आसन्न पैर का अनुपात। एक न्यून कोण की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा, कोटैंजेंट। त्रिकोणमितीय फलन

अनुदेश

एक त्रिभुज को समकोण त्रिभुज कहा जाता है यदि उसका एक कोण 90 डिग्री का हो। इसमें दो पैर और एक कर्ण होता है। कर्ण इस त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा है। वह झूठ बोलती है समकोण. पैर, क्रमशः, इसकी छोटी भुजाएँ कहलाती हैं। वे या तो एक दूसरे के बराबर हो सकते हैं या अलग-अलग आकार के हो सकते हैं। पैरों की समानता कि आप एक समकोण त्रिभुज के साथ काम कर रहे हैं। इसकी सुंदरता यह है कि यह दो आकृतियों को जोड़ती है: एक समकोण और एक समद्विबाहु त्रिभुज। यदि पैर समान नहीं हैं, तो त्रिभुज मनमाना है और मूल नियम के अनुसार: जितना बड़ा कोण, उतना ही इसके विपरीत झूठ बोलने वाला लुढ़कता है।

कर्ण को कोण और कोण से खोजने के कई तरीके हैं। लेकिन उनमें से किसी एक का उपयोग करने से पहले, आपको यह निर्धारित करना चाहिए कि कौन सा और कोण ज्ञात है। एक कोण और उसके आसन्न पैर को देखते हुए, कोण के कोसाइन द्वारा कर्ण को खोजना आसान है। कोज्या न्यून कोण(क्योंकि ए) में सही त्रिकोणआसन्न पैर का कर्ण से अनुपात कहा जाता है। इसका तात्पर्य यह है कि कर्ण (c) आसन्न पैर (b) के कोण a (cos a) के कोसाइन के अनुपात के बराबर होगा। इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: cos a=b/c => c=b/cos a.

यदि एक कोण और एक विपरीत पैर दिया गया हो, तो काम करना चाहिए। एक समकोण त्रिभुज में एक न्यून कोण (sin a) की ज्या विपरीत पैर (a) और कर्ण (c) का अनुपात है। यहां सिद्धांत पिछले उदाहरण की तरह ही है, कोसाइन फ़ंक्शन के बजाय केवल साइन लिया जाता है। पाप a=a/c => c=a/sin a.

आप एक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का भी उपयोग कर सकते हैं जैसे कि . लेकिन वांछित मूल्य खोजना थोड़ा अधिक जटिल है। एक समकोण त्रिभुज में एक न्यून कोण (tg a) की स्पर्शरेखा विपरीत पैर (a) से आसन्न एक (b) का अनुपात है। दोनों पैरों को पाकर, पाइथागोरस प्रमेय (कर्ण का वर्ग) लागू करें योग के बराबर हैपैरों के वर्ग) और एक बड़ा मिलेगा।

टिप्पणी

पाइथागोरस प्रमेय के साथ काम करते समय, यह न भूलें कि आप डिग्री के साथ काम कर रहे हैं। पैरों के वर्गों का योग ज्ञात करने के बाद, अंतिम उत्तर प्राप्त करने के लिए, आपको वर्गमूल लेना चाहिए।

स्रोत:

• पैर और कर्ण का पता कैसे लगाएं

कर्ण एक समकोण त्रिभुज की भुजा है जो 90 डिग्री के कोण के विपरीत है। इसकी लंबाई की गणना करने के लिए, एक पैर की लंबाई और त्रिभुज के तीव्र कोणों में से एक का मान जानना पर्याप्त है।

अनुदेश

एक ज्ञात और तीव्र समकोण के साथ, कर्ण का आकार इस कोण के पैर से / का अनुपात है, यदि दिया गया कोण इसके विपरीत / आसन्न है:

h = C1(या C2)/sinα;

एच = С1(या С2)/cosα.

उदाहरण: मान लीजिए कि ABC को कर्ण AB और C के साथ दिया गया है। मान लीजिए कोण B 60 डिग्री और कोण A 30 डिग्री है। पैर BC की लंबाई 8 सेमी है। आपको कर्ण AB की लंबाई चाहिए। ऐसा करने के लिए, आप ऊपर बताए गए किसी भी तरीके का उपयोग कर सकते हैं:

AB=BC/cos60=8 सेमी.

AB = BC/sin30 = 8 सेमी.

शब्द " टांग" ग्रीक शब्द "लंबवत" या "ऊर्ध्वाधर" से आया है - यह बताता है कि एक समकोण त्रिभुज के दोनों पक्षों, जो इसके नब्बे-डिग्री कोण को बनाते हैं, का नाम इस तरह क्यों रखा गया। किसी भी की लंबाई पाएं टांगओव मुश्किल नहीं है अगर इसके आस-पास के कोण का मान और किसी अन्य पैरामीटर का पता चल जाए, क्योंकि इस मामले में तीनों कोणों के मान वास्तव में ज्ञात हो जाएंगे।

अनुदेश

यदि, आसन्न कोण (β) के मान के अतिरिक्त, सेकंड . की लंबाई टांगए (बी), फिर लंबाई टांगऔर (ए) ज्ञात की लंबाई के भागफल के रूप में परिभाषित किया जा सकता है टांगऔर एक ज्ञात कोण पर: a=b/tg(β)। यह इस त्रिकोणमितीय की परिभाषा से निम्नानुसार है। यदि आप प्रमेय का उपयोग करते हैं तो आप स्पर्शरेखा के बिना कर सकते हैं। इससे यह पता चलता है कि विपरीत कोण की ज्या से वांछित की लंबाई ज्ञात की लंबाई के अनुपात से टांगलेकिन एक ज्ञात कोण की ज्या के लिए। वांछित के विपरीत टांग y एक न्यून कोण को ज्ञात कोण के रूप में 180°-90°-β = 90°-β के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, क्योंकि किसी भी त्रिभुज के सभी कोणों का योग 180° होना चाहिए, और इसका एक कोण 90 के बराबर होता है। °. तो वांछित लंबाई टांगऔर सूत्र a=sin(90°-β)∗b/sin(β) द्वारा परिकलित किया जा सकता है।

यदि आसन्न कोण (β) का परिमाण और कर्ण (c) की लंबाई ज्ञात हो, तो लंबाई टांगऔर (ए) ज्ञात कोण के कर्ण और कोसाइन की लंबाई के उत्पाद के रूप में गणना की जा सकती है: a=c∗cos(β)। यह एक त्रिकोणमितीय फलन के रूप में कोसाइन की परिभाषा का अनुसरण करता है। लेकिन आप पिछले चरण की तरह, साइन प्रमेय और फिर वांछित लंबाई का उपयोग कर सकते हैं टांग a 90° के बीच ज्या के गुणनफल के बराबर होगा और ज्ञात कोण गुणा कर्ण की लंबाई और समकोण की ज्या के अनुपात के बराबर होगा। और चूँकि 90° की ज्या एक के बराबर होती है, इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: a=sin(90°-β)∗c.

