अनंत का लघुगणक किसके बराबर है। लघुगणक। द्विआधारी लघुगणक की परिभाषा, प्राकृतिक लघुगणक, दशमलव लघुगणक; घातांकीय फलन क्स्प (x), संख्या ई. लॉगिन। शक्तियों और लघुगणक के सूत्र। लघुगणक का प्रयोग, डेसिबल

अक्सर एक नंबर लेते हैं इ = 2,718281828 . इस आधार में लघुगणक कहलाते हैं प्राकृतिक. प्राकृतिक लघुगणक के साथ गणना करते समय, संकेत के साथ काम करना आम है मैंएन, लेकिन नहीं लकड़ी का लट्ठा; जबकि संख्या 2,718281828 , आधार को परिभाषित करते हुए, इंगित न करें।

दूसरे शब्दों में, शब्दांकन इस तरह दिखेगा: प्राकृतिकनंबर एक्सवह घातांक है जिस पर संख्या बढ़ाई जानी है इ, प्राप्त होना एक्स.

इसलिए, एलएन(7,389...)= 2 क्योंकि इ 2 =7,389... . स्वयं संख्या का प्राकृतिक लघुगणक इ= 1 क्योंकि इ 1 =इ, और एकता का प्राकृतिक लघुगणक शून्य के बराबर है, क्योंकि इ 0 = 1.

नंबर ही इएक मोनोटोन बंधे अनुक्रम की सीमा को परिभाषित करता है

गणना की कि इ = 2,7182818284... .

प्राय: किसी संख्या को स्मृति में स्थिर करने के लिए आवश्यक संख्या के अंकों को किसी बकाया तिथि से जोड़ दिया जाता है। किसी संख्या के पहले नौ अंक याद रखने की गति इदशमलव के बाद अंक बढ़ जाएगा यदि आप ध्यान दें कि 1828 लियो टॉल्स्टॉय के जन्म का वर्ष है!

आज तक, काफी पूर्ण तालिकाएँ हैं प्राकृतिक लघुगणक.

प्राकृतिक लॉग ग्राफ(कार्य वाई =एलएन एक्स) सीधी रेखा के संबंध में दर्पण छवि के रूप में घातांक की साजिश का परिणाम है वाई = एक्सऔर ऐसा दिखता है:

प्रत्येक सकारात्मक वास्तविक संख्या के लिए प्राकृतिक लघुगणक पाया जा सकता है एकवक्र के नीचे के क्षेत्र के रूप में आप = 1/एक्ससे 1 इससे पहले एक.

इस सूत्रीकरण की प्रारंभिक प्रकृति, जो कई अन्य सूत्रों के साथ फिट बैठती है जिसमें प्राकृतिक लघुगणक शामिल है, "प्राकृतिक" नाम के गठन का कारण था।

अगर हम विश्लेषण करें प्राकृतिक, एक वास्तविक चर के वास्तविक कार्य के रूप में, तब यह कार्य करता है उलटा काम करनाएक घातीय कार्य के लिए, जो पहचान को कम करता है:

एलएन (ए) = ए (ए> 0)

एलएन (ई ए) = ए

सभी लघुगणक के साथ सादृश्य द्वारा, प्राकृतिक लघुगणक गुणन को जोड़ में, भाग को घटाव में परिवर्तित करता है:

एलएन(xy) = एलएन(एक्स) + एलएन(आप)

एलएन(एक्स/वाई)= एलएनएक्स - lny

लघुगणक प्रत्येक सकारात्मक आधार के लिए पाया जा सकता है जो एक के बराबर नहीं है, न कि केवल के लिए इ, लेकिन अन्य आधारों के लिए लघुगणक केवल एक स्थिर कारक द्वारा प्राकृतिक लघुगणक से भिन्न होते हैं, और आमतौर पर प्राकृतिक लघुगणक के संदर्भ में परिभाषित किए जाते हैं।

