भागों द्वारा अनिश्चितकालीन अभिन्न की गणना। ऑनलाइन कैलकुलेटर। अनिश्चितकालीन अभिन्न (एंटीडेरिवेटिव) की गणना करें

इंटीग्रल्स को हल करना एक आसान काम है, लेकिन केवल कुछ चुनिंदा लोगों के लिए। यह लेख उन लोगों के लिए है जो अभिन्नों को समझना सीखना चाहते हैं, लेकिन उनके बारे में कुछ भी नहीं या लगभग कुछ भी नहीं जानते हैं। अभिन्न... इसकी आवश्यकता क्यों है? इसकी गणना कैसे करें? निश्चित और अनिश्चित अभिन्न अंग क्या हैं? यदि किसी इंटीग्रल के लिए आप जो एकमात्र उपयोग जानते हैं, वह कुछ उपयोगी प्राप्त करने के लिए इंटीग्रल आइकन के आकार में क्रोकेट हुक का उपयोग करना है स्थानों तक पहुंचना कठिन है, तो स्वागत है! जानें कि इंटीग्रल को कैसे हल करें और आप इसके बिना क्यों नहीं कर सकते।

हम "अभिन्न" की अवधारणा का अध्ययन करते हैं

एकीकरण को वापस जाना जाता था प्राचीन मिस्र. बिल्कुल नहीं आधुनिक रूप, लेकिन अभी भी। तब से, गणितज्ञों ने इस विषय पर कई किताबें लिखी हैं। उन्होंने स्वयं को विशेष रूप से प्रतिष्ठित किया न्यूटन और लाइबनिट्स , लेकिन चीजों का सार नहीं बदला है। शुरू से इंटीग्रल को कैसे समझें? बिलकुल नहीं! इस विषय को समझने के लिए, आपको अभी भी गणितीय विश्लेषण की बुनियादी बातों के बुनियादी ज्ञान की आवश्यकता होगी। हमारे ब्लॉग पर इंटीग्रल को समझने के लिए आवश्यक के बारे में पहले से ही जानकारी है।

अनिश्चितकालीन अभिन्न

आइये कुछ कार्य करें एफ(एक्स) .

अनिश्चितकालीन अभिन्न कार्य एफ(एक्स) इस फ़ंक्शन को कॉल किया जाता है एफ(एक्स) , जिसका व्युत्पन्न फ़ंक्शन के बराबर है एफ(एक्स) .

दूसरे शब्दों में, अभिन्न एक विपरीत व्युत्पन्न या एक प्रतिअवकलन है। वैसे, हमारे लेख में कैसे पढ़ें।

सभी सतत कार्यों के लिए एक प्रतिअवकलन मौजूद है। इसके अलावा, एक स्थिर चिन्ह को अक्सर प्रतिअवकलन में जोड़ा जाता है, क्योंकि कार्यों के व्युत्पन्न जो एक स्थिरांक से भिन्न होते हैं, मेल खाते हैं। अभिन्न को खोजने की प्रक्रिया को एकीकरण कहा जाता है।

सरल उदाहरण:

लगातार प्रतिअवकलजों की गणना न करने के लिए प्राथमिक कार्य, उन्हें एक तालिका में संक्षेपित करना और तैयार मूल्यों का उपयोग करना सुविधाजनक है:

समाकलन परिभाषित करें

अभिन्न की अवधारणा से निपटते समय, हम अनंत मात्राओं से निपट रहे हैं। इंटीग्रल एक आकृति के क्षेत्रफल, एक गैर-समान पिंड का द्रव्यमान, असमान गति के दौरान तय की गई दूरी और बहुत कुछ की गणना करने में मदद करेगा। यह याद रखना चाहिए कि अभिन्न एक अनंत योग है बड़ी मात्राअतिसूक्ष्म शब्द.

उदाहरण के तौर पर, किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की कल्पना करें। किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ से घिरी आकृति का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें?