व्यावहारिक गणनाएं की जा सकती हैं, उदाहरण के लिए, विंडोज ऑपरेटिंग सिस्टम में शामिल सॉफ्टवेयर कैलकुलेटर का उपयोग करना। इसे चलाने के लिए, आप "प्रारंभ" बटन पर मुख्य मेनू में "रन" आइटम का चयन कर सकते हैं, कैल्क कमांड टाइप करें और "ओके" बटन पर क्लिक करें। डिफ़ॉल्ट रूप से खुलने वाले इस प्रोग्राम के इंटरफ़ेस का सबसे सरल संस्करण त्रिकोणमितीय कार्य प्रदान नहीं करता है, इसलिए, इसे लॉन्च करने के बाद, आपको मेनू में "व्यू" अनुभाग पर क्लिक करना होगा और "वैज्ञानिक" या "इंजीनियरिंग" लाइन (निर्भर करता है) का चयन करना होगा। आपके द्वारा उपयोग किए जा रहे ऑपरेटिंग सिस्टम के संस्करण पर)।

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शब्द "केट" ग्रीक से रूसी में आया था। सटीक अनुवाद में, इसका अर्थ है एक साहुल रेखा, यानी पृथ्वी की सतह के लंबवत। गणित में, टाँगों को वे भुजाएँ कहते हैं जो एक समकोण त्रिभुज का समकोण बनाती हैं। इस कोण के सम्मुख भुजा को कर्ण कहते हैं। शब्द "पैर" का प्रयोग वास्तुकला और प्रौद्योगिकी में भी किया जाता है वेल्डिंग का काम.

एक समकोण त्रिभुज ACB खींचिए। इसके पैरों को a और b लेबल करें, और इसके कर्ण को c लेबल करें। एक समकोण त्रिभुज की सभी भुजाएँ और कोण एक दूसरे से परिभाषित होते हैं। किसी एक न्यून कोण के विपरीत पैर के कर्ण से अनुपात को इस कोण की ज्या कहा जाता है। इस त्रिभुज में sinCAB=a/c. कोसाइन आसन्न पैर के कर्ण का अनुपात है, अर्थात cosCAB=b/c। व्युत्क्रम संबंधों को सेकेंट और कोसेकेंट कहा जाता है।

इस कोण का छेदक कर्ण को आसन्न पैर से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है, अर्थात secCAB=c/b। यह कोज्या का व्युत्क्रम निकालता है, अर्थात इसे सूत्र secCAB=1/cosSAB द्वारा व्यक्त किया जा सकता है।
कोसेकेंट कर्ण को विपरीत पैर से विभाजित करने के भागफल के बराबर होता है और ज्या का व्युत्क्रम होता है। इसकी गणना सूत्र cosecCAB=1/sinCAB . का उपयोग करके की जा सकती है

दोनों पैर आपस में जुड़े हुए हैं और स्पर्शरेखा हैं। इस मामले में, स्पर्शरेखा पक्ष ए से साइड बी का अनुपात होगा, यानी विपरीत पैर से आसन्न एक। इस अनुपात को सूत्र tgCAB=a/b द्वारा व्यक्त किया जा सकता है। तदनुसार, प्रतिलोम अनुपात कोटैंजेंट होगा: ctgCAB=b/a.

कर्ण और दोनों पैरों के आकार के बीच का अनुपात प्राचीन ग्रीक पाइथागोरस द्वारा निर्धारित किया गया था। प्रमेय, उसका नाम, लोग अभी भी उपयोग करते हैं। यह कहता है कि कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर है, अर्थात c2 \u003d a2 + b2। तदनुसार, प्रत्येक पैर बराबर होगा वर्गमूलकर्ण और दूसरे पैर के वर्गों के अंतर से। यह सूत्र b=√(c2-a2) के रूप में लिखा जा सकता है।

पैर की लंबाई को उन रिश्तों के माध्यम से भी व्यक्त किया जा सकता है जिन्हें आप जानते हैं। साइन और कोसाइन के प्रमेय के अनुसार, पैर कर्ण के उत्पाद के बराबर है और इनमें से एक कार्य है। आप इसे और या कोटैंजेंट व्यक्त कर सकते हैं। पैर a पाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, सूत्र a \u003d b * tan CAB द्वारा। ठीक उसी तरह, दी गई स्पर्शरेखा या के आधार पर, दूसरा चरण निर्धारित किया जाता है।

वास्तुकला में, "पैर" शब्द का भी प्रयोग किया जाता है। यह एक आयनिक पूंजी पर लगाया जाता है और इसकी पीठ के बीच से होकर जाता है। अर्थात्, इस स्थिति में, इस पद से, दी गई रेखा पर लम्ब।

वेल्डिंग तकनीक में, "एक पट्टिका वेल्ड का पैर" होता है। अन्य मामलों की तरह, यह सबसे अधिक है कम दूरी. यहां हम दूसरे भाग की सतह पर स्थित सीम की सीमा तक वेल्ड किए जाने वाले भागों में से एक के बीच की खाई के बारे में बात कर रहे हैं।

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स्रोत:

• 2019 में पैर और कर्ण क्या है

इस लेख में, हम दिखाएंगे कि कैसे त्रिकोणमिति में कोण और संख्या के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की परिभाषाएं. यहां हम अंकन के बारे में बात करेंगे, अभिलेखों के उदाहरण देंगे, ग्राफिक चित्रण देंगे। अंत में, हम त्रिकोणमिति और ज्यामिति में साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की परिभाषाओं के बीच एक समानांतर रेखा खींचते हैं।

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साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट की परिभाषा

आइए देखें कि स्कूल गणित पाठ्यक्रम में साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कॉटेंजेंट की अवधारणा कैसे बनती है। ज्यामिति के पाठों में, एक समकोण त्रिभुज में ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और स्पर्शज्या की परिभाषा दी गई है। और बाद में त्रिकोणमिति का अध्ययन किया जाता है, जो रोटेशन के कोण और संख्या के साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट को संदर्भित करता है। हम ये सभी परिभाषाएँ देते हैं, उदाहरण देते हैं और आवश्यक टिप्पणियाँ देते हैं।

समकोण त्रिभुज में न्यून कोण

ज्यामिति के पाठ्यक्रम से, एक समकोण त्रिभुज में एक न्यून कोण की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटंगेंट की परिभाषाएँ ज्ञात होती हैं। उन्हें एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात के रूप में दिया जाता है। हम उनके सूत्र प्रस्तुत करते हैं।

परिभाषा।

समकोण त्रिभुज में न्यून कोण की ज्याविपरीत पैर का कर्ण से अनुपात है।

परिभाषा।

समकोण त्रिभुज में न्यून कोण की कोज्याआसन्न पैर का कर्ण से अनुपात है।

परिभाषा।

समकोण त्रिभुज में न्यून कोण की स्पर्श रेखाविपरीत पैर का आसन्न पैर से अनुपात है।

परिभाषा।

समकोण त्रिभुज में न्यून कोण का कोटैंजेंटआसन्न पैर का विपरीत पैर का अनुपात है।

साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटेंजेंट का अंकन भी वहां पेश किया जाता है - क्रमशः पाप, कॉस, टीजी और सीटीजी।

उदाहरण के लिए, यदि ABC एक समकोण C वाला समकोण त्रिभुज है, तो न्यून कोण A की ज्या विपरीत पैर BC और कर्ण AB के अनुपात के बराबर है, अर्थात sin∠A=BC/AB।

ये परिभाषाएँ आपको एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं की ज्ञात लंबाई से, साथ ही साइन, कोसाइन के ज्ञात मानों से, एक तीव्र कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट के मूल्यों की गणना करने की अनुमति देती हैं। स्पर्शरेखा, कोटैंजेंट और एक भुजा की लंबाई, अन्य भुजाओं की लंबाई ज्ञात कीजिए। उदाहरण के लिए, यदि हम जानते हैं कि एक समकोण त्रिभुज में पैर AC 3 है और कर्ण AB 7 है, तो हम न्यून कोण A की कोज्या की गणना परिभाषा के अनुसार कर सकते हैं: cos∠A=AC/AB=3/7 ।

रोटेशन का कोण

त्रिकोणमिति में, वे कोण को अधिक व्यापक रूप से देखना शुरू करते हैं - वे रोटेशन के कोण की अवधारणा का परिचय देते हैं। एक तीव्र कोण के विपरीत, रोटेशन का कोण 0 से 90 डिग्री तक फ्रेम द्वारा सीमित नहीं है, डिग्री (और रेडियन में) में रोटेशन के कोण को −∞ से +∞ तक किसी भी वास्तविक संख्या द्वारा व्यक्त किया जा सकता है।

