भिन्न समाधान नियमों के साथ समीकरण। "भिन्नात्मक तर्कसंगत समीकरणों का समाधान"

हर में एक चर वाले समीकरणों को दो तरीकों से हल किया जा सकता है:

एक आम भाजक के लिए अंशों को कम करना

अनुपात की मूल संपत्ति का उपयोग करना

चुनी हुई विधि के बावजूद, समीकरण की जड़ों को खोजने के बाद, पाए गए मानों में से स्वीकार्य मानों को चुनना आवश्यक है, अर्थात वे जो हर को $0$ में नहीं बदलते हैं।

1 रास्ता। भिन्नों को एक सामान्य भाजक में लाना।

उदाहरण 1

$\frac(2x+3)(2x-1)=\frac(x-5)(x+3)$

समाधान:

1. भिन्न को समीकरण के दाईं ओर से बाईं ओर ले जाएं

\[\frac(2x+3)(2x-1)-\frac(x-5)(x+3)=0\]

इसे सही ढंग से करने के लिए, हम याद करते हैं कि जब तत्वों को समीकरण के दूसरे भाग में ले जाया जाता है, तो व्यंजकों के सामने का चिन्ह विपरीत में बदल जाता है। अत: यदि भिन्न के आगे दायीं ओर "+" का चिन्ह हो तो बायीं ओर उसके सामने "-" का चिन्ह होगा।

2. अब हम देखते हैं कि भिन्नों के अलग-अलग हर होते हैं, जिसका अर्थ है कि अंतर को पूरा करने के लिए, भिन्नों को एक सामान्य हर में लाना आवश्यक है। आम भाजक मूल भिन्नों के हर में बहुपदों का गुणनफल होगा: $(2x-1)(x+3)$

एक समान व्यंजक प्राप्त करने के लिए, पहले भिन्न के अंश और हर को बहुपद $(x+3)$ से गुणा किया जाना चाहिए, और दूसरे को बहुपद $(2x-1)$ से गुणा किया जाना चाहिए।

\[\frac((2x+3)(x+3))((2x-1)(x+3))-\frac((x-5)(2x-1))((x+3)( 2x-1))=0\]

आइए पहले अंश के अंश में परिवर्तन करें - हम बहुपदों को गुणा करेंगे। याद रखें कि इसके लिए पहले बहुपद के पहले पद को गुणा करना होगा, दूसरे बहुपद के प्रत्येक पद से गुणा करना होगा, फिर पहले बहुपद के दूसरे पद को दूसरे बहुपद के प्रत्येक पद से गुणा करना होगा और परिणाम जोड़ना होगा।

\[\बाएं(2x+3\दाएं)\बाएं(x+3\दाएं)=2x\cdot x+2x\cdot 3+3\cdot x+3\cdot 3=(2x)^2+6x+3x +9\]

हम परिणामी व्यंजक में समान पद प्रस्तुत करते हैं

\[\बाएं(2x+3\दाएं)\बाएं(x+3\दाएं)=2x\cdot x+2x\cdot 3+3\cdot x+3\cdot 3=(2x)^2+6x+3x +9=\] \[(=2x)^2+9x+9\]

दूसरे भिन्न के अंश में एक समान परिवर्तन करें - हम बहुपदों को गुणा करेंगे

$\बाएं(x-5\दाएं)\बाएं(2x-1\दाएं)=x\cdot 2x-x\cdot 1-5\cdot 2x+5\cdot 1=(2x)^2-x-10x+ 5 =(2x)^2-11x+5$

तब समीकरण रूप लेगा:

\[\frac((2x)^2+9x+9)((2x-1)(x+3))-\frac((2x)^2-11x+5)((x+3)(2x- 1))=0\]

अब के साथ भिन्न एक ही भाजक, तो आप घटाव कर सकते हैं। याद रखें कि पहली भिन्न के अंश से समान हर वाली भिन्नों को घटाते समय, दूसरे भिन्न के अंश को घटाना आवश्यक होता है, हर को वही छोड़ कर

\[\frac((2x)^2+9x+9-((2x)^2-11x+5))((2x-1)(x+3))=0\]

आइए एक्सप्रेशन को अंश में बदलें। "-" चिह्न से पहले कोष्ठक को खोलने के लिए, कोष्ठक में पदों के सामने सभी चिह्नों को उलट देना चाहिए

\[(2x)^2+9x+9-\left((2x)^2-11x+5\right)=(2x)^2+9x+9-(2x)^2+11x-5\]

