रैखिक रूप से निर्भर वैक्टर के निर्धारक। वैक्टर की प्रणाली की रैखिक निर्भरता। कोलिनियर वैक्टर

कार्य 1।पता लगाएँ कि क्या वैक्टर की प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र है। वैक्टर की प्रणाली को सिस्टम के मैट्रिक्स द्वारा परिभाषित किया जाएगा, जिसके कॉलम में वैक्टर के निर्देशांक होते हैं।

.

समाधान।माना रैखिक संयोजन शून्य के बराबर। इस समानता को निर्देशांक में लिखने के बाद, हम समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली प्राप्त करते हैं:

.

समीकरणों की ऐसी प्रणाली को त्रिकोणीय कहा जाता है। उसके पास एक ही उपाय है। . इसलिए वैक्टर रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।

कार्य 2.पता लगाएँ कि क्या वैक्टर की प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र है।

.

समाधान।वैक्टर रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं (देखें समस्या 1)। आइए हम सिद्ध करें कि सदिश, सदिशों का एक रैखिक संयोजन है . वेक्टर विस्तार गुणांक समीकरणों की प्रणाली से निर्धारित होते हैं

.

त्रिकोणीय प्रणाली की तरह इस प्रणाली का एक अनूठा समाधान है।

इसलिए, वैक्टर की प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर।

टिप्पणी. समस्या 1 जैसे आव्यूह कहलाते हैं त्रिकोणीय , और समस्या 2 में - चरणबद्ध त्रिकोणीय . वैक्टर की एक प्रणाली की रैखिक निर्भरता का प्रश्न आसानी से हल हो जाता है यदि इन वैक्टरों के निर्देशांक से बना मैट्रिक्स चरणबद्ध त्रिकोणीय है। यदि मैट्रिक्स का कोई विशेष रूप नहीं है, तो उपयोग करना प्राथमिक स्ट्रिंग परिवर्तन , स्तंभों के बीच रैखिक संबंधों को बनाए रखते हुए, इसे चरणबद्ध त्रिकोणीय रूप में कम किया जा सकता है।

प्राथमिक स्ट्रिंग परिवर्तनमैट्रिक्स (EPS) को मैट्रिक्स पर निम्नलिखित ऑपरेशन कहा जाता है:

1) लाइनों का क्रमपरिवर्तन;

2) एक स्ट्रिंग को एक गैर-शून्य संख्या से गुणा करना;

3) स्ट्रिंग में एक और स्ट्रिंग जोड़ना, एक मनमानी संख्या से गुणा करना।

कार्य 3.अधिकतम रैखिक रूप से स्वतंत्र सबसिस्टम खोजें और वैक्टर की प्रणाली के रैंक की गणना करें

.

समाधान।आइए हम ईपीएस की मदद से सिस्टम के मैट्रिक्स को चरणबद्ध-त्रिकोणीय रूप में कम करें। प्रक्रिया की व्याख्या करने के लिए, रूपांतरित होने वाले मैट्रिक्स की संख्या वाली रेखा को प्रतीक द्वारा दर्शाया जाएगा। तीर के बाद का कॉलम नए मैट्रिक्स की पंक्तियों को प्राप्त करने के लिए परिवर्तित मैट्रिक्स की पंक्तियों पर की जाने वाली क्रियाओं को दिखाता है।

.

जाहिर है, परिणामी मैट्रिक्स के पहले दो कॉलम रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, तीसरा कॉलम उनका रैखिक संयोजन है, और चौथा पहले दो पर निर्भर नहीं है। वैक्टर बुनियादी कहा जाता है। वे सिस्टम की अधिकतम रैखिक रूप से स्वतंत्र उपप्रणाली बनाते हैं , और सिस्टम की रैंक तीन है।

आधार, निर्देशांक

कार्य 4.सेट पर इस आधार पर वैक्टर के आधार और निर्देशांक खोजें ज्यामितीय वैक्टर, जिनके निर्देशांक शर्त को पूरा करते हैं .