इस प्रकाश में, ज्या, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटंगेंट की परिभाषाएं अब एक न्यून कोण नहीं हैं, बल्कि मनमाने परिमाण का कोण हैं - रोटेशन का कोण। वे बिंदु ए 1 के एक्स और वाई निर्देशांक के माध्यम से दिए गए हैं, जिसमें तथाकथित प्रारंभिक बिंदु ए (1, 0) बिंदु ओ के चारों ओर कोण α के माध्यम से घूमने के बाद गुजरता है - एक आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली की शुरुआत और यूनिट सर्कल का केंद्र।

परिभाषा।

घूर्णन कोण की ज्याα बिंदु A 1 की कोटि है, अर्थात sinα=y ।

परिभाषा।

घूर्णन कोण की कोज्याα को बिंदु A 1 का भुज कहा जाता है, अर्थात cosα=x ।

परिभाषा।

घूर्णन कोण की स्पर्शरेखाα, बिंदु A 1 की कोटि का उसके भुज, यानी tgα=y/x से अनुपात है।

परिभाषा।

रोटेशन के कोण का कोटैंजेंटα, बिंदु A 1 के भुज का उसके कोटि से अनुपात है, अर्थात ctgα=x/y ।

साइन और कोसाइन को किसी भी कोण α के लिए परिभाषित किया गया है, क्योंकि हम हमेशा एक बिंदु के भुज और कोटि को निर्धारित कर सकते हैं, जो कोण α के माध्यम से प्रारंभिक बिंदु को घुमाकर प्राप्त किया जाता है। और स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट किसी भी कोण के लिए परिभाषित नहीं हैं। स्पर्शरेखा ऐसे कोणों के लिए परिभाषित नहीं है α जिस पर प्रारंभिक बिंदु शून्य भुज (0, 1) या (0, -1) के साथ एक बिंदु पर जाता है, और यह कोणों पर होता है 90°+180° k , k∈Z (π /2+π के रेड)। दरअसल, रोटेशन के ऐसे कोणों पर, अभिव्यक्ति tgα=y/x का कोई मतलब नहीं है, क्योंकि इसमें शून्य से विभाजन होता है। कोटैंजेंट के लिए, यह ऐसे कोणों α के लिए परिभाषित नहीं है, जिस पर प्रारंभिक बिंदु शून्य कोटि (1, 0) या (-1, 0) के साथ एक बिंदु पर जाता है, और यह 180° k कोणों के लिए मामला है, k Z (π k rad)।

तो, साइन और कोसाइन को किसी भी रोटेशन कोण के लिए परिभाषित किया गया है, स्पर्शरेखा को 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad) को छोड़कर सभी कोणों के लिए परिभाषित किया गया है, और कोटैंजेंट 180 को छोड़कर सभी कोणों के लिए है। ° · k , k∈Z (π·k rad)।

हमारे लिए पहले से ज्ञात संकेतन पाप, कॉस, टीजी और सीटीजी की परिभाषाओं में प्रकट होते हैं, उनका उपयोग रोटेशन के कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटंगेंट को दर्शाने के लिए भी किया जाता है (कभी-कभी आप नोटेशन टैन और कोट को स्पर्शरेखा के अनुरूप पा सकते हैं और कोटैंजेंट)। तो 30 डिग्री के रोटेशन कोण की साइन को sin30° के रूप में लिखा जा सकता है, रिकॉर्ड tg(−24°17′) और ctgα रोटेशन कोण −24 डिग्री 17 मिनट के स्पर्शरेखा के अनुरूप होते हैं और रोटेशन कोण α के कोटेंजेंट के अनुरूप होते हैं। . याद रखें कि कोण के रेडियन माप को लिखते समय, अंकन "रेड" को अक्सर छोड़ दिया जाता है। उदाहरण के लिए, तीन पाई रेड के घूर्णन कोण के कोज्या को आमतौर पर cos3 दर्शाया जाता है।

इस पैराग्राफ के निष्कर्ष में, यह ध्यान देने योग्य है कि रोटेशन के कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट के बारे में बात करते समय, वाक्यांश "घूर्णन का कोण" या शब्द "रोटेशन" अक्सर छोड़ा जाता है। यही है, "रोटेशन अल्फा के कोण की साइन" वाक्यांश के बजाय, "अल्फा के कोण की साइन" वाक्यांश आमतौर पर प्रयोग किया जाता है, या इससे भी छोटा - "अल्फा की साइन"। वही कोसाइन, और स्पर्शरेखा, और कोटैंजेंट पर लागू होता है।

आइए यह भी कहें कि एक समकोण त्रिभुज में एक न्यून कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट की परिभाषाएं 0 से 90 तक के रोटेशन कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट के लिए दी गई परिभाषाओं के अनुरूप हैं। डिग्री। हम इसकी पुष्टि करेंगे।

नंबर

परिभाषा।

किसी संख्या की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटंगेंट t एक संख्या है जो क्रमशः t रेडियन में घूर्णन कोण की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटांगेंट के बराबर होती है।

उदाहरण के लिए, 8 की कोज्या, परिभाषा के अनुसार, 8 रेड के कोण के कोज्या के बराबर एक संख्या है। और 8 रेड में कोण की कोज्या एक के बराबर होती है, इसलिए संख्या 8 की कोज्या 1 के बराबर होती है।

किसी संख्या की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटंगेंट की परिभाषा के लिए एक और दृष्टिकोण है। यह इस तथ्य में समाहित है कि प्रत्येक वास्तविक संख्या t को आयताकार समन्वय प्रणाली के मूल में केंद्रित इकाई वृत्त का एक बिंदु सौंपा गया है, और साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट इस बिंदु के निर्देशांक के संदर्भ में निर्धारित किए जाते हैं। आइए इस पर अधिक विस्तार से ध्यान दें।

आइए हम दिखाते हैं कि वास्तविक संख्याओं और वृत्त के बिंदुओं के बीच पत्राचार कैसे स्थापित होता है:

• संख्या 0 को प्रारंभिक बिंदु A(1, 0) सौंपा गया है;
• एक धनात्मक संख्या t इकाई वृत्त पर एक बिंदु के साथ जुड़ा हुआ है, जो हमें तब मिलेगा जब हम वृत्त के चारों ओर प्रारंभिक बिंदु से वामावर्त दिशा में घूमते हैं और लंबाई t के पथ से गुजरते हैं;
• एक ऋणात्मक संख्या t इकाई वृत्त पर एक बिंदु के साथ जुड़ा हुआ है, जो हमें तब मिलेगा जब हम वृत्त के चारों ओर प्रारंभिक बिंदु से दक्षिणावर्त दिशा में घूमते हैं और लंबाई के पथ से गुजरते हैं |t| .

आइए अब हम संख्या t की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटंगेंट की परिभाषाओं पर चलते हैं। आइए मान लें कि संख्या टी सर्कल ए 1 (एक्स, वाई) के एक बिंदु से मेल खाती है (उदाहरण के लिए, संख्या &pi/2; बिंदु ए 1 (0, 1) से मेल खाती है)।

परिभाषा।

एक संख्या की ज्या t संख्या t के संगत इकाई वृत्त बिंदु की कोटि है, जो कि sint=y है।

परिभाषा।

एक संख्या की कोज्या t को संख्या t के संगत इकाई वृत्त के उस बिंदु का भुज कहा जाता है, जो कि लागत = x है।

परिभाषा।

एक संख्या की स्पर्शरेखा t, संख्या t के संगत इकाई वृत्त के बिंदु के भुज से कोटि का अनुपात है, अर्थात tgt=y/x। एक अन्य समकक्ष सूत्रीकरण में, संख्या t की स्पर्शरेखा इस संख्या की ज्या का कोज्या से अनुपात है, जो कि tgt=sint/cost है।

परिभाषा।

किसी संख्या का स्पर्शज्या t संख्या t के संगत इकाई वृत्त के बिंदु की कोटि से भुज का अनुपात है, अर्थात ctgt=x/y. एक अन्य सूत्रीकरण इस प्रकार है: संख्या t की स्पर्शरेखा संख्या t की कोज्या का संख्या t की ज्या से अनुपात है: ctgt=cost/sint.

