क्रैमर विधि का उपयोग करके मैट्रिक्स की गणना कैसे करें। रेखीय समीकरण। रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करना। क्रेमर विधि

तरीकों क्रेमेतथा गाऊसी- सबसे ज्यादा लोकप्रिय तरीकेसमाधान टूटना. इसके अलावा, कुछ मामलों में विशिष्ट तरीकों का उपयोग करने की सलाह दी जाती है। सत्र करीब है, और अब समय आ गया है कि उन्हें दोबारा शुरू किया जाए या उनमें महारत हासिल की जाए। आज हम क्रैमर विधि द्वारा समाधान से निपटते हैं। आखिर व्यवस्था का समाधान रेखीय समीकरणक्रैमर विधि एक बहुत ही उपयोगी कौशल है।

रैखिक बीजीय समीकरणों के निकाय

रैखिक प्रणाली बीजीय समीकरण- फॉर्म के समीकरणों की प्रणाली:

मान सेट एक्स जिस पर निकाय के समीकरण सर्वसमिका में बदल जाते हैं, निकाय का हल कहलाता है। एक तथा बी वास्तविक गुणांक हैं। दो अज्ञात के साथ दो समीकरणों वाली एक सरल प्रणाली को मानसिक रूप से या एक चर को दूसरे के संदर्भ में व्यक्त करके हल किया जा सकता है। लेकिन SLAE में दो से अधिक चर (x) हो सकते हैं, और सरल स्कूल जोड़तोड़ यहां अपरिहार्य हैं। क्या करें? उदाहरण के लिए, SLAE को Cramer's method द्वारा हल करें!

तो सिस्टम होने दो एन के साथ समीकरण एन अनजान।

ऐसी प्रणाली को मैट्रिक्स रूप में फिर से लिखा जा सकता है

यहां ए प्रणाली का मुख्य मैट्रिक्स है, एक्स तथा बी , क्रमशः, अज्ञात चर और मुक्त सदस्यों के कॉलम मैट्रिक्स।

क्रैमर विधि द्वारा SLAE समाधान

यदि मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है (मैट्रिक्स नॉनसिंगुलर है), तो सिस्टम को क्रैमर विधि का उपयोग करके हल किया जा सकता है।

क्रैमर विधि के अनुसार, सूत्रों द्वारा समाधान पाया जाता है:

यहां डेल्टा मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक है, और डेल्टा x एन-वें - मुख्य मैट्रिक्स के निर्धारक से प्राप्त निर्धारक, एन-वें कॉलम को मुक्त शर्तों के कॉलम के साथ बदलकर।

यह क्रैमर की विधि का संपूर्ण बिंदु है। उपरोक्त सूत्रों द्वारा प्राप्त मानों को प्रतिस्थापित करना एक्स वांछित प्रणाली में, हम अपने समाधान की शुद्धता (या इसके विपरीत) के बारे में आश्वस्त हैं। सार को शीघ्रता से समझने में आपकी मदद करने के लिए, हम क्रैमर विधि द्वारा SLAE के विस्तृत समाधान का एक उदाहरण नीचे देते हैं:

भले ही आप पहली बार सफल न हों, निराश न हों! थोड़े से अभ्यास के साथ, आप नट्स की तरह धीमी गति से पॉप करना शुरू कर देंगे। इसके अलावा, अब एक नोटबुक पर ताकना, बोझिल गणनाओं को हल करना और रॉड पर लिखना बिल्कुल जरूरी नहीं है। SLAE को Cramer विधि द्वारा ऑनलाइन हल करना आसान है, केवल गुणांकों को तैयार रूप में प्रतिस्थापित करके। कोशिश करें ऑनलाइन कैलकुलेटरक्रैमर विधि द्वारा समाधान, उदाहरण के लिए, इस साइट पर हो सकते हैं।

और अगर सिस्टम जिद्दी निकला और हार नहीं मानी, तो आप हमेशा मदद के लिए हमारे लेखकों की ओर रुख कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, करने के लिए। यदि सिस्टम में कम से कम 100 अज्ञात हैं, तो हम निश्चित रूप से इसे सही ढंग से और समय पर हल करेंगे!