एक अभिन्न का उपयोग करना! आइए हम निर्देशांक अक्षों और फ़ंक्शन के ग्राफ़ द्वारा सीमित घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड को अनंत छोटे खंडों में विभाजित करें। इस प्रकार आकृति पतले-पतले स्तम्भों में विभाजित हो जायेगी। स्तंभों के क्षेत्रफलों का योग समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल होगा। लेकिन याद रखें कि ऐसी गणना अनुमानित परिणाम देगी। हालाँकि, खंड जितने छोटे और संकीर्ण होंगे, गणना उतनी ही सटीक होगी। यदि हम उन्हें इस हद तक कम कर दें कि लंबाई शून्य हो जाए, तो खंडों के क्षेत्रफलों का योग आकृति के क्षेत्रफल के बराबर हो जाएगा। यह एक निश्चित समाकलन है, जिसे इस प्रकार लिखा जाता है:

बिंदु a और b को एकीकरण की सीमाएँ कहा जाता है।

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अनिश्चितकालीन अभिन्न के गुण

अनिश्चितकालीन समाकलन को कैसे हल करें? यहां हम संपत्तियों पर नजर डालेंगे समाकलन परिभाषित करें, जो उदाहरणों को हल करते समय उपयोगी होगा।

• इंटीग्रल का व्युत्पन्न इंटीग्रैंड के बराबर है:

• स्थिरांक को अभिन्न चिह्न के अंतर्गत से निकाला जा सकता है:

• योग का अभिन्न अंग योग के बराबरअभिन्न। यह अंतर के लिए भी सत्य है:

एक निश्चित अभिन्न के गुण

• रैखिकता:

• यदि एकीकरण की सीमाओं की अदला-बदली की जाती है तो अभिन्न का चिह्न बदल जाता है:

• पर कोईअंक ए, बीऔर साथ:

हम पहले ही पता लगा चुके हैं कि एक निश्चित अभिन्न एक योग की सीमा है। लेकिन किसी उदाहरण को हल करते समय विशिष्ट मान कैसे प्राप्त करें? इसके लिए न्यूटन-लीबनिज सूत्र है:

अभिन्नों को हल करने के उदाहरण

नीचे हम अनिश्चित समाकलन खोजने के कई उदाहरणों पर विचार करेंगे। हमारा सुझाव है कि आप स्वयं समाधान की पेचीदगियों का पता लगाएं, और यदि कुछ अस्पष्ट है, तो टिप्पणियों में प्रश्न पूछें।

सामग्री को सुदृढ़ करने के लिए, अभ्यास में इंटीग्रल को कैसे हल किया जाता है, इसके बारे में एक वीडियो देखें। यदि अभिन्न तुरंत नहीं दिया जाता है तो निराश न हों। छात्रों के लिए एक पेशेवर सेवा से संपर्क करें, और एक बंद सतह पर कोई भी ट्रिपल या घुमावदार इंटीग्रल आपके अधिकार में होगा।

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अनिश्चितकालीन अभिन्नों को हल करना

यह एक ऑनलाइन सेवा है एक कदम:

निश्चित अभिन्नों को हल करना

यह एक ऑनलाइन सेवा है एक कदम:

• इंटीग्रैंड एक्सप्रेशन (इंटीग्रल फ़ंक्शन) दर्ज करें
• इंटीग्रल के लिए निचली सीमा दर्ज करें
• इंटीग्रल के लिए ऊपरी सीमा दर्ज करें

दोहरे समाकलन को हल करना

• इंटीग्रैंड एक्सप्रेशन (इंटीग्रल फ़ंक्शन) दर्ज करें

अनुचित अभिन्नों को हल करना

• इंटीग्रैंड एक्सप्रेशन (इंटीग्रल फ़ंक्शन) दर्ज करें
• एकीकरण की ऊपरी सीमा दर्ज करें (या + अनंत)
• एकीकरण का निचला क्षेत्र दर्ज करें (या - अनंत)

जाओ: ऑनलाइन सेवा "अनुचित अभिन्न" →

ट्रिपल इंटीग्रल्स को हल करना

• इंटीग्रैंड एक्सप्रेशन (इंटीग्रल फ़ंक्शन) दर्ज करें
• पहले एकीकरण क्षेत्र के लिए निचली और ऊपरी सीमाएँ दर्ज करें
• दूसरे एकीकरण क्षेत्र के लिए निचली और ऊपरी सीमा दर्ज करें
• एकीकरण के तीसरे क्षेत्र के लिए निचली और ऊपरी सीमा दर्ज करें

जाओ: ऑनलाइन सेवा "ट्रिपल इंटीग्रल" →

यह सेवा आपको अपनी जाँच करने की अनुमति देती है गणनाशुद्धता के लिए

संभावनाएं

• सभी संभावित गणितीय कार्यों का समर्थन करता है: साइन, कोसाइन, घातांक, स्पर्शरेखा, कोटैंजेंट, वर्ग और घन जड़ें, शक्तियां, घातांक और अन्य।
• इनपुट के लिए उदाहरण हैं, अनिश्चित अभिन्न और अनुचित और निश्चित दोनों के लिए।
• आपके द्वारा दर्ज किए गए भावों में त्रुटियों को सुधारता है और इनपुट के लिए आपके स्वयं के विकल्प प्रदान करता है।
• निश्चित और अनुचित समाकलन (दोहरे और तिगुने समाकलन सहित) के लिए संख्यात्मक समाधान।
• जटिल संख्याओं के साथ-साथ विभिन्न मापदंडों के लिए समर्थन (आप न केवल एकीकरण चर निर्दिष्ट कर सकते हैं, बल्कि इंटीग्रैंड अभिव्यक्ति में अन्य पैरामीटर चर भी निर्दिष्ट कर सकते हैं)

भागों द्वारा एकीकरण- निश्चित और अनिश्चित समाकलन को हल करने के लिए उपयोग की जाने वाली एक विधि, जब एक समाकलन आसानी से समाकलनीय होता है और दूसरा अवकलनीय होता है। अनिश्चित और निश्चित दोनों प्रकार के अभिन्नों को खोजने की एक काफी सामान्य विधि। मुख्य लक्षण, जब आपको इसका उपयोग करने की आवश्यकता होती है, तो यह एक निश्चित फ़ंक्शन है जिसमें दो फ़ंक्शन के उत्पाद शामिल होते हैं जिन्हें बिंदु-रिक्त एकीकृत नहीं किया जा सकता है।

FORMULA

सफलतापूर्वक उपयोग करने के लिए यह विधिसूत्रों को अलग करना और सीखना आवश्यक है।

अनिश्चितकालीन अभिन्न अंग में भागों द्वारा एकीकरण का सूत्र:

$$ \int udv = uv - \int vdu $$

एक निश्चित अभिन्न अंग में भागों द्वारा एकीकरण का सूत्र:

$$ \int \limits_(a)^(b) udv = uv \bigg |_(a)^(b) - \int \limits_(a)^(b) vdu $$

समाधान के उदाहरण

आइए अभ्यास में भागों द्वारा एकीकरण के समाधान के उदाहरणों पर विचार करें, जो अक्सर परीक्षणों के दौरान शिक्षकों द्वारा प्रस्तावित किए जाते हैं। कृपया ध्यान दें कि अभिन्न प्रतीक के अंतर्गत दो कार्यों का गुणनफल होता है। यह इस बात का संकेत है कि यह विधि समाधान के लिए उपयुक्त है।

उदाहरण 1

अभिन्न $ \int xe^xdx $ ज्ञात करें

समाधान

हम देखते हैं कि इंटीग्रैंड में दो कार्य होते हैं, जिनमें से एक, विभेदीकरण पर, तुरंत एकता में बदल जाता है, और दूसरा आसानी से एकीकृत हो जाता है। अभिन्न को हल करने के लिए, हम भागों द्वारा एकीकरण की विधि का उपयोग करते हैं। आइए मान लें कि $ u = x \rightarrow du=dx $ और $ dv = e^x dx \rightarrow v=e^x $ हम पाए गए मानों को पहले एकीकरण सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं और प्राप्त करते हैं: $$ \int xe^x dx = xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x + C $$ यदि आप अपनी समस्या का समाधान नहीं कर सकते तो हमें भेजें। हम विस्तृत समाधान प्रदान करेंगे. आप गणना की प्रगति देख सकेंगे और जानकारी प्राप्त कर सकेंगे। इससे आपको समय पर अपने शिक्षक से अपना ग्रेड प्राप्त करने में मदद मिलेगी!

उत्तर

$$ \int xe^x dx = xe^x - e^x + C $$

उदाहरण 4

अभिन्न $ \int \limits_0 ^1 (x+5) 3^x dx $ की गणना करें

समाधान

पिछले हल किए गए उदाहरणों के अनुरूप, हम यह पता लगाएंगे कि किस फ़ंक्शन को बिना किसी समस्या के एकीकृत करना है, किसे अलग करना है। कृपया ध्यान दें कि यदि हम $ (x+5) $ को अलग करते हैं, तो यह अभिव्यक्ति स्वचालित रूप से एकता में परिवर्तित हो जाएगी, जो हमारे लाभ के लिए होगी। तो हम यह करते हैं: $$ u=x+5 \दायां तीर du=dx, dv=3^x dx \दायां तीर v=\frac(3^x)(ln3) $$ अब सभी अज्ञात फ़ंक्शन मिल गए हैं और उन्हें एक निश्चित अभिन्न अंग के लिए भागों द्वारा एकीकरण के दूसरे सूत्र में रखा जा सकता है। $$ \int \limits_0 ^1 (x+5) 3^x dx = (x+5) \frac(3^x)(\ln 3) \bigg |_0 ^1 - \int \limits_0 ^1 \frac (3^x dx)(\ln 3) = $$ $$ = \frac(18)(\ln 3) - \frac(5)(\ln 3) - \frac(3^x)(\ln^2 3)\bigg| _0 ^1 = \frac(13)(\ln 3) - \frac(3)(\ln^2 3)+\frac(1)(\ln^2 3) = \frac(13)(\ln 3 )-\frac(4)(\ln^2 3) $$

उत्तर

$$ \int\limits_0 ^1 (x+5)3^x dx = \frac(13)(\ln 3)-\frac(4)(\ln^2 3) $$

किसी दिए गए अंतराल X में अवकलनीय फ़ंक्शन F(x) को कहा जाता है फ़ंक्शन का प्रतिव्युत्पन्न f(x), या f(x) का अभिन्न अंग, यदि प्रत्येक x ∈X के लिए निम्नलिखित समानता है:

एफ " (एक्स) = एफ(एक्स)। (8.1)

किसी दिए गए फलन के लिए सभी प्रतिअवकलन ज्ञात करना उसका कहलाता है एकीकरण। अनिश्चितकालीन अभिन्न कार्यकिसी दिए गए अंतराल पर f(x) X फ़ंक्शन f(x) के लिए सभी एंटीडेरिवेटिव फ़ंक्शन का सेट है; पद का नाम -

यदि F(x) फलन f(x) का कुछ प्रतिअवकलन है, तो ∫ f(x)dx = F(x) + C, (8.2)

जहाँ C एक मनमाना स्थिरांक है।

अभिन्नों की तालिका

सीधे परिभाषा से हमें अनिश्चितकालीन अभिन्न के मुख्य गुण और सारणीबद्ध अभिन्न की एक सूची प्राप्त होती है:

1) d∫f(x)dx=f(x)

2)∫df(x)=f(x)+C

3) ∫af(x)dx=a∫f(x)dx (a=const)

4) ∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx+∫g(x)dx

सारणीबद्ध अभिन्नों की सूची

1. ∫x m dx = x m+1 /(m + 1) +C; (एम ≠ -1)

3.∫a x dx = a x /ln a + C (a>0, a ≠1)

4.∫e x dx = e x + C

5.∫sin x dx = cosx + C

6.∫cos x dx = - पाप x + C

7. = आर्कटैन x + C

8. = आर्क्सिन x + C

10. = - सीटीजी एक्स + सी

परिवर्तनीय प्रतिस्थापन

कई कार्यों को एकीकृत करने के लिए, परिवर्तनीय प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करें या प्रतिस्थापन,आपको इंटीग्रल को सारणीबद्ध रूप में कम करने की अनुमति देता है।

यदि फलन f(z) [α,β] पर सतत है, तो फलन z =g(x) का एक सतत अवकलज है और α ≤ g(x) ≤ β, तो

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫f(z)dz, (8.3)

इसके अलावा, दाईं ओर एकीकरण के बाद, प्रतिस्थापन z=g(x) किया जाना चाहिए।

इसे सिद्ध करने के लिए, मूल अभिन्न को इस रूप में लिखना पर्याप्त है:

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫ f(g(x)) dg(x).

उदाहरण के लिए:

भागों द्वारा एकीकरण की विधि

मान लीजिए u = f(x) और v = g(x) ऐसे फलन हैं जिनमें सततता है। फिर कार्य के अनुसार

d(uv))= udv + vdu या udv = d(uv) - vdu.

अभिव्यक्ति d(uv) के लिए, प्रतिअवकलन स्पष्ट रूप से uv होगा, इसलिए सूत्र इस प्रकार है:

∫ यूडीवी = यूवी - ∫ वीडीयू (8.4.)

यह सूत्र नियम को व्यक्त करता है भागों द्वारा एकीकरण. यह अभिव्यक्ति udv=uv"dx के एकीकरण को अभिव्यक्ति vdu=vu"dx के एकीकरण की ओर ले जाता है।

उदाहरण के लिए, आप ∫xcosx dx खोजना चाहते हैं। आइए हम u = x, dv = cosxdx रखें, इसलिए du=dx, v=sinx। तब

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x पाप x - ∫sin x dx = x पाप x + cosx + C.

भागों द्वारा एकीकरण के नियम का दायरा चरों के प्रतिस्थापन की तुलना में अधिक सीमित है। लेकिन अभिन्नों के पूरे वर्ग हैं, उदाहरण के लिए,

∫x k ln m xdx, ∫x k synbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax और अन्य, जिनकी गणना भागों द्वारा एकीकरण का उपयोग करके सटीक रूप से की जाती है।

समाकलन परिभाषित करें

एक निश्चित अभिन्न की अवधारणा इस प्रकार प्रस्तुत की गई है। मान लीजिए कि एक फलन f(x) को एक अंतराल पर परिभाषित किया गया है। आइए हम खंड को [ए,बी] में विभाजित करें एनबिंदुओं के अनुसार भाग ए= एक्स 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ एक्स आई =एक्स आई - एक्स आई-1. f(ξ i)Δ x i के रूप का योग कहा जाता है अभिन्न योग, और λ = maxΔx i → 0 पर इसकी सीमा, यदि यह मौजूद है और परिमित है, कहलाती है समाकलन परिभाषित करेंफ़ंक्शन f(x) का एपहले बीऔर निर्दिष्ट है:

F(ξ i)Δx i (8.5).

इस मामले में फ़ंक्शन f(x) कहा जाता है अंतराल पर अभिन्न, संख्या ए और बी कहा जाता है अभिन्न की निचली और ऊपरी सीमाएँ.

निम्नलिखित गुण एक निश्चित अभिन्न के लिए सत्य हैं:

4), (k = const, k∈R);

5)

6)

7) f(ξ)(b-a) (ξ∈).

अंतिम संपत्ति कहलाती है माध्य मान प्रमेय.

मान लीजिए f(x) निरंतर है। फिर इस खंड पर एक अनिश्चितकालीन अभिन्न अंग है

∫f(x)dx = F(x) + C

और होता है न्यूटन-लीबनिज सूत्र, निश्चित अभिन्न को अनिश्चितकालीन अभिन्न से जोड़ना:

एफ(बी) - एफ(ए)। (8.6)

ज्यामितीय व्याख्या: निश्चित अभिन्न अंग ऊपर से वक्र y=f(x), सीधी रेखाओं x = a और x = b और अक्ष के एक खंड से घिरे एक घुमावदार समलम्बाकार का क्षेत्र है बैल.

अनुचित अभिन्न अंग

अनंत सीमाओं वाले समाकलन तथा असंतत (अनबाउंड) कार्यों के समाकलन कहलाते हैं तुम्हारा अपना नहीं. प्रथम प्रकार के अनुचित अभिन्न अंग -ये एक अनंत अंतराल पर अभिन्न अंग हैं, जिन्हें इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

(8.7)

यदि यह सीमा अस्तित्व में है और परिमित है, तो इसे कहा जाता है f(x) का अभिसारी अनुचित समाकलनअंतराल पर [a,+ ∞), और फ़ंक्शन f(x) कहा जाता है अनंत अंतराल पर समाकलनीय[ए,+ ∞). अन्यथा अभिन्न कहा जाता है अस्तित्व में नहीं है या भिन्न है.

अंतराल (-∞,b] और (-∞, + ∞) पर अनुचित समाकलन को इसी तरह परिभाषित किया गया है:

आइए हम एक असीमित फलन के समाकलन की अवधारणा को परिभाषित करें। यदि f(x) सभी मानों के लिए सतत है एक्सखंड, बिंदु c को छोड़कर, जिस पर f(x) में अनंत असंततता है दूसरे प्रकार का अनुचित अभिन्न अंगएफ(एक्स) ए से लेकर बी तकराशि कहलाती है:

यदि ये सीमाएँ अस्तित्व में हैं और सीमित हैं। पद का नाम:

अभिन्न गणना के उदाहरण

उदाहरण 3.30.∫dx/(x+2) की गणना करें.

समाधान।आइए हम t = x+2 को निरूपित करें, फिर dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + सी = एलएन|एक्स+2| +सी.

उदाहरण 3.31. ∫ tgxdx ज्ञात कीजिए।

समाधान।∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. मान लीजिए t=cosx, तो ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + सी = -ln|cosx|+C.

उदाहरण3.32 . ∫dx/sinx खोजें

समाधान।

उदाहरण3.33. खोजो ।

समाधान। = .

उदाहरण3.34 . ∫arctgxdx खोजें।

समाधान। आइए भागों द्वारा एकीकृत करें। आइए हम u=arctgx, dv=dx को निरूपित करें। फिर du = dx/(x 2 +1), v=x, जहां से ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; क्योंकि
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

उदाहरण3.35 . ∫lnxdx की गणना करें.

समाधान।भागों द्वारा एकीकरण सूत्र को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. फिर ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.

उदाहरण3.36 . ∫e x synxdx की गणना करें।

समाधान।आइए हम u = e x, dv = synxdx, फिर du = e x dx, v =∫sinxdx= - cosx → ∫ e x synxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx निरूपित करें। हम अभिन्न ∫e x cosxdx को भागों द्वारा भी एकीकृत करते हैं: u = e x, dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx। हमारे पास है:
∫ ई एक्स कॉसएक्सडीएक्स = ई एक्स सिनएक्स - ∫ ई एक्स सिनएक्सडीएक्स। हमने संबंध ∫e x synxdx = - e x cosx + e x synx - ∫ e x synxdx प्राप्त किया, जिससे 2∫e x synx dx = - e x cosx + e x synx + C.

उदाहरण 3.37. J = ∫cos(lnx)dx/x की गणना करें।

समाधान।चूँकि dx/x = dlnx, तो J= ∫cos(lnx)d(lnx)। एलएनएक्स को टी के माध्यम से प्रतिस्थापित करने पर, हम तालिका अभिन्न जे = ∫ लागतडीटी = सिंट + सी = पाप (एलएनएक्स) + सी पर पहुंचते हैं।

उदाहरण 3.38 . जे = की गणना करें।

समाधान।यह मानते हुए कि = d(lnx), हम lnx = t प्रतिस्थापित करते हैं। फिर जे = .

उदाहरण 3.39 . अभिन्न जे = की गणना करें .

समाधान।हमारे पास है: . इसलिए =
=
=. इस तरह दर्ज किया गया: sqrt(tan(x/2)).

और यदि परिणाम विंडो में आप ऊपरी दाएं कोने में शो स्टेप्स पर क्लिक करते हैं, तो आपको एक विस्तृत समाधान मिलेगा।

भागों द्वारा एकीकरण क्या है? इस प्रकार के एकीकरण में महारत हासिल करने के लिए, आइए सबसे पहले किसी उत्पाद के व्युत्पन्न को याद करें:

$((\left(f\cdot g \right))^(\ prime ))=(f)"\cdot g+f\cdot (g)"$

प्रश्न उठता है: अभिन्नों का इससे क्या लेना-देना है? आइए अब इस समीकरण के दोनों पक्षों को एकीकृत करें। तो चलिए इसे लिखते हैं:

$\int(((\left(f\cdot g \right))^(\ prime ))\text(d)x=)\int((f)"\cdot g\,\text(d)x+\ int(f\cdot (g)"\,\text(d)x))$

लेकिन स्ट्रोक का प्रतिव्युत्पन्न क्या है? यह केवल फ़ंक्शन ही है, जो स्ट्रोक के अंदर है। तो चलिए इसे लिखते हैं:

$f\cdot g=\int((f)"\cdot g\,\text(d)x+\int(f\cdot (g)"\,\text(d)x))$

इस समीकरण में, मैं शब्द को व्यक्त करने का प्रस्ताव करता हूं। हमारे पास है:

$\int((f)"\cdot g\,\text(d)x=f\cdot g-\int(f\cdot (g)"\,\text(d)x))$

यह वही है भागों सूत्र द्वारा एकीकरण. इस प्रकार, हम अनिवार्य रूप से व्युत्पन्न और फ़ंक्शन का आदान-प्रदान कर रहे हैं। यदि प्रारंभ में हमारे पास एक स्ट्रोक का एक अभिन्न अंग था जिसे किसी चीज़ से गुणा किया गया था, तो हमें एक स्ट्रोक से गुणा किए गए किसी नए चीज़ का एक अभिन्न अंग मिलता है। बस यही नियम है. पहली नज़र में, यह सूत्र जटिल और अर्थहीन लग सकता है, लेकिन वास्तव में, यह गणनाओं को बहुत सरल बना सकता है। चलो देखते हैं।

अभिन्न गणना के उदाहरण

समस्या 1. गणना करें:

\[\int(\ln x\,\text(d)x)\]\[\]

आइए लघुगणक से पहले 1 जोड़कर अभिव्यक्ति को फिर से लिखें:

\[\int(\ln x\,\text(d)x)=\int(1\cdot \ln x\,\text(d)x)\]

हमें ऐसा करने का अधिकार है क्योंकि न तो संख्या और न ही कार्य बदलेगा। आइए अब इस अभिव्यक्ति की तुलना हमारे सूत्र में लिखी गई बातों से करें। $(f)"$ की भूमिका 1 है, इसलिए हम लिखते हैं:

$\begin(संरेखित करें)& (f)"=1\दायां तीर f=x \\& g=\ln x\दायां तीर (g)"=\frac(1)(x) \\\end(संरेखित)$

ये सभी फ़ंक्शन तालिकाओं में हैं. अब जब हमने अपनी अभिव्यक्ति में शामिल सभी तत्वों का वर्णन कर लिया है, तो हम भागों द्वारा एकीकरण के सूत्र का उपयोग करके इस अभिन्न को फिर से लिखेंगे:

\[\begin(संरेखित करें)& \int(1\cdot \ln x\,\text(d)x)=x\ln x-\int(x\cdot \frac(1)(x)\text(d) )x)=x\ln x-\int(\text(d)x)= \\& =x\ln x-x+C=x\left(\ln x-1 \right)+C \\\ अंत(संरेखित करें)\]

बस, अभिन्न मिल गया।

समस्या 2. गणना करें:

$\int(x((\text(e))^(-x))\,\text(d)x=\int(x\cdot ((e)^(-x))\,\text(d )x))$

यदि हम $x$ को व्युत्पन्न के रूप में लेते हैं, जिससे अब हमें प्रतिअवकलन खोजने की आवश्यकता है, तो हमें $((x)^(2))$ मिलेगा, और अंतिम अभिव्यक्ति में $((x)^(2) होगा )( (\text(e))^(-x))$.

जाहिर है, समस्या सरल नहीं है, इसलिए हम अभिन्न चिह्न के तहत कारकों की अदला-बदली करते हैं:

$\int(x\cdot ((\text(e))^(-x))\,\text(d)x)=\int(((\text(e))^(-x))\cdot x\,\text(d)x)$

आइए अब संकेतन का परिचय दें:

$(f)"=((\text(e))^(-x))\राइटएरो f=\int(((\text(e))^(-x))\,\text(d)x) =-((\text(e))^(-x))$

आइए $((\text(e))^(-x))$ में अंतर करें:

$((\left(((\text(e))^(-x)) \right))^(\ prime ))=((\text(e))^(-x))\cdot ((\ बाएँ(-x \दाएँ))^(\प्रधान ))=-((\text(e))^(-x))$

दूसरे शब्दों में, पहले ऋण को जोड़ा जाता है और फिर दोनों पक्षों को एकीकृत किया जाता है:

\[\begin(संरेखित)& ((\left(((\text(e))^(-x)) \right))^(\प्राइम ))=-((\text(e))^(- x))\दायाँ तीर ((\text(e))^(-x))=-((\left(((\text(e))^(-x)) \right))^(\प्राइम )) \\& \int(((\text(e))^(-x))\,\text(d)x)=-\int(((\left(((\text(e))^(- x)) \दाएं))^(\प्राइम ))\text(d)x)=-((\text(e))^(-x))+C \\\end(संरेखित)\]

अब आइए $g$ फ़ंक्शन को देखें:

$g=x\राइटएरो (g)"=1$

हम अभिन्न की गणना करते हैं:

$\begin(संरेखित करें)& \int(((\text(e))^(-x))\cdot x\,\text(d)x)=x\cdot \left(-((\text(e) ))^(-x)) \right)-\int(\left(-((\text(e))^(-x)) \right)\cdot 1\cdot \text(d)x)= \ \& =-x((\text(e))^(-x))+\int(((\text(e))^(-x))\,\text(d)x)=-x( (\text(e))^(-x))-((\text(e))^(-x))+C=-((\text(e))^(-x))\left(x +1 \दाएं)+C \\\end(संरेखित)$

इसलिए, हमने भागों द्वारा दूसरा एकीकरण किया है।

समस्या 3. गणना करें:

$\int(x\cos 3x\,\text(d)x)$

इस मामले में, हमें $(f)"$ के लिए क्या लेना चाहिए और $g$ के लिए क्या? यदि $x$ एक व्युत्पन्न के रूप में कार्य करता है, तो एकीकरण के दौरान हमें $\frac(((x)^(2)) मिलेगा )(2 )$, और हमारा पहला कारक कहीं भी गायब नहीं होगा - यह $\frac(((x)^(2)))(2)\cdot \cos 3x$ होगा। इसलिए, आइए कारकों को फिर से स्वैप करें:

$\begin(संरेखित करें)& \int(x\cos 3x\,\text(d)x)=\int(\cos 3x\cdot x\,\text(d)x) \\& (f)"= \cos 3x\राइटएरो f=\int(\cos 3x\,\text(d)x)=\frac(\sin 3x)(3) \\& g=x\राइटएरो (g)"=1 \\\ अंत(संरेखित)$

हम अपनी मूल अभिव्यक्ति को फिर से लिखते हैं और भागों द्वारा एकीकरण सूत्र के अनुसार इसका विस्तार करते हैं:

\[\begin(संरेखित करें)& \int(\cos 3x\cdot x\ \text(d)x)=\frac(\sin 3x)(3)\cdot x-\int(\frac(\sin 3x) (3)\text(d)x)= \\& =\frac(x\sin 3x)(3)-\frac(1)(3)\int(\sin 3x\,\text(d)x) =\frac(x\sin 3x)(3)+\frac(\cos 3x)(9)+C \\\end(संरेखित)\]

बस, तीसरी समस्या हल हो गई।

अंत में, आइए एक और नज़र डालें भागों सूत्र द्वारा एकीकरण. हम कैसे चुनें कि कौन सा कारक व्युत्पन्न होगा और कौन सा वास्तविक कार्य होगा? यहां केवल एक ही मानदंड है: जिस तत्व को हम अलग करेंगे उसे या तो एक "सुंदर" अभिव्यक्ति देनी होगी, जो तब कम हो जाएगी, या भेदभाव के दौरान पूरी तरह से गायब हो जाएगी। इससे पाठ समाप्त होता है।