असंगत सिस्टम। एक सामान्य समाधान के साथ सिस्टम। निजी फैसले। गॉस विधि द्वारा रैखिक समीकरणों को हल करने वाली प्रणाली

जैसा से प्रतीत होता है क्रैमर के प्रमेय, सिस्टम को हल करते समय रेखीय समीकरणतीन मामले हो सकते हैं:

पहला मामला: रैखिक समीकरणों की प्रणाली का एक अनूठा समाधान है

(प्रणाली सुसंगत और निश्चित है)

दूसरा मामला: रैखिक समीकरणों की प्रणाली में अनंत संख्या में समाधान होते हैं

(प्रणाली सुसंगत और अनिश्चित है)

** ,

वे। अज्ञात के गुणांक और मुक्त पद समानुपाती होते हैं।

तीसरा मामला: रैखिक समीकरणों की प्रणाली का कोई समाधान नहीं है

(सिस्टम असंगत)

तो सिस्टम एमके साथ रैखिक समीकरण एनचर कहा जाता है असंगतअगर इसका कोई समाधान नहीं है, और संयुक्तअगर इसका कम से कम एक समाधान है। समीकरणों की एक संयुक्त प्रणाली जिसका केवल एक ही हल होता है, कहलाता है निश्चित, और एक से अधिक ढुलमुल.

क्रैमर विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के उदाहरण

चलो सिस्टम

.

क्रैमर के प्रमेय पर आधारित

………….
,

कहाँ पे
-

सिस्टम पहचानकर्ता। शेष निर्धारक कॉलम को संबंधित चर (अज्ञात) के गुणांक के साथ मुक्त सदस्यों के साथ बदलकर प्राप्त किया जाता है:

उदाहरण 2

.

अतः व्यवस्था निश्चित है। इसका हल खोजने के लिए, हम निर्धारकों की गणना करते हैं

क्रैमर के सूत्रों से हम पाते हैं:

तो, (1; 0; -1) प्रणाली का एकमात्र समाधान है।

समीकरण 3 X 3 और 4 X 4 के सिस्टम के समाधान की जांच करने के लिए, आप ऑनलाइन कैलकुलेटर, क्रैमर सॉल्विंग विधि का उपयोग कर सकते हैं।

यदि एक या अधिक समीकरणों में रैखिक समीकरणों के निकाय में कोई चर नहीं हैं, तो सारणिक में उनके संगत तत्व शून्य के बराबर होते हैं! यह अगला उदाहरण है।

उदाहरण 3क्रैमर विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

.

समाधान। हम प्रणाली के निर्धारक पाते हैं:

समीकरणों के निकाय और निकाय के सारणिक को ध्यान से देखें और उस प्रश्न का उत्तर दोहराएँ जिसमें सारणिक के एक या अधिक अवयव शून्य के बराबर हों। अतः सारणिक शून्य के बराबर नहीं है, इसलिए निकाय निश्चित है। इसका समाधान खोजने के लिए, हम अज्ञात के लिए निर्धारकों की गणना करते हैं

क्रैमर के सूत्रों से हम पाते हैं:

तो, सिस्टम का समाधान (2; -1; 1) है।

6. सामान्य प्रणालीरैखिक बीजीय समीकरण. गॉस विधि।

जैसा कि हमें याद है, क्रेमर का नियम और मैट्रिक्स विधिउन मामलों में अनुपयुक्त हैं जहां सिस्टम के पास असीम रूप से कई समाधान हैं या असंगत हैं। गॉस विधि – रैखिक समीकरणों की किसी भी प्रणाली के समाधान खोजने के लिए सबसे शक्तिशाली और बहुमुखी उपकरण, के जो प्रत्येक स्थिति मेंहमें उत्तर की ओर ले चलो! तीनों मामलों में विधि का एल्गोरिथ्म एक ही तरह से काम करता है। यदि क्रैमर और मैट्रिक्स विधियों को निर्धारकों के ज्ञान की आवश्यकता होती है, तो गॉस विधि को लागू करने के लिए ज्ञान की आवश्यकता होती है अंकगणितीय आपरेशनसजो इसे प्राथमिक विद्यालय के छात्रों के लिए भी सुलभ बनाता है।

सबसे पहले, हम रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के बारे में ज्ञान को थोड़ा व्यवस्थित करते हैं। रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली कर सकते हैं:

1) एक अनूठा समाधान है।
2) असीम रूप से कई समाधान हैं।
3) कोई समाधान नहीं है (be .) असंगत).

समाधान खोजने के लिए गॉस विधि सबसे शक्तिशाली और बहुमुखी उपकरण है कोईरैखिक समीकरणों की प्रणाली। जैसा कि हम याद करते हैं क्रैमर का नियम और मैट्रिक्स विधिउन मामलों में अनुपयुक्त हैं जहां सिस्टम के पास असीम रूप से कई समाधान हैं या असंगत हैं। अज्ञात के क्रमिक उन्मूलन की एक विधि वैसे भीहमें उत्तर की ओर ले चलो! इस पाठ में, हम फिर से केस नंबर 1 (सिस्टम का एकमात्र समाधान) के लिए गॉस विधि पर विचार करेंगे, लेख अंक संख्या 2-3 की स्थितियों के लिए आरक्षित है। मैं ध्यान देता हूं कि विधि एल्गोरिथ्म स्वयं तीनों मामलों में उसी तरह काम करता है।

वापस सबसे सरल प्रणालीपाठ से रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को कैसे हल करें?
और इसे गाऊसी विधि से हल करें।

पहला कदम लिखना है विस्तारित मैट्रिक्स प्रणाली:
. गुणांक किस सिद्धांत से दर्ज किए जाते हैं, मुझे लगता है कि हर कोई देख सकता है। मैट्रिक्स के अंदर खड़ी रेखा का कोई गणितीय अर्थ नहीं है - यह डिजाइन की आसानी के लिए सिर्फ एक स्ट्राइकथ्रू है।

संदर्भ:मैं याद रखने की सलाह देता हूं शर्तेंलीनियर अलजेब्रा। सिस्टम मैट्रिक्सअज्ञात के लिए केवल गुणांक से बना एक मैट्रिक्स है, इस उदाहरण में, सिस्टम का मैट्रिक्स:। विस्तारित सिस्टम मैट्रिक्ससिस्टम का एक ही मैट्रिक्स है और इस मामले में मुक्त शर्तों का एक कॉलम है:। किसी भी मैट्रिक्स को संक्षिप्तता के लिए केवल एक मैट्रिक्स कहा जा सकता है।

सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखे जाने के बाद, इसके साथ कुछ क्रियाएं करना आवश्यक है, जिन्हें भी कहा जाता है प्राथमिक परिवर्तन.

निम्नलिखित प्राथमिक परिवर्तन हैं:

1) स्ट्रिंग्समैट्रिक्स पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता हैस्थान। उदाहरण के लिए, विचाराधीन मैट्रिक्स में, आप पहली और दूसरी पंक्तियों को सुरक्षित रूप से पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं:

2) यदि मैट्रिक्स में (या प्रकट) आनुपातिक (as .) है विशेष मामलासमान हैं) तार, तो यह इस प्रकार है मिटानामैट्रिक्स से, एक को छोड़कर ये सभी पंक्तियाँ। उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स पर विचार करें . इस मैट्रिक्स में, अंतिम तीन पंक्तियाँ आनुपातिक हैं, इसलिए उनमें से केवल एक को छोड़ना पर्याप्त है: .

3) यदि परिवर्तन के दौरान मैट्रिक्स में एक शून्य पंक्ति दिखाई देती है, तो वह भी इस प्रकार है मिटाना. मैं नहीं खींचूंगा, निश्चित रूप से, शून्य रेखा वह रेखा है जिसमें केवल शून्य.

4) मैट्रिक्स की पंक्ति हो सकती है गुणा (विभाजित)किसी भी संख्या के लिए गैर-शून्य. उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स पर विचार करें। यहां पहली पंक्ति को -3 से विभाजित करने और दूसरी पंक्ति को 2 से गुणा करने की सलाह दी जाती है: . यह क्रिया बहुत उपयोगी है, क्योंकि यह मैट्रिक्स के आगे के परिवर्तनों को सरल बनाती है।

5) यह परिवर्तन सबसे अधिक कठिनाइयों का कारण बनता है, लेकिन वास्तव में कुछ भी जटिल नहीं है। मैट्रिक्स की पंक्ति में, आप कर सकते हैं एक संख्या से गुणा एक और स्ट्रिंग जोड़ें, शून्य से भिन्न। से हमारे मैट्रिक्स पर विचार करें मामले का अध्ययन: . सबसे पहले, मैं परिवर्तन का विस्तार से वर्णन करूंगा। पहली पंक्ति को -2 से गुणा करें: , तथा दूसरी पंक्ति में हम पहली पंक्ति को -2 . से गुणा करते हैं: . अब पहली पंक्ति को "बैक" को -2: से विभाजित किया जा सकता है। जैसा कि आप देख सकते हैं, वह रेखा जो जोड़ा गया है ली – नहीं बदला है. हमेशा से रहा हैलाइन बदल दी गई है, जिसमें जोड़ा गया है केन्द्र शासित प्रदेशों.

व्यवहार में, निश्चित रूप से, वे इस तरह के विवरण में पेंट नहीं करते हैं, लेकिन कम लिखते हैं:

एक बार फिर: दूसरी पंक्ति के लिए पहली पंक्ति को -2 . से गुणा किया गया. रेखा को आमतौर पर मौखिक रूप से या मसौदे पर गुणा किया जाता है, जबकि गणना का मानसिक पाठ्यक्रम कुछ इस तरह होता है:

"मैं मैट्रिक्स को फिर से लिखता हूं और पहली पंक्ति को फिर से लिखता हूं: »

पहला कॉलम पहले। नीचे मुझे शून्य प्राप्त करने की आवश्यकता है। इसलिए, मैं उपरोक्त इकाई को -2: से गुणा करता हूं, और पहली को दूसरी पंक्ति में जोड़ता हूं: 2 + (-2) = 0। मैं परिणाम को दूसरी पंक्ति में लिखता हूं: »

"अब दूसरा कॉलम। ऊपर -1 गुना -2: . मैं पहली पंक्ति को दूसरी पंक्ति में जोड़ता हूं: 1 + 2 = 3. मैं परिणाम को दूसरी पंक्ति में लिखता हूं: »

"और तीसरा कॉलम। ऊपर -5 गुना -2: . मैं दूसरी पंक्ति में पहली पंक्ति जोड़ता हूं: -7 + 10 = 3. मैं परिणाम को दूसरी पंक्ति में लिखता हूं: »

कृपया इस उदाहरण के बारे में ध्यान से सोचें और अनुक्रमिक गणना एल्गोरिदम को समझें, यदि आप इसे समझते हैं, तो गॉस विधि व्यावहारिक रूप से "आपकी जेब में" है। लेकिन, निश्चित रूप से, हम अभी भी इस परिवर्तन पर काम कर रहे हैं।

प्राथमिक परिवर्तन समीकरणों की प्रणाली के समाधान को नहीं बदलते हैं

! ध्यान: जोड़तोड़ माना जाता है उपयोग नहीं कर सकते, यदि आपको एक कार्य की पेशकश की जाती है जहां मैट्रिक्स "स्वयं द्वारा" दिए जाते हैं। उदाहरण के लिए, "क्लासिक" के साथ मैट्रिक्सकिसी भी स्थिति में आपको मैट्रिसेस के अंदर कुछ पुनर्व्यवस्थित नहीं करना चाहिए!

आइए अपने सिस्टम पर लौटते हैं। वह व्यावहारिक रूप से टुकड़ों में टूट गई है।

आइए हम सिस्टम के संवर्धित मैट्रिक्स को लिखें और प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे कम करें चरणबद्ध दृश्य:

(1) पहली पंक्ति को दूसरी पंक्ति में -2 से गुणा करके जोड़ा गया था। और फिर: हम पहली पंक्ति को -2 से क्यों गुणा करते हैं? तल पर शून्य प्राप्त करने के लिए, जिसका अर्थ है दूसरी पंक्ति में एक चर से छुटकारा पाना।

(2) दूसरी पंक्ति को 3 से विभाजित करें।

प्राथमिक परिवर्तनों का उद्देश्य – मैट्रिक्स को स्टेप फॉर्म में बदलें: . कार्य के डिजाइन में, वे सीधे जोर देते हैं एक साधारण पेंसिल के साथ"सीढ़ी", और "चरणों" पर स्थित संख्याओं को भी सर्कल करें। शब्द "स्टेप्ड व्यू" अपने आप में पूरी तरह से सैद्धांतिक नहीं है; वैज्ञानिक और शैक्षिक साहित्य में, इसे अक्सर कहा जाता है समलम्बाकार दृश्यया त्रिकोणीय दृश्य.

प्रारंभिक परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, हमने प्राप्त किया है बराबरसमीकरणों की मूल प्रणाली:

अब सिस्टम को विपरीत दिशा में "अनट्विस्टेड" करने की आवश्यकता है - नीचे से ऊपर तक, इस प्रक्रिया को कहा जाता है रिवर्स गॉस विधि.

निचले समीकरण में, हमारे पास पहले से ही समाप्त परिणाम है: .

सिस्टम के पहले समीकरण पर विचार करें और इसमें "y" के पहले से ज्ञात मान को प्रतिस्थापित करें:

आइए हम सबसे सामान्य स्थिति पर विचार करें, जब तीन अज्ञात के साथ तीन रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए गाऊसी पद्धति की आवश्यकता होती है।

उदाहरण 1

गॉस विधि का उपयोग करके समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

आइए सिस्टम के संवर्धित मैट्रिक्स को लिखें:

अब मैं तुरंत वह परिणाम निकालूंगा जो हम समाधान के दौरान आएंगे:

और मैं दोहराता हूं, हमारा लक्ष्य प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके मैट्रिक्स को एक चरणबद्ध रूप में लाना है। कार्रवाई कहाँ से शुरू करें?

सबसे पहले, ऊपरी बाएँ नंबर को देखें:

लगभग हमेशा यहाँ होना चाहिए इकाई. सामान्यतया, -1 (और कभी-कभी अन्य नंबर) भी उपयुक्त होंगे, लेकिन किसी तरह यह पारंपरिक रूप से हुआ है कि एक इकाई आमतौर पर वहां रखी जाती है। एक इकाई को कैसे व्यवस्थित करें? हम पहले कॉलम को देखते हैं - हमारे पास एक तैयार इकाई है! परिवर्तन एक: पहली और तीसरी पंक्तियों को स्वैप करें:

अब पहली पंक्ति समाधान के अंत तक अपरिवर्तित रहेगी. अब ठीक है।

ऊपर बाईं ओर इकाई व्यवस्थित है। अब आपको इन जगहों पर शून्य प्राप्त करने की आवश्यकता है:

शून्य केवल "कठिन" परिवर्तन की सहायता से प्राप्त किए जाते हैं। सबसे पहले, हम दूसरी पंक्ति (2, -1, 3, 13) से निपटते हैं। प्रथम स्थान पर शून्य प्राप्त करने के लिए क्या करने की आवश्यकता है? जरुरत दूसरी पंक्ति में पहली पंक्ति को -2 . से गुणा करके जोड़ें. मानसिक रूप से या मसौदे पर, हम पहली पंक्ति को -2: (-2, -4, 2, -18) से गुणा करते हैं। और हम लगातार (मानसिक रूप से या मसौदे पर) जोड़ देते हैं, दूसरी पंक्ति में हम पहली पंक्ति जोड़ते हैं, पहले से ही -2 . से गुणा किया जाता है:

परिणाम दूसरी पंक्ति में लिखा गया है:

इसी तरह, हम तीसरी पंक्ति (3, 2, -5, -1) से निपटते हैं। पहली स्थिति में शून्य प्राप्त करने के लिए, आपको चाहिए तीसरी पंक्ति में पहली पंक्ति को -3 . से गुणा करें. मानसिक रूप से या मसौदे पर, हम पहली पंक्ति को -3: (-3, -6, 3, -27) से गुणा करते हैं। और तीसरी पंक्ति में हम पहली पंक्ति को -3 . से गुणा करते हैं:

परिणाम तीसरी पंक्ति में लिखा गया है:

व्यवहार में, इन क्रियाओं को आमतौर पर मौखिक रूप से किया जाता है और एक चरण में लिखा जाता है:

एक ही समय में सब कुछ गिनने की आवश्यकता नहीं है. गणना का क्रम और परिणामों का "सम्मिलन" लगातारऔर आम तौर पर इस तरह: पहले हम पहली पंक्ति को फिर से लिखते हैं, और अपने आप को चुपचाप फुलाते हैं - लगातार और सावधानी से:


और मैंने पहले से ही ऊपर की गणना के मानसिक पाठ्यक्रम पर विचार किया है।

इस उदाहरण में, यह करना आसान है, हम दूसरी पंक्ति को -5 से विभाजित करते हैं (चूंकि सभी संख्याएं शेष के बिना 5 से विभाज्य हैं)। उसी समय, हम तीसरी पंक्ति को -2 से विभाजित करते हैं, क्योंकि संख्या जितनी छोटी होगी, आसान उपाय:

प्रारंभिक परिवर्तनों के अंतिम चरण में, यहां एक और शून्य प्राप्त किया जाना चाहिए:

इसके लिए तीसरी पंक्ति में हम दूसरी पंक्ति जोड़ते हैं, -2 . से गुणा करते हैं:


इस क्रिया को स्वयं पार्स करने का प्रयास करें - मानसिक रूप से दूसरी पंक्ति को -2 से गुणा करें और जोड़ दें।

अंतिम क्रिया परिणाम की केश विन्यास है, तीसरी पंक्ति को 3 से विभाजित करें।

प्रारंभिक परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, रैखिक समीकरणों की एक समान प्रारंभिक प्रणाली प्राप्त की गई थी:

ठंडा।

अब खेल में आता है रिवर्स स्ट्रोकगॉस विधि। समीकरण नीचे से ऊपर की ओर "खोलें"।

तीसरे समीकरण में, हमारे पास पहले से ही समाप्त परिणाम है:

आइए दूसरे समीकरण को देखें: . "z" का अर्थ पहले से ही ज्ञात है, इस प्रकार:

और अंत में, पहला समीकरण: . "Y" और "Z" ज्ञात हैं, बात छोटी है:

उत्तर:

जैसा कि बार-बार उल्लेख किया गया है, समीकरणों की किसी भी प्रणाली के लिए, पाया गया समाधान की जांच करना संभव और आवश्यक है, सौभाग्य से, यह मुश्किल और तेज़ नहीं है।

उदाहरण 2

यह एक उदाहरण है स्वतंत्र निर्णय, नमूना परिष्करणऔर पाठ के अंत में उत्तर।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि आपका कार्रवाई के दौरानमेरी कार्यशैली से मेल नहीं खा सकता है, और यह गॉस पद्धति की एक विशेषता है. लेकिन जवाब वही होना चाहिए!

उदाहरण 3

गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

हम सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखते हैं और प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे एक चरण रूप में लाते हैं:

हम ऊपरी बाएँ "चरण" को देखते हैं। वहां हमारी एक इकाई होनी चाहिए। समस्या यह है कि पहले कॉलम में कोई भी नहीं है, इसलिए पंक्तियों को पुनर्व्यवस्थित करके कुछ भी हल नहीं किया जा सकता है। ऐसे मामलों में, इकाई को प्राथमिक परिवर्तन का उपयोग करके व्यवस्थित किया जाना चाहिए। यह आमतौर पर कई तरीकों से किया जा सकता है। इसे मैने किया है:
(1) पहली पंक्ति में हम दूसरी पंक्ति जोड़ते हैं, -1 . से गुणा करते हैं. यही है, हमने मानसिक रूप से दूसरी पंक्ति को -1 से गुणा किया और पहली और दूसरी पंक्तियों को जोड़ने का प्रदर्शन किया, जबकि दूसरी पंक्ति नहीं बदली।

अब ऊपर बाईं ओर "माइनस वन" है, जो हमें पूरी तरह से सूट करता है। कौन +1 प्राप्त करना चाहता है एक अतिरिक्त इशारा कर सकता है: पहली पंक्ति को -1 से गुणा करें (इसका चिन्ह बदलें)।

(2) पहली पंक्ति को 5 से गुणा करके दूसरी पंक्ति में जोड़ा गया। पहली पंक्ति को 3 से गुणा करके तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया।

(3) पहली पंक्ति को -1 से गुणा किया गया था, सिद्धांत रूप में, यह सुंदरता के लिए है। तीसरी पंक्ति का चिन्ह भी बदल दिया गया और दूसरे स्थान पर चला गया, इस प्रकार, दूसरे "कदम पर, हमारे पास वांछित इकाई थी।

(4) दूसरी पंक्ति को 2 से गुणा करके तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया।

(5) तीसरी पंक्ति को 3 से विभाजित किया गया था।

एक बुरा संकेत जो एक गणना त्रुटि को इंगित करता है (कम अक्सर एक टाइपो) एक "खराब" निचला रेखा है। यही है, अगर हमें नीचे जैसा कुछ मिला, और, तदनुसार, , तो उच्च स्तर की संभावना के साथ यह तर्क दिया जा सकता है कि प्राथमिक परिवर्तनों के दौरान एक त्रुटि की गई थी।

हम रिवर्स मूव को चार्ज करते हैं, उदाहरणों के डिजाइन में, सिस्टम को अक्सर फिर से नहीं लिखा जाता है, और समीकरण "दिए गए मैट्रिक्स से सीधे लिए जाते हैं"। रिवर्स मूव, मैं आपको याद दिलाता हूं, नीचे से ऊपर तक काम करता है। हाँ, यहाँ एक उपहार है:

उत्तर: .

उदाहरण 4

गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

यह एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक उदाहरण है, यह कुछ अधिक जटिल है। कोई भ्रमित हो जाए तो कोई बात नहीं। पूरा समाधानऔर पाठ के अंत में नमूना डिजाइन। आपका समाधान मेरे से भिन्न हो सकता है।

अंतिम भाग में, हम गॉस एल्गोरिथम की कुछ विशेषताओं पर विचार करते हैं।
पहली विशेषता यह है कि कभी-कभी सिस्टम के समीकरणों में कुछ चर गायब होते हैं, उदाहरण के लिए:

सिस्टम के संवर्धित मैट्रिक्स को सही ढंग से कैसे लिखें? मैंने इस क्षण के बारे में पाठ में पहले ही बात कर ली है। क्रेमर का नियम। मैट्रिक्स विधि. सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स में, हम लापता चर के स्थान पर शून्य डालते हैं:

वैसे, यह एक काफी आसान उदाहरण है, क्योंकि पहले कॉलम में पहले से ही एक शून्य है, और प्रदर्शन करने के लिए कम प्राथमिक परिवर्तन हैं।

दूसरी विशेषता यह है। विचार किए गए सभी उदाहरणों में, हमने या तो -1 या +1 को "चरणों" पर रखा है। क्या अन्य संख्याएँ हो सकती हैं? कुछ मामलों में वे कर सकते हैं। प्रणाली पर विचार करें: .

यहाँ ऊपरी बाएँ "स्टेप" पर हमारे पास एक ड्यूस है। लेकिन हम इस तथ्य पर ध्यान देते हैं कि पहले कॉलम में सभी संख्याएं शेष के बिना 2 से विभाज्य हैं - और अन्य दो और छह। और ऊपर बाईं ओर का ड्यूस हमें सूट करेगा! पहले चरण में, आपको निम्नलिखित परिवर्तन करने की आवश्यकता है: पहली पंक्ति को -1 से गुणा करके दूसरी पंक्ति में जोड़ें; तीसरी पंक्ति में पहली पंक्ति को -3 से गुणा करें। इस प्रकार, हम पहले कॉलम में वांछित शून्य प्राप्त करेंगे।

या एक और काल्पनिक उदाहरण: . यहां, दूसरे "रंग" पर ट्रिपल भी हमें सूट करता है, क्योंकि 12 (वह स्थान जहां हमें शून्य प्राप्त करने की आवश्यकता होती है) बिना शेष के 3 से विभाज्य है। निम्नलिखित परिवर्तन करना आवश्यक है: तीसरी पंक्ति में, दूसरी पंक्ति जोड़ें, -4 से गुणा करें, जिसके परिणामस्वरूप हमें जो शून्य चाहिए वह प्राप्त होगा।

गॉस विधि सार्वभौमिक है, लेकिन एक विशेषता है। आप आत्मविश्वास से सीख सकते हैं कि सिस्टम को अन्य तरीकों से कैसे हल किया जाए (क्रैमर की विधि, मैट्रिक्स विधि) सचमुच पहली बार - एक बहुत ही कठोर एल्गोरिदम है। लेकिन गॉस पद्धति में आत्मविश्वास महसूस करने के लिए, आपको "अपना हाथ भरना" चाहिए और कम से कम 5-10 प्रणालियों को हल करना चाहिए। इसलिए, पहले तो भ्रम हो सकता है, गणना में त्रुटियां हो सकती हैं, और इसमें कुछ भी असामान्य या दुखद नहीं है।

खिड़की के बाहर बरसाती शरद ऋतु का मौसम .... इसलिए, सभी के लिए अधिक जटिल उदाहरणस्वतंत्र समाधान के लिए:

उदाहरण 5

गॉस विधि का उपयोग करके चार अज्ञात के साथ चार रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें।

व्यवहार में ऐसा कार्य इतना दुर्लभ नहीं है। मुझे लगता है कि एक चायदानी भी जिसने इस पृष्ठ का विस्तार से अध्ययन किया है, इस तरह की प्रणाली को सहज रूप से हल करने के लिए एल्गोरिदम को समझता है। मूल रूप से वही - बस और अधिक कार्रवाई।

ऐसे मामले जब सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं है (असंगत) या असीम रूप से कई समाधान हैं, पाठ में विचार किया जाता है। असंगत सिस्टम और सिस्टम सामान्य समाधान . वहां आप गॉस विधि के सुविचारित एल्गोरिथम को ठीक कर सकते हैं।

आपकी सफलता की कामना करते है!

समाधान और उत्तर:

उदाहरण 2: समाधान: आइए सिस्टम के संवर्धित मैट्रिक्स को लिखें और प्राथमिक परिवर्तनों की मदद से हम इसे चरणबद्ध रूप में लाएंगे।


प्रदर्शन प्राथमिक परिवर्तन:
(1) पहली पंक्ति को दूसरी पंक्ति में -2 से गुणा करके जोड़ा गया था। पहली पंक्ति को तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया, जिसे -1 से गुणा किया गया। ध्यान!यहां पहली को तीसरी पंक्ति से घटाना आकर्षक हो सकता है, मैं दृढ़ता से घटाने की अनुशंसा नहीं करता - त्रुटि का जोखिम बहुत बढ़ जाता है। हम सिर्फ गुना!
(2) दूसरी पंक्ति का चिन्ह बदल दिया गया था (-1 से गुणा)। दूसरी और तीसरी पंक्तियों की अदला-बदली की गई है। टिप्पणीकि "कदमों" पर हम न केवल एक से, बल्कि -1 से भी संतुष्ट हैं, जो और भी सुविधाजनक है।
(3) तीसरी पंक्ति में, दूसरी पंक्ति को 5 से गुणा करके जोड़ें।
(4) दूसरी पंक्ति का चिन्ह बदल दिया गया था (-1 से गुणा)। तीसरी पंक्ति को 14 से विभाजित किया गया था।

उलटी चाल:

उत्तर: .

उदाहरण 4: समाधान: आइए सिस्टम के संवर्धित मैट्रिक्स को लिखें और प्राथमिक परिवर्तनों की मदद से हम इसे चरण रूप में लाते हैं:

प्रदर्शन किए गए रूपांतरण:
(1) पहली पंक्ति में दूसरी पंक्ति जोड़ी गई। इस प्रकार, वांछित इकाई ऊपरी बाएँ "चरण" पर व्यवस्थित होती है।
(2) पहली पंक्ति को 7 से गुणा करके दूसरी पंक्ति में जोड़ा गया। पहली पंक्ति को 6 से गुणा करके तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया।

दूसरे "कदम" के साथ सब कुछ बदतर है, इसके लिए "उम्मीदवार" संख्या 17 और 23 हैं, और हमें या तो एक या -1 की आवश्यकता है। रूपांतरण (3) और (4) का उद्देश्य वांछित इकाई प्राप्त करना होगा

(3) दूसरी पंक्ति को तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया, जिसे -1 से गुणा किया गया।
(4) तीसरी पंक्ति को -3 से गुणा करके दूसरी पंक्ति में जोड़ा गया।
दूसरे चरण में आवश्यक वस्तु प्राप्त होती है .
(5) तीसरी पंक्ति में दूसरी को जोड़ा गया, 6 से गुणा किया गया।

पाठों के भीतर गॉस विधितथा एक सामान्य समाधान के साथ असंगत सिस्टम/सिस्टमहमने माना रैखिक समीकरणों की अमानवीय प्रणाली, कहाँ पे स्वतंत्र सदस्य(जो आमतौर पर दाईं ओर होता है) कम से कम एकसमीकरण शून्य से भिन्न थे।
और अब, एक अच्छे वार्म-अप के बाद मैट्रिक्स रैंक, हम तकनीक को पॉलिश करना जारी रखेंगे प्राथमिक परिवर्तनपर रैखिक समीकरणों की सजातीय प्रणाली.
पहले पैराग्राफ के अनुसार, सामग्री उबाऊ और साधारण लग सकती है, लेकिन यह धारणा भ्रामक है। तकनीकों के आगे विकास के अलावा बहुत सी नई जानकारी होगी, इसलिए कृपया इस लेख में उदाहरणों की उपेक्षा न करने का प्रयास करें।

• प्रणाली एमके साथ रैखिक समीकरण एनअनजान।
  रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करनासंख्याओं का ऐसा समुच्चय है ( एक्स 1 , एक्स 2 ,…, एक्स एन), जिसे सिस्टम के प्रत्येक समीकरण में प्रतिस्थापित करके, सही समानता प्राप्त की जाती है।
  कहाँ पे एक ij , मैं = 1, …, एम; जे = 1, …, एनप्रणाली के गुणांक हैं;
  बी मैं, मैं = 1, …, एम- मुक्त सदस्य;
  एक्स जे, जे = 1, …, एन- अनजान।
  उपरोक्त प्रणाली को मैट्रिक्स रूप में लिखा जा सकता है: ए एक्स = बी,
  
  
  
  
  कहाँ पे ( ए|बी) प्रणाली का मुख्य मैट्रिक्स है;
  ए- सिस्टम का विस्तारित मैट्रिक्स;
  एक्स- अज्ञात का स्तंभ;
  बीमुक्त सदस्यों का एक स्तंभ है।
  यदि मैट्रिक्स बीएक अशक्त मैट्रिक्स ∅ नहीं है, तो रैखिक समीकरणों की इस प्रणाली को अमानवीय कहा जाता है।
  यदि मैट्रिक्स बी= , तब रैखिक समीकरणों के इस निकाय को समांगी कहते हैं। एक सजातीय प्रणाली में हमेशा शून्य (तुच्छ) समाधान होता है: x 1 \u003d x 2 \u003d ..., x n \u003d 0.
  रैखिक समीकरणों की संयुक्त प्रणालीरैखिक समीकरणों की एक प्रणाली है जिसका एक समाधान है।
  रैखिक समीकरणों की असंगत प्रणालीरैखिक समीकरणों की एक प्रणाली है जिसका कोई हल नहीं है।
  रैखिक समीकरणों की कुछ प्रणालीरैखिक समीकरणों की एक प्रणाली है जिसका एक अनूठा समाधान है।
  रैखिक समीकरणों की अनिश्चित प्रणालीरैखिक समीकरणों की एक प्रणाली है जिसमें अनंत संख्या में समाधान होते हैं।
• n अज्ञात के साथ n रैखिक समीकरणों के निकाय
  यदि अज्ञात की संख्या समीकरणों की संख्या के बराबर है, तो मैट्रिक्स वर्ग है। मैट्रिक्स निर्धारक को रैखिक समीकरणों की प्रणाली का मुख्य निर्धारक कहा जाता है और इसे प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है।
  क्रैमर विधिसिस्टम को हल करने के लिए एनके साथ रैखिक समीकरण एनअनजान।
  क्रेमर का नियम।
  यदि रैखिक समीकरणों की प्रणाली का मुख्य निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है, तो सिस्टम सुसंगत और परिभाषित है, और एकमात्र समाधान की गणना क्रैमर सूत्रों का उपयोग करके की जाती है:
  जहां मैं सिस्टम के मुख्य निर्धारक से प्राप्त निर्धारक हैं प्रतिस्थापित करके मैंमुक्त सदस्यों के स्तंभ का वां स्तंभ। .
• n अज्ञात के साथ m रैखिक समीकरणों के निकाय
  क्रोनकर-कैपेली प्रमेय.
  
  
  रैखिक समीकरणों की इस प्रणाली के सुसंगत होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि सिस्टम के मैट्रिक्स का रैंक सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स के रैंक के बराबर हो, रैंक (Α) = रैंक (Α | बी).
  यदि एक रंग (Α) रंग (Α | बी), तो सिस्टम के पास स्पष्ट रूप से कोई समाधान नहीं है।
  यदि रैंक (Α) = रैंक (Α | बी), तो दो मामले संभव हैं:
  1) रंग (Α) = n(अज्ञात की संख्या के लिए) - समाधान अद्वितीय है और क्रैमर के सूत्रों द्वारा प्राप्त किया जा सकता है;
  2) रैंक (Α)< n - असीम रूप से कई समाधान हैं।
• गॉस विधिरैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए
  
  
  आइए ऑगमेंटेड मैट्रिक्स की रचना करें ( ए|बी) अज्ञात और दायीं ओर गुणांकों की दी गई प्रणाली का।
  गाऊसी विधि या अज्ञात विधि के उन्मूलन में संवर्धित मैट्रिक्स को कम करना शामिल है ( ए|बी) अपनी पंक्तियों पर एक विकर्ण रूप में (ऊपरी त्रिकोणीय रूप में) प्राथमिक परिवर्तनों की मदद से। समीकरणों की प्रणाली में लौटने पर, सभी अज्ञात निर्धारित किए जाते हैं।
  स्ट्रिंग्स पर प्राथमिक परिवर्तनों में निम्नलिखित शामिल हैं:
  1) दो पंक्तियों की अदला-बदली;
  2) एक स्ट्रिंग को 0 के अलावा किसी अन्य संख्या से गुणा करना;
  3) स्ट्रिंग में एक और स्ट्रिंग को एक मनमाना संख्या से गुणा करना;
  4) एक अशक्त स्ट्रिंग को त्यागना।
  एक विकर्ण रूप में कम किया गया एक विस्तारित मैट्रिक्स दिए गए एक के बराबर एक रैखिक प्रणाली से मेल खाता है, जिसका समाधान कठिनाइयों का कारण नहीं बनता है। .
• सजातीय रैखिक समीकरणों की प्रणाली।
  सजातीय प्रणाली का रूप है:
  
  इससे मेल खाता है मैट्रिक्स समीकरण ए एक्स = 0.
  1) एक समांगी प्रणाली हमेशा सुसंगत होती है, क्योंकि आर (ए) = आर (ए | बी), हमेशा शून्य समाधान होता है (0, 0, …, 0)।
  2) एक सजातीय प्रणाली के लिए एक गैर-शून्य समाधान के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि आर = आर (ए)< n , जो = 0 के बराबर है।
  3) अगर आर< n , फिर = 0, फिर मुक्त अज्ञात हैं सी 1 , सी 2 ,…, सी एन-आर, सिस्टम में गैर-तुच्छ समाधान हैं, और उनमें से असीमित रूप से कई हैं।
  4) सामान्य समाधान एक्सपर आर< n मैट्रिक्स रूप में निम्नानुसार लिखा जा सकता है:
  एक्स \u003d सी 1 एक्स 1 + सी 2 एक्स 2 + ... + सी एन-आर एक्स एन-आर,
  समाधान कहां हैं एक्स 1 , एक्स 2 ,…, एक्स एन-आरसमाधान की एक मौलिक प्रणाली बनाते हैं।
  5) समाधान की मौलिक प्रणाली सजातीय प्रणाली के सामान्य समाधान से प्राप्त की जा सकती है:
  
  ,
  यदि हम क्रमिक रूप से मान लेते हैं कि पैरामीटरों का मान (1, 0,…, 0) है, (0, 1,…, 0)…, (0, 0,…, 1)।
  समाधान की मौलिक प्रणाली के संदर्भ में सामान्य समाधान का अपघटनमौलिक प्रणाली से संबंधित समाधानों के रैखिक संयोजन के रूप में सामान्य समाधान का रिकॉर्ड है।
  प्रमेय. रैखिक सजातीय समीकरणों की एक प्रणाली के लिए एक गैर-शून्य समाधान होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि 0।
  इसलिए, यदि सारणिक 0 है, तो निकाय का एक अद्वितीय हल है।
  यदि 0 है, तो रैखिक समांगी समीकरणों के निकाय के अनंत हल हैं।
  प्रमेय. एक सजातीय प्रणाली के लिए एक गैर-शून्य समाधान होना आवश्यक और पर्याप्त है कि आर (ए)< n .
  सबूत:
  1) आरअधिक नहीं हो सकता एन(मैट्रिक्स रैंक कॉलम या पंक्तियों की संख्या से अधिक नहीं है);
  2) आर< n , इसलिये यदि आर = एन, तो सिस्टम का मुख्य निर्धारक 0, और, क्रैमर के सूत्रों के अनुसार, एक अद्वितीय तुच्छ समाधान है x 1 \u003d x 2 \u003d ... \u003d x n \u003d 0, जो शर्त के विपरीत है। माध्यम, आर (ए)< n .
  परिणाम. एक सजातीय प्रणाली के लिए एनके साथ रैखिक समीकरण एनअज्ञात का एक शून्येतर हल होता है, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि = 0.

उदाहरण 1. एक सामान्य समाधान और प्रणाली का कुछ विशेष समाधान खोजें

समाधानएक कैलकुलेटर के साथ करो। हम विस्तारित और मुख्य मैट्रिक्स लिखते हैं:

मुख्य मैट्रिक्स ए को एक बिंदीदार रेखा से अलग किया जाता है। ऊपर से, हम अज्ञात सिस्टम लिखते हैं, सिस्टम के समीकरणों में शर्तों के संभावित क्रमपरिवर्तन को ध्यान में रखते हुए। विस्तारित मैट्रिक्स के रैंक का निर्धारण करते हुए, हम एक साथ मुख्य रैंक का पता लगाते हैं। मैट्रिक्स बी में, पहले और दूसरे कॉलम आनुपातिक हैं। दो आनुपातिक स्तंभों में से केवल एक ही मूल नाबालिग में गिर सकता है, तो चलिए चलते हैं, उदाहरण के लिए, विपरीत चिह्न के साथ धराशायी रेखा से परे पहला स्तंभ। सिस्टम के लिए, इसका अर्थ है सदस्यों को x 1 से . तक ले जाना दाईं ओरसमीकरण

हम मैट्रिक्स को त्रिकोणीय रूप में लाते हैं। हम केवल पंक्तियों के साथ काम करेंगे, क्योंकि एक मैट्रिक्स की एक पंक्ति को एक गैर-शून्य संख्या से गुणा करना और इसे सिस्टम के लिए दूसरी पंक्ति में जोड़ने का अर्थ है समीकरण को उसी संख्या से गुणा करना और इसे दूसरे समीकरण में जोड़ना, जो समाधान नहीं बदलता है प्रणाली में। पहली पंक्ति के साथ कार्य करना: मैट्रिक्स की पहली पंक्ति को (-3) से गुणा करें और बारी-बारी से दूसरी और तीसरी पंक्तियों में जोड़ें। फिर हम पहली पंक्ति को (-2) से गुणा करते हैं और चौथी पंक्ति में जोड़ते हैं।

दूसरी और तीसरी पंक्तियाँ आनुपातिक हैं, इसलिए उनमें से एक, उदाहरण के लिए दूसरी, को पार किया जा सकता है। यह सिस्टम के दूसरे समीकरण को हटाने के बराबर है, क्योंकि यह तीसरे समीकरण का परिणाम है।

अब हम दूसरी पंक्ति के साथ काम करते हैं: इसे (-1) से गुणा करें और इसे तीसरी में जोड़ें।

धराशायी नाबालिग का उच्चतम क्रम है (सभी संभावित नाबालिगों में से) और गैर-शून्य है (यह मुख्य विकर्ण पर तत्वों के उत्पाद के बराबर है), और यह नाबालिग मुख्य मैट्रिक्स और विस्तारित दोनों से संबंधित है, इसलिए रंगए = रंगबी = 3।
नाबालिग बुनियादी है। इसमें अज्ञात x 2, x 3, x 4 के गुणांक शामिल हैं, जिसका अर्थ है कि अज्ञात x 2, x 3, x 4 आश्रित हैं, और x 1, x 5 मुक्त हैं।
हम मैट्रिक्स को रूपांतरित करते हैं, बाईं ओर केवल मूल नाबालिग को छोड़कर (जो उपरोक्त समाधान एल्गोरिदम के बिंदु 4 से मेल खाती है)।

इस मैट्रिक्स के गुणांक वाली प्रणाली मूल प्रणाली के बराबर है और इसका रूप है

अज्ञात के उन्मूलन की विधि से हम पाते हैं:
, ,

हमें स्वतंत्र x 1 और x 5 के माध्यम से आश्रित चर x 2, x 3, x 4 व्यक्त करने वाले संबंध प्राप्त हुए, अर्थात्, हमें एक सामान्य समाधान मिला:

मुक्त अज्ञातों को मनमाना मान देते हुए, हम कितने भी विशेष समाधान प्राप्त करते हैं। आइए दो विशेष समाधान खोजें:
1) मान लीजिए x 1 = x 5 = 0, फिर x 2 = 1, x 3 = -3, x 4 = 3;
2) x 1 = 1, x 5 = -1, फिर x 2 = 4, x 3 = -7, x 4 = 7 रखें।
इस प्रकार, हमें दो समाधान मिले: (0.1, -3,3,0) - एक समाधान, (1.4, -7.7, -1) - दूसरा समाधान।

उदाहरण 2. संगतता की जांच करें, सिस्टम का एक सामान्य और एक विशेष समाधान खोजें

समाधान. आइए पहले समीकरण में एक इकाई रखने के लिए पहले और दूसरे समीकरणों को पुनर्व्यवस्थित करें और मैट्रिक्स बी लिखें।

हम चौथे कॉलम में शून्य प्राप्त करते हैं, पहली पंक्ति पर काम करते हुए:

अब दूसरी पंक्ति का उपयोग करके तीसरे कॉलम में शून्य प्राप्त करें:

तीसरी और चौथी पंक्तियाँ आनुपातिक हैं, इसलिए उनमें से एक को बिना रैंक बदले पार किया जा सकता है:
तीसरी पंक्ति को (-2) से गुणा करें और चौथे में जोड़ें:

हम देखते हैं कि मुख्य और विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक 4 है, और रैंक अज्ञात की संख्या के साथ मेल खाती है, इसलिए, सिस्टम का एक अनूठा समाधान है:
;
x 4 \u003d 10- 3x 1 - 3x 2 - 2x 3 \u003d 11.

उदाहरण 3. संगतता के लिए सिस्टम की जांच करें और यदि यह मौजूद है तो समाधान खोजें।

समाधान. हम सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स की रचना करते हैं।

पहले दो समीकरणों को पुनर्व्यवस्थित करें ताकि ऊपरी बाएँ कोने में 1 हो:
पहली पंक्ति को (-1) से गुणा करते हुए, हम इसे तीसरे में जोड़ते हैं:

दूसरी पंक्ति को (-2) से गुणा करें और तीसरी पंक्ति में जोड़ें:

सिस्टम असंगत है, क्योंकि मुख्य मैट्रिक्स को शून्य से युक्त एक पंक्ति प्राप्त हुई है, जिसे रैंक मिलने पर क्रॉस आउट कर दिया जाता है, और अंतिम पंक्ति विस्तारित मैट्रिक्स में बनी रहती है, अर्थात r B > r A ।

व्यायाम. संगतता के लिए समीकरणों की इस प्रणाली की जांच करें और इसे मैट्रिक्स कैलकुस के माध्यम से हल करें।
समाधान

उदाहरण. रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली की संगतता साबित करें और इसे दो तरीकों से हल करें: 1) गॉस विधि द्वारा; 2) क्रैमर की विधि। (उत्तर फॉर्म में दर्ज करें: x1,x2,x3)
समाधान :doc :doc :xls
उत्तर: 2,-1,3.

उदाहरण. रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली दी गई है। इसकी अनुकूलता सिद्ध कीजिए। सिस्टम का एक सामान्य समाधान और एक विशेष समाधान खोजें।
समाधान
उत्तर: x 3 \u003d - 1 + x 4 + x 5; एक्स 2 \u003d 1 - एक्स 4; एक्स 1 = 2 + एक्स 4 - 3x 5

व्यायाम. प्रत्येक प्रणाली के लिए सामान्य और विशेष समाधान खोजें।
समाधान।हम क्रोनकर-कैपेली प्रमेय का उपयोग करके इस प्रणाली का अध्ययन करते हैं।
हम विस्तारित और मुख्य मैट्रिक्स लिखते हैं:

1	1	14	0	2	0
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1
एक्स 1	x2	एक्स 3	x4	x5

यहाँ मैट्रिक्स A बोल्ड टाइप में है।
हम मैट्रिक्स को त्रिकोणीय रूप में लाते हैं। हम केवल पंक्तियों के साथ काम करेंगे, क्योंकि एक मैट्रिक्स की एक पंक्ति को एक गैर-शून्य संख्या से गुणा करना और इसे सिस्टम के लिए दूसरी पंक्ति में जोड़ने का अर्थ है समीकरण को उसी संख्या से गुणा करना और इसे दूसरे समीकरण में जोड़ना, जो समाधान नहीं बदलता है प्रणाली में।
पहली पंक्ति को (3) से गुणा करें। दूसरी पंक्ति को (-1) से गुणा करें। आइए दूसरी पंक्ति को पहली में जोड़ें:

0	-1	40	-3	6	-1
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1

दूसरी पंक्ति को (2) से गुणा करें। तीसरी पंक्ति को (-3) से गुणा करें। आइए तीसरी पंक्ति को दूसरी में जोड़ें:

0	-1	40	-3	6	-1
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

दूसरी पंक्ति को (-1) से गुणा करें। आइए दूसरी पंक्ति को पहली में जोड़ें:

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

चयनित नाबालिग का उच्चतम क्रम (सभी संभावित नाबालिगों में से) है और यह शून्य से अलग है (यह पारस्परिक विकर्ण पर तत्वों के उत्पाद के बराबर है), और यह नाबालिग मुख्य मैट्रिक्स और विस्तारित एक दोनों से संबंधित है, इसलिए बजाई गई (ए) = रंग (बी) = 3 चूंकि मुख्य मैट्रिक्स की रैंक विस्तारित एक के रैंक के बराबर है, तो प्रणाली सहयोगी है.
यह नाबालिग बुनियादी है। इसमें अज्ञात x 1, x 2, x 3 के गुणांक शामिल हैं, जिसका अर्थ है कि अज्ञात x 1, x 2, x 3 आश्रित (मूल) हैं, और x 4, x 5 मुक्त हैं।
हम बाईं ओर केवल मूल नाबालिग को छोड़कर, मैट्रिक्स को बदलते हैं।

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-1	3	-6
2	3	-3	1	-3	2
एक्स 1	x2	एक्स 3		x4	x5

इस मैट्रिक्स के गुणांक वाली प्रणाली मूल प्रणाली के बराबर है और इसका रूप है:
27x3 =
- x 2 + 13x 3 = - 1 + 3x 4 - 6x 5
2x 1 + 3x 2 - 3x 3 = 1 - 3x 4 + 2x 5
अज्ञात के उन्मूलन की विधि से हम पाते हैं:
हमें स्वतंत्र x 4, x 5 के माध्यम से आश्रित चर x 1, x 2, x 3 व्यक्त करने वाले संबंध प्राप्त हुए, अर्थात् हमने पाया सामान्य निर्णय:
एक्स 3 = 0
x2 = 1 - 3x4 + 6x5
x 1 = - 1 + 3x 4 - 8x 5
ढुलमुल, इसलिये एक से अधिक समाधान हैं।

व्यायाम. समीकरणों की प्रणाली को हल करें।
उत्तर:x 2 = 2 - 1.67x 3 + 0.67x 4
x 1 = 5 - 3.67x 3 + 0.67x 4
मुक्त अज्ञातों को मनमाना मान देते हुए, हम कितने भी विशेष समाधान प्राप्त करते हैं। प्रणाली है ढुलमुल

समाधान. ए = . आर (ए) खोजें। इसलिये आव्यूह A का क्रम 3x4 है, तो अवयस्कों का उच्चतम क्रम 3 है। इस स्थिति में, तीसरे क्रम के सभी अवयस्क शून्य के बराबर हैं (इसे स्वयं जांचें)। माध्यम, आर (ए)< 3. Возьмем главный बुनियादी नाबालिग = -5-4 = -9 ≠ 0. इसलिए आर (ए) = 2।

विचार करना आव्यूह से = .

माइनर थर्ड गण ≠ 0. इसलिए, r(C) = 3.

चूंकि आर (ए) ≠ r(C) , तो सिस्टम असंगत है।

उदाहरण 2समीकरणों की प्रणाली की अनुकूलता निर्धारित करें

अगर यह संगत है तो इस प्रणाली को हल करें।

समाधान.

ए =, सी = . जाहिर है, r(А) 3, r(C) 4. चूंकि detC = 0, तो r(C)< 4. विचार करना नाबालिग तीसरा गण, मैट्रिक्स A और C के ऊपरी बाएँ कोने में स्थित: = -23 ≠ 0. इसलिए, आर (ए) = आर (सी) = 3।

संख्या अनजान प्रणाली में n=3. तो सिस्टम का एक अनूठा समाधान है। इस मामले में, चौथा समीकरण पहले तीन का योग है और इसे अनदेखा किया जा सकता है।

क्रैमर के सूत्रों के अनुसारहमें x 1 = -98/23, x 2 = -47/23, x 3 = -123/23 मिलता है।

2.4. मैट्रिक्स विधि। गॉस विधि

व्यवस्था एनरेखीय समीकरणसाथ एनअज्ञात हल किया जा सकता है मैट्रिक्स विधिसूत्र X \u003d A -1 B (Δ . के लिए) के अनुसार ≠ 0), जो दोनों भागों को ए -1 से गुणा करके (2) से प्राप्त होता है।

उदाहरण 1. समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

मैट्रिक्स विधि द्वारा (धारा 2.2 में इस प्रणाली को क्रैमर सूत्रों का उपयोग करके हल किया गया था)

समाधान. =10 ≠ 0 ए = - नॉनसिंगुलर मैट्रिक्स।

= (आवश्यक गणना करके इसे स्वयं सत्यापित करें)।

ए -1 \u003d (1 / ) x \u003d .

एक्स \u003d ए -1 बी \u003d एक्स =।

उत्तर: .

व्यावहारिक दृष्टिकोण सेमैट्रिक्स विधि और सूत्र क्रेमेगणना की एक बड़ी मात्रा के साथ जुड़े हुए हैं, इसलिए वरीयता दी जाती है गॉस विधि, जिसमें अज्ञात के क्रमिक उन्मूलन शामिल हैं। ऐसा करने के लिए, समीकरणों की प्रणाली को त्रिकोणीय संवर्धित मैट्रिक्स के साथ एक समतुल्य प्रणाली में घटा दिया जाता है (मुख्य विकर्ण के नीचे के सभी तत्व शून्य के बराबर होते हैं)। इन क्रियाओं को प्रत्यक्ष चाल कहा जाता है। परिणामी त्रिकोणीय प्रणाली से, चर क्रमिक प्रतिस्थापन (पिछड़े) का उपयोग करके पाए जाते हैं।

उदाहरण 2. गॉस विधि का उपयोग करके सिस्टम को हल करें

(इस प्रणाली को क्रैमर सूत्र और मैट्रिक्स विधि का उपयोग करके ऊपर हल किया गया था)।

समाधान.

सीधी चाल। हम संवर्धित मैट्रिक्स लिखते हैं और प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे त्रिकोणीय रूप में लाते हैं:

~ ~ ~ ~ .

प्राप्त व्यवस्था

उलटी चाल।अंतिम समीकरण से हम पाते हैं एक्स 3 = -6 और इस मान को दूसरे समीकरण में बदलें:

एक्स 2 = - 11/2 - 1/4एक्स 3 = - 11/2 - 1/4(-6) = - 11/2 + 3/2 = -8/2 = -4.

एक्स 1 = 2 -एक्स 2 + एक्स 3 = 2+4-6 = 0.

उत्तर: .

2.5. रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का सामान्य समाधान

मान लीजिए रैखिक समीकरणों का एक निकाय दिया गया है = बी मैं(मैं=)। मान लीजिए r(A) = r(C) = r, अर्थात्। प्रणाली सहयोगी है। क्रम r का कोई शून्येतर अवयस्क है बुनियादी नाबालिग।व्यापकता के नुकसान के बिना, हम मानते हैं कि आधार नाबालिग मैट्रिक्स ए की पहली आर (1 ≤ आर ≤ मिनट (एम, एन)) पंक्तियों और स्तंभों में स्थित है। अंतिम को छोड़कर एम-आर समीकरणप्रणाली, हम एक छोटी प्रणाली लिखते हैं:

जो मूल के बराबर है। आइए अनजानों का नाम लेते हैं एक्स 1 ,….एक्स आरबुनियादी, और एक्स आर +1,…, एक्स आरमुक्त करें और मुक्त अज्ञात वाले पदों को काटे गए सिस्टम के समीकरणों के दाईं ओर ले जाएं। हमें बुनियादी अज्ञात के संबंध में प्रणाली मिलती है:

जो मुक्त अज्ञात के मूल्यों के प्रत्येक सेट के लिए है एक्स आर +1 \u003d सी 1, ..., एक्स एन \u003d सी एन-आरएक ही उपाय है एक्स 1 (सी 1, ..., सी एन-आर), ..., एक्स आर (सी 1, ..., सी एन-आर),क्रैमर नियम द्वारा पाया गया।

उचित समाधानछोटा, और इसलिए मूल प्रणाली का रूप है:

(С 1 ,…, n-r) = - प्रणाली का सामान्य समाधान।

यदि हम सामान्य समाधान में मुक्त अज्ञात को कुछ संख्यात्मक मान देते हैं, तो हमें समाधान मिलता है रैखिक प्रणाली, निजी कहा जाता है।

उदाहरण. संगतता स्थापित करें और सिस्टम का समग्र समाधान खोजें

समाधान. ए = , = .

इसलिए कैसे आर (ए)= r(C) = 2 (स्वयं देखें), तो मूल प्रणाली संगत है और इसमें अनंत संख्या में समाधान हैं (चूंकि r< 4).

गॉस विधि, जिसे अज्ञात के क्रमिक उन्मूलन की विधि भी कहा जाता है, में निम्नलिखित शामिल हैं। प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करते हुए, रैखिक समीकरणों की प्रणाली को इस तरह से लाया जाता है कि इसके गुणांक का मैट्रिक्स हो जाता है समलम्बाकार (त्रिकोणीय या चरणबद्ध के समान) या समलंब चतुर्भुज के करीब (गॉस विधि का सीधा कोर्स, तब - बस एक सीधा कदम)। ऐसी प्रणाली और उसके समाधान का एक उदाहरण ऊपर की आकृति में दिखाया गया है।

ऐसी प्रणाली में, अंतिम समीकरण में केवल एक चर होता है और इसका मान विशिष्ट रूप से पाया जा सकता है। फिर इस चर के मान को पिछले समीकरण में बदल दिया जाता है ( गाऊसी रिवर्स , फिर - बस एक रिवर्स चाल), जिससे पिछला चर पाया जाता है, और इसी तरह।

एक समलम्बाकार (त्रिकोणीय) प्रणाली में, जैसा कि हम देखते हैं, तीसरे समीकरण में अब चर शामिल नहीं हैं आपतथा एक्स, और दूसरा समीकरण - चर एक्स .

सिस्टम के मैट्रिक्स ने एक समलम्बाकार आकार ले लिया है, सिस्टम की संगतता के प्रश्न को हल करना, समाधानों की संख्या निर्धारित करना और स्वयं समाधान ढूंढना मुश्किल नहीं है।

विधि के लाभ:

1. तीन से अधिक समीकरणों और अज्ञात के साथ रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करते समय, गॉस विधि क्रैमर विधि की तरह बोझिल नहीं होती है, क्योंकि गॉस विधि को हल करते समय कम गणना की आवश्यकता होती है;
2. गॉस विधि का उपयोग करके, आप रैखिक समीकरणों की अनिश्चित प्रणाली को हल कर सकते हैं, यानी, एक सामान्य समाधान (और हम इस पाठ में उनका विश्लेषण करेंगे), और क्रैमर विधि का उपयोग करके, आप केवल यह कह सकते हैं कि सिस्टम अनिश्चित है;
3. आप रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल कर सकते हैं जिसमें अज्ञात की संख्या समीकरणों की संख्या के बराबर नहीं है (हम इस पाठ में उनका विश्लेषण भी करेंगे);
4. विधि प्राथमिक (स्कूल) विधियों पर आधारित है - अज्ञात के प्रतिस्थापन की विधि और समीकरणों को जोड़ने की विधि, जिसे हमने संबंधित लेख में छुआ था।

रैखिक समीकरणों के समलम्बाकार (त्रिकोणीय, चरण) प्रणालियों को जिस सरलता से हल किया जाता है, उससे सभी को प्रभावित होने के लिए, हम रिवर्स स्ट्रोक का उपयोग करके ऐसी प्रणाली का समाधान प्रस्तुत करते हैं। इस प्रणाली का एक त्वरित समाधान पाठ की शुरुआत में चित्र में दिखाया गया था।

उदाहरण 1रिवर्स मूव का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें:

समाधान। इस समलम्बाकार प्रणाली में, चर जेडतीसरे समीकरण से विशिष्ट रूप से पाया जाता है। हम इसके मान को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और चर का मान प्राप्त करते हैं आप:

अब हम दो चरों के मान जानते हैं - जेडतथा आप. हम उन्हें पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और चर का मान प्राप्त करते हैं एक्स:

पिछले चरणों से, हम समीकरणों की प्रणाली का हल लिखते हैं:

रैखिक समीकरणों की ऐसी समलम्बाकार प्रणाली प्राप्त करने के लिए, जिसे हमने बहुत सरलता से हल किया है, रैखिक समीकरणों की प्रणाली के प्राथमिक परिवर्तनों से जुड़े एक प्रत्यक्ष चाल को लागू करना आवश्यक है। यह भी बहुत कठिन नहीं है।

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के प्राथमिक परिवर्तन

सिस्टम के समीकरणों के बीजगणितीय जोड़ की स्कूल पद्धति को दोहराते हुए, हमने पाया कि सिस्टम के एक और समीकरण को सिस्टम के समीकरणों में से एक में जोड़ा जा सकता है, और प्रत्येक समीकरण को कुछ संख्याओं से गुणा किया जा सकता है। परिणामस्वरूप, हमें दिए गए समीकरण के समतुल्य रैखिक समीकरणों का एक निकाय प्राप्त होता है। इसमें, एक समीकरण में पहले से ही केवल एक चर होता है, जिसके मान को अन्य समीकरणों में प्रतिस्थापित करते हुए, हम एक समाधान पर आते हैं। ऐसा जोड़ प्रणाली के प्राथमिक परिवर्तन के प्रकारों में से एक है। गाऊसी पद्धति का उपयोग करते समय, हम कई प्रकार के परिवर्तनों का उपयोग कर सकते हैं।

ऊपर दिया गया एनीमेशन दिखाता है कि कैसे समीकरणों की प्रणाली धीरे-धीरे एक समलम्बाकार में बदल जाती है। यही है, जिसे आपने पहले एनीमेशन में देखा था और यह सुनिश्चित किया था कि इससे सभी अज्ञात के मूल्यों को खोजना आसान हो। इस तरह के परिवर्तन को कैसे करें और निश्चित रूप से, उदाहरणों पर आगे चर्चा की जाएगी।

समीकरणों की प्रणाली में और सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स में किसी भी संख्या में समीकरणों और अज्ञात के साथ रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करते समय कर सकते हैं:

1. स्वैप लाइनें (इस लेख की शुरुआत में ही इसका उल्लेख किया गया था);
2. यदि अन्य परिवर्तनों के परिणामस्वरूप समान या आनुपातिक रेखाएँ दिखाई देती हैं, तो उन्हें एक को छोड़कर हटाया जा सकता है;
3. "शून्य" पंक्तियों को हटा दें, जहां सभी गुणांक शून्य के बराबर हैं;
4. किसी स्ट्रिंग को किसी संख्या से गुणा या भाग देना;
5. किसी भी पंक्ति में दूसरी पंक्ति को किसी संख्या से गुणा करने पर जोड़ें।

परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, हमें दिए गए समीकरण के समतुल्य रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त होती है।

एल्गोरिथम और गॉस विधि द्वारा हल करने के उदाहरण प्रणाली के एक वर्ग मैट्रिक्स के साथ रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली

पहले रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के समाधान पर विचार करें जिसमें अज्ञात की संख्या समीकरणों की संख्या के बराबर होती है। ऐसी प्रणाली का मैट्रिक्स वर्गाकार होता है, यानी इसमें पंक्तियों की संख्या स्तंभों की संख्या के बराबर होती है।

उदाहरण 2गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

स्कूल विधियों का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करना, हमने किसी एक समीकरण के पद को किसी संख्या से गुणा किया, ताकि दो समीकरणों में पहले चर के गुणांक विपरीत संख्याएं हों। समीकरण जोड़ते समय, यह चर समाप्त हो जाता है। गॉस विधि इसी तरह काम करती है।

सरल करने के लिए दिखावटसमाधान सिस्टम के संवर्धित मैट्रिक्स की रचना करें:

इस मैट्रिक्स में, अज्ञात के गुणांक लंबवत बार से पहले बाईं ओर स्थित होते हैं, और मुक्त सदस्य लंबवत बार के बाद दाईं ओर स्थित होते हैं।

चरों के गुणांकों को विभाजित करने की सुविधा के लिए (एक से विभाजन प्राप्त करने के लिए) सिस्टम मैट्रिक्स की पहली और दूसरी पंक्तियों को स्वैप करें. हम दिए गए सिस्टम के बराबर एक सिस्टम प्राप्त करते हैं, क्योंकि रैखिक समीकरणों की प्रणाली में कोई भी समीकरणों को पुनर्व्यवस्थित कर सकता है:

नए पहले समीकरण के साथ चर को समाप्त करें एक्सदूसरे और बाद के सभी समीकरणों से. ऐसा करने के लिए, मैट्रिक्स की दूसरी पंक्ति में पहली पंक्ति को (हमारे मामले में द्वारा) से गुणा करें, और पहली पंक्ति को तीसरी पंक्ति से (हमारे मामले में से) गुणा करें।

यह संभव है क्योंकि

यदि हमारे सिस्टम में तीन से अधिक समीकरण थे, तो पहली पंक्ति को बाद के सभी समीकरणों में जोड़ा जाना चाहिए, संबंधित गुणांक के अनुपात से गुणा करके, ऋण चिह्न के साथ लिया जाना चाहिए।

नतीजतन, हम दिए गए सिस्टम के बराबर एक मैट्रिक्स प्राप्त करते हैं नई प्रणालीसमीकरण, जिसमें सभी समीकरण, दूसरे से शुरू होते हैं एक चर शामिल नहीं है एक्स :

परिणामी प्रणाली की दूसरी पंक्ति को सरल बनाने के लिए, हम इसे गुणा करते हैं और फिर से इस प्रणाली के बराबर समीकरणों की प्रणाली का मैट्रिक्स प्राप्त करते हैं:

अब, परिणामी प्रणाली के पहले समीकरण को अपरिवर्तित रखते हुए, दूसरे समीकरण का उपयोग करके, हम चर को समाप्त करते हैं आप बाद के सभी समीकरणों से। ऐसा करने के लिए, सिस्टम मैट्रिक्स की तीसरी पंक्ति में दूसरी पंक्ति को (हमारे मामले में, से) गुणा करके जोड़ें।

यदि हमारे सिस्टम में तीन से अधिक समीकरण थे, तो दूसरी पंक्ति को बाद के सभी समीकरणों में जोड़ा जाना चाहिए, संबंधित गुणांक के अनुपात से गुणा करके, ऋण चिह्न के साथ लिया जाना चाहिए।

नतीजतन, हम फिर से रैखिक समीकरणों की दी गई प्रणाली के बराबर प्रणाली के मैट्रिक्स को प्राप्त करते हैं:

हमने दिए गए समीकरण के समतुल्य रैखिक समीकरणों की एक समलम्बाकार प्रणाली प्राप्त की है:

यदि समीकरणों और चरों की संख्या हमारे उदाहरण से अधिक है, तो चरों के क्रमिक उन्मूलन की प्रक्रिया तब तक जारी रहती है जब तक कि सिस्टम मैट्रिक्स समलम्बाकार नहीं हो जाता, जैसा कि हमारे डेमो उदाहरण में है।

हम "अंत से" समाधान पाएंगे - उल्टा. इसके लिए अंतिम समीकरण से हम निर्धारित करते हैं जेड:
.
इस मान को पिछले समीकरण में प्रतिस्थापित करते हुए, पाना आप:

पहले समीकरण से पाना एक्स:

उत्तर: समीकरणों के इस निकाय का हल - .

