व्युत्क्रम फलन समाधान के उदाहरण हैं। परस्पर व्युत्क्रम फलन, उनके ग्राफ़। परस्पर व्युत्क्रम फलनों के मूल गुण

मान लीजिए कि हमारे पास कुछ फ़ंक्शन y = f (x) है जो सख्ती से मोनोटोनिक (घटता या बढ़ता हुआ) है और डोमेन x ∈ a पर निरंतर है; बी; इसके मानों की सीमा y ∈ c है; d , और अंतराल c पर ; d उसी समय, हमारे पास मानों की एक श्रृंखला के साथ एक फ़ंक्शन x = g (y) होगा; बी। दूसरा फ़ंक्शन भी निरंतर और सख्ती से मोनोटोनिक होगा। y = f (x) के संबंध में यह एक व्युत्क्रम फलन होगा। अर्थात्, हम व्युत्क्रम फलन x = g (y) के बारे में बात कर सकते हैं जब y = f (x) किसी दिए गए अंतराल पर या तो घटेगा या बढ़ेगा।

ये दो फलन, f और g, परस्पर प्रतिलोम होंगे।

हमें व्युत्क्रम फलनों की अवधारणा की आवश्यकता ही क्यों है?

हमें समीकरणों y = f (x) को हल करने के लिए इसकी आवश्यकता है, जो केवल इन अभिव्यक्तियों का उपयोग करके लिखे गए हैं।

मान लीजिए कि हमें समीकरण cos (x) = 1 3 का हल ढूंढना है। सभी बिंदु इसके समाधान होंगे: x = ± a rc c o s 1 3 + 2 π k , k ∈ Z

एक दूसरे के संबंध में व्युत्क्रम, उदाहरण के लिए, आर्ककोसाइन और कोसाइन फ़ंक्शन होंगे।

आइए दिए गए फलनों के व्युत्क्रम फलनों को खोजने के लिए कई समस्याओं का विश्लेषण करें।

उदाहरण 1

स्थिति: y = 3 x + 2 का व्युत्क्रम फलन क्या है?

समाधान

परिभाषाओं का डोमेन और शर्त में निर्दिष्ट फ़ंक्शन के मानों का डोमेन सभी वास्तविक संख्याओं का समूह है। आइए इस समीकरण को x के माध्यम से हल करने का प्रयास करें, अर्थात x को y के माध्यम से व्यक्त करके।

हमें x = 1 3 y - 2 3 मिलता है। यह व्युत्क्रम फ़ंक्शन है जिसकी हमें आवश्यकता है, लेकिन यहां y एक तर्क होगा, और x एक फ़ंक्शन होगा। आइए अधिक परिचित संकेतन प्राप्त करने के लिए उन्हें पुनर्व्यवस्थित करें:

उत्तर:फलन y = 1 3 x - 2 3, y = 3 x + 2 के व्युत्क्रम होगा।

दोनों परस्पर व्युत्क्रम फलनों को इस प्रकार आलेखित किया जा सकता है:

हम y = x के संबंध में दोनों ग्राफ़ की समरूपता देखते हैं। यह रेखा पहले और तीसरे चतुर्थांश का समद्विभाजक है। हमने परस्पर व्युत्क्रम फलनों के एक गुण का प्रमाण प्राप्त कर लिया है, जिस पर हम बाद में चर्चा करेंगे।

आइए एक उदाहरण लें जिसमें आपको किसी दिए गए घातांक का व्युत्क्रम लघुगणकीय फलन ज्ञात करना होगा।

उदाहरण 2

स्थिति:निर्धारित करें कि कौन सा फ़ंक्शन y = 2 x के लिए व्युत्क्रम होगा।

समाधान

के लिए दिया गया कार्यपरिभाषा का क्षेत्र सभी वास्तविक संख्याएँ हैं। मानों की सीमा अंतराल 0 में निहित है; +∞ . अब हमें x को y से व्यक्त करना है, अर्थात x से संकेतित समीकरण को हल करना है। हमें x = log 2 y मिलता है। चरों को पुनर्व्यवस्थित करें और y = log 2 x प्राप्त करें।

परिणामस्वरूप, हमें एक प्रदर्शन मिला और लघुगणकीय कार्य, जो परिभाषा के संपूर्ण क्षेत्र में एक दूसरे के विपरीत होगा।

उत्तर: y = लॉग 2 x .

ग्राफ़ पर, दोनों फ़ंक्शन इस तरह दिखेंगे:

परस्पर व्युत्क्रम फलनों के मूल गुण

इस अनुभाग में, हम फ़ंक्शन y = f (x) और x = g (y) के मुख्य गुणों को सूचीबद्ध करते हैं जो परस्पर विपरीत हैं।

परिभाषा 1

1. हमने पहला गुण पहले ही प्राप्त कर लिया है: y = f (g (y)) और x = g (f (x)) ।
2. दूसरी संपत्ति पहले से अनुसरण करती है: परिभाषा का डोमेन y = f (x) व्युत्क्रम फ़ंक्शन x = g (y) के डोमेन के साथ मेल खाएगा, और इसके विपरीत।
3. फ़ंक्शन के ग्राफ़ जो व्युत्क्रम हैं, y = x के संबंध में सममित होंगे।
4. यदि y = f (x) बढ़ रहा है, तो x = g (y) भी बढ़ेगा, और यदि y = f (x) घट रहा है, तो x = g (y) भी घटेगा।

हम आपको सलाह देते हैं कि परिभाषा के क्षेत्र और कार्यों के दायरे की अवधारणाओं पर बारीकी से ध्यान दें और उन्हें कभी भ्रमित न करें। मान लीजिए कि हमारे पास दो परस्पर प्रतिलोम फलन y = f (x) = a x और x = g (y) = log a y हैं। प्रथम गुण के अनुसार, y = f (g (y)) = a log a y । यह समानता केवल y के सकारात्मक मानों के मामले में सत्य होगी, और नकारात्मक मानों के लिए, लघुगणक परिभाषित नहीं किया गया है, इसलिए यह लिखने में जल्दबाजी न करें कि एक लॉग a y = y है। यह जांचना और जोड़ना सुनिश्चित करें कि यह केवल सकारात्मक y के लिए सत्य है।

लेकिन समानता x \u003d f (g (x)) \u003d log a a x \u003d x x के किसी भी वास्तविक मान के लिए सत्य होगी।

इस बिंदु के बारे में मत भूलिए, खासकर यदि आपको त्रिकोणमितीय और व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों के साथ काम करना है। तो, a r c पाप पाप 7 π 3 ≠ 7 π 3 क्योंकि आर्कसाइन की सीमा π 2 है; इसमें π 2 और 7 π 3 शामिल नहीं हैं। सही प्रविष्टि होगी

ए आर सी पाप पाप 7 π 3 = ए आर सी पाप पाप 2 π + π 3 = = = ए एस यू एल पी आर आई ओ एन आई ओ एन = ए आर सी पाप पाप π 3 = π 3 के रूप में

लेकिन पाप ए आर सी पाप 1 3 \u003d 1 3 सही समानता है, यानी। x ∈ - 1 के लिए पाप (ए आर सी पाप एक्स) = एक्स; 1 और a r c पाप (sin x) = x के लिए x ∈ - π 2 ; π 2 . व्युत्क्रम कार्यों के दायरे और दायरे से हमेशा सावधान रहें!

• मूल परस्पर व्युत्क्रम कार्य: शक्ति

अगर हमारे पास है ऊर्जा समीकरण y = x a , तो x > 0 के लिए पावर फ़ंक्शन x = y 1 a भी इसके विपरीत होगा। आइए अक्षरों को बदलें और क्रमशः y = x a और x = y 1 a प्राप्त करें।

चार्ट पर, वे इस तरह दिखेंगे (सकारात्मक और नकारात्मक गुणांक वाले मामले):

• बुनियादी परस्पर व्युत्क्रम फलन: घातीय और लघुगणक

आइए a लें, जो एक धनात्मक संख्या होगी, 1 के बराबर नहीं।

> 1 और ए वाले फ़ंक्शंस के लिए ग्राफ़< 1 будут выглядеть так:

• मूल पारस्परिक व्युत्क्रम फलन: त्रिकोणमितीय और व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय

यदि हमें साइन और आर्कसाइन की मुख्य शाखा को प्लॉट करने की आवश्यकता है, तो यह इस तरह दिखेगा (हाइलाइट किए गए प्रकाश क्षेत्र में दिखाया गया है)।

