त्रिकोणमिति में साइन और कोसाइन क्या है? बुनियादी त्रिकोणमितीय पहचान

साइनस तीव्र कोणएक समकोण त्रिभुज का α अनुपात है विलोमकर्ण के लिए कैथेटर।
इसे निम्नानुसार निरूपित किया जाता है: पाप α।

कोज्याएक समकोण त्रिभुज का तीव्र कोण α कर्ण के सन्निकट पैर का अनुपात है।
इसे निम्नानुसार निरूपित किया जाता है: cos α।

स्पर्शरेखातीव्र कोण α आसन्न पैर के विपरीत पैर का अनुपात है।
इसे निम्नानुसार निरूपित किया जाता है: tg α।

स्पर्शरेखातीव्र कोण α आसन्न पैर के विपरीत के अनुपात का अनुपात है।
इसे निम्नानुसार नामित किया गया है: ctg α।

कोण की साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श केवल कोण के परिमाण पर निर्भर करते हैं।

नियम:

मुख्य त्रिकोणमितीय पहचानएक समकोण त्रिभुज में:

(α - पैर के विपरीत तीव्र कोण बी और पैर के पास ए . ओर साथ - कर्ण। β - दूसरा तीव्र कोण)।

जैसे-जैसे तीव्र कोण बढ़ता हैsinα औरटीजी α वृद्धि, औरcos α घटता है।

किसी भी तीव्र कोण α के लिए:

sin (90° - α) = cos α

cos (90° - α) = sin α

व्याख्यात्मक उदाहरण:

माना एक समकोण त्रिभुज ABC में
एबी = 6,
बीसी = 3,
कोण ए = 30º।

कोण A की ज्या और कोण B की कोज्या ज्ञात कीजिए।

समाधान ।

1) सबसे पहले, हम कोण B का मान ज्ञात करते हैं। यहाँ सब कुछ सरल है: चूंकि एक समकोण त्रिभुज में तीव्र कोणों का योग 90º है, तो कोण B \u003d 60º:

बी \u003d 90º - 30º \u003d 60º।

2) साइन ए की गणना करें। हम जानते हैं कि साइन विपरीत पैर के कर्ण के अनुपात के बराबर है। कोण A के लिए, विपरीत भुजा भुजा BC है। इसलिए:

ईसा पूर्व 3 1
पाप ए = -- = - = -
एबी 6 2

3) अब हम cos B की गणना करते हैं। हम जानते हैं कि कोज्या कर्ण के सन्निकट पैर के अनुपात के बराबर है। कोण बी के लिए बगल का पैरअभी भी सूर्य का वही भाग है। इसका मतलब यह है कि हमें फिर से BC को AB में विभाजित करने की आवश्यकता है - अर्थात, कोण A की साइन की गणना करते समय समान क्रियाएं करें:

ईसा पूर्व 3 1
कॉस बी = -- = - = -
एबी 6 2

परिणाम है:
sin A = cos B = 1/2।

sin 30º = cos 60º = 1/2।

इससे यह पता चलता है कि एक समकोण त्रिभुज में एक तीव्र कोण की ज्या दूसरे तीव्र कोण की कोज्या के बराबर होती है - और इसके विपरीत। यही हमारे दो सूत्रों का मतलब है:
sin (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sin α

आइए इसे फिर से देखें:

1) माना α = 60º। α के मान को साइन सूत्र में प्रतिस्थापित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:
sin (90º - 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º।

2) माना α = 30º। α के मान को कोज्या सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
cos (90° - 30º) = sin 30º.
cos 60° = sin 30º.

(त्रिकोणमिति पर अधिक जानकारी के लिए, बीजगणित अनुभाग देखें)

त्रिकोणमिति, एक विज्ञान के रूप में, प्राचीन पूर्व में उत्पन्न हुई। पहला त्रिकोणमितीय अनुपात खगोलविदों द्वारा एक सटीक कैलेंडर बनाने और सितारों द्वारा उन्मुख करने के लिए विकसित किया गया था। ये गणना गोलाकार त्रिकोणमिति से संबंधित हैं, जबकि स्कूल के पाठ्यक्रम में वे एक समतल त्रिभुज की भुजाओं और कोण के अनुपात का अध्ययन करते हैं।

त्रिकोणमिति गुणों से संबंधित गणित की शाखा है त्रिकोणमितीय कार्यऔर त्रिभुजों की भुजाओं और कोणों के बीच संबंध।

पहली सहस्राब्दी ईस्वी में संस्कृति और विज्ञान के उत्कर्ष के दौरान, ज्ञान प्राचीन पूर्व से ग्रीस तक फैल गया। लेकिन त्रिकोणमिति की मुख्य खोज पतियों की योग्यता है अरब खलीफा. विशेष रूप से, तुर्कमेन वैज्ञानिक अल-मराज़वी ने स्पर्शरेखा और खाट के रूप में ऐसे कार्यों की शुरुआत की, साइन, स्पर्शरेखा और कोटेंगेंट के लिए मूल्यों की पहली तालिकाएँ संकलित कीं। साइन और कोसाइन की अवधारणा भारतीय वैज्ञानिकों द्वारा पेश की गई थी। यूक्लिड, आर्किमिडीज और एराटोस्थनीज जैसे पुरातनता के महान आंकड़ों के कार्यों में त्रिकोणमिति पर बहुत ध्यान दिया जाता है।