: इस मामले में, वही उत्तर दिया जाएगा यदि सिस्टम के पास एक अनूठा समाधान है। यदि सिस्टम में अनंत संख्या में समाधान हैं, तो उत्तर भी ऐसा ही होगा, और यह इस पाठ के पांचवें भाग का विषय है।

गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को स्वयं हल करें, और फिर समाधान देखें

हमारे सामने फिर से रैखिक समीकरणों की एक सुसंगत और निश्चित प्रणाली का एक उदाहरण है, जिसमें समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के बराबर होती है। एल्गोरिथम से हमारे डेमो उदाहरण से अंतर यह है कि पहले से ही चार समीकरण और चार अज्ञात हैं।

उदाहरण 4गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें:

अब आपको बाद के समीकरणों से चर को बाहर करने के लिए दूसरे समीकरण का उपयोग करने की आवश्यकता है। चलो खर्च करें प्रारंभिक कार्य. गुणांक के अनुपात के साथ इसे और अधिक सुविधाजनक बनाने के लिए, आपको दूसरी पंक्ति के दूसरे कॉलम में एक इकाई प्राप्त करने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, तीसरी पंक्ति को दूसरी पंक्ति से घटाएँ, और परिणामी दूसरी पंक्ति को -1 से गुणा करें।

आइए अब हम तीसरे और चौथे समीकरण से चर का वास्तविक विलोपन करें। ऐसा करने के लिए, तीसरी पंक्ति में दूसरी, गुणा करके , और दूसरी को , से गुणा करके चौथी पंक्ति में जोड़ें।

अब, तीसरे समीकरण का उपयोग करते हुए, हम चौथे समीकरण से चर को समाप्त करते हैं। ऐसा करने के लिए, चौथी पंक्ति में, तीसरी को गुणा करके जोड़ें। हमें एक समलम्बाकार आकृति का एक विस्तारित मैट्रिक्स मिलता है।

हमने समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त की है, जो दिए गए सिस्टम के बराबर है:

इसलिए, परिणामी और दी गई प्रणालियाँ सुसंगत और निश्चित हैं। हम अंतिम समाधान "अंत से" ढूंढते हैं। चौथे समीकरण से, हम चर "x चौथाई" के मान को सीधे व्यक्त कर सकते हैं:

हम इस मान को निकाय के तीसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और प्राप्त करते हैं

,

,

अंत में, मूल्य प्रतिस्थापन

पहले समीकरण में देता है

,

जहां हम "x पहले" पाते हैं:

उत्तर: समीकरणों की इस प्रणाली का एक अनूठा समाधान है। .

आप कैलकुलेटर पर सिस्टम के समाधान की जांच भी कर सकते हैं जो क्रैमर की विधि द्वारा हल करता है: इस मामले में, वही उत्तर दिया जाएगा यदि सिस्टम में एक अद्वितीय समाधान है।

मिश्र धातुओं के लिए एक समस्या के उदाहरण पर लागू समस्याओं की गॉस विधि द्वारा समाधान

भौतिक दुनिया की वास्तविक वस्तुओं को मॉडल करने के लिए रैखिक समीकरणों की प्रणाली का उपयोग किया जाता है। आइए इनमें से एक समस्या को हल करें - मिश्र धातुओं के लिए। समान कार्य - मिश्रण पर कार्य, लागत या विशिष्ट गुरुत्वमाल के समूह में व्यक्तिगत सामान और इसी तरह।

उदाहरण 5मिश्र धातु के तीन टुकड़ों का कुल द्रव्यमान 150 किग्रा है। पहले मिश्र धातु में 60% तांबा, दूसरा - 30%, तीसरा - 10% होता है। वहीं दूसरी और तीसरी मिश्रधातु को मिलाकर तांबा पहली मिश्र धातु की तुलना में 28.4 किलोग्राम कम है, और तीसरे मिश्र धातु में तांबा दूसरे की तुलना में 6.2 किलोग्राम कम है। मिश्र धातु के प्रत्येक टुकड़े का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए।

समाधान। हम रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली बनाते हैं:

दूसरे और तीसरे समीकरण को 10 से गुणा करने पर, हम रैखिक समीकरणों की एक समान प्रणाली प्राप्त करते हैं:

हम सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स की रचना करते हैं:

ध्यान, सीधी चाल। जोड़कर (हमारे मामले में, घटाना) एक पंक्ति, एक संख्या से गुणा (हम इसे दो बार लागू करते हैं), सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स के साथ निम्नलिखित परिवर्तन होते हैं:

सीधा रन खत्म हो गया है। हमें एक समलम्बाकार आकृति का एक विस्तारित मैट्रिक्स मिला है।

आइए रिवर्स का उपयोग करें। हम अंत से समाधान ढूंढते हैं। हम देखते है कि ।

दूसरे समीकरण से हम पाते हैं

तीसरे समीकरण से -

आप कैलकुलेटर पर सिस्टम के समाधान की जांच भी कर सकते हैं जो क्रैमर की विधि द्वारा हल करता है: इस मामले में, वही उत्तर दिया जाएगा यदि सिस्टम में एक अद्वितीय समाधान है।

गॉस पद्धति की सरलता का प्रमाण इस तथ्य से मिलता है कि जर्मन गणितज्ञ कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने इसका आविष्कार करने में केवल 15 मिनट का समय लिया। उनके नाम की विधि के अलावा, गॉस के काम से, "हमें भ्रमित नहीं करना चाहिए जो हमें अविश्वसनीय और अप्राकृतिक लगता है बिल्कुल असंभव के साथ" खोजों को बनाने के लिए एक प्रकार का संक्षिप्त निर्देश है।

कई लागू समस्याओं में, तीसरा प्रतिबंध नहीं हो सकता है, यानी तीसरा समीकरण, तो गॉस विधि द्वारा तीन अज्ञात के साथ दो समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना आवश्यक है, या, इसके विपरीत, समीकरणों की तुलना में कम अज्ञात हैं। अब हम समीकरणों की ऐसी प्रणालियों को हल करना शुरू करते हैं।

गॉस विधि का उपयोग करके, आप यह निर्धारित कर सकते हैं कि कोई प्रणाली सुसंगत है या असंगत एनके साथ रैखिक समीकरण एनचर।

गॉस विधि और अनंत संख्या में समाधानों के साथ रैखिक समीकरणों की प्रणाली

अगला उदाहरण रैखिक समीकरणों की एक सुसंगत लेकिन अनिश्चित प्रणाली है, अर्थात इसमें अनंत संख्या में समाधान हैं।

सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स में परिवर्तन करने के बाद (पंक्तियों को क्रमित करना, पंक्तियों को एक निश्चित संख्या से गुणा और विभाजित करना, एक पंक्ति को दूसरी में जोड़ना), प्रपत्र की पंक्तियाँ

यदि सभी समीकरणों में रूप है

मुक्त सदस्य शून्य के बराबर हैं, इसका मतलब है कि प्रणाली अनिश्चित है, यानी इसमें अनंत संख्या में समाधान हैं, और इस प्रकार के समीकरण "अनावश्यक" हैं और सिस्टम से बाहर रखे गए हैं।

उदाहरण 6

समाधान। आइए सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स की रचना करें। फिर, पहले समीकरण का उपयोग करते हुए, हम बाद के समीकरणों से चर को समाप्त करते हैं। ऐसा करने के लिए, दूसरी, तीसरी और चौथी पंक्तियों में, पहले वाले को क्रमशः गुणा करके जोड़ें:

अब दूसरी पंक्ति को तीसरी और चौथी पंक्ति में जोड़ते हैं।

नतीजतन, हम सिस्टम पर पहुंचते हैं

अंतिम दो समीकरण रूप के समीकरण बन गए हैं। ये समीकरण अज्ञात के किसी भी मूल्य के लिए संतुष्ट हैं और इन्हें त्याग दिया जा सकता है।

दूसरे समीकरण को संतुष्ट करने के लिए, हम और के लिए मनमाना मान चुन सकते हैं, फिर के लिए मान स्पष्ट रूप से निर्धारित किया जाएगा: . पहले समीकरण से, के लिए मान भी विशिष्ट रूप से पाया जाता है: .

दिए गए और अंतिम सिस्टम दोनों संगत हैं लेकिन अनिश्चित हैं, और सूत्र

मनमानी के लिए और हमें दी गई प्रणाली के सभी समाधान दें।

गॉस विधि और रैखिक समीकरणों के सिस्टम जिनका कोई हल नहीं है

निम्नलिखित उदाहरण रैखिक समीकरणों की एक असंगत प्रणाली है, अर्थात इसका कोई हल नहीं है। ऐसी समस्याओं का उत्तर निम्नानुसार तैयार किया गया है: सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं है।

जैसा कि पहले उदाहरण के संबंध में पहले ही उल्लेख किया गया है, सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स में परिवर्तन करने के बाद, फॉर्म की लाइनें

फॉर्म के समीकरण के अनुरूप

यदि उनमें से कम से कम एक गैर-शून्य मुक्त पद (यानी) के साथ एक समीकरण है, तो समीकरणों की यह प्रणाली असंगत है, अर्थात इसका कोई समाधान नहीं है, और यह इसका समाधान पूरा करता है।

उदाहरण 7गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

समाधान। हम सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स की रचना करते हैं। पहले समीकरण का उपयोग करते हुए, हम चर को बाद के समीकरणों से बाहर करते हैं। ऐसा करने के लिए, पहली को दूसरी पंक्ति से गुणा करें, पहली को तीसरी पंक्ति से गुणा करें, और पहली को चौथी पंक्ति से गुणा करें।

अब आपको बाद के समीकरणों से चर को बाहर करने के लिए दूसरे समीकरण का उपयोग करने की आवश्यकता है। गुणांकों के पूर्णांक अनुपात प्राप्त करने के लिए, हम सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स की दूसरी और तीसरी पंक्तियों को स्वैप करते हैं।

तीसरे और चौथे समीकरण से बाहर करने के लिए, तीसरी पंक्ति में दूसरी, गुणा करके , और दूसरी को , से गुणा करके चौथी में जोड़ें।

अब, तीसरे समीकरण का उपयोग करते हुए, हम चौथे समीकरण से चर को समाप्त करते हैं। ऐसा करने के लिए, चौथी पंक्ति में, तीसरी को गुणा करके जोड़ें।

इस प्रकार दी गई प्रणाली निम्नलिखित के बराबर है:

परिणामी प्रणाली असंगत है, क्योंकि इसका अंतिम समीकरण अज्ञात के किसी भी मूल्य से संतुष्ट नहीं हो सकता है। इसलिए, इस प्रणाली का कोई समाधान नहीं है।