संगत भाव जो एक दूसरे में बदल जाते हैं। इसका मतलब समझने के लिए इस पर विचार करना ज़रूरी है विशिष्ट उदाहरण. मान लीजिए कि हमारे पास y = cos(x) है। यदि हम तर्क से कोज्या लें, तो हम y का मान ज्ञात कर सकते हैं। जाहिर है, इसके लिए आपके पास x होना जरूरी है। लेकिन क्या होगा अगर खेल शुरू में दिया गया हो? यहीं से मामले की तह तक बात पहुंचती है। समस्या को हल करने के लिए व्युत्क्रम फलन का उपयोग आवश्यक है। हमारे मामले में, यह आर्ककोसाइन है।

सभी परिवर्तनों के बाद, हमें मिलता है: x = आर्ककोस(y)।

अर्थात्, किसी दिए गए फ़ंक्शन के व्युत्क्रम को खोजने के लिए, केवल उससे एक तर्क व्यक्त करना पर्याप्त है। लेकिन यह केवल तभी काम करता है जब परिणाम का एक ही मान होगा (उस पर बाद में और अधिक)।

में सामान्य रूप से देखेंहम इस तथ्य को इस प्रकार लिख सकते हैं: f(x) = y, g(y) = x.

परिभाषा

मान लीजिए कि f एक फ़ंक्शन है जिसका डोमेन X सेट है और जिसका डोमेन Y सेट है। फिर यदि कोई g मौजूद है जिसके डोमेन विपरीत कार्य करते हैं, तो f प्रतिवर्ती है।

इसके अलावा, इस मामले में जी अद्वितीय है, जिसका अर्थ है कि वास्तव में एक फ़ंक्शन है जो इस संपत्ति को संतुष्ट करता है (न अधिक, न कम)। तब इसे व्युत्क्रम फलन कहा जाता है, और लिखित रूप में इसे इस प्रकार दर्शाया जाता है: g (x) = f -1 (x)।

दूसरे शब्दों में, उन्हें एक द्विआधारी संबंध के रूप में देखा जा सकता है। उत्क्रमणीयता तभी होती है जब सेट का एक तत्व दूसरे से एक मान से मेल खाता है।

हमेशा कोई व्युत्क्रम फलन नहीं होता है. ऐसा करने के लिए, प्रत्येक तत्व y є Y को अधिकतम एक x є X के अनुरूप होना चाहिए। तब f को वन-टू-वन या इंजेक्शन कहा जाता है। यदि f -1, Y से संबंधित है, तो इस सेट के प्रत्येक तत्व को कुछ x ∈ X के अनुरूप होना चाहिए। इस गुण वाले कार्यों को अनुमान कहा जाता है। यह परिभाषा के अनुसार मान्य है यदि Y एक छवि f है, लेकिन यह हमेशा मामला नहीं होता है। व्युत्क्रम होने के लिए, एक फ़ंक्शन को इंजेक्शन और प्रक्षेपण दोनों होना चाहिए। ऐसे भावों को आक्षेप कहा जाता है।

उदाहरण: वर्ग और मूल फलन

फ़ंक्शन को परिभाषित किया गया है

ई (वाई) = [-π / 2; π / 2]

y (-x) = आर्क्सिन (-x) = - आर्क्सिन x - विषम फ़ंक्शन, ग्राफ़ बिंदु O (0; 0) के बारे में सममित है।

आर्क्सिन x = 0 पर x = 0.

आर्क्सिन x > 0 पर x є (0; 1]

आर्कसिन एक्स< 0 при х є [-1;0)

y = आर्क्सिन x किसी भी x є [-1; 1] के लिए बढ़ता है

1 ≤ x 1< х 2 ≤ 1 <=>आर्क्सिन x 1< arcsin х 2 – функция возрастающая.