समाधान. सेट मूल से गुजरने वाला एक विमान है। समतल पर एक मनमाना आधार में दो असंरेखीय सदिश होते हैं। चयनित आधार में वैक्टर के निर्देशांक रैखिक समीकरणों की संबंधित प्रणाली को हल करके निर्धारित किए जाते हैं।

इस समस्या को हल करने का एक और तरीका है, जब आप निर्देशांक द्वारा आधार ढूंढ सकते हैं।

COORDINATES रिक्त स्थान समतल पर निर्देशांक नहीं हैं, क्योंकि वे संबंध से संबंधित हैं अर्थात् वे स्वतंत्र नहीं हैं। स्वतंत्र चर और (उन्हें मुक्त कहा जाता है) विमान पर वेक्टर को विशिष्ट रूप से निर्धारित करते हैं और इसलिए, उन्हें निर्देशांक के रूप में चुना जा सकता है। फिर आधार मुक्त चर के सेट में और संबंधित वैक्टर के होते हैं तथा , वह है ।

कार्य 5.अंतरिक्ष में सभी सदिशों के समुच्चय पर इस आधार पर सदिशों का आधार और निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जिनके विषम निर्देशांक एक दूसरे के बराबर हैं।

समाधान. पिछली समस्या की तरह, हम अंतरिक्ष में निर्देशांक चुनते हैं।

इसलिये , फिर मुक्त चर से एक सदिश को विशिष्ट रूप से परिभाषित करते हैं और इसलिए, निर्देशांक हैं। संबंधित आधार में वैक्टर होते हैं।

कार्य 6.प्रपत्र के सभी आव्यूहों के समुच्चय पर इस आधार पर सदिशों का आधार और निर्देशांक ज्ञात कीजिए , कहाँ पे मनमानी संख्या हैं।

समाधान. से प्रत्येक मैट्रिक्स को विशिष्ट रूप से दर्शाया जा सकता है:

यह संबंध आधार के संदर्भ में सदिश का प्रसार है
निर्देशांक के साथ .

टास्क 7.वैक्टर की एक प्रणाली के रैखिक अवधि के आयाम और आधार का पता लगाएं

.

समाधान।ईपीएस का उपयोग करते हुए, हम मैट्रिक्स को सिस्टम वैक्टर के निर्देशांक से एक चरणबद्ध-त्रिकोणीय रूप में बदलते हैं।

.

कॉलम अंतिम मैट्रिक्स के रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, और कॉलम उनके माध्यम से रैखिक रूप से व्यक्त किया जाता है। इसलिए वैक्टर आधार बनाओ , तथा .

टिप्पणी. आधार अस्पष्ट रूप से चुना गया। उदाहरण के लिए, वैक्टर आधार भी बनाते हैं .

यह जांचने के लिए कि क्या वैक्टर की एक प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है, इन वैक्टरों के एक रैखिक संयोजन की रचना करना और यह जांचना आवश्यक है कि क्या यह शून्य हो सकता है यदि कम से कम एक गुणांक शून्य है।

स्थिति 1. सदिशों का निकाय सदिशों द्वारा दिया गया है

हम एक रैखिक संयोजन बनाते हैं

हमने समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली प्राप्त की है। यदि इसका एक शून्येतर हल है, तो सारणिक शून्य के बराबर होना चाहिए। आइए एक सारणिक बनाएं और उसका मान ज्ञात करें।

सारणिक शून्य है, इसलिए सदिश रैखिकतः आश्रित होते हैं।

केस 2. वैक्टर की प्रणाली विश्लेषणात्मक कार्यों द्वारा दी गई है:

एक)
, यदि पहचान सत्य है, तो सिस्टम रैखिक रूप से निर्भर है।

आइए एक रैखिक संयोजन बनाएं।

यह जाँचना आवश्यक है कि क्या ऐसे a, b, c (जिनमें से कम से कम एक शून्य के बराबर नहीं है) हैं जिनके लिए दिया गया व्यंजक शून्य के बराबर है।

हम अतिपरवलयिक फलन लिखते हैं

,
, फिर

तब सदिशों का रैखिक संयोजन रूप लेगा:

कहाँ पे
, उदाहरण के लिए, तो रैखिक संयोजन शून्य के बराबर है, इसलिए, सिस्टम रैखिक रूप से निर्भर है।

उत्तर: प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है।

बी)
, हम एक रैखिक संयोजन बनाते हैं

वैक्टर का एक रैखिक संयोजन, x के किसी भी मान के लिए शून्य होना चाहिए।

आइए विशेष मामलों की जांच करें।

सदिशों का एक रैखिक संयोजन केवल तभी शून्य होता है जब सभी गुणांक शून्य हों।

इसलिए, प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र है।

उत्तर: प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र है।

5.3. कुछ आधार खोजें और समाधान के रैखिक स्थान का आयाम निर्धारित करें।

आइए एक विस्तारित मैट्रिक्स बनाएं और इसे गॉस विधि का उपयोग करके एक ट्रेपोजॉइड के रूप में लाएं।