यहां हम ध्यान दें कि अभी दी गई परिभाषाएं इस उपधारा की शुरुआत में दी गई परिभाषा से मेल खाती हैं। वास्तव में, संख्या t के संगत इकाई वृत्त का बिंदु t रेडियन के कोण के माध्यम से प्रारंभिक बिंदु को घुमाकर प्राप्त बिंदु के साथ मेल खाता है।

इस बिंदु को स्पष्ट करना भी उचित है। मान लें कि हमारे पास sin3 प्रविष्टि है। कैसे समझें कि संख्या 3 की ज्या या 3 रेडियन के घूर्णन कोण की ज्या प्रश्न में है? यह आमतौर पर संदर्भ से स्पष्ट होता है, अन्यथा इससे कोई फर्क नहीं पड़ता।

कोणीय और संख्यात्मक तर्क के त्रिकोणमितीय कार्य

पिछले पैराग्राफ में दी गई परिभाषाओं के अनुसार, प्रत्येक रोटेशन कोण α एक अच्छी तरह से परिभाषित मान sin α के साथ-साथ मान cos α से मेल खाता है। इसके अलावा, 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad) के अलावा सभी घूर्णन कोण tgα , और 180° k , k∈Z (π k rad ) के अलावा अन्य मानों के अनुरूप हैं। ctgα के मान हैं। इसलिए sinα, cosα, tgα और ctgα कोण α के कार्य हैं। दूसरे शब्दों में, ये कोणीय तर्क के कार्य हैं।

इसी तरह, हम एक संख्यात्मक तर्क के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट के कार्यों के बारे में बात कर सकते हैं। वास्तव में, प्रत्येक वास्तविक संख्या t sint के सुपरिभाषित मान के साथ-साथ लागत से मेल खाती है। इसके अलावा, π/2+π·k , k∈Z के अलावा अन्य सभी संख्याएँ tgt के मान से मेल खाती हैं, और ·k , k∈Z की संख्या ctgt के मानों से मेल खाती है।

साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट के कार्यों को कहा जाता है बुनियादी त्रिकोणमितीय कार्य.

संदर्भ से यह आमतौर पर स्पष्ट है कि हम कोणीय तर्क या संख्यात्मक तर्क के त्रिकोणमितीय कार्यों के साथ काम कर रहे हैं। अन्यथा, हम स्वतंत्र चर को कोण के माप (कोण तर्क) और संख्यात्मक तर्क दोनों के रूप में मान सकते हैं।

हालांकि, स्कूल मुख्य रूप से संख्यात्मक कार्यों का अध्ययन करता है, यानी ऐसे कार्य जिनके तर्क, साथ ही साथ उनके संबंधित कार्य मान संख्याएं हैं। इसलिए, यदि हम कार्यों के बारे में बात कर रहे हैं, तो त्रिकोणमितीय कार्यों को संख्यात्मक तर्कों के कार्यों के रूप में विचार करना उचित है।

ज्यामिति और त्रिकोणमिति से परिभाषाओं का कनेक्शन

यदि हम रोटेशन के कोण α को 0 से 90 डिग्री तक मानते हैं, तो रोटेशन के कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट की परिभाषा के त्रिकोणमिति के संदर्भ में डेटा पूरी तरह से साइन, कोसाइन की परिभाषाओं के अनुरूप है। , समकोण त्रिभुज में न्यून कोण की स्पर्श रेखा और कोटेंजेंट, जो ज्यामिति पाठ्यक्रम में दिए गए हैं। आइए इसकी पुष्टि करते हैं।

एक आयत में ड्रा करें कार्तीय प्रणालीऑक्सी यूनिट सर्कल का समन्वय करता है। प्रारंभिक बिंदु A(1, 0) पर ध्यान दें। आइए इसे 0 से 90 डिग्री के कोण α से घुमाते हैं, हमें बिंदु A 1 (x, y) मिलता है। आइए बिंदु A 1 से ऑक्‍स अक्ष पर लंब A 1 H को छोड़ दें।

यह देखना आसान है कि एक समकोण त्रिभुज में कोण A 1 OH घूर्णन कोण α के बराबर होता है, इस कोण से सटे पैर OH की लंबाई बिंदु A 1 के भुज के बराबर होती है, अर्थात |OH |=x, कोण A 1 H के विपरीत पैर की लंबाई बिंदु A 1 की कोटि के बराबर है, अर्थात |A 1 H|=y, और कर्ण OA 1 की लंबाई एक के बराबर है , क्योंकि यह इकाई वृत्त की त्रिज्या है। फिर, ज्यामिति से परिभाषा के अनुसार, एक समकोण त्रिभुज A 1 OH में एक न्यून कोण α की ज्या कर्ण के विपरीत पैर के अनुपात के बराबर होती है, अर्थात sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= वाई/1 = वाई। और त्रिकोणमिति से परिभाषा के अनुसार, रोटेशन के कोण की ज्या α बिंदु A 1 की कोटि के बराबर है, जो कि sinα=y है। इससे पता चलता है कि एक समकोण त्रिभुज में न्यून कोण की ज्या की परिभाषा 0 से 90 डिग्री के लिए α के रोटेशन के कोण की ज्या की परिभाषा के बराबर है।

इसी तरह, यह दिखाया जा सकता है कि एक न्यून कोण α के कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की परिभाषाएं रोटेशन के कोण के कोसाइन, टेंगेंट और कोटेंजेंट की परिभाषाओं के अनुरूप हैं।

ग्रंथ सूची।

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9. गुसेव वी.ए., मोर्दकोविच ए.जी.गणित (तकनीकी स्कूलों के आवेदकों के लिए एक मैनुअल): प्रोक। भत्ता।- एम।; उच्चतर स्कूल, 1984.-351 पी।, बीमार।

किसी कोण की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा, कोटंगेंट क्या है, यह आपको समकोण त्रिभुज को समझने में मदद करेगा।

एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ क्या कहलाती हैं? यह सही है, कर्ण और पैर: कर्ण वह पक्ष है जो समकोण के विपरीत स्थित है (हमारे उदाहरण में, यह पक्ष \ (AC \) है); पैर शेष दो भुजाएँ हैं \ (AB \) और \ (BC \) (वे जो समकोण के निकट हैं), इसके अलावा, यदि हम पैरों को कोण \ (BC \) के संबंध में मानते हैं, तो पैर \ (एबी \) आसन्न पैर है, और पैर \ (बीसी \) विपरीत है। तो, अब इस प्रश्न का उत्तर देते हैं: एक कोण की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटंगेंट क्या हैं?