त्रिकोणमिति की मूल मात्रा

एक संख्यात्मक तर्क के मूल त्रिकोणमितीय कार्य साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंगेंट हैं। उनमें से प्रत्येक का अपना ग्राफ है: साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श।

इन राशियों के मूल्यों की गणना के सूत्र पाइथागोरस प्रमेय पर आधारित हैं। यह स्कूली बच्चों के लिए सूत्रीकरण में बेहतर जाना जाता है: "पाइथागोरस पैंट, सभी दिशाओं में समान", क्योंकि प्रमाण एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के उदाहरण पर दिया गया है।

साइन, कोसाइन और अन्य निर्भरताएँ न्यून कोणों और किसी भी समकोण त्रिभुज की भुजाओं के बीच संबंध स्थापित करती हैं। हम कोण A के लिए इन राशियों की गणना के लिए सूत्र देते हैं और त्रिकोणमितीय कार्यों के संबंध का पता लगाते हैं:

जैसा कि आप देख सकते हैं, tg और ctg हैं उलटा कार्य. यदि हम लेग a को sin A और कर्ण c के उत्पाद के रूप में और लेग b को cos A * c के रूप में प्रस्तुत करते हैं, तो हमें स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श के लिए निम्नलिखित सूत्र मिलते हैं:

त्रिकोणमितीय वृत्त

रेखांकन के रूप में, उल्लिखित मात्राओं के अनुपात को निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है:

इस मामले में, सर्कल ही सब कुछ है संभावित मानकोण α — 0° से 360° तक। जैसा कि चित्र से देखा जा सकता है, प्रत्येक फलन कोण के आधार पर एक ऋणात्मक या धनात्मक मान लेता है। उदाहरण के लिए, पाप α एक "+" चिन्ह के साथ होगा यदि α सर्कल के I और II तिमाहियों से संबंधित है, अर्थात यह 0 ° से 180 ° की सीमा में है। 180° से 360° (III और IV तिमाहियों) में α के साथ, sin α केवल एक ऋणात्मक मान हो सकता है।

आइए निर्माण करने का प्रयास करें त्रिकोणमितीय टेबलविशिष्ट कोणों के लिए और राशियों का अर्थ ज्ञात करना।

α के मान 30°, 45°, 60°, 90°, 180° आदि के बराबर होते हैं, विशेष मामले कहलाते हैं। उनके लिए त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों की गणना की जाती है और उन्हें विशेष तालिकाओं के रूप में प्रस्तुत किया जाता है।

इन कोणों को संयोग से नहीं चुना गया था। तालिकाओं में पदनाम π रेडियन के लिए है। रेड वह कोण है जिस पर एक वृत्ताकार चाप की लंबाई उसकी त्रिज्या के अनुरूप होती है। यह मान एक सार्वभौमिक संबंध स्थापित करने के लिए पेश किया गया था; रेडियन में गणना करते समय, सेमी में त्रिज्या की वास्तविक लंबाई कोई मायने नहीं रखती है।

त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए तालिकाओं में कोण रेडियन मानों के अनुरूप हैं:

इसलिए, यह अनुमान लगाना कठिन नहीं है कि 2π एक पूर्ण वृत्त या 360° है।

त्रिकोणमितीय कार्यों के गुण: साइन और कोसाइन

साइन और कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श के मूल गुणों पर विचार करने और उनकी तुलना करने के लिए, उनके कार्यों को आकर्षित करना आवश्यक है। यह द्वि-आयामी समन्वय प्रणाली में स्थित वक्र के रूप में किया जा सकता है।

साइन वेव और कोसाइन वेव के गुणों की तुलनात्मक तालिका पर विचार करें:

यह निर्धारित करना कि कोई फ़ंक्शन सम है या नहीं, बहुत सरल है। त्रिकोणमितीय राशियों के संकेतों के साथ त्रिकोणमितीय वृत्त की कल्पना करना और OX अक्ष के सापेक्ष ग्राफ को मानसिक रूप से "गुना" करना पर्याप्त है। यदि चिन्ह समान हैं, तो कार्य सम है, अन्यथा यह विषम है।

रेडियन की शुरूआत और साइनसॉइड और कोसाइन वेव के मुख्य गुणों की गणना हमें निम्नलिखित पैटर्न लाने की अनुमति देती है:

सूत्र की शुद्धता को सत्यापित करना बहुत आसान है। उदाहरण के लिए, x = π/2 के लिए, ज्या 1 के बराबर है, जैसा कि x = 0 की कोज्या है। जाँच तालिकाओं को देखकर या दिए गए मानों के लिए फ़ंक्शन वक्रों को ट्रेस करके की जा सकती है।

स्पर्शरेखा और cotangentoid के गुण

स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श कार्यों के ग्राफ साइनसॉइड और कोसाइन तरंग से काफी भिन्न होते हैं। tg और ctg के मान एक दूसरे के व्युत्क्रमानुपाती होते हैं।

1. वाई = टीजीएक्स।
2. स्पर्शरेखा y के मान x = π/2 + πk पर जाती है, लेकिन उन तक कभी नहीं पहुँचती।
3. स्पर्शरेखा की सबसे छोटी सकारात्मक अवधि π है।
4. टीजी (- एक्स) \u003d - टीजी एक्स, यानी, फ़ंक्शन विषम है।
5. Tg x = 0, x = πk के लिए।
6. समारोह बढ़ रहा है।
7. Tg x › 0, x ϵ (πk, π/2 + πk) के लिए।
8. Tg x ‹ 0, x ϵ (— π/2 + πk, πk) के लिए।
9. अवकलज (tg x)' = 1/cos 2 ⁡x ।

पाठ में नीचे cotangentoid के चित्रमय प्रतिनिधित्व पर विचार करें।

Cotangentoid के मुख्य गुण:

1. वाई = सीटीजीएक्स।
2. साइन और कोसाइन फ़ंक्शंस के विपरीत, स्पर्शरेखा Y में सभी वास्तविक संख्याओं के सेट के मान ले सकते हैं।
3. cotangentoid y के मान x = πk पर जाता है, लेकिन उन तक कभी नहीं पहुंचता है।
4. कॉटैन्जेंटॉइड की सबसे छोटी सकारात्मक अवधि π है।
5. Ctg (- x) \u003d - ctg x, यानी, फ़ंक्शन विषम है।
6. Ctg x = 0, x = π/2 + πk के लिए।
7. कार्य कम हो रहा है।
8. Ctg x › 0, x ϵ (πk, π/2 + πk) के लिए।
9. Ctg x ‹ 0, x ϵ (π/2 + πk, πk) के लिए।
10. डेरिवेटिव (ctg x)' = - 1/sin 2 ⁡x ठीक करें

यदि त्रिभुज का कोण ज्ञात है, तो आप एक विशेष संदर्भ पुस्तक का उपयोग कर सकते हैं और इस कोण की साइन देख सकते हैं। यदि कोण ज्ञात नहीं है, तो आप ज्या प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं। एक विशेष मामले में, एक समकोण त्रिभुज में एक कोण की ज्या विपरीत पैर के कर्ण के अनुपात के बराबर होती है।

आइए परिभाषित करें कि साइन क्या है।

एक त्रिभुज में एक कोण (पाप) की ज्या कर्ण के विपरीत पैर का अनुपात है।

तो अगर पैर और कर्ण का मान है तो कोण की ज्या खोजना बहुत आसान है।



किसी भी त्रिभुज में कोण की ज्या ज्ञात करने के लिए, आपको सूत्रों का उपयोग करना चाहिए। यह आंकड़ा त्रिभुज में कोण की साइन की गणना के लिए मूल सूत्र दिखाता है:



गणना करने के लिए इन सूत्रों का प्रयोग करें।

यदि कोण का मान अज्ञात है, तो यह: कोण की ज्या त्रिभुज के चारों ओर परिचालित वृत्त के व्यास के विचाराधीन कोण के विपरीत भुजा की लंबाई के अनुपात के बराबर है। इस व्यास का पता कैसे लगाएं? आपको परिबद्ध चक्र के केंद्र को खोजने की जरूरत है। ऐसा करने के लिए, त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य बिन्दुओं से लम्ब खींचिए। इन लंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु परिबद्ध वृत्त का केंद्र है। इससे त्रिभुज के किसी शीर्ष की दूरी परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या होती है।

इस प्रश्न का सही उत्तर देने के लिए, आपको उस कोण की ज्या को स्पष्ट करने की आवश्यकता है जिसमें आपको त्रिभुज खोजना है। यदि यह त्रिभुज मनमाना, तो हम इसे केवल द्वारा कर सकते हैं ज्या प्रमेय(एलेक्स का संपूर्ण उत्तर यहां देखें)।

यदि आपको एक तीव्र कोण की ज्या खोजने की आवश्यकता है आयताकारत्रिकोण, तो आपको कोण की साइन की परिभाषा का उपयोग करने की आवश्यकता है (विपरीत पैर के कर्ण के अनुपात के रूप में)। तब उत्तर होगा: कोण A की ज्या = सूरज/एवी,जहाँ BC विपरीत भुजा है, AB कर्ण है।



आपका दिन शुभ हो।

एक समकोण त्रिभुज के कोण/कोण की ज्या ज्ञात करने के दो तरीके हैं:

• उनमें से सबसे पहले एक चाँदा लेना है और त्रिभुज के कोण (कितने डिग्री) का पता लगाना है, और फिर तालिका से इस कोण की ज्या का पता लगाना है;
• दूसरी विधि एक कोण की ज्या ज्ञात करने के सूत्र का उपयोग करना है, जो, जैसा कि हम जानते हैं, कर्ण के विपरीत पैर के अनुपात के बराबर है।

आप किसी कोण की ज्या को दो तरीकों से ज्ञात कर सकते हैं और मूल्यों की तुलना कर सकते हैं।

सब कुछ काफ़ी सरल है।

जैसा कि मैं इसे समझता हूं, समस्या इस तथ्य पर आती है कि हम त्रिभुज के कोण को नहीं जानते हैं, और हमें इसे खोजने की आवश्यकता है।

एक कोण की ज्या को खोजने के लिए, और फिर स्वयं एक मनमाना त्रिभुज में कोण, दो भुजाओं की लंबाई जानना आवश्यक है: वांछित कोण के विपरीत पक्ष, और कुछ अन्य पक्ष, और कोण का मान भी इस अंतिम पक्ष के विपरीत।

और फिर आपको साइन प्रमेय लागू करने की आवश्यकता है।

आइए वांछित (अज्ञात) कोण को A, विपरीत भुजा a, अन्य ज्ञात भुजा b, इस भुजा के विपरीत ज्ञात कोण B के रूप में नामित करें।

ज्या प्रमेय द्वारा: a/sin(A) = b/sin(B).

यहाँ से: पाप (ए) = ए * पाप (बी) / बी;

ए \u003d आर्क्सिना * पाप (बी) / बी।

एक समकोण त्रिभुज के मामले में, किसी भी कोण की ज्या को खोजने का कार्य केवल कोण के विपरीत पैर के कर्ण के अनुपात की गणना करने के लिए नीचे आता है - परिणामी मान ज्या होगा। एक मनमाना त्रिकोण में, कोण की साइन खोजना पहले से ही अधिक कठिन है, लेकिन यह भी संभव है। ऐसा करने के लिए, आपको त्रिकोण के मापदंडों से कम से कम कुछ जानने की जरूरत है। उदाहरण के लिए, यदि किसी त्रिभुज की तीन भुजाएँ ज्ञात हैं, तो कोसाइन प्रमेय के अनुसार कोणों की खोज की जाती है, और फिर, यदि वांछित हो, तो पहले से ही ज्ञात कोण की ज्या आसानी से मिल जाती है।

प्रारंभ में, साइन और कोसाइन समकोण त्रिभुजों में राशियों की गणना करने की आवश्यकता के कारण उत्पन्न हुए। यह देखा गया कि यदि एक समकोण त्रिभुज में कोणों के डिग्री माप का मान नहीं बदला जाता है, तो पक्षानुपात, इन भुजाओं की लंबाई में कितना भी परिवर्तन क्यों न हो, हमेशा समान रहता है।

इस तरह साइन और कोसाइन की अवधारणाओं को पेश किया गया। एक समकोण त्रिभुज में एक तीव्र कोण की साइन कर्ण के विपरीत पैर का अनुपात है, और कोज्या कर्ण के निकटवर्ती पैर का अनुपात है।

कोसाइन और साइन के प्रमेय

लेकिन कोसाइन और साइन का उपयोग न केवल समकोण त्रिभुजों में किया जा सकता है। किसी त्रिभुज की भुजा, अधिक कोण या तीव्र कोण का मान ज्ञात करने के लिए, कोसाइन और साइन प्रमेय को लागू करना पर्याप्त है।

कोसाइन प्रमेय काफी सरल है: "त्रिभुज की भुजा का वर्ग योग के बराबर हैअन्य दो भुजाओं के वर्ग उनके बीच के कोण के कोसाइन द्वारा इन भुजाओं के गुणनफल का दुगुना घटाते हैं।

साइन प्रमेय की दो व्याख्याएँ हैं: छोटी और विस्तारित। छोटे के अनुसार: "त्रिभुज में, कोण विपरीत पक्षों के समानुपाती होते हैं।" इस प्रमेय को अक्सर त्रिभुज के चारों ओर वर्णित चक्र की संपत्ति के कारण विस्तारित किया जाता है: "त्रिभुज में, कोण विपरीत पक्षों के समानुपाती होते हैं, और उनका अनुपात परिधि वाले चक्र के व्यास के बराबर होता है।"

संजात

एक व्युत्पन्न एक गणितीय उपकरण है जो दिखाता है कि तर्क में बदलाव के संबंध में फ़ंक्शन कितनी जल्दी बदलता है। डेरिवेटिव का उपयोग ज्यामिति और कई तकनीकी विषयों में किया जाता है।

समस्याओं को हल करते समय, आपको त्रिकोणमितीय कार्यों के डेरिवेटिव के सारणीबद्ध मूल्यों को जानना होगा: साइन और कोसाइन। साइन का व्युत्पन्न कोसाइन है, और कोसाइन का व्युत्पन्न साइन है, लेकिन माइनस साइन के साथ।

गणित में आवेदन

विशेष रूप से अक्सर साइन और कोसाइन का उपयोग हल करने में किया जाता है सही त्रिकोणऔर उनसे जुड़े कार्य।

ज्या और कोज्या की सुविधा प्रौद्योगिकी में भी परिलक्षित होती है। कोसाइन और साइन प्रमेयों का उपयोग करके कोणों और पक्षों का मूल्यांकन करना आसान था, जटिल आकृतियों और वस्तुओं को "सरल" त्रिकोणों में तोड़ना। इंजीनियरों और, अक्सर पहलू अनुपात और डिग्री उपायों की गणना के साथ काम करते हुए, गैर-टेबल कोणों के कोसाइन और साइन की गणना करने में बहुत समय और प्रयास खर्च किया।

तब ब्रैडिस टेबल बचाव के लिए आए, जिसमें ज्या, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श के हजारों मूल्य थे विभिन्न कोण. सोवियत काल में, कुछ शिक्षकों ने अपने वार्डों को ब्रैडिस टेबल के पन्नों को याद करने के लिए मजबूर किया।

रेडियन - कोणीय परिमाणत्रिज्या या 57.295779513° डिग्री के बराबर लंबाई वाला एक चाप।

डिग्री (ज्यामिति में) - एक वृत्त का 1/360 वाँ भाग या 1/90 वाँ भाग समकोण.

π = 3.141592653589793238462… (पाई का अनुमानित मान)।

कोणों के लिए कोज्या तालिका: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330 डिग्री, 360 डिग्री।

अनुदेश

यदि आप उस कोण का मान जानते हैं, तो डिग्री में कोण के मान की गणना करने के लिए आर्क्साइन फ़ंक्शन का उपयोग करें। अगर कोनाअक्षर α द्वारा निरूपित किया जाना चाहिए सामान्य रूप से देखेंसमाधान निम्नानुसार लिखा जा सकता है: α = आर्क्सिन (पाप (α))।

यदि आपके पास कंप्यूटर का उपयोग करने का अवसर है, तो व्यावहारिक गणनाओं के लिए अंतर्निहित ऑपरेटिंग सिस्टम का उपयोग करना सबसे आसान है। विंडोज के नवीनतम दो संस्करणों में, आप इसे इस तरह शुरू कर सकते हैं: विन कुंजी दबाएं, "का" टाइप करें और एंटर दबाएं। इस ओएस के पिछले रिलीज में, सिस्टम के मुख्य मेनू के "ऑल प्रोग्राम्स" खंड के "मानक" उपखंड में "कैलकुलेटर" लिंक देखें।

एप्लिकेशन लॉन्च करने के बाद, इसे उस मोड पर स्विच करें जो आपको त्रिकोणमितीय कार्यों के साथ काम करने की अनुमति देता है। यह कैलकुलेटर मेनू के "दृश्य" अनुभाग में "इंजीनियरिंग" लाइन का चयन करके या Alt + 2 दबाकर किया जा सकता है।

साइन मान दर्ज करें। डिफ़ॉल्ट रूप से, कैलकुलेटर इंटरफ़ेस में आर्क्सिन की गणना के लिए बटन नहीं होता है। इस फ़ंक्शन का उपयोग करने में सक्षम होने के लिए, आपको बटनों के डिफ़ॉल्ट मानों को पलटना होगा - प्रोग्राम विंडो में Inv बटन पर क्लिक करें। पिछले संस्करणों में, इस बटन को उसी पदनाम के साथ चेकबॉक्स द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है - इसे जांचें।

आप गणनाओं और विभिन्न सेवाओं में उपयोग कर सकते हैं, जो इंटरनेट पर पर्याप्त से अधिक हैं। उदाहरण के लिए, पृष्ठ http://planetcalc.com/326/ पर जाएं, थोड़ा नीचे स्क्रॉल करें और इनपुट फ़ील्ड में ज्या का मान दर्ज करें। गणना प्रक्रिया शुरू करने के लिए, गणना लेबल वाला एक बटन है - उस पर क्लिक करें। आप इस बटन के नीचे तालिका की पहली पंक्ति में गणनाओं का परिणाम पाएंगे। आर्क्सिन के अलावा, यह दर्ज किए गए मान के मान और चाप स्पर्शरेखा दोनों को प्रदर्शित करता है।

व्युत्क्रम ज्या त्रिकोणमितीय फलन कहलाता है arcsine. यह सकारात्मक और नकारात्मक दोनों तरह के मान ले सकता है जो पाई की आधी संख्या के भीतर हैं। नकारात्मक पक्षजब रेडियन में मापा जाता है। जब डिग्री में मापा जाता है, तो ये मान क्रमशः -90° से +90° की सीमा में होंगे।