कुछ आधार प्राप्त करने के लिए, हम मनमाने मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हैं:

शेष निर्देशांक प्राप्त करें

उत्तर:

5.4. आधार में सदिश X के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, यदि यह आधार में दिया गया है।

नए आधार में वेक्टर के निर्देशांक ढूँढना समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए कम हो गया है

विधि 1। संक्रमण मैट्रिक्स का उपयोग करके ढूँढना

संक्रमण मैट्रिक्स लिखें

आइए सूत्र द्वारा सदिश को नए आधार में खोजें

उलटा मैट्रिक्स खोजें और गुणा करें

,

विधि 2। समीकरणों की एक प्रणाली को संकलित करके ढूँढना।

आधार के गुणांकों से आधार सदिशों की रचना करें

,
,

एक नए आधार में एक वेक्टर ढूँढना रूप है

, कहाँ पे डीदिया गया वेक्टर है एक्स.

परिणामी समीकरण को किसी भी तरह से हल किया जा सकता है, उत्तर वही होगा।

उत्तर: नए आधार में वेक्टर
.

5.5. मान लीजिए x = (एक्स 1 , एक्स 2 , एक्स 3 ) . निम्नलिखित परिवर्तन रैखिक हैं।

आइए हम दिए गए सदिशों के गुणांकों से रैखिक संकारकों के आव्यूहों की रचना करें।

आइए हम एक रैखिक ऑपरेटर के प्रत्येक मैट्रिक्स के लिए रैखिक संचालन की संपत्ति की जांच करें।

बाईं ओर मैट्रिक्स गुणन द्वारा पाया जाता है लेकिनप्रति वेक्टर

हम दिए गए सदिश को एक अदिश राशि से गुणा करके दायीं ओर पाते हैं
.

हम देखते है कि
इसलिए परिवर्तन रैखिक नहीं है।

आइए अन्य वैक्टरों की जाँच करें।

, परिवर्तन रैखिक नहीं है।

, परिवर्तन रैखिक है।

उत्तर: ओहएक रैखिक परिवर्तन नहीं है, वीएक्स- रैखिक नहीं सीएक्स- रैखिक।

टिप्पणी।दिए गए सदिशों को ध्यान से देख कर आप इस कार्य को बहुत आसानी से पूरा कर सकते हैं। पर ओहहम देखते हैं कि ऐसे शब्द हैं जिनमें तत्व नहीं हैं एक्स, जो एक रैखिक संचालन के परिणामस्वरूप प्राप्त नहीं किया जा सका। पर वीएक्सएक तत्व है एक्सतीसरी शक्ति के लिए, जिसे एक वेक्टर द्वारा गुणा करके भी प्राप्त नहीं किया जा सकता है एक्स.

5.6. दिया गया एक्स = { एक्स 1 , एक्स 2 , एक्स 3 } , कुल्हाड़ी = { एक्स 2 – एक्स 3 , एक्स 1 , एक्स 1 + एक्स 3 } , बीएक्स = { एक्स 2 , 2 एक्स 3 , एक्स 1 } . दिए गए ऑपरेशन को करें: ( ए ( बी – ए )) एक्स .

आइए हम रैखिक ऑपरेटरों के मैट्रिक्स को लिखें।

आइए मैट्रिसेस पर एक ऑपरेशन करें

परिणामी मैट्रिक्स को X से गुणा करने पर, हम प्राप्त करते हैं

उत्तर:

वैक्टर की प्रणाली को कहा जाता है रैखिक रूप से आश्रित, यदि ऐसी संख्याएँ हैं, जिनमें से कम से कम एक शून्य से भिन्न है, तो वह समानता https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src =" >.

यदि यह समानता केवल तभी धारण करती है जब सभी , तो सदिशों का निकाय कहलाता है रैखिक रूप से स्वतंत्र.

