यदि हमें 497 को 4 से विभाजित करने की आवश्यकता है, तो विभाजित करते समय, हम देखेंगे कि 497 4 से विभाज्य नहीं है, अर्थात। शेष भाग शेष है। ऐसे मामलों में कहा जाता है कि शेष के साथ विभाजन, और समाधान इस प्रकार लिखा गया है:
497: 4 = 124 (1 शेष)।

समानता के बाईं ओर के विभाजन घटकों को बिना शेष के विभाजन के समान कहा जाता है: 497 - लाभांश, 4 - विभक्त. शेषफल से भाग देने पर विभाजन का परिणाम कहलाता है अधूरा निजी. हमारे मामले में, यह संख्या 124 है। और अंत में, अंतिम घटक, जो सामान्य विभाजन में नहीं है, है शेष. जब कोई शेष नहीं होता है, तो एक संख्या को दूसरी संख्या से विभाजित कहा जाता है। बिना किसी निशान के, या पूरी तरह से. ऐसा माना जाता है कि इस तरह के विभाजन से शेषफल शून्य होता है। हमारे मामले में, शेष 1 है।

शेषफल हमेशा भाजक से कम होता है।

गुणा करके विभाजित करते समय आप जांच सकते हैं। यदि, उदाहरण के लिए, समानता 64: 32 = 2 है, तो जांच इस तरह की जा सकती है: 64 = 32 * 2।

अक्सर ऐसे मामलों में जहां शेष के साथ विभाजन किया जाता है, समानता का उपयोग करना सुविधाजनक होता है
ए \u003d बी * एन + आर,
जहाँ a भाज्य है, b भाजक है, n आंशिक भागफल है, r शेषफल है।

प्राकृत संख्याओं के विभाजन के भागफल को भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है।

भिन्न का अंश भाज्य है, और भाजक भाजक है।

चूँकि भिन्न का अंश भाज्य होता है और हर भाजक होता है, विश्वास करें कि भिन्न की रेखा का अर्थ है विभाजन की क्रिया. कभी-कभी ":" चिह्न का उपयोग किए बिना भाग को भिन्न के रूप में लिखना सुविधाजनक होता है।

प्राकृत संख्याओं m और n के विभाजन के भागफल को भिन्न \(\frac(m)(n) \) के रूप में लिखा जा सकता है, जहां अंश m भाज्य है, और हर n भाजक है:
\(m:n = \frac(m)(n) \)

निम्नलिखित नियम सही हैं:

भिन्न \(\frac(m)(n) \) प्राप्त करने के लिए, आपको इकाई को n बराबर भागों (शेयरों) में विभाजित करना होगा और m ऐसे भाग लेने होंगे।

भिन्न \(\frac(m)(n) \) प्राप्त करने के लिए, आपको संख्या m को संख्या n से विभाजित करना होगा।

एक पूर्ण का एक भाग खोजने के लिए, आपको हर द्वारा पूर्ण से संबंधित संख्या को विभाजित करना होगा और परिणाम को उस अंश के अंश से गुणा करना होगा जो इस भाग को व्यक्त करता है।

एक पूरे को उसके भाग से खोजने के लिए, आपको इस भाग से संबंधित संख्या को अंश से विभाजित करना होगा और परिणाम को उस भिन्न के हर से गुणा करना होगा जो इस भाग को व्यक्त करता है।

यदि किसी भिन्न के अंश और हर दोनों को एक ही संख्या (शून्य को छोड़कर) से गुणा किया जाता है, तो भिन्न का मान नहीं बदलेगा:
\(\बड़ा \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

यदि किसी भिन्न के अंश और हर दोनों को एक ही संख्या (शून्य को छोड़कर) से विभाजित किया जाता है, तो भिन्न का मान नहीं बदलेगा:
\(\बड़ा \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
इस संपत्ति को कहा जाता है एक अंश की मूल संपत्ति.

अंतिम दो परिवर्तन कहलाते हैं अंश में कमी.

यदि भिन्नों को समान हर वाली भिन्नों के रूप में प्रदर्शित करने की आवश्यकता हो, तो ऐसी क्रिया कहलाती है एक आम भाजक के लिए अंशों को कम करना.

उचित और अनुचित अंश। मिश्रित संख्या

आप पहले से ही जानते हैं कि एक पूर्ण को बराबर भागों में विभाजित करके और ऐसे कई भागों को लेकर भिन्न प्राप्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, भिन्न \(\frac(3)(4) \) का अर्थ है एक का तीन-चौथाई। पिछले अनुभाग की कई समस्याओं में, एक पूरे के हिस्से को दर्शाने के लिए सामान्य भिन्न का उपयोग किया गया था। सामान्य ज्ञान बताता है कि भाग हमेशा पूर्ण से छोटा होना चाहिए, लेकिन \(\frac(5)(5) \) या \(\frac(8)(5) \) जैसे भिन्नों के बारे में क्या? यह स्पष्ट है कि यह अब इकाई का हिस्सा नहीं है। शायद यही कारण है कि ऐसे भिन्न, जिनमें अंश हर से बड़ा या उसके बराबर होता है, कहलाते हैं अनुचित भिन्न. शेष भिन्न, अर्थात् वे भिन्न जिनमें अंश हर से कम होता है, कहलाते हैं उचित भिन्न.

जैसा कि आप जानते हैं, कोई भी साधारण भिन्न, उचित और अनुचित दोनों, को हर से अंश को विभाजित करने का परिणाम माना जा सकता है। इसलिए, गणित में, सामान्य भाषा के विपरीत, "अनुचित अंश" शब्द का अर्थ यह नहीं है कि हमने कुछ गलत किया है, लेकिन केवल यह है कि इस अंश का अंश उसके हर से बड़ा या उसके बराबर है।

यदि किसी संख्या में एक पूर्णांक भाग और एक भिन्न है, तो ऐसे भिन्नों को मिश्रित कहा जाता है.