अनुदेश

कुछ "गोल" मूल्यों की गणना करने की आवश्यकता नहीं है, उन्हें याद रखना आसान है। उदाहरण के लिए: - यदि फ़ंक्शन तर्क शून्य है, तो इससे आर्क्सिन का मान भी शून्य है; - 1/2 से 30 ° या 1/6 पाई, यदि मापा जाता है; - 1/2 से आर्कसाइन बराबर है से -30 ° या -1 / 6 pi में;- 1 का आर्क्साइन 90° या 1/2 pi रेडियन में है;- -1 का आर्क्साइन -90° या -1/2 pi रेडियन में है;

इस फ़ंक्शन के मूल्यों को अन्य तर्कों से मापने के लिए, मानक विंडोज कैलकुलेटर का उपयोग करने का सबसे आसान तरीका है, यदि आपके पास . प्रारंभ करने के लिए, "प्रारंभ" बटन पर मुख्य मेनू खोलें (या जीत कुंजी दबाकर), "सभी कार्यक्रम" अनुभाग पर जाएं, और फिर "सहायक उपकरण" उपखंड पर जाएं और "कैलकुलेटर" आइटम पर क्लिक करें।

कैलकुलेटर इंटरफ़ेस को ऑपरेटिंग मोड में स्विच करें जो आपको त्रिकोणमितीय कार्यों की गणना करने की अनुमति देता है। ऐसा करने के लिए, इसके मेनू में "दृश्य" अनुभाग खोलें और "इंजीनियरिंग" या "वैज्ञानिक" आइटम (उपयोग किए गए ऑपरेटिंग सिस्टम के आधार पर) का चयन करें।

उस तर्क का मान दर्ज करें जिससे चाप स्पर्शरेखा की गणना करनी है। यह माउस के साथ कैलकुलेटर के इंटरफ़ेस बटन पर क्लिक करके, या पर कुंजियों को दबाकर, या मान (CTRL + C) को कॉपी करके और फिर इसे (CTRL + V) कैलकुलेटर के इनपुट फ़ील्ड में पेस्ट करके किया जा सकता है।

उन इकाइयों का चयन करें जिनमें आप फ़ंक्शन गणना का परिणाम प्राप्त करना चाहते हैं। इनपुट फ़ील्ड के नीचे तीन विकल्प हैं, जिनमें से आपको (माउस से उस पर क्लिक करके) एक - , रेडियन या रेड का चयन करना होगा।

चेकबॉक्स को चेक करें जो कैलकुलेटर के इंटरफ़ेस बटन पर इंगित कार्यों को उलट देता है। उसके पास खड़ा है लघु शिलालेखनिवेश

पाप बटन पर क्लिक करें। कैलकुलेटर इससे जुड़े कार्यों को उल्टा कर देगा, गणना करेगा और आपको दी गई इकाइयों में परिणाम प्रस्तुत करेगा।

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एक समकोण त्रिभुज पर, सबसे सरल बहुभुज के रूप में, विभिन्न पंडितों ने उन दिनों में त्रिकोणमिति के क्षेत्र में अपने ज्ञान का सम्मान किया जब किसी ने भी गणित के इस क्षेत्र को उस शब्द से नहीं बुलाया। इसलिए, उस लेखक को इंगित करें जिसने इस फ्लैट में पक्षों की लंबाई और कोणों के मूल्यों के अनुपात में पैटर्न की पहचान की है ज्यामितीय आकृतिआज संभव नहीं है। ऐसे संबंधों को त्रिकोणमितीय कार्य कहा जाता है और कई समूहों में विभाजित किया जाता है, जिनमें से मुख्य को पारंपरिक रूप से "प्रत्यक्ष" कार्य माना जाता है। इस समूह को केवल दो कार्य सौंपे गए हैं, और उनमें से एक साइन है।

अनुदेश

परिभाषा के अनुसार, एक समकोण त्रिभुज में एक कोण 90° के बराबर होता है, और इस तथ्य के कारण कि यूक्लिडियन ज्यामिति में इसके कोणों का योग 180° के बराबर होना चाहिए, अन्य दो कोण हैं (अर्थात 90°)। ठीक इन कोणों और भुजाओं की लंबाई के अनुपातों की नियमितता त्रिकोणमितीय कार्यों का वर्णन करती है।

फ़ंक्शन, जिसे न्यूनकोण की ज्या कहा जाता है, एक समकोण त्रिभुज की दो भुजाओं की लंबाई के बीच के अनुपात को निर्धारित करता है, जिनमें से एक इस तीव्र कोण के विपरीत स्थित है, और दूसरा इसके समीप है और समकोण के विपरीत स्थित है। चूंकि इस तरह के त्रिकोण में समकोण के विपरीत पक्ष को कर्ण कहा जाता है, और अन्य दो पैर हैं, साइन कार्यों को पैर की लंबाई और कर्ण के बीच के अनुपात के रूप में तैयार किया जा सकता है।

