फ़ंक्शन y आधार a पर x का लघुगणक है। लघुगणकीय फलन क्या है? परिभाषा, गुण, समस्या समाधान

इस लेख का फोकस है लोगारित्म. यहां हम लघुगणक की परिभाषा देंगे, स्वीकृत अंकन दिखाएंगे, लघुगणक के उदाहरण देंगे, और प्राकृतिक और दशमलव लघुगणक के बारे में बात करेंगे। उसके बाद, मुख्य पर विचार करें लघुगणकीय पहचान.

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लघुगणक की परिभाषा

लघुगणक की अवधारणा किसी समस्या को एक निश्चित विपरीत अर्थ में हल करते समय उत्पन्न होती है, जब आपको डिग्री के ज्ञात मान और ज्ञात आधार से घातांक खोजने की आवश्यकता होती है।

लेकिन बहुत हो चुकी प्रस्तावना, अब इस प्रश्न का उत्तर देने का समय आ गया है कि "लघुगणक क्या है"? आइए एक उचित परिभाषा दें।

परिभाषा।

आधार ए से बी का लघुगणक, जहां a>0 , a≠1 और b>0 वह घातांक है जिसके परिणामस्वरूप b प्राप्त करने के लिए आपको संख्या a बढ़ाने की आवश्यकता है।

इस स्तर पर, हम ध्यान दें कि बोले गए शब्द "लघुगणक" से तुरंत दो आगामी प्रश्न उठने चाहिए: "कौन सी संख्या" और "किस आधार पर।" दूसरे शब्दों में, कोई लघुगणक नहीं है, बल्कि किसी आधार में किसी संख्या का केवल लघुगणक होता है।

हम तुरंत परिचय देंगे लघुगणक संकेतन: आधार a पर संख्या b का लघुगणक आमतौर पर log a b के रूप में दर्शाया जाता है। संख्या b से आधार e के लघुगणक और आधार 10 के लघुगणक के क्रमशः अपने विशेष पदनाम lnb और lgb होते हैं, अर्थात, वे log e b नहीं, बल्कि lnb लिखते हैं, और log 10 b नहीं, बल्कि lgb लिखते हैं।

अब आप ला सकते हैं: .
और रिकार्ड कोई मतलब नहीं है, क्योंकि उनमें से पहले में लघुगणक के चिह्न के नीचे एक ऋणात्मक संख्या है, दूसरे में - आधार में एक ऋणात्मक संख्या, और तीसरे में - लघुगणक के चिह्न के नीचे एक ऋणात्मक संख्या और आधार में एक इकाई दोनों हैं।

अब बात करते हैं लघुगणक पढ़ने के नियम. प्रविष्टि लॉग ए बी को "बी से आधार ए का लघुगणक" के रूप में पढ़ा जाता है। उदाहरण के लिए, लॉग 2 3 आधार 2 से तीन का लघुगणक है, और आधार से दो दशमलव दो तिहाई का लघुगणक है वर्गमूलपांच में से. आधार ई का लघुगणक कहलाता है प्राकृतिक, और अंकन एलएनबी को "बी का प्राकृतिक लघुगणक" के रूप में पढ़ा जाता है। उदाहरण के लिए, ln7 सात का प्राकृतिक लघुगणक है, और हम इसे पाई के प्राकृतिक लघुगणक के रूप में पढ़ेंगे। आधार 10 के लघुगणक का भी एक विशेष नाम है - दशमलव लघुगणक, और अंकन एलजीबी को "दशमलव लघुगणक बी" के रूप में पढ़ा जाता है। उदाहरण के लिए, lg1 एक का दशमलव लघुगणक है, और lg2.75 दो दशमलव पचहत्तर सौवें भाग का दशमलव लघुगणक है।

शर्तों a>0, a≠1 और b>0 पर अलग से ध्यान देना उचित है, जिसके तहत लघुगणक की परिभाषा दी गई है। आइए हम बताएं कि ये प्रतिबंध कहां से आते हैं। ऐसा करने के लिए, हमें फॉर्म की समानता से मदद मिलेगी, जिसे कहा जाता है, जो सीधे ऊपर दिए गए लघुगणक की परिभाषा का अनुसरण करता है।

आइए a≠1 से शुरू करें। चूँकि एक किसी भी घात के बराबर है, तो समानता केवल b=1 के लिए सत्य हो सकती है, लेकिन लघुगणक 1 1 कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है। इस अस्पष्टता से बचने के लिए, a≠1 स्वीकार किया जाता है।

आइए हम शर्त a>0 की समीचीनता की पुष्टि करें। a=0 के साथ, लघुगणक की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास समानता होगी, जो केवल b=0 के साथ संभव है। लेकिन फिर लॉग 0 0 कोई भी गैर-शून्य वास्तविक संख्या हो सकती है, क्योंकि शून्य से किसी भी गैर-शून्य घात शून्य है। इस अस्पष्टता से स्थिति a≠0 से बचा जा सकता है। और एक के लिए<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

अंत में, स्थिति b>0 असमानता a>0 से अनुसरण करती है, क्योंकि, और सकारात्मक आधार a के साथ डिग्री का मान हमेशा सकारात्मक होता है।

इस अनुच्छेद के निष्कर्ष में, हम कहते हैं कि लघुगणक की ध्वनिबद्ध परिभाषा आपको लघुगणक के मान को तुरंत इंगित करने की अनुमति देती है जब लघुगणक के चिह्न के नीचे की संख्या आधार की एक निश्चित डिग्री होती है। वास्तव में, लघुगणक की परिभाषा हमें यह दावा करने की अनुमति देती है कि यदि b=ap , तो आधार a पर संख्या b का लघुगणक p के बराबर है। अर्थात्, समानता लॉग a a p =p सत्य है। उदाहरण के लिए, हम जानते हैं कि 2 3 =8 , तो लघुगणक 2 8=3 । हम लेख में इसके बारे में अधिक बात करेंगे।

आदिम स्तर के बीजगणित के तत्वों में से एक लघुगणक है। नाम कहां से आया यूनानीशब्द "संख्या" या "शक्ति" से बना है और इसका अर्थ है वह शक्ति जिससे अंतिम संख्या ज्ञात करने के लिए आधार पर संख्या को बढ़ाना आवश्यक है।

लघुगणक के प्रकार

• लॉग ए बी संख्या बी का आधार ए (ए > 0, ए ≠ 1, बी > 0) का लघुगणक है;
• एलजी बी - दशमलव लघुगणक (लघुगणक आधार 10, ए = 10);
• एलएन बी - प्राकृतिक लघुगणक (लघुगणक आधार ई, ए = ई)।

लघुगणक कैसे हल करें?

आधार a पर संख्या b का लघुगणक एक घातांक है, जिसके लिए आवश्यक है कि आधार a को संख्या b तक बढ़ाया जाए। परिणाम इस प्रकार उच्चारित किया जाता है: "ए के आधार पर बी का लघुगणक"। लघुगणकीय समस्याओं का समाधान यह है कि आपको दी गई डिग्री को निर्दिष्ट संख्याओं द्वारा निर्धारित करना होगा। लघुगणक को निर्धारित करने या हल करने के साथ-साथ नोटेशन को बदलने के लिए कुछ बुनियादी नियम हैं। इनके प्रयोग से घोल तैयार किया जाता है लघुगणकीय समीकरण, डेरिवेटिव पाए जाते हैं, इंटीग्रल हल किए जाते हैं, और कई अन्य ऑपरेशन किए जाते हैं। मूलतः, लघुगणक का समाधान ही उसका सरलीकृत अंकन है। नीचे मुख्य सूत्र और गुण हैं:

किसी के लिए; ए > 0; a ≠ 1 और किसी भी x के लिए; आप > 0.

• a log a b = b मूल लघुगणकीय पहचान है
• लॉग ए 1 = 0
• लॉग ए ए = 1
• लॉग ए (एक्स वाई) = लॉग ए एक्स + लॉग ए वाई
• लॉग ए एक्स/ वाई = लॉग ए एक्स - लॉग ए वाई
• लॉग ए 1/एक्स = -लॉग ए एक्स
• लॉग ए एक्स पी = पी लॉग ए एक्स
• k ≠ 0 के लिए log a k x = 1/k log a x
• लॉग ए एक्स = लॉग ए सी एक्स सी
• लॉग ए एक्स \u003d लॉग बी एक्स / लॉग बी ए - एक नए आधार पर संक्रमण के लिए सूत्र
• लॉग ए एक्स = 1/लॉग एक्स ए

लघुगणक कैसे हल करें - हल करने के लिए चरण दर चरण निर्देश

• सबसे पहले, आवश्यक समीकरण लिखिए।

कृपया ध्यान दें: यदि आधार लघुगणक 10 है, तो रिकॉर्ड छोटा हो जाता है, दशमलव लघुगणक प्राप्त होता है। अगर लायक है प्राकृतिक संख्याई, फिर हम प्राकृतिक लघुगणक को कम करते हुए लिखते हैं। इसका मतलब है कि सभी लघुगणक का परिणाम वह शक्ति है जिस तक संख्या बी प्राप्त करने के लिए आधार संख्या को बढ़ाया जाता है।

सीधे तौर पर समाधान इस डिग्री की गणना में निहित है। किसी व्यंजक को लघुगणक से हल करने से पहले उसे नियम के अनुसार अर्थात् सूत्रों का प्रयोग करके सरल बनाना आवश्यक है। आप लेख में थोड़ा पीछे जाकर मुख्य पहचान पा सकते हैं।

दो अलग-अलग संख्याओं के साथ लघुगणक जोड़ना और घटाना, लेकिन साथ में वही आधार, क्रमशः संख्या b और c के गुणनफल या विभाजन के साथ एक लघुगणक से बदलें। इस स्थिति में, आप संक्रमण सूत्र को दूसरे आधार पर लागू कर सकते हैं (ऊपर देखें)।

यदि आप लघुगणक को सरल बनाने के लिए अभिव्यक्तियों का उपयोग कर रहे हैं, तो जागरूक होने के लिए कुछ सीमाएँ हैं। और वह यह है: लघुगणक का आधार केवल एक धनात्मक संख्या है, लेकिन एक के बराबर नहीं है। संख्या b, a की तरह, शून्य से बड़ी होनी चाहिए।

ऐसे मामले हैं, जब अभिव्यक्ति को सरल बनाने के बाद, आप संख्यात्मक रूप में लघुगणक की गणना नहीं कर पाएंगे। ऐसा होता है कि ऐसी अभिव्यक्ति का कोई मतलब नहीं है, क्योंकि कई डिग्री अपरिमेय संख्याएं हैं। इस शर्त के तहत, संख्या की घात को लघुगणक के रूप में छोड़ दें।

1.1. पूर्णांक घातांक के लिए डिग्री का निर्धारण

एक्स 1 = एक्स
एक्स 2 = एक्स * एक्स
एक्स 3 = एक्स * एक्स * एक्स
…
एक्स एन \u003d एक्स * एक्स * ... * एक्स - एन बार

1.2. शून्य डिग्री.

परिभाषा के अनुसार, यह मानने की प्रथा है कि किसी भी संख्या की शून्य घात 1 के बराबर है:

1.3. नकारात्मक डिग्री.

एक्स-एन = 1/एक्सएन

1.4. भिन्नात्मक घातांक, जड़.

एक्स 1/एन = एक्स का एन-वाँ मूल।

उदाहरण के लिए: X 1/2 = √X.

1.5. शक्तियाँ जोड़ने का सूत्र.

एक्स (एन+एम) = एक्स एन * एक्स एम

1.6. डिग्री घटाने का सूत्र.

एक्स (एन-एम) = एक्स एन / एक्स एम

1.7. शक्ति गुणन सूत्र.

एक्सएन*एम = (एक्सएन)एम

1.8. भिन्न को घात तक बढ़ाने का सूत्र.

(एक्स/वाई)एन = एक्सएन/वाईएन

2. संख्या ई.

संख्या e का मान निम्नलिखित सीमा के बराबर है:

ई = लिम(1+1/एन), क्योंकि एन → ∞।

17 अंकों की सटीकता के साथ, संख्या ई 2.71828182845904512 है।

3. यूलर की समानता.

यह समानता पाँच संख्याओं को जोड़ती है जो गणित में एक विशेष भूमिका निभाती हैं: 0, 1, संख्या ई, संख्या पाई, काल्पनिक इकाई।

ई(आई*पीआई) + 1 = 0

4. घातीय फलन क्स्प (x)

क्स्प(एक्स) = ई एक्स

5. घातांकीय फलन का व्युत्पन्न

एक घातीय फ़ंक्शन में एक उल्लेखनीय गुण होता है: किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न स्वयं के बराबर होता है घातांक प्रकार्य:

(एक्सप(एक्स))" = एक्सप(एक्स)

6. लघुगणक.

6.1. लघुगणक फलन की परिभाषा

यदि x = b y , तो लघुगणक फलन है

वाई = लॉगबी(एक्स).

लघुगणक दर्शाता है कि किसी संख्या को किस डिग्री तक बढ़ाना आवश्यक है - किसी दी गई संख्या (X) प्राप्त करने के लिए लघुगणक (बी) का आधार। लघुगणक फ़ंक्शन को शून्य से अधिक X के लिए परिभाषित किया गया है।

उदाहरण के लिए: लॉग 10 (100) = 2।

6.2. दशमलव लघुगणक

यह आधार 10 का लघुगणक है:

वाई = लॉग 10 (एक्स)।

निरूपित लॉग (x): लॉग (x) = लॉग 10 (x)।

दशमलव लघुगणक का उपयोग करने का एक उदाहरण डेसीबल है।

6.3. डेसिबल

आइटम को एक अलग पेज डेसीबल पर हाइलाइट किया गया है

6.4. द्विआधारी लघुगणक

यह आधार 2 लघुगणक है:

वाई = लॉग2(एक्स)।

Lg(x) द्वारा निरूपित: Lg(x) = लॉग 2 (X)

6.5. प्राकृतिक

यह आधार e का लघुगणक है:

Y = loge(x) .

Ln(x) द्वारा निरूपित: Ln(x) = Log e (X)
प्राकृतिक - उलटा काम करनाघातीय के लिए ऍक्स्प कार्य(एक्स)।

6.6. विशेषता बिंदु

लोगा(1) = 0
लॉग ए(ए) = 1

6.7. उत्पाद के लघुगणक का सूत्र

लॉग ए (x*y) = लॉग ए (x)+लॉग ए (y)

6.8. भागफल के लघुगणक का सूत्र

लॉग ए (एक्स/वाई) = लॉग ए (एक्स) - लॉग ए (वाई)

6.9. शक्ति लघुगणक सूत्र

लॉग ए (x y) = y*लॉग ए (x)

6.10. भिन्न आधार वाले लघुगणक में परिवर्तित करने का सूत्र

लॉग बी (एक्स) = (लॉग ए (एक्स)) / लॉग ए (बी)

उदाहरण:

लॉग 2 (8) = लॉग 10 (8) / लॉग 10 (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3

7. जीवन में उपयोगी सूत्र

अक्सर आयतन को क्षेत्रफल या लम्बाई में बदलने की समस्याएँ होती हैं, और उलटी समस्या क्षेत्रफल को आयतन में बदलने की होती है। उदाहरण के लिए, बोर्ड क्यूब्स (घन मीटर) में बेचे जाते हैं, और हमें यह गणना करने की आवश्यकता है कि एक निश्चित मात्रा में निहित बोर्डों के साथ दीवार के कितने क्षेत्र को म्यान किया जा सकता है, बोर्डों की गणना देखें, एक क्यूब में कितने बोर्ड हैं। या, दीवार के आयाम ज्ञात हैं, ईंटों की संख्या की गणना करना आवश्यक है, ईंट गणना देखें।

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चलो साथ - साथ शुरू करते हैं एकता के लघुगणक के गुण. इसका सूत्रीकरण इस प्रकार है: एकता का लघुगणक शून्य के बराबर है, अर्थात, लॉग ए 1=0किसी भी a>0 , a≠1 के लिए। प्रमाण सीधा है: चूँकि a 0 =1 किसी भी a के लिए जो उपरोक्त शर्तों a>0 और a≠1 को संतुष्ट करता है, तो सिद्ध समानता लॉग a 1=0 तुरंत लघुगणक की परिभाषा से अनुसरण करता है।

आइए विचारित संपत्ति के अनुप्रयोग के उदाहरण दें: लॉग 3 1=0 , एलजी1=0 और .

चलिए आगे बढ़ते हैं अगली संपत्ति: किसी संख्या का लघुगणक आधार के बराबर, एक के बराबर है, वह है, लॉग ए ए=1 a>0 , a≠1 के लिए। दरअसल, चूँकि किसी भी a के लिए a 1 =a, तो लघुगणक की परिभाषा के अनुसार log a a=1 होता है।

लघुगणक के इस गुण का उपयोग करने के उदाहरण हैं log 5 5=1 , log 5.6 5.6 और lne=1 .

उदाहरण के लिए, लॉग 2 2 7 =7, लॉग10 -4 =-4 और .

दो धनात्मक संख्याओं के गुणनफल का लघुगणक x और y इन संख्याओं के लघुगणक के गुणनफल के बराबर है: लॉग ए (x y)=लॉग ए x+लॉग ए वाई, a>0 , a≠1 . आइए हम उत्पाद के लघुगणक के गुण को सिद्ध करें। डिग्री के गुणों के कारण ए लॉग ए एक्स+लॉग ए वाई =ए लॉग ए एक्स ए लॉग ए वाई, और चूँकि मुख्य लघुगणकीय पहचान के अनुसार एक लॉग a x =x और एक लॉग a y =y है, तो एक लॉग a x a लॉग a y =x y है। इस प्रकार, एक लॉग a x+log a y =x y , जहां से आवश्यक समानता लघुगणक की परिभाषा का पालन करती है।

आइए उत्पाद के लघुगणक की संपत्ति का उपयोग करने के उदाहरण दिखाएं: लॉग 5 (2 3) = लॉग 5 2 + लॉग 5 3 और .

गुणनफल लघुगणक गुण को धनात्मक संख्याओं x 1 , x 2 , …, x n की एक परिमित संख्या n के गुणनफल के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है लॉग ए (x 1 x 2 ... x n)= लॉग ए एक्स 1 + लॉग ए एक्स 2 +…+ लॉग ए एक्स एन . यह समानता आसानी से सिद्ध हो जाती है।

उदाहरण के लिए, किसी उत्पाद के प्राकृतिक लघुगणक को संख्या 4, e, और के तीन प्राकृतिक लघुगणक के योग से प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

दो धनात्मक संख्याओं के भागफल का लघुगणक x और y इन संख्याओं के लघुगणक के बीच के अंतर के बराबर है। भागफल लघुगणक गुण प्रपत्र के एक सूत्र से मेल खाता है, जहां a>0 , a≠1 , x और y कुछ सकारात्मक संख्याएं हैं। इस सूत्र की वैधता उत्पाद के लघुगणक के सूत्र की तरह सिद्ध होती है: चूँकि , फिर लघुगणक की परिभाषा से .

यहां लघुगणक की इस संपत्ति का उपयोग करने का एक उदाहरण दिया गया है: .

चलिए आगे बढ़ते हैं डिग्री के लघुगणक की संपत्ति. किसी डिग्री का लघुगणक घातांक के गुणनफल और इस डिग्री के आधार के मापांक के लघुगणक के बराबर होता है। डिग्री के लघुगणक के इस गुण को हम सूत्र के रूप में लिखते हैं: लॉग ए बी पी =पी लॉग ए |बी|, जहां a>0 , a≠1 , b और p ऐसी संख्याएं हैं कि b p की डिग्री समझ में आती है और b p >0 ।

हम पहले इस गुण को सकारात्मक b के लिए सिद्ध करते हैं। मूल लघुगणकीय पहचान हमें संख्या b को log a b के रूप में प्रस्तुत करने की अनुमति देती है, फिर b p =(a log a b) p, और परिणामी अभिव्यक्ति, शक्ति गुण के कारण, AP log a b के बराबर होती है। तो हम समानता b p =ap p log a b पर पहुंचते हैं, जिससे, लघुगणक की परिभाषा से, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि log a b p =p log a b।

इस गुण को ऋणात्मक b के लिए सिद्ध करना बाकी है। यहां हम ध्यान देते हैं कि नकारात्मक बी के लिए अभिव्यक्ति लॉग ए बी पी केवल सम घातांक पी के लिए समझ में आता है (चूंकि डिग्री बी पी का मान शून्य से अधिक होना चाहिए, अन्यथा लघुगणक का कोई मतलब नहीं होगा), और इस मामले में बी पी =|बी| पी । तब बी पी =|बी| p =(a log a |b|) p =ap log a |b|, जहां से लॉग ए बी पी =पी लॉग ए |बी| .

उदाहरण के लिए, और ln(-3) 4 =4 ln|-3|=4 ln3 .

यह पिछली संपत्ति से अनुसरण करता है मूल से लघुगणक का गुण: nवीं डिग्री के मूल का लघुगणक अंश 1/n के गुणनफल और मूल अभिव्यक्ति के लघुगणक के बराबर है, अर्थात, , जहां a>0 , a≠1 , n एक से बड़ी प्राकृतिक संख्या है, b>0 ।

प्रमाण समानता (देखें) पर आधारित है, जो किसी भी सकारात्मक बी और डिग्री के लघुगणक की संपत्ति के लिए मान्य है: .

इस संपत्ति का उपयोग करने का एक उदाहरण यहां दिया गया है: .

अब आइए साबित करें लघुगणक के नए आधार में रूपांतरण सूत्रदयालु . ऐसा करने के लिए, समानता log c b=log a b log c a की वैधता साबित करना पर्याप्त है। मूल लघुगणकीय पहचान हमें संख्या b को log a b के रूप में प्रस्तुत करने की अनुमति देती है, फिर log c b=log c a log a b। यह डिग्री के लघुगणक की संपत्ति का उपयोग करने के लिए बनी हुई है: लॉग सी ए लॉग ए बी = लॉग ए बी लॉग सी ए. इस प्रकार, समानता लॉग सी बी = लॉग ए बी लॉग सी ए सिद्ध हो गई है, जिसका अर्थ है कि लघुगणक के नए आधार में संक्रमण का सूत्र भी सिद्ध हो गया है।

आइए लघुगणक की इस संपत्ति को लागू करने के कुछ उदाहरण दिखाएं: और .

नए आधार पर जाने का सूत्र आपको "सुविधाजनक" आधार वाले लघुगणक के साथ काम करने की अनुमति देता है। उदाहरण के लिए, इसका उपयोग प्राकृतिक या दशमलव लघुगणक पर स्विच करने के लिए किया जा सकता है ताकि आप लघुगणक की तालिका से लघुगणक के मान की गणना कर सकें। लघुगणक के एक नए आधार पर संक्रमण का सूत्र कुछ मामलों में किसी दिए गए लघुगणक का मान ज्ञात करने की भी अनुमति देता है, जब अन्य आधारों वाले कुछ लघुगणक के मान ज्ञात होते हैं।

बार-बार प्रयोग किया जाता है विशेष मामलाफॉर्म के c=b के लिए लघुगणक के नए आधार में संक्रमण के लिए सूत्र . इससे पता चलता है कि लॉग ए बी और लॉग बी ए -। जैसे, .

सूत्र का प्रयोग भी अक्सर किया जाता है , जो लघुगणक मान ज्ञात करने के लिए उपयोगी है। अपने शब्दों की पुष्टि करने के लिए, हम दिखाएंगे कि इसका उपयोग करके फॉर्म के लघुगणक के मूल्य की गणना कैसे की जाती है। अपने पास . सूत्र को सिद्ध करने के लिए लघुगणक a के नए आधार पर संक्रमण सूत्र का उपयोग करना पर्याप्त है: .

यह लघुगणक के तुलनात्मक गुणों को सिद्ध करना बाकी है।

आइए हम सिद्ध करें कि किसी भी धनात्मक संख्या b 1 और b 2 , b 1 के लिए लॉग ए बी 2, और ए>1 के लिए, असमानता लॉग ए बी 1

अंत में, लघुगणक के सूचीबद्ध गुणों में से अंतिम को सिद्ध करना बाकी है। हम अपने आप को इसके पहले भाग को सिद्ध करने तक ही सीमित रखते हैं, अर्थात, हम सिद्ध करते हैं कि यदि a 1 >1 , a 2 >1 और a 1 1 सत्य है लॉग ए 1 बी>लॉग ए 2 बी। लघुगणक के इस गुण के शेष कथन इसी सिद्धांत से सिद्ध होते हैं।

आइए विपरीत विधि का प्रयोग करें। मान लीजिए कि a 1 >1 , a 2 >1 और a 1 के लिए 1 log a 1 b≤log a 2 b सत्य है। लघुगणक के गुणों के आधार पर, इन असमानताओं को इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है और क्रमशः, और उनसे यह निष्कर्ष निकलता है कि क्रमशः लॉग बी ए 1 ≤लॉग बी ए 2 और लॉग बी ए 1 ≥लॉग बी ए 2। फिर, समान आधारों वाली शक्तियों के गुणों से, समानताएं b log b a 1 ≥b log b a 2 और b log b a 1 ≥b log b a 2 संतुष्ट होनी चाहिए, अर्थात, a 1 ≥a 2। इस प्रकार, हम स्थिति 1 के विरोधाभास पर पहुँच गए हैं

ग्रंथ सूची.

• कोलमोगोरोव ए.एन., अब्रामोव ए.एम., डुडनित्सिन यू.पी. और अन्य। बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत: सामान्य शैक्षणिक संस्थानों के ग्रेड 10-11 के लिए एक पाठ्यपुस्तक।
• गुसेव वी.ए., मोर्दकोविच ए.जी. गणित (तकनीकी स्कूलों के आवेदकों के लिए एक मैनुअल)।

आज हम बात करेंगे लघुगणक सूत्रऔर प्रदर्शन दें समाधान उदाहरण.

स्वयं, वे लघुगणक के मूल गुणों के अनुसार समाधान पैटर्न दर्शाते हैं। समाधान में लघुगणक सूत्रों को लागू करने से पहले, हम आपके लिए सबसे पहले सभी गुणों को याद करते हैं:

अब, इन सूत्रों (गुणों) के आधार पर, हम दिखाते हैं लघुगणक हल करने के उदाहरण.

सूत्रों के आधार पर लघुगणक को हल करने के उदाहरण।

लोगारित्मआधार a में एक धनात्मक संख्या b (लॉग a b दर्शाया गया है) वह घातांक है जिस पर b प्राप्त करने के लिए a को बढ़ाया जाना चाहिए, b > 0, a > 0, और 1 के साथ।

परिभाषा के अनुसार लॉग ए बी = एक्स, जो ए एक्स = बी के बराबर है, इसलिए लॉग ए ए एक्स = एक्स।

लघुगणक, उदाहरण:

लॉग 2 8 = 3, क्योंकि 2 3 = 8

लॉग 7 49 = 2 क्योंकि 7 2 = 49

लॉग 5 1/5 = -1, क्योंकि 5 -1 = 1/5

दशमलव लघुगणकएक साधारण लघुगणक है, जिसका आधार 10 है। इसे lg के रूप में दर्शाया गया है।

लॉग 10 100 = 2 क्योंकि 10 2 = 100

प्राकृतिक- सामान्य लघुगणक लघुगणक भी, लेकिन आधार ई (ई = 2.71828 ... - एक अपरिमेय संख्या) के साथ। एलएन के रूप में संदर्भित।

लघुगणक के सूत्रों या गुणों को याद रखना वांछनीय है, क्योंकि बाद में लघुगणक, लघुगणक समीकरण और असमानताओं को हल करते समय हमें उनकी आवश्यकता होगी। आइए उदाहरणों के साथ प्रत्येक सूत्र पर फिर से काम करें।

• बुनियादी लघुगणकीय पहचान
  ए लॉग ए बी = बी

  8 2लॉग 8 3 = (8 2लॉग 8 3) 2 = 3 2 = 9

• उत्पाद का लघुगणक लघुगणक के योग के बराबर है
  लॉग ए (बीसी) = लॉग ए बी + लॉग ए सी

  लॉग 3 8.1 + लॉग 3 10 = लॉग 3 (8.1*10) = लॉग 3 81 = 4

• भागफल का लघुगणक लघुगणक के अंतर के बराबर होता है
  लॉग ए (बी/सी) = लॉग ए बी - लॉग ए सी

  9 लॉग 5 50 /9 लॉग 5 2 = 9 लॉग 5 50- लॉग 5 2 = 9 लॉग 5 25 = 9 2 = 81

• लघुगणकीय संख्या की डिग्री और लघुगणक के आधार के गुण

  लघुगणक संख्या का घातांक log a b m = mlog a b है

  लघुगणक log a n b =1/n*log a b के आधार का घातांक

  लॉग ए एन बी एम = एम/एन*लॉग ए बी,

  यदि m = n, तो हमें log a n b n = log a b प्राप्त होता है

  लॉग 4 9 = लॉग 2 2 3 2 = लॉग 2 3

• एक नई नींव में परिवर्तन
  लॉग ए बी = लॉग सी बी / लॉग सी ए,

  यदि c = b, तो हमें log b b = 1 प्राप्त होता है

  फिर लॉग ए बी = 1/लॉग बी ए

  लॉग 0.8 3*लॉग 3 1.25 = लॉग 0.8 3*लॉग 0.8 1.25/लॉग 0.8 3 = लॉग 0.8 1.25 = लॉग 4/5 5/4 = -1

जैसा कि आप देख सकते हैं, लघुगणक सूत्र उतने जटिल नहीं हैं जितने वे लगते हैं। अब, लघुगणक को हल करने के उदाहरणों पर विचार करने के बाद, हम लघुगणक समीकरणों की ओर आगे बढ़ सकते हैं। हम लेख में अधिक विस्तार से लघुगणकीय समीकरणों को हल करने के उदाहरणों पर विचार करेंगे: ""। देखिये जरूर!

यदि आपके पास अभी भी समाधान के बारे में प्रश्न हैं, तो उन्हें लेख की टिप्पणियों में लिखें।

नोट: एक विकल्प के रूप में विदेश में दूसरी कक्षा की शिक्षा प्राप्त करने का निर्णय लिया गया।