आर्क कोसाइन

कोसाइन फ़ंक्शन खंड पर घटता है और -1 से 1 तक सभी मान लेता है। इसलिए, किसी भी संख्या के लिए ऐसा है कि |a|1, खंड पर समीकरण cosx=a में एक एकल जड़ है। इस संख्या को संख्या a का आर्ककोसाइन कहा जाता है और इसे आर्कोस a से दर्शाया जाता है।

परिभाषा . संख्या a की चाप कोज्या, जहां -1 a 1, उस खंड से एक संख्या है जिसकी कोज्या a के बराबर है।

गुण।

1. ई(य)=

   y (-x) = आर्ककोस (-x) = π - आर्ककोस x - फलन न तो सम है और न ही विषम।

   आर्ककोस x = 0 पर x = 1

   आर्ककोस x > 0 पर x є [-1; 1)

आर्ककोस एक्स< 0 – нет решений

y = आर्ककोस x किसी भी x є [-1; 1] के लिए घटता है

1 ≤ x 1< х 2 ≤ 1 <=>आर्क्सिन x 1 ≥ आर्क्सिन x 2 - घट रहा है।

आर्कटिक

खंड पर स्पर्शरेखा फलन बढ़ता है -
, इसलिए, मूल प्रमेय के अनुसार, समीकरण tgx \u003d a, जहां a कोई वास्तविक संख्या है, अंतराल पर एक अद्वितीय मूल x है -। इस मूल को संख्या a का चाप स्पर्शरेखा कहा जाता है और इसे आर्कटगा द्वारा दर्शाया जाता है।

परिभाषा। किसी संख्या की चाप स्पर्शरेखा एआर इस संख्या को x कहा जाता है , जिसका स्पर्शरेखा एक है.

गुण।

ई (वाई) = (-π / 2; π / 2)

y(-x) = y = arctg (-x) = - arctg x - फ़ंक्शन विषम है, ग्राफ़ बिंदु O (0; 0) के बारे में सममित है।

आर्कटग x = 0 पर x = 0

फ़ंक्शन किसी भी x є R के लिए बढ़ता है

-∞ < х 1 < х 2 < +∞ <=>आर्कटीजी एक्स 1< arctg х 2

चाप स्पर्शरेखा

अंतराल (0;) पर कोटैंजेंट फ़ंक्शन घटता है और आर से सभी मान लेता है। इसलिए, अंतराल (0;) में किसी भी संख्या के लिए समीकरण ctg x \u003d a का एक ही मूल होता है। इस संख्या a को संख्या a की चाप स्पर्शरेखा कहा जाता है और इसे arcctg a द्वारा दर्शाया जाता है।

परिभाषा। किसी संख्या a की चाप स्पर्शरेखा, जहां R, अंतराल (0;) से ऐसी संख्या है , जिसका कोटैंजेंट एक है।

गुण।

ई(वाई) = (0; π)

y (-x) = arcctg (-x) = π - arcctg x - फलन न तो सम है और न ही विषम।

आर्कसीटीजी x = 0- मौजूद नहीं होना।

समारोह वाई = आर्कसीटीजी एक्सकिसी के लिए घट जाती है х є आर

-∞ < х 1 < х 2 < + ∞ <=>आर्कसीटीजी एक्स 1 > आर्कसीटीजी एक्स 2

फ़ंक्शन किसी भी x є R के लिए निरंतर है।

2.3 व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों वाले व्यंजकों की पहचान परिवर्तन

उदाहरण 1 । अभिव्यक्ति को सरल बनाएं:

ए)
कहाँ

समाधान। चलो रखो
. तब
और
ढूँढ़ने के लिए
, हम संबंध का उपयोग करते हैं
हम पाते हैं
लेकिन । इस खंड पर, कोसाइन केवल सकारात्मक मान लेता है। इस प्रकार,
, वह है
कहाँ
.

बी)

समाधान।

वी)

समाधान। चलो रखो
. तब
और
आइए सबसे पहले यह पता लगाएं कि हम किसके लिए सूत्र का उपयोग करते हैं
, कहाँ
चूँकि इस अंतराल पर कोसाइन केवल सकारात्मक मान लेता है
.

व्युत्क्रम फलन की परिभाषा.

फ़ंक्शन को सख्ती से मोनोटोनिक (बढ़ते या घटते) और परिभाषा के डोमेन, इस फ़ंक्शन के डोमेन पर निरंतर होने दें, फिर अंतराल पर मूल्यों के डोमेन के साथ एक निरंतर सख्ती से मोनोटोन फ़ंक्शन को परिभाषित किया जाता है, जो के लिए उलटा है .