क्रैमर की विधि रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने में निर्धारकों के उपयोग पर आधारित है। यह समाधान प्रक्रिया को बहुत तेज करता है।

क्रैमर की विधि का उपयोग कई रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए किया जा सकता है क्योंकि प्रत्येक समीकरण में अज्ञात होते हैं। यदि निकाय का निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है, तो समाधान में Cramer की विधि का उपयोग किया जा सकता है, यदि यह शून्य के बराबर है, तो यह नहीं हो सकता है। इसके अलावा, क्रैमर की विधि का उपयोग एक अद्वितीय समाधान वाले रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए किया जा सकता है।

परिभाषा. निर्धारक, अज्ञात के गुणांकों से बना होता है, जिसे प्रणाली का निर्धारक कहा जाता है और इसे (डेल्टा) द्वारा निरूपित किया जाता है।

निर्धारकों

संबंधित अज्ञात पर गुणांकों को मुक्त पदों द्वारा प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है:

;

.

क्रैमर का प्रमेय. यदि सिस्टम का निर्धारक गैर-शून्य है, तो रैखिक समीकरणों की प्रणाली का एक एकल समाधान होता है, और अज्ञात निर्धारकों के अनुपात के बराबर होता है। हर प्रणाली का निर्धारक है, और अंश निर्धारक है जो गुणांक को अज्ञात के साथ मुक्त शर्तों द्वारा प्रतिस्थापित करके प्रणाली के निर्धारक से प्राप्त किया जाता है। यह प्रमेय किसी भी क्रम के रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के लिए है।

उदाहरण 1रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

के अनुसार क्रैमर का प्रमेयअपने पास:

तो, प्रणाली का समाधान (2):

ऑनलाइन कैलकुलेटर, निर्णायक विधिक्रेमर।

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने में तीन मामले

जैसा से प्रतीत होता है क्रैमर के प्रमेय, रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करते समय, तीन मामले हो सकते हैं:

पहला मामला: रैखिक समीकरणों की प्रणाली का एक अनूठा समाधान है

(प्रणाली सुसंगत और निश्चित है)

दूसरा मामला: रैखिक समीकरणों की प्रणाली में अनंत संख्या में समाधान होते हैं

(प्रणाली सुसंगत और अनिश्चित है)

** ,

वे। अज्ञात के गुणांक और मुक्त पद समानुपाती होते हैं।

तीसरा मामला: रैखिक समीकरणों की प्रणाली का कोई समाधान नहीं है

(सिस्टम असंगत)

तो सिस्टम एमके साथ रैखिक समीकरण एनचर कहा जाता है असंगतअगर इसका कोई समाधान नहीं है, और संयुक्तअगर इसका कम से कम एक समाधान है। समीकरणों की एक संयुक्त प्रणाली जिसका केवल एक ही हल होता है, कहलाती है निश्चित, और एक से अधिक ढुलमुल.

क्रैमर विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के उदाहरण

चलो सिस्टम

.

क्रैमर के प्रमेय पर आधारित

………….
,

कहाँ पे
-

सिस्टम पहचानकर्ता। शेष निर्धारक कॉलम को संबंधित चर (अज्ञात) के गुणांक के साथ मुक्त सदस्यों के साथ बदलकर प्राप्त किए जाते हैं:

उदाहरण 2

.

अतः व्यवस्था निश्चित है। इसका हल खोजने के लिए, हम निर्धारकों की गणना करते हैं

क्रैमर के सूत्रों से हम पाते हैं:

तो, (1; 0; -1) प्रणाली का एकमात्र समाधान है।

समीकरण 3 X 3 और 4 X 4 के सिस्टम के समाधान की जांच करने के लिए, आप ऑनलाइन कैलकुलेटर, क्रैमर सॉल्विंग विधि का उपयोग कर सकते हैं।

यदि एक या अधिक समीकरणों में रैखिक समीकरणों के निकाय में कोई चर नहीं हैं, तो सारणिक में उनके संगत तत्व शून्य के बराबर होते हैं! यह अगला उदाहरण है।

उदाहरण 3क्रैमर विधि द्वारा रैखिक समीकरणों के निकाय को हल करें:

.