विश्लेषण करने के बाद प्राकृतिक लॉग ग्राफ,हम पाते हैं कि यह चर के सकारात्मक मूल्यों के लिए मौजूद है एक्स. यह अपनी परिभाषा के क्षेत्र में एकरसता से बढ़ता है।

पर एक्स → 0 प्राकृतिक लघुगणक की सीमा ऋणात्मक अनंत है ( -∞ )।पर एक्स → +∞ प्राकृतिक लघुगणक की सीमा प्लस अनंत है ( + ∞ ) अत्याधिक एक्सलघुगणक धीरे-धीरे बढ़ता है। कोई भी शक्ति समारोह एक्स एएक सकारात्मक घातांक के साथ एकलघुगणक की तुलना में तेजी से बढ़ता है। प्राकृतिक लघुगणक एक नीरस रूप से बढ़ता हुआ कार्य है, इसलिए इसमें कोई एक्स्ट्रेमा नहीं है।

प्रयोग प्राकृतिक लघुगणकगुजरते समय बहुत तर्कसंगत उच्च गणित. इस प्रकार, उन समीकरणों के उत्तर खोजने के लिए लघुगणक का उपयोग सुविधाजनक है जिनमें अज्ञात एक घातांक के रूप में प्रकट होते हैं। गणना में प्राकृतिक लघुगणक का उपयोग बहुत सुविधा प्रदान करना संभव बनाता है एक बड़ी संख्या की गणितीय सूत्र. आधार लघुगणक इ भौतिक समस्याओं की एक महत्वपूर्ण संख्या को हल करने में मौजूद हैं और स्वाभाविक रूप से व्यक्तिगत रासायनिक, जैविक और अन्य प्रक्रियाओं के गणितीय विवरण में शामिल हैं। इस प्रकार, ज्ञात अर्ध-आयु के लिए क्षय स्थिरांक की गणना करने के लिए या रेडियोधर्मिता की समस्याओं को हल करने में क्षय समय की गणना करने के लिए लघुगणक का उपयोग किया जाता है। वे गणित और व्यावहारिक विज्ञान के कई वर्गों में अग्रणी भूमिका निभाते हैं, चक्रवृद्धि ब्याज की गणना सहित बड़ी संख्या में समस्याओं को हल करने के लिए वित्त के क्षेत्र में उनका सहारा लिया जाता है।

प्राकृतिक लघुगणक के मुख्य गुण, ग्राफ, परिभाषा का क्षेत्र, मूल्यों का सेट, मूल सूत्र, व्युत्पन्न, अभिन्न, विस्तार बिजली की श्रृंखलाऔर फलन ln x को सम्मिश्र संख्याओं के रूप में निरूपित करते हैं।

परिभाषा

प्राकृतिकफलन है y= एलएन एक्स, घातांक के व्युत्क्रम, x \u003d e y , और जो संख्या e के आधार का लघुगणक है: एलएन एक्स = लॉग ई एक्स.

प्राकृतिक लघुगणक का व्यापक रूप से गणित में उपयोग किया जाता है क्योंकि इसके व्युत्पन्न का सबसे सरल रूप है: (एलएन एक्स)′ = 1/ एक्स.

आधारित परिभाषाएं, प्राकृतिक लघुगणक का आधार संख्या है इ:
ई 2.718281828459045...;
.

फलन का ग्राफ y = एलएन एक्स.

प्राकृतिक लघुगणक का ग्राफ (फ़ंक्शन y = एलएन एक्स) घातांक के ग्राफ से सीधी रेखा y = x के बारे में दर्पण परावर्तन द्वारा प्राप्त किया जाता है।

प्राकृतिक लघुगणक x के सकारात्मक मूल्यों के लिए परिभाषित किया गया है। यह अपनी परिभाषा के क्षेत्र में एकरसता से बढ़ता है।