दूसरे शब्दों में, किसी विशिष्ट अंतराल पर किसी फ़ंक्शन के व्युत्क्रम फ़ंक्शन के बारे में बात करना समझ में आता है यदि इस अंतराल पर या तो बढ़ता है या घटता है।

फ़ंक्शन एफ और जी पारस्परिक कहा जाता है.

व्युत्क्रम फलनों की अवधारणा पर विचार ही क्यों करें?

यह समीकरणों को हल करने की समस्या के कारण होता है। समाधान केवल व्युत्क्रम फलनों के संदर्भ में लिखे जाते हैं।

परस्पर प्रतिलोम फलन ज्ञात करने के उदाहरण.

उदाहरण के लिए, आपको एक समीकरण हल करना होगा।

समाधान बिंदु हैं .

फ़ंक्शन कोसाइन और आर्क कोसाइन परिभाषा के क्षेत्र में केवल व्युत्क्रम हैं।

विचार करना व्युत्क्रम फलन खोजने के कुछ उदाहरण.

आइए रैखिक व्युत्क्रम फलनों से प्रारंभ करें।

उदाहरण।

समाधान।

इस फ़ंक्शन की परिभाषा और सीमा का क्षेत्र वास्तविक संख्याओं का संपूर्ण सेट है। x को y के पदों में व्यक्त करें (दूसरे शब्दों में, x के लिए समीकरण हल करें)।

यह व्युत्क्रम फलन है, हालाँकि यहाँ y एक तर्क है, और x इस तर्क का एक फलन है। अंकन की आदतें न टूटने देने के लिए (यह मौलिक महत्व का नहीं है), अक्षर x और y को पुनर्व्यवस्थित करके हम लिखेंगे।

इस प्रकार, और परस्पर प्रतिलोम फलन हैं।

हम परस्पर व्युत्क्रम रैखिक फलनों का चित्रमय चित्रण देते हैं।

जाहिर है, ग्राफ़ सीधी रेखा y=x (पहले और तीसरे चतुर्थांश के समद्विभाजक) के संबंध में सममित हैं। यह परस्पर व्युत्क्रम फलनों के गुणों में से एक है, जिसकी चर्चा नीचे की जाएगी।

अब किसी दिए गए घातांकीय फलन के व्युत्क्रम लघुगणकीय फलन को खोजने के एक उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण।

के लिए व्युत्क्रम फलन ज्ञात कीजिए।

समाधान।

इस फ़ंक्शन का डोमेन वास्तविक संख्याओं का संपूर्ण सेट है, मानों का डोमेन अंतराल है। x को y के पदों में व्यक्त करें (दूसरे शब्दों में, x के लिए समीकरण हल करें)।

यह उलटा कार्य है. अक्षरों x और y को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें प्राप्त होता है।

इस प्रकार, और - घातांकीय और लघुगणकीय फलन परिभाषा के क्षेत्र पर परस्पर व्युत्क्रम फलन हैं।

परस्पर व्युत्क्रम घातीय और लघुगणकीय कार्यों का ग्राफ़।

परस्पर व्युत्क्रम फलनों के गुण।

आइए सूची बनाएं परस्पर व्युत्क्रम फलनों के गुणऔर ।

संपत्ति नोट 1).

उदाहरण के लिए: और परस्पर प्रतिलोम फलन हैं। पहली संपत्ति से, हमारे पास है . यह समानता केवल सकारात्मक y के लिए सत्य है, नकारात्मक y के लिए लघुगणक परिभाषित नहीं है। इसलिए जैसी प्रविष्टियों के साथ जल्दबाजी न करें, और यदि आपने इसे पहले ही लिखा है, तो आपको वाक्यांश जोड़ना चाहिए " सकारात्मक वाई के लिए».

बदले में, समानता किसी भी वास्तविक x के लिए सत्य है।

हमें आशा है कि आपने इस सूक्ष्म क्षण को पकड़ लिया होगा।

आपको त्रिकोणमितीय और व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों से विशेष रूप से सावधान रहना होगा।

जैसे, , चूंकि आर्क्साइन के मानों की सीमा , लेकिन इसमें नहीं आती है।

यह सही होगा

इसकी बारी में सही समानता है.

वह है पर और पर ।

एक बार फिर, हम जोर देते हैं: परिभाषा के क्षेत्र और मूल्यों के क्षेत्र से सावधान रहें!