समाधान। हम प्रणाली के निर्धारक पाते हैं:

समीकरणों के निकाय और निकाय के सारणिक को ध्यान से देखें और उस प्रश्न का उत्तर दोहराएं जिसमें सारणिक के एक या अधिक अवयव शून्य के बराबर हों। अतः सारणिक शून्य के बराबर नहीं है, इसलिए निकाय निश्चित है। इसका समाधान खोजने के लिए, हम अज्ञात के लिए निर्धारकों की गणना करते हैं

क्रैमर के सूत्रों से हम पाते हैं:

तो, सिस्टम का समाधान (2; -1; 1) है।

समीकरण 3 X 3 और 4 X 4 के सिस्टम के समाधान की जांच करने के लिए, आप ऑनलाइन कैलकुलेटर, क्रैमर सॉल्विंग विधि का उपयोग कर सकते हैं।

पृष्ठ के सबसे ऊपर

हम एक साथ Cramer पद्धति का उपयोग करके सिस्टम को हल करना जारी रखते हैं

जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, यदि सिस्टम का निर्धारक शून्य के बराबर है, और अज्ञात के लिए निर्धारक शून्य के बराबर नहीं हैं, तो सिस्टम असंगत है, अर्थात इसका कोई समाधान नहीं है। आइए निम्नलिखित उदाहरण से स्पष्ट करते हैं।

उदाहरण 6क्रैमर विधि द्वारा रैखिक समीकरणों के निकाय को हल करें:

समाधान। हम प्रणाली के निर्धारक पाते हैं:

प्रणाली का निर्धारक शून्य के बराबर है, इसलिए रैखिक समीकरणों की प्रणाली या तो असंगत और निश्चित है, या असंगत है, अर्थात इसका कोई समाधान नहीं है। स्पष्ट करने के लिए, हम अज्ञात के लिए निर्धारकों की गणना करते हैं

अज्ञात के लिए निर्धारक शून्य के बराबर नहीं हैं, इसलिए, सिस्टम असंगत है, अर्थात इसका कोई समाधान नहीं है।

समीकरण 3 X 3 और 4 X 4 के सिस्टम के समाधान की जांच करने के लिए, आप ऑनलाइन कैलकुलेटर, क्रैमर सॉल्विंग विधि का उपयोग कर सकते हैं।

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों की समस्याओं में, ऐसे भी होते हैं जहां, चर को निरूपित करने वाले अक्षरों के अलावा, अन्य अक्षर भी होते हैं। ये अक्षर कुछ संख्या के लिए खड़े होते हैं, अक्सर एक वास्तविक संख्या। व्यवहार में, ऐसे समीकरण और समीकरणों की प्रणाली खोज समस्याओं का कारण बनती हैं सामान्य गुणकोई घटना या वस्तु। यानी क्या आपने कोई अविष्कार किया? नई सामग्रीया एक उपकरण, और इसके गुणों का वर्णन करने के लिए, जो आकार या प्रतियों की संख्या की परवाह किए बिना सामान्य हैं, रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना आवश्यक है, जहां चर के लिए कुछ गुणांक के बजाय अक्षर हैं। आपको उदाहरणों के लिए दूर देखने की जरूरत नहीं है।

अगला उदाहरण इसी तरह की समस्या के लिए है, केवल समीकरणों, चरों और अक्षरों की संख्या कुछ वास्तविक संख्या में वृद्धि दर्शाती है।

उदाहरण 8क्रैमर विधि द्वारा रैखिक समीकरणों के निकाय को हल करें:

समाधान। हम प्रणाली के निर्धारक पाते हैं:

अज्ञात के लिए निर्धारक ढूँढना

तीन अज्ञात के साथ 3 समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें

तीसरे क्रम के निर्धारकों का उपयोग करते हुए, ऐसी प्रणाली के समाधान को उसी रूप में लिखा जा सकता है जैसे कि दो समीकरणों की प्रणाली के लिए, अर्थात।

(2.4)

अगर 0. यहां

यह है क्रैमर का नियम तीन अज्ञात में तीन रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना.

