गॉस विधि 4 समीकरण। मैट्रिसेस को हल करने के लिए गॉस विधि। गॉस विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करना

इस लेख में, विधि को सिस्टम को हल करने के तरीके के रूप में माना जाता है रेखीय समीकरण(एसएलएयू)। विधि विश्लेषणात्मक है, अर्थात यह आपको एक समाधान एल्गोरिथम लिखने की अनुमति देती है सामान्य रूप से देखें, और फिर वहाँ विशिष्ट उदाहरणों से मूल्यों को स्थानापन्न करें। मैट्रिक्स विधि या क्रैमर के सूत्रों के विपरीत, गॉस पद्धति का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करते समय, आप उन लोगों के साथ भी काम कर सकते हैं जिनके असीम रूप से कई समाधान हैं। या उनके पास यह बिल्कुल नहीं है।

गॉस क्या मतलब है

सबसे पहले आपको समीकरणों की हमारी प्रणाली को लिखने की जरूरत है यह इस तरह दिखता है। सिस्टम लिया जाता है:

गुणांक एक तालिका के रूप में और दाईं ओर एक अलग कॉलम में लिखे गए हैं - मुक्त सदस्य। मुक्त सदस्यों वाले कॉलम को सुविधा के लिए अलग किया जाता है। इस कॉलम को शामिल करने वाले मैट्रिक्स को विस्तारित कहा जाता है।

इसके अलावा, गुणांक वाले मुख्य मैट्रिक्स को ऊपरी त्रिकोणीय आकार में कम किया जाना चाहिए। गॉस विधि द्वारा प्रणाली को हल करने का यह मुख्य बिंदु है। सीधे शब्दों में कहें, कुछ जोड़तोड़ के बाद, मैट्रिक्स को इस तरह दिखना चाहिए, ताकि इसके निचले बाएं हिस्से में केवल शून्य हो:

फिर, यदि आप नए मैट्रिक्स को फिर से समीकरणों की एक प्रणाली के रूप में लिखते हैं, तो आप देखेंगे कि अंतिम पंक्ति में पहले से ही जड़ों में से एक का मान है, जिसे बाद में ऊपर के समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है, एक और जड़ मिलती है, और इसी तरह।

गॉस विधि द्वारा विलयन का यह विवरण सर्वाधिक है सामान्य शब्दों में. और क्या होगा अगर अचानक सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं है? या उनकी अनंत संख्या है? इन और कई अन्य प्रश्नों का उत्तर देने के लिए गॉस विधि द्वारा समाधान में प्रयुक्त सभी तत्वों पर अलग से विचार करना आवश्यक है।

मैट्रिसेस, उनके गुण

कोई नहीं छिपे अर्थमैट्रिक्स में नहीं। बाद के संचालन के लिए डेटा रिकॉर्ड करने का यह एक सुविधाजनक तरीका है। स्कूली बच्चों को भी इनसे नहीं डरना चाहिए।

मैट्रिक्स हमेशा आयताकार होता है, क्योंकि यह अधिक सुविधाजनक होता है। यहां तक ​​​​कि गॉस पद्धति में, जहां त्रिकोणीय मैट्रिक्स के निर्माण के लिए सब कुछ उबलता है, प्रविष्टि में एक आयत दिखाई देती है, केवल शून्य के साथ उस स्थान पर जहां कोई संख्या नहीं है। शून्य को छोड़ा जा सकता है, लेकिन वे निहित हैं।

मैट्रिक्स का आकार होता है। इसकी "चौड़ाई" पंक्तियों की संख्या (एम) है, इसकी "लंबाई" स्तंभों की संख्या (एन) है। फिर मैट्रिक्स ए का आकार (राजधानी आमतौर पर उन्हें निरूपित करने के लिए उपयोग की जाती है) पत्र) को A m×n के रूप में दर्शाया जाएगा। यदि m=n, तो यह मैट्रिक्स वर्गाकार है, और m=n इसकी कोटि है। तदनुसार, मैट्रिक्स A के किसी भी तत्व को उसकी पंक्ति और स्तंभ की संख्या से निरूपित किया जा सकता है: a xy ; x - पंक्ति संख्या, परिवर्तन, y - स्तंभ संख्या, परिवर्तन।

बी समाधान का मुख्य बिंदु नहीं है। सिद्धांत रूप में, सभी संचालन सीधे समीकरणों के साथ किए जा सकते हैं, लेकिन अंकन अधिक बोझिल हो जाएगा, और इसमें भ्रमित होना बहुत आसान होगा।

सिद्ध

मैट्रिक्स में एक निर्धारक भी होता है। ये बहुत महत्वपूर्ण विशेषता. इसका अर्थ पता लगाना अब इसके लायक नहीं है, आप बस यह दिखा सकते हैं कि इसकी गणना कैसे की जाती है, और फिर बताएं कि यह मैट्रिक्स के किन गुणों को निर्धारित करता है। निर्धारक को खोजने का सबसे आसान तरीका विकर्णों के माध्यम से होता है। मैट्रिक्स में काल्पनिक विकर्ण खींचे जाते हैं; उनमें से प्रत्येक पर स्थित तत्वों को गुणा किया जाता है, और फिर परिणामी उत्पादों को जोड़ा जाता है: दाईं ओर ढलान वाले विकर्ण - "प्लस" चिह्न के साथ, बाईं ओर ढलान के साथ - "ऋण" चिह्न के साथ।

यह ध्यान रखना अत्यंत महत्वपूर्ण है कि निर्धारक की गणना केवल एक वर्ग मैट्रिक्स के लिए की जा सकती है। एक आयताकार मैट्रिक्स के लिए, आप निम्न कार्य कर सकते हैं: पंक्तियों की संख्या और स्तंभों की संख्या में से सबसे छोटी संख्या चुनें (इसे k होने दें), और फिर मैट्रिक्स में यादृच्छिक रूप से k कॉलम और k पंक्तियों को चिह्नित करें। चयनित स्तंभों और पंक्तियों के चौराहे पर स्थित तत्व एक नया वर्ग मैट्रिक्स बनाएंगे। यदि ऐसे मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के अलावा कोई अन्य संख्या है, तो इसे मूल आयताकार मैट्रिक्स का आधार लघु कहा जाता है।

गॉस विधि द्वारा समीकरणों की प्रणाली के समाधान के साथ आगे बढ़ने से पहले, निर्धारक की गणना करने में कोई दिक्कत नहीं होती है। यदि यह शून्य हो जाता है, तो हम तुरंत कह सकते हैं कि मैट्रिक्स में या तो अनंत संख्या में समाधान हैं, या कोई भी नहीं है। ऐसे दुखद मामले में, आपको आगे जाकर मैट्रिक्स की रैंक के बारे में पता लगाने की आवश्यकता है।

सिस्टम वर्गीकरण

मैट्रिक्स की रैंक जैसी कोई चीज होती है। यह इसके गैर-शून्य निर्धारक का अधिकतम क्रम है (आधार नाबालिग को याद करते हुए, हम कह सकते हैं कि मैट्रिक्स का रैंक आधार नाबालिग का क्रम है)।

रैंक के साथ चीजें कैसी हैं, इसके अनुसार SLAE को इसमें विभाजित किया जा सकता है:

• संयुक्त। परसंयुक्त प्रणालियों का, मुख्य मैट्रिक्स का रैंक (केवल गुणांक से मिलकर) विस्तारित एक के रैंक के साथ मेल खाता है (मुक्त शर्तों के कॉलम के साथ)। इस तरह की प्रणालियों का एक समाधान है, लेकिन जरूरी नहीं कि एक हो, इसलिए संयुक्त प्रणालियों को अतिरिक्त रूप से विभाजित किया गया है:
• - कुछ- एक अनूठा समाधान होना। कुछ प्रणालियों में, मैट्रिक्स की रैंक और अज्ञात की संख्या (या स्तंभों की संख्या, जो एक ही चीज़ है) बराबर होती है;
• - अनिश्चितकालीन -अनंत समाधानों के साथ। ऐसी प्रणालियों के लिए मैट्रिसेस का रैंक अज्ञात की संख्या से कम है।
• असंगत। परऐसी प्रणालियाँ, मुख्य और विस्तारित मैट्रिसेस की रैंक मेल नहीं खाती हैं। असंगत प्रणालियों का कोई समाधान नहीं है।

गॉस विधि इस मायने में अच्छी है कि यह किसी को या तो सिस्टम की असंगति का एक स्पष्ट प्रमाण प्राप्त करने की अनुमति देता है (बिना बड़े मैट्रिक्स के निर्धारकों की गणना के) या समाधान के दौरान अनंत संख्या वाले सिस्टम के लिए एक सामान्य समाधान।

प्राथमिक परिवर्तन

सिस्टम के समाधान के लिए सीधे आगे बढ़ने से पहले, इसे कम बोझिल और गणना के लिए अधिक सुविधाजनक बनाना संभव है। यह प्रारंभिक परिवर्तनों के माध्यम से प्राप्त किया जाता है - जैसे कि उनके कार्यान्वयन से अंतिम उत्तर किसी भी तरह से नहीं बदलता है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि उपरोक्त कुछ प्राथमिक परिवर्तन केवल मेट्रिसेस के लिए मान्य हैं, जिसका स्रोत ठीक SLAE था। यहाँ इन परिवर्तनों की एक सूची है:

1. स्ट्रिंग क्रमपरिवर्तन। यह स्पष्ट है कि यदि हम सिस्टम रिकॉर्ड में समीकरणों के क्रम को बदलते हैं, तो यह किसी भी तरह से समाधान को प्रभावित नहीं करेगा। नतीजतन, इस प्रणाली के मैट्रिक्स में पंक्तियों को बदलना भी संभव है, निश्चित रूप से, मुक्त सदस्यों के कॉलम के बारे में नहीं भूलना।
2. स्ट्रिंग के सभी तत्वों को किसी गुणक से गुणा करना। बहुत उपयोगी! इसके साथ, आप मैट्रिक्स में बड़ी संख्या कम कर सकते हैं या शून्य हटा सकते हैं। समाधानों का सेट, हमेशा की तरह नहीं बदलेगा, और आगे के संचालन करना अधिक सुविधाजनक हो जाएगा। मुख्य बात यह है कि गुणांक शून्य के बराबर नहीं है।
3. आनुपातिक गुणांक वाली पंक्तियों को हटाएं। यह आंशिक रूप से पिछले पैराग्राफ से अनुसरण करता है। यदि मैट्रिक्स में दो या दो से अधिक पंक्तियों में आनुपातिक गुणांक हैं, तो आनुपातिकता गुणांक द्वारा पंक्तियों में से एक को गुणा / विभाजित करते समय, दो (या, फिर से, अधिक) बिल्कुल समान पंक्तियाँ प्राप्त होती हैं, और आप अतिरिक्त को हटा सकते हैं, केवल छोड़कर एक।
4. शून्य रेखा को हटाना। यदि परिवर्तनों के दौरान कहीं एक स्ट्रिंग प्राप्त होती है जिसमें मुक्त सदस्य सहित सभी तत्व शून्य होते हैं, तो ऐसे स्ट्रिंग को शून्य कहा जा सकता है और मैट्रिक्स से बाहर फेंक दिया जा सकता है।
5. एक पंक्ति के तत्वों को दूसरे (संबंधित कॉलम में) के तत्वों को जोड़कर, एक निश्चित गुणांक से गुणा किया जाता है। सभी का सबसे अस्पष्ट और सबसे महत्वपूर्ण परिवर्तन। इस पर अधिक विस्तार से रहने लायक है।

एक कारक से गुणा एक स्ट्रिंग जोड़ना

समझने में आसानी के लिए, इस प्रक्रिया को चरण दर चरण अलग करना उचित है। मैट्रिक्स से दो पंक्तियाँ ली गई हैं:

एक 11 एक 12 ... एक 1n | बी 1

एक 21 एक 22 ... एक 2n | बी 2

मान लीजिए कि आपको गुणांक "-2" से गुणा करके पहले को दूसरे में जोड़ने की आवश्यकता है।

ए" 21 \u003d ए 21 + -2 × ए 11

a" 22 \u003d a 22 + -2 × a 12

a" 2n \u003d a 2n + -2 × a 1n

फिर मैट्रिक्स में दूसरी पंक्ति को एक नए से बदल दिया जाता है, और पहली अपरिवर्तित रहती है।

एक 11 एक 12 ... एक 1n | बी 1

ए" 21 ए" 22 ... ए" 2एन | बी 2

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि गुणन कारक को इस तरह से चुना जा सकता है कि, दो तारों को जोड़ने के परिणामस्वरूप, नई स्ट्रिंग के तत्वों में से एक शून्य के बराबर है। इसलिए, सिस्टम में एक समीकरण प्राप्त करना संभव है, जहां एक कम अज्ञात होगा। और अगर आपको ऐसे दो समीकरण मिलते हैं, तो ऑपरेशन फिर से किया जा सकता है और एक समीकरण प्राप्त किया जा सकता है जिसमें पहले से ही दो कम अज्ञात होंगे। और अगर हर बार हम सभी पंक्तियों के लिए शून्य एक गुणांक की ओर मुड़ते हैं जो मूल एक से कम हैं, तो हम कदमों की तरह, मैट्रिक्स के बहुत नीचे तक जा सकते हैं और एक अज्ञात के साथ एक समीकरण प्राप्त कर सकते हैं। इसे गॉसियन पद्धति का उपयोग करके सिस्टम को हल करना कहा जाता है।

सामान्य रूप में

एक व्यवस्था हो जाए। इसके m समीकरण और n अज्ञात मूल हैं। आप इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:

मुख्य मैट्रिक्स सिस्टम के गुणांक से संकलित है। मुक्त सदस्यों का एक स्तंभ विस्तारित मैट्रिक्स में जोड़ा जाता है और सुविधा के लिए एक बार द्वारा अलग किया जाता है।

• मैट्रिक्स की पहली पंक्ति को गुणांक k = (-a 21 / a 11) से गुणा किया जाता है;
• पहली संशोधित पंक्ति और मैट्रिक्स की दूसरी पंक्ति जोड़ी जाती है;
• दूसरी पंक्ति के बजाय, पिछले पैराग्राफ से जोड़ का परिणाम मैट्रिक्स में डाला जाता है;
• अब नई दूसरी पंक्ति में पहला गुणांक 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0 है।

अब परिवर्तनों की एक ही श्रृंखला की जाती है, केवल पहली और तीसरी पंक्तियाँ शामिल होती हैं। तदनुसार, एल्गोरिथम के प्रत्येक चरण में, तत्व a 21 को 31 द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। फिर सब कुछ 41 , ... a m1 के लिए दोहराया जाता है। नतीजा एक मैट्रिक्स है जहां पंक्तियों में पहला तत्व शून्य के बराबर है। अब हमें लाइन नंबर एक के बारे में भूलने और दूसरी लाइन से शुरू होने वाले समान एल्गोरिदम को निष्पादित करने की आवश्यकता है:

• गुणांक k \u003d (-a 32 / a 22);
• दूसरी संशोधित लाइन को "करंट" लाइन में जोड़ा जाता है;
• जोड़ के परिणाम को तीसरे, चौथे और इसी तरह की पंक्तियों में प्रतिस्थापित किया जाता है, जबकि पहला और दूसरा अपरिवर्तित रहता है;
• मैट्रिक्स की पंक्तियों में, पहले दो तत्व पहले से ही शून्य के बराबर हैं।

एल्गोरिथ्म तब तक दोहराया जाना चाहिए जब तक कि गुणांक k = (-a m,m-1 /a mm) प्रकट न हो जाए। इसका मतलब यह है कि एल्गोरिथम पिछली बार केवल निचले समीकरण के लिए चलाया गया था। अब मैट्रिक्स एक त्रिकोण जैसा दिखता है, या एक चरणबद्ध आकार है। निचली पंक्ति में समानता a mn × x n = b m है। गुणांक और मुक्त पद ज्ञात हैं, और जड़ उनके माध्यम से व्यक्त की जाती है: x n = b m /a mn। x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1 खोजने के लिए परिणामी रूट को शीर्ष पंक्ति में प्रतिस्थापित किया जाता है। और इसी तरह सादृश्य द्वारा: प्रत्येक अगली पंक्ति में एक नई जड़ होती है, और, सिस्टम के "शीर्ष" पर पहुंचकर, आप कई समाधान पा सकते हैं। यह अकेला होगा।

जब कोई उपाय नहीं है

यदि किसी एक मैट्रिक्स पंक्ति में सभी तत्व, मुक्त पद को छोड़कर, शून्य के बराबर हैं, तो इस पंक्ति के अनुरूप समीकरण 0 = b जैसा दिखता है। इसका कोई हल नहीं है। और चूंकि इस तरह के समीकरण को सिस्टम में शामिल किया गया है, तो पूरे सिस्टम के समाधानों का सेट खाली है, यानी यह पतित है।

जब अनंत संख्या में समाधान होते हैं

यह पता चल सकता है कि कम त्रिकोणीय मैट्रिक्स में एक तत्व के साथ पंक्तियाँ नहीं हैं - समीकरण का गुणांक, और एक - एक मुक्त सदस्य। केवल स्ट्रिंग्स हैं, जिन्हें फिर से लिखने पर, दो या दो से अधिक वेरिएबल्स के साथ एक समीकरण की तरह दिखाई देगा। इसका मतलब है कि सिस्टम में अनंत संख्या में समाधान हैं। इस मामले में, उत्तर एक सामान्य समाधान के रूप में दिया जा सकता है। इसे कैसे करना है?

मैट्रिक्स में सभी चर बुनियादी और मुक्त में विभाजित हैं। मूल - ये वे हैं जो चरणबद्ध मैट्रिक्स में पंक्तियों के "किनारे पर" खड़े होते हैं। बाकी स्वतंत्र हैं। सामान्य समाधान में, मूल चर मुक्त चर के रूप में लिखे जाते हैं।

सुविधा के लिए, मैट्रिक्स को पहले समीकरणों की प्रणाली में फिर से लिखा जाता है। फिर उनमें से आखिरी में, जहां वास्तव में केवल एक मूल चर रह गया है, वह एक तरफ रहता है, और बाकी सब कुछ दूसरे में स्थानांतरित हो जाता है। यह प्रत्येक समीकरण के लिए एक मूल चर के साथ किया जाता है। फिर, शेष समीकरणों में, जहाँ संभव हो, मूल चर के स्थान पर उसके लिए प्राप्त व्यंजक को प्रतिस्थापित किया जाता है। यदि, परिणामस्वरूप, एक अभिव्यक्ति फिर से प्रकट होती है जिसमें केवल एक मूल चर होता है, तो इसे फिर से वहाँ से व्यक्त किया जाता है, और इसी तरह, जब तक कि प्रत्येक मूल चर को मुक्त चर के साथ अभिव्यक्ति के रूप में नहीं लिखा जाता। यह वही है सामान्य निर्णयएसएलएयू।

आप सिस्टम का मूल समाधान भी पा सकते हैं - मुक्त चर को कोई मान दें, और फिर इस विशेष मामले के लिए मूल चर के मूल्यों की गणना करें। अपरिमित रूप से अनेक विशेष समाधान हैं।

विशिष्ट उदाहरणों के साथ समाधान

यहाँ समीकरणों की प्रणाली है।

सुविधा के लिए, इसका मैट्रिक्स तुरंत बनाना बेहतर है

यह ज्ञात है कि गॉस विधि द्वारा हल करते समय, पहली पंक्ति के अनुरूप समीकरण परिवर्तनों के अंत में अपरिवर्तित रहेगा। इसलिए, यह अधिक लाभदायक होगा यदि मैट्रिक्स का ऊपरी बाएँ तत्व सबसे छोटा है - तो संचालन के बाद शेष पंक्तियों के पहले तत्व शून्य हो जाएंगे। इसका मतलब यह है कि संकलित मैट्रिक्स में पहली पंक्ति के स्थान पर दूसरा रखना फायदेमंद होगा।

दूसरी पंक्ति: k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3

ए" 21 \u003d ए 21 + के × ए 11 \u003d 3 + (-3) × 1 \u003d 0

ए" 22 \u003d ए 22 + के × ए 12 \u003d -1 + (-3) × 2 \u003d -7

ए" 23 = ए 23 + के × ए 13 = 1 + (-3) × 4 = -11

बी "2 \u003d बी 2 + के × बी 1 \u003d 12 + (-3) × 12 \u003d -24

तीसरी पंक्ति: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

ए" 3 2 = ए 3 2 + के×ए 12 = 1 + (-5)×2 = -9

ए "3 3 = ए 33 + के × ए 13 = 2 + (-5) × 4 = -18

बी "3 \u003d बी 3 + के × बी 1 \u003d 3 + (-5) × 12 \u003d -57

अब, भ्रमित न होने के लिए, परिवर्तनों के मध्यवर्ती परिणामों के साथ मैट्रिक्स को लिखना आवश्यक है।

जाहिर है कि इस तरह के मैट्रिक्स को कुछ ऑपरेशनों की मदद से धारणा के लिए और अधिक सुविधाजनक बनाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, आप प्रत्येक तत्व को "-1" से गुणा करके दूसरी पंक्ति से सभी "शून्य" हटा सकते हैं।

यह भी ध्यान देने योग्य है कि तीसरी पंक्ति में सभी तत्व तीन के गुणक हैं। फिर आप इस संख्या से स्ट्रिंग को कम कर सकते हैं, प्रत्येक तत्व को "-1/3" (ऋण - एक ही समय में नकारात्मक मान निकालने के लिए) से गुणा कर सकते हैं।

ज्यादा अच्छा लग रहा है। अब हमें केवल पहली पंक्ति को छोड़कर दूसरी और तीसरी के साथ काम करने की आवश्यकता है। कार्य दूसरी पंक्ति को तीसरी पंक्ति में जोड़ना है, इस तरह के कारक से गुणा करना कि तत्व 32 शून्य के बराबर हो जाता है।

के = (-ए 32/ए 22) = (-3/7) = -3/7 सामान्य अंश, और उसके बाद ही, जब उत्तर प्राप्त होते हैं, तय करें कि राउंड अप करना है और रिकॉर्ड के दूसरे रूप में अनुवाद करना है)

ए" 32 = ए 32 + के × ए 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 \u003d a 33 + k × a 23 \u003d 6 + (-3/7) × 11 \u003d -9/7

बी "3 \u003d बी 3 + के × बी 2 \u003d 19 + (-3/7) × 24 \u003d -61/7

मैट्रिक्स को फिर से नए मूल्यों के साथ लिखा गया है।

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

जैसा कि आप देख सकते हैं, परिणामी मैट्रिक्स में पहले से ही एक चरणबद्ध रूप है। इसलिए, गॉस विधि द्वारा प्रणाली के और परिवर्तनों की आवश्यकता नहीं है। यहां क्या किया जा सकता है तीसरी पंक्ति से समग्र गुणांक "-1/7" को हटाना है।

अब सब कुछ सुन्दर है। बिंदु छोटा है - मैट्रिक्स को फिर से समीकरणों की एक प्रणाली के रूप में लिखें और जड़ों की गणना करें

एक्स + 2y + 4z = 12(1)

7y + 11z = 24 (2)

एल्गोरिथम जिसके द्वारा जड़ें अब पाई जाएंगी, गॉस विधि में रिवर्स मूव कहलाती हैं। समीकरण (3) में z का मान है:

वाई = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

और पहला समीकरण आपको एक्स खोजने की अनुमति देता है:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4x(61/9) - 2x(-65/9) = -6/9 = -2/3

हमारे पास इस तरह की प्रणाली को संयुक्त कहने का अधिकार है, और यहां तक ​​​​कि निश्चित भी है, जिसका एक अनूठा समाधान है। प्रतिक्रिया निम्नलिखित रूप में लिखी गई है:

x 1 \u003d -2/3, y \u003d -65/9, z \u003d 61/9।

एक अनिश्चित प्रणाली का एक उदाहरण

गॉस विधि द्वारा एक निश्चित प्रणाली को हल करने के संस्करण का विश्लेषण किया गया है, अब इस मामले पर विचार करना आवश्यक है कि क्या प्रणाली अनिश्चित है, अर्थात इसके लिए असीम रूप से कई समाधान खोजे जा सकते हैं।

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

सिस्टम का रूप पहले से ही खतरनाक है, क्योंकि अज्ञात की संख्या n = 5 है, और सिस्टम के मैट्रिक्स का रैंक पहले से ही इस संख्या से बिल्कुल कम है, क्योंकि पंक्तियों की संख्या m = 4 है, अर्थात वर्ग निर्धारक का सबसे बड़ा क्रम 4 है। इसका मतलब है कि अनंत संख्या में समाधान हैं, और इसके सामान्य रूप को देखना आवश्यक है। रैखिक समीकरणों के लिए गॉस विधि ऐसा करना संभव बनाती है।

सबसे पहले, हमेशा की तरह, संवर्धित मैट्रिक्स संकलित किया जाता है।

दूसरी पंक्ति: गुणांक k = (-a 21 / a 11) = -3। तीसरी पंक्ति में, पहला तत्व परिवर्तनों से पहले है, इसलिए आपको कुछ भी छूने की आवश्यकता नहीं है, आपको इसे वैसे ही रहने देना है। चौथी पंक्ति: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

पहली पंक्ति के तत्वों को उनके प्रत्येक गुणांक द्वारा बारी-बारी से गुणा करना और उन्हें वांछित पंक्तियों में जोड़ना, हमें निम्नलिखित रूप का एक मैट्रिक्स प्राप्त होता है:

जैसा कि आप देख सकते हैं, दूसरी, तीसरी और चौथी पंक्तियों में ऐसे तत्व होते हैं जो एक दूसरे के समानुपाती होते हैं। दूसरा और चौथा आम तौर पर समान होते हैं, इसलिए उनमें से एक को तुरंत हटाया जा सकता है, और बाकी को गुणांक "-1" से गुणा किया जाता है और पंक्ति संख्या 3 प्राप्त होती है। और फिर से, दो समान रेखाओं में से एक को छोड़ दें।

यह ऐसा मैट्रिक्स निकला। सिस्टम को अभी तक नहीं लिखा गया है, यहां बुनियादी चर निर्धारित करना आवश्यक है - गुणांक 11 \u003d 1 और 22 \u003d 1, और मुक्त - बाकी सभी।

दूसरे समीकरण का केवल एक मूल चर - x 2 है। इसलिए, इसे वहाँ से चर x 3 , x 4 , x 5 के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है, जो मुक्त हैं।

हम परिणामी अभिव्यक्ति को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं।

यह एक समीकरण निकला जिसमें एकमात्र मूल चर x 1 है। आइए इसके साथ वैसा ही करें जैसा कि x 2 के साथ करते हैं।

सभी बुनियादी चर, जिनमें से दो हैं, तीन मुक्त चर के रूप में व्यक्त किए गए हैं, अब आप सामान्य रूप में उत्तर लिख सकते हैं।

आप सिस्टम के विशेष समाधानों में से एक को भी निर्दिष्ट कर सकते हैं। ऐसे मामलों के लिए, एक नियम के रूप में, शून्य को मुक्त चर के मान के रूप में चुना जाता है। तब उत्तर होगा:

16, 23, 0, 0, 0.

एक असंगत प्रणाली का एक उदाहरण

गॉस विधि द्वारा समीकरणों की असंगत प्रणालियों का समाधान सबसे तेज़ है। जैसे ही किसी एक चरण में एक समीकरण प्राप्त होता है जिसका कोई हल नहीं है, यह समाप्त हो जाता है। अर्थात्, जड़ों की गणना वाला चरण, जो काफी लंबा और सुनसान है, गायब हो जाता है। निम्नलिखित प्रणाली पर विचार किया जाता है:

एक्स + वाई - जेड = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

हमेशा की तरह, मैट्रिक्स संकलित है:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

और इसे एक चरणबद्ध रूप में घटाया गया है:

के 1 \u003d -2 के 2 \u003d -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

पहले रूपांतरण के बाद, तीसरी पंक्ति में फॉर्म का एक समीकरण होता है

कोई समाधान नहीं होना। इसलिए, सिस्टम असंगत है, और उत्तर खाली सेट है।

विधि के फायदे और नुकसान

यदि आप पेन से पेपर पर SLAE को हल करने के लिए कौन सी विधि चुनते हैं, तो इस लेख में जिस विधि पर विचार किया गया था वह सबसे आकर्षक लगती है। प्रारंभिक परिवर्तनों में, यदि आपको निर्धारक या कुछ पेचीदा व्युत्क्रम मैट्रिक्स को मैन्युअल रूप से देखना पड़ता है, तो ऐसा होने से भ्रमित होना अधिक कठिन होता है। हालाँकि, यदि आप इस प्रकार के डेटा के साथ काम करने के लिए कार्यक्रमों का उपयोग करते हैं, उदाहरण के लिए, स्प्रेडशीट, तो यह पता चलता है कि ऐसे कार्यक्रमों में पहले से ही मेट्रिसेस के मुख्य मापदंडों की गणना के लिए एल्गोरिदम होते हैं - निर्धारक, नाबालिग, व्युत्क्रम, और इसी तरह। और यदि आप सुनिश्चित हैं कि मशीन स्वयं इन मूल्यों की गणना करेगी और गलती नहीं करेगी, तो मैट्रिक्स विधि या क्रैमर के सूत्रों का उपयोग करना अधिक समीचीन है, क्योंकि उनका आवेदन निर्धारकों और व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना के साथ शुरू और समाप्त होता है।

आवेदन

चूंकि गॉसियन समाधान एक एल्गोरिथ्म है, और मैट्रिक्स वास्तव में एक द्वि-आयामी सरणी है, इसका उपयोग प्रोग्रामिंग में किया जा सकता है। लेकिन चूंकि लेख खुद को "डमीज़" के लिए एक गाइड के रूप में रखता है, इसलिए यह कहा जाना चाहिए कि विधि को डालने का सबसे आसान स्थान स्प्रेडशीट है, उदाहरण के लिए, एक्सेल। दोबारा, मैट्रिक्स के रूप में तालिका में दर्ज किए गए किसी भी SLAE को एक्सेल द्वारा द्वि-आयामी सरणी के रूप में माना जाएगा। और उनके साथ संचालन के लिए, कई अच्छे आदेश हैं: जोड़ (आप केवल एक ही आकार के मेट्रिसेस जोड़ सकते हैं!), एक संख्या से गुणा, मैट्रिक्स गुणन (कुछ प्रतिबंधों के साथ), व्युत्क्रम और ट्रांसपोज़्ड मैट्रिसेस ढूंढना और, सबसे महत्वपूर्ण , निर्धारक की गणना। यदि इस समय लेने वाले कार्य को एकल कमांड द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, तो मैट्रिक्स की रैंक निर्धारित करना बहुत तेज़ होता है और इसलिए, इसकी अनुकूलता या असंगति स्थापित करने के लिए।

चलो रैखिक की एक प्रणाली बीजगणितीय समीकरण, जिसे हल करने की आवश्यकता है (अज्ञात хi के ऐसे मान खोजें जो सिस्टम के प्रत्येक समीकरण को एक समानता में बदल दें)।

हम जानते हैं कि रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली:

1) कोई समाधान नहीं है (बी असंगत).
2) अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।
3) एक अनूठा समाधान है।

जैसा कि हमें याद है, क्रैमर का नियम और मैट्रिक्स विधि उन मामलों में अनुपयुक्त हैं जहां सिस्टम में असीम रूप से कई समाधान हैं या असंगत हैं। गॉस विधि – रैखिक समीकरणों की किसी भी प्रणाली के समाधान खोजने के लिए सबसे शक्तिशाली और बहुमुखी उपकरण, कौन प्रत्येक स्थिति मेंहमें उत्तर की ओर ले जाएं! तीनों मामलों में विधि का एल्गोरिदम उसी तरह काम करता है। यदि क्रैमर और मैट्रिक्स विधियों के लिए निर्धारकों के ज्ञान की आवश्यकता होती है, तो गॉस विधि को लागू करने के लिए केवल ज्ञान की आवश्यकता होती है अंकगणितीय आपरेशनसजो प्राथमिक विद्यालय के छात्रों के लिए भी इसे सुलभ बनाता है।

विस्तारित मैट्रिक्स परिवर्तन ( यह सिस्टम का मैट्रिक्स है - केवल अज्ञात के गुणांकों से बना एक मैट्रिक्स, साथ ही मुक्त शर्तों का एक स्तंभ)गॉस पद्धति में रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली:

1) साथ ट्रॉकीमैट्रिक्स कर सकना को पुनर्व्यवस्थितस्थान।

2) यदि मैट्रिक्स में आनुपातिक (या है) है (जैसा विशेष मामलासमान हैं) तार, तो यह अनुसरण करता है मिटानामैट्रिक्स से, इन सभी पंक्तियों को छोड़कर।

3) यदि परिवर्तन के दौरान मैट्रिक्स में एक शून्य पंक्ति दिखाई देती है, तो यह भी अनुसरण करता है मिटाना.

4) मैट्रिक्स की पंक्ति कर सकते हैं गुणा (विभाजित)शून्य के अलावा किसी भी संख्या के लिए।

5) मैट्रिक्स की पंक्ति में, आप कर सकते हैं एक संख्या से गुणा एक और स्ट्रिंग जोड़ें, शून्य से भिन्न।

गॉस विधि में, प्रारंभिक परिवर्तन समीकरणों की प्रणाली के समाधान को नहीं बदलते हैं।

गॉस विधि में दो चरण होते हैं:

1. "प्रत्यक्ष चाल" - प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करते हुए, रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली के विस्तारित मैट्रिक्स को "त्रिकोणीय" चरणबद्ध रूप में लाएं: मुख्य विकर्ण के नीचे स्थित विस्तारित मैट्रिक्स के तत्व शून्य के बराबर हैं (ऊपर-नीचे चाल ). उदाहरण के लिए, इस प्रकार के लिए:

ऐसा करने के लिए, निम्न चरणों का पालन करें:

1) आइए रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली के पहले समीकरण पर विचार करें और x 1 पर गुणांक K के बराबर है। दूसरा, तीसरा, आदि। हम समीकरणों को निम्नानुसार रूपांतरित करते हैं: हम प्रत्येक समीकरण (अज्ञात के लिए गुणांक, मुक्त पदों सहित) को अज्ञात x 1 के गुणांक से विभाजित करते हैं, जो प्रत्येक समीकरण में है, और K से गुणा करते हैं। उसके बाद, पहले को दूसरे समीकरण से घटाते हैं ( अज्ञात और मुक्त शर्तों के लिए गुणांक)। हम दूसरे समीकरण में x 1 पर गुणांक 0 प्राप्त करते हैं। तीसरे रूपांतरित समीकरण से हम पहले समीकरण को घटाते हैं, इसलिए जब तक कि पहले को छोड़कर सभी समीकरण, अज्ञात x 1 के साथ, गुणांक 0 नहीं होगा।

2) अगले समीकरण पर जाएँ। इसे दूसरा समीकरण होने दें और x 2 पर गुणांक एम के बराबर है। सभी "अधीनस्थ" समीकरणों के साथ, हम ऊपर वर्णित अनुसार आगे बढ़ते हैं। इस प्रकार, "अंडर" अज्ञात x 2 सभी समीकरणों में शून्य होगा।

3) हम अगले समीकरण पर जाते हैं और इसी तरह एक अंतिम अज्ञात और परिवर्तित मुक्त अवधि बनी रहती है।

1. « उलटना» गॉस विधि - रैखिक बीजगणितीय समीकरणों ("नीचे-ऊपर" जा रहा है) की एक प्रणाली का समाधान प्राप्त करना। अंतिम "निचले" समीकरण से हमें पहला समाधान मिलता है - अज्ञात x n। ऐसा करने के लिए, हम प्राथमिक समीकरण A * x n \u003d B को हल करते हैं। ऊपर दिए गए उदाहरण में, x 3 \u003d 4. हम "ऊपरी" अगले समीकरण में पाए गए मान को प्रतिस्थापित करते हैं और इसे अगले अज्ञात के संबंध में हल करते हैं। उदाहरण के लिए, x 2 - 4 \u003d 1, अर्थात। x 2 \u003d 5। और इसी तरह जब तक हम सभी अज्ञात नहीं पाते।

उदाहरण।

हम गॉस पद्धति का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करते हैं, जैसा कि कुछ लेखक सलाह देते हैं:

हम सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखते हैं और प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करते हुए, इसे एक चरण रूप में लाते हैं:

हम ऊपरी बाएँ "चरण" को देखते हैं। वहां हमारे पास एक इकाई होनी चाहिए। समस्या यह है कि पहले कॉलम में कोई भी नहीं है, इसलिए पंक्तियों को पुनर्व्यवस्थित करके कुछ भी हल नहीं किया जा सकता है। ऐसे मामलों में, इकाई को प्राथमिक परिवर्तन का उपयोग करके व्यवस्थित किया जाना चाहिए। यह आमतौर पर कई तरीकों से किया जा सकता है। इसे इस प्रकार करते हैं:
1 कदम . पहली पंक्ति में हम दूसरी पंक्ति जोड़ते हैं, -1 से गुणा करते हैं। यही है, हमने मानसिक रूप से दूसरी पंक्ति को -1 से गुणा किया और पहली और दूसरी पंक्तियों को जोड़ दिया, जबकि दूसरी पंक्ति नहीं बदली।

अब ऊपर बाईं ओर "माइनस वन", जो हमें पूरी तरह से सूट करता है। जो कोई भी +1 प्राप्त करना चाहता है वह एक अतिरिक्त कार्रवाई कर सकता है: पहली पंक्ति को -1 से गुणा करें (इसका चिन्ह बदलें)।

2 चरण . पहली पंक्ति को 5 से गुणा करके दूसरी पंक्ति में जोड़ा गया। पहली पंक्ति को 3 से गुणा करके तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया।

3 चरण . पहली पंक्ति को -1 से गुणा किया गया था, सिद्धांत रूप में, यह सुंदरता के लिए है। तीसरी पंक्ति का चिन्ह भी बदल दिया गया और दूसरे स्थान पर चला गया, इस प्रकार, दूसरे चरण पर, हमारे पास वांछित इकाई थी।

4 चरण . तीसरी पंक्ति में, दूसरी पंक्ति को 2 से गुणा करके जोड़ें।

5 चरण . तीसरी पंक्ति को 3 से विभाजित किया गया है।

एक संकेत जो गणना में त्रुटि को इंगित करता है (कम अक्सर एक टाइपो) एक "खराब" निचली रेखा है। यानी, अगर हमें नीचे (0 0 11 | 23) जैसा कुछ मिलता है, और तदनुसार, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, तो उच्च संभावना के साथ हम कह सकते हैं कि प्राथमिक के दौरान एक गलती हुई थी परिवर्तन।

हम एक रिवर्स मूव करते हैं, उदाहरणों के डिजाइन में, सिस्टम को अक्सर फिर से नहीं लिखा जाता है, और समीकरण "दिए गए मैट्रिक्स से सीधे लिए जाते हैं"। रिवर्स मूव, मैं आपको याद दिलाता हूं, "नीचे से ऊपर" काम करता है। इस उदाहरण में, उपहार निकला:

एक्स 3 = 1
एक्स 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, इसलिए x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1

उत्तर:x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1।

आइए प्रस्तावित एल्गोरिथम का उपयोग करके उसी प्रणाली को हल करें। हम पाते हैं

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

दूसरे समीकरण को 5 से और तीसरे को 3 से विभाजित करें। हमें मिलता है:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

दूसरे और तीसरे समीकरण को 4 से गुणा करने पर, हम पाते हैं:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

पहले समीकरण को दूसरे और तीसरे समीकरण से घटाएं, हमारे पास:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

तीसरे समीकरण को 0.64 से विभाजित करें:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

तीसरे समीकरण को 0.4 से गुणा करें

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

तीसरे समीकरण से दूसरे समीकरण को घटाएं, हमें "स्टेप्ड" संवर्धित मैट्रिक्स मिलता है:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

इस प्रकार, गणना की प्रक्रिया में संचित त्रुटि के बाद से, हमें x 3 \u003d 0.96, या लगभग 1 मिलता है।

x 2 \u003d 3 और x 1 \u003d -1।

इस तरह हल करने पर आप कभी भी गणना में भ्रमित नहीं होंगे और गणना में त्रुटि होने पर भी आपको परिणाम मिल जाएगा।

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने की यह विधि आसानी से प्रोग्राम करने योग्य है और अज्ञात के लिए गुणांक की विशिष्ट विशेषताओं को ध्यान में नहीं रखती है, क्योंकि व्यवहार में (आर्थिक और तकनीकी गणना में) किसी को गैर-पूर्णांक गुणांक से निपटना पड़ता है।

मैं तुम्हारी सफलता की कामना करता हूं! कक्षा में मिलेंगे! कोई विषय पढ़ाना।

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महान गणितज्ञ कार्ल फ्रेडरिक गॉस कब कादर्शन और गणित के बीच झिझक। शायद यह ठीक ऐसी मानसिकता थी जिसने उन्हें विश्व विज्ञान में "छोड़ने" की अनुमति दी। विशेष रूप से, "गॉस मेथड" बनाकर ...

लगभग 4 वर्षों से इस साइट के लेखों से निपटा गया है विद्यालय शिक्षा, मुख्य रूप से दर्शनशास्त्र की ओर से, (गलत) समझ के सिद्धांतों को बच्चों के दिमाग में पेश किया गया। अधिक बारीकियों, उदाहरणों और विधियों का समय आ रहा है ... मेरा मानना ​​​​है कि यह परिचित, भ्रामक और दृष्टिकोण है महत्वपूर्णजीवन के क्षेत्र सर्वोत्तम परिणाम देते हैं।

हम इंसान इतने व्यवस्थित हैं कि आप कितनी भी बात कर लें सामान्य सोच, लेकिन समझ हमेशाउदाहरणों से होता है. यदि कोई उदाहरण नहीं है, तो सिद्धांतों को पकड़ना असंभव है ... किसी पहाड़ की चोटी पर पैर से पूरी ढलान से गुजरना कितना असंभव है।

स्कूल के साथ भी: अभी के लिए जीवित कहानियाँइतना ही नहीं हम सहज रूप से इसे एक ऐसी जगह के रूप में मानते हैं जहां बच्चों को समझना सिखाया जाता है।

उदाहरण के लिए, गॉस पद्धति को पढ़ाना...

स्कूल की 5 वीं कक्षा में गॉस विधि

मैं तुरंत एक आरक्षण करूँगा: गॉस पद्धति का बहुत व्यापक अनुप्रयोग है, उदाहरण के लिए, हल करते समय रैखिक समीकरणों की प्रणाली. हम जिस बारे में बात करने जा रहे हैं वह कक्षा 5 में होता है। यह शुरू, जिसे समझने के बाद, अधिक "उन्नत विकल्पों" को समझना बहुत आसान हो गया है। इस लेख में हम बात कर रहे हैं गॉस की विधि (विधि) जब किसी श्रृंखला का योग ज्ञात करते हैं

यहाँ एक उदाहरण है जो मैं स्कूल से लाया हूँ छोटा बेटामास्को व्यायामशाला की 5 वीं कक्षा में भाग लेना।

गॉस पद्धति का स्कूल प्रदर्शन

इंटरएक्टिव व्हाइटबोर्ड का उपयोग करते हुए गणित शिक्षक ( आधुनिक तरीकेप्रशिक्षण) ने बच्चों को लिटिल गॉस द्वारा "विधि के निर्माण" के इतिहास की प्रस्तुति दिखाई।

स्कूल के शिक्षक ने छोटे कार्ल (एक पुराना तरीका, अब स्कूलों में इस्तेमाल नहीं किया जाता) होने के लिए कोड़े मारे,

1 से 100 तक की संख्याओं को जोड़ने के बजाय उनका योग निकालने के लिए ध्यान दियाअंकगणितीय प्रगति के किनारों से समान दूरी पर संख्याओं के जोड़े समान संख्या में जुड़ते हैं। उदाहरण के लिए, 100 और 1, 99 और 2। ऐसे जोड़ियों की संख्या को गिनने के बाद, छोटे गॉस ने शिक्षक द्वारा प्रस्तावित समस्या को लगभग तुरंत हल कर दिया। जिसके लिए उन्हें हैरान जनता के सामने फाँसी दी गई। बाकी के लिए सोचना अपमानजनक था।

लिटिल गॉस ने क्या किया विकसित संख्या समझ? ध्यान दियाकुछ सुविधाएक स्थिर चरण (अंकगणितीय प्रगति) के साथ संख्या श्रृंखला। और बिल्कुल यहीबाद में उन्हें एक महान वैज्ञानिक बनाया, नोटिस करने में सक्षम, धारण करना भावना, समझने की वृत्ति.

यह गणित का मूल्य है, जो विकसित होता है देखने की क्षमतासामान्य विशेष रूप से - सामान्य सोच. इसलिए, अधिकांश माता-पिता और नियोक्ता सहज रूप से गणित को एक महत्वपूर्ण विषय मानते हैं ...

“गणित को बाद में पढ़ाया जाना चाहिए, ताकि यह दिमाग को व्यवस्थित करे।
एम. वी. लोमोनोसोव"।

हालाँकि, भविष्य की प्रतिभाओं को कोड़े मारने वालों के अनुयायियों ने इस पद्धति को कुछ विपरीत में बदल दिया। जैसा कि मेरे पर्यवेक्षक ने 35 साल पहले कहा था: "उन्होंने सवाल सीखा।" या, जैसा कि मेरे सबसे छोटे बेटे ने कल गॉस पद्धति के बारे में कहा था: "शायद यह इससे बड़ा विज्ञान बनाने के लायक नहीं है, हुह?"

"वैज्ञानिकों" की रचनात्मकता के परिणाम वर्तमान स्कूल गणित के स्तर पर, इसके शिक्षण के स्तर और "विज्ञान की रानी" की समझ के बहुमत से दिखाई दे रहे हैं।

हालाँकि, जारी रखें ...

स्कूल की 5वीं कक्षा में गॉस पद्धति को समझाने के तरीके

मास्को व्यायामशाला में गणित के एक शिक्षक ने विलेनकिन के तरीके से गॉस पद्धति की व्याख्या करते हुए कार्य को जटिल बना दिया।

क्या होगा यदि अंकगणितीय प्रगति का अंतर (चरण) एक नहीं, बल्कि एक और संख्या है? उदाहरण के लिए, 20.

उन्होंने पाँचवीं कक्षा के छात्रों को जो कार्य दिया:

20+40+60+80+ ... +460+480+500

व्यायामशाला पद्धति से परिचित होने से पहले, आइए वेब पर नज़र डालें: स्कूल के शिक्षक - गणित के शिक्षक इसे कैसे करते हैं? ..

गॉस विधि: स्पष्टीकरण #1

अपने यूट्यूब चैनल के एक जाने-माने ट्यूटर निम्नलिखित तर्क देते हैं:

"आइए 1 से 100 तक की संख्याओं को इस प्रकार लिखते हैं:

पहले 1 से 50 तक की संख्याओं की एक श्रृंखला, और इसके ठीक नीचे 50 से 100 तक की संख्याओं की एक और श्रृंखला, लेकिन विपरीत क्रम में"

1, 2, 3, ... 48, 49, 50

100, 99, 98 ... 53, 52, 51

"कृपया ध्यान दें: ऊपर और नीचे की पंक्तियों से संख्याओं की प्रत्येक जोड़ी का योग समान है और 101 के बराबर है! आइए जोड़े की संख्या की गणना करें, यह 50 है और जोड़े की संख्या से एक जोड़ी का योग गुणा करें! वोइला: द उत्तर तैयार है!"।

"अगर तुम नहीं समझ सके, तो परेशान मत हो!" स्पष्टीकरण के दौरान शिक्षक ने तीन बार दोहराया। "आप इस विधि को 9वीं कक्षा में पास करेंगे!"

गॉस विधि: स्पष्टीकरण #2

एक अन्य ट्यूटर, कम प्रसिद्ध (विचारों की संख्या को देखते हुए) अधिक उपयोग करता है वैज्ञानिक दृष्टिकोण, 5 बिंदुओं का एक समाधान एल्गोरिथम प्रदान करता है जिसे क्रमिक रूप से निष्पादित किया जाना चाहिए।

बिन बुलाए के लिए: 5 पारंपरिक रूप से जादुई मानी जाने वाली फाइबोनैचि संख्याओं में से एक है। उदाहरण के लिए, 5-स्टेप विधि हमेशा 6-स्टेप विधि से अधिक वैज्ञानिक होती है। ... और यह शायद ही कोई दुर्घटना है, सबसे अधिक संभावना है, लेखक फिबोनाची सिद्धांत का एक छिपा हुआ अनुयायी है

दाना अंकगणितीय प्रगति: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .

गॉस विधि का उपयोग करके श्रृंखला में संख्याओं का योग खोजने के लिए एल्गोरिथम:

चरण 1: संख्याओं के दिए गए क्रम को उलट कर फिर से लिखें, बिल्कुलपहले के तहत।

4, 10, 16 ... 244, 250, 256

256, 250, 244 ... 16, 10, 4

चरण 2: लंबवत पंक्तियों में व्यवस्थित संख्याओं के जोड़े की गणना करें: 260।

चरण 3: गिनें कि संख्या श्रृंखला में ऐसे कितने जोड़े हैं। ऐसा करने के लिए, संख्या श्रृंखला की अधिकतम संख्या से न्यूनतम घटाएं और चरण आकार से विभाजित करें: (256 - 4) / 6 = 42।

उसी समय, आपको याद रखने की आवश्यकता है प्लस वन नियम : एक को परिणामी भागफल में जोड़ा जाना चाहिए: अन्यथा हमें एक परिणाम मिलेगा जो जोड़े की सही संख्या से एक कम है: 42 + 1 = 43।

चरण 4: एक जोड़ी संख्याओं के योग को जोड़े की संख्या से गुणा करें: 260 x 43 = 11,180

चरण 5: चूंकि हमने राशि की गणना की है संख्याओं के जोड़े, तो प्राप्त राशि को दो से विभाजित किया जाना चाहिए: 11 180/2 = 5590।

यह 6 के अंतर के साथ 4 से 256 तक अंकगणितीय प्रगति का वांछित योग है!

गॉस विधि: मास्को व्यायामशाला की 5 वीं कक्षा में स्पष्टीकरण

और यहां बताया गया है कि श्रृंखला का योग खोजने की समस्या को हल करने के लिए यह कैसे आवश्यक था:

20+40+60+ ... +460+480+500

मॉस्को व्यायामशाला की 5 वीं कक्षा में, विलेनकिन की पाठ्यपुस्तक (मेरे बेटे के अनुसार)।

प्रस्तुति दिखाने के बाद, गणित के शिक्षक ने कुछ गॉसियन उदाहरण दिखाए और कक्षा को 20 के चरण के साथ एक श्रृंखला में संख्याओं का योग खोजने का कार्य दिया।

इसके लिए निम्नलिखित की आवश्यकता थी:

स्टेप 1: एक नोटबुक में पंक्ति में सभी नंबरों को लिखना सुनिश्चित करें 20 से 500 तक (20 की वेतन वृद्धि में)।

चरण दो: क्रमागत पद लिखिए - संख्याओं के युग्म:पहला आखिरी के साथ, दूसरा आखिरी के साथ, आदि। और उनकी राशि की गणना करें।

चरण 3: "योग का योग" की गणना करें और पूरी श्रृंखला का योग ज्ञात करें।

जैसा कि आप देख सकते हैं, यह एक अधिक कॉम्पैक्ट और कुशल तकनीक है: नंबर 3 फिबोनाची अनुक्रम का सदस्य भी है

गॉस पद्धति के स्कूल संस्करण पर मेरी टिप्पणी

महान गणितज्ञ ने निश्चित रूप से दर्शनशास्त्र को चुना होगा यदि उन्होंने यह अनुमान लगाया था कि उनके अनुयायी उनकी "पद्धति" को किस रूप में बदल देंगे। जर्मन शिक्षकजिसने कार्ल को डंडों से पीटा। उन्होंने "शिक्षकों" की प्रतीकात्मकता और द्वंद्वात्मक सर्पिल और कभी न खत्म होने वाली मूर्खता को देखा होगा गलतफहमी के बीजगणित के साथ जीवित गणितीय विचार के सामंजस्य को मापने की कोशिश कर रहा है ....

वैसे, क्या आप जानते हैं। कि हमारी शिक्षा प्रणाली 18वीं और 19वीं शताब्दी के जर्मन स्कूल में निहित है?

लेकिन गॉस ने गणित को चुना।

उसकी पद्धति का सार क्या है?

में सरलीकरण. में अवलोकन और कब्जासंख्याओं का सरल पैटर्न। में ड्राई स्कूल अंकगणित को में बदलना दिलचस्प और एक रोमांचक गतिविधि , मस्तिष्क में जारी रखने की इच्छा को सक्रिय करना, और उच्च लागत वाली मानसिक गतिविधि को अवरुद्ध नहीं करना।

क्या उपरोक्त "गॉस विधि के संशोधनों" में से किसी एक के साथ अंकगणितीय प्रगति की संख्याओं की गणना करना संभव है हाथों हाथ? "एल्गोरिदम" के अनुसार, छोटे कार्ल को पिटाई से बचने, गणित के प्रति घृणा पैदा करने और कली में अपने रचनात्मक आवेगों को दबाने की गारंटी दी गई होगी।

ट्यूटर ने पांचवीं कक्षा के छात्रों को विधि की "गलतफहमी से डरने की नहीं" की सलाह क्यों दी, उन्हें आश्वस्त किया कि वे 9 वीं कक्षा में पहले से ही "ऐसी" समस्याओं को हल कर लेंगे? मनोवैज्ञानिक रूप से निरक्षर कार्रवाई. नोट करना एक अच्छा विचार था: "फिर मिलते हैं पहले से ही 5 वीं कक्षा में आप कर सकते हैंउन समस्याओं को हल करें जिन्हें आप केवल 4 वर्षों में पास कर लेंगे! आप कितने अच्छे साथी हैं!"

गाऊसी पद्धति का उपयोग करने के लिए कक्षा का स्तर 3 पर्याप्त हैजब सामान्य बच्चे पहले से ही जानते हैं कि 2-3 अंकों की संख्याओं को कैसे जोड़ना, गुणा करना और विभाजित करना है। समस्याएं वयस्क शिक्षकों की अक्षमता के कारण उत्पन्न होती हैं जो "प्रवेश नहीं करते हैं" सामान्य मानव भाषा में सरलतम चीजों को कैसे समझाएं, न केवल गणितीय ... वे गणित में रुचि नहीं ले पा रहे हैं और यहां तक ​​​​कि "सक्षम" लोगों को भी पूरी तरह से हतोत्साहित करते हैं।

या, जैसा कि मेरे बेटे ने टिप्पणी की, "इससे एक बड़ा विज्ञान बनाओ।"

कैसे (सामान्य मामले में) यह पता लगाने के लिए कि किस नंबर पर विधि संख्या 1 में संख्याओं का रिकॉर्ड "अलिखित" होना चाहिए?

यदि श्रृंखला के सदस्यों की संख्या है तो क्या करें अजीब?

एक "नियम प्लस 1" में क्यों बदलें जो एक बच्चा बस कर सकता है अपनानापहली कक्षा में भी, अगर उसने "संख्या की भावना" विकसित की थी, और याद नहीं आया"दस में गिनती"?

और अंत में: ज़ीरो कहाँ गायब हो गया, एक शानदार आविष्कार जो 2,000 साल से अधिक पुराना है और जिसे आधुनिक गणित के शिक्षक उपयोग करने से बचते हैं?!

गॉस विधि, मेरी व्याख्या

मेरी पत्नी और मैंने अपने बच्चे को यह "तरीका" समझाया, ऐसा लगता है, स्कूल से पहले भी ...

जटिलता की जगह सरलता या सवालों-जवाबों का खेल

""देखो, यहाँ 1 से 100 तक की संख्याएँ हैं। तुम क्या देखते हो?"

यह इस बारे में नहीं है कि बच्चा क्या देखता है। चाल उसे देखने के लिए है।

"आप उन्हें एक साथ कैसे रख सकते हैं?" बेटे ने पकड़ा कि इस तरह के प्रश्न "बस ऐसे ही" नहीं पूछे जाते हैं और आपको इस प्रश्न को देखने की आवश्यकता है "किसी तरह अलग, अलग तरह से वह आमतौर पर करता है"

इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि बच्चा तुरंत समाधान देख लेता है, इसकी संभावना नहीं है। यह महत्वपूर्ण है कि वह देखने से डरना बंद हो गया, या जैसा कि मैं कहता हूं: "कार्य को स्थानांतरित कर दिया". यह समझने के मार्ग की शुरुआत है

"क्या आसान है: जोड़ें, उदाहरण के लिए, 5 और 6 या 5 और 95?" एक अग्रणी प्रश्न... लेकिन आखिरकार, कोई भी प्रशिक्षण किसी व्यक्ति को "उत्तर" के लिए "मार्गदर्शन" करने के लिए नीचे आता है - किसी भी तरह से उसे स्वीकार्य।

इस स्तर पर, गणनाओं पर "बचाने" के तरीके के बारे में पहले से ही अनुमान लगाया जा सकता है।

हमने जो कुछ किया है वह संकेत है: "ललाट, रैखिक" गिनती विधि केवल एक ही संभव नहीं है। अगर बच्चे ने इसे काट लिया तो आगे चलकर वह ऐसे और भी कई तरीके ईजाद करेगा, क्योंकि यह दिलचस्प है!!!और वह निश्चित रूप से गणित की "गलतफहमी" से बचेंगे, इसके लिए घृणा महसूस नहीं करेंगे। उसे जीत मिली!

अगर बच्चे का पता चलातो फिर, संख्याओं के ऐसे युग्मों को जोड़ना जिनका योग सौ होता है, एक तुच्छ कार्य है "अंतर 1 के साथ अंकगणितीय प्रगति"- एक बच्चे के लिए बल्कि नीरस और अरुचिकर बात - अचानक उसे जीवन दिया . अराजकता से आदेश आया, और यह हमेशा उत्साही होता है: हम ऐसे ही हैं!

एक त्वरित प्रश्न: एक बच्चे की अंतर्दृष्टि के बाद, उन्हें फिर से शुष्क एल्गोरिदम के ढांचे में क्यों चलाया जाना चाहिए, जो इस मामले में कार्यात्मक रूप से बेकार भी हैं?!

मूर्खतापूर्ण पुनर्लेखन क्यों करेंएक नोटबुक में अनुक्रम संख्याएँ: ताकि सक्षम को भी समझने का एक भी मौका न मिले? सांख्यिकीय रूप से, निश्चित रूप से, लेकिन जन शिक्षा "सांख्यिकी" पर केंद्रित है ...

शून्य कहाँ गया?

और फिर भी, 100 तक जोड़ने वाली संख्याओं को जोड़ना 101 देने की तुलना में दिमाग को अधिक स्वीकार्य है ...

"स्कूल गॉस विधि" को बिल्कुल इसकी आवश्यकता है: बिना सोचे-समझे मोड़ोसंख्याओं की एक जोड़ी की प्रगति के केंद्र से समान दूरी पर, सब कुछ के बावजूद.

देखोगे तो क्या

फिर भी, शून्य सबसे बड़ा आविष्कारमानवता, जो 2,000 वर्ष से अधिक पुरानी है। और गणित के शिक्षक उसकी उपेक्षा करते रहते हैं।

1 से शुरू होने वाली संख्याओं की श्रृंखला को 0 से शुरू होने वाली श्रृंखला में बदलना बहुत आसान है। योग नहीं बदलेगा, है ना? आपको "पाठ्यपुस्तकों में सोचना" बंद करना होगा और देखना शुरू करना होगा ...और यह देखने के लिए कि योग 101 वाले जोड़े को 100 योग वाले जोड़े से पूरी तरह से बदला जा सकता है!

0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51

"रूल प्लस 1" को कैसे खत्म किया जाए?

सच कहूं तो मैंने सबसे पहले ऐसे नियम के बारे में उस यूट्यूब ट्यूटर से सुना...

मुझे तब भी क्या करना चाहिए जब मुझे श्रृंखला के सदस्यों की संख्या निर्धारित करने की आवश्यकता हो?

क्रम को देखते हुए:

1, 2, 3, .. 8, 9, 10

और जब पूरी तरह से थक जाते हैं, तो एक सरल पंक्ति पर:

1, 2, 3, 4, 5

और मुझे लगता है: यदि आप 5 में से एक घटाते हैं, तो आपको 4 मिलता है, लेकिन मैं काफी स्पष्ट हूँ देखना 5 नंबर! इसलिए, आपको एक जोड़ने की जरूरत है! संख्या बोध में विकसित हुआ प्राथमिक स्कूल, सुझाव देता है: भले ही श्रृंखला के सदस्यों का पूरा Google हो (10 से सौवीं शक्ति), पैटर्न वही रहेगा।

बकवास नियम?...

ताकि एक-दो-तीन साल में माथे और सिर के पिछले हिस्से के बीच की सारी जगह को भर दें और सोचना बंद कर दें? कैसे रोटी और मक्खन कमाने के बारे में? आखिरकार, हम डिजिटल अर्थव्यवस्था के युग में भी रैंकों में आगे बढ़ रहे हैं!

गॉस की स्कूल पद्धति के बारे में अधिक जानकारी: "विज्ञान को इससे बाहर क्यों बनाया जाए? .."

यह व्यर्थ नहीं था कि मैंने अपने बेटे की नोटबुक से एक स्क्रीनशॉट पोस्ट किया...

"पाठ में क्या था?"

"ठीक है, मैंने तुरंत गिना, अपना हाथ उठाया, लेकिन उसने नहीं पूछा। इसलिए, जब अन्य गिन रहे थे, मैंने रूसी में डीजेड करना शुरू किया ताकि समय बर्बाद न हो। फिर, जब दूसरों ने लिखना समाप्त कर दिया (?? ?), उसने मुझे बोर्ड में बुलाया। मैंने उत्तर कहा।"

"यह सही है, मुझे दिखाओ कि तुमने इसे कैसे हल किया," शिक्षक ने कहा। मैंने दिखलाया। उसने कहा: "गलत, आपको गिनने की जरूरत है जैसा मैंने दिखाया!"

"यह अच्छा है कि मैंने कोई ड्यूस नहीं लगाया। और मैंने एक नोटबुक में अपने तरीके से" निर्णय प्रक्रिया "लिखा। इससे एक बड़ा विज्ञान क्यों बनाया जाए? .."

एक गणित शिक्षक का मुख्य अपराध

मुश्किल से बाद में वह अवसरकार्ल गॉस ने गणित के स्कूल शिक्षक के प्रति अत्यधिक सम्मान का अनुभव किया। लेकिन अगर वह जानता था कि कैसे उस गुरु के अनुयायी विधि के सार को विकृत करें... वह आक्रोश से दहाड़ता और विश्व बौद्धिक संपदा संगठन WIPO के माध्यम से, स्कूल की पाठ्यपुस्तकों में अपने अच्छे नाम के उपयोग पर प्रतिबंध लगा देता! ..

क्या स्कूल के दृष्टिकोण की मुख्य गलती? या, जैसा कि मैंने इसे रखा है, स्कूली गणित के शिक्षकों का बच्चों के खिलाफ अपराध?

गलतफहमी एल्गोरिदम

स्कूल मेथोडोलॉजिस्ट क्या करते हैं, जिनमें से अधिकांश यह नहीं जानते कि कैसे सोचना है?

तरीके और एल्गोरिदम बनाएं (देखें)। यह एक रक्षात्मक प्रतिक्रिया जो शिक्षकों को आलोचना से बचाती है ("सब कुछ के अनुसार किया जाता है ..."), और बच्चों को समझने से। और इस प्रकार - शिक्षकों की आलोचना करने की इच्छा से!(नौकरशाही "ज्ञान" का दूसरा व्युत्पन्न, समस्या के लिए एक वैज्ञानिक दृष्टिकोण)। एक व्यक्ति जो अर्थ नहीं समझता है, बल्कि वह अपनी गलतफहमी को दोष देगा, न कि स्कूल प्रणाली की मूर्खता को।

क्या हो रहा है: माता-पिता बच्चों और शिक्षकों को दोष देते हैं ... वही बच्चे जो "गणित नहीं समझते हैं! ..

क्या आप समझदार हैं?

छोटे कार्ल ने क्या किया?

बिल्कुल अपरंपरागत रूप से एक टेम्पलेट कार्य से संपर्क किया. यह उनके दृष्टिकोण की सर्वोत्कृष्टता है। यह मुख्य बात जो स्कूल में सिखाई जानी चाहिए वह पाठ्यपुस्तकों से नहीं, बल्कि अपने सिर से सोचना है. बेशक, एक वाद्य घटक भी है जिसका उपयोग ... की खोज में किया जा सकता है सरल और प्रभावी तरीकेहिसाब किताब.

विलेंकिन के अनुसार गॉस विधि

स्कूल में वे सिखाते हैं कि गॉस विधि है

जोंड़ों मेंसंख्या श्रृंखला के किनारों से समदूरस्थ संख्याओं का योग ज्ञात करें, अनिवार्य रूप से किनारों से शुरू!

ऐसे जोड़े की संख्या पाएं, और इसी तरह।

क्या, यदि पंक्ति में तत्वों की संख्या विषम है, जैसा कि बेटे को सौंपा गया कार्य है? ..

इस मामले में "चाल" यह है आपको श्रृंखला की "अतिरिक्त" संख्या मिलनी चाहिएऔर इसे जोड़ियों के योग में जोड़ें। हमारे उदाहरण में, यह संख्या 260 है.

कैसे पता करें? एक नोटबुक में संख्याओं के सभी युग्मों को फिर से लिखना!(इसीलिए शिक्षक ने बच्चों से यह बेवकूफी भरा काम करवाया, गॉसियन पद्धति का उपयोग करके "रचनात्मकता" सिखाने की कोशिश की... और इसीलिए ऐसी "पद्धति" बड़ी डेटा श्रृंखला के लिए व्यावहारिक रूप से अनुपयुक्त है, और इसलिए यह गॉसियन नहीं है तरीका)।

स्कूल की दिनचर्या में थोड़ी रचनात्मकता...

बेटे ने अलग तरह से काम किया।

सबसे पहले उन्होंने नोट किया कि संख्या 500 को गुणा करना आसान था, न कि 520।

(20 + 500, 40 + 480 ...).

फिर उसने पता लगाया: चरणों की संख्या विषम निकली: 500/20 = 25।

फिर उन्होंने श्रृंखला की शुरुआत में शून्य जोड़ा (हालांकि श्रृंखला की अंतिम अवधि को छोड़ना संभव था, जो समता भी सुनिश्चित करेगा) और संख्याओं को जोड़ा, कुल 500

0+500, 20+480, 40+460 ...

26 चरण "पाँच सौ" के 13 जोड़े हैं: 13 x 500 = 6500 ..

यदि हम श्रृंखला के अंतिम सदस्य को छोड़ देते हैं, तो 12 जोड़े होंगे, लेकिन हमें गणना के परिणाम में "छोड़े गए" पांच सौ जोड़ना नहीं भूलना चाहिए। फिर: (12 x 500) + 500 = 6500!

आसान है ना?

लेकिन व्यवहार में यह और भी आसान हो जाता है, जो आपको रूसी में रिमोट सेंसिंग के लिए 2-3 मिनट निकालने की अनुमति देता है, जबकि बाकी "गिनती" कर रहे हैं। इसके अलावा, यह कार्यप्रणाली के चरणों की संख्या को बरकरार रखता है: 5, जो अवैज्ञानिक होने के दृष्टिकोण की आलोचना करने की अनुमति नहीं देता है।

स्पष्ट रूप से यह दृष्टिकोण विधि की शैली में सरल, तेज और अधिक बहुमुखी है। लेकिन ... शिक्षक ने न केवल प्रशंसा की, बल्कि मुझे इसे "सही तरीके से" फिर से लिखने के लिए मजबूर किया (स्क्रीनशॉट देखें)। अर्थात्, उसने रचनात्मक आवेग और कली में गणित को समझने की क्षमता को दबाने का एक बेताब प्रयास किया! जाहिरा तौर पर, बाद में एक ट्यूटर के रूप में काम पर रखने के लिए ... उसने गलत पर हमला किया ...

मैंने जो कुछ भी इतने लंबे और थकाऊ ढंग से वर्णित किया है, वह एक सामान्य बच्चे को अधिकतम आधे घंटे में समझाया जा सकता है। साथ में उदाहरण।

और ताकि वह इसे कभी न भूले।

और यह होगा समझने की दिशा में कदम...सिर्फ गणित नहीं।

इसे स्वीकार करें: गॉस पद्धति का उपयोग करके आपने अपने जीवन में कितनी बार जोड़ा है? और मैं कभी नहीं!

लेकिन समझने की वृत्ति, जो सीखने की प्रक्रिया में विकसित (या बुझ) जाता है गणितीय तरीकेस्कूल में ... ओह! .. यह वास्तव में एक अपूरणीय चीज है!

विशेष रूप से सार्वभौमिक डिजिटलीकरण के युग में, जिसमें हमने चुपचाप पार्टी और सरकार के सख्त मार्गदर्शन में प्रवेश किया।

शिक्षकों के बचाव में कुछ शब्द...

केवल स्कूल के शिक्षकों पर शिक्षण की इस शैली के लिए पूरी जिम्मेदारी डालना अनुचित और गलत है। सिस्टम काम कर रहा है।

कुछशिक्षक जो हो रहा है उसकी बेरुखी को समझते हैं, लेकिन क्या करें? शिक्षा पर कानून, संघीय राज्य शैक्षिक मानक, तरीके, तकनीकी नक्शेसबक... सब कुछ "के अनुसार और उसके आधार पर" किया जाना चाहिए और सब कुछ प्रलेखित होना चाहिए। एक तरफ कदम - बर्खास्तगी के लिए कतार में खड़ा था। आइए पाखंडी न बनें: मॉस्को के शिक्षकों का वेतन बहुत अच्छा है... अगर उन्हें निकाल दिया जाए, तो वे कहां जाएं?..

इसलिए यह साइट शिक्षा के बारे में नहीं. वह लगभग है व्यक्तिगत शिक्षा, केवल संभव तरीकाभीड़ से बाहर निकलो जनरेशन जेड ...

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली दें, जिसे हल किया जाना चाहिए (अज्ञात के ऐसे मान खोजें जो सिस्टम के प्रत्येक समीकरण को एक समानता में बदल दें)।

हम जानते हैं कि रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली:

1) कोई समाधान नहीं है (बी असंगत).
2) अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।
3) एक अनूठा समाधान है।

जैसा कि हमें याद है, क्रैमर का नियम और मैट्रिक्स विधि उन मामलों में अनुपयुक्त हैं जहां सिस्टम में असीम रूप से कई समाधान हैं या असंगत हैं। गॉस विधि – रैखिक समीकरणों की किसी भी प्रणाली के समाधान खोजने के लिए सबसे शक्तिशाली और बहुमुखी उपकरण, कौन प्रत्येक स्थिति मेंहमें उत्तर की ओर ले जाएं! तीनों मामलों में विधि का एल्गोरिदम उसी तरह काम करता है। यदि क्रैमर और मैट्रिक्स विधियों के लिए निर्धारकों के ज्ञान की आवश्यकता होती है, तो गॉस पद्धति के अनुप्रयोग के लिए केवल अंकगणितीय संक्रियाओं के ज्ञान की आवश्यकता होती है, जो इसे प्राथमिक विद्यालय के छात्रों के लिए भी सुलभ बनाता है।

विस्तारित मैट्रिक्स परिवर्तन ( यह सिस्टम का मैट्रिक्स है - केवल अज्ञात के गुणांकों से बना एक मैट्रिक्स, साथ ही मुक्त शर्तों का एक स्तंभ)गॉस पद्धति में रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली:

1) साथ ट्रॉकीमैट्रिक्स कर सकना को पुनर्व्यवस्थितस्थान।

2) यदि मैट्रिक्स में आनुपातिक (या हैं) पंक्तियाँ हैं (एक विशेष मामले के रूप में - समान), तो यह इस प्रकार है मिटानामैट्रिक्स से, इन सभी पंक्तियों को छोड़कर।

3) यदि परिवर्तन के दौरान मैट्रिक्स में एक शून्य पंक्ति दिखाई देती है, तो यह भी अनुसरण करता है मिटाना.

4) मैट्रिक्स की पंक्ति कर सकते हैं गुणा (विभाजित)शून्य के अलावा किसी भी संख्या के लिए।

5) मैट्रिक्स की पंक्ति में, आप कर सकते हैं एक संख्या से गुणा एक और स्ट्रिंग जोड़ें, शून्य से भिन्न।

गॉस विधि में, प्रारंभिक परिवर्तन समीकरणों की प्रणाली के समाधान को नहीं बदलते हैं।

गॉस विधि में दो चरण होते हैं:

1. "प्रत्यक्ष चाल" - प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करते हुए, रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली के विस्तारित मैट्रिक्स को "त्रिकोणीय" चरणबद्ध रूप में लाएं: मुख्य विकर्ण के नीचे स्थित विस्तारित मैट्रिक्स के तत्व शून्य के बराबर हैं (ऊपर-नीचे चाल ). उदाहरण के लिए, इस प्रकार के लिए:

ऐसा करने के लिए, निम्न चरणों का पालन करें:

1) आइए रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली के पहले समीकरण पर विचार करें और x 1 पर गुणांक K के बराबर है। दूसरा, तीसरा, आदि। हम समीकरणों को निम्नानुसार रूपांतरित करते हैं: हम प्रत्येक समीकरण (अज्ञात के लिए गुणांक, मुक्त पदों सहित) को अज्ञात x 1 के गुणांक से विभाजित करते हैं, जो प्रत्येक समीकरण में है, और K से गुणा करते हैं। उसके बाद, पहले को दूसरे समीकरण से घटाते हैं ( अज्ञात और मुक्त शर्तों के लिए गुणांक)। हम दूसरे समीकरण में x 1 पर गुणांक 0 प्राप्त करते हैं। तीसरे रूपांतरित समीकरण से हम पहले समीकरण को घटाते हैं, इसलिए जब तक कि पहले को छोड़कर सभी समीकरण, अज्ञात x 1 के साथ, गुणांक 0 नहीं होगा।

2) अगले समीकरण पर जाएँ। इसे दूसरा समीकरण होने दें और x 2 पर गुणांक एम के बराबर है। सभी "अधीनस्थ" समीकरणों के साथ, हम ऊपर वर्णित अनुसार आगे बढ़ते हैं। इस प्रकार, "अंडर" अज्ञात x 2 सभी समीकरणों में शून्य होगा।

3) हम अगले समीकरण पर जाते हैं और इसी तरह एक अंतिम अज्ञात और परिवर्तित मुक्त अवधि बनी रहती है।

1. गॉस पद्धति का "रिवर्स मूव" रैखिक बीजगणितीय समीकरणों ("बॉटम-अप" मूव) की एक प्रणाली का समाधान प्राप्त करना है। अंतिम "निचले" समीकरण से हमें पहला समाधान मिलता है - अज्ञात x n। ऐसा करने के लिए, हम प्राथमिक समीकरण A * x n \u003d B को हल करते हैं। ऊपर दिए गए उदाहरण में, x 3 \u003d 4. हम "ऊपरी" अगले समीकरण में पाए गए मान को प्रतिस्थापित करते हैं और इसे अगले अज्ञात के संबंध में हल करते हैं। उदाहरण के लिए, x 2 - 4 \u003d 1, अर्थात। x 2 \u003d 5। और इसी तरह जब तक हम सभी अज्ञात नहीं पाते।

उदाहरण।

हम गॉस पद्धति का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करते हैं, जैसा कि कुछ लेखक सलाह देते हैं:

हम सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखते हैं और प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करते हुए, इसे एक चरण रूप में लाते हैं:

हम ऊपरी बाएँ "चरण" को देखते हैं। वहां हमारे पास एक इकाई होनी चाहिए। समस्या यह है कि पहले कॉलम में कोई भी नहीं है, इसलिए पंक्तियों को पुनर्व्यवस्थित करके कुछ भी हल नहीं किया जा सकता है। ऐसे मामलों में, इकाई को प्राथमिक परिवर्तन का उपयोग करके व्यवस्थित किया जाना चाहिए। यह आमतौर पर कई तरीकों से किया जा सकता है। इसे इस प्रकार करते हैं:
1 कदम . पहली पंक्ति में हम दूसरी पंक्ति जोड़ते हैं, -1 से गुणा करते हैं। यही है, हमने मानसिक रूप से दूसरी पंक्ति को -1 से गुणा किया और पहली और दूसरी पंक्तियों को जोड़ दिया, जबकि दूसरी पंक्ति नहीं बदली।

अब ऊपर बाईं ओर "माइनस वन", जो हमें पूरी तरह से सूट करता है। जो कोई भी +1 प्राप्त करना चाहता है वह एक अतिरिक्त कार्रवाई कर सकता है: पहली पंक्ति को -1 से गुणा करें (इसका चिन्ह बदलें)।

2 चरण . पहली पंक्ति को 5 से गुणा करके दूसरी पंक्ति में जोड़ा गया। पहली पंक्ति को 3 से गुणा करके तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया।

3 चरण . पहली पंक्ति को -1 से गुणा किया गया था, सिद्धांत रूप में, यह सुंदरता के लिए है। तीसरी पंक्ति का चिन्ह भी बदल दिया गया और दूसरे स्थान पर चला गया, इस प्रकार, दूसरे चरण पर, हमारे पास वांछित इकाई थी।

4 चरण . तीसरी पंक्ति में, दूसरी पंक्ति को 2 से गुणा करके जोड़ें।

5 चरण . तीसरी पंक्ति को 3 से विभाजित किया गया है।

एक संकेत जो गणना में त्रुटि को इंगित करता है (कम अक्सर एक टाइपो) एक "खराब" निचली रेखा है। यानी, अगर हमें नीचे (0 0 11 | 23) जैसा कुछ मिलता है, और तदनुसार, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, तो उच्च संभावना के साथ हम कह सकते हैं कि प्राथमिक के दौरान एक गलती हुई थी परिवर्तन।

हम एक रिवर्स मूव करते हैं, उदाहरणों के डिजाइन में, सिस्टम को अक्सर फिर से नहीं लिखा जाता है, और समीकरण "दिए गए मैट्रिक्स से सीधे लिए जाते हैं"। रिवर्स मूव, मैं आपको याद दिलाता हूं, "नीचे से ऊपर" काम करता है। इस उदाहरण में, उपहार निकला:

एक्स 3 = 1
एक्स 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, इसलिए x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1

उत्तर:x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1।

आइए प्रस्तावित एल्गोरिथम का उपयोग करके उसी प्रणाली को हल करें। हम पाते हैं

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

दूसरे समीकरण को 5 से और तीसरे को 3 से विभाजित करें। हमें मिलता है:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

दूसरे और तीसरे समीकरण को 4 से गुणा करने पर, हम पाते हैं:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

पहले समीकरण को दूसरे और तीसरे समीकरण से घटाएं, हमारे पास:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

तीसरे समीकरण को 0.64 से विभाजित करें:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

तीसरे समीकरण को 0.4 से गुणा करें

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

तीसरे समीकरण से दूसरे समीकरण को घटाएं, हमें "स्टेप्ड" संवर्धित मैट्रिक्स मिलता है:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

इस प्रकार, गणना की प्रक्रिया में संचित त्रुटि के बाद से, हमें x 3 \u003d 0.96, या लगभग 1 मिलता है।

x 2 \u003d 3 और x 1 \u003d -1।

इस तरह हल करने पर आप कभी भी गणना में भ्रमित नहीं होंगे और गणना में त्रुटि होने पर भी आपको परिणाम मिल जाएगा।

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने की यह विधि आसानी से प्रोग्राम करने योग्य है और अज्ञात के लिए गुणांक की विशिष्ट विशेषताओं को ध्यान में नहीं रखती है, क्योंकि व्यवहार में (आर्थिक और तकनीकी गणना में) किसी को गैर-पूर्णांक गुणांक से निपटना पड़ता है।

मैं तुम्हारी सफलता की कामना करता हूं! कक्षा में मिलेंगे! ट्यूटर दिमित्री ऐस्ट्राखानोव।

साइट, सामग्री की पूर्ण या आंशिक प्रतिलिपि के साथ, स्रोत के लिए एक लिंक आवश्यक है।

हम रैखिक समीकरणों की प्रणालियों पर विचार करना जारी रखते हैं। यह पाठ इस विषय पर तीसरा है। यदि आपके पास एक अस्पष्ट विचार है कि सामान्य रूप से रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली क्या है, तो आप एक चायदानी की तरह महसूस करते हैं, तो मैं अगले पृष्ठ पर मूल बातें शुरू करने की सलाह देता हूं, यह पाठ का अध्ययन करने के लिए उपयोगी है।

गॉस विधि आसान है!क्यों? प्रसिद्ध जर्मन गणितज्ञ जोहान कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने अपने जीवनकाल के दौरान, सभी समय के महानतम गणितज्ञ, एक प्रतिभाशाली और यहां तक ​​​​कि "गणित के राजा" उपनाम के रूप में मान्यता प्राप्त की। और सरल सब कुछ, जैसा कि आप जानते हैं, सरल है!वैसे, न केवल चूसने वाले, बल्कि जीनियस भी पैसे में आते हैं - गॉस का चित्र 10 Deutschmark (यूरो की शुरूआत से पहले) के बिल पर फहराया गया था, और गॉस अभी भी साधारण डाक टिकटों से जर्मनों पर रहस्यमय तरीके से मुस्कुराता है।

गॉस विधि इस मायने में सरल है कि यह पाँचवीं कक्षा के छात्र के ज्ञान में महारत हासिल करने के लिए पर्याप्त है। जोड़ने और गुणा करने में सक्षम होना चाहिए!यह कोई संयोग नहीं है कि स्कूल के गणितीय ऐच्छिक में शिक्षकों द्वारा अक्सर अज्ञात के क्रमिक उन्मूलन की विधि पर विचार किया जाता है। यह एक विरोधाभास है, लेकिन गॉस पद्धति छात्रों के लिए सबसे बड़ी मुश्किलें खड़ी करती है। आश्चर्य की बात नहीं है - यह सब कार्यप्रणाली के बारे में है, और मैं विधि के एल्गोरिथ्म के बारे में सुलभ रूप में बताने की कोशिश करूंगा।

सबसे पहले, हम रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के बारे में ज्ञान को थोड़ा व्यवस्थित करते हैं। रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली कर सकती है:

1) एक अनूठा समाधान है। 2) अपरिमित रूप से अनेक हल हैं। 3) कोई समाधान नहीं है (बी असंगत).

समाधान खोजने के लिए गॉस विधि सबसे शक्तिशाली और बहुमुखी उपकरण है कोईरैखिक समीकरणों की प्रणाली। जैसा कि हमें याद है क्रैमर का नियम और मैट्रिक्स विधिउन मामलों में अनुपयुक्त हैं जहां सिस्टम में असीम रूप से कई समाधान हैं या असंगत हैं। अज्ञात के क्रमिक उन्मूलन की एक विधि फिर भीहमें उत्तर की ओर ले जाएं! इस पाठ में, हम फिर से केस नंबर 1 (सिस्टम का एकमात्र समाधान) के लिए गॉस विधि पर विचार करेंगे, एक लेख अंक संख्या 2-3 की स्थितियों के लिए आरक्षित है। मैं ध्यान देता हूं कि विधि एल्गोरिदम स्वयं तीनों मामलों में उसी तरह काम करता है।

वापस सबसे सरल प्रणालीपाठ से रैखिक समीकरणों की प्रणाली को कैसे हल करें?और गॉसियन विधि से हल करें।

पहला कदम लिखना है विस्तारित मैट्रिक्स प्रणाली: . गुणांक किस सिद्धांत से दर्ज किए गए हैं, मुझे लगता है कि हर कोई देख सकता है। मैट्रिक्स के अंदर लंबवत रेखा में कोई गणितीय अर्थ नहीं होता है - यह डिज़ाइन में आसानी के लिए केवल एक स्ट्राइकथ्रू है।

संदर्भ : मैं याद करने की सलाह देता हूं शर्तें लीनियर अलजेब्रा। सिस्टम मैट्रिक्स अज्ञात के लिए केवल गुणांक से बना एक मैट्रिक्स है, इस उदाहरण में, सिस्टम का मैट्रिक्स: . विस्तारित सिस्टम मैट्रिक्स इस मामले में सिस्टम का एक ही मैट्रिक्स और मुक्त सदस्यों का एक स्तंभ है: . संक्षिप्तता के लिए किसी भी मैट्रिक्स को केवल एक मैट्रिक्स कहा जा सकता है।

सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स लिखे जाने के बाद, इसके साथ कुछ क्रियाएं करना आवश्यक है, जिन्हें भी कहा जाता है प्राथमिक परिवर्तन.

निम्नलिखित प्राथमिक परिवर्तन हैं:

1) स्ट्रिंग्समैट्रिक्स कर सकना को पुनर्व्यवस्थितस्थान। उदाहरण के लिए, विचाराधीन मैट्रिक्स में, आप पहली और दूसरी पंक्तियों को सुरक्षित रूप से पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं:

2) यदि मैट्रिक्स में आनुपातिक (एक विशेष मामले के रूप में - समान) पंक्तियाँ हैं (या दिखाई देती हैं), तो यह अनुसरण करता है मिटानामैट्रिक्स से, इन सभी पंक्तियों को छोड़कर। उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स पर विचार करें . इस मैट्रिक्स में, अंतिम तीन पंक्तियाँ आनुपातिक हैं, इसलिए उनमें से केवल एक को छोड़ना पर्याप्त है: .

3) यदि परिवर्तन के दौरान मैट्रिक्स में एक शून्य पंक्ति दिखाई देती है, तो यह भी अनुसरण करता है मिटाना. मैं नहीं खींचूंगा, बेशक, शून्य रेखा वह रेखा है जिसमें केवल शून्य.

4) मैट्रिक्स की पंक्ति हो सकती है गुणा (विभाजित)किसी भी संख्या के लिए गैर शून्य. उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स पर विचार करें। यहाँ यह सलाह दी जाती है कि पहली पंक्ति को -3 से विभाजित करें, और दूसरी पंक्ति को 2 से गुणा करें: . यह क्रिया बहुत उपयोगी है, क्योंकि यह मैट्रिक्स के आगे के परिवर्तनों को सरल बनाती है।

5) यह परिवर्तन सबसे अधिक कठिनाइयों का कारण बनता है, लेकिन वास्तव में कुछ भी जटिल नहीं है। मैट्रिक्स की पंक्ति के लिए, आप कर सकते हैं एक संख्या से गुणा एक और स्ट्रिंग जोड़ें, शून्य से भिन्न। से हमारे मैट्रिक्स पर विचार करें मामले का अध्ययन: . सबसे पहले, मैं परिवर्तन का विस्तार से वर्णन करूँगा। पहली पंक्ति को -2 से गुणा करें: , और दूसरी पंक्ति में हम पहली पंक्ति को -2 से गुणा करके जोड़ते हैं: . अब पहली पंक्ति को "पीछे" -2 से विभाजित किया जा सकता है:। जैसा कि आप देख सकते हैं, वह रेखा जो ADDED है ली – नहीं बदला है. हमेशालाइन बदल दी गई है, जिसे जोड़ा गया है केन्द्र शासित प्रदेशों.

व्यवहार में, बेशक, वे इस तरह के विस्तार से पेंट नहीं करते हैं, लेकिन कम लिखते हैं: एक बार फिर: दूसरी पंक्ति में पहली पंक्ति को -2 से गुणा करके जोड़ा गया. रेखा को आमतौर पर मौखिक रूप से या मसौदे पर गुणा किया जाता है, जबकि गणना का मानसिक क्रम कुछ ऐसा होता है:

"मैं मैट्रिक्स को फिर से लिखता हूं और पहली पंक्ति को फिर से लिखता हूं: »

पहला कॉलम पहले। नीचे मुझे शून्य प्राप्त करने की आवश्यकता है। इसलिए, मैं उपरोक्त इकाई को -2: से गुणा करता हूं और पहली पंक्ति को दूसरी पंक्ति में जोड़ता हूं: 2 + (-2) = 0। मैं परिणाम को दूसरी पंक्ति में लिखता हूं: »

"अब दूसरा कॉलम। ऊपर -1 गुना -2: . मैं पहली पंक्ति को दूसरी पंक्ति में जोड़ता हूं: 1 + 2 = 3। मैं परिणाम को दूसरी पंक्ति में लिखता हूं: »

"और तीसरा स्तंभ। ऊपर -5 गुना -2: . मैं पहली पंक्ति को दूसरी पंक्ति में जोड़ता हूं: -7 + 10 = 3. मैं परिणाम को दूसरी पंक्ति में लिखता हूं: »

कृपया इस उदाहरण के बारे में ध्यान से सोचें और अनुक्रमिक गणना एल्गोरिदम को समझें, यदि आप इसे समझते हैं, तो गॉस विधि व्यावहारिक रूप से "आपकी जेब में" है। लेकिन निश्चित रूप से हम अभी भी इस बदलाव पर काम कर रहे हैं।

प्रारंभिक परिवर्तन समीकरणों की प्रणाली के समाधान को नहीं बदलते हैं

! ध्यान: हेरफेर माना जाता है उपयोग नहीं कर सकते, यदि आपको एक कार्य की पेशकश की जाती है जहाँ मेट्रिसेस "स्वयं द्वारा" दिए जाते हैं। उदाहरण के लिए, "क्लासिक" के साथ मैट्रिक्सकिसी भी स्थिति में आपको मेट्रिसेस के अंदर कुछ पुनर्व्यवस्थित नहीं करना चाहिए! आइए अपने सिस्टम पर वापस जाएं। वह व्यावहारिक रूप से टुकड़ों में टूट गई है।

आइए हम सिस्टम के संवर्धित मैट्रिक्स को लिखें और प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे कम करें चरणबद्ध दृश्य:

(1) पहली पंक्ति को दूसरी पंक्ति में जोड़ा गया, -2 से गुणा किया गया। और फिर: हम पहली पंक्ति को -2 से गुणा क्यों करते हैं? तल पर शून्य प्राप्त करने के लिए, जिसका अर्थ है दूसरी पंक्ति में एक चर से छुटकारा पाना।

(2) दूसरी पंक्ति को 3 से विभाजित करें।

प्राथमिक परिवर्तनों का उद्देश्य – मैट्रिक्स को स्टेप फॉर्म में बदलें: . कार्य के डिजाइन में, वे सीधे "सीढ़ी" को एक साधारण पेंसिल से खींचते हैं, और "चरणों" पर स्थित संख्याओं को भी घेरते हैं। "स्टेप्ड व्यू" शब्द पूरी तरह से सैद्धांतिक नहीं है, वैज्ञानिक और शैक्षिक साहित्य में इसे अक्सर कहा जाता है ट्रैपेज़ॉइडल दृश्यया त्रिकोणीय दृश्य.

प्राथमिक परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, हमने प्राप्त किया है बराबरसमीकरणों की मूल प्रणाली:

अब सिस्टम को विपरीत दिशा में "अनवांटेड" होने की जरूरत है - नीचे से ऊपर तक, इस प्रक्रिया को कहा जाता है रिवर्स गॉस विधि.

निचले समीकरण में, हमारे पास पहले से ही तैयार परिणाम है: .

सिस्टम के पहले समीकरण पर विचार करें और उसमें "y" के पहले से ज्ञात मान को प्रतिस्थापित करें:

आइए सबसे सामान्य स्थिति पर विचार करें, जब तीन अज्ञात के साथ तीन रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए गॉसियन विधि की आवश्यकता होती है।

उदाहरण 1

गॉस पद्धति का उपयोग करके समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

आइए सिस्टम के संवर्धित मैट्रिक्स को लिखें:

अब मैं तुरंत परिणाम निकालूंगा कि हम समाधान के क्रम में आएंगे: और मैं दोहराता हूं, हमारा लक्ष्य प्रारंभिक परिवर्तनों का उपयोग करके मैट्रिक्स को एक चरणबद्ध रूप में लाना है। कार्रवाई कहां से शुरू करें?

सबसे पहले, ऊपरी बाएँ नंबर को देखें: लगभग हमेशा यहाँ रहना चाहिए इकाई. आम तौर पर, -1 (और कभी-कभी अन्य संख्याएं) भी उपयुक्त होंगी, लेकिन किसी तरह यह पारंपरिक रूप से हुआ है कि आमतौर पर एक इकाई को वहां रखा जाता है। एक इकाई कैसे व्यवस्थित करें? हम पहले कॉलम को देखते हैं - हमारे पास एक पूर्ण इकाई है! परिवर्तन एक: पहली और तीसरी पंक्तियों की अदला-बदली करें:

अब पहली पंक्ति समाधान के अंत तक अपरिवर्तित रहेगी. अब ठीक है।

शीर्ष बाईं ओर की इकाई व्यवस्थित है। अब आपको इन स्थानों पर शून्य प्राप्त करने की आवश्यकता है:

शून्य केवल "कठिन" परिवर्तन की सहायता से प्राप्त किए जाते हैं। सबसे पहले, हम दूसरी पंक्ति (2, -1, 3, 13) से निपटते हैं। पहले स्थान पर शून्य लाने के लिए क्या करना होगा? करने की जरूरत है दूसरी पंक्ति में पहली पंक्ति को -2 से गुणा करके जोड़ें. मानसिक रूप से या ड्राफ्ट पर, हम पहली पंक्ति को -2 से गुणा करते हैं: (-2, -4, 2, -18)। और हम लगातार (फिर से मानसिक रूप से या ड्राफ्ट पर) जोड़ते हैं, दूसरी पंक्ति में हम पहली पंक्ति जोड़ते हैं, पहले से -2 से गुणा:

परिणाम दूसरी पंक्ति में लिखा है:

इसी प्रकार, हम तीसरी पंक्ति (3, 2, -5, -1) से निपटते हैं। पहले स्थान पर शून्य प्राप्त करने के लिए, आपको चाहिए तीसरी पंक्ति में पहली पंक्ति को -3 से गुणा करके जोड़ें. मानसिक रूप से या ड्राफ्ट पर, हम पहली पंक्ति को -3 से गुणा करते हैं: (-3, -6, 3, -27)। और तीसरी पंक्ति में हम पहली पंक्ति को -3 से गुणा करके जोड़ते हैं:

परिणाम तीसरी पंक्ति में लिखा है:

व्यवहार में, ये क्रियाएं आमतौर पर मौखिक रूप से की जाती हैं और एक चरण में लिखी जाती हैं:

एक बार में और एक ही समय में सब कुछ गिनने की जरूरत नहीं है. गणना का क्रम और परिणामों का "सम्मिलन" एक जैसाऔर आमतौर पर इस तरह: पहले हम पहली पंक्ति को फिर से लिखते हैं, और चुपचाप खुद को कश लगाते हैं - लगातार और ध्यान से:
और मैंने पहले ही ऊपर की गणनाओं के मानसिक पाठ्यक्रम पर विचार कर लिया है।

इस उदाहरण में, यह करना आसान है, हम दूसरी पंक्ति को -5 से विभाजित करते हैं (चूंकि सभी संख्याएं शेष के बिना 5 से विभाज्य हैं)। उसी समय, हम तीसरी पंक्ति को -2 से विभाजित करते हैं, क्योंकि संख्या जितनी छोटी होगी, समाधान उतना ही सरल होगा:

प्रारंभिक परिवर्तनों के अंतिम चरण में, यहाँ एक और शून्य प्राप्त किया जाना चाहिए:

इसके लिए तीसरी पंक्ति में हम दूसरी पंक्ति जोड़ते हैं, जिसे -2 से गुणा किया जाता है:
इस क्रिया को स्वयं पार्स करने का प्रयास करें - मानसिक रूप से दूसरी पंक्ति को -2 से गुणा करें और जोड़ को पूरा करें।

की गई अंतिम क्रिया परिणाम का केश है, तीसरी पंक्ति को 3 से विभाजित करें।

प्राथमिक परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, रैखिक समीकरणों की एक समतुल्य प्रारंभिक प्रणाली प्राप्त की गई थी: ठंडा।

अब गॉसियन पद्धति का उल्टा कोर्स चलन में आता है। नीचे से ऊपर तक समीकरण "खोलें"।

तीसरे समीकरण में, हमारे पास पहले से ही तैयार परिणाम है:

आइए दूसरे समीकरण को देखें: . "जेड" का अर्थ पहले से ही ज्ञात है, इस प्रकार:

और अंत में, पहला समीकरण: . "वाई" और "जेड" ज्ञात हैं, मामला छोटा है:

उत्तर:

जैसा कि बार-बार नोट किया गया है, समीकरणों की किसी भी प्रणाली के लिए, पाया समाधान की जांच करना संभव और आवश्यक है, सौभाग्य से, यह मुश्किल और तेज नहीं है।

उदाहरण 2

यह स्वयं करें समाधान, नमूना के लिए एक उदाहरण है परिष्करणऔर पाठ के अंत में उत्तर।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि आपका कार्रवाई के दौरानहो सकता है मेरी कार्यशैली से मेल न खाए, और यह गॉस पद्धति की एक विशेषता है. लेकिन उत्तर एक ही होने चाहिए!

उदाहरण 3

गॉस पद्धति का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

हम ऊपरी बाएँ "चरण" को देखते हैं। वहां हमारे पास एक इकाई होनी चाहिए। समस्या यह है कि पहले कॉलम में कोई भी नहीं है, इसलिए पंक्तियों को पुनर्व्यवस्थित करके कुछ भी हल नहीं किया जा सकता है। ऐसे मामलों में, इकाई को प्राथमिक परिवर्तन का उपयोग करके व्यवस्थित किया जाना चाहिए। यह आमतौर पर कई तरीकों से किया जा सकता है। मैंने यह किया: (1) पहली पंक्ति में हम दूसरी पंक्ति जोड़ते हैं, जिसे -1 से गुणा किया जाता है. यही है, हमने मानसिक रूप से दूसरी पंक्ति को -1 से गुणा किया और पहली और दूसरी पंक्तियों को जोड़ दिया, जबकि दूसरी पंक्ति नहीं बदली।

अब ऊपर बाईं ओर "माइनस वन", जो हमें पूरी तरह से सूट करता है। जो लोग +1 प्राप्त करना चाहते हैं, वे एक अतिरिक्त इशारा कर सकते हैं: पहली पंक्ति को -1 से गुणा करें (इसका चिह्न बदलें)।

(2) पहली पंक्ति को 5 से गुणा करके दूसरी पंक्ति में जोड़ा गया। पहली पंक्ति को 3 से गुणा करके तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया।

(3) पहली पंक्ति को -1 से गुणा किया गया था, सिद्धांत रूप में, यह सुंदरता के लिए है। तीसरी पंक्ति का चिन्ह भी बदल दिया गया और दूसरे स्थान पर चला गया, इस प्रकार, दूसरे चरण पर, हमारे पास वांछित इकाई थी।

(4) दूसरी पंक्ति को 2 से गुणा करके तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया।

(5) तीसरी पंक्ति को 3 से विभाजित किया गया था।

एक बुरा संकेत जो एक गणना त्रुटि को इंगित करता है (कम अक्सर एक टाइपो) एक "खराब" निचला रेखा है। यही है, अगर हमें नीचे जैसा कुछ मिलता है, और तदनुसार, , तब उच्च स्तर की संभाव्यता के साथ यह तर्क दिया जा सकता है कि प्राथमिक परिवर्तनों के दौरान एक त्रुटि हुई थी।

हम रिवर्स मूव को चार्ज करते हैं, उदाहरणों के डिजाइन में, सिस्टम को अक्सर फिर से नहीं लिखा जाता है, और समीकरण "दिए गए मैट्रिक्स से सीधे लिए जाते हैं"। रिवर्स मूव, मैं आपको याद दिलाता हूं, नीचे से ऊपर तक काम करता है। हाँ, यहाँ एक उपहार है:

उत्तर: .

उदाहरण 4

गॉस पद्धति का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

यह एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक उदाहरण है, यह कुछ अधिक जटिल है। कोई भ्रमित हो जाए तो ठीक है। पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और डिज़ाइन नमूना। आपका समाधान मेरा से भिन्न हो सकता है।

पिछले भाग में, हम गॉस एल्गोरिथम की कुछ विशेषताओं पर विचार करते हैं। पहली विशेषता यह है कि कभी-कभी सिस्टम के समीकरणों में कुछ चर गायब होते हैं, उदाहरण के लिए: सिस्टम के संवर्धित मैट्रिक्स को सही तरीके से कैसे लिखें? मैंने इस क्षण के बारे में पाठ में पहले ही बात कर ली है। क्रैमर का नियम। मैट्रिक्स विधि. सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स में, हम लापता चर के स्थान पर शून्य लगाते हैं: वैसे, यह एक काफी आसान उदाहरण है, क्योंकि पहले कॉलम में पहले से ही एक शून्य है, और प्रदर्शन करने के लिए कम प्राथमिक परिवर्तन हैं।

दूसरी विशेषता यह है। विचार किए गए सभी उदाहरणों में, हमने या तो -1 या +1 को "चरणों" पर रखा। क्या अन्य संख्याएँ हो सकती हैं? कुछ मामलों में वे कर सकते हैं। सिस्टम पर विचार करें: .

यहाँ ऊपरी बाएँ "स्टेप" पर हमारे पास एक ड्यूस है। लेकिन हम इस तथ्य पर ध्यान देते हैं कि पहले कॉलम की सभी संख्याएँ बिना शेष के 2 से विभाज्य हैं - और दूसरी दो और छह। और ऊपर बाईं ओर का ड्यूस हमारे अनुरूप होगा! पहले चरण में, आपको निम्नलिखित परिवर्तन करने की आवश्यकता है: पहली पंक्ति को -1 से गुणा करके दूसरी पंक्ति में जोड़ें; तीसरी पंक्ति में पहली पंक्ति को -3 से गुणा करके जोड़ें। इस प्रकार, हम पहले कॉलम में वांछित शून्य प्राप्त करेंगे।

या एक और काल्पनिक उदाहरण: . यहाँ, दूसरे "रंग" पर ट्रिपल भी हमें सूट करता है, क्योंकि 12 (जिस स्थान पर हमें शून्य प्राप्त करने की आवश्यकता है) बिना शेष के 3 से विभाज्य है। निम्नलिखित परिवर्तन करना आवश्यक है: तीसरी पंक्ति में दूसरी पंक्ति जोड़ें, -4 से गुणा करें, जिसके परिणामस्वरूप हमें आवश्यक शून्य प्राप्त होगा।

गॉस विधि सार्वभौमिक है, लेकिन एक ख़ासियत है। आत्मविश्वास से सिस्टम को अन्य तरीकों से हल करना सीखें (क्रैमर की विधि, मैट्रिक्स विधि) सचमुच पहली बार हो सकता है - एक बहुत सख्त एल्गोरिदम है। लेकिन गॉस पद्धति में आत्मविश्वास महसूस करने के लिए, आपको "अपना हाथ भरना चाहिए" और कम से कम 5-10 दस सिस्टम हल करने चाहिए। इसलिए, सबसे पहले भ्रम हो सकता है, गणना में त्रुटियां हो सकती हैं, और इसमें कुछ भी असामान्य या दुखद नहीं है।

खिड़की के बाहर बरसाती शरद ऋतु का मौसम .... इसलिए, सभी के लिए अधिक जटिल उदाहरणस्वतंत्र समाधान के लिए:

उदाहरण 5

गॉस पद्धति का उपयोग करके चार अज्ञात के साथ 4 रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें।

व्यवहार में ऐसा कार्य इतना दुर्लभ नहीं है। मुझे लगता है कि एक चायदानी जिसने इस पृष्ठ का विस्तार से अध्ययन किया है, वह इस तरह की प्रणाली को सहजता से हल करने के लिए एल्गोरिदम को समझता है। मूल रूप से वही - बस अधिक क्रिया।

ऐसे मामले जब सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं है (असंगत) या असीम रूप से कई समाधान पाठ में माने जाते हैं। एक सामान्य समाधान के साथ असंगत सिस्टम और सिस्टम. वहां आप गॉस विधि के विचारित एल्गोरिदम को ठीक कर सकते हैं।

मैं तुम्हारी सफलता की कामना करता हूं!

समाधान और उत्तर:

उदाहरण 2: समाधान : आइए हम सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखते हैं और प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे एक चरणबद्ध रूप में लाते हैं।
प्रदर्शन किए गए प्राथमिक परिवर्तन: (1) पहली पंक्ति को दूसरी पंक्ति में जोड़ा गया, -2 से गुणा किया गया। पहली पंक्ति को तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया, -1 से गुणा किया गया। ध्यान! यहां पहली पंक्ति को तीसरी पंक्ति से घटाना लुभावना हो सकता है, मैं दृढ़ता से घटाव की अनुशंसा नहीं करता - त्रुटि का जोखिम बहुत बढ़ जाता है। हम बस फोल्ड करते हैं! (2) दूसरी पंक्ति का चिन्ह बदल दिया गया था (-1 से गुणा)। दूसरी और तीसरी पंक्तियों की अदला-बदली की गई है। टिप्पणी कि "कदमों" पर हम न केवल एक से, बल्कि -1 से भी संतुष्ट हैं, जो और भी सुविधाजनक है। (3) तीसरी पंक्ति में, दूसरी पंक्ति को 5 से गुणा करके जोड़ें। (4) दूसरी पंक्ति का चिन्ह बदल दिया गया था (-1 से गुणा)। तीसरी पंक्ति को 14 से विभाजित किया गया था।

उलटी चाल:

उत्तर : .

उदाहरण 4: समाधान : हम सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखते हैं और प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करते हुए, इसे एक चरण रूप में लाते हैं:

किए गए रूपांतरण: (1) दूसरी पंक्ति को पहली पंक्ति में जोड़ा गया। इस प्रकार, वांछित इकाई ऊपरी बाएँ "कदम" पर आयोजित की जाती है। (2) पहली पंक्ति को 7 से गुणा करके दूसरी पंक्ति में जोड़ा गया। पहली पंक्ति को 6 से गुणा करके तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया।

दूसरे "कदम" के साथ सब कुछ खराब है , इसके लिए "उम्मीदवार" 17 और 23 नंबर हैं, और हमें एक या -1 की आवश्यकता है। परिवर्तन (3) और (4) का लक्ष्य वांछित इकाई प्राप्त करना होगा (3) दूसरी पंक्ति को तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया, -1 से गुणा किया गया। (4) तीसरी पंक्ति को -3 से गुणा करके दूसरी पंक्ति में जोड़ दिया गया। दूसरे पग पर आवश्यक वस्तु प्राप्त हो जाती है . (5) तीसरी पंक्ति में दूसरा जोड़ा, 6 से गुणा किया। (6) दूसरी पंक्ति को -1 से गुणा किया गया था, तीसरी पंक्ति को -83 से विभाजित किया गया था।

उलटी चाल:

उत्तर :

उदाहरण 5: समाधान : आइए हम सिस्टम के मैट्रिक्स को लिखते हैं और प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करते हुए इसे चरणबद्ध रूप में लाते हैं:

किए गए रूपांतरण: (1) पहली और दूसरी पंक्तियों की अदला-बदली कर दी गई है। (2) पहली पंक्ति को दूसरी पंक्ति में जोड़ा गया, -2 से गुणा किया गया। पहली पंक्ति को तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया, -2 से गुणा किया गया। पहली पंक्ति को -3 से गुणा करके चौथी पंक्ति में जोड़ा गया। (3) दूसरी पंक्ति को 4 से गुणा करके तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया। दूसरी पंक्ति को -1 से गुणा करके चौथी पंक्ति में जोड़ा गया। (4) दूसरी पंक्ति का चिन्ह बदल दिया गया है। चौथी पंक्ति को 3 से विभाजित करके तीसरी पंक्ति के स्थान पर रख दिया गया। (5) तीसरी पंक्ति को -5 से गुणा करके चौथी पंक्ति में जोड़ा गया।

उलटी चाल:

उत्तर :