हम समान शब्दों को प्रस्तुत करते हैं

$(2x)^2+9x+9-\left((2x)^2-11x+5\right)=(2x)^2+9x+9-(2x)^2+11x-5=20x+4 $

तब भिन्न रूप ले लेगा

\[\frac((\rm 20x+4))((2x-1)(x+3))=0\]

3. एक भिन्न $0$ के बराबर होती है यदि उसका अंश 0 है। इसलिए, हम भिन्न के अंश को $0$ के बराबर करते हैं।

\[(\rm 20x+4=0)\]

आइए रैखिक समीकरण को हल करें:

4. आइए जड़ों का नमूना लें। इसका मतलब यह है कि यह जांचना आवश्यक है कि मूल भिन्नों के हर मूल के मिलने पर $0$ में बदल जाते हैं या नहीं।

हमने शर्त रखी है कि हर $0$ . के बराबर नहीं है

x$\ne 0.5$ x$\ne -3$

इसका मतलब है कि $-3$ और $0.5$ को छोड़कर, चर के सभी मानों की अनुमति है।

हमें जो रूट मिला है वह एक वैध मान है, इसलिए इसे सुरक्षित रूप से समीकरण की जड़ माना जा सकता है। यदि पाया गया मूल मान्य मान नहीं होता, तो ऐसी जड़ बाहरी होगी और निश्चित रूप से, उत्तर में शामिल नहीं की जाएगी।

उत्तर:$-0,2.$

अब हम एक समीकरण को हल करने के लिए एक एल्गोरिथम लिख सकते हैं जिसमें हर में एक चर शामिल है

एक समीकरण को हल करने के लिए एक एल्गोरिथ्म जिसमें हर में एक चर होता है

समीकरण के दाईं ओर से सभी तत्वों को बाईं ओर ले जाएं। एक समान समीकरण प्राप्त करने के लिए, दाईं ओर के भावों के सामने के सभी संकेतों को विपरीत में बदलना आवश्यक है

यदि बाईं ओर हमें के साथ एक व्यंजक मिलता है विभिन्न भाजक, फिर हम भिन्न के मुख्य गुण का उपयोग करते हुए उन्हें सामान्य में लाते हैं। समान परिवर्तनों का उपयोग करके परिवर्तन करें और $0$ के बराबर अंतिम अंश प्राप्त करें।

अंश को $0$ के बराबर करें और परिणामी समीकरण की जड़ें खोजें।

आइए जड़ों का नमूना लें, यानी। वैध चर मान खोजें जो हर को $0$ में नहीं बदलते हैं।

2 रास्ते। अनुपात की मूल संपत्ति का उपयोग करना

किसी अनुपात का मुख्य गुण यह है कि अनुपात के चरम पदों का गुणनफल मध्य पदों के गुणनफल के बराबर होता है।

उदाहरण 2

हम उपयोग करते हैं दी गई संपत्तिइस कार्य को हल करने के लिए

\[\frac(2x+3)(2x-1)=\frac(x-5)(x+3)\]

1. आइए अनुपात के चरम और मध्य सदस्यों के गुणनफल को खोजें और समान करें।

$\बाएं(2x+3\दाएं)\cdot(\ x+3)=\बाएं(x-5\दाएं)\cdot(2x-1)$

\[(2x)^2+3x+6x+9=(2x)^2-10x-x+5\]

परिणामी समीकरण को हल करते हुए, हम मूल के मूल ज्ञात करते हैं

2. आइए एक चर के स्वीकार्य मान ज्ञात करें।

पिछले समाधान (पहला तरीका) से हमने पहले ही पाया है कि $-3$ और $0.5$ को छोड़कर किसी भी मान की अनुमति है।

फिर, यह स्थापित करने के बाद कि पाया गया रूट एक वैध मान है, हमने पाया कि $-0.2$ रूट होगा।

भिन्नों वाले समीकरण स्वयं कठिन और बहुत रोचक नहीं होते हैं। भिन्नात्मक समीकरणों के प्रकार और उन्हें हल करने के तरीकों पर विचार करें।