उदाहरण 2.3।क्रैमर के नियम का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें:

समाधान . सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स के निर्धारक ढूँढना

0 के बाद से, सिस्टम का समाधान खोजने के लिए, आप क्रैमर नियम लागू कर सकते हैं, लेकिन पहले तीन और निर्धारकों की गणना करें:

इंतिहान:

इसलिए, समाधान सही पाया जाता है। मैं

दूसरे और तीसरे क्रम की रैखिक प्रणालियों के लिए प्राप्त क्रैमर के नियम बताते हैं कि किसी भी क्रम की रैखिक प्रणालियों के लिए समान नियम तैयार किए जा सकते हैं। वास्तव में होता है

क्रैमर का प्रमेय। सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स के गैर-शून्य निर्धारक के साथ रैखिक समीकरणों की द्विघात प्रणाली (0) एक और केवल एक समाधान है, और इस समाधान की गणना सूत्रों द्वारा की जाती है

(2.5)

कहाँ पे  – मुख्य मैट्रिक्स निर्धारक,  मैं – मैट्रिक्स निर्धारक, मुख्य से व्युत्पन्न, प्रतिस्थापनमैंवें स्तंभ मुक्त सदस्य स्तंभ.

ध्यान दें कि यदि =0, तो क्रैमर का नियम लागू नहीं होता है। इसका मतलब है कि सिस्टम के पास या तो कोई समाधान नहीं है, या उसके पास असीम रूप से कई समाधान हैं।

क्रैमर के प्रमेय को तैयार करने के बाद, स्वाभाविक रूप से उच्च-क्रम के निर्धारकों की गणना करने का सवाल उठता है।

2.4. nth क्रम निर्धारक

अतिरिक्त नाबालिग एम आईजेयूतत्व एक आईजेयूनिर्धारक को हटाकर दिए गए से प्राप्त किया जाता है मैं-वीं पंक्ति और जे-वें स्तंभ। बीजीय जोड़ ए आईजेयूतत्व एक आईजेयूइस तत्व का नाबालिग कहा जाता है, जिसे चिन्ह (-1) के साथ लिया जाता है मैं + जे, अर्थात। ए आईजेयू = (–1) मैं + जे एम आईजेयू .

उदाहरण के लिए, आइए तत्वों के अवयस्क और बीजगणितीय पूरक खोजें एक 23 और एक 31 निर्धारक

हम पाते हैं



बीजीय पूरक की अवधारणा का उपयोग करते हुए, हम सूत्र बना सकते हैं निर्धारक विस्तार प्रमेयएन-पंक्ति या स्तंभ द्वारा क्रम.

प्रमेय 2.1. मैट्रिक्स निर्धारकएकिसी पंक्ति (या स्तंभ) के सभी तत्वों के गुणनफल और उनके बीजीय पूरक के योग के बराबर है:

(2.6)

यह प्रमेय निर्धारकों की गणना के लिए मुख्य विधियों में से एक है, तथाकथित। आदेश कमी विधि. निर्धारक के विस्तार के परिणामस्वरूप एनकिसी भी पंक्ति या स्तंभ में वें क्रम में, हमें n निर्धारक मिलते हैं ( एन-1)-वें क्रम। ऐसे निर्धारकों को कम करने के लिए, सबसे अधिक शून्य वाली पंक्ति या स्तंभ को चुनना उचित है। व्यवहार में, सारणिक के लिए विस्तार सूत्र आमतौर पर इस प्रकार लिखा जाता है:

वे। बीजगणितीय जोड़ स्पष्ट रूप से नाबालिगों के संदर्भ में लिखे गए हैं।

उदाहरण 2.4.किसी भी पंक्ति या स्तंभ में पहले उनका विस्तार करके निर्धारकों की गणना करें। आमतौर पर ऐसे मामलों में, सबसे अधिक शून्य वाले कॉलम या पंक्ति का चयन करें। चयनित पंक्ति या स्तंभ को एक तीर से चिह्नित किया जाएगा।



2.5. निर्धारकों के मूल गुण

सारणिक को किसी भी पंक्ति या स्तंभ में विस्तारित करने पर, हमें n सारणिक मिलते हैं ( एन-1)-वें क्रम। फिर इनमें से प्रत्येक निर्धारक ( एन-1)-वें क्रम को निर्धारकों के योग में भी विघटित किया जा सकता है ( एन-2) वां क्रम। इस प्रक्रिया को जारी रखते हुए, व्यक्ति पहले क्रम के निर्धारकों तक पहुँच सकता है, अर्थात्। मैट्रिक्स के उन तत्वों के लिए जिनके निर्धारक की गणना की जा रही है। इसलिए, दूसरे क्रम के निर्धारकों की गणना करने के लिए, आपको दो पदों के योग की गणना करनी होगी, तीसरे क्रम के निर्धारकों के लिए - 6 पदों का योग, चौथे क्रम के निर्धारकों के लिए - 24 पद। सारणिक का क्रम बढ़ने पर पदों की संख्या में तेजी से वृद्धि होगी। इसका मतलब यह है कि बहुत उच्च कोटि के निर्धारकों की गणना एक कंप्यूटर की शक्ति से परे एक श्रमसाध्य कार्य बन जाती है। हालांकि, निर्धारकों के गुणों का उपयोग करके निर्धारकों की गणना दूसरे तरीके से की जा सकती है।