कोण की ज्या- यह कर्ण के विपरीत (दूर) पैर का अनुपात है।

हमारे त्रिकोण में:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

कोण की कोज्या- यह कर्ण से सटे (करीबी) पैर का अनुपात है।

हमारे त्रिकोण में:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

कोण स्पर्शरेखा- यह विपरीत (दूर) पैर से आसन्न (करीब) का अनुपात है।

हमारे त्रिकोण में:

\[ टीजी\बीटा =\dfrac(बीसी)(एबी) \]

एक कोण का कोटैंजेंट- यह आसन्न (करीबी) पैर से विपरीत (दूर) का अनुपात है।

हमारे त्रिकोण में:

\[ सीटीजी \ बीटा = \ डीफ़्रैक (एबी) (बीसी) \]

ये परिभाषाएं आवश्यक हैं याद करना! यह याद रखना आसान बनाने के लिए कि किस पैर को किस से विभाजित करना है, आपको यह स्पष्ट रूप से समझने की आवश्यकता है कि स्पर्शरेखातथा कोटैंजेंटकेवल पैर बैठते हैं, और कर्ण केवल अंदर दिखाई देता है साइनसतथा कोज्या. और फिर आप संघों की एक श्रृंखला के साथ आ सकते हैं। उदाहरण के लिए, यह एक:

कोसाइन → स्पर्श करें → स्पर्श करें → आसन्न;

Cotangent→स्पर्श करें→स्पर्श करें→आसन्न।

सबसे पहले, यह याद रखना आवश्यक है कि एक त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात के रूप में साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट इन पक्षों की लंबाई (एक कोण पर) पर निर्भर नहीं करते हैं। भरोसा मत करो? फिर तस्वीर को देखकर सुनिश्चित करें:

उदाहरण के लिए, कोण \(\beta \) की कोज्या पर विचार करें। परिभाषा के अनुसार, एक त्रिभुज \(ABC \) से: \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), लेकिन हम त्रिभुज \(AHI \) से कोण \(\beta \) की कोज्या की गणना कर सकते हैं: \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). आप देखिए, भुजाओं की लंबाई अलग-अलग होती है, लेकिन एक कोण की कोज्या का मान समान होता है। इस प्रकार, साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कॉटेंजेंट के मान पूरी तरह से कोण के परिमाण पर निर्भर करते हैं।

यदि आप परिभाषाओं को समझते हैं, तो आगे बढ़ें और उन्हें ठीक करें!

नीचे दिए गए चित्र में दिखाए गए त्रिभुज \(ABC \) के लिए, हम पाते हैं \(\sin \ \alpha ,\ \cos \\alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\end(array) \)

अच्छा, क्या आपको मिल गया? फिर इसे स्वयं आज़माएं: कोण के लिए इसकी गणना करें \(\beta \) ।

उत्तर: \(\sin \ \beta =0.6;\ \cos \ \beta =0.8;\ tg\ \beta =0.75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

इकाई (त्रिकोणमितीय) वृत्त

डिग्री और रेडियन की अवधारणाओं को समझते हुए, हमने \ (1 \) के बराबर त्रिज्या वाले एक वृत्त पर विचार किया। ऐसे वृत्त को कहते हैं एक. यह त्रिकोणमिति के अध्ययन में बहुत उपयोगी है। इसलिए, हम इस पर थोड़ा और विस्तार से ध्यान केंद्रित करते हैं।

जैसा कि आप देख सकते हैं, यह सर्कल कार्तीय समन्वय प्रणाली में बनाया गया है। वृत्त की त्रिज्या एक के बराबर होती है, जबकि वृत्त का केंद्र मूल बिंदु पर स्थित होता है, त्रिज्या सदिश की प्रारंभिक स्थिति \(x \) अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ तय होती है (हमारे उदाहरण में, यह है त्रिज्या \(AB \))।

सर्कल पर प्रत्येक बिंदु दो संख्याओं से मेल खाता है: अक्ष के साथ समन्वय \(x \) और अक्ष के साथ समन्वय \(y \) । ये निर्देशांक संख्याएँ क्या हैं? और सामान्य तौर पर, उन्हें इस विषय से क्या लेना-देना है? ऐसा करने के लिए, समकोण त्रिभुज के बारे में याद रखें। ऊपर की आकृति में, आप दो पूर्ण समकोण त्रिभुज देख सकते हैं। त्रिभुज \(ACG \) पर विचार करें। यह आयताकार है क्योंकि \(CG \) \(x \) अक्ष के लंबवत है।

त्रिभुज \(ACG \) से \(\cos \ \alpha \) क्या है? सही बात है \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). इसके अलावा, हम जानते हैं कि \(AC \) इकाई वृत्त की त्रिज्या है, इसलिए \(AC=1 \) । इस मान को हमारे कोसाइन सूत्र में बदलें। यहाँ क्या होता है:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

और त्रिभुज \(ACG \) से \(\sin \ \alpha \) क्या है? ठीक है, बिल्कुल, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC) \)! इस सूत्र में त्रिज्या \ (AC \) का मान रखें और प्राप्त करें:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

तो, क्या आप मुझे बता सकते हैं कि बिंदु \(C \) के निर्देशांक क्या हैं, जो वृत्त से संबंधित है? अच्छा, कोई रास्ता नहीं? लेकिन क्या होगा अगर आपको पता चले कि \(\cos \ \alpha \) और \(\sin \alpha \) सिर्फ संख्याएं हैं? \(\cos \alpha \) किस निर्देशांक से मेल खाता है? ठीक है, निश्चित रूप से, निर्देशांक \(x \) ! और \(\sin \alpha \) किस निर्देशांक से मेल खाता है? यह सही है, \(y \) समन्वय! तो बिंदु \(सी(एक्स;वाई)=सी(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

फिर \(tg \alpha \) और \(ctg \alpha \) क्या हैं? यह सही है, आइए स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की उपयुक्त परिभाषाओं का उपयोग करें और इसे प्राप्त करें \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), एक \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

क्या होगा अगर कोण बड़ा है? यहाँ, उदाहरण के लिए, जैसा कि इस चित्र में है:

इस उदाहरण में क्या बदल गया है? आइए इसका पता लगाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम फिर से एक समकोण त्रिभुज की ओर मुड़ते हैं। एक समकोण त्रिभुज पर विचार करें \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : एक कोण (कोण के निकट \(\beta \) )। एक कोण के लिए साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट का मान क्या है \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? यह सही है, हम त्रिकोणमितीय फलनों की संगत परिभाषाओं का पालन करते हैं:

\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (ए)_(1))((सी)_(1)))=\dfrac(((सी)_(1))जी)(1)=((सी)_(1))जी=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((सी)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\angle ((सी) )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1) ))G)=\dfrac(x)(y)\end(array) \)

ठीक है, जैसा कि आप देख सकते हैं, कोण की ज्या का मान अभी भी निर्देशांक \ (y \) से मेल खाता है; कोण की कोज्या का मान - निर्देशांक \ (x \) ; और संगत अनुपात के लिए स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मान। इस प्रकार, ये संबंध त्रिज्या वेक्टर के किसी भी घुमाव पर लागू होते हैं।

यह पहले ही उल्लेख किया जा चुका है कि त्रिज्या वेक्टर की प्रारंभिक स्थिति \(x \) अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ है। अब तक हमने इस वेक्टर को वामावर्त घुमाया है, लेकिन अगर हम इसे दक्षिणावर्त घुमाते हैं तो क्या होगा? कुछ भी असाधारण नहीं, आपको एक निश्चित आकार का कोण भी मिलेगा, लेकिन केवल यह नकारात्मक होगा। इस प्रकार, त्रिज्या वेक्टर को वामावर्त घुमाते समय, हम प्राप्त करते हैं सकारात्मक कोण, और दक्षिणावर्त घुमाते समय - नकारात्मक।