प्रमेय।वैक्टर की प्रणाली होगी रैखिक रूप से आश्रितयदि और केवल यदि इसका कम से कम एक सदिश अन्य का रैखिक संयोजन है।

उदाहरण 1बहुपद बहुपदों का एक रैखिक संयोजन है https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">। बहुपद एक रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली का गठन करते हैं, क्योंकि https बहुपद: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

उदाहरण 2मैट्रिक्स सिस्टम, https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> रैखिक रूप से स्वतंत्र है, क्योंकि रैखिक संयोजन के बराबर है शून्य मैट्रिक्स केवल तभी जब https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, https://pandia.ru/text/78/ 624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> रैखिक रूप से निर्भर।

समाधान।

इन वैक्टरों का एक रैखिक संयोजन लिखें https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" ऊंचाई =" 22 ">।

समान सदिशों के समान-नामित निर्देशांकों की तुलना करते हुए, हमें प्राप्त होता है https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">

अंत में हमें मिलता है

तथा

प्रणाली का एक अनूठा तुच्छ समाधान है, इसलिए इन वैक्टरों का रैखिक संयोजन केवल शून्य है यदि सभी गुणांक शून्य हैं। इसलिए, वैक्टर की यह प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र है।

उदाहरण 4वैक्टर रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। वैक्टर के सिस्टम क्या होंगे

एक)।;

बी)।?

समाधान।

एक)।एक रैखिक संयोजन की रचना करें और इसे शून्य के बराबर करें

रैखिक अंतरिक्ष में वैक्टर के साथ संचालन के गुणों का उपयोग करते हुए, हम अंतिम समानता को फॉर्म में फिर से लिखते हैं

चूँकि सदिश रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, के लिए गुणांक शून्य के बराबर होना चाहिए, अर्थात..gif" width="12" height="23 src=">

समीकरणों की परिणामी प्रणाली का एक अनूठा तुच्छ समाधान है .

समानता के बाद से (*) केवल https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> पर निष्पादित - रैखिक रूप से स्वतंत्र;

बी)।समानता लिखें https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

इसी तरह के तर्क को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं

गॉस विधि द्वारा समीकरणों के निकाय को हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं

या

अंतिम प्रणाली में अनंत समाधान हैं https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">। इस प्रकार, एक गैर- गुणांक का शून्य सेट जिसके लिए समानता (**) . इसलिए, वैक्टर की प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है।

उदाहरण 5वेक्टर सिस्टम रैखिक रूप से स्वतंत्र है, और वेक्टर सिस्टम रैखिक रूप से निर्भर है..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

समानता में (***) . दरअसल, के लिए, सिस्टम रैखिक रूप से निर्भर होगा।

रिश्ते से (***) हम पाते हैं या निरूपित .

प्राप्त

के लिए कार्य स्वतंत्र समाधान(दर्शकों में)

1. एक शून्य वेक्टर वाला सिस्टम रैखिक रूप से निर्भर होता है।

2. सिंगल वेक्टर सिस्टम एक, रैखिक रूप से निर्भर है यदि और केवल यदि, ए = 0.

3. दो वैक्टरों से युक्त एक प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर होती है यदि और केवल तभी वेक्टर आनुपातिक होते हैं (अर्थात, उनमें से एक दूसरे से एक संख्या से गुणा करके प्राप्त किया जाता है)।

4. यदि एक रैखिक रूप से निर्भर प्रणाली में एक वेक्टर जोड़ा जाता है, तो एक रैखिक रूप से निर्भर प्रणाली प्राप्त होती है।

5. यदि एक रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली से एक वेक्टर को हटा दिया जाता है, तो वैक्टर की परिणामी प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र होती है।

6. अगर सिस्टम एसरैखिक रूप से स्वतंत्र, लेकिन एक वेक्टर जोड़े जाने पर रैखिक रूप से निर्भर हो जाता है बी, फिर वेक्टर बीसिस्टम के वैक्टर के संदर्भ में रैखिक रूप से व्यक्त किया गया एस.

सी)।दूसरे क्रम के आव्यूहों के स्थान में आव्यूहों की प्रणाली।

10. चलो वैक्टर की प्रणाली एक,बी,सीवेक्टर अंतरिक्ष रैखिक रूप से स्वतंत्र है। वैक्टर की निम्नलिखित प्रणालियों की रैखिक स्वतंत्रता साबित करें:

एक)।ए+बी, बी, सी।

बी)।ए+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">–मनमाना संख्या

सी)।ए+बी, ए+सी, बी+सी।

11. होने देना एक,बी,सीतल में तीन सदिश हैं जिनका उपयोग त्रिभुज बनाने के लिए किया जा सकता है। क्या ये वैक्टर रैखिक रूप से निर्भर होंगे?

12. दो वैक्टर दिए गए a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). दो और 4D वैक्टर उठाओ ए3 औरए4ताकि सिस्टम ए1,ए 2,ए 3,ए4रैखिक रूप से स्वतंत्र था .