अंश के साथ समीकरणों को कैसे हल करें - अंश में x

यदि एक भिन्नात्मक समीकरण दिया जाता है, जहां अंश में अज्ञात है, तो समाधान के लिए अतिरिक्त शर्तों की आवश्यकता नहीं होती है और बिना हल किए हल किया जाता है अतिरिक्त परेशानी. सामान्य फ़ॉर्मऐसा समीकरण x/a + b = c है, जहां x अज्ञात है, a, b और c साधारण संख्याएं हैं।

एक्स: एक्स/5 + 10 = 70 खोजें।

समीकरण को हल करने के लिए, आपको भिन्नों से छुटकारा पाना होगा। समीकरण के प्रत्येक पद को 5: 5x/5 + 5x10 = 70x5 से गुणा करें। 5x और 5 को घटाया जाता है, 10 और 70 को 5 से गुणा किया जाता है और हमें प्राप्त होता है: x + 50 = 350 => x = 350 - 50 = 300।

एक्स: एक्स/5 + एक्स/10 = 90 खोजें।

यह उदाहरण पहले का थोड़ा अधिक जटिल संस्करण है। यहां दो समाधान हैं।

• विकल्प 1: समीकरण के सभी पदों को बड़े हर से गुणा करके भिन्नों से छुटकारा पाएं, यानी 10: 10x/5 + 10x/10 = 90x10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 => x= 300.
• विकल्प 2: समीकरण के बाईं ओर जोड़ें। x/5 + x/10 = 90. सामान्य हर 10 है। 10 को 5 से विभाजित करें, x से गुणा करें, हमें 2x मिलता है। 10 को 10 से भाग देने पर, x से गुणा करने पर हमें x: 2x+x/10 = 90 मिलता है। इसलिए 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300।

अक्सर ऐसे भिन्नात्मक समीकरण होते हैं जिनमें x समान चिह्न के विपरीत पक्षों पर होते हैं। ऐसी स्थिति में, x के साथ सभी भिन्नों को एक दिशा में और संख्याओं को दूसरी दिशा में स्थानांतरित करना आवश्यक है।

• एक्स खोजें: 3x/5 = 130 - 2x/5।
• विपरीत चिन्ह के साथ 2x/5 को दाईं ओर ले जाएँ: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130।
• हम 5x/5 घटाते हैं और प्राप्त करते हैं: x = 130।

भिन्न के साथ समीकरण को कैसे हल करें - x हर में

इस प्रकार के भिन्नात्मक समीकरणों के लिए अतिरिक्त शर्तें लिखने की आवश्यकता होती है। इन शर्तों का संकेत एक अनिवार्य और अभिन्न अंग है सही निर्णय. उन्हें जिम्मेदार न देकर, आप जोखिम उठाते हैं, क्योंकि उत्तर (भले ही वह सही हो) को आसानी से गिना नहीं जा सकता है।

भिन्नात्मक समीकरणों का सामान्य रूप, जहाँ x हर में है, है: a/x + b = c, जहाँ x एक अज्ञात है, a, b, c साधारण संख्याएँ हैं। ध्यान दें कि x कोई संख्या नहीं हो सकती है। उदाहरण के लिए, x शून्य नहीं हो सकता, क्योंकि आप 0 से विभाजित नहीं कर सकते। यही है अतिरिक्त शर्त, जिसे हमें निर्दिष्ट करना होगा। इसे स्वीकार्य मूल्यों की सीमा कहा जाता है, संक्षिप्त - ODZ।

x: 15/x + 18 = 21 खोजें।

हम तुरंत ODZ को x: x 0 के लिए लिखते हैं। अब जब ODZ इंगित किया गया है, तो हम समीकरण का उपयोग करके हल करते हैं मानक योजनाअंशों से छुटकारा। हम समीकरण के सभी पदों को x से गुणा करते हैं। 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5।

अक्सर ऐसे समीकरण होते हैं जहां हर में न केवल x होता है, बल्कि इसके साथ कुछ अन्य ऑपरेशन भी होते हैं, उदाहरण के लिए, जोड़ या घटाव।

x: 15/(x-3) + 18 = 21 खोजें।

हम पहले से ही जानते हैं कि हर शून्य नहीं हो सकता, जिसका अर्थ है x-3 0. हम -3 को . में स्थानांतरित करते हैं दाईं ओर, "-" चिन्ह को "+" में बदलते समय और हमें वह x 3 मिलता है। ODZ इंगित किया गया है।