उदाहरण के लिए:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 पूर्णांक भाग है और \(\frac(2)(3) \) भिन्नात्मक भाग है।

यदि भिन्न का अंश \(\frac(a)(b) \) एक प्राकृत संख्या n से विभाज्य है, तो इस भिन्न को n से विभाजित करने के लिए, इसके अंश को इस संख्या से विभाजित किया जाना चाहिए:
\(\बड़ा \frac(a)(b): n = \frac(a:n)(b) \)

यदि भिन्न का अंश \(\frac(a)(b) \) एक प्राकृत संख्या n से विभाज्य नहीं है, तो इस भिन्न को n से विभाजित करने के लिए, आपको इसके हर को इस संख्या से गुणा करना होगा:
\(\बड़ा \frac(a)(b): n = \frac(a)(bn) \)

ध्यान दें कि दूसरा नियम तब भी मान्य होता है जब अंश n से विभाज्य हो। इसलिए, हम इसका उपयोग तब कर सकते हैं जब पहली नज़र में यह निर्धारित करना मुश्किल हो कि किसी भिन्न का अंश n से विभाज्य है या नहीं।

अंशों के साथ क्रियाएँ। अंशों का जोड़।

भिन्नात्मक संख्याओं के साथ, प्राकृतिक संख्याओं की तरह, आप प्रदर्शन कर सकते हैं अंकगणितीय आपरेशनस. आइए पहले भिन्नों को जोड़ने पर विचार करें। भिन्न जोड़ना आसान एक ही भाजक. उदाहरण के लिए, \(\frac(2)(7) \) और \(\frac(3)(7) \) का योग ज्ञात कीजिए। यह समझना आसान है कि \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)

समान हर वाले भिन्नों को जोड़ने के लिए, आपको उनके अंशों को जोड़ना होगा, और हर को समान छोड़ना होगा।

अक्षरों का प्रयोग करते हुए समान हर वाले भिन्नों को जोड़ने का नियम इस प्रकार लिखा जा सकता है:
\(\बड़ा \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

यदि आप भिन्नों को जोड़ना चाहते हैं विभिन्न भाजक, तो उन्हें पहले एक सामान्य भाजक के रूप में कम किया जाना चाहिए। उदाहरण के लिए:
\(\बड़ा \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

भिन्नों के साथ-साथ प्राकृत संख्याओं के लिए, योग के क्रमविनिमेय और साहचर्य गुण मान्य हैं।

मिश्रित भिन्नों का योग

\(2\frac(2)(3) \) जैसी रिकॉर्डिंग को कहा जाता है मिश्रित भिन्न. नंबर 2 कहा जाता है पूरा भागमिश्रित भिन्न, और संख्या \(\frac(2)(3) \) इसकी है आंशिक हिस्सा. प्रविष्टि \(2\frac(2)(3) \) को इस तरह पढ़ा जाता है: "दो और दो तिहाई"।

संख्या 8 को संख्या 3 से विभाजित करने पर दो उत्तर मिलते हैं: \(\frac(8)(3) \) और \(2\frac(2)(3) \)। वे एक ही भिन्नात्मक संख्या को व्यक्त करते हैं, अर्थात \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3) \)

इस प्रकार, अनुचित भिन्न \(\frac(8)(3) \) को मिश्रित भिन्न \(2\frac(2)(3) \) के रूप में दर्शाया जाता है। ऐसे मामलों में, वे कहते हैं कि एक अनुचित अंश से पूरी तरह से अलग कर दिया.

भिन्नों का घटाव (आंशिक संख्या)

भिन्नात्मक संख्याओं के साथ-साथ प्राकृतिक संख्याओं का घटाव, जोड़ की क्रिया के आधार पर निर्धारित किया जाता है: एक संख्या से दूसरे को घटाने का अर्थ है उस संख्या को खोजना, जो दूसरे में जोड़े जाने पर पहली देता है। उदाहरण के लिए:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) क्योंकि \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9) = \frac(8)(9) \)

समान हर वाले भिन्नों को घटाने का नियम ऐसे भिन्नों को जोड़ने के नियम के समान है:
समान हर वाली भिन्नों के बीच का अंतर ज्ञात करने के लिए, पहले भिन्न के अंश में से दूसरी भिन्न का अंश घटाएँ और हर को वही छोड़ दें।

अक्षरों का प्रयोग करते हुए यह नियम इस प्रकार लिखा जाता है:
\(\बड़ा \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

भिन्नों का गुणन

किसी भिन्न को भिन्न से गुणा करने के लिए, आपको उनके अंशों और हरों को गुणा करना होगा और पहले उत्पाद को अंश के रूप में और दूसरे को हर के रूप में लिखना होगा।

अक्षरों का प्रयोग करके भिन्नों को गुणा करने का नियम इस प्रकार लिखा जा सकता है:
\(\बड़ा \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

तैयार किए गए नियम का उपयोग करके, एक अंश को एक प्राकृतिक संख्या से, एक मिश्रित अंश से गुणा करना और मिश्रित अंशों को गुणा करना भी संभव है। ऐसा करने के लिए, आपको एक प्राकृत संख्या को भिन्न के रूप में लिखना होगा जिसमें 1 का हर हो, मिश्रित भिन्न को अनुचित भिन्न के रूप में लिखना होगा।

अंश को कम करके और अनुचित अंश के पूर्णांक भाग को हाइलाइट करके गुणा के परिणाम को सरल (यदि संभव हो) किया जाना चाहिए।

भिन्नों के साथ-साथ प्राकृत संख्याओं के लिए, गुणन के क्रमविनिमेय और साहचर्य गुण मान्य हैं, साथ ही जोड़ के संबंध में गुणन का वितरण गुण भी मान्य है।

भिन्नों का विभाजन

अंश \(\frac(2)(3) \) लें और अंश और हर की अदला-बदली करके इसे "फ्लिप" करें। हमें भिन्न \(\frac(3)(2) \) प्राप्त होता है। इस अंश को कहा जाता है उल्टाभिन्न \(\frac(2)(3) \).

यदि अब हम भिन्न \(\frac(3)(2) \) को "उल्टा" करते हैं, तो हमें मूल भिन्न \(\frac(2)(3) \) प्राप्त होता है। इसलिए, \(\frac(2)(3) \) और \(\frac(3)(2) \) जैसे भिन्न कहलाते हैं परस्पर उलटा.

उदाहरण के लिए, भिन्न \(\frac(6)(5) \) और \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) और \(\frac (18) )(7) \).

अक्षरों का प्रयोग करते हुए, परस्पर प्रतिलोम भिन्नों को इस प्रकार लिखा जा सकता है: \(\frac(a)(b) \) और \(\frac(b)(a) \)

यह स्पष्ट है कि पारस्परिक भिन्नों का गुणनफल 1 . है. उदाहरण के लिए: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

पारस्परिक भिन्नों का उपयोग करके, भिन्नों के विभाजन को गुणा में घटाया जा सकता है।

भिन्न को भिन्न से भाग देने का नियम:
एक भिन्न को दूसरे से विभाजित करने के लिए, आपको भाजक के व्युत्क्रम से लाभांश को गुणा करना होगा।

अक्षरों का प्रयोग करके भिन्नों को विभाजित करने का नियम इस प्रकार लिखा जा सकता है:
\(\बड़ा \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)

यदि लाभांश या भाजक है प्राकृतिक संख्याया मिश्रित भिन्न, तो, भिन्नों को विभाजित करने के लिए नियम का उपयोग करने के लिए, इसे पहले एक अनुचित भिन्न के रूप में दर्शाया जाना चाहिए।

एक भिन्न को कम करने का तरीका जाने बिना, और ऐसे उदाहरणों को हल करने में एक स्थिर कौशल होने के कारण, स्कूल में बीजगणित का अध्ययन करना बहुत कठिन है। इसके अलावा, साधारण भिन्नों की कमी के बारे में बुनियादी ज्ञान पर अधिक नई जानकारी आरोपित की जाती है। पहले अंश होते हैं, फिर गुणनखंड, जो बाद में बहुपद बन जाते हैं।

यहाँ कैसे भ्रमित न हों? पिछले विषयों में कौशल को अच्छी तरह से समेकित करें और धीरे-धीरे इस ज्ञान की तैयारी करें कि अंश को कैसे कम किया जाए, जो साल-दर-साल अधिक जटिल होता जाता है।

बुनियादी ज्ञान

उनके बिना किसी भी स्तर के कार्यों का सामना करना संभव नहीं होगा। समझने के लिए, आपको दो सरल बिंदुओं को समझने की आवश्यकता है। सबसे पहले, आप केवल गुणकों को कम कर सकते हैं। जब अंश या हर में बहुपद दिखाई देते हैं तो यह बारीकियाँ बहुत महत्वपूर्ण हो जाती हैं। फिर आपको स्पष्ट रूप से अंतर करना होगा कि गुणक कहाँ है, और पद कहाँ है।

दूसरा बिंदु कहता है कि किसी भी संख्या को कारकों के रूप में दर्शाया जा सकता है। इसके अलावा, कमी का परिणाम एक ऐसा अंश है, जिसके अंश और हर को अब कम नहीं किया जा सकता है।

सामान्य भिन्नों को कम करने के नियम

जांच करने वाली पहली बात यह है कि अंश भाजक से विभाज्य है या इसके विपरीत। फिर यह इस संख्या से है जिसे आपको कम करने की आवश्यकता है। यह सबसे आसान विकल्प है।

दूसरा विश्लेषण है दिखावटसंख्याएं। यदि दोनों एक या अधिक शून्य पर समाप्त होते हैं, तो उन्हें 10, 100 या एक हजार तक कम किया जा सकता है। यहां आप यह भी देख सकते हैं कि संख्याएं सम हैं या नहीं। यदि हां, तो आप सुरक्षित रूप से दो से कम कर सकते हैं।

किसी भिन्न को कम करने का तीसरा नियम अंश और हर के अभाज्य गुणनखंडों में अपघटन है। इस समय, आपको संख्याओं की विभाज्यता के संकेतों के बारे में सभी ज्ञान का सक्रिय रूप से उपयोग करने की आवश्यकता है। इस तरह के एक अपघटन के बाद, यह केवल सभी दोहराए जाने वाले लोगों को खोजने, उन्हें गुणा करने और परिणामी संख्या से कम करने के लिए रहता है।

क्या होगा यदि भिन्न में बीजीय व्यंजक हो?

यहां पहली कठिनाइयां दिखाई देती हैं। क्योंकि यह वह जगह है जहां शब्द दिखाई देते हैं, जो कारकों के समान हो सकते हैं। मैं वास्तव में उन्हें कम करना चाहता हूं, लेकिन मैं नहीं कर सकता। इससे पहले कि बीजीय अंश को कम किया जा सके, उसे परिवर्तित किया जाना चाहिए ताकि उसके कारक हों।

इसके लिए कई चरणों की आवश्यकता होगी। आपको उन सभी के माध्यम से जाने की आवश्यकता हो सकती है, या शायद पहला एक उपयुक्त विकल्प देगा।

जाँच करें कि क्या अंश और हर या उनमें से कोई भी व्यंजक चिह्न द्वारा भिन्न है। इस मामले में, आपको केवल कोष्ठक माइनस वन निकालने की आवश्यकता है। इसका परिणाम समान गुणकों में होता है जिन्हें कम किया जा सकता है।

देखें कि क्या बहुपद में से सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक में रखा जा सकता है। शायद यह एक ब्रैकेट बन जाएगा, जिसे कम भी किया जा सकता है, या यह एक मोनोमियल निकाला जाएगा।

मोनोमियल्स का एक समूह बनाने का प्रयास करें ताकि उनमें एक सामान्य कारक निकाला जा सके। उसके बाद, यह पता चल सकता है कि ऐसे कारक होंगे जिन्हें कम किया जा सकता है, या सामान्य तत्वों को फिर से ब्रैकेट किया जा सकता है।

संक्षिप्त गुणन के सूत्र को लिखित रूप में विचार करने का प्रयास करें। उनकी सहायता से एक बहुपद को गुणनखंड में बदलना आसान होगा।

शक्तियों के साथ भिन्नों के साथ क्रियाओं का क्रम

अंश के साथ अंश को कैसे कम किया जाए, इस प्रश्न को आसानी से समझने के लिए, उनके साथ मूल क्रियाओं को दृढ़ता से याद रखना आवश्यक है। उनमें से पहला शक्तियों के गुणन से जुड़ा है। इस मामले में, यदि आधार समान हैं, तो संकेतक जोड़े जाने चाहिए।

दूसरा विभाजन है। फिर से, जिनके पास समान आधार है, उनके लिए संकेतकों को घटाना होगा। इसके अलावा, आपको उस संख्या से घटाना होगा जो लाभांश में है, न कि इसके विपरीत।

तीसरा घातांक है। इस स्थिति में, संकेतक गुणा कर रहे हैं।

सफल कमी के लिए डिग्री को कम करने की क्षमता की भी आवश्यकता होगी एक ही आधार. यानी यह देखना कि चार दो चुकता है। या 27 तीन का घन है। क्योंकि 9 वर्ग और 3 घन को काटना कठिन है। लेकिन अगर हम पहली अभिव्यक्ति को (3 2) 2 के रूप में बदलते हैं, तो कमी सफल होगी।

विभाजनऔर उनके अंश का अंश और हर सामान्य भाजक, जो एकता से भिन्न है, कहलाता है अंश में कमी.

एक सामान्य अंश को कम करने के लिए, आपको इसके अंश और हर को एक ही प्राकृतिक संख्या से विभाजित करना होगा।

यह संख्या दी गई भिन्न के अंश और हर का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है।

निम्नलिखित संभव हैं निर्णय रिकॉर्ड प्रपत्रसाधारण अंशों की कमी के उदाहरण।

छात्र को किसी भी प्रकार की रिकॉर्डिंग चुनने का अधिकार है।

उदाहरण। भिन्नों को सरल कीजिए।

भिन्न को 3 से कम करें (अंश को 3 से विभाजित करें;

हर को 3 से विभाजित करें)।

हम भिन्न को 7 से कम करते हैं।

हम भिन्न के अंश और हर में संकेतित क्रियाएं करते हैं।

परिणामी अंश 5 से कम हो जाता है।

आइए इस अंश को कम करें 4) पर 5 7³- अंश और हर का सबसे बड़ा सामान्य भाजक (GCD), जिसमें सबसे छोटे घातांक के साथ घात में लिए गए अंश और हर के सामान्य गुणनखंड होते हैं।

आइए हम इस भिन्न के अंश और हर को सरल गुणनखंडों में विघटित करें।

हम पाते हैं: 756=2² 3³ 7तथा 1176=2³ 3 7².

अंश के अंश और हर का GCD (सबसे बड़ा सामान्य भाजक) निर्धारित करें 5) .

यह सबसे छोटे घातांक के साथ लिए गए सामान्य कारकों का उत्पाद है।

जीसीडी(756; 1176)= 2² 3 7.

हम इस भिन्न के अंश और हर को उनके GCD से विभाजित करते हैं, अर्थात द्वारा 2² 3 7हमें एक अपरिवर्तनीय अंश मिलता है 9/14 .

और अंश की अवधारणा का उपयोग किए बिना, अंश और हर के विस्तार को प्रमुख कारकों के उत्पाद के रूप में लिखना संभव था, और फिर अंश और हर में समान कारकों को पार करके अंश को कम करना संभव था। जब कोई समान गुणनखंड नहीं बचा है, तो हम शेष गुणनखंडों को अंश में और हर में अलग-अलग गुणा करते हैं और परिणामी भिन्न लिखते हैं 9/14 .

और अंत में, इस अंश को कम करना संभव था 5) धीरे-धीरे, अंश के अंश और हर दोनों पर संख्याओं के विभाजन के संकेतों को लागू करना। इस तरह सोचें: नंबर 756 तथा 1176 एक सम संख्या में समाप्त होता है, इसलिए दोनों विभाज्य हैं 2 . हम अंश को कम करते हैं 2 . नई भिन्न के अंश और हर संख्याएं हैं 378 तथा 588 में भी विभाजित 2 . हम अंश को कम करते हैं 2 . हम देखते हैं कि संख्या 294 - सम, और 189 विषम है, और 2 से घटाना अब संभव नहीं है। आइए संख्याओं की विभाज्यता के चिह्न की जाँच करें 189 तथा 294 पर 3 .

(1+8+9)=18 3 से विभाज्य है और (2+9+4)=15 3 से विभाज्य है, इसलिए संख्याएं स्वयं 189 तथा 294 में विभाजित हैं 3 . हम अंश को कम करते हैं 3 . आगे, 63 3 और . से विभाज्य है 98 - नहीं। अन्य प्रमुख कारकों पर पुनरावृति। दोनों संख्याएँ से विभाज्य हैं 7 . हम अंश को कम करते हैं 7 और अपरिवर्तनीय अंश प्राप्त करें 9/14 .

भिन्न

ध्यान!
अतिरिक्त हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो दृढ़ता से "बहुत नहीं ..."
और उन लोगों के लिए जो "बहुत ज्यादा...")

हाई स्कूल में अंश बहुत कष्टप्रद नहीं हैं। उतने समय के लिए। जब तक आपको परिमेय घातांक और लघुगणक वाले घातांक नहीं मिलते। और वहाँ…। आप दबाते हैं, आप कैलकुलेटर दबाते हैं, और यह कुछ संख्याओं के सभी पूर्ण स्कोरबोर्ड दिखाता है। आपको अपने दिमाग से सोचना होगा, जैसे तीसरी कक्षा में।

आइए भिन्नों से निपटें, अंत में! अच्छा, आप उनमें कितना भ्रमित हो सकते हैं!? इसके अलावा, यह सब सरल और तार्किक है। इसलिए, अंश क्या हैं?

अंशों के प्रकार। परिवर्तन।

भिन्न होते हैं तीन प्रकार.

1. सामान्य भिन्न , उदाहरण के लिए:

कभी-कभी, एक क्षैतिज रेखा के बजाय, वे एक स्लैश लगाते हैं: 1/2, 3/4, 19/5, कुआं, इत्यादि। यहाँ हम अक्सर इस वर्तनी का प्रयोग करेंगे। शीर्ष संख्या को कहा जाता है मीटर, निचला - हर।यदि आप लगातार इन नामों को भ्रमित करते हैं (ऐसा होता है ...), अपने आप को अभिव्यक्ति के साथ वाक्यांश बताएं: " ज़ज़्ज़्ज़याद करना! ज़ज़्ज़्ज़हर - बाहर ज़ज़्ज़ y!" देखो, सब कुछ याद रहेगा।)

एक पानी का छींटा, जो क्षैतिज है, जो तिरछा है, का अर्थ है विभाजनशीर्ष संख्या (अंश) से नीचे की संख्या (भाजक)। और बस! एक डैश के बजाय, एक विभाजन चिह्न - दो बिंदु डालना काफी संभव है।

जब विभाजन पूरी तरह से संभव हो, तो इसे किया जाना चाहिए। तो, अंश "32/8" के बजाय संख्या "4" लिखना अधिक सुखद है। वे। 32 को केवल 8 से विभाजित किया जाता है।

32/8 = 32: 8 = 4

मैं अंश "4/1" के बारे में बात नहीं कर रहा हूँ। जो भी सिर्फ "4" है। और अगर यह पूरी तरह से विभाजित नहीं होता है, तो हम इसे एक अंश के रूप में छोड़ देते हैं। कभी-कभी आपको उल्टा भी करना पड़ता है। एक पूर्ण संख्या से भिन्न बनाओ। लेकिन उस पर बाद में।

2. दशमलव , उदाहरण के लिए:

यह इस रूप में है कि कार्यों "बी" के उत्तर लिखना आवश्यक होगा।

3. मिश्रित संख्या , उदाहरण के लिए:

हाई स्कूल में मिश्रित संख्याओं का व्यावहारिक रूप से उपयोग नहीं किया जाता है। उनके साथ काम करने के लिए, उन्हें साधारण भिन्नों में बदलना होगा। लेकिन आपको निश्चित रूप से यह जानना होगा कि यह कैसे करना है! और फिर इतनी संख्या पहेली में आ जाएगी और लटक जाएगी ... खरोंच से। लेकिन हमें यह प्रक्रिया याद है! थोड़ा नीचे।

सबसे बहुमुखी सामान्य भिन्न. आइए उनके साथ शुरू करते हैं। वैसे, यदि भिन्न में सभी प्रकार के लघुगणक, ज्या और अन्य अक्षर हों, तो इससे कुछ भी नहीं बदलता है। इस अर्थ में कि सब कुछ भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों वाली क्रियाएं साधारण भिन्न वाली क्रियाओं से भिन्न नहीं होती हैं!

एक अंश की मूल संपत्ति।

तो चलते हैं! सबसे पहले मैं आपको हैरान कर दूंगा। भिन्न भिन्न परिवर्तनों की पूरी विविधता एक ही गुण द्वारा प्रदान की जाती है! इसे ही कहते हैं एक अंश की मूल संपत्ति. याद है: यदि किसी भिन्न के अंश और हर को एक ही संख्या से गुणा (विभाजित) किया जाए, तो भिन्न नहीं बदलेगी।वे:

यह स्पष्ट है कि आप आगे लिख सकते हैं, जब तक कि आपका चेहरा नीला न हो जाए। साइन और लॉगरिदम को भ्रमित न होने दें, हम उनसे आगे निपटेंगे। समझने वाली मुख्य बात यह है कि ये सभी विभिन्न भाव हैं एक ही अंश . 2/3.

और हमें इसकी आवश्यकता है, ये सभी परिवर्तन? और कैसे! अब आप खुद देख लेंगे। सबसे पहले, आइए के लिए भिन्न के मूल गुण का उपयोग करें भिन्न संक्षिप्ताक्षर. ऐसा लगता है कि बात प्राथमिक है। हम अंश और हर को एक ही संख्या से विभाजित करते हैं और बस! गलत होना असंभव है! लेकिन...मनुष्य एक रचनात्मक प्राणी है। आप हर जगह गलतियाँ कर सकते हैं! विशेष रूप से यदि आपको 5/10 जैसे अंश को कम नहीं करना है, बल्कि सभी प्रकार के अक्षरों के साथ एक भिन्नात्मक अभिव्यक्ति को कम करना है।

बिना अनावश्यक काम किए भिन्नों को सही ढंग से और जल्दी से कैसे कम करें, विशेष धारा 555 में पाया जा सकता है।

एक सामान्य छात्र अंश और हर को समान संख्या (या व्यंजक) से विभाजित करने की जहमत नहीं उठाता! वह ऊपर और नीचे से समान रूप से सब कुछ काट देता है! यहीं छुपा है सामान्य गलती, ब्लोपर यदि आप चाहें।

उदाहरण के लिए, आपको अभिव्यक्ति को सरल बनाने की आवश्यकता है:

सोचने की कोई बात नहीं है, हम ऊपर से "ए" अक्षर और नीचे से ड्यूस को पार करते हैं! हम पाते हैं:

सबकुछ सही है। लेकिन वास्तव में आपने साझा किया पूरा अंश और पूरा भाजक "ए"। यदि आप बस पार करने के आदी हैं, तो, जल्दी में, आप अभिव्यक्ति में "ए" को पार कर सकते हैं

और फिर से प्राप्त करें

जो स्पष्ट रूप से गलत होगा। क्योंकि यहाँ पूरापहले से ही "ए" पर अंश सांझा नहीं किया! इस अंश को कम नहीं किया जा सकता है। वैसे, ऐसा संक्षिप्त नाम है, उम ... शिक्षक के लिए एक गंभीर चुनौती। यह माफ नहीं किया गया है! याद है? कम करते समय, विभाजित करना आवश्यक है पूरा अंश और पूरा हर!

भिन्नों को कम करने से जीवन बहुत आसान हो जाता है। आपको कहीं अंश मिलेगा, उदाहरण के लिए 375/1000। और अब उसके साथ कैसे काम करें? कैलकुलेटर के बिना? गुणा करें, कहें, जोड़ें, वर्ग !? और अगर आप बहुत आलसी नहीं हैं, लेकिन ध्यान से पांच से कम करें, और यहां तक ​​​​कि पांच, और यहां तक ​​​​कि ... जबकि इसे कम किया जा रहा है, संक्षेप में। हमें 3/8 मिलते हैं! बहुत अच्छा, है ना?

भिन्न का मूल गुण आपको साधारण भिन्न को दशमलव में और इसके विपरीत बदलने की अनुमति देता है कैलकुलेटर के बिना! यह परीक्षा के लिए महत्वपूर्ण है, है ना?

भिन्नों को एक रूप से दूसरे रूप में कैसे बदलें।

दशमलव के साथ यह आसान है। जैसा सुना जाता है, वैसा ही लिखा जाता है! मान लीजिए 0.25. यह शून्य बिंदु है, पच्चीस सौवां। तो हम लिखते हैं: 25/100। हम कम करते हैं (अंश और हर को 25 से विभाजित करते हैं), हमें सामान्य अंश मिलता है: 1/4। हर चीज़। ऐसा होता है, और कुछ भी कम नहीं होता है। 0.3 की तरह। यह तीन दसवां हिस्सा है, यानी। 3/10.

क्या होगा यदि पूर्णांक गैर-शून्य हैं? कोई बात नहीं। पूरा अंश लिखिए बिना किसी अल्पविराम केअंश में, और हर में - जो सुना जाता है। उदाहरण के लिए: 3.17। यह तीन पूरे, सत्रह सौवां हिस्सा है। हम अंश में 317 और हर में 100 लिखते हैं, हमें 317/100 मिलता है। कुछ भी कम नहीं हुआ यानी सब कुछ। यही उत्तर है। प्राथमिक वाटसन! उपरोक्त सभी से, एक उपयोगी निष्कर्ष: किसी भी दशमलव भिन्न को सामान्य भिन्न में बदला जा सकता है .

लेकिन विपरीत रूपांतरण, साधारण से दशमलव तक, कुछ कैलकुलेटर के बिना नहीं कर सकते। लेकिन तुम्हें चाहिए! आप परीक्षा में उत्तर कैसे लिखेंगे !? हम इस प्रक्रिया को ध्यान से पढ़ते हैं और इसमें महारत हासिल करते हैं।

दशमलव अंश क्या है? उसके पास भाजक है हमेशा 10 या 100 या 1000 या 10000 के लायक है और इसी तरह। यदि आपके सामान्य भिन्न में ऐसा हर है, तो कोई समस्या नहीं है। उदाहरण के लिए, 4/10 = 0.4। या 7/100 = 0.07। या 12/10 = 1.2। और अगर खंड "बी" के कार्य के उत्तर में यह 1/2 निकला? प्रत्युत्तर में हम क्या लिखेंगे? दशमलव की आवश्यकता है...

हम याद रखते हैं एक अंश की मूल संपत्ति ! गणित अनुकूल रूप से आपको अंश और हर को समान संख्या से गुणा करने की अनुमति देता है। वैसे किसी के लिए भी! शून्य को छोड़कर, बिल्कुल। आइए इस सुविधा का उपयोग अपने लाभ के लिए करें! हर को किससे गुणा किया जा सकता है, अर्थात 2 ताकि यह 10, या 100, या 1000 हो जाए (छोटा बेहतर है, निश्चित रूप से...)? 5, जाहिर है। हर को गुणा करने के लिए स्वतंत्र महसूस करें (यह है हमआवश्यक) 5 से। लेकिन, फिर अंश को भी 5 से गुणा किया जाना चाहिए। यह पहले से ही है गणितमांग! हमें 1/2 \u003d 1x5 / 2x5 \u003d 5/10 \u003d 0.5 मिलता है। बस इतना ही।

हालाँकि, सभी प्रकार के भाजक सामने आते हैं। उदाहरण के लिए, भिन्न 3/16 गिर जाएगा। इसे आज़माएं, पता करें कि 16 को 100, या 1000 प्राप्त करने के लिए क्या गुणा करना है ... काम नहीं करता है? फिर आप केवल 3 को 16 से विभाजित कर सकते हैं। कैलकुलेटर की अनुपस्थिति में, आपको एक कोने में, कागज के एक टुकड़े पर विभाजित करना होगा, जैसा कि उन्होंने प्राथमिक ग्रेड में पढ़ाया था। हमें 0.1875 मिलता है।

और कुछ बहुत बुरे भाजक हैं। उदाहरण के लिए, अंश 1/3 को एक अच्छे दशमलव में नहीं बदला जा सकता है। कैलकुलेटर और कागज के टुकड़े दोनों पर, हमें 0.3333333 मिलता है ... इसका मतलब है कि 1/3 एक सटीक दशमलव अंश में अनुवाद नहीं करता. जैसे 1/7, 5/6 वगैरह। उनमें से कई अनुवाद योग्य नहीं हैं। इसलिए एक और उपयोगी निष्कर्ष। प्रत्येक सामान्य अंश दशमलव में परिवर्तित नहीं होता है। !

वैसे, यह उपयोगी जानकारीआत्म परीक्षण के लिए। जवाब में खंड "बी" में, आपको एक दशमलव अंश लिखना होगा। और आपको मिला, उदाहरण के लिए, 4/3। यह अंश दशमलव में परिवर्तित नहीं होता है। इसका मतलब है कि कहीं न कहीं आपने गलती की है! वापस आओ, समाधान की जाँच करें।

तो, साधारण और दशमलव अंशों के साथ हल किया गया। यह मिश्रित संख्याओं से निपटने के लिए बनी हुई है। उनके साथ काम करने के लिए, उन सभी को साधारण भिन्नों में बदलने की आवश्यकता है। यह कैसे करना है? आप छठे ग्रेडर को पकड़ सकते हैं और उससे पूछ सकते हैं। लेकिन हमेशा छठा ग्रेडर हाथ में नहीं होगा ... हमें इसे खुद करना होगा। ये मुश्किल नहीं है. भिन्नात्मक भाग के हर को पूर्णांक भाग से गुणा करें और भिन्नात्मक भाग के अंश को जोड़ें। यह एक उभयनिष्ठ भिन्न का अंश होगा। भाजक के बारे में क्या? भाजक वही रहेगा। यह जटिल लगता है, लेकिन यह वास्तव में काफी सरल है। आइए एक उदाहरण देखें।

समस्या में आपने डरावनी संख्या के साथ देखा:

शांति से, हम बिना घबराए सोचते हैं। पूरा पार्ट 1 है। एक। भिन्नात्मक भाग 3/7 है। अतः भिन्नात्मक भाग का हर 7 है। यह हर हर होगा सामान्य अंश. हम अंश गिनते हैं। हम 7 को 1 (पूर्णांक भाग) से गुणा करते हैं और 3 (अंशात्मक भाग का अंश) जोड़ते हैं। हमें 10 मिलता है। यह एक साधारण भिन्न का अंश होगा। बस इतना ही। यह गणितीय संकेतन में और भी सरल दिखता है:

यह स्पष्ट है? फिर अपनी सफलता सुनिश्चित करें! सामान्य भिन्नों में परिवर्तित करें। आपको 10/7, 7/2, 23/10 और 21/4 मिलना चाहिए।

रिवर्स ऑपरेशन - एक अनुचित अंश को मिश्रित संख्या में परिवर्तित करना - हाई स्कूल में शायद ही कभी आवश्यक होता है। ठीक है, अगर... और यदि आप - हाई स्कूल में नहीं हैं - तो आप विशेष धारा 555 में देख सकते हैं। उसी स्थान पर, वैसे, लगभग अनुचित भिन्नपता लगाना।

खैर, लगभग सब कुछ। आपने भिन्नों के प्रकार को याद किया और समझा कैसे उन्हें एक प्रकार से दूसरे प्रकार में परिवर्तित करें। सवाल बना रहता है: क्यों इसे करें? इस गहन ज्ञान को कहाँ और कब लागू करें?

मैं जवाब देता हुँ। कोई उदाहरण सुझाता है आवश्यक कार्रवाई. यदि उदाहरण में साधारण भिन्न, दशमलव, और यहाँ तक कि मिश्रित संख्याओं को एक गुच्छा में मिला दिया जाता है, तो हम सब कुछ साधारण भिन्नों में बदल देते हैं। यह हमेशा किया जा सकता है. खैर, अगर 0.8 + 0.3 जैसा कुछ लिखा है, तो हम ऐसा सोचते हैं, बिना किसी अनुवाद के। हमें अतिरिक्त काम की आवश्यकता क्यों है? हम वह समाधान चुनते हैं जो सुविधाजनक हो हम !

अगर कार्य पूरी तरह से है दशमलव, लेकिन उम... कुछ दुष्ट, साधारण लोगों के पास जाओ, कोशिश करो! देखो सब ठीक हो जाएगा। उदाहरण के लिए, आपको संख्या 0.125 का वर्ग करना है। इतना आसान नहीं अगर आपने कैलकुलेटर की आदत नहीं छोड़ी है! आपको न केवल एक कॉलम में संख्याओं को गुणा करने की आवश्यकता है, बल्कि यह भी सोचना है कि अल्पविराम कहाँ डाला जाए! यह निश्चित रूप से मेरे दिमाग में काम नहीं करता है! और अगर आप एक साधारण अंश में जाते हैं?

0.125 = 125/1000। हम 5 से कम करते हैं (यह शुरुआत के लिए है)। हमें 25/200 मिलते हैं। एक बार फिर 5 पर। हमें 5/40 मिलते हैं। ओह, यह सिकुड़ रहा है! 5 पर वापस! हमें 1/8 मिलता है। आसानी से वर्गाकार (आपके दिमाग में!) और 1/64 प्राप्त करें। हर चीज़!

आइए इस पाठ को संक्षेप में प्रस्तुत करें।

1. भिन्न तीन प्रकार के होते हैं। साधारण, दशमलव और मिश्रित संख्याएँ।

2. दशमलव और मिश्रित संख्या हमेशासामान्य अंशों में परिवर्तित किया जा सकता है। उल्टा अनुवाद हमेशा नहींउपलब्ध।

3. कार्य के साथ कार्य करने के लिए भिन्नों के प्रकार का चुनाव इसी कार्य पर निर्भर करता है। की उपस्थितिमे अलग - अलग प्रकारएक कार्य में भिन्न, सबसे विश्वसनीय बात सामान्य भिन्नों पर स्विच करना है।

अब आप अभ्यास कर सकते हैं। सबसे पहले, इन दशमलव अंशों को साधारण अंशों में बदलें:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

आपको इस तरह के उत्तर मिलने चाहिए (गड़बड़ी में!):

इस पर हम समाप्त करेंगे। इस पाठ में, हमने अपनी याददाश्त को ताज़ा किया प्रमुख बिंदुअंशों द्वारा। हालांकि, ऐसा होता है कि ताज़ा करने के लिए कुछ खास नहीं है ...) अगर कोई पूरी तरह से भूल गया है, या अभी तक महारत हासिल नहीं कर पाया है ... वे एक विशेष धारा 555 में जा सकते हैं। सभी मूल बातें वहां विस्तृत हैं। कई अचानक सब समज गयाशुरू कर रहे हैं। और मक्खी पर अंशों को हल करें)।

अगर आपको यह साइट पसंद है...

वैसे, मेरे पास आपके लिए कुछ और दिलचस्प साइटें हैं।)

आप उदाहरणों को हल करने का अभ्यास कर सकते हैं और अपने स्तर का पता लगा सकते हैं। तत्काल सत्यापन के साथ परीक्षण। सीखना - रुचि के साथ!)

आप कार्यों और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।

इस लेख में, हम विस्तार से विश्लेषण करेंगे कि कैसे भिन्नों की कमी. सबसे पहले, आइए बात करते हैं कि भिन्न कमी क्या कहलाती है। उसके बाद, आइए एक कम करने योग्य अंश को एक इरेड्यूसबल रूप में कम करने के बारे में बात करते हैं। इसके बाद, हम भिन्नों को कम करने का नियम प्राप्त करते हैं और अंत में, इस नियम के लागू होने के उदाहरणों पर विचार करते हैं।

पृष्ठ नेविगेशन।

अंश को कम करने का क्या अर्थ है?

हम जानते हैं कि साधारण भिन्नों को रिड्यूसिबल और इरेड्यूसिबल फ्रैक्शंस में उप-विभाजित किया जाता है। नामों से, आप अनुमान लगा सकते हैं कि कम करने योग्य अंशों को कम किया जा सकता है, लेकिन अपरिवर्तनीय अंशों को नहीं।

अंश को कम करने का क्या अर्थ है? अंश कम करें- इसका अर्थ है इसके अंश और हर को उनके धनात्मक और गैर-एक से विभाजित करना। यह स्पष्ट है कि भिन्न में कमी के परिणामस्वरूप, छोटे अंश और हर के साथ एक नया अंश प्राप्त होता है, और भिन्न की मुख्य संपत्ति के कारण, परिणामी अंश मूल के बराबर होता है।

उदाहरण के लिए, आइए सामान्य भिन्न 8/24 को उसके अंश और हर को 2 से विभाजित करके कम करें। दूसरे शब्दों में, आइए भिन्न 8/24 को 2 से कम करें। चूंकि 8:2=4 और 24:2=12, इस कमी के परिणामस्वरूप, एक भिन्न 4/12 प्राप्त होता है, जो मूल भिन्न 8/24 के बराबर होता है (देखें बराबर और असमान भिन्न)। नतीजतन, हमारे पास है।

साधारण भिन्नों को अघुलनशील रूप में घटाना

आम तौर पर, अंश में कमी का अंतिम लक्ष्य एक अपरिवर्तनीय अंश प्राप्त करना होता है जो मूल कम करने योग्य अंश के बराबर होता है। इस लक्ष्य को उसके अंश और हर द्वारा मूल घटाए गए अंश को कम करके प्राप्त किया जा सकता है। यह कमी हमेशा एक इरेड्यूसबल अंश में परिणत होती है। दरअसल, अंश अपरिवर्तनीय है, क्योंकि यह ज्ञात है कि तथा -। यहाँ हम कहते हैं कि एक भिन्न के अंश और हर का सबसे बड़ा सामान्य भाजक वह सबसे बड़ी संख्या होती है जिसके द्वारा इस भिन्न को कम किया जा सकता है।

इसलिए, एक साधारण अंश को एक अपरिवर्तनीय रूप में घटानामूल घटी हुई भिन्न के अंश और हर को उनके GCD से विभाजित करना शामिल है।

आइए एक उदाहरण का विश्लेषण करें, जिसके लिए हम अंश 8/24 पर लौटते हैं और इसे संख्या 8 और 24 के सबसे बड़े सामान्य भाजक से घटाते हैं, जो कि 8 है। 8:8=1 और 24:8=3 से, हम इरेड्यूसेबल भिन्न 1/3 पर पहुंचते हैं। इसलिए, ।

ध्यान दें कि "अंश को कम करें" वाक्यांश का अर्थ अक्सर मूल अंश को इरेड्यूसेबल रूप में लाना होता है। दूसरे शब्दों में, अंश में कमी को अक्सर अंश और हर को उनके सबसे बड़े सामान्य भाजक से विभाजित करने के रूप में संदर्भित किया जाता है (और उनके किसी भी सामान्य भाजक द्वारा नहीं)।

अंश को कैसे कम करें? भिन्न में कमी के नियम और उदाहरण

यह केवल अंशों को कम करने के नियम का विश्लेषण करने के लिए रहता है, जो बताता है कि इस अंश को कैसे कम किया जाए।

अंश में कमी नियमदो चरणों से मिलकर बनता है:

• सबसे पहले, अंश के अंश और हर का जीसीडी पाया जाता है;
• दूसरे, भिन्न के अंश और हर को उनके GCD से विभाजित किया जाता है, जो मूल अंश के बराबर एक अघुलनशील भिन्न देता है।

आइए विश्लेषण करें अंश कमी उदाहरणदिए गए नियम के अनुसार।

उदाहरण।

अंश 182/195 घटाएं।

समाधान।

आइए भिन्न कटौती नियम द्वारा निर्धारित दोनों चरणों को करें।

सबसे पहले हम पाते हैं gcd(182, 195) । यूक्लिड एल्गोरिथम का उपयोग करना सबसे सुविधाजनक है (देखें): 195=182 1+13 , 182=13 14 , अर्थात gcd(182, 195)=13 ।

अब हम भिन्न 182/195 के अंश और हर को 13 से भाग देते हैं, जबकि हमें अपरिमेय भिन्न 14/15 प्राप्त होता है, जो मूल भिन्न के बराबर होता है। यह अंश में कमी को पूरा करता है।

संक्षेप में, समाधान इस प्रकार लिखा जा सकता है:

उत्तर:

इस पर भिन्नों को घटाकर आप समाप्त कर सकते हैं। लेकिन चित्र को पूरा करने के लिए, भिन्नों को कम करने के दो और तरीकों पर विचार करें, जो आमतौर पर हल्के मामलों में उपयोग किए जाते हैं।

कभी-कभी घटी हुई भिन्न का अंश और हर आसान होता है। इस मामले में अंश को कम करना बहुत आसान है: आपको केवल अंश और हर से सभी सामान्य कारकों को हटाने की जरूरत है।

यह ध्यान देने योग्य है कि यह विधि अंश में कमी के नियम से सीधे अनुसरण करती है, क्योंकि अंश और हर के सभी सामान्य अभाज्य कारकों का गुणनफल उनके सबसे बड़े सामान्य भाजक के बराबर होता है।

आइए एक उदाहरण समाधान देखें।

उदाहरण।

भिन्न 360/2940 घटाएं।

समाधान।

आइए अंश और हर को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करें: 360=2 2 2 3 3 5 और 2 940=2 2 3 5 7 7 । इस तरह, .

अब हम अंश और हर में उभयनिष्ठ गुणनखंडों से छुटकारा पाते हैं, सुविधा के लिए, हम उन्हें सरलता से काट देते हैं: .

अंत में, हम शेष गुणनखंडों को गुणा करते हैं: , और भिन्न का घटाव पूरा हो जाता है।

यहाँ समाधान का सारांश दिया गया है: .

उत्तर:

एक अंश को कम करने के दूसरे तरीके पर विचार करें, जिसमें क्रमिक कमी शामिल है। यहाँ, प्रत्येक चरण पर, अंश और हर के कुछ सामान्य भाजक द्वारा अंश को घटाया जाता है, जो या तो स्पष्ट है या आसानी से निर्धारित किया जाता है