बुनियादी प्राथमिक परस्पर व्युत्क्रम कार्यों के रेखांकन।

यदि आपको मुख्य फलनों के अलावा त्रिकोणमितीय फलनों की शाखाओं के लिए व्युत्क्रम फलनों की आवश्यकता है, तो संगत व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनआवश्यक संख्या में अवधियों द्वारा y-अक्ष के साथ स्थानांतरित करने की आवश्यकता होगी।

उदाहरण के लिए, यदि आपको अंतराल पर स्पर्शरेखा शाखा के लिए एक व्युत्क्रम फ़ंक्शन की आवश्यकता है (यह शाखा मुख्य शाखा से एक्स अक्ष के साथ एक बदलाव द्वारा प्राप्त की जाती है), तो यह ओए अक्ष के साथ स्थानांतरित चाप स्पर्शरेखा शाखा होगी।

अभी के लिए, आइए व्युत्क्रम फलनों के साथ अपनी बात समाप्त करें।

ग्रंथ सूची.

• कोलमोगोरोव ए.एन., अब्रामोव ए.एम., डुडनित्सिन यू.पी. बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत: प्रोक। 10-11 कोशिकाओं के लिए. शिक्षण संस्थानों।

मान लीजिए कि सेट $X$ और $Y$ को वास्तविक संख्याओं के सेट में शामिल किया गया है। आइए हम एक व्युत्क्रमणीय फलन की अवधारणा का परिचय दें।

परिभाषा 1

एक फ़ंक्शन $f:X\to Y$ एक सेट $X$ को एक सेट $Y$ में मैप करता है, इसे व्युत्क्रमणीय कहा जाता है यदि किसी भी तत्व $x_1,x_2\in X$ के लिए यह इस तथ्य से निकलता है कि $x_1\ne x_2$ $f(x_1 )\ne f(x_2)$.

अब हम व्युत्क्रम फलन की धारणा प्रस्तुत कर सकते हैं।

परिभाषा 2

फ़ंक्शन $f:X\to Y$ को सेट $X$ को सेट $Y$ में मैप करने दें, इसे उलटा होने दें। फिर फ़ंक्शन $f^(-1):Y\to X$ सेट $Y$ को सेट $X$ में मैप करता है और शर्त $f^(-1)\left(y\right)=x$ द्वारा परिभाषित किया जाता है $f( x)$ का व्युत्क्रम कहा जाता है।

आइए प्रमेय तैयार करें:

प्रमेय 1

मान लीजिए कि फ़ंक्शन $y=f(x)$ को परिभाषित किया गया है, एकरस रूप से बढ़ रहा है (घट रहा है) और कुछ अंतराल $X$ में निरंतर है। फिर, इस फ़ंक्शन के मानों के संगत अंतराल $Y$ में, इसका एक उलटा फ़ंक्शन होता है, जो एकरस रूप से बढ़ रहा है (घट रहा है) और अंतराल $Y$ पर निरंतर है।

आइए अब हम सीधे तौर पर परस्पर व्युत्क्रम फलनों की अवधारणा का परिचय दें।

परिभाषा 3

परिभाषा 2 के ढांचे के भीतर, फ़ंक्शन $f(x)$ और $f^(-1)\left(y\right)$ को पारस्परिक रूप से व्युत्क्रम फ़ंक्शन कहा जाता है।

परस्पर व्युत्क्रम फलनों के गुण

मान लीजिए कि फ़ंक्शन $y=f(x)$ और $x=g(y)$ परस्पर विपरीत हैं

$y=f(g\left(y\right))$ और $x=g(f(x))$

फ़ंक्शन $y=f(x)$ का डोमेन फ़ंक्शन $\ x=g(y)$ के मान के डोमेन के बराबर है। और फ़ंक्शन $x=g(y)$ का डोमेन फ़ंक्शन $\ y=f(x)$ के मान के डोमेन के बराबर है।