इस त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन की इतनी सरल परिभाषा के अलावा, और भी जटिल हैं: कार्टेशियन निर्देशांक में एक सर्कल के माध्यम से, श्रृंखला के माध्यम से, अंतर और कार्यात्मक समीकरणों के माध्यम से। यह कार्य निरंतर है, अर्थात, इसके तर्क ("परिभाषाओं का डोमेन") कोई भी संख्या हो सकती है - असीम रूप से नकारात्मक से लेकर असीम रूप से सकारात्मक तक। और इस फ़ंक्शन के अधिकतम मान -1 से +1 तक सीमित हैं - यह "इसके मूल्यों की सीमा" है। साइन अपना न्यूनतम मान 270 ° के कोण पर लेता है, जो 3 / Pi से मेल खाता है, और अधिकतम 90 ° (pi का ½) प्राप्त होता है। 0°, 180°, 360°, आदि पर फलन मान शून्य हो जाते हैं। इस सब से यह पता चलता है कि ज्या एक आवधिक कार्य है और इसकी अवधि 360 ° या दो बार संख्या पाई के बराबर है।

किसी दिए गए तर्क से इस फ़ंक्शन के मूल्यों की व्यावहारिक गणना के लिए, आप इसका उपयोग कर सकते हैं - उनमें से अधिकांश (आपके कंप्यूटर के ऑपरेटिंग सिस्टम में निर्मित सॉफ़्टवेयर कैलकुलेटर सहित) के पास संबंधित विकल्प है।

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साइनसऔर कोज्या- ये प्रत्यक्ष त्रिकोणमितीय कार्य हैं जिनके लिए कई परिभाषाएँ हैं - वृत्त के माध्यम से कार्तीय प्रणालीसमाधान के माध्यम से समन्वय करता है अंतर समीकरण, एक समकोण त्रिभुज में तीव्र कोणों के माध्यम से। इनमें से प्रत्येक परिभाषा आपको इन दो कार्यों के बीच संबंध निकालने की अनुमति देती है। निम्नलिखित शायद व्यक्त करने का सबसे सरल तरीका है कोज्यासाइन के माध्यम से - एक समकोण त्रिभुज के तीव्र कोणों के लिए उनकी परिभाषाओं के माध्यम से।

अनुदेश

इस आकृति की भुजाओं की लंबाई के संदर्भ में एक समकोण त्रिभुज के तीव्र कोण की ज्या को व्यक्त करें। परिभाषा के अनुसार, कोण (α) की साइन भुजा की लंबाई का अनुपात होना चाहिए (ए) इसके विपरीत - पैर - पक्ष की लंबाई के लिए (सी) समकोण के विपरीत - कर्ण: पाप (α) = ए / सी।

के लिए समान सूत्र ज्ञात कीजिए कोज्यालेकिन वही कोण। परिभाषा के अनुसार, इस मान को पक्ष की लंबाई के अनुपात के रूप में व्यक्त किया जाना चाहिए (बी) इस कोने से सटे (दूसरा पैर) पक्ष की लंबाई के लिए (सी) समकोण के विपरीत स्थित है: कॉस (ए) \u003d एसी।

पायथागॉरियन प्रमेय से निम्नलिखित समीकरण को इस तरह से फिर से लिखें कि यह पिछले दो चरणों में प्राप्त पैरों और कर्ण के बीच संबंधों का उपयोग करे। ऐसा करने के लिए, पहले इस प्रमेय के दोनों मूल (a² + b² = c²) को कर्ण के वर्ग (a² / c² + b² / c² = 1) से विभाजित करें, और फिर इस रूप में परिणामी समानता को फिर से लिखें: (a / सी)² + (बी / सी )² = 1।

पहले और दूसरे चरण के सूत्रों के आधार पर परिणामी अभिव्यक्ति में पैरों की लंबाई और त्रिकोणमितीय कार्यों के कर्ण के अनुपात को बदलें: sin² (a) + cos² (a) \u003d 1. व्यक्त करें कोज्यापरिणामी समानता से: cos(a) = √(1 - sin²(a)). इस समस्या को सामान्य तरीके से हल किया जा सकता है।

यदि, सामान्य के अलावा, आपको एक संख्यात्मक परिणाम प्राप्त करने की आवश्यकता है, उदाहरण के लिए, विंडोज ऑपरेटिंग सिस्टम में निर्मित कैलकुलेटर का उपयोग करें। ओएस मेनू के "ऑल प्रोग्राम्स" खंड के "मानक" उपखंड में इसके लॉन्च का लिंक। इस लिंक का संक्षिप्त रूप है - "कैलकुलेटर"। इस कार्यक्रम से त्रिकोणमितीय कार्यों की गणना करने में सक्षम होने के लिए, इसके "इंजीनियरिंग" इंटरफ़ेस को चालू करें - कुंजी संयोजन Alt + 2 दबाएं।