समीकरण को हल करें, सभी को x-3: 15 + 18x(x - 3) = 21x(x - 3) => 15 + 18x - 54 = 21x - 63 से गुणा करें।

x को दाईं ओर, संख्याओं को बाईं ओर ले जाएँ: 24 = 3x => x = 8।

भिन्नों के साथ समीकरणों को हल करनाआइए उदाहरण देखें। उदाहरण सरल और दृष्टांत हैं। उनकी मदद से आप सबसे ज्यादा समझने योग्य तरीके से समझ सकते हैं।
उदाहरण के लिए, आपको एक साधारण समीकरण x/b + c = d को हल करना होगा।

इस प्रकार के समीकरण को रैखिक कहा जाता है, क्योंकि भाजक में केवल संख्याएँ होती हैं।

समीकरण के दोनों पक्षों को b से गुणा करके हल किया जाता है, फिर समीकरण x = b*(d - c) का रूप लेता है, अर्थात। बाईं ओर भिन्न का हर घटाया जाता है।

उदाहरण के लिए, भिन्नात्मक समीकरण को कैसे हल करें:
एक्स/5+4=9
हम दोनों भागों को 5 से गुणा करते हैं।
एक्स+20=45
एक्स=45-20=25

एक और उदाहरण जहां अज्ञात हर में है:

इस प्रकार के समीकरणों को भिन्नात्मक परिमेय या केवल भिन्नात्मक कहा जाता है।

हम भिन्नों से छुटकारा पाकर एक भिन्नात्मक समीकरण को हल करेंगे, जिसके बाद यह समीकरण अक्सर एक रैखिक या द्विघात समीकरण में बदल जाता है, जिसे सामान्य तरीके से हल किया जाता है। आपको केवल निम्नलिखित बिंदुओं को ध्यान में रखना चाहिए:

• एक चर का मान जो हर को 0 में बदल देता है वह रूट नहीं हो सकता है;
• आप समीकरण को व्यंजक =0 से विभाजित या गुणा नहीं कर सकते।

यह वह जगह है जहां अनुमेय मूल्यों (ODZ) के क्षेत्र के रूप में ऐसी अवधारणा लागू होती है - ये समीकरण की जड़ों के मूल्य हैं जिनके लिए समीकरण समझ में आता है।

इस प्रकार, समीकरण को हल करते हुए, जड़ों को ढूंढना आवश्यक है, और फिर ओडीजेड के अनुपालन के लिए उनकी जांच करें। वे जड़ें जो हमारे डीएचएस के अनुरूप नहीं हैं, उन्हें उत्तर से बाहर रखा गया है।

उदाहरण के लिए, आपको एक भिन्नात्मक समीकरण को हल करने की आवश्यकता है:

उपरोक्त नियम के आधार पर, x = 0 नहीं हो सकता, अर्थात। इस मामले में ODZ: x - शून्य के अलावा कोई भी मान।

हम समीकरण के सभी पदों को x . से गुणा करके हर से छुटकारा पाते हैं

और सामान्य समीकरण को हल करें

5x - 2x = 1
3x = 1
एक्स = 1/3

उत्तर: एक्स = 1/3

आइए समीकरण को और अधिक जटिल हल करें:

ODZ भी यहाँ मौजूद है: x -2।

इस समीकरण को हल करते हुए, हम सब कुछ एक दिशा में स्थानांतरित नहीं करेंगे और भिन्नों को एक सामान्य हर में लाएंगे। हम समीकरण के दोनों पक्षों को तुरंत एक व्यंजक से गुणा करते हैं जो एक ही बार में सभी हरों को कम कर देगा।

हर को कम करने के लिए, आपको बाईं ओर x + 2 और दाईं ओर 2 से गुणा करना होगा। इसलिए, समीकरण के दोनों पक्षों को 2 (x + 2) से गुणा किया जाना चाहिए:

यह भिन्नों का सबसे सामान्य गुणन है, जिसकी चर्चा हम ऊपर कर चुके हैं।

हम एक ही समीकरण लिखते हैं, लेकिन थोड़े अलग तरीके से।

बाईं ओर (x + 2) और दाईं ओर 2 से घटाया जाता है। कमी के बाद, हमें सामान्य रैखिक समीकरण मिलता है:

x \u003d 4 - 2 \u003d 2, जो हमारे ODZ . से मेल खाती है

उत्तर: एक्स = 2.

भिन्नों के साथ समीकरणों को हल करनाउतना मुश्किल नहीं जितना यह लग सकता है। इस लेख में हमने इसे उदाहरणों के साथ दिखाया है। अगर आपको कोई कठिनाई हो रही है भिन्नों के साथ समीकरणों को कैसे हल करें, फिर टिप्पणियों में सदस्यता समाप्त करें।

अब तक, हमने केवल अज्ञात के संबंध में पूर्णांक समीकरणों को हल किया है, यानी ऐसे समीकरण जिनमें हर (यदि कोई हो) में अज्ञात नहीं था।

अक्सर आपको उन समीकरणों को हल करना होता है जिनमें हर में अज्ञात होता है: ऐसे समीकरणों को भिन्नात्मक कहा जाता है।

इस समीकरण को हल करने के लिए, हम इसके दोनों पक्षों को अज्ञात वाले बहुपद से गुणा करते हैं। क्या नया समीकरण दिए गए समीकरण के बराबर होगा? प्रश्न का उत्तर देने के लिए, आइए इस समीकरण को हल करें।

इसके दोनों पक्षों को से गुणा करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

पहली डिग्री के इस समीकरण को हल करने पर, हम पाते हैं:

अतः, समीकरण (2) का एक ही मूल है

इसे समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

अतः समीकरण (1) का मूल भी है।

समीकरण (1) का कोई अन्य मूल नहीं है। हमारे उदाहरण में, यह देखा जा सकता है, उदाहरण के लिए, इस तथ्य से कि समीकरण (1) में

कैसे अज्ञात भाजक भागफल 2 से विभाजित लाभांश 1 के बराबर होना चाहिए, अर्थात।

अत: समीकरण (1) और (2) का एक ही मूल है, अत: वे तुल्य हैं।

2. अब हम निम्नलिखित समीकरण को हल करते हैं:

सबसे सरल आम भाजक: ; समीकरण के सभी पदों को इससे गुणा करें:

कमी के बाद हमें मिलता है:

आइए कोष्ठक का विस्तार करें:

समान पदों को लाना, हमारे पास है:

इस समीकरण को हल करते हुए, हम पाते हैं:

समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

बाईं ओर, हमें ऐसे भाव मिले जिनका कोई मतलब नहीं है।

अतः समीकरण (1) का मूल नहीं है। इसका तात्पर्य है कि समीकरण (1) और समतुल्य नहीं हैं।

इस स्थिति में, हम कहते हैं कि समीकरण (1) ने एक बाह्य मूल प्राप्त कर लिया है।

आइए हम समीकरण (1) के हल की तुलना उन समीकरणों के हल से करें जिन पर हमने पहले विचार किया था (देखें 51)। इस समीकरण को हल करने में, हमें दो ऐसे ऑपरेशन करने पड़े जो पहले नहीं देखे गए थे: पहला, हमने समीकरण के दोनों पक्षों को अज्ञात (सामान्य भाजक) वाले एक व्यंजक से गुणा किया, और, दूसरा, हमने बीजीय अंशों को उन कारकों से घटाया जिनमें शामिल हैं अज्ञात।

समीकरण (1) की समीकरण (2) से तुलना करने पर, हम देखते हैं कि समीकरण (2) के लिए मान्य सभी x मान समीकरण (1) के लिए मान्य नहीं हैं।

यह संख्या 1 और 3 है जो समीकरण (1) के लिए अज्ञात के स्वीकार्य मान नहीं हैं, और परिवर्तन के परिणामस्वरूप वे समीकरण (2) के लिए स्वीकार्य हो गए। इनमें से एक संख्या समीकरण (2) का हल निकला, लेकिन निश्चित रूप से यह समीकरण (1) का हल नहीं हो सकता। समीकरण (1) का कोई हल नहीं है।

इस उदाहरण से पता चलता है कि जब समीकरण के दोनों पक्षों को अज्ञात वाले कारक से गुणा किया जाता है और जब बीजीय भिन्नएक समीकरण प्राप्त किया जा सकता है जो दिए गए के बराबर नहीं है, अर्थात्: बाहरी जड़ें दिखाई दे सकती हैं।

इसलिए हम निम्नलिखित निष्कर्ष निकालते हैं। हर में एक अज्ञात वाले समीकरण को हल करते समय, परिणामी जड़ों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापन द्वारा जांचा जाना चाहिए। बाहरी जड़ों को त्याग दिया जाना चाहिए।

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