एक्स → . के रूप में 0 प्राकृतिक लघुगणक की सीमा ऋणात्मक अनंत (- ) है।

x → + के रूप में, प्राकृतिक लघुगणक की सीमा प्लस अनंत ( + ) है। बड़े x के लिए, लघुगणक धीरे-धीरे बढ़ता है। सकारात्मक घातांक के साथ कोई भी शक्ति फलन x a लघुगणक की तुलना में तेजी से बढ़ता है।

प्राकृतिक लघुगणक के गुण

परिभाषा का क्षेत्र, मूल्यों का सेट, एक्स्ट्रेमा, वृद्धि, कमी

प्राकृतिक लघुगणक एक नीरस रूप से बढ़ता हुआ कार्य है, इसलिए इसमें कोई एक्स्ट्रेमा नहीं है। प्राकृतिक लघुगणक के मुख्य गुण तालिका में प्रस्तुत किए गए हैं।

एलएन एक्स मान

लॉग 1 = 0

प्राकृतिक लघुगणक के लिए मूल सूत्र

परिभाषा से निम्नलिखित सूत्र उलटा काम करना:

लघुगणक की मुख्य संपत्ति और उसके परिणाम

आधार प्रतिस्थापन सूत्र

आधार परिवर्तन सूत्र का उपयोग करके किसी भी लघुगणक को प्राकृतिक लघुगणक के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

इन सूत्रों के प्रमाण "लघुगणक" खंड में प्रस्तुत किए गए हैं।

उलटा काम करना

प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्क्रम प्रतिपादक है।

तो अगर

तो अगर ।

व्युत्पन्न ln x

प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्पन्न:
.
मॉड्यूलो x के प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्पन्न:
.
nवें क्रम का व्युत्पन्न:
.
सूत्रों की व्युत्पत्ति > > >

अभिन्न

अभिन्न की गणना भागों द्वारा एकीकरण द्वारा की जाती है:
.
इसलिए,

सम्मिश्र संख्याओं के पदों में व्यंजक

एक जटिल चर z के एक फलन पर विचार करें:
.
आइए जटिल चर को व्यक्त करें जेडमॉड्यूल के माध्यम से आरऔर तर्क φ :
.
लघुगणक के गुणों का उपयोग करते हुए, हमारे पास है:
.
या
.
तर्क φ विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं है। अगर हम डालते हैं
, जहां n एक पूर्णांक है,
तो यह भिन्न n के लिए समान संख्या होगी।

इसलिए, प्राकृतिक लघुगणक, एक जटिल चर के एक समारोह के रूप में, एक एकल-मूल्यवान फ़ंक्शन नहीं है।

शक्ति श्रृंखला विस्तार

के लिए, विस्तार होता है:

सन्दर्भ:
में। ब्रोंस्टीन, के.ए. सेमेंडेव, हायर एजुकेशनल इंस्टीट्यूशंस के इंजीनियरों और छात्रों के लिए गणित की पुस्तिका, लैन, 2009।

विषयों पर पाठ और प्रस्तुति: "प्राकृतिक लघुगणक। एक प्राकृतिक लघुगणक का आधार। एक प्राकृतिक संख्या का लघुगणक"

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प्राकृतिक लघुगणक क्या है

दोस्तों, पिछले पाठ में हमने एक नया, विशेष नंबर सीखा - e. आज हम इस नंबर के साथ काम करना जारी रखेंगे।
हमने लघुगणक का अध्ययन किया है और हम जानते हैं कि लघुगणक का आधार 0 से बड़ी संख्याओं का समूह हो सकता है। आज हम लघुगणक पर भी विचार करेंगे, जो संख्या e पर आधारित है। ऐसे लघुगणक को आमतौर पर प्राकृतिक लघुगणक कहा जाता है। . इसका अपना संकेतन है: $\ln(n)$ प्राकृतिक लघुगणक है। यह संकेतन इसके बराबर है: $\log_e(n)=\ln(n)$।
प्रदर्शन और लघुगणक कार्यव्युत्क्रम हैं, तो प्राकृतिक लघुगणक फ़ंक्शन का व्युत्क्रम है: $y=e^x$।
व्युत्क्रम फलन सीधी रेखा $y=x$ के सापेक्ष सममित होते हैं।
आइए सीधी रेखा $y=x$ के संबंध में घातीय फ़ंक्शन को प्लॉट करके प्राकृतिक लघुगणक की साजिश करें।

