एक विषम डिग्री है। इसलिए इसका मूल x = - है। 1 . हम बहुपद को x - से विभाजित करते हैं। (-1) = एक्स + 1. परिणामस्वरूप, हमें मिलता है:
.
हम एक प्रतिस्थापन करते हैं:
, ;
;


;
.

उत्तर

पूर्णांक जड़ों के साथ फैक्टरिंग बहुपदों के उदाहरण

उदाहरण 3.1

बहुपद का गुणनखण्ड करना:
.

समाधान

मान लीजिए समीकरण

6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 .
(-6) 3 - 6 (-6) 2 + 11 (-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6 (-3) 2 + 11 (-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6 (-2) 2 + 11 (-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6 (-1) 2 + 11 (-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0;
3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0;
6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60.

तो, हमें तीन जड़ें मिलीं:
एक्स 1 = 1 , एक्स 2 = 2 , एक्स 3 = 3 .
चूंकि मूल बहुपद तीसरी डिग्री का है, इसलिए इसकी तीन से अधिक जड़ें नहीं हैं। चूँकि हमें तीन मूल मिले हैं, वे सरल हैं। तब
.

उत्तर

उदाहरण 3.2

बहुपद का गुणनखण्ड करना:
.

समाधान

मान लीजिए समीकरण

कम से कम एक पूर्णांक जड़ है। फिर यह संख्या का विभाजक है 2 (x के बिना एक सदस्य)। यानी, पूरी जड़ संख्याओं में से एक हो सकती है:
-2, -1, 1, 2 .
इन मानों को एक-एक करके बदलें:
(-2) 4 + 2 (-2) 3 + 3 (-2) 3 + 4 (-2) + 2 = 6 ;
(-1) 4 + 2 (-1) 3 + 3 (-1) 3 + 4 (-1) + 2 = 0 ;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54 .
यदि हम मान लें कि इस समीकरण का एक पूर्णांक मूल है, तो यह संख्या का भाजक है 2 (x के बिना एक सदस्य)। यानी, पूरी जड़ संख्याओं में से एक हो सकती है:
1, 2, -1, -2 .
स्थानापन्न एक्स = -1 :
.

तो हमें एक और रूट x मिला है 2 = -1 . यह संभव होगा, जैसा कि पिछले मामले में, बहुपद को से विभाजित किया जा सकता है, लेकिन हम शर्तों को समूहबद्ध करेंगे:
.

चूँकि समीकरण x 2 + 2 = 0 कोई वास्तविक जड़ नहीं है, तो बहुपद के गुणनखंड का रूप है।

द्विघात समीकरण के मूलों का योग और गुणनफल ज्ञात कीजिए। उपरोक्त समीकरण की जड़ों के लिए सूत्र (59.8) का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं

(पहली समानता स्पष्ट है, दूसरी एक साधारण गणना के बाद प्राप्त की जाती है, जिसे पाठक स्वतंत्र रूप से पूरा करेगा; दो संख्याओं के योग को उनके अंतर से गुणा करने के सूत्र का उपयोग करना सुविधाजनक है)।

निम्नलिखित

वीटा की प्रमेय। दिए गए द्विघात समीकरण की जड़ों का योग विपरीत चिह्न वाले दूसरे गुणांक के बराबर है, और उनका उत्पाद मुक्त पद के बराबर है।

बिना घटाए द्विघात समीकरण के मामले में, किसी को सूत्र (60.1) के भावों को सूत्र (60.1) में बदलना चाहिए और रूप लेना चाहिए

उदाहरण 1. इसके मूलों के आधार पर एक द्विघात समीकरण की रचना करें:

हल, क) हम पाते हैं कि समीकरण का रूप है

उदाहरण 2. स्वयं समीकरण को हल किए बिना ही किसी समीकरण के मूलों के वर्गों का योग ज्ञात कीजिए।

समाधान। जड़ों का योग और उत्पाद ज्ञात है। हम वर्गमूलों के योग को रूप में निरूपित करते हैं

और पाओ

वीटा फार्मूले से सूत्र प्राप्त करना आसान है

वर्ग ट्रिनोमियल के गुणनखंडन के नियम को व्यक्त करना।

दरअसल, हम फॉर्मूले (60.2) को फॉर्म में लिखते हैं

अब हमारे पास है

जो आपको प्राप्त करने की आवश्यकता है।

वीटा सूत्रों की उपरोक्त व्युत्पत्ति पाठक को बीजगणित के पाठ्यक्रम से परिचित है उच्च विद्यालय. Bezout के प्रमेय और बहुपद के गुणनखंड (§§ 51, 52) का उपयोग करके एक और व्युत्पत्ति दी जा सकती है।

समीकरण की जड़ें तब दें सामान्य नियम(52.2) समीकरण के बाईं ओर त्रिपद गुणनखंडित है:

इस समान समानता के दाईं ओर कोष्ठक का विस्तार करने पर, हम प्राप्त करते हैं

और समान शक्तियों पर गुणांकों की तुलना करने से हमें वीटा सूत्र (60.1) मिलेगा।

इस व्युत्पत्ति का लाभ यह है कि इसे समीकरणों पर लागू किया जा सकता है उच्च डिग्रीसमीकरण के गुणांकों के लिए इसकी जड़ों के संदर्भ में व्यंजक प्राप्त करने के लिए (बिना स्वयं जड़ों को खोजे!)। उदाहरण के लिए, यदि घटाए गए घन समीकरण की जड़ें

सार यह है कि समानता (52.2) के अनुसार हम पाते हैं

(हमारे मामले में, समानता के दाईं ओर कोष्ठक खोलना और विभिन्न डिग्री पर गुणांक एकत्र करना, हम प्राप्त करते हैं