शर्तों में कोण की ज्या का मान दर्ज करें और पदनाम x² के साथ इंटरफ़ेस बटन पर क्लिक करें - यह मूल मूल्य को वर्ग करेगा। फिर कीबोर्ड पर *-1 टाइप करें, एंटर दबाएं, +1 टाइप करें और फिर से एंटर दबाएं - इस तरह आप यूनिट से ज्या के वर्ग को घटा देंगे। वर्ग निकालने और अंतिम परिणाम प्राप्त करने के लिए रेडिकल आइकन कुंजी पर क्लिक करें।

कई सदियों से गणितज्ञों द्वारा त्रिभुजों का अध्ययन किया जाता रहा है। त्रिकोण का विज्ञान - त्रिकोणमिति - विशेष मात्रा का उपयोग करता है: साइन और कोसाइन।

सही त्रिकोण

प्रारंभ में, साइन और कोसाइन समकोण त्रिभुजों में राशियों की गणना करने की आवश्यकता के कारण उत्पन्न हुए। यह देखा गया कि यदि एक समकोण त्रिभुज में कोणों के डिग्री माप का मान नहीं बदला जाता है, तो पक्षानुपात, इन भुजाओं की लंबाई में कितना भी परिवर्तन क्यों न हो, हमेशा समान रहता है।

इस तरह साइन और कोसाइन की अवधारणाओं को पेश किया गया। एक समकोण त्रिभुज में एक तीव्र कोण की साइन कर्ण के विपरीत पैर का अनुपात है, और कोज्या कर्ण के निकटवर्ती पैर का अनुपात है।

कोसाइन और साइन के प्रमेय

लेकिन कोसाइन और साइन का उपयोग न केवल समकोण त्रिभुजों में किया जा सकता है। किसी त्रिभुज की भुजा, अधिक कोण या तीव्र कोण का मान ज्ञात करने के लिए, कोसाइन और साइन प्रमेय को लागू करना पर्याप्त है।

कोसाइन प्रमेय काफी सरल है: "त्रिभुज की एक भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है, जो इन भुजाओं के बीच के कोण के कोसाइन द्वारा इन भुजाओं के उत्पाद का दोगुना होता है।"

साइन प्रमेय की दो व्याख्याएँ हैं: छोटी और विस्तारित। छोटे के अनुसार: "त्रिभुज में, कोण विपरीत पक्षों के समानुपाती होते हैं।" इस प्रमेय को अक्सर त्रिभुज के चारों ओर वर्णित चक्र की संपत्ति के कारण विस्तारित किया जाता है: "त्रिभुज में, कोण विपरीत पक्षों के समानुपाती होते हैं, और उनका अनुपात परिधि वाले चक्र के व्यास के बराबर होता है।"

संजात

एक व्युत्पन्न एक गणितीय उपकरण है जो दिखाता है कि तर्क में बदलाव के संबंध में फ़ंक्शन कितनी जल्दी बदलता है। डेरिवेटिव का उपयोग ज्यामिति और कई तकनीकी विषयों में किया जाता है।

समस्याओं को हल करते समय, आपको त्रिकोणमितीय कार्यों के डेरिवेटिव के सारणीबद्ध मूल्यों को जानना होगा: साइन और कोसाइन। साइन का व्युत्पन्न कोसाइन है, और कोसाइन का व्युत्पन्न साइन है, लेकिन माइनस साइन के साथ।

गणित में आवेदन

विशेष रूप से अक्सर साइन और कोसाइन का उपयोग समकोण त्रिभुजों और उनसे संबंधित समस्याओं को हल करने में किया जाता है।

ज्या और कोज्या की सुविधा प्रौद्योगिकी में भी परिलक्षित होती है। कोसाइन और साइन प्रमेयों का उपयोग करके कोणों और पक्षों का मूल्यांकन करना आसान था, जटिल आकृतियों और वस्तुओं को "सरल" त्रिकोणों में तोड़ना। इंजीनियरों और, अक्सर पहलू अनुपात और डिग्री उपायों की गणना के साथ काम करते हुए, गैर-टेबल कोणों के कोसाइन और साइन की गणना करने में बहुत समय और प्रयास खर्च किया।

तब ब्रैडिस टेबल बचाव के लिए आए, जिसमें विभिन्न कोणों के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटिंजेंट के हजारों मूल्य थे। सोवियत काल में, कुछ शिक्षकों ने अपने वार्डों को ब्रैडिस टेबल के पन्नों को याद करने के लिए मजबूर किया।

रेडियन - चाप का कोणीय मान, त्रिज्या के बराबर लंबाई के साथ या 57.295779513 ° डिग्री।

डिग्री (ज्यामिति में) - एक वृत्त का 1/360 वाँ या एक समकोण का 1/90 वाँ।

π = 3.141592653589793238462… (पाई का अनुमानित मान)।

कोणों के लिए कोज्या तालिका: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330 डिग्री, 360 डिग्री।