यह ध्यान देने योग्य है कि बिंदु (0;1) पर फ़ंक्शन $y=e^x$ के ग्राफ पर स्पर्शरेखा का ढलान 45° है। तब बिंदु (1; 0) पर प्राकृतिक लघुगणक के ग्राफ के स्पर्शरेखा का ढलान भी 45° के बराबर होगा। ये दोनों स्पर्श रेखाएं $y=x$ रेखा के समानांतर होंगी। आइए स्पर्शरेखाओं को स्केच करें:

समारोह के गुण $y=\ln(x)$

1. $D(f)=(0;+∞)$।
2. न तो सम है और न ही विषम।
3. परिभाषा के पूरे क्षेत्र में बढ़ता है।
4. ऊपर से सीमित नहीं, नीचे से सीमित नहीं।
5. कोई अधिकतम मूल्य नहीं है, सबसे छोटा मानना।
6. सतत।
7. $ई(एफ)=(-∞; +∞)$।
8. उत्तल ऊपर।
9. हर जगह अलग-अलग।

उच्च गणित के पाठ्यक्रम में यह सिद्ध होता है कि व्युत्क्रम फलन का व्युत्पन्न दिए गए फलन के व्युत्पन्न का व्युत्क्रम होता है.
प्रमाण में जाने का कोई मतलब नहीं है, आइए बस सूत्र लिखें: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$।

उदाहरण।
फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के मूल्य की गणना करें: $y=\ln(2x-7)$ बिंदु $x=4$ पर।
समाधान।
पर सामान्य दृष्टि सेहमारा फ़ंक्शन $y=f(kx+m)$ फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करता है, हम ऐसे कार्यों के डेरिवेटिव की गणना कर सकते हैं।
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$।
आइए आवश्यक बिंदु पर व्युत्पन्न के मूल्य की गणना करें: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$।
उत्तर : 2.

उदाहरण।
फंक्शन $y=ln(x)$ के ग्राफ़ पर $x=e$ बिंदु पर एक स्पर्श रेखा खींचिए।
समाधान।
फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा का समीकरण, बिंदु $x=a$ पर, हम अच्छी तरह से याद करते हैं।
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$।
आइए हम क्रमिक रूप से आवश्यक मानों की गणना करें।
$ ए = ई $।
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$।
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$।
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$।
बिंदु $x=e$ पर स्पर्शरेखा समीकरण $y=\frac(x)(e)$ फलन है।
आइए प्राकृतिक लघुगणक और स्पर्शरेखा को प्लॉट करें।

उदाहरण।
एकरसता और एक्स्ट्रेमा के लिए फ़ंक्शन की जांच करें: $y=x^6-6*ln(x)$।
समाधान।
फ़ंक्शन का डोमेन $D(y)=(0;+∞)$।
दिए गए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$।
परिभाषा के क्षेत्र से सभी x के लिए अवकलज मौजूद है, तब महत्वपूर्ण बिंदुना। आइए स्थिर बिंदु खोजें:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$।
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$।
$6*x^6-6=0$।
$x^6-1=0$।
$x^6=1$।
$ एक्स = ± 1 $।
बिंदु $х=-1$ परिभाषा के क्षेत्र से संबंधित नहीं है। तब हमारे पास एक स्थिर बिंदु $х=1$ होता है। वृद्धि और कमी के अंतराल खोजें:

बिंदु $x=1$ न्यूनतम बिंदु है, फिर $y_min=1-6*\ln(1)=1$।
उत्तर: खंड पर फलन घट रहा है (0;1], किरण $ पर फलन बढ़ रहा है)