तो, हम जानते हैं कि वृत्त के चारों ओर त्रिज्या सदिश की संपूर्ण क्रांति \(360()^\circ \) या \(2\pi \) है। क्या त्रिज्या वेक्टर को \(390()^\circ \) या \(-1140()^\circ \) द्वारा घुमाना संभव है? ठीक है, बेशक आप कर सकते हैं! पहले मामले में, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), इसलिए त्रिज्या वेक्टर एक पूर्ण रोटेशन करेगा और \(30()^\circ \) या \(\dfrac(\pi )(6) \) पर रुक जाएगा।

दूसरे मामले में, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), अर्थात्, त्रिज्या वेक्टर तीन पूर्ण चक्कर लगाएगा और स्थिति \(-60()^\circ \) या \(-\dfrac(\pi )(3) \) पर रुक जाएगा।

इस प्रकार, उपरोक्त उदाहरणों से, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि कोण जो \(360()^\circ \cdot m \) या \(2\pi \cdot m \) से भिन्न होते हैं (जहां \(m \) कोई पूर्णांक है) त्रिज्या वेक्टर की समान स्थिति के अनुरूप।

नीचे दिया गया चित्र कोण दिखाता है \(\beta =-60()^\circ \) । एक ही छवि कोने से मेल खाती है \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \)आदि। इस सूची को अनिश्चित काल तक जारी रखा जा सकता है। इन सभी कोणों को सामान्य सूत्र द्वारा लिखा जा सकता है \(\beta +360()^\circ \cdot m \)या \(\beta +2\pi \cdot m \) (जहां \(m \) कोई पूर्णांक है)

\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)

अब, बुनियादी त्रिकोणमितीय कार्यों की परिभाषाओं को जानने और यूनिट सर्कल का उपयोग करके, यह उत्तर देने का प्रयास करें कि मान किसके बराबर हैं:

\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)

आपकी सहायता के लिए यहां एक इकाई मंडल है:

कोई कठिनाई? तो चलिए इसका पता लगाते हैं। तो हम जानते हैं कि:

\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x) )(y).\end(सरणी) \)

यहां से, हम कोण के कुछ मापों के अनुरूप बिंदुओं के निर्देशांक निर्धारित करते हैं। ठीक है, चलो क्रम में शुरू करते हैं: कोने में \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \)निर्देशांक के साथ एक बिंदु से मेल खाती है \(\left(0;1 \right) \) , इसलिए:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- मौजूद नहीं;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

इसके अलावा, उसी तर्क का पालन करते हुए, हम पाते हैं कि कोनों में \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ )निर्देशांक के साथ बिंदुओं के अनुरूप \(\बाएं(-1;0 \दाएं),\पाठ( )\बाएं(0;-1 \दाएं),\पाठ( )\बाएं(1;0 \दाएं),\पाठ( )\बाएं(0 ;1 \दाएं) \), क्रमश। यह जानकर, त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों को संबंधित बिंदुओं पर निर्धारित करना आसान है। पहले इसे स्वयं आजमाएं, फिर उत्तरों की जांच करें।

उत्तर:

\(\displaystyle \sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =-1 \)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- मौजूद नहीं

\(\sin \ 270()^\circ =-1 \)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- मौजूद नहीं

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \ 360()^\circ =0 \)

\(\cos \ 360()^\circ =1 \)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- मौजूद नहीं

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- मौजूद नहीं

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

इस प्रकार, हम निम्नलिखित तालिका बना सकते हैं:

इन सभी मूल्यों को याद रखने की आवश्यकता नहीं है। यूनिट सर्कल पर बिंदुओं के निर्देशांक और त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों के बीच पत्राचार को याद रखना पर्याप्त है:

\(\ बायां। dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(याद रखने या आउटपुट करने में सक्षम होने की आवश्यकता है !! \) !}

और यहाँ कोणों के त्रिकोणमितीय कार्यों के मान हैं और \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4) \)नीचे दी गई तालिका में दिया गया है, आपको याद रखना चाहिए:

डरने की जरूरत नहीं है, अब हम संबंधित मूल्यों के काफी सरल संस्मरण के उदाहरणों में से एक दिखाएंगे:

इस पद्धति का उपयोग करने के लिए, तीनों कोण मापों के लिए साइन मानों को याद रखना महत्वपूर्ण है ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3) \)), साथ ही \(30()^\circ \) में कोण के स्पर्शरेखा का मान। इन \(4\) मानों को जानकर, संपूर्ण तालिका को पुनर्स्थापित करना काफी आसान है - कोसाइन मान तीरों के अनुसार स्थानांतरित किए जाते हैं, अर्थात्:

\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\ \end(सरणी) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), यह जानकर, के लिए मूल्यों को पुनर्स्थापित करना संभव है \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). अंश "\(1 \) " से मेल खाएगा \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) , और हर "\(\sqrt(\text(3)) \) " से मेल खाएगा \ (\पाठ (tg)\ 60()^\circ \ \) । चित्र में दिखाए गए तीरों के अनुसार कोटैंजेंट मूल्यों को स्थानांतरित किया जाता है। यदि आप इसे समझते हैं और तीर के साथ योजना को याद करते हैं, तो यह तालिका से केवल \(4 \) मानों को याद रखने के लिए पर्याप्त होगा।

एक वृत्त पर एक बिंदु के निर्देशांक

क्या वृत्त के केंद्र के निर्देशांक, उसकी त्रिज्या और घूर्णन कोण को जानकर वृत्त पर एक बिंदु (इसके निर्देशांक) खोजना संभव है? ठीक है, बेशक आप कर सकते हैं! आइए एक बिंदु के निर्देशांक खोजने के लिए एक सामान्य सूत्र प्राप्त करें। यहाँ, उदाहरण के लिए, हमारे पास ऐसा एक वृत्त है:

हमें वह बिंदु दिया गया है \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)वृत्त का केंद्र है। वृत्त की त्रिज्या \(1,5 \) है। बिंदु \(O \) को \(\delta \) डिग्री से घुमाकर प्राप्त किए गए बिंदु \(P \) के निर्देशांक को खोजना आवश्यक है।

जैसा कि चित्र से देखा जा सकता है, बिंदु \ (P \) का निर्देशांक \ (x \) खंड \ (TP=UQ=UK+KQ \) की लंबाई से मेल खाता है। खंड की लंबाई \ (यूके \) सर्कल के केंद्र के निर्देशांक \ (x \) से मेल खाती है, यानी यह \ (3 \) के बराबर है। खंड की लंबाई \(KQ \) कोसाइन की परिभाषा का उपयोग करके व्यक्त की जा सकती है:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

तब हमारे पास वह बिंदु \(P \) के लिए निर्देशांक है \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).

इसी तर्क से, हम बिंदु \(P\) के लिए y निर्देशांक का मान ज्ञात करते हैं। इस तरह,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).

तो में सामान्य दृष्टि सेबिंदु निर्देशांक सूत्रों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \\delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \ डेल्टा \ अंत (सरणी) \), कहाँ पे

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - वृत्त के केंद्र के निर्देशांक,

\(r\) - वृत्त त्रिज्या,

\(\delta \) - सदिश त्रिज्या का घूर्णन कोण।

जैसा कि आप देख सकते हैं, हम जिस यूनिट सर्कल पर विचार कर रहे हैं, उसके लिए ये सूत्र काफी कम हो गए हैं, क्योंकि केंद्र के निर्देशांक शून्य हैं, और त्रिज्या एक के बराबर है:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)

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अनुदेश

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टिप्पणी

एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं की गणना करते समय, इसकी विशेषताओं का ज्ञान हो सकता है:
1) यदि एक समकोण का पैर 30 डिग्री के कोण के विपरीत स्थित है, तो यह आधे कर्ण के बराबर है;
2) कर्ण हमेशा किसी भी पैर से लंबा होता है;
3) यदि एक वृत्त एक समकोण त्रिभुज के चारों ओर परिबद्ध है, तो उसका केंद्र कर्ण के मध्य में होना चाहिए।

कर्ण एक समकोण त्रिभुज की भुजा है जो 90 डिग्री के कोण के विपरीत है। इसकी लंबाई की गणना करने के लिए, एक पैर की लंबाई और त्रिभुज के तीव्र कोणों में से एक का मान जानना पर्याप्त है।

अनुदेश

आइए जानते हैं इनमें से एक पैर और उससे लगे कोण को। निश्चितता के लिए, इसे टांग होने दें |AB| और कोण α। तब हम सूत्र का उपयोग कर सकते हैं त्रिकोणमितीय कोसाइनआसन्न पैर के अनुपात का कोज्या है। वे। हमारे अंकन में cos α = |AB| / |एसी|. यहाँ से हम कर्ण की लंबाई प्राप्त करते हैं |AC| = |एबी| / cosα.
अगर हम पैर जानते हैं |BC| और कोण α, फिर हम कोण की ज्या की गणना के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं - कोण की ज्या विपरीत पैर के कर्ण के अनुपात के बराबर होती है: sin α = |BC| / |एसी|. हम पाते हैं कि कर्ण की लंबाई के रूप में पाया जाता है |AC| = |बीसी| / cosα.

स्पष्टता के लिए, एक उदाहरण पर विचार करें। माना पैर की लंबाई |AB| = 15. और कोण α = 60°। हमें मिलता है |एसी| = 15 / क्योंकि 60° = 15 / 0.5 = 30।
विचार करें कि आप पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके अपना परिणाम कैसे देख सकते हैं। ऐसा करने के लिए, हमें दूसरे चरण की लंबाई की गणना करने की आवश्यकता है |BC|। कोण tg α = |BC| . के स्पर्शरेखा के लिए सूत्र का उपयोग करना / |एसी|, हम प्राप्त करते हैं |बीसी| = |एबी| * टीजी α = 15 * टीजी 60° = 15 * 3। इसके बाद, हम पाइथागोरस प्रमेय लागू करते हैं, हमें 15^2 + (15 * √3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900 मिलता है। सत्यापन किया जाता है।

उपयोगी सलाह

कर्ण की गणना करने के बाद, जांचें कि क्या परिणामी मान पाइथागोरस प्रमेय को संतुष्ट करता है।

स्रोत:

• 1 से 10000 तक अभाज्य संख्याओं की तालिका

पैरएक समकोण त्रिभुज की दो छोटी भुजाओं के नाम लिखिए जो इसका शीर्ष बनाती हैं, जिसका मान 90° है। ऐसे त्रिभुज की तीसरी भुजा कर्ण कहलाती है। त्रिभुज के ये सभी पक्ष और कोण कुछ रिश्तों से जुड़े हुए हैं जो आपको पैर की लंबाई की गणना करने की अनुमति देते हैं यदि कई अन्य पैरामीटर ज्ञात हैं।

अनुदेश

यदि आप समकोण त्रिभुज की अन्य दो भुजाओं (B और C) की लंबाई जानते हैं, तो पैर (A) के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करें। इस प्रमेय में कहा गया है कि वर्ग की टाँगों की लंबाई का योग कर्ण के वर्ग के बराबर होता है। इससे यह पता चलता है कि प्रत्येक पैर की लंबाई कर्ण की लंबाई के वर्गमूल के बराबर है और दूसरा पैर: A=√(C²-B²)।

एक न्यून कोण के लिए प्रत्यक्ष त्रिकोणमितीय फलन "साइन" की परिभाषा का उपयोग करें, यदि आप परिकलित पैर के विपरीत कोण (α) का मान और कर्ण (C) की लंबाई जानते हैं। यह बताता है कि इस ज्ञात की ज्या वांछित पैर की लंबाई और कर्ण की लंबाई का अनुपात है। यह है कि वांछित पैर की लंबाई कर्ण की लंबाई और ज्ञात कोण की ज्या के गुणनफल के बराबर है: A=C∗sin(α)। समान ज्ञात मानों के लिए, आप कोसेकेंट का उपयोग कर सकते हैं और कर्ण की लंबाई को ज्ञात कोण A=C/cosec(α) के कोसेकेंट से विभाजित करके वांछित लंबाई की गणना कर सकते हैं।

प्रत्यक्ष त्रिकोणमितीय कोसाइन फ़ंक्शन की परिभाषा का उपयोग करें यदि, कर्ण (सी) की लंबाई के अलावा, आवश्यक कोण के निकट न्यून कोण (β) का मान भी जाना जाता है। इस कोण की कोज्या वांछित पैर और कर्ण की लंबाई का अनुपात है, और इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि पैर की लंबाई कर्ण की लंबाई और ज्ञात कोण की कोज्या के गुणनफल के बराबर है: A=C∗cos(β). आप छेदक फलन की परिभाषा का उपयोग कर सकते हैं और कर्ण की लंबाई को ज्ञात कोण A=C/sec(β) के छेदक से विभाजित करके वांछित मान की गणना कर सकते हैं।

त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन स्पर्शरेखा के व्युत्पन्न के लिए एक समान परिभाषा से आवश्यक सूत्र प्राप्त करें, यदि वांछित पैर (ए) के विपरीत तीव्र कोण (α) के मूल्य के अतिरिक्त, दूसरे पैर (बी) की लंबाई है ज्ञात। वांछित पैर के विपरीत कोण की स्पर्शरेखा इस पैर की लंबाई और दूसरे पैर की लंबाई का अनुपात है। इसका मतलब है कि वांछित मान ज्ञात पैर की लंबाई और ज्ञात कोण की स्पर्शरेखा के गुणनफल के बराबर होगा: A=B∗tg(α)। इन समान ज्ञात मात्राओं से, कोटैंजेंट फ़ंक्शन की परिभाषा का उपयोग करके एक और सूत्र प्राप्त किया जा सकता है। इस मामले में, पैर की लंबाई की गणना करने के लिए, ज्ञात पैर की लंबाई और ज्ञात कोण के कोटेंजेंट के अनुपात को खोजना आवश्यक होगा: ए = बी/सीटीजी (α)।

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शब्द "केट" ग्रीक से रूसी में आया था। सटीक अनुवाद में, इसका अर्थ है एक साहुल रेखा, यानी पृथ्वी की सतह के लंबवत। गणित में, टाँगों को वे भुजाएँ कहते हैं जो एक समकोण त्रिभुज का समकोण बनाती हैं। इस कोण के सम्मुख भुजा को कर्ण कहते हैं। शब्द "लेग" का उपयोग वास्तुकला और वेल्डिंग तकनीक में भी किया जाता है।

इस कोण का छेदक कर्ण को आसन्न पैर से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है, अर्थात secCAB=c/b। यह कोज्या का व्युत्क्रम निकालता है, अर्थात इसे सूत्र secCAB=1/cosSAB द्वारा व्यक्त किया जा सकता है।
कोसेकेंट कर्ण को विपरीत पैर से विभाजित करने के भागफल के बराबर होता है और ज्या का व्युत्क्रम होता है। इसकी गणना सूत्र cosecCAB=1/sinCAB . का उपयोग करके की जा सकती है

दोनों पैर आपस में जुड़े हुए हैं और स्पर्शरेखा हैं। इस मामले में, स्पर्शरेखा पक्ष ए से साइड बी का अनुपात होगा, यानी विपरीत पैर से आसन्न एक। इस अनुपात को सूत्र tgCAB=a/b द्वारा व्यक्त किया जा सकता है। तदनुसार, प्रतिलोम अनुपात कोटैंजेंट होगा: ctgCAB=b/a.

कर्ण और दोनों पैरों के आकार के बीच का अनुपात प्राचीन ग्रीक पाइथागोरस द्वारा निर्धारित किया गया था। प्रमेय, उसका नाम, लोग अभी भी उपयोग करते हैं। यह कहता है कि कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर है, अर्थात c2 \u003d a2 + b2। तदनुसार, प्रत्येक पैर कर्ण और दूसरे पैर के वर्गों के बीच के अंतर के वर्गमूल के बराबर होगा। यह सूत्र b=√(c2-a2) के रूप में लिखा जा सकता है।

पैर की लंबाई को उन रिश्तों के माध्यम से भी व्यक्त किया जा सकता है जिन्हें आप जानते हैं। साइन और कोसाइन के प्रमेय के अनुसार, पैर कर्ण के उत्पाद के बराबर है और इनमें से एक कार्य है। आप इसे और या कोटैंजेंट व्यक्त कर सकते हैं। पैर a पाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, सूत्र a \u003d b * tan CAB द्वारा। ठीक उसी तरह, दी गई स्पर्शरेखा या के आधार पर, दूसरा चरण निर्धारित किया जाता है।

वास्तुकला में, "पैर" शब्द का भी प्रयोग किया जाता है। यह एक आयनिक पूंजी पर लगाया जाता है और इसकी पीठ के बीच से होकर जाता है। अर्थात्, इस स्थिति में, इस पद से, दी गई रेखा पर लम्ब।

वेल्डिंग तकनीक में, "एक पट्टिका वेल्ड का पैर" होता है। अन्य मामलों की तरह, यह सबसे छोटी दूरी है। यहां हम दूसरे भाग की सतह पर स्थित सीम की सीमा तक वेल्ड किए जाने वाले भागों में से एक के बीच की खाई के बारे में बात कर रहे हैं।

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स्रोत:

• 2019 में पैर और कर्ण क्या है

जीवन में, हमें अक्सर निपटना पड़ता है गणित की समस्याये: स्कूल में, विश्वविद्यालय में, और फिर अपने बच्चे की मदद करना गृहकार्य. कुछ व्यवसायों के लोग दैनिक आधार पर गणित का सामना करेंगे। इसलिए, गणितीय नियमों को याद रखना या याद करना उपयोगी है। इस लेख में, हम उनमें से एक का विश्लेषण करेंगे: एक समकोण त्रिभुज का पैर ढूँढना।

एक समकोण त्रिभुज क्या है

सबसे पहले, आइए याद करें कि एक समकोण त्रिभुज क्या है। सही त्रिकोण है ज्यामितीय आकृतितीन खंडों में से जो उन बिंदुओं को जोड़ते हैं जो एक ही सीधी रेखा पर नहीं होते हैं, और इस आकृति का एक कोण 90 डिग्री है। एक समकोण बनाने वाली भुजाओं को टांगें कहते हैं, और जो भुजा समकोण के विपरीत होती है उसे कर्ण कहा जाता है।

एक समकोण त्रिभुज का पाद ढूँढना

पैर की लंबाई का पता लगाने के कई तरीके हैं। मैं उन पर अधिक विस्तार से विचार करना चाहूंगा।

एक समकोण त्रिभुज का पाद ज्ञात करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय

यदि हम कर्ण और पैर को जानते हैं, तो हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके अज्ञात पैर की लंबाई का पता लगा सकते हैं। ऐसा लगता है: "कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर है।" सूत्र: c²=a²+b², जहां c कर्ण है, a और b पैर हैं। हम सूत्र को रूपांतरित करते हैं और प्राप्त करते हैं: a²=c²-b²।

उदाहरण। कर्ण 5 सेमी है, और पैर 3 सेमी है। हम सूत्र को बदलते हैं: c²=a²+b² → a²=c²-b²। अगला, हम तय करते हैं: a²=5²-3²; ए²=25-9; ए² = 16; ए = √16; ए = 4 (सेमी)।

एक समकोण त्रिभुज का पाद ज्ञात करने के लिए त्रिकोणमितीय संबंध

यदि किसी समकोण त्रिभुज की कोई अन्य भुजा और कोई न्यून कोण ज्ञात हो तो अज्ञात पैर का पता लगाना भी संभव है। त्रिकोणमितीय कार्यों का उपयोग करके पैर को खोजने के लिए चार विकल्प हैं: साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, कोटेंजेंट द्वारा। समस्याओं को हल करने के लिए, नीचे दी गई तालिका हमारी मदद करेगी। आइए इन विकल्पों पर विचार करें।

ज्या का प्रयोग करते हुए एक समकोण त्रिभुज का पाद ज्ञात कीजिए

कोण की ज्या (पाप) कर्ण के विपरीत पैर का अनुपात है। सूत्र: पाप \u003d ए / सी, जहां ए दिए गए कोण के विपरीत पैर है, और सी कर्ण है। अगला, हम सूत्र को रूपांतरित करते हैं और प्राप्त करते हैं: a=sin*c.

उदाहरण। कर्ण 10 सेमी और कोण A 30 डिग्री है। तालिका के अनुसार हम कोण A की ज्या की गणना करते हैं, यह 1/2 के बराबर है। फिर, रूपांतरित सूत्र का उपयोग करके, हम हल करते हैं: a=sin∠A*c; ए = 1/2 * 10; ए = 5 (सेमी)।

कोसाइन का उपयोग करके एक समकोण त्रिभुज का पाद ज्ञात कीजिए

कोण की कोज्या (cos) कर्ण से सटे पैर का अनुपात है। सूत्र: cos \u003d b / c, जहाँ b दिए गए कोण से सटा पैर है, और c कर्ण है। आइए सूत्र को रूपांतरित करें और प्राप्त करें: b=cos*c.

उदाहरण। कोण ए 60 डिग्री है, कर्ण 10 सेमी है। तालिका के अनुसार, हम कोण ए के कोसाइन की गणना करते हैं, यह 1/2 के बराबर है। अगला, हम हल करते हैं: b=cos∠A*c; बी = 1/2 * 10, बी = 5 (सेमी)।

स्पर्शरेखा का प्रयोग करते हुए एक समकोण त्रिभुज का पाद ज्ञात कीजिए

एक कोण (tg) की स्पर्शरेखा विपरीत पैर का आसन्न एक से अनुपात है। सूत्र: टीजी \u003d ए / बी, जहां ए कोने के विपरीत पैर है, और बी आसन्न है। आइए सूत्र को रूपांतरित करें और प्राप्त करें: a=tg*b.

उदाहरण। कोण ए 45 डिग्री है, कर्ण 10 सेमी है। तालिका के अनुसार, हम कोण ए के स्पर्शरेखा की गणना करते हैं, यह हल के बराबर है: a=tg∠A*b; ए = 1 * 10; ए = 10 (सेमी)।

कोटैंजेंट का उपयोग करके एक समकोण त्रिभुज का पाद ज्ञात कीजिए

एक कोण (सीटीजी) का कोटेंजेंट आसन्न पैर का विपरीत पैर का अनुपात है। सूत्र: सीटीजी \u003d बी / ए, जहां बी कोने से सटे पैर है, और विपरीत है। दूसरे शब्दों में, कोटैंजेंट "उल्टे स्पर्शरेखा" है। हमें मिलता है: बी = सीटीजी * ए।

उदाहरण। कोण A 30 डिग्री है, विपरीत पैर 5 सेमी है। तालिका के अनुसार, कोण A की स्पर्शरेखा √3 है। परिकलित करें: b=ctg∠A*a; बी = √3 * 5; बी = 5√3 (सेमी)।

तो, अब आप जानते हैं कि एक समकोण त्रिभुज में टांग को कैसे खोजना है। जैसा कि आप देख सकते हैं, यह इतना मुश्किल नहीं है, मुख्य बात सूत्रों को याद रखना है।