फ़ंक्शन $y=f(x)$ और $x=g(y)$ के ग्राफ़ सीधी रेखा $y=x$ के संबंध में सममित हैं।

यदि एक कार्य बढ़ता (घटता) है, तो दूसरा कार्य भी बढ़ता (घटता) है।

व्युत्क्रम फलन ढूँढना

वेरिएबल $x$ के संबंध में समीकरण $y=f(x)$ हल हो गया है।

प्राप्त जड़ों से, वे पाए जाते हैं जो अंतराल $X$ से संबंधित हैं।

पाए गए $x$ को संख्या $y$ को निर्दिष्ट किया गया है।

उदाहरण 1

अंतराल $X=[-1,0]$ पर फ़ंक्शन $y=x^2$ के लिए उलटा फ़ंक्शन ढूंढें

चूँकि यह फ़ंक्शन अंतराल $X$ पर घट रहा है और निरंतर है, तो अंतराल $Y=$ पर, जो इस अंतराल पर भी घट रहा है और निरंतर है (प्रमेय 1)।

$x$ की गणना करें:

\ \

उपयुक्त $x$ चुनें:

उत्तर:उलटा फलन $y=-\sqrt(x)$.

व्युत्क्रम फलन खोजने में समस्याएँ

इस भाग में, हम कुछ के लिए व्युत्क्रम फलनों पर विचार करते हैं प्राथमिक कार्य. ऊपर दी गई योजना के अनुसार कार्यों का समाधान किया जाएगा।

उदाहरण 2

फ़ंक्शन $y=x+4$ के लिए व्युत्क्रम फ़ंक्शन खोजें

समीकरण $y=x+4$ से $x$ खोजें:

उदाहरण 3

फ़ंक्शन $y=x^3$ के लिए व्युत्क्रम फ़ंक्शन खोजें

समाधान।

चूंकि फ़ंक्शन परिभाषा के संपूर्ण डोमेन पर बढ़ रहा है और निरंतर है, तो, प्रमेय 1 के अनुसार, इस पर एक व्युत्क्रम निरंतर और बढ़ता हुआ फ़ंक्शन है।

समीकरण $y=x^3$ से $x$ खोजें:

$x$ के उपयुक्त मान ढूँढना

हमारे मामले में मूल्य उपयुक्त है (क्योंकि दायरा सभी संख्याओं का है)

चरों को पुनः परिभाषित करने पर, हम पाते हैं कि व्युत्क्रम फलन का रूप होता है

उदाहरण 4

अंतराल $$ पर फ़ंक्शन $y=cosx$ के लिए व्युत्क्रम फ़ंक्शन खोजें

समाधान।

सेट $X=\left$ पर फ़ंक्शन $y=cosx$ पर विचार करें। यह सेट $X$ पर निरंतर और घट रहा है और सेट $X=\left$ को सेट $Y=[-1,1]$ पर मैप करता है, इसलिए, व्युत्क्रम निरंतर मोनोटोन फ़ंक्शन के अस्तित्व पर प्रमेय द्वारा, फ़ंक्शन $y=cosx$ सेट $ Y$ में एक उलटा फ़ंक्शन है, जो निरंतर भी है और सेट $Y=[-1,1]$ में बढ़ता है और सेट $[-1,1]$ को मैप करता है सेट $\left$ पर।

समीकरण $y=cosx$ से $x$ खोजें:

$x$ के उपयुक्त मान ढूँढना

चरों को पुनः परिभाषित करने पर, हम पाते हैं कि व्युत्क्रम फलन का रूप होता है

उदाहरण 5

अंतराल $\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ पर फ़ंक्शन $y=tgx$ के लिए व्युत्क्रम फ़ंक्शन ढूंढें।

समाधान।

सेट $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ पर फ़ंक्शन $y=tgx$ पर विचार करें। यह निरंतर है और सेट $X$ पर बढ़ रहा है और सेट $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ को सेट $Y पर ​​मैप करता है =R$, इसलिए, व्युत्क्रम निरंतर मोनोटोन फ़ंक्शन के अस्तित्व पर प्रमेय के अनुसार, सेट $Y$ में फ़ंक्शन $y=tgx$ का एक व्युत्क्रम फ़ंक्शन होता है, जो निरंतर भी होता है और सेट $Y=R में बढ़ता है $ और सेट $R$ को सेट $\left(- \frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ पर मैप करता है

समीकरण $y=tgx$ से $x$ खोजें:

$x$ के उपयुक्त मान ढूँढना

चरों को पुनः परिभाषित करने पर, हम पाते हैं कि व्युत्क्रम फलन का रूप होता है