संपत्ति 1 . यदि इसमें पंक्तियों और स्तंभों की अदला-बदली की जाती है, तो निर्धारक नहीं बदलेगा, अर्थात मैट्रिक्स को स्थानांतरित करते समय:

.

यह गुण निर्धारक की पंक्तियों और स्तंभों की समानता को इंगित करता है। दूसरे शब्दों में, सारणिक के स्तंभों के बारे में कोई भी कथन उसकी पंक्तियों के लिए सत्य है, और इसके विपरीत।

संपत्ति 2 . जब दो पंक्तियों (स्तंभों) को आपस में बदल दिया जाता है, तो सारणिक चिह्न बदल जाता है।

परिणाम . यदि सारणिक की दो समान पंक्तियाँ (स्तंभ) हैं, तो यह शून्य के बराबर है।

संपत्ति 3 . किसी भी पंक्ति (स्तंभ) में सभी तत्वों का सार्व गुणनखंड सारणिक के चिह्न से निकाला जा सकता है.

उदाहरण के लिए,

परिणाम . यदि सारणिक की किसी पंक्ति (स्तंभ) के सभी अवयव शून्य के बराबर हों, तो सारणिक स्वयं शून्य के बराबर होता है.

संपत्ति 4 . यदि एक पंक्ति (स्तंभ) के तत्वों को दूसरी पंक्ति (स्तंभ) के तत्वों में किसी संख्या से गुणा करने पर सारणिक नहीं बदलेगा.

उदाहरण के लिए,

संपत्ति 5 . मैट्रिक्स उत्पाद का निर्धारक मैट्रिक्स निर्धारकों के उत्पाद के बराबर है:

2. मैट्रिक्स विधि द्वारा समीकरणों की प्रणाली को हल करना (उलटा मैट्रिक्स का उपयोग करना)।
3. समीकरणों के निकाय को हल करने के लिए गॉस विधि।

क्रेमर की विधि।

क्रैमर की विधि का उपयोग रैखिक बीजीय समीकरणों के सिस्टम को हल करने के लिए किया जाता है ( टूटना).

दो चर वाले दो समीकरणों की प्रणाली के उदाहरण पर सूत्र।
दिया गया: Cramer's method द्वारा सिस्टम को सॉल्व करें

चर के बारे में एक्सतथा पर.
समाधान:
सिस्टम के गुणांकों से बना मैट्रिक्स के निर्धारक का पता लगाएं, निर्धारकों की गणना। :

हम क्रैमर के सूत्र लागू करते हैं और मूल्यों का पता लगाएंचर:
तथा .
उदाहरण 1:
समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

चर के संबंध में एक्सतथा पर.
समाधान:


आइए इस निर्धारक के पहले कॉलम को सिस्टम के दाईं ओर से गुणांक के कॉलम से बदलें और इसका मान ज्ञात करें:

आइए पहले निर्धारक में दूसरे कॉलम को बदलकर एक समान क्रिया करें:

उपयुक्त क्रैमर के सूत्रऔर चर के मान ज्ञात कीजिए:
तथा ।
उत्तर:
टिप्पणी:इस पद्धति का उपयोग उच्च आयामों की प्रणालियों को हल करने के लिए किया जा सकता है।

टिप्पणी:यदि यह पता चलता है, लेकिन शून्य से विभाजित करना असंभव है, तो वे कहते हैं कि सिस्टम का कोई अनूठा समाधान नहीं है। इस मामले में, सिस्टम के पास या तो असीम रूप से कई समाधान हैं या कोई समाधान नहीं है।

उदाहरण 2(अनंत संख्या में समाधान):

समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

चर के संबंध में एक्सतथा पर.
समाधान:
सिस्टम के गुणांकों से बने मैट्रिक्स के निर्धारक का पता लगाएं:

प्रतिस्थापन विधि द्वारा प्रणालियों को हल करना।

सिस्टम के समीकरणों में से पहला एक समानता है जो चर के किसी भी मान के लिए सही है (क्योंकि 4 हमेशा 4 के बराबर होता है)। तो केवल एक समीकरण बचा है। यह चरों के बीच संबंध समीकरण है।
हमने पाया कि प्रणाली का समाधान समानता से संबंधित चर के मूल्यों की कोई जोड़ी है।
सामान्य निर्णयइस तरह लिखा जाएगा:
इस संबंध समीकरण से y का एक मनमाना मान चुनकर और x की गणना करके विशेष समाधान निर्धारित किए जा सकते हैं।

आदि।
ऐसे असीम रूप से कई समाधान हैं।
उत्तर:सामान्य निर्णय
निजी समाधान:

उदाहरण 3(कोई समाधान नहीं, सिस्टम असंगत है):

समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

समाधान:
सिस्टम के गुणांकों से बने मैट्रिक्स के निर्धारक का पता लगाएं:

आप Cramer's फ़ार्मुलों का उपयोग नहीं कर सकते। आइए इस प्रणाली को प्रतिस्थापन विधि द्वारा हल करें

सिस्टम का दूसरा समीकरण एक समानता है जो चर के किसी भी मान के लिए मान्य नहीं है (बेशक, चूंकि -15 2 के बराबर नहीं है)। यदि सिस्टम के समीकरणों में से एक चर के किसी भी मान के लिए सही नहीं है, तो पूरे सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं है।
उत्तर:कोई समाधान नहीं

समीकरणों की संख्या के साथ मैट्रिक्स के मुख्य निर्धारक के साथ अज्ञात की संख्या के समान, जो शून्य के बराबर नहीं है, सिस्टम के गुणांक (ऐसे समीकरणों के लिए एक समाधान है और यह केवल एक है)।

क्रैमर का प्रमेय।

जब एक वर्ग प्रणाली के मैट्रिक्स का निर्धारक गैर-शून्य होता है, तो सिस्टम संगत होता है और इसका एक समाधान होता है और इसे पाया जा सकता है क्रैमर के सूत्र:

जहां - सिस्टम मैट्रिक्स निर्धारक,

Δ मैं- सिस्टम के मैट्रिक्स का निर्धारक, जिसमें के बजाय मैंवां स्तंभ दाहिने भागों का स्तंभ है।

जब सिस्टम का निर्धारक शून्य होता है, तो सिस्टम सुसंगत या असंगत हो सकता है।

इस पद्धति का उपयोग आमतौर पर वॉल्यूम गणना के साथ छोटी प्रणालियों के लिए किया जाता है और यदि अज्ञात में से 1 को निर्धारित करना आवश्यक हो। विधि की जटिलता यह है कि कई निर्धारकों की गणना करना आवश्यक है।

क्रैमर विधि का विवरण।

समीकरणों की एक प्रणाली है:

क्रैमर की विधि द्वारा 3 समीकरणों की एक प्रणाली को हल किया जा सकता है, जिसकी चर्चा ऊपर 2 समीकरणों की प्रणाली के लिए की गई थी।

हम अज्ञात के गुणांक से निर्धारक की रचना करते हैं:

यह करेगा सिस्टम क्वालिफायर. कब डी≠0, इसलिए सिस्टम सुसंगत है। अब हम 3 अतिरिक्त निर्धारकों की रचना करेंगे:

,,

हम सिस्टम को हल करते हैं क्रैमर के सूत्र:

क्रैमर विधि द्वारा समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के उदाहरण।

उदाहरण 1.

दी गई प्रणाली:

आइए इसे क्रैमर विधि से हल करें।

सबसे पहले आपको सिस्टम के मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करने की आवश्यकता है:

इसलिये 0, इसलिए, क्रैमर के प्रमेय से, सिस्टम संगत है और इसका एक समाधान है। हम अतिरिक्त निर्धारकों की गणना करते हैं। निर्धारक 1 निर्धारक से प्राप्त किया जाता है, इसके पहले कॉलम को मुक्त गुणांक के कॉलम के साथ बदलकर प्राप्त किया जाता है। हम पाते हैं:

उसी तरह, हम सिस्टम के मैट्रिक्स के निर्धारक से निर्धारक 2 प्राप्त करते हैं, दूसरे कॉलम को मुक्त गुणांक के कॉलम से बदलते हैं: