भीतर प्राकृतिक लघुगणक। लघुगणक। द्विआधारी लघुगणक की परिभाषा, प्राकृतिक लघुगणक, दशमलव लघुगणक; घातांकीय फलन क्स्प (x), संख्या ई. लॉगिन। शक्तियों और लघुगणक के सूत्र। लघुगणक का प्रयोग, डेसिबल

एक धनात्मक संख्या b का आधार a (a>0, a 1 के बराबर नहीं है) का लघुगणक एक संख्या c है जैसे a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a 1, b > 0)       

ध्यान दें कि एक गैर-धनात्मक संख्या का लघुगणक परिभाषित नहीं है। साथ ही, लघुगणक का आधार एक धनात्मक संख्या होनी चाहिए, न कि 1 के बराबर। उदाहरण के लिए, यदि हम -2 का वर्ग करते हैं, तो हमें संख्या 4 प्राप्त होती है, लेकिन इसका मतलब यह नहीं है कि 4 का आधार -2 लघुगणक 2 है।

मूल लघुगणकीय पहचान

एक लॉग ए बी = बी (ए> 0, ए ≠ 1) (2)

यह महत्वपूर्ण है कि इस सूत्र के दाएं और बाएं भागों की परिभाषा के डोमेन अलग-अलग हों। बाईं ओर केवल b>0, a>0 और a 1 के लिए परिभाषित किया गया है। दायां भागकिसी भी b के लिए परिभाषित किया गया है, लेकिन a पर बिल्कुल भी निर्भर नहीं है। इस प्रकार, समीकरणों और असमानताओं को हल करने में मूल लघुगणकीय "पहचान" के अनुप्रयोग से डीपीवी में परिवर्तन हो सकता है।

लघुगणक की परिभाषा के दो स्पष्ट परिणाम

लॉग ए ए = 1 (ए> 0, ए ≠ 1) (3)
लॉग ए 1 = 0 (ए> 0, ए ≠ 1) (4)

दरअसल, संख्या को पहली शक्ति तक बढ़ाने पर, हमें वही संख्या मिलती है, और जब इसे शून्य शक्ति तक बढ़ाया जाता है, तो हमें एक मिलता है।

उत्पाद का लघुगणक और भागफल का लघुगणक

लॉग ए (बी सी) = लॉग ए बी + लॉग ए सी (ए> 0, ए 1, बी> 0, सी> 0) (5)

लॉग ए बी सी = लॉग ए बी - लॉग ए सी (ए> 0, ए 1, बी> 0, सी> 0) (6)

मैं स्कूली बच्चों को लॉगरिदमिक समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय इन सूत्रों के विचारहीन उपयोग के खिलाफ चेतावनी देना चाहता हूं। जब उनका उपयोग "बाएं से दाएं" किया जाता है, तो ODZ संकुचित हो जाता है, और जब लघुगणक के योग या अंतर से उत्पाद या भागफल के लघुगणक की ओर बढ़ते हैं, तो ODZ फैलता है।

वास्तव में, व्यंजक लॉग a (f (x) g (x)) को दो स्थितियों में परिभाषित किया गया है: जब दोनों फलन पूर्णतः धनात्मक हों या जब f(x) और g(x) दोनों शून्य से कम हों।

इस व्यंजक को योग लॉग a f (x) + log a g (x) में बदलने पर, हम स्वयं को केवल उस स्थिति तक सीमित रखने के लिए बाध्य होते हैं जब f(x)>0 और g(x)>0। स्वीकार्य मूल्यों की सीमा का एक संकुचन है, और यह स्पष्ट रूप से अस्वीकार्य है, क्योंकि इससे समाधान का नुकसान हो सकता है। इसी तरह की समस्या सूत्र (6) के लिए मौजूद है।

डिग्री को लघुगणक के चिन्ह से निकाला जा सकता है

लॉग ए बी पी = पी लॉग ए बी (ए> 0, ए 1, बी> 0) (7)

और फिर से मैं सटीकता के लिए कॉल करना चाहूंगा। निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें:

लॉग ए (एफ (एक्स) 2 = 2 लॉग ए एफ (एक्स)

समानता के बाईं ओर शून्य को छोड़कर f(x) के सभी मानों के लिए स्पष्ट रूप से परिभाषित किया गया है। दायां पक्ष केवल f(x)>0 के लिए है! लघुगणक से शक्ति निकालते हुए, हम ODZ को फिर से संकीर्ण करते हैं। रिवर्स प्रक्रिया स्वीकार्य मूल्यों की सीमा के विस्तार की ओर ले जाती है। ये सभी टिप्पणियां न केवल 2 की शक्ति पर लागू होती हैं, बल्कि किसी भी शक्ति पर भी लागू होती हैं।

नए आधार पर जाने का फॉर्मूला

लॉग ए बी = लॉग सी बी लॉग सी ए (ए> 0, ए 1, बी> 0, सी> 0, सी ≠ 1) (8)

वह दुर्लभ मामला जब रूपांतरण के दौरान ODZ नहीं बदलता है। यदि आपने आधार c को बुद्धिमानी से चुना है (सकारात्मक और 1 के बराबर नहीं), तो नए आधार पर जाने का सूत्र पूरी तरह से सुरक्षित है।

यदि हम संख्या b को नए आधार c के रूप में चुनते हैं, तो हमें एक महत्वपूर्ण प्राप्त होता है विशेष मामलासूत्र (8):

लॉग ए बी = 1 लॉग बी ए (ए> 0, ए 1, बी> 0, बी ≠ 1) (9)

लघुगणक के साथ कुछ सरल उदाहरण

उदाहरण 1 गणना करें: lg2 + lg50।
समाधान। lg2 + lg50 = lg100 = 2. हमने लघुगणक (5) के योग और दशमलव लघुगणक की परिभाषा के लिए सूत्र का उपयोग किया।

उदाहरण 2 परिकलित करें: lg125/lg5.
समाधान। lg125/lg5 = log 5 125 = 3. हमने नए आधार संक्रमण सूत्र (8) का उपयोग किया।

लघुगणक से संबंधित सूत्रों की तालिका

एक लॉग ए बी = बी (ए> 0, ए ≠ 1)

लॉग ए ए = 1 (ए> 0, ए ≠ 1)

लॉग ए 1 = 0 (ए> 0, ए ≠ 1)

लॉग ए (बी सी) = लॉग ए बी + लॉग ए सी (ए> 0, ए 1, बी> 0, सी> 0)

लॉग ए बी सी = लॉग ए बी - लॉग ए सी (ए> 0, ए 1, बी> 0, सी> 0)

लॉग ए बी पी = पी लॉग ए बी (ए> 0, ए 1, बी> 0)

लॉग ए बी = लॉग सी बी लॉग सी ए (ए> 0, ए 1, बी> 0, सी> 0, सी ≠ 1)

लॉग ए बी = 1 लॉग बी ए (ए> 0, ए 1, बी> 0, बी ≠ 1)

विषयों पर पाठ और प्रस्तुति: "प्राकृतिक लघुगणक। एक प्राकृतिक लघुगणक का आधार। एक प्राकृतिक संख्या का लघुगणक"

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प्राकृतिक लघुगणक क्या है

दोस्तों, पिछले पाठ में हमने एक नया, विशेष नंबर सीखा - e. आज हम इस नंबर के साथ काम करना जारी रखेंगे।
हमने लघुगणक का अध्ययन किया है और हम जानते हैं कि लघुगणक का आधार 0 से बड़ी संख्याओं का समूह हो सकता है। आज हम लघुगणक पर भी विचार करेंगे, जो संख्या e पर आधारित है। ऐसे लघुगणक को आमतौर पर प्राकृतिक लघुगणक कहा जाता है। . इसका अपना संकेतन है: $\ln(n)$ प्राकृतिक लघुगणक है। यह संकेतन इसके बराबर है: $\log_e(n)=\ln(n)$।
घातीय और लघुगणकीय कार्य व्युत्क्रम हैं, तो प्राकृतिक लघुगणक फ़ंक्शन का व्युत्क्रम है: $y=e^x$।
व्युत्क्रम फलन सीधी रेखा $y=x$ के सापेक्ष सममित होते हैं।
आइए सीधी रेखा $y=x$ के संबंध में घातीय फ़ंक्शन को प्लॉट करके प्राकृतिक लघुगणक की साजिश करें।

यह ध्यान देने योग्य है कि बिंदु (0;1) पर फ़ंक्शन $y=e^x$ के ग्राफ पर स्पर्शरेखा का ढलान 45° है। तब बिंदु (1; 0) पर प्राकृतिक लघुगणक के ग्राफ के स्पर्शरेखा का ढलान भी 45° के बराबर होगा। ये दोनों स्पर्श रेखाएं $y=x$ रेखा के समानांतर होंगी। आइए स्पर्शरेखाओं को स्केच करें:

समारोह के गुण $y=\ln(x)$

1. $D(f)=(0;+∞)$।
2. न तो सम है और न ही विषम।
3. परिभाषा के पूरे क्षेत्र में बढ़ता है।
4. ऊपर से सीमित नहीं, नीचे से सीमित नहीं।
5. कोई अधिकतम मूल्य नहीं है, सबसे छोटा मानना।
6. सतत।
7. $ई(एफ)=(-∞; +∞)$।
8. उत्तल ऊपर।
9. हर जगह अलग-अलग।

मैं जानता हूँ उच्च गणितसाबित कर दिया कि व्युत्क्रम फलन का व्युत्पन्न दिए गए फलन के व्युत्पन्न का व्युत्क्रम होता है.
प्रमाण में जाने का कोई मतलब नहीं है, आइए बस सूत्र लिखें: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$।

उदाहरण।
फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के मूल्य की गणना करें: $y=\ln(2x-7)$ बिंदु $x=4$ पर।
समाधान।
पर सामान्य दृष्टि सेहमारा फ़ंक्शन $y=f(kx+m)$ फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करता है, हम ऐसे कार्यों के डेरिवेटिव की गणना कर सकते हैं।
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$।
आइए आवश्यक बिंदु पर व्युत्पन्न के मूल्य की गणना करें: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$।
उत्तर : 2.

उदाहरण।
फंक्शन $y=ln(x)$ के ग्राफ़ पर $x=e$ बिंदु पर एक स्पर्श रेखा खींचिए।
समाधान।
फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा का समीकरण, बिंदु $x=a$ पर, हम अच्छी तरह से याद करते हैं।
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$।
आइए हम क्रमिक रूप से आवश्यक मानों की गणना करें।
$ ए = ई $।
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$।
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$।
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$।
बिंदु $x=e$ पर स्पर्शरेखा समीकरण $y=\frac(x)(e)$ फलन है।
आइए प्राकृतिक लघुगणक और स्पर्शरेखा को प्लॉट करें।

उदाहरण।
एकरसता और एक्स्ट्रेमा के लिए फ़ंक्शन की जांच करें: $y=x^6-6*ln(x)$।
समाधान।
फ़ंक्शन का डोमेन $D(y)=(0;+∞)$।
दिए गए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$।
परिभाषा के क्षेत्र से सभी x के लिए अवकलज मौजूद है, तब महत्वपूर्ण बिंदुना। आइए स्थिर बिंदु खोजें:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$।
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$।
$6*x^6-6=0$।
$x^6-1=0$।
$x^6=1$।
$ एक्स = ± 1 $।
बिंदु $х=-1$ परिभाषा के क्षेत्र से संबंधित नहीं है। तब हमारे पास एक स्थिर बिंदु $х=1$ होता है। वृद्धि और कमी के अंतराल खोजें:

बिंदु $x=1$ न्यूनतम बिंदु है, फिर $y_min=1-6*\ln(1)=1$।
उत्तर: खंड पर फलन घट रहा है (0;1], किरण $ . पर फलन बढ़ रहा है 2 .

एंग्लो-अमेरिकन प्रणाली

गणितज्ञ, सांख्यिकीविद और कुछ इंजीनियर आमतौर पर या तो "लॉग ( एक्स)", या "एलएन ( एक्स)" , और लघुगणक को आधार 10 - "लॉग 10 ( एक्स)».

कुछ इंजीनियर, जीवविज्ञानी और अन्य पेशेवर हमेशा "ln( एक्स)" (या कभी-कभी "लॉग ई ( एक्स)") जब उनका मतलब प्राकृतिक लघुगणक, और संकेतन "लॉग ( एक्स)" का अर्थ है लॉग 10 ( एक्स).

लकड़ी का लट्ठा इ"प्राकृतिक" लघुगणक है क्योंकि यह स्वचालित रूप से होता है और गणित में बहुत बार प्रकट होता है। उदाहरण के लिए, व्युत्पन्न समस्या पर विचार करें लॉगरिदमिक फ़ंक्शन:

यदि आधार बीबराबरी इ, तो व्युत्पन्न केवल 1/ एक्स, और जब एक्स= 1 यह व्युत्पन्न 1 के बराबर है। एक अन्य औचित्य जिसके लिए आधार इलघुगणक सबसे स्वाभाविक है, यह है कि इसे एक साधारण अभिन्न या टेलर श्रृंखला के संदर्भ में काफी सरलता से परिभाषित किया जा सकता है, जिसे अन्य लघुगणक के बारे में नहीं कहा जा सकता है।

स्वाभाविकता के और प्रमाण संख्या से जुड़े नहीं हैं। इसलिए, उदाहरण के लिए, प्राकृतिक लघुगणक के साथ कई सरल श्रृंखलाएँ हैं। पिएत्रो मेंगोली और निकोलस मर्केटर ने उन्हें बुलाया लॉगरिदमस नेचुरलिसकई दशकों तक जब तक न्यूटन और लाइबनिज ने अंतर और अभिन्न कलन विकसित नहीं किया।

परिभाषा

औपचारिक रूप से ln( एक) को ग्राफ 1/ के वक्र के नीचे के क्षेत्र के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। एक्स 1 से . तक एक, यानी एक अभिन्न के रूप में:

यह वास्तव में एक लघुगणक है क्योंकि यह लघुगणक की मूलभूत संपत्ति को संतुष्ट करता है:

इसे निम्नलिखित मानकर प्रदर्शित किया जा सकता है:

अंकीय मूल्य

किसी संख्या के प्राकृतिक लघुगणक के संख्यात्मक मान की गणना करने के लिए, आप टेलर श्रृंखला में इसके विस्तार का उपयोग इस रूप में कर सकते हैं:

प्राप्त होना सबसे अच्छी गतिअभिसरण, हम निम्नलिखित पहचान का उपयोग कर सकते हैं:

उसे उपलब्ध कराया आप = (एक्स−1)/(एक्स+1) और एक्स > 0.

एलएन के लिए ( एक्स), कहाँ पे एक्स> 1, मूल्य जितना करीब होगा एक्स 1 करने के लिए, तेज गतिअभिसरण। लघुगणक से जुड़ी पहचान का उपयोग लक्ष्य प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है:

कैलकुलेटर के आगमन से पहले भी इन विधियों का उपयोग किया जाता था, जिसके लिए संख्यात्मक तालिकाओं का उपयोग किया जाता था और ऊपर वर्णित लोगों के समान जोड़तोड़ किए जाते थे।

उच्च सटीकता

के साथ प्राकृतिक लघुगणक की गणना करने के लिए बड़ी मात्रासटीकता के अंक, टेलर श्रृंखला कुशल नहीं है क्योंकि इसका अभिसरण धीमा है। एक विकल्प यह है कि न्यूटन की विधि का उपयोग किसी घातांकीय फलन को उलटने के लिए किया जाए, जिसकी श्रृंखला तेजी से अभिसरण करती है।

बहुत अधिक गणना सटीकता के लिए एक विकल्प सूत्र है:

कहाँ पे एम 1 और 4/s के अंकगणितीय-ज्यामितीय माध्य को दर्शाता है, और

एमचुना ताकि पीसटीकता के निशान प्राप्त होते हैं। (ज्यादातर मामलों में, m के लिए 8 का मान पर्याप्त होता है।) वास्तव में, यदि इस पद्धति का उपयोग किया जाता है, तो प्राकृतिक लघुगणक के न्यूटन के व्युत्क्रम को कुशलतापूर्वक गणना करने के लिए लागू किया जा सकता है। घातांक प्रकार्य. (स्थिरांक ln 2 और pi किसी भी ज्ञात तेजी से अभिसरण श्रृंखला का उपयोग करके वांछित सटीकता के लिए पूर्व-गणना की जा सकती है।)

अभिकलनात्मक जटिलता

प्राकृतिक लघुगणक की कम्प्यूटेशनल जटिलता (अंकगणित-ज्यामितीय माध्य का उपयोग करके) O है ( एम(एन)एलएन एन) यहां एनसटीकता के अंकों की संख्या है जिसके लिए प्राकृतिक लघुगणक का मूल्यांकन किया जाना है, और एम(एन) दो गुणा करने की कम्प्यूटेशनल जटिलता है एन-अंकीय संख्याएँ।

निरंतर भिन्न

यद्यपि लघुगणक का प्रतिनिधित्व करने के लिए कोई सरल निरंतर अंश नहीं हैं, कई सामान्यीकृत निरंतर अंशों का उपयोग किया जा सकता है, जिनमें शामिल हैं:

जटिल लघुगणक

घातीय फ़ंक्शन को एक ऐसे फ़ंक्शन तक बढ़ाया जा सकता है जो फॉर्म की एक जटिल संख्या देता है इ एक्सकिसी भी मनमाना सम्मिश्र संख्या के लिए एक्स, एक जटिल के साथ एक अनंत श्रृंखला का उपयोग करते समय एक्स. इस घातीय फ़ंक्शन को एक जटिल लॉगरिदम बनाने के लिए उलटा किया जा सकता है जिसमें सामान्य लॉगरिदम के अधिकांश गुण होंगे। हालाँकि, दो कठिनाइयाँ हैं: कोई नहीं है एक्स, जिसके लिए इ एक्स= 0, और यह पता चला है कि इ 2अनुकरणीय = 1 = इ 0. चूंकि गुणक गुण एक जटिल घातांक फलन के लिए मान्य है, तो इ जेड = इ जेड+2एनपीआईसभी परिसरों के लिए जेडऔर संपूर्ण एन.

लघुगणक को पूरे जटिल तल पर परिभाषित नहीं किया जा सकता है, और फिर भी यह बहुमूल्यवान है - किसी भी जटिल लघुगणक को 2 के किसी भी पूर्णांक गुणज को जोड़कर "समतुल्य" लघुगणक द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है अनुकरणीय. जटिल लघुगणक केवल जटिल तल के एक टुकड़े पर एकल-मूल्यवान हो सकता है। उदाहरण के लिए ln मैं = 1/2 अनुकरणीयया 5/2 अनुकरणीयया -3/2 अनुकरणीय, आदि, और यद्यपि मैं 4 = 1.4लोग मैं 2 . के रूप में परिभाषित किया जा सकता है अनुकरणीय, या 10 अनुकरणीयया -6 अनुकरणीय, और इसी तरह।

यह सभी देखें

• जॉन नेपियर - लघुगणक के आविष्कारक

टिप्पणियाँ

1. भौतिक रसायन विज्ञान के लिए गणित। - 3. - अकादमिक प्रेस, 2005. - पी. 9. - आईएसबीएन 0-125-08347-5, पृष्ठ 9 का उद्धरण
2. जे जे ओ "कॉनर और ई एफ रॉबर्टसनसंख्या ई। द मैकट्यूटर हिस्ट्री ऑफ मैथमेटिक्स आर्काइव (सितंबर 2001)। संग्रहीत
3. काजोरी फ्लोरियनगणित का इतिहास, 5वां संस्करण। - एएमएस बुकस्टोर, 1991. - पी. 152. - आईएसबीएन 0821821024
4. फ्लैशमैन, मार्टिनबहुपदों का उपयोग करके समाकलनों का अनुमान लगाना। मूल से 12 फरवरी, 2012 को संग्रहीत किया गया।

अक्सर एक नंबर लेते हैं इ = 2,718281828 . इस आधार में लघुगणक कहलाते हैं प्राकृतिक. प्राकृतिक लघुगणक के साथ गणना करते समय, संकेत के साथ काम करना आम है मैंएन, लेकिन नहीं लकड़ी का लट्ठा; जबकि संख्या 2,718281828 , आधार को परिभाषित करते हुए, इंगित न करें।

दूसरे शब्दों में, शब्दांकन इस तरह दिखेगा: प्राकृतिकनंबर एक्सवह घातांक है जिस पर संख्या बढ़ाई जानी है इ, प्राप्त होना एक्स.

इसलिए, एलएन(7,389...)= 2 क्योंकि इ 2 =7,389... . स्वयं संख्या का प्राकृतिक लघुगणक इ= 1 क्योंकि इ 1 =इ, और एकता का प्राकृतिक लघुगणक शून्य के बराबर है, क्योंकि इ 0 = 1.

नंबर ही इएक मोनोटोन बंधे अनुक्रम की सीमा को परिभाषित करता है

गणना की कि इ = 2,7182818284... .

प्राय: किसी संख्या को स्मृति में स्थिर करने के लिए आवश्यक संख्या के अंकों को किसी बकाया तिथि से जोड़ दिया जाता है। किसी संख्या के पहले नौ अंक याद रखने की गति इदशमलव के बाद अंक बढ़ जाएगा यदि आप ध्यान दें कि 1828 लियो टॉल्स्टॉय के जन्म का वर्ष है!

आज तक, प्राकृतिक लघुगणक की काफी पूर्ण तालिकाएँ हैं।

प्राकृतिक लॉग ग्राफ(कार्य वाई =एलएन एक्स) सीधी रेखा के संबंध में दर्पण छवि के रूप में घातांक की साजिश का परिणाम है वाई = एक्सऔर ऐसा दिखता है:

प्रत्येक सकारात्मक वास्तविक संख्या के लिए प्राकृतिक लघुगणक पाया जा सकता है एकवक्र के नीचे के क्षेत्र के रूप में आप = 1/एक्ससे 1 इससे पहले एक.

इस सूत्रीकरण की प्रारंभिक प्रकृति, जो कई अन्य सूत्रों के साथ फिट बैठती है जिसमें प्राकृतिक लघुगणक शामिल है, "प्राकृतिक" नाम के गठन का कारण था।

अगर हम विश्लेषण करें प्राकृतिक, एक वास्तविक चर के वास्तविक कार्य के रूप में, तब यह कार्य करता है उलटा काम करना एक घातीय कार्य के लिए, जो पहचान को कम करता है:

एलएन (ए) = ए (ए> 0)

एलएन (ई ए) = ए

सभी लघुगणक के साथ सादृश्य द्वारा, प्राकृतिक लघुगणक गुणन को जोड़ में, भाग को घटाव में परिवर्तित करता है:

एलएन(xy) = एलएन(एक्स) + एलएन(आप)

एलएन(एक्स/वाई)= एलएनएक्स - lny

लघुगणक प्रत्येक सकारात्मक आधार के लिए पाया जा सकता है जो एक के बराबर नहीं है, न कि केवल के लिए इ, लेकिन अन्य आधारों के लिए लघुगणक केवल एक स्थिर कारक द्वारा प्राकृतिक लघुगणक से भिन्न होते हैं, और आमतौर पर प्राकृतिक लघुगणक के संदर्भ में परिभाषित किए जाते हैं।

विश्लेषण करने के बाद प्राकृतिक लॉग ग्राफ,हम पाते हैं कि यह चर के सकारात्मक मूल्यों के लिए मौजूद है एक्स. यह अपनी परिभाषा के क्षेत्र में एकरसता से बढ़ता है।

पर एक्स → 0 प्राकृतिक लघुगणक की सीमा ऋणात्मक अनंत है ( -∞ )।पर एक्स → +∞ प्राकृतिक लघुगणक की सीमा प्लस अनंत है ( + ∞ ) अत्याधिक एक्सलघुगणक धीरे-धीरे बढ़ता है। कोई भी शक्ति समारोह एक्स एएक सकारात्मक घातांक के साथ एकलघुगणक की तुलना में तेजी से बढ़ता है। प्राकृतिक लघुगणक एक नीरस रूप से बढ़ता हुआ कार्य है, इसलिए इसमें कोई एक्स्ट्रेमा नहीं है।

प्रयोग प्राकृतिक लघुगणकउच्च गणित के पारित होने में बहुत तर्कसंगत। इस प्रकार, उन समीकरणों के उत्तर खोजने के लिए लघुगणक का उपयोग सुविधाजनक है जिनमें अज्ञात एक घातांक के रूप में प्रकट होते हैं। गणना में प्राकृतिक लघुगणक का उपयोग बहुत सुविधा प्रदान करना संभव बनाता है एक बड़ी संख्या की गणितीय सूत्र. आधार लघुगणक इ भौतिक समस्याओं की एक महत्वपूर्ण संख्या को हल करने में मौजूद हैं और स्वाभाविक रूप से व्यक्तिगत रासायनिक, जैविक और अन्य प्रक्रियाओं के गणितीय विवरण में शामिल हैं। इस प्रकार, ज्ञात अर्ध-आयु के लिए क्षय स्थिरांक की गणना करने के लिए या रेडियोधर्मिता की समस्याओं को हल करने में क्षय समय की गणना करने के लिए लघुगणक का उपयोग किया जाता है। वे गणित और व्यावहारिक विज्ञान के कई वर्गों में अग्रणी भूमिका निभाते हैं, चक्रवृद्धि ब्याज की गणना सहित बड़ी संख्या में समस्याओं को हल करने के लिए वित्त के क्षेत्र में उनका सहारा लिया जाता है।