Cramer's method का उपयोग करके सिस्टम को हल करें। क्रैमर की विधि: रैखिक बीजगणितीय समीकरणों के सिस्टम को हल करें (स्लाऊ)

मान लीजिए कि रैखिक समीकरणों के निकाय में उतने ही समीकरण हैं जितने कि स्वतंत्र चरों की संख्या, अर्थात्। रूप है

ऐसे सिस्टम रेखीय समीकरणवर्ग कहलाते हैं। प्रणाली के स्वतंत्र चर (1.5) के गुणांकों से बना सारणिक प्रणाली का मुख्य निर्धारक कहलाता है। हम इसे ग्रीक अक्षर D से निरूपित करेंगे। इस प्रकार,

. (1.6)

यदि मुख्य निर्धारक में एक मनमाना ( जेवें) कॉलम, इसे सिस्टम के मुक्त सदस्यों (1.5) के कॉलम से बदलें, फिर हम और अधिक प्राप्त कर सकते हैं एनसहायक निर्धारक:

(जे = 1, 2, …, एन). (1.7)

क्रैमर का नियमरैखिक समीकरणों की द्विघात प्रणाली को हल करना इस प्रकार है। यदि सिस्टम का प्रमुख निर्धारक डी (1.5) गैर-शून्य है, तो सिस्टम का एक अनूठा समाधान होता है, जिसे सूत्रों द्वारा पाया जा सकता है:

(1.8)

उदाहरण 1.5. Cramer's method का उपयोग करके समीकरणों के सिस्टम को हल करें

.

आइए प्रणाली के मुख्य निर्धारक की गणना करें:

D¹0 के बाद से, सिस्टम का एक अनूठा समाधान है जिसे सूत्रों (1.8) का उपयोग करके पाया जा सकता है:

इस तरह,

मैट्रिक्स क्रियाएं

1. एक आव्यूह को एक संख्या से गुणा करना।एक मैट्रिक्स को किसी संख्या से गुणा करने की क्रिया को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है।

2. किसी मैट्रिक्स को किसी संख्या से गुणा करने के लिए, आपको उसके सभी तत्वों को इस संख्या से गुणा करना होगा। वह है

. (1.9)

उदाहरण 1.6। .

मैट्रिक्स जोड़।

यह ऑपरेशन केवल उसी क्रम के मैट्रिसेस के लिए पेश किया गया है।

दो मैट्रिक्स जोड़ने के लिए, दूसरे मैट्रिक्स के संबंधित तत्वों को एक मैट्रिक्स के तत्वों में जोड़ना आवश्यक है:

(1.10)
मैट्रिक्स जोड़ के संचालन में सहयोगीता और कम्यूटेटिविटी के गुण होते हैं।

उदाहरण 1.7. .

मैट्रिक्स गुणा।

यदि मैट्रिक्स कॉलम की संख्या लेकिनमैट्रिक्स पंक्तियों की संख्या से मेल खाता है पर, तो ऐसे आव्यूहों के लिए गुणन की संक्रिया शुरू की जाती है:

2

इस प्रकार, मैट्रिक्स को गुणा करते समय लेकिनआयाम एम´ एनमैट्रिक्स के लिए परआयाम एन´ कहमें एक मैट्रिक्स मिलता है सेआयाम एम´ क. इस मामले में, मैट्रिक्स के तत्व सेनिम्नलिखित सूत्रों के अनुसार गणना की जाती है:

समस्या 1.8.यदि संभव हो तो आव्यूहों का गुणनफल ज्ञात कीजिए अबतथा बी ० ए:

समाधान। 1) एक काम खोजने के लिए अब, आपको मैट्रिक्स पंक्तियों की आवश्यकता है एमैट्रिक्स कॉलम से गुणा करें बी:

2) कलाकृति बी ० एमौजूद नहीं है, क्योंकि मैट्रिक्स के स्तंभों की संख्या बीमैट्रिक्स पंक्तियों की संख्या से मेल नहीं खाता ए.

उलटा मैट्रिक्स। मैट्रिक्स तरीके से रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करना

आव्यूह ए- 1 को वर्ग आव्यूह का व्युत्क्रम कहते हैं लेकिनअगर समानता रखती है:

जहां के माध्यम से मैंमैट्रिक्स के समान क्रम के पहचान मैट्रिक्स को दर्शाता है लेकिन:

.

एक वर्ग मैट्रिक्स के लिए एक व्युत्क्रम होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि इसका निर्धारक गैर-शून्य हो। उलटा मैट्रिक्स सूत्र द्वारा पाया जाता है:

, (1.13)

कहाँ पे एक इजी- तत्वों के लिए बीजीय जोड़ ऐजोमैट्रिक्स लेकिन(ध्यान दें कि मैट्रिक्स की पंक्तियों में बीजगणितीय जोड़ लेकिनव्युत्क्रम मैट्रिक्स में संबंधित कॉलम के रूप में व्यवस्थित होते हैं)।

उदाहरण 1.9.उलटा मैट्रिक्स खोजें ए- 1 से मैट्रिक्स

.

हम सूत्र (1.13) द्वारा व्युत्क्रम मैट्रिक्स पाते हैं, जो मामले के लिए है एन= 3 जैसा दिखता है:

.

आइए जानें डिटेल ए = | ए| = 1 x 3 x 8 + 2 x 5 x 3 + 2 x 4 x 3 - 3 x 3 x 3 - 1 x 5 x 4 - 2 x 2 x 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. सारणिक के बाद से मूल मैट्रिक्सशून्य से भिन्न है, तो व्युत्क्रम मैट्रिक्स मौजूद है।

1) बीजीय योग ज्ञात कीजिए एक इजी:

खोजने की सुविधा के लिए उलटा मैट्रिक्स, हमने मूल मैट्रिक्स की पंक्तियों में बीजीय योगों को संगत स्तंभों में रखा है।

प्राप्त बीजीय योगों से, हम एक नया मैट्रिक्स बनाते हैं और इसे सारणिक det . से विभाजित करते हैं ए. इस प्रकार, हम व्युत्क्रम मैट्रिक्स प्राप्त करेंगे:

एक गैर-शून्य प्रमुख निर्धारक के साथ रैखिक समीकरणों की द्विघात प्रणालियों को व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करके हल किया जा सकता है। इसके लिए सिस्टम (1.5) को मैट्रिक्स रूप में लिखा जाता है:

कहाँ पे

समानता के दोनों पक्षों (1.14) को बाईं ओर से गुणा करने पर ए- 1, हमें सिस्टम का समाधान मिलता है:

, कहाँ पे

इस प्रकार, एक वर्ग प्रणाली का समाधान खोजने के लिए, आपको सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स के प्रतिलोम मैट्रिक्स को खोजने की आवश्यकता है और इसे मुक्त शर्तों के कॉलम मैट्रिक्स द्वारा दाईं ओर गुणा करें।

समस्या 1.10.रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

उलटा मैट्रिक्स का उपयोग करना।

समाधान।हम सिस्टम को मैट्रिक्स रूप में लिखते हैं: ,

कहाँ पे सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स है, अज्ञात का कॉलम है, और फ्री टर्म्स का कॉलम है। प्रणाली के मुख्य निर्धारक के बाद से , फिर सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स लेकिनएक उलटा मैट्रिक्स है लेकिन-एक । उलटा मैट्रिक्स खोजने के लिए लेकिन-1, मैट्रिक्स के सभी तत्वों के लिए बीजीय पूरक की गणना करें लेकिन:

प्राप्त संख्याओं से हम एक मैट्रिक्स बनाते हैं (इसके अलावा, मैट्रिक्स की पंक्तियों में बीजगणितीय जोड़ लेकिनउपयुक्त कॉलम में लिखें) और इसे सारणिक डी से विभाजित करें। इस प्रकार, हमने उलटा मैट्रिक्स पाया है:

सिस्टम का समाधान सूत्र (1.15) द्वारा पाया जाता है:

इस तरह,

साधारण जॉर्डन अपवादों द्वारा रैखिक समीकरणों को हल करना

मान लीजिए कि रैखिक समीकरणों का एक मनमाना (जरूरी नहीं कि वर्गाकार) निकाय दिया गया हो:

(1.16)

सिस्टम का समाधान खोजना आवश्यक है, अर्थात। चरों का ऐसा समुच्चय जो निकाय की सभी समानताओं को संतुष्ट करता हो (1.16)। सामान्य स्थिति में, सिस्टम (1.16) में न केवल एक समाधान हो सकता है, बल्कि अनंत संख्या में समाधान भी हो सकते हैं। इसका कोई समाधान भी नहीं हो सकता है।

इस तरह की समस्याओं को हल करते समय, स्कूल के पाठ्यक्रम से अज्ञात को खत्म करने की प्रसिद्ध विधि का उपयोग किया जाता है, जिसे जॉर्डन के साधारण उन्मूलन की विधि भी कहा जाता है। इस पद्धति का सार इस तथ्य में निहित है कि प्रणाली के समीकरणों में से एक (1.16) में से एक चर को अन्य चर के रूप में व्यक्त किया जाता है। फिर इस चर को सिस्टम के अन्य समीकरणों में बदल दिया जाता है। परिणाम एक ऐसी प्रणाली है जिसमें मूल प्रणाली की तुलना में एक समीकरण और एक कम चर होता है। जिस समीकरण से चर व्यक्त किया गया था उसे याद किया जाता है।

यह प्रक्रिया तब तक दोहराई जाती है जब तक कि सिस्टम में एक अंतिम समीकरण न रह जाए। उदाहरण के लिए, अज्ञात को खत्म करने की प्रक्रिया में, कुछ समीकरण सही पहचान में बदल सकते हैं। इस तरह के समीकरणों को सिस्टम से बाहर रखा गया है, क्योंकि वे चर के किसी भी मान के लिए मान्य हैं और इसलिए, सिस्टम के समाधान को प्रभावित नहीं करते हैं। यदि, अज्ञात को समाप्त करने की प्रक्रिया में, कम से कम एक समीकरण एक समानता बन जाता है जो चर के किसी भी मान (उदाहरण के लिए, ) के लिए संतुष्ट नहीं हो सकता है, तो हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि सिस्टम का कोई समाधान नहीं है।

यदि असंगत समीकरणों को हल करने के क्रम में उत्पन्न नहीं होता है, तो इसमें शेष चरों में से एक अंतिम समीकरण से पाया जाता है। यदि अंतिम समीकरण में केवल एक चर रहता है, तो इसे एक संख्या के रूप में व्यक्त किया जाता है। यदि अन्य चर अंतिम समीकरण में रहते हैं, तो उन्हें पैरामीटर माना जाता है, और उनके माध्यम से व्यक्त चर इन मापदंडों का एक कार्य होगा। फिर तथाकथित रिवर्स स्ट्रोक". पाए गए चर को अंतिम याद किए गए समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है और दूसरा चर पाया जाता है। फिर दो पाए गए चरों को अंतिम याद किए गए समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है और तीसरा चर पाया जाता है, और इसी तरह, पहले याद किए गए समीकरण तक।

नतीजतन, हमें सिस्टम का समाधान मिलता है। यह समाधान केवल एक ही होगा यदि पाया गया चर संख्याएं हैं। यदि पहले पाया गया चर, और फिर अन्य सभी मापदंडों पर निर्भर करते हैं, तो सिस्टम में अनंत संख्या में समाधान होंगे (पैरामीटर का प्रत्येक सेट एक नए समाधान से मेल खाता है)। वे सूत्र जो पैरामीटरों के एक विशेष सेट के आधार पर सिस्टम का समाधान खोजने की अनुमति देते हैं, सिस्टम का सामान्य समाधान कहलाते हैं।

उदाहरण 1.11.

एक्स

पहला समीकरण याद करने के बाद और दूसरे और तीसरे समीकरण में समान पदों को लाते हुए, हम सिस्टम पर पहुंचते हैं:

अभिव्यक्त करना आपदूसरे समीकरण से और इसे पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

दूसरा समीकरण याद रखें, और पहले से हम पाते हैं जेड:

रिवर्स मूव करते हुए, हम क्रमिक रूप से पाते हैं आपतथा जेड. ऐसा करने के लिए, हम पहले अंतिम याद किए गए समीकरण में स्थानापन्न करते हैं, जिससे हम पाते हैं आप:

.

फिर हम प्रतिस्थापित करते हैं और पहले याद किए गए समीकरण में जहाँ से हम पाते हैं एक्स:

समस्या 1.12.अज्ञात को समाप्त करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें:

. (1.17)

समाधान।आइए हम पहले समीकरण से चर को व्यक्त करें एक्सऔर इसे दूसरे और तीसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

.

पहला समीकरण याद रखें

इस प्रणाली में, पहले और दूसरे समीकरण एक दूसरे का खंडन करते हैं। दरअसल, व्यक्त करना आप , हमें वह 14 = 17 मिलता है। यह समानता संतुष्ट नहीं है, चर के किसी भी मूल्य के लिए एक्स, आप, तथा जेड. नतीजतन, सिस्टम (1.17) असंगत है, अर्थात, कोई समाधान नहीं है।

पाठकों को स्वतंत्र रूप से सत्यापित करने के लिए आमंत्रित किया जाता है कि मूल प्रणाली (1.17) का मुख्य निर्धारक शून्य के बराबर है।

एक सिस्टम पर विचार करें जो सिस्टम (1.17) से केवल एक फ्री टर्म से अलग है।

समस्या 1.13.अज्ञात को समाप्त करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें:

. (1.18)

समाधान।पहले की तरह, हम पहले समीकरण से चर को व्यक्त करते हैं एक्सऔर इसे दूसरे और तीसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

.

पहला समीकरण याद रखें और हम दूसरे और तीसरे समीकरणों में समान पदों को प्रस्तुत करते हैं। हम सिस्टम पर आते हैं:

व्यक्त आपपहले समीकरण से और इसे दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करना , हमें पहचान 14 = 14 मिलती है, जो सिस्टम के समाधान को प्रभावित नहीं करती है, और इसलिए, इसे सिस्टम से बाहर रखा जा सकता है।

अंतिम याद की गई समानता में, चर जेडएक पैरामीटर के रूप में माना जाएगा। हमें यकीन है । फिर

स्थानापन्न आपतथा जेडपहली याद की गई समानता में और खोजें एक्स:

.

इस प्रकार, सिस्टम (1.18) में समाधानों का एक अनंत सेट होता है, और किसी भी समाधान को सूत्र (1.19) द्वारा पैरामीटर का एक मनमाना मान चुनकर पाया जा सकता है टी:

(1.19)
इस प्रकार, सिस्टम के समाधान, उदाहरण के लिए, चर के निम्नलिखित सेट हैं (1; 2; 0), (2; 26; 14), आदि। सूत्र (1.19) सिस्टम के सामान्य (कोई भी) समाधान को व्यक्त करते हैं (1.18 )

मामले में जब मूल प्रणाली (1.16) के पास पर्याप्त है एक बड़ी संख्या कीसमीकरण और अज्ञात, सामान्य जॉर्डन के उन्मूलन की निर्दिष्ट विधि बोझिल लगती है। हालाँकि, ऐसा नहीं है। सिस्टम के गुणांकों को एक चरण में पुनर्गणना करने के लिए एक एल्गोरिथ्म प्राप्त करना पर्याप्त है सामान्य दृष्टि सेऔर विशेष जॉर्डन टेबल के रूप में समस्या के समाधान को औपचारिक रूप दें।

मान लीजिए कि रैखिक रूपों (समीकरणों) की एक प्रणाली दी गई है:

, (1.20)
कहाँ पे एक्स जे- स्वतंत्र (वांछित) चर, ऐजो- निरंतर गुणांक
(मैं = 1, 2,…, एम; जे = 1, 2,…, एन) सिस्टम के सही हिस्से यी (मैं = 1, 2,…, एम) चर (आश्रित) और स्थिरांक दोनों हो सकते हैं। अज्ञात को समाप्त करके इस प्रणाली का समाधान खोजना आवश्यक है।

आइए हम निम्नलिखित ऑपरेशन पर विचार करें, जिसे इसके बाद "सामान्य जॉर्डन अपवादों का एक चरण" कहा जाएगा। मनमानी से ( आर th) समानता, हम एक मनमाना चर व्यक्त करते हैं ( एक्स एस) और अन्य सभी समानताओं में स्थानापन्न करें। बेशक, यह तभी संभव है जब एक rs 0. गुणांक एक rsसमाधान (कभी-कभी मार्गदर्शक या मुख्य) तत्व कहलाता है।

हमें निम्नलिखित प्रणाली मिलेगी:

. (1.21)

से एसप्रणाली की समानता (1.21), हम बाद में चर पाएंगे एक्स एस(अन्य चर पाए जाने के बाद)। एसवें लाइन को याद किया जाता है और बाद में सिस्टम से बाहर कर दिया जाता है। शेष प्रणाली में मूल प्रणाली की तुलना में एक समीकरण और एक कम स्वतंत्र चर होगा।

आइए हम मूल प्रणाली (1.20) के गुणांकों के संदर्भ में परिणामी प्रणाली (1.21) के गुणांकों की गणना करें। चलो साथ - साथ शुरू करते हैं आरवां समीकरण, जो चर को व्यक्त करने के बाद एक्स एसशेष चर के माध्यम से इस तरह दिखेगा:

इस प्रकार, नए गुणांक आरवें समीकरण की गणना निम्नलिखित सूत्रों द्वारा की जाती है:

(1.23)
आइए अब हम नए गुणांकों की गणना करें बी आईजेओ(मैं¹ आर) एक मनमाना समीकरण। ऐसा करने के लिए, हम (1.22) में व्यक्त चर को प्रतिस्थापित करते हैं एक्स एसमें मैंप्रणाली का वां समीकरण (1.20):

समान पदों को लाने के बाद, हम प्राप्त करते हैं:

(1.24)
समानता (1.24) से हम सूत्र प्राप्त करते हैं जिसके द्वारा सिस्टम के शेष गुणांक (1.21) की गणना की जाती है ( . के अपवाद के साथ) आरवें समीकरण):

(1.25)
साधारण जॉर्डन के उन्मूलन की विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणालियों का परिवर्तन तालिकाओं (मैट्रिस) के रूप में प्रस्तुत किया जाता है। इन तालिकाओं को "जॉर्डन टेबल" कहा जाता है।

इस प्रकार, समस्या (1.20) निम्नलिखित जॉर्डन तालिका से जुड़ी है:

तालिका 1.1

जॉर्डन तालिका 1.1 में बायां हेड कॉलम है, जिसमें सिस्टम के दाएं हिस्से (1.20) लिखे गए हैं, और शीर्ष हेड लाइन, जिसमें स्वतंत्र चर लिखे गए हैं।

तालिका के शेष तत्व प्रणाली के गुणांक (1.20) का मुख्य मैट्रिक्स बनाते हैं। यदि हम मैट्रिक्स को गुणा करते हैं लेकिनमैट्रिक्स में ऊपरी हेडर पंक्ति के तत्व शामिल हैं, फिर हमें मैट्रिक्स मिलता है जिसमें बाएं हेडर कॉलम के तत्व होते हैं। अर्थात्, संक्षेप में, जॉर्डन तालिका रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली लिखने का एक मैट्रिक्स रूप है:। इस मामले में, निम्न जॉर्डन तालिका सिस्टम (1.21) से मेल खाती है:

तालिका 1.2

अनुमेय तत्व एक rs हम बोल्ड में हाइलाइट करेंगे। याद रखें कि जॉर्डन अपवादों के एक चरण को लागू करने के लिए, समाधान करने वाला तत्व गैर-शून्य होना चाहिए। एक अनुमेय तत्व वाली तालिका पंक्ति को अनुमेय पंक्ति कहा जाता है। सक्षम तत्व वाले कॉलम को सक्षम कॉलम कहा जाता है। किसी दी गई तालिका से अगली तालिका में जाने पर, एक चर ( एक्स एस) तालिका की शीर्ष शीर्ष पंक्ति से बाएं शीर्ष लेख स्तंभ में ले जाया जाता है और, इसके विपरीत, सिस्टम के मुक्त सदस्यों में से एक ( y r) तालिका के बाएँ शीर्षलेख स्तंभ से शीर्ष शीर्ष पंक्ति में ले जाया जाता है।

आइए हम जॉर्डन तालिका (1.1) से तालिका (1.2) तक जाने में गुणांकों की पुनर्गणना के लिए एल्गोरिदम का वर्णन करें, जो सूत्रों (1.23) और (1.25) से अनुसरण करता है।

1. सक्षम करने वाले तत्व को व्युत्क्रम संख्या से बदल दिया जाता है:

2. अनुमेय रेखा के शेष तत्वों को अनुमेय तत्व से विभाजित किया जाता है और संकेत को विपरीत में बदल दिया जाता है:

3. सक्षम करने वाले कॉलम के शेष तत्वों को सक्षम करने वाले तत्व में विभाजित किया गया है:

4. वे तत्व जो हल करने वाली पंक्ति और समाधान स्तंभ में शामिल नहीं हैं, उन्हें सूत्रों के अनुसार पुनर्गणना की जाती है:

अंतिम सूत्र को याद रखना आसान है यदि आप ध्यान दें कि वे तत्व जो भिन्न बनाते हैं , चौराहे पर हैं मैं-ओह, और आर-वें पंक्तियाँ और जेवें और एस-वें स्तंभ (समाधान करने वाली पंक्ति, समाधान करने वाले स्तंभ और उस चौराहे पर पंक्ति और स्तंभ जिसमें पुनर्गणना किया जाने वाला तत्व स्थित है)। अधिक सटीक रूप से, सूत्र को याद करते समय आप निम्न चार्ट का उपयोग कर सकते हैं:

जॉर्डन के अपवादों के पहले चरण को निष्पादित करते हुए, कॉलम में स्थित तालिका 1.3 का कोई भी तत्व एक्स 1 ,…, एक्स 5 (सभी निर्दिष्ट तत्व शून्य के बराबर नहीं हैं)। आपको केवल अंतिम कॉलम में सक्षम करने वाले तत्व का चयन नहीं करना चाहिए, क्योंकि स्वतंत्र चर खोजने की जरूरत है एक्स 1 ,…, एक्स 5. हम चुनते हैं, उदाहरण के लिए, गुणांक 1 एक चर के साथ एक्सतालिका 1.3 की तीसरी पंक्ति में 3 (सक्षम करने वाला तत्व बोल्ड में दिखाया गया है)। तालिका 1.4 में जाने पर, चर एक्सशीर्ष शीर्षलेख पंक्ति से 3 को बाएँ शीर्षलेख स्तंभ (तीसरी पंक्ति) के स्थिर 0 से बदल दिया जाता है। उसी समय, चर एक्स 3 को शेष चरों के रूप में व्यक्त किया जाता है।

डोरी एक्स 3 (तालिका 1.4) को पहले याद किए जाने पर, तालिका 1.4 से बाहर रखा जा सकता है। तालिका 1.4 में ऊपरी शीर्षलेख पंक्ति में शून्य वाले तीसरे स्तंभ को भी शामिल नहीं किया गया है। मुद्दा यह है कि इस कॉलम के गुणांक की परवाह किए बिना बी मैं 3 प्रत्येक समीकरण के इसके संगत सभी पद 0 बी मैं 3 सिस्टम शून्य के बराबर होंगे। इसलिए, इन गुणांकों की गणना नहीं की जा सकती है। एक चर को हटाना एक्स 3 और समीकरणों में से एक को याद करते हुए, हम तालिका 1.4 के अनुरूप एक प्रणाली पर पहुंचते हैं (रेखा को काटकर एक्स 3))। तालिका 1.4 में हल करने वाले तत्व के रूप में चयन बी 14 = -5, तालिका 1.5 पर जाएँ। तालिका 1.5 में, हम पहली पंक्ति को याद करते हैं और चौथे कॉलम (शीर्ष पर शून्य के साथ) के साथ इसे तालिका से बाहर कर देते हैं।

तालिका 1.5 तालिका 1.6

अंतिम तालिका 1.7 से हम पाते हैं: एक्स 1 = - 3 + 2एक्स 5 .

याद की गई पंक्तियों में पहले से पाए गए चर को क्रमिक रूप से प्रतिस्थापित करते हुए, हम शेष चर पाते हैं:

इस प्रकार, सिस्टम के पास अनंत संख्या में समाधान हैं। चर एक्स 5 , आप मनमाना मान निर्दिष्ट कर सकते हैं। यह चर एक पैरामीटर के रूप में कार्य करता है एक्स 5 = टी। हमने सिस्टम की अनुकूलता साबित की और इसे पाया सामान्य निर्णय:

एक्स 1 = - 3 + 2टी

एक्स 2 = - 1 - 3टी

एक्स 3 = - 2 + 4टी . (1.27)
एक्स 4 = 4 + 5टी

एक्स 5 = टी

पैरामीटर देना टी विभिन्न अर्थ, हमें मूल प्रणाली के अनंत समाधान मिलते हैं। इसलिए, उदाहरण के लिए, सिस्टम का समाधान चर का निम्नलिखित सेट है (- 3; - 1; - 2; 4; 0)।

इस अनुच्छेद में महारत हासिल करने के लिए, आपको "दो बटा दो" और "तीन बटा तीन" क्वालीफायर खोलने में सक्षम होना चाहिए। यदि क्वालिफायर खराब हैं, तो कृपया पाठ का अध्ययन करें निर्धारक की गणना कैसे करें?

हम पहले दो अज्ञात में दो रैखिक समीकरणों की प्रणाली के लिए क्रैमर के नियम पर विस्तार से विचार करते हैं। किस लिए? - आख़िरकार सबसे सरल प्रणालीस्कूल विधि द्वारा, शब्द जोड़ द्वारा हल किया जा सकता है!

तथ्य यह है कि भले ही कभी-कभी, लेकिन ऐसा कार्य होता है - क्रैमर के सूत्रों का उपयोग करके दो अज्ञात के साथ दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए। दूसरे, एक सरल उदाहरण आपको यह समझने में मदद करेगा कि अधिक जटिल मामले के लिए क्रैमर के नियम का उपयोग कैसे करें - तीन अज्ञात के साथ तीन समीकरणों की एक प्रणाली।

इसके अलावा, दो चर वाले रैखिक समीकरणों की प्रणालियाँ हैं, जिन्हें क्रैमर के नियम के अनुसार ठीक से हल करना उचित है!

समीकरणों की प्रणाली पर विचार करें

पहले चरण में, हम सारणिक की गणना करते हैं, इसे कहते हैं प्रणाली का मुख्य निर्धारक.

गॉस विधि।

अगर , तो सिस्टम का एक अनूठा समाधान है, और जड़ों को खोजने के लिए, हमें दो और निर्धारकों की गणना करनी चाहिए:
तथा

व्यवहार में, उपरोक्त निर्धारकों को भी निरूपित किया जा सकता है लैटिन अक्षर.

समीकरण की जड़ें सूत्रों द्वारा पाई जाती हैं:
,

उदाहरण 7

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

समाधान: हम देखते हैं कि समीकरण के गुणांक काफी बड़े हैं, दाईं ओर हैं दशमलवअल्पविराम के साथ। गणित में व्यावहारिक कार्यों में अल्पविराम एक दुर्लभ अतिथि है; मैंने इस प्रणाली को एक अर्थमितीय समस्या से लिया है।

ऐसी प्रणाली को कैसे हल करें? आप एक चर को दूसरे के रूप में व्यक्त करने का प्रयास कर सकते हैं, लेकिन इस मामले में, आपको निश्चित रूप से भयानक फैंसी अंश मिलेंगे जो काम करने के लिए बेहद असुविधाजनक हैं, और समाधान का डिज़ाइन केवल भयानक लगेगा। आप दूसरे समीकरण को 6 से गुणा कर सकते हैं और पद से पद घटा सकते हैं, लेकिन वही भिन्न यहां दिखाई देंगे।

क्या करें? ऐसे मामलों में, क्रैमर के सूत्र बचाव में आते हैं।

;

;

उत्तर: ,

दोनों जड़ों में अनंत पूंछ हैं और लगभग पाए जाते हैं, जो अर्थमिति समस्याओं के लिए काफी स्वीकार्य (और यहां तक ​​​​कि सामान्य) है।

यहां टिप्पणियों की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि कार्य तैयार किए गए सूत्रों के अनुसार हल किया जाता है, हालांकि, एक चेतावनी है। जब उपयोग करें यह विधि, अनिवार्यअसाइनमेंट का अंश निम्नलिखित अंश है: "इसलिए सिस्टम का एक अनूठा समाधान है". अन्यथा, समीक्षक आपको Cramer के प्रमेय का अनादर करने के लिए दंडित कर सकता है।

यह जांचना अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगा, जो कैलकुलेटर पर ले जाने के लिए सुविधाजनक है: हम सिस्टम के प्रत्येक समीकरण के बाईं ओर अनुमानित मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हैं। नतीजतन, एक छोटी सी त्रुटि के साथ, दाईं ओर वाले नंबर प्राप्त किए जाने चाहिए।

उदाहरण 8

अपने उत्तर को सामान्य रूप में व्यक्त करें अनुचित भिन्न. एक चेक बनाओ।

यह एक उदाहरण है स्वतंत्र निर्णय(उदाहरण परिष्करणऔर पाठ के अंत में उत्तर दें)।

हम तीन अज्ञात के साथ तीन समीकरणों की प्रणाली के लिए क्रैमर के नियम पर विचार करते हैं:

हम प्रणाली के मुख्य निर्धारक पाते हैं:

यदि , तो सिस्टम के पास असीम रूप से कई समाधान हैं या असंगत है (कोई समाधान नहीं है)। इस मामले में, क्रैमर का नियम मदद नहीं करेगा, आपको गॉस विधि का उपयोग करने की आवश्यकता है।

यदि , तो सिस्टम का एक अनूठा समाधान है, और जड़ों को खोजने के लिए, हमें तीन और निर्धारकों की गणना करनी चाहिए:
, ,

और अंत में, उत्तर की गणना सूत्रों द्वारा की जाती है:

जैसा कि आप देख सकते हैं, "तीन बटा तीन" मामला मौलिक रूप से "दो से दो" मामले से अलग नहीं है, मुख्य निर्धारक के स्तंभों के साथ मुक्त शर्तों का स्तंभ क्रमिक रूप से बाएं से दाएं "चलता है"।

उदाहरण 9

Cramer's फ़ार्मुलों का उपयोग करके सिस्टम को हल करें।

समाधान: आइए Cramer's फ़ार्मुलों का उपयोग करके सिस्टम को हल करें।

, इसलिए सिस्टम के पास एक अनूठा समाधान है।

उत्तर: .

दरअसल, यहां फिर से टिप्पणी करने के लिए कुछ खास नहीं है, इस तथ्य को देखते हुए कि निर्णय तैयार किए गए सूत्रों के अनुसार किया जाता है। लेकिन कुछ नोट हैं।

ऐसा होता है कि गणना के परिणामस्वरूप, "खराब" अपरिवर्तनीय अंश प्राप्त होते हैं, उदाहरण के लिए: .
मैं निम्नलिखित "उपचार" एल्गोरिदम की अनुशंसा करता हूं। यदि हाथ में कोई कंप्यूटर नहीं है, तो हम यह करते हैं:

1) गणना में गलती हो सकती है। जैसे ही आप "खराब" शॉट का सामना करते हैं, आपको तुरंत जांचना चाहिए कि क्या क्या शर्त सही ढंग से लिखी गई है. यदि स्थिति त्रुटियों के बिना फिर से लिखी जाती है, तो आपको दूसरी पंक्ति (स्तंभ) में विस्तार का उपयोग करके निर्धारकों को पुनर्गणना करने की आवश्यकता होती है।

2) यदि चेक के परिणामस्वरूप कोई त्रुटि नहीं पाई गई, तो सबसे अधिक संभावना है कि असाइनमेंट की स्थिति में एक टाइपो बनाया गया था। इस मामले में, शांति और सावधानी से कार्य को अंत तक हल करें, और फिर जांचना सुनिश्चित करेंऔर निर्णय के बाद इसे एक साफ प्रति पर तैयार करें। बेशक, भिन्नात्मक उत्तर की जाँच करना एक अप्रिय कार्य है, लेकिन यह शिक्षक के लिए एक निहत्था तर्क होगा, जो वास्तव में किसी भी बुरी चीज़ के लिए माइनस डालना पसंद करता है। भिन्नों से कैसे निपटें, इसका विस्तृत विवरण उदाहरण 8 के उत्तर में दिया गया है।

यदि आपके पास एक कंप्यूटर है, तो इसे जांचने के लिए एक स्वचालित प्रोग्राम का उपयोग करें, जिसे पाठ की शुरुआत में ही मुफ्त में डाउनलोड किया जा सकता है। वैसे, प्रोग्राम का तुरंत उपयोग करना सबसे फायदेमंद है (समाधान शुरू करने से पहले भी), आप तुरंत उस मध्यवर्ती चरण को देखेंगे जिस पर आपने गलती की थी! वही कैलकुलेटर स्वचालित रूप से सिस्टम के समाधान की गणना करता है मैट्रिक्स विधि.

दूसरी टिप्पणी। समय-समय पर समीकरणों में ऐसी प्रणालियाँ होती हैं जिनमें कुछ चर गायब होते हैं, उदाहरण के लिए:

यहाँ पहले समीकरण में कोई चर नहीं है, दूसरे में कोई चर नहीं है। ऐसे मामलों में, मुख्य निर्धारक को सही ढंग से और सावधानीपूर्वक लिखना बहुत महत्वपूर्ण है:
- लुप्त चरों के स्थान पर शून्य लगा दिया जाता है।
वैसे, निर्धारकों को शून्य के साथ पंक्ति (स्तंभ) में खोलना तर्कसंगत है जिसमें शून्य स्थित है, क्योंकि काफी कम गणनाएं हैं।

उदाहरण 10

Cramer's फ़ार्मुलों का उपयोग करके सिस्टम को हल करें।

यह आत्म-समाधान के लिए एक उदाहरण है (पाठ के अंत में नमूना और उत्तर समाप्त करना)।

4 अज्ञात के साथ 4 समीकरणों की प्रणाली के मामले में, क्रैमर के सूत्र समान सिद्धांतों के अनुसार लिखे गए हैं। आप निर्धारक गुण पाठ में एक जीवंत उदाहरण देख सकते हैं। निर्धारक के क्रम को कम करना - पांच चौथे क्रम के निर्धारक काफी हल करने योग्य हैं। हालांकि यह टास्क पहले से ही एक भाग्यशाली छात्र के सीने पर प्रोफेसर के जूते की याद दिलाता है।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करके सिस्टम का समाधान

व्युत्क्रम मैट्रिक्स विधि अनिवार्य रूप से है विशेष मामला मैट्रिक्स समीकरण(निर्दिष्ट पाठ का उदाहरण संख्या 3 देखें)।

इस खंड का अध्ययन करने के लिए, आपको निर्धारकों का विस्तार करने, व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजने और मैट्रिक्स गुणन करने में सक्षम होने की आवश्यकता है। स्पष्टीकरण की प्रगति के रूप में प्रासंगिक लिंक दिए जाएंगे।

उदाहरण 11

मैट्रिक्स विधि के साथ सिस्टम को हल करें

समाधान: हम सिस्टम को मैट्रिक्स रूप में लिखते हैं:
, कहाँ पे

कृपया समीकरणों और आव्यूहों की प्रणाली को देखें। हम किस सिद्धांत से तत्वों को मैट्रिक्स में लिखते हैं, मुझे लगता है कि हर कोई समझता है। एकमात्र टिप्पणी: यदि समीकरणों में कुछ चर गायब थे, तो शून्य को मैट्रिक्स में संबंधित स्थानों पर रखना होगा।

हम सूत्र द्वारा उलटा मैट्रिक्स पाते हैं:
, जहां मैट्रिक्स के संबंधित तत्वों के बीजीय पूरक का ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स है।

सबसे पहले, आइए निर्धारक से निपटें:

यहाँ सारणिक का विस्तार पहली पंक्ति द्वारा किया जाता है।

ध्यान! यदि , तो व्युत्क्रम मैट्रिक्स मौजूद नहीं है, और मैट्रिक्स विधि द्वारा सिस्टम को हल करना असंभव है। इस मामले में, सिस्टम अज्ञात (गॉस विधि) के उन्मूलन द्वारा हल किया जाता है।

अब आपको 9 नाबालिगों की गणना करने और उन्हें नाबालिगों के मैट्रिक्स में लिखने की आवश्यकता है

संदर्भ:रैखिक बीजगणित में दोहरे अंशों का अर्थ जानना उपयोगी है। पहला अंक वह रेखा संख्या है जिसमें तत्व स्थित है। दूसरा अंक उस कॉलम की संख्या है जिसमें तत्व स्थित है:

यानी, एक डबल सबस्क्रिप्ट इंगित करता है कि तत्व पहली पंक्ति, तीसरे कॉलम में है, जबकि, उदाहरण के लिए, तत्व तीसरी पंक्ति, दूसरे कॉलम में है

हल करने के दौरान, नाबालिगों की गणना का विस्तार से वर्णन करना बेहतर है, हालांकि, एक निश्चित अनुभव के साथ, उन्हें मौखिक रूप से त्रुटियों के साथ गिनने के लिए समायोजित किया जा सकता है।

समीकरणों की संख्या के साथ मैट्रिक्स के मुख्य निर्धारक के साथ अज्ञात की संख्या के समान, जो शून्य के बराबर नहीं है, सिस्टम के गुणांक (ऐसे समीकरणों के लिए एक समाधान है और यह केवल एक है)।

क्रैमर का प्रमेय।

जब एक वर्ग प्रणाली के मैट्रिक्स का निर्धारक गैर-शून्य होता है, तो सिस्टम संगत होता है और इसका एक समाधान होता है और इसे पाया जा सकता है क्रैमर के सूत्र:

जहां - सिस्टम मैट्रिक्स निर्धारक,

Δ मैं- प्रणाली के मैट्रिक्स का निर्धारक, जिसमें के बजाय मैंवां स्तंभ दाहिने भागों का स्तंभ है।

जब सिस्टम का निर्धारक शून्य होता है, तो सिस्टम सुसंगत या असंगत हो सकता है।

इस पद्धति का उपयोग आमतौर पर वॉल्यूम गणना के साथ छोटी प्रणालियों के लिए किया जाता है और यदि अज्ञात में से 1 को निर्धारित करना आवश्यक हो। विधि की जटिलता यह है कि कई निर्धारकों की गणना करना आवश्यक है।

क्रैमर विधि का विवरण।

समीकरणों की एक प्रणाली है:

क्रैमर की विधि द्वारा 3 समीकरणों की एक प्रणाली को हल किया जा सकता है, जिसकी चर्चा ऊपर 2 समीकरणों की प्रणाली के लिए की गई थी।

हम अज्ञात के गुणांक से निर्धारक की रचना करते हैं:

यह करेगा सिस्टम क्वालीफायर. कब डी≠0, इसलिए सिस्टम सुसंगत है। अब हम 3 अतिरिक्त निर्धारकों की रचना करेंगे:

,,

हम सिस्टम को हल करते हैं क्रैमर के सूत्र:

क्रैमर विधि द्वारा समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के उदाहरण।

उदाहरण 1.

दी गई प्रणाली:

आइए इसे क्रैमर विधि से हल करें।

सबसे पहले आपको सिस्टम के मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करने की आवश्यकता है:

इसलिये 0, इसलिए, क्रैमर के प्रमेय से, सिस्टम संगत है और इसका एक समाधान है। हम अतिरिक्त निर्धारकों की गणना करते हैं। निर्धारक 1 निर्धारक से प्राप्त किया जाता है, इसके पहले कॉलम को मुक्त गुणांक के कॉलम के साथ बदलकर प्राप्त किया जाता है। हम पाते हैं:

उसी तरह, हम सिस्टम के मैट्रिक्स के निर्धारक से निर्धारक Δ 2 प्राप्त करते हैं, दूसरे कॉलम को मुक्त गुणांक के कॉलम के साथ बदलते हैं:

तीन अज्ञात के साथ 3 समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें

तीसरे क्रम के निर्धारकों का उपयोग करते हुए, ऐसी प्रणाली का समाधान उसी रूप में लिखा जा सकता है जैसे कि दो समीकरणों की प्रणाली के लिए, अर्थात।

(2.4)

अगर 0. यहां

यह है क्रैमर का नियम तीन अज्ञात में तीन रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना.

उदाहरण 2.3।क्रैमर के नियम का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें:

समाधान . सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स के निर्धारक ढूँढना

0 के बाद से, सिस्टम का समाधान खोजने के लिए, आप क्रैमर नियम लागू कर सकते हैं, लेकिन पहले तीन और निर्धारकों की गणना करें:

इंतिहान:

इसलिए, समाधान सही पाया जाता है। मैं

क्रैमर के नियम के लिए व्युत्पन्न रैखिक प्रणालीदूसरे और तीसरे क्रम का सुझाव है कि किसी भी क्रम की रैखिक प्रणालियों के लिए समान नियम बनाए जा सकते हैं। वास्तव में होता है

क्रैमर का प्रमेय। सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स के गैर-शून्य निर्धारक के साथ रैखिक समीकरणों की द्विघात प्रणाली (0) एक और केवल एक समाधान है, और इस समाधान की गणना सूत्रों द्वारा की जाती है

(2.5)

कहाँ पे  – मुख्य मैट्रिक्स निर्धारक,  मैं – मैट्रिक्स निर्धारक, मुख्य से व्युत्पन्न, प्रतिस्थापनमैंवें स्तंभ मुक्त सदस्य स्तंभ.

ध्यान दें कि यदि =0, तो क्रैमर का नियम लागू नहीं होता है। इसका मतलब यह है कि सिस्टम के पास या तो कोई समाधान नहीं है, या उसके पास असीम रूप से कई समाधान हैं।

क्रैमर के प्रमेय को तैयार करने के बाद, स्वाभाविक रूप से उच्च-क्रम के निर्धारकों की गणना का सवाल उठता है।

2.4. nth क्रम निर्धारक

अतिरिक्त नाबालिग एम आईजेयूतत्व एक आईजेयूको हटाकर दिए गए से प्राप्त निर्धारक कहलाता है मैं-वीं पंक्ति और जे-वें स्तंभ। बीजीय जोड़ ए आईजेयूतत्व एक आईजेयूइस तत्व का अवयस्क कहा जाता है, जिसे चिन्ह (-1) के साथ लिया जाता है मैं + जे, अर्थात। ए आईजेयू = (–1) मैं + जे एम आईजेयू .

उदाहरण के लिए, आइए तत्वों के अवयस्क और बीजगणितीय पूरक खोजें एक 23 और एक 31 निर्धारक

हम पाते हैं



बीजीय पूरक की अवधारणा का उपयोग करते हुए, हम बना सकते हैं निर्धारक विस्तार प्रमेयएन-पंक्ति या स्तंभ द्वारा क्रम.

प्रमेय 2.1. मैट्रिक्स निर्धारकएकिसी पंक्ति (या स्तंभ) के सभी तत्वों के गुणनफल और उनके बीजीय पूरक के योग के बराबर है:

(2.6)

यह प्रमेय निर्धारकों की गणना के लिए तथाकथित तथाकथित मुख्य विधियों में से एक है। आदेश कमी विधि. निर्धारक के विस्तार के परिणामस्वरूप एनकिसी भी पंक्ति या कॉलम में वें क्रम में, हमें n निर्धारक मिलते हैं ( एन-1)-वें क्रम। ऐसे निर्धारकों को कम करने के लिए, सबसे अधिक शून्य वाली पंक्ति या स्तंभ का चयन करना उचित है। व्यवहार में, सारणिक के लिए विस्तार सूत्र आमतौर पर इस प्रकार लिखा जाता है:

वे। बीजगणितीय जोड़ स्पष्ट रूप से नाबालिगों के संदर्भ में लिखे गए हैं।

उदाहरण 2.4.किसी भी पंक्ति या स्तंभ में पहले उनका विस्तार करके निर्धारकों की गणना करें। आमतौर पर ऐसे मामलों में, सबसे अधिक शून्य वाले कॉलम या पंक्ति का चयन करें। चयनित पंक्ति या स्तंभ को एक तीर से चिह्नित किया जाएगा।



2.5. निर्धारकों के मूल गुण

सारणिक को किसी भी पंक्ति या स्तंभ में विस्तारित करने पर, हमें n सारणिक मिलते हैं ( एन-1)-वें क्रम। तब इनमें से प्रत्येक निर्धारक ( एन-1)-वें क्रम को निर्धारकों के योग में भी विघटित किया जा सकता है ( एन-2) वां क्रम। इस प्रक्रिया को जारी रखते हुए, व्यक्ति पहले क्रम के निर्धारकों तक पहुँच सकता है, अर्थात्। मैट्रिक्स के उन तत्वों के लिए जिनके निर्धारक की गणना की जा रही है। तो, दूसरे क्रम के निर्धारकों की गणना करने के लिए, आपको दो पदों के योग की गणना करनी होगी, तीसरे क्रम के निर्धारकों के लिए - 6 पदों का योग, चौथे क्रम के निर्धारकों के लिए - 24 पद। सारणिक का क्रम बढ़ने पर पदों की संख्या में तेजी से वृद्धि होगी। इसका मतलब यह है कि बहुत उच्च कोटि के निर्धारकों की गणना एक कंप्यूटर की शक्ति से परे एक श्रमसाध्य कार्य बन जाती है। हालांकि, निर्धारकों के गुणों का उपयोग करके निर्धारकों की गणना दूसरे तरीके से की जा सकती है।

संपत्ति 1 . यदि इसमें पंक्तियों और स्तंभों की अदला-बदली की जाती है, तो निर्धारक नहीं बदलेगा, अर्थात मैट्रिक्स को स्थानांतरित करते समय:

.

यह गुण निर्धारक की पंक्तियों और स्तंभों की समानता को इंगित करता है। दूसरे शब्दों में, सारणिक के स्तंभों के बारे में कोई भी कथन उसकी पंक्तियों के लिए सत्य है, और इसके विपरीत।

संपत्ति 2 . जब दो पंक्तियों (स्तंभों) को आपस में बदल दिया जाता है, तो सारणिक चिह्न बदल जाता है।

परिणाम . यदि सारणिक की दो समान पंक्तियाँ (स्तंभ) हैं, तो यह शून्य के बराबर है।

संपत्ति 3 . किसी भी पंक्ति (स्तंभ) में सभी तत्वों का सार्व गुणनखंड सारणिक के चिन्ह से निकाला जा सकता है.

उदाहरण के लिए,

परिणाम . यदि सारणिक की किसी पंक्ति (स्तंभ) के सभी अवयव शून्य के बराबर हों, तो सारणिक स्वयं शून्य के बराबर होता है.

संपत्ति 4 . यदि एक पंक्ति (स्तंभ) के तत्वों को दूसरी पंक्ति (स्तंभ) के तत्वों में किसी संख्या से गुणा करने पर सारणिक नहीं बदलेगा.

उदाहरण के लिए,

संपत्ति 5 . मैट्रिक्स उत्पाद का निर्धारक मैट्रिक्स निर्धारकों के उत्पाद के बराबर है: