पाठ "एक निश्चित अभिन्न का उपयोग करके क्रांति के पिंडों की मात्रा की गणना करना। कार्रवाई में अभिन्न

पाठ प्रकार: संयुक्त।

पाठ का उद्देश्य:इंटीग्रल का उपयोग करके क्रांति के पिंडों के आयतन की गणना करना सीखें।

कार्य:

• कई ज्यामितीय आकृतियों से कर्विलिनियर ट्रेपेज़ोइड्स का चयन करने की क्षमता को समेकित करें और कर्विलीनियर ट्रेपेज़ोइड्स के क्षेत्रों की गणना करने का कौशल विकसित करें;
• त्रि-आयामी आकृति की अवधारणा से परिचित हों;
• क्रांति के निकायों की मात्रा की गणना करना सीखें;
• विकास में योगदान दें तर्कसम्मत सोच, सक्षम गणितीय भाषण, चित्र के निर्माण में सटीकता;
• संचालन में, विषय में रुचि पैदा करने के लिए गणितीय अवधारणाएँऔर छवियां, अंतिम परिणाम प्राप्त करने के लिए इच्छाशक्ति, स्वतंत्रता, दृढ़ता की खेती करने के लिए।

कक्षाओं के दौरान

I. संगठनात्मक क्षण।

सामूहिक अभिवादन। पाठ के उद्देश्यों के छात्रों के लिए संचार।

प्रतिबिंब। शांत राग।

मैं आज के पाठ की शुरुआत एक दृष्टांत से करना चाहूंगा। “एक बुद्धिमान व्यक्ति था जो सब कुछ जानता था। एक व्यक्ति यह सिद्ध करना चाहता था कि साधु सब कुछ नहीं जानता। तितली को अपने हाथों में पकड़कर उसने पूछा: "मुझे बताओ, ऋषि, मेरे हाथों में कौन सी तितली है: मृत या जीवित?" और वह आप ही सोचता है, यदि जीवित कहे, तो मैं उसे घात करूंगा, यदि मुरदा कहे, तो मैं उसे निकाल दूंगा। ऋषि ने सोचते हुए उत्तर दिया: "सब आपके हाथ मे है"। (प्रस्तुति।फिसलना)

- इसलिए, आइए आज फलदायी रूप से काम करें, ज्ञान का एक नया भंडार प्राप्त करें, और हम अधिग्रहीत कौशल और क्षमताओं को बाद के जीवन में और व्यावहारिक गतिविधियों में लागू करेंगे। "सब आपके हाथ मे है"।

द्वितीय। पहले सीखी गई सामग्री की पुनरावृत्ति।

आइए पहले अध्ययन की गई सामग्री के मुख्य बिंदुओं की समीक्षा करें। ऐसा करने के लिए, आइए कार्य करें "अनावश्यक शब्द हटा दें।"(फिसलना।)

(विद्यार्थी इरेज़र की मदद से आई.डी. पर जाता है और अतिरिक्त शब्द को हटा देता है।)

- सही "अंतर"। शेष शब्दों को एक सामान्य शब्द में नाम देने का प्रयास करें। (समाकलन गणित।)

-आइए इंटीग्रल कैलकुलस से जुड़े मुख्य चरणों और अवधारणाओं को याद करते हैं..

"गणितीय गुच्छा"।

व्यायाम। पास बहाल करें। (छात्र बाहर आता है और कलम से आवश्यक शब्द लिखता है।)

- हम इंटीग्रल्स के आवेदन पर एक रिपोर्ट बाद में सुनेंगे।

नोटबुक्स में काम करें।

- न्यूटन-लीबनिज सूत्र अंग्रेजी भौतिक विज्ञानी आइजैक न्यूटन (1643-1727) और जर्मन दार्शनिक गॉटफ्रीड लीबनिज (1646-1716) द्वारा विकसित किया गया था। और यह आश्चर्य की बात नहीं है, क्योंकि गणित वह भाषा है जिसे प्रकृति स्वयं बोलती है।

- विचार करें कि व्यावहारिक कार्यों को हल करने में इस सूत्र का उपयोग कैसे किया जाता है।

उदाहरण 1: रेखाओं से घिरी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

समाधान: चलिए समन्वय तल पर कार्यों के ग्राफ बनाते हैं . पाए जाने वाले आंकड़े के क्षेत्र का चयन करें।

तृतीय। नई सामग्री सीखना।

- स्क्रीन पर ध्यान दें। पहली तस्वीर में क्या दिखाया गया है? (फिसलना) (आंकड़ा एक सपाट आंकड़ा दिखाता है।)

दूसरी तस्वीर में क्या दिखाया गया है? क्या यह आंकड़ा सपाट है? (फिसलना) (आंकड़ा एक त्रि-आयामी आंकड़ा दिखाता है।)

अंतरिक्ष में, पृथ्वी पर और अंदर रोजमर्रा की जिंदगीहम न केवल सपाट आकृतियों के साथ, बल्कि त्रि-आयामी लोगों के साथ भी मिलते हैं, लेकिन ऐसे पिंडों के आयतन की गणना कैसे करें? उदाहरण के लिए, किसी ग्रह, धूमकेतु, उल्कापिंड आदि का आयतन।

- मात्रा और घरों के निर्माण, और एक बर्तन से दूसरे बर्तन में पानी डालने के बारे में सोचें। वॉल्यूम की गणना के लिए नियम और तरीके उत्पन्न होने चाहिए थे, दूसरी बात यह है कि वे कितने सही और न्यायसंगत थे।

छात्र संदेश। (ट्यूरिना वेरा।)

ऑस्ट्रियाई शहर लिंज़ के निवासियों के लिए वर्ष 1612 बहुत फलदायी था, जहाँ तत्कालीन प्रसिद्ध खगोलशास्त्री जोहान्स केप्लर रहते थे, विशेष रूप से अंगूर के लिए। लोग वाइन बैरल तैयार कर रहे थे और जानना चाहते थे कि व्यावहारिक रूप से उनकी मात्रा कैसे निर्धारित की जाए। (स्लाइड 2)

- इस प्रकार, केपलर के विचाराधीन कार्यों ने अनुसंधान की एक पूरी धारा की शुरुआत को चिह्नित किया, जिसकी परिणति 17 वीं शताब्दी की अंतिम तिमाही में हुई। आई। न्यूटन और जी.वी. के कार्यों में डिजाइन। लीबनिज अंतर और अभिन्न कलन। उस समय से, परिमाण चर के गणित ने गणितीय ज्ञान की प्रणाली में एक प्रमुख स्थान ले लिया है।

- तो आज हम ऐसी ही व्यावहारिक गतिविधियों में लगे रहेंगे, इसलिए,

हमारे पाठ का विषय: "एक निश्चित अभिन्न का उपयोग करके क्रांति के पिंडों की मात्रा की गणना।" (फिसलना)

- आप निम्न कार्य को पूरा करके क्रांति के निकाय की परिभाषा सीखेंगे।

"भूलभुलैया"।

भूलभुलैया (ग्रीक शब्द) का अर्थ है कालकोठरी में जाना। एक भूलभुलैया रास्तों, गलियारों, कमरों का एक जटिल नेटवर्क है जो एक दूसरे के साथ संवाद करते हैं।

लेकिन परिभाषा "दुर्घटनाग्रस्त", तीर के रूप में संकेत थे।

व्यायाम। भ्रमित करने वाली स्थिति से बाहर निकलने का रास्ता खोजिए और परिभाषा लिखिए।

फिसलना। "निर्देश कार्ड" वॉल्यूम की गणना।

मदद से समाकलन परिभाषित करेंएक या दूसरे पिंड के आयतन की गणना करना संभव है, विशेष रूप से, क्रांति का एक पिंड।

क्रांति का एक पिंड अपने आधार के चारों ओर एक वक्रतापूर्ण ट्रेपेज़ॉइड को घुमाकर प्राप्त किया गया पिंड है (चित्र 1, 2)।

क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना सूत्रों में से एक द्वारा की जाती है:

1. एक्स-अक्ष के आसपास।

2. , यदि वक्रीय समलम्बाकार का घूर्णन वाई-अक्ष के आसपास।

प्रत्येक छात्र को एक निर्देश कार्ड प्राप्त होता है। शिक्षक मुख्य बिंदुओं पर प्रकाश डालता है।

शिक्षक ब्लैकबोर्ड पर उदाहरणों का हल बताते हैं।

ए.एस. पुश्किन की प्रसिद्ध परियों की कहानी "द टेल ऑफ़ ज़ार साल्टन, उनके गौरवशाली और पराक्रमी बेटे प्रिंस गिविडन साल्टानोविच और सुंदर राजकुमारी लेबेड" के एक अंश पर विचार करें। (स्लाइड 4):

…..
और एक शराबी दूत लाया
उसी दिन, आदेश है:
"ज़ार अपने लड़कों को आदेश देता है,
समय बर्बाद नहीं कर रहा,
और रानी और संतान
गुप्त रूप से पानी के रसातल में डाल दिया।
करने के लिए कुछ नहीं है: बॉयर्स,
संप्रभु के बारे में शोक करने के बाद
और युवा रानी
उसके बेडरूम में भीड़ आ गई।
शाही इच्छा की घोषणा की -
उसका और उसके बेटे का भाग्य खराब है,
फरमान को जोर से पढ़ें
और साथ में रानी
उन्होंने मुझे मेरे बेटे के साथ एक बैरल में डाल दिया,
प्रार्थना की, लुढ़का
और उन्होंने मुझे ओकियन में जाने दिया -
इसलिए डे ज़ार साल्टन को आदेश दिया।

बैरल का आयतन कितना होना चाहिए ताकि रानी और उसका बेटा उसमें फिट हो सकें?

– निम्नलिखित कार्यों पर विचार करें

1. रेखाओं से घिरे एक कर्विलीनियर ट्रैपेज़ॉइड के y- अक्ष के चारों ओर घूमने से प्राप्त शरीर का आयतन ज्ञात करें: x 2 + y 2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0।

उत्तर: 1163 सेमी 3 .

भुज के चारों ओर एक परवलयिक समलंब को घुमाकर प्राप्त पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए वाई =, एक्स = 4, वाई = 0।

चतुर्थ। नई सामग्री फिक्सिंग

उदाहरण 2. एक्स-अक्ष के चारों ओर पंखुड़ी के घूमने से बनने वाले पिंड के आयतन की गणना करें वाई \u003d एक्स 2, वाई 2 \u003d एक्स।

आइए फ़ंक्शन के ग्राफ़ प्लॉट करें। y=x2, y2=x. अनुसूची वाई 2 = एक्सरूप में परिणत करना वाई= .

अपने पास वी \u003d वी 1 - वी 2आइए प्रत्येक फ़ंक्शन की मात्रा की गणना करें

- अब, एक अद्भुत रूसी इंजीनियर, मानद शिक्षाविद वी। जी। शुखोव की परियोजना के अनुसार निर्मित, मास्को में एक रेडियो स्टेशन के लिए टॉवर को देखें। इसमें भाग होते हैं - क्रांति के हाइपरबोलाइड्स। इसके अलावा, उनमें से प्रत्येक आयताकार धातु की छड़ से बना है जो आसन्न मंडलियों को जोड़ता है (चित्र 8, 9)।

- समस्या पर विचार करें।

हाइपरबोला के चापों को घुमाकर प्राप्त शरीर का आयतन ज्ञात कीजिए अपनी काल्पनिक धुरी के चारों ओर, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। 8, जहां

घनक्षेत्र इकाइयां

समूह कार्य। छात्र कार्यों के साथ बहुत कुछ खींचते हैं, व्हामैन पेपर पर चित्र बनाए जाते हैं, समूह के प्रतिनिधियों में से एक कार्य का बचाव करता है।

पहला समूह।

मार! मार! एक और हिट!
गेंद गेट में उड़ती है - गेंद!
और यह तरबूज की गेंद है
हरा, गोल, स्वादिष्ट।
बेहतर देखो - क्या गेंद है!
यह मंडलियों से बना है।
तरबूज को हलकों में काट लें
और उनका स्वाद चखें।

द्वारा बंधे फ़ंक्शन के OX अक्ष के चारों ओर घूमने से प्राप्त निकाय का आयतन ज्ञात कीजिए

गलती! बुकमार्क परिभाषित नहीं है।

- मुझे बताओ, कृपया, हम इस आंकड़े के साथ कहां मिलते हैं?

घर। समूह 1 के लिए कार्य। सिलेंडर (फिसलना) .

"सिलेंडर - यह क्या है?" मैंने अपने पिताजी से पूछा।
पिता हंसा: सबसे ऊपर वाली टोपी तो टोपी है।
एक सही विचार रखने के लिए,
सिलेंडर, मान लीजिए, एक टिन कैन है।
स्टीमर का पाइप एक सिलेंडर है,
हमारी छत पर पाइप भी,

सभी पाइप एक सिलेंडर के समान होते हैं।
और मैंने एक उदहारण इस प्रकार दिया -
मेरा प्रिय बहुरूपदर्शक
आप उससे अपनी आँखें नहीं हटा सकते।
यह भी एक सिलेंडर जैसा दिखता है।

- व्यायाम। किसी फ़ंक्शन को प्लॉट करने और वॉल्यूम की गणना करने के लिए होमवर्क।

दूसरा समूह। कोन (फिसलना).

माँ ने कहा: और अब
शंकु के बारे में मेरी कहानी होगी।
एक उच्च टोपी में Stargazer
साल भर तारे गिनता है।
कोन - स्टारगज़र की टोपी।
वह वही है। समझा? इतना ही।
माँ मेज पर थी
उसने बोतलों में तेल डाला।
- फ़नल कहाँ है? कोई फ़नल नहीं।
देखना। किनारे पर मत खड़े रहो।
- माँ, मैं जगह से नहीं हटूँगी,
मुझे कोन के बारे में और बताओ।
- फ़नल एक पानी देने वाले कैन के शंकु के रूप में होता है।
चलो, मुझे जल्दी ढूंढो।
मुझे फ़नल नहीं मिला
लेकिन माँ ने एक थैला बनाया,
अपनी उंगली के चारों ओर कार्डबोर्ड लपेटें
और चतुराई से एक पेपर क्लिप के साथ बांधा।
तेल बरस रहा है, माँ खुश है
कोन एकदम सही निकला।

व्यायाम। एक्स-अक्ष के चारों ओर घूमने से प्राप्त शरीर के आयतन की गणना करें

घर। दूसरे समूह के लिए कार्य। पिरामिड(फिसलना)।

मैंने तस्वीर देखी। इस तस्वीर में
रेतीले रेगिस्तान में एक पिरामिड है।
पिरामिड में सब कुछ असाधारण है,
इसमें कुछ रहस्य और रहस्य है।
रेड स्क्वायर पर स्पैस्काया टॉवर
बच्चे और वयस्क दोनों अच्छी तरह से जानते हैं।
मीनार को देखो - दिखने में साधारण,
उसके ऊपर क्या है? पिरामिड!

व्यायाम।होमवर्क प्लॉट करें और पिरामिड की मात्रा की गणना करें

- हमने अभिन्न का उपयोग करके निकायों के संस्करणों के मूल सूत्र के आधार पर विभिन्न निकायों के संस्करणों की गणना की।

यह एक और पुष्टि है कि गणित के अध्ययन के लिए निश्चित समाकल कुछ आधार है।

"चलो अब थोड़ा आराम करते हैं।"

एक युगल खोजें।

गणितीय डोमिनोज़ मेलोडी बजाता है।

"जिस सड़क की वह खुद तलाश कर रहे थे उसे कभी नहीं भुलाया जा सकेगा ..."

अनुसंधान कार्य। अर्थशास्त्र और प्रौद्योगिकी में अभिन्न का अनुप्रयोग।

मजबूत शिक्षार्थियों और गणित फुटबॉल के लिए टेस्ट।

गणित सिम्युलेटर।

2. किसी दिए गए फ़ंक्शन के सभी एंटीडेरिवेटिव्स के सेट को कहा जाता है

ए) एक अनिश्चितकालीन अभिन्न

बी) समारोह,

बी) भेदभाव।

7. रेखाओं से घिरे वक्रीय समलंब के भुज अक्ष के चारों ओर घूमने से प्राप्त पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए:

डी / जेड। क्रांति के निकायों की मात्रा की गणना करें।

प्रतिबिंब।

रूप में प्रतिबिंब की स्वीकृति Cinquain(पांच पंक्तियाँ)।

पहली पंक्ति - विषय का नाम (एक संज्ञा)।

दूसरी पंक्ति - संक्षेप में विषय का विवरण, दो विशेषण।

तीसरी पंक्ति - इस विषय के भीतर तीन शब्दों में कार्रवाई का विवरण।

चौथी पंक्ति - चार शब्दों का एक वाक्यांश, विषय के प्रति दृष्टिकोण (एक संपूर्ण वाक्य) दिखाता है।

पांचवीं पंक्ति एक पर्यायवाची है जो विषय के सार को दोहराती है।

1. आयतन।
2. निश्चित अभिन्न, अभिन्न कार्य।
3. हम बनाते हैं, घुमाते हैं, गणना करते हैं।
4. वक्रीय चतुर्भुज (इसके आधार के चारों ओर) को घुमाकर प्राप्त किया गया पिंड।
5. क्रांति का शरीर (3 डी ज्यामितीय निकाय)।

निष्कर्ष (फिसलना).

• गणित के अध्ययन के लिए एक निश्चित अभिन्न एक प्रकार का आधार है, जो व्यावहारिक सामग्री की समस्याओं को हल करने में एक अनिवार्य योगदान देता है।
• "इंटीग्रल" विषय गणित और भौतिकी, जीव विज्ञान, अर्थशास्त्र और प्रौद्योगिकी के बीच संबंध को स्पष्ट रूप से प्रदर्शित करता है।
• विकास आधुनिक विज्ञानअभिन्न के उपयोग के बिना अकल्पनीय। इस संबंध में, माध्यमिक विशिष्ट शिक्षा के ढांचे के भीतर इसका अध्ययन शुरू करना आवश्यक है!

ग्रेडिंग। (टिप्पणी के साथ।)

महान उमर खय्याम एक गणितज्ञ, कवि और दार्शनिक हैं। वह अपने भाग्य के स्वामी होने का आह्वान करता है। उनके काम का एक अंश सुनें:

तुम कहते हो यह जीवन क्षण भर का है।
इसकी सराहना करें, इससे प्रेरणा लें।
जैसे-जैसे आप इसे खर्च करेंगे, वैसे-वैसे यह बीत जाएगा।
मत भूलो: वह तुम्हारी रचना है।

क्रांति के शरीर की मात्रा सूत्र द्वारा गणना की जा सकती है:

सूत्र में, समाकल से पहले एक संख्या होनी चाहिए। ऐसा ही हुआ - जीवन में घूमने वाली हर चीज इस निरंतरता से जुड़ी है।

मुझे लगता है कि "ए" और "बी" एकीकरण की सीमा कैसे निर्धारित की जाती है, पूर्ण ड्राइंग से अनुमान लगाना आसान है।

कार्य... यह कार्य क्या है? आइए ड्राइंग देखें। सपाट आकृति शीर्ष पर परवलयिक ग्राफ से घिरी हुई है। यह वह कार्य है जो सूत्र में निहित है।

व्यावहारिक कार्यों में, एक सपाट आकृति कभी-कभी अक्ष के नीचे स्थित हो सकती है। यह कुछ भी नहीं बदलता है - सूत्र में समाकलन चुकता है:, इस प्रकार अभिन्न हमेशा गैर-नकारात्मक होता है , जो काफी तार्किक है।

इस सूत्र का उपयोग करके क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना करें:

जैसा कि मैंने पहले ही उल्लेख किया है, अभिन्न लगभग हमेशा सरल हो जाता है, मुख्य बात सावधान रहना है।

उत्तर:

उत्तर में, आयाम - घन इकाइयों को इंगित करना आवश्यक है। अर्थात्, हमारे घूमने वाले शरीर में लगभग 3.35 "क्यूब्स" होते हैं। बिल्कुल क्यूबिक क्यों इकाइयां? क्योंकि सबसे सार्वभौमिक सूत्रीकरण। घन सेंटीमीटर हो सकता है, हो सकता है घन मीटर, शायद घन किलोमीटर, आदि, कि आपकी कल्पना में कितने छोटे हरे आदमी एक उड़न तश्तरी में फिट हो सकते हैं।

उदाहरण 2

रेखाओं से बंधी आकृति के अक्ष के चारों ओर घूमने से बने पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए,,

के लिए यह एक उदाहरण है स्वतंत्र निर्णय. पूर्ण समाधानऔर पाठ के अंत में उत्तर।

आइए दो और जटिल समस्याओं पर विचार करें, जो व्यवहार में भी अक्सर सामने आती हैं।

उदाहरण 3

रेखाओं से बंधी आकृति के भुज अक्ष के चारों ओर घुमाकर प्राप्त पिंड के आयतन की गणना करें ,, और

समाधान: चलो ड्राइंग में एक सपाट आकृति बनाते हैं, जो रेखाओं से बंधी होती है,,,, यह नहीं भूलते कि समीकरण अक्ष को सेट करता है:

वांछित आकृति नीले रंग में छायांकित है। जब यह अक्ष के चारों ओर घूमता है, तो चार कोनों वाला ऐसा असली डोनट प्राप्त होता है।

क्रांति के शरीर के आयतन की गणना इस प्रकार की जाती है शरीर की मात्रा में अंतर.

सबसे पहले, आइए उस आकृति को देखें जो लाल घेरे में है। जब यह धुरी के चारों ओर घूमता है, तो एक छोटा शंकु प्राप्त होता है। इस छंटे हुए शंकु के आयतन को इसके द्वारा निरूपित करें।

उस आकृति पर विचार करें जिस पर घेरा बनाया गया है हरे में. यदि आप इस आकृति को अक्ष के चारों ओर घुमाते हैं, तो आपको एक छोटा शंकु भी मिलेगा, केवल थोड़ा छोटा। आइए इसकी मात्रा को द्वारा निरूपित करें।

और, जाहिर है, वॉल्यूम में अंतर बिल्कुल हमारे "डोनट" का वॉल्यूम है।

हम परिक्रमण के पिंड का आयतन ज्ञात करने के लिए मानक सूत्र का उपयोग करते हैं:

1) लाल रंग में घेरा गया चित्र ऊपर से एक सीधी रेखा से घिरा है, इसलिए:

2) हरे रंग में परिचालित आकृति ऊपर से एक सीधी रेखा से घिरी हुई है, इसलिए:

3) क्रांति के वांछित निकाय का आयतन:

उत्तर:

यह उत्सुक है कि इस मामले में एक काटे गए शंकु की मात्रा की गणना के लिए स्कूल सूत्र का उपयोग करके समाधान की जांच की जा सकती है।

निर्णय को अक्सर छोटा बना दिया जाता है, ऐसा कुछ:

अब थोड़ा विराम लेते हैं और ज्यामितीय भ्रमों के बारे में बात करते हैं।

लोगों को अक्सर वॉल्यूम से जुड़े भ्रम होते हैं, जिसे पेरेलमैन (दूसरे) ने किताब में देखा था दिलचस्प ज्यामिति. हल की गई समस्या में समतल आकृति को देखें - यह क्षेत्रफल में छोटा प्रतीत होता है, और क्रांति के शरीर का आयतन 50 घन इकाई से थोड़ा अधिक है, जो बहुत बड़ा लगता है। वैसे, औसत व्यक्ति अपने पूरे जीवन में 18 के क्षेत्रफल वाले कमरे की मात्रा के साथ एक तरल पीता है वर्ग मीटर, जो इसके विपरीत बहुत छोटा लगता है।

सामान्य तौर पर, यूएसएसआर में शिक्षा प्रणाली वास्तव में सबसे अच्छी थी। 1950 में प्रकाशित पेरेलमैन की वही पुस्तक, बहुत अच्छी तरह से विकसित होती है, जैसा कि हास्यकार ने कहा, तर्क करना और समस्याओं के मूल गैर-मानक समाधानों की तलाश करना सिखाता है। हाल ही में मैंने कुछ अध्यायों को बड़े चाव से पढ़ा, मैं इसकी अनुशंसा करता हूं, यह मानवतावादियों के लिए भी सुलभ है। नहीं, आपको मुस्कुराने की ज़रूरत नहीं है कि मैंने सुझाव दिया था कि एक बेस्पोंटोवी शगल, ज्ञान और संचार में एक व्यापक दृष्टिकोण एक बड़ी बात है।

गीतात्मक विषयांतर के बाद, रचनात्मक कार्य को हल करना उचित है:

उदाहरण 4

रेखाओं से घिरे एक समतल आकृति के अक्ष के चारों ओर घूमने से बने पिंड के आयतन की गणना करें, जहाँ।

यह स्वयं करने का उदाहरण है। ध्यान दें कि बैंड में सभी चीजें होती हैं, दूसरे शब्दों में, पहले से तैयार एकीकरण सीमाएं वास्तव में दी गई हैं। सही ढंग से त्रिकोणमितीय कार्यों के रेखांकन करें, मैं आपको पाठ की सामग्री याद दिलाऊंगा रेखांकन के ज्यामितीय परिवर्तन : यदि तर्क दो: से विभाज्य है, तो ग्राफ़ को अक्ष के साथ दो बार खींचा जाता है। कम से कम 3-4 अंक प्राप्त करना वांछनीय है द्वारा त्रिकोणमितीय टेबल ड्राइंग को और अधिक सटीक रूप से पूरा करने के लिए। पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर। वैसे, कार्य को तर्कसंगत रूप से हल किया जा सकता है न कि बहुत तर्कसंगत रूप से।

एक अक्ष के चारों ओर सपाट आकृति

उदाहरण 3

एक सपाट आंकड़ा दिया रेखाओं से घिरा हुआ , , .

1) इन रेखाओं से घिरे किसी समतल आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

2) अक्ष के चारों ओर इन रेखाओं से बंधी एक सपाट आकृति को घुमाने पर प्राप्त पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए।

ध्यान!यहां तक ​​​​कि अगर आप केवल दूसरा पैराग्राफ पढ़ना चाहते हैं, तो पहले अनिवार्य रूप सेपहला पढ़ें!

समाधान: कार्य में दो भाग होते हैं। चलिए चौक से शुरू करते हैं।

1) आइए ड्राइंग को निष्पादित करें:

यह देखना आसान है कि फ़ंक्शन पैराबोला की ऊपरी शाखा को परिभाषित करता है, और फ़ंक्शन पैराबोला की निचली शाखा को परिभाषित करता है। हमारे सामने एक तुच्छ परबोला है, जो "अपनी तरफ स्थित है।"

वांछित आकृति, जिसका क्षेत्र पाया जाना है, नीले रंग में छायांकित है।

किसी आकृति का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें? इसे "सामान्य" तरीके से पाया जा सकता है। इसके अलावा, आकृति का क्षेत्रफल क्षेत्रों के योग के रूप में पाया जाता है:

- खंड पर ;

- खंड पर।

इसीलिए:

एक अधिक तर्कसंगत समाधान है: इसमें संक्रमण शामिल है उलटा कार्यऔर अक्ष के साथ एकीकरण।

उलटा कार्यों को कैसे पास किया जाए? मोटे तौर पर बोलते हुए, आपको "x" को "y" के माध्यम से व्यक्त करने की आवश्यकता है। सबसे पहले, पैराबोला से निपटते हैं:

यह पर्याप्त है, लेकिन आइए सुनिश्चित करें कि नीचे की शाखा से समान कार्य प्राप्त किया जा सकता है:

एक सीधी रेखा के साथ सब कुछ आसान है:

अब धुरी को देखें: कृपया समय-समय पर अपने सिर को दाहिनी ओर 90 डिग्री पर झुकाएं जैसा कि आप समझाते हैं (यह मजाक नहीं है!) हमें जो आंकड़ा चाहिए वह खंड पर स्थित है, जिसे लाल बिंदीदार रेखा द्वारा दर्शाया गया है। इसके अलावा, खंड पर, सीधी रेखा परवलय के ऊपर स्थित है, जिसका अर्थ है कि आकृति का क्षेत्र आपको पहले से परिचित सूत्र का उपयोग करके पाया जाना चाहिए: . फॉर्मूले में क्या बदलाव आया है? केवल एक पत्र, और कुछ नहीं।

! टिप्पणी : एक्सिस एकीकरण सीमा व्यवस्था की जानी चाहिएसख्ती से नीचे से ऊपर तक !

क्षेत्र ढूँढना:

खंड पर, इसलिए:

ध्यान दें कि मैंने एकीकरण कैसे किया, यह सबसे तर्कसंगत तरीका है, और असाइनमेंट के अगले पैराग्राफ में यह स्पष्ट होगा कि क्यों।

एकीकरण की शुद्धता पर संदेह करने वाले पाठकों के लिए, मुझे डेरिवेटिव मिलेंगे:

मूल इंटीग्रैंड प्राप्त किया जाता है, जिसका अर्थ है कि एकीकरण सही ढंग से किया जाता है।

उत्तर:

2) अक्ष के चारों ओर इस आकृति के घूमने से बनने वाले पिंड के आयतन की गणना करें।

मैं ड्राइंग को थोड़े अलग डिज़ाइन में फिर से तैयार करूँगा:

तो, नीले रंग में छायांकित आकृति धुरी के चारों ओर घूमती है। परिणाम एक "मँडराती तितली" है जो अपनी धुरी पर घूमती है।

क्रांति के पिंड का आयतन ज्ञात करने के लिए, हम अक्ष के साथ समाकलित करेंगे। पहले हमें उलटे कार्यों पर जाने की जरूरत है। यह पहले ही किया जा चुका है और पिछले पैराग्राफ में विस्तार से वर्णित है।

अब हम अपने सिर को फिर से दाहिनी ओर झुकाते हैं और अपनी आकृति का अध्ययन करते हैं। जाहिर है, क्रांति के शरीर का आयतन आयतन के बीच के अंतर के रूप में पाया जाना चाहिए।

हम धुरी के चारों ओर लाल घेरे में आकृति को घुमाते हैं, जिसके परिणामस्वरूप एक छोटा शंकु होता है। आइए इस वॉल्यूम को द्वारा निरूपित करें।

हम धुरी के चारों ओर हरे रंग में परिक्रमा करते हुए आकृति को घुमाते हैं और इसे क्रांति के परिणामी पिंड के आयतन के माध्यम से निरूपित करते हैं।

हमारी तितली का आयतन आयतन के अंतर के बराबर है।

हम क्रांति के एक पिंड का आयतन ज्ञात करने के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं:

यह पिछले पैराग्राफ के सूत्र से कैसे भिन्न है? केवल पत्रों में।

और यहाँ एकीकरण का लाभ है जिसके बारे में मैं कुछ समय पहले बात कर रहा था, इसे खोजना बहुत आसान है एकीकृत को प्रारंभिक रूप से चौथी शक्ति तक बढ़ाने की तुलना में।

उत्तर:

ध्यान दें कि यदि एक ही सपाट आकृति को धुरी के चारों ओर घुमाया जाता है, तो क्रांति का एक पूरी तरह से अलग शरीर, एक अलग, स्वाभाविक रूप से, आयतन निकलेगा।

उदाहरण 7

वक्रों से बंधी आकृति की धुरी के चारों ओर घूमने से बनने वाले शरीर के आयतन की गणना करें तथा .

समाधान: चलिए एक चित्र बनाते हैं:

साथ ही, हम कुछ अन्य कार्यों के ग्राफ से परिचित होते हैं। सम फलन का इतना रोचक ग्राफ ....

क्रांति के पिंड का आयतन ज्ञात करने के लिए, यह आंकड़े के दाहिने आधे हिस्से का उपयोग करने के लिए पर्याप्त है, जिसे मैंने नीले रंग में छायांकित किया है। दोनों कार्य सम हैं, उनके ग्राफ अक्ष के बारे में सममित हैं, और हमारी आकृति भी सममित है। तो छायांकित दाहिना भाग, अक्ष के चारों ओर घूमते हुए, निश्चित रूप से बाएं अप्रकाशित भाग के साथ मेल खाएगा।

के अलावा एक निश्चित अभिन्न का उपयोग करके एक समतल आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करना (7.2.3 देखें।)विषय का सबसे महत्वपूर्ण अनुप्रयोग है क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना. सामग्री सरल है, लेकिन पाठक को तैयार रहना चाहिए: इसे हल करने में सक्षम होना आवश्यक है अनिश्चितकालीन अभिन्नमध्यम जटिलता और न्यूटन-लीबनिज़ सूत्र को लागू करें निश्चित अभिन्न, एनमजबूत आलेखन कौशल भी आवश्यक हैं। सामान्य तौर पर, अभिन्न कलन में कई दिलचस्प अनुप्रयोग हैं; एक निश्चित अभिन्न का उपयोग करके, आप किसी आकृति के क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं, क्रांति के शरीर का आयतन, एक चाप की लंबाई, सतह का क्षेत्रफल शरीर, और भी बहुत कुछ। समन्वय तल पर किसी समतल आकृति की कल्पना करें। प्रतिनिधित्व किया? ... अब यह आंकड़ा भी घुमाया जा सकता है, और दो तरह से घुमाया जा सकता है:

- एक्स-अक्ष के आसपास ;

- y-अक्ष के आसपास .

आइए दोनों मामलों पर एक नजर डालते हैं। रोटेशन की दूसरी विधि विशेष रूप से दिलचस्प है, यह सबसे बड़ी कठिनाइयों का कारण बनती है, लेकिन वास्तव में समाधान लगभग वैसा ही है जैसा कि एक्स-अक्ष के चारों ओर अधिक सामान्य रोटेशन में होता है। आइए सबसे लोकप्रिय प्रकार के रोटेशन से शुरू करें।

एक अक्ष के चारों ओर एक सपाट आकृति के घूमने से बनने वाले पिंड के आयतन की गणना बैल

उदाहरण 1

अक्ष के चारों ओर रेखाओं से बंधी आकृति को घुमाकर प्राप्त पिंड के आयतन की गणना करें।

समाधान:क्षेत्र खोजने की समस्या के रूप में, समाधान एक सपाट आकृति के आरेखण से शुरू होता है. यानी प्लेन पर XOYरेखाओं से बंधी एक आकृति का निर्माण करना आवश्यक है, जबकि यह नहीं भूलना चाहिए कि समीकरण अक्ष को परिभाषित करता है। यहाँ आरेखण बहुत सरल है:

वांछित सपाट आकृति नीले रंग में छायांकित है, यह वह है जो अक्ष के चारों ओर घूमती है। रोटेशन के परिणामस्वरूप, धुरी पर दो तेज चोटियों के साथ अंडे के आकार का ऐसा थोड़ा उड़न तश्तरी प्राप्त होता है। बैल, अक्ष के बारे में सममित बैल. वास्तव में, शरीर का एक गणितीय नाम है, संदर्भ पुस्तक में देखें।

क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना कैसे करें? यदि किसी अक्ष के चारों ओर घूमने के परिणामस्वरूप शरीर का निर्माण होता हैबैल, यह मानसिक रूप से छोटी मोटाई की समानांतर परतों में विभाजित है डीएक्सजो अक्ष के लंबवत हैं बैल. पूरे शरीर का आयतन स्पष्ट रूप से ऐसी प्राथमिक परतों के आयतन के बराबर है। प्रत्येक परत, नींबू के एक गोल टुकड़े की तरह, एक कम सिलेंडर ऊँचा होता है डीएक्सऔर आधार त्रिज्या के साथ एफ(एक्स). तब एक परत का आयतन आधार क्षेत्र π का ​​गुणनफल होता है एफ 2 सिलेंडर की ऊंचाई तक ( डीएक्स), या π∙ एफ 2 (एक्स)∙डीएक्स. और क्रांति के पूरे निकाय का क्षेत्र प्राथमिक मात्राओं का योग है, या संबंधित निश्चित अभिन्न है। क्रांति के शरीर की मात्रा सूत्र द्वारा गणना की जा सकती है:

.

पूर्ण ड्राइंग से "ए" और "बी" एकीकरण सीमा कैसे सेट करें, इसका अनुमान लगाना आसान है। कार्य... यह कार्य क्या है? आइए ड्राइंग देखें। सपाट आकृति ऊपर से परवलयिक ग्राफ से घिरी हुई है। यह वह कार्य है जो सूत्र में निहित है। व्यावहारिक कार्यों में, एक सपाट आकृति कभी-कभी अक्ष के नीचे स्थित हो सकती है बैल. यह कुछ भी नहीं बदलता है - सूत्र में कार्य चुकता है: एफ 2 (एक्स), इस प्रकार, क्रांति के शरीर का आयतन हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है, जो काफी तार्किक है। इस सूत्र का उपयोग करके क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना करें:

.

जैसा कि हमने पहले ही नोट किया है, अभिन्न लगभग हमेशा सरल हो जाता है, मुख्य बात सावधान रहना है।

उत्तर:

उत्तर में, आयाम - घन इकाइयों को इंगित करना आवश्यक है। अर्थात्, हमारे घूमने वाले शरीर में लगभग 3.35 "क्यूब्स" होते हैं। बिल्कुल क्यूबिक क्यों इकाइयां? क्योंकि यह सबसे सार्वभौमिक फॉर्मूलेशन है। क्यूबिक सेंटीमीटर हो सकते हैं, क्यूबिक मीटर हो सकते हैं, क्यूबिक किलोमीटर हो सकते हैं, आदि, आपकी कल्पना में कितने छोटे हरे आदमी एक उड़न तश्तरी में फिट हो सकते हैं।

उदाहरण 2

एक अक्ष के चारों ओर घूमने से बने पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए बैलरेखाओं से बंधी आकृति , , .

यह स्वयं करने का उदाहरण है। पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर।

उदाहरण 3

रेखाओं से बंधी आकृति के भुज अक्ष के चारों ओर घुमाकर प्राप्त शरीर के आयतन की गणना करें , तथा ।

समाधान:आइए ड्राइंग में रेखाओं से बंधी एक सपाट आकृति का चित्रण करें , , , , जबकि यह न भूलें कि समीकरण एक्स= 0 अक्ष को निर्दिष्ट करता है ओए:

वांछित आकृति नीले रंग में छायांकित है। जब यह अक्ष के चारों ओर घूमता है बैलयह एक सपाट कोणीय बैगेल (दो शंक्वाकार सतहों वाला वॉशर) निकला।

क्रांति के शरीर के आयतन की गणना इस प्रकार की जाती है शरीर की मात्रा में अंतर. सबसे पहले, आइए उस आकृति को देखें जो लाल घेरे में है। जब यह अक्ष के चारों ओर घूमता है बैलजिसके परिणामस्वरूप एक कटा हुआ शंकु होता है। आइए हम इस छंटे हुए शंकु के आयतन को निरूपित करें वी 1 .

उस आकृति पर विचार करें जो हरे रंग में घेरा गया है। यदि हम इस आकृति को अक्ष के चारों ओर घुमाते हैं बैल, तो आपको एक छोटा शंकु भी मिलता है, केवल थोड़ा छोटा। आइए हम इसकी मात्रा को निरूपित करें वी 2 .

जाहिर है, मात्रा में अंतर वी = वी 1 - वी 2 हमारे "डोनट" का आयतन है।

हम परिक्रमण के पिंड का आयतन ज्ञात करने के लिए मानक सूत्र का उपयोग करते हैं:

1) लाल रंग में घेरा गया चित्र ऊपर से एक सीधी रेखा से घिरा है, इसलिए:

2) हरे रंग में परिचालित आकृति ऊपर से एक सीधी रेखा से घिरी हुई है, इसलिए:

3) क्रांति के वांछित निकाय का आयतन:

उत्तर:

यह उत्सुक है कि इस मामले में एक काटे गए शंकु की मात्रा की गणना के लिए स्कूल सूत्र का उपयोग करके समाधान की जांच की जा सकती है।

निर्णय को अक्सर छोटा बना दिया जाता है, ऐसा कुछ:

क्षेत्र को खोजने की समस्या के साथ, आपको आत्मविश्वास से ड्राइंग कौशल की आवश्यकता है - यह लगभग सबसे महत्वपूर्ण बात है (चूंकि इंटीग्रल स्वयं अक्सर आसान होंगे)। आप रेखांकन की पद्धतिगत सामग्री और ज्यामितीय परिवर्तनों की सहायता से एक सक्षम और तेज़ रेखांकन तकनीक में महारत हासिल कर सकते हैं। लेकिन, वास्तव में, मैंने बार-बार पाठ में रेखाचित्रों के महत्व के बारे में बात की है।

सामान्य तौर पर, अभिन्न कलन में बहुत सारे दिलचस्प अनुप्रयोग हैं, एक निश्चित अभिन्न की मदद से, आप एक आकृति के क्षेत्र की गणना कर सकते हैं, क्रांति के शरीर का आयतन, चाप की लंबाई, सतह का क्षेत्रफल रोटेशन, और भी बहुत कुछ। तो यह मजेदार होगा, कृपया आशावादी बनें!

समन्वय तल पर किसी समतल आकृति की कल्पना करें। प्रतिनिधित्व किया? ... मुझे आश्चर्य है कि किसने क्या प्रस्तुत किया ... =))) हम पहले ही इसका क्षेत्र पा चुके हैं। लेकिन, इसके अलावा, यह आंकड़ा भी घुमाया जा सकता है, और दो तरह से घुमाया जा सकता है:

- भुज अक्ष के आसपास;
- y-अक्ष के आसपास।

इस लेख में, दोनों मामलों पर चर्चा की जाएगी। रोटेशन की दूसरी विधि विशेष रूप से दिलचस्प है, यह सबसे बड़ी कठिनाइयों का कारण बनती है, लेकिन वास्तव में समाधान लगभग वैसा ही है जैसा कि एक्स-अक्ष के चारों ओर अधिक सामान्य रोटेशन में होता है। एक बोनस के रूप में, मैं वापस आऊंगा किसी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने की समस्या, और आपको बताएंगे कि दूसरे तरीके से - अक्ष के साथ क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें। इतना बोनस भी नहीं है क्योंकि सामग्री थीम में अच्छी तरह से फिट बैठती है।

आइए सबसे लोकप्रिय प्रकार के रोटेशन से शुरू करें।

एक अक्ष के चारों ओर सपाट आकृति

उदाहरण 1

अक्ष के चारों ओर रेखाओं से बंधी आकृति को घुमाकर प्राप्त पिंड के आयतन की गणना करें।

समाधान: क्षेत्र की समस्या के रूप में, समाधान एक सपाट आकृति के आरेखण से शुरू होता है. यही है, विमान पर यह आवश्यक है कि रेखाओं से बंधी आकृति का निर्माण किया जाए, जबकि यह न भूलें कि समीकरण अक्ष को परिभाषित करता है। ड्राइंग को अधिक तर्कसंगत और तेज़ कैसे बनाया जाए, यह पृष्ठों पर पाया जा सकता है प्रारंभिक कार्यों के रेखांकन और गुणऔर समाकलन परिभाषित करें। किसी आकृति के क्षेत्रफल की गणना कैसे करें. यह एक चीनी रिमाइंडर है, और आगे भी इस पलमैं अब और नहीं रुकता।

यहाँ आरेखण बहुत सरल है:

वांछित सपाट आकृति को नीले रंग में छायांकित किया गया है, और यह वह आकृति है जो अक्ष के चारों ओर घूमती है। घूर्णन के परिणामस्वरूप, ऐसा थोड़ा अंडे के आकार का उड़न तश्तरी प्राप्त होता है, जो अक्ष के बारे में सममित है। वास्तव में, शरीर का एक गणितीय नाम है, लेकिन यह संदर्भ पुस्तक में कुछ निर्दिष्ट करने के लिए बहुत आलसी है, इसलिए हम आगे बढ़ते हैं।

क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना कैसे करें?

क्रांति के शरीर की मात्रा सूत्र द्वारा गणना की जा सकती है:

सूत्र में, समाकल से पहले एक संख्या होनी चाहिए। ऐसा ही हुआ - जीवन में घूमने वाली हर चीज इस निरंतरता से जुड़ी है।

मुझे लगता है कि "ए" और "बी" एकीकरण की सीमा कैसे निर्धारित की जाती है, पूर्ण ड्राइंग से अनुमान लगाना आसान है।

कार्य... यह कार्य क्या है? आइए ड्राइंग देखें। सपाट आकृति ऊपर से परवलयिक ग्राफ से घिरी हुई है। यह वह कार्य है जो सूत्र में निहित है।

व्यावहारिक कार्यों में, एक सपाट आकृति कभी-कभी अक्ष के नीचे स्थित हो सकती है। यह कुछ भी नहीं बदलता है - सूत्र में समाकलन चुकता है: इस प्रकार अभिन्न हमेशा गैर-नकारात्मक होता है, जो काफी तार्किक है।

इस सूत्र का उपयोग करके क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना करें:

जैसा कि मैंने पहले ही उल्लेख किया है, अभिन्न लगभग हमेशा सरल हो जाता है, मुख्य बात सावधान रहना है।

उत्तर:

उत्तर में, आयाम - घन इकाइयों को इंगित करना आवश्यक है। अर्थात्, हमारे घूमने वाले शरीर में लगभग 3.35 "क्यूब्स" होते हैं। बिल्कुल क्यूबिक क्यों इकाइयां? क्योंकि सबसे सार्वभौमिक सूत्रीकरण। क्यूबिक सेंटीमीटर हो सकते हैं, क्यूबिक मीटर हो सकते हैं, क्यूबिक किलोमीटर हो सकते हैं, आदि, आपकी कल्पना में कितने छोटे हरे आदमी एक उड़न तश्तरी में फिट हो सकते हैं।

उदाहरण 2

रेखाओं से बंधी आकृति के अक्ष के चारों ओर घूमने से बनने वाले पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए,

यह स्वयं करने का उदाहरण है। पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर।

आइए दो और जटिल समस्याओं पर विचार करें, जो व्यवहार में भी अक्सर सामने आती हैं।

उदाहरण 3

रेखाओं से बंधी आकृति के भुज अक्ष के चारों ओर घुमाकर प्राप्त शरीर के आयतन की गणना करें , तथा

समाधान: ड्राइंग में एक सपाट आकृति बनाएं, जो रेखाओं से घिरा हो, , , , यह न भूलें कि समीकरण अक्ष को परिभाषित करता है:

वांछित आकृति नीले रंग में छायांकित है। जब यह अक्ष के चारों ओर घूमता है, तो चार कोनों वाला ऐसा असली डोनट प्राप्त होता है।

क्रांति के शरीर के आयतन की गणना इस प्रकार की जाती है शरीर की मात्रा में अंतर.

सबसे पहले, आइए उस आकृति को देखें जो लाल घेरे में है। जब यह धुरी के चारों ओर घूमता है, तो एक छोटा शंकु प्राप्त होता है। आइए इस छंटे हुए शंकु के आयतन को के रूप में निरूपित करें।

उस आकृति पर विचार करें जो हरे रंग में घेरा गया है। यदि आप इस आकृति को अक्ष के चारों ओर घुमाते हैं, तो आपको एक छोटा शंकु भी मिलेगा, केवल थोड़ा छोटा। आइए इसकी मात्रा को द्वारा निरूपित करें।

और, जाहिर है, वॉल्यूम में अंतर बिल्कुल हमारे "डोनट" का वॉल्यूम है।

हम परिक्रमण के पिंड का आयतन ज्ञात करने के लिए मानक सूत्र का उपयोग करते हैं:

1) लाल रंग में घेरा गया चित्र ऊपर से एक सीधी रेखा से घिरा है, इसलिए:

2) हरे रंग में परिचालित आकृति ऊपर से एक सीधी रेखा से घिरी हुई है, इसलिए:

3) क्रांति के वांछित निकाय का आयतन:

उत्तर:

यह उत्सुक है कि इस मामले में एक काटे गए शंकु की मात्रा की गणना के लिए स्कूल सूत्र का उपयोग करके समाधान की जांच की जा सकती है।

निर्णय को अक्सर छोटा बना दिया जाता है, ऐसा कुछ:

अब थोड़ा विराम लेते हैं और ज्यामितीय भ्रमों के बारे में बात करते हैं।

लोगों को अक्सर वॉल्यूम से जुड़े भ्रम होते हैं, जिसे पेरेलमैन (दूसरे) ने किताब में देखा था दिलचस्प ज्यामिति. हल की गई समस्या में समतल आकृति को देखें - यह क्षेत्रफल में छोटा प्रतीत होता है, और क्रांति के शरीर का आयतन 50 घन इकाई से थोड़ा अधिक है, जो बहुत बड़ा लगता है। वैसे, औसत व्यक्ति अपने पूरे जीवन में 18 वर्ग मीटर के एक कमरे की मात्रा के साथ एक तरल पीता है, जो इसके विपरीत, बहुत छोटा लगता है।

सामान्य तौर पर, यूएसएसआर में शिक्षा प्रणाली वास्तव में सबसे अच्छी थी। पेरेलमैन की वही पुस्तक, जो 1950 में प्रकाशित हुई थी, बहुत अच्छी तरह से विकसित हुई, जैसा कि हास्यकार ने कहा, तर्क करना और आपको मूल की तलाश करना सिखाता है गैर मानक समाधानसमस्या। हाल ही में जब से गहन रुचिमैं कुछ अध्यायों को दोबारा पढ़ता हूं, मैं इसकी अनुशंसा करता हूं, यह मानवतावादियों के लिए भी सुलभ है। नहीं, आपको मुस्कुराने की ज़रूरत नहीं है कि मैंने सुझाव दिया था कि एक बेस्पोंटोवी शगल, ज्ञान और संचार में एक व्यापक दृष्टिकोण एक बड़ी बात है।

गीतात्मक विषयांतर के बाद, रचनात्मक कार्य को हल करना उचित है:

उदाहरण 4

रेखाओं से घिरे एक समतल आकृति के अक्ष के चारों ओर घूमने से बनने वाले पिंड के आयतन की गणना करें, जहाँ।

यह स्वयं करने का उदाहरण है। ध्यान दें कि बैंड में सभी चीजें होती हैं, दूसरे शब्दों में, पहले से तैयार एकीकरण सीमाएं वास्तव में दी गई हैं। ग्राफिक्स ठीक करें त्रिकोणमितीय कार्य, पाठ की सामग्री को याद करें रेखांकन के ज्यामितीय परिवर्तन: यदि तर्क दो: से विभाज्य है, तो ग्राफ़ को अक्ष के साथ दो बार खींचा जाता है। कम से कम 3-4 अंक प्राप्त करना वांछनीय है त्रिकोणमितीय तालिकाओं के अनुसारड्राइंग को और अधिक सटीक रूप से पूरा करने के लिए। पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर। वैसे, कार्य को तर्कसंगत रूप से हल किया जा सकता है न कि बहुत तर्कसंगत रूप से।

रोटेशन द्वारा गठित शरीर के आयतन की गणना
एक अक्ष के चारों ओर सपाट आकृति

दूसरा पैराग्राफ पहले से भी ज्यादा दिलचस्प होगा। वाई-अक्ष के चारों ओर क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना करने का कार्य भी परीक्षणों में काफी लगातार आगंतुक है। पास माना जाएगा किसी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने की समस्यादूसरा तरीका - धुरी के साथ एकीकरण, यह आपको न केवल अपने कौशल में सुधार करने की अनुमति देगा, बल्कि यह भी सिखाएगा कि सबसे लाभदायक समाधान कैसे खोजा जाए। इसका एक प्रैक्टिकल भी है जीवन अर्थ! जैसा कि मेरे गणित शिक्षण विधियों के शिक्षक ने एक मुस्कान के साथ याद किया, कई स्नातकों ने उन्हें शब्दों के साथ धन्यवाद दिया: "आपके विषय ने हमारी बहुत मदद की, अब हम प्रभावी प्रबंधक हैं और अपने कर्मचारियों को बेहतर तरीके से प्रबंधित करते हैं।" इस अवसर को लेते हुए, मैं उनका भी बहुत आभार व्यक्त करता हूं, खासकर जब से मैं अर्जित ज्ञान का उपयोग अपने इच्छित उद्देश्य के लिए करता हूं =)।

मैं इसे सभी को पढ़ने की सलाह देता हूं, यहां तक ​​कि पूरी डमीज को भी। इसके अलावा, दूसरे पैराग्राफ की आत्मसात सामग्री डबल इंटीग्रल की गणना में अमूल्य मदद करेगी.

उदाहरण 5

रेखाओं से घिरा एक सपाट आकृति दी गई है , , ।

1) इन रेखाओं से घिरे किसी समतल आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
2) अक्ष के चारों ओर इन रेखाओं से बंधी एक सपाट आकृति को घुमाने पर प्राप्त पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए।

ध्यान!यहां तक ​​​​कि अगर आप केवल दूसरा पैराग्राफ पढ़ना चाहते हैं, तो पहले अनिवार्य रूप सेपहला पढ़ें!

समाधान: कार्य में दो भाग होते हैं। चलिए चौक से शुरू करते हैं।

1) आइए ड्राइंग को निष्पादित करें:

यह देखना आसान है कि फ़ंक्शन पैराबोला की ऊपरी शाखा को परिभाषित करता है, और फ़ंक्शन पैराबोला की निचली शाखा को परिभाषित करता है। हमारे सामने एक तुच्छ परबोला है, जो "अपनी तरफ स्थित है।"

वांछित आकृति, जिसका क्षेत्र पाया जाना है, नीले रंग में छायांकित है।

किसी आकृति का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें? इसे "सामान्य" तरीके से पाया जा सकता है, जिस पर पाठ में विचार किया गया था। समाकलन परिभाषित करें। किसी आकृति के क्षेत्रफल की गणना कैसे करें. इसके अलावा, आकृति का क्षेत्रफल क्षेत्रों के योग के रूप में पाया जाता है:
- खंड पर ;
- खंड पर।

इसीलिए:

इस मामले में सामान्य समाधान में क्या गलत है? सबसे पहले, दो अभिन्न हैं। दूसरे, इंटीग्रल के तहत जड़ें, और इंटीग्रल में जड़ें एक उपहार नहीं हैं, इसके अलावा, आप एकीकरण की सीमा को बदलने में भ्रमित हो सकते हैं। वास्तव में, इंटीग्रल, निश्चित रूप से घातक नहीं हैं, लेकिन व्यवहार में सब कुछ बहुत दुखद है, मैंने अभी कार्य के लिए "बेहतर" कार्यों को चुना है।

एक अधिक तर्कसंगत समाधान है: इसमें अक्ष के साथ व्युत्क्रम कार्यों और एकीकरण के लिए संक्रमण शामिल है।

उलटा कार्यों को कैसे पास किया जाए? मोटे तौर पर बोलते हुए, आपको "x" को "y" के माध्यम से व्यक्त करने की आवश्यकता है। सबसे पहले, पैराबोला से निपटते हैं:

यह पर्याप्त है, लेकिन आइए सुनिश्चित करें कि नीचे की शाखा से समान कार्य प्राप्त किया जा सकता है:

एक सीधी रेखा के साथ सब कुछ आसान है:

अब धुरी को देखें: कृपया समय-समय पर अपने सिर को दाहिनी ओर 90 डिग्री पर झुकाएं जैसा कि आप समझाते हैं (यह मजाक नहीं है!) हमें जो आंकड़ा चाहिए वह खंड पर स्थित है, जिसे लाल बिंदीदार रेखा द्वारा दर्शाया गया है। इसके अलावा, खंड पर, सीधी रेखा परवलय के ऊपर स्थित है, जिसका अर्थ है कि आकृति का क्षेत्र आपको पहले से परिचित सूत्र का उपयोग करके पाया जाना चाहिए: . फॉर्मूले में क्या बदलाव आया है? केवल एक पत्र, और कुछ नहीं।

! टिप्पणी: अक्ष के साथ एकीकरण सीमा निर्धारित की जानी चाहिए सख्ती से नीचे से ऊपर तक!

क्षेत्र ढूँढना:

खंड पर, इसलिए:

ध्यान दें कि मैंने एकीकरण कैसे किया, यह सबसे तर्कसंगत तरीका है, और असाइनमेंट के अगले पैराग्राफ में यह स्पष्ट होगा कि क्यों।

एकीकरण की शुद्धता पर संदेह करने वाले पाठकों के लिए, मुझे डेरिवेटिव मिलेंगे:

मूल इंटीग्रैंड प्राप्त किया जाता है, जिसका अर्थ है कि एकीकरण सही ढंग से किया जाता है।

उत्तर:

2) अक्ष के चारों ओर इस आकृति के घूमने से बनने वाले पिंड के आयतन की गणना करें।

मैं ड्राइंग को थोड़े अलग डिज़ाइन में फिर से तैयार करूँगा:

तो, नीले रंग में छायांकित आकृति धुरी के चारों ओर घूमती है। परिणाम एक "मँडराती तितली" है जो अपनी धुरी पर घूमती है।

क्रांति के पिंड का आयतन ज्ञात करने के लिए, हम अक्ष के साथ समाकलित करेंगे। पहले हमें उलटे कार्यों पर जाने की जरूरत है। यह पहले ही किया जा चुका है और पिछले पैराग्राफ में विस्तार से वर्णित है।

अब हम अपने सिर को फिर से दाहिनी ओर झुकाते हैं और अपनी आकृति का अध्ययन करते हैं। जाहिर है, क्रांति के शरीर का आयतन आयतन के बीच के अंतर के रूप में पाया जाना चाहिए।

हम धुरी के चारों ओर लाल घेरे में आकृति को घुमाते हैं, जिसके परिणामस्वरूप एक छोटा शंकु होता है। आइए इस वॉल्यूम को द्वारा निरूपित करें।

हम धुरी के चारों ओर हरे रंग में परिक्रमा करते हुए आकृति को घुमाते हैं और इसे क्रांति के परिणामी पिंड के आयतन के माध्यम से निरूपित करते हैं।

हमारी तितली का आयतन आयतन के अंतर के बराबर है।

हम क्रांति के एक पिंड का आयतन ज्ञात करने के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं:

यह पिछले पैराग्राफ के सूत्र से कैसे भिन्न है? केवल पत्रों में।

और यहाँ एकीकरण का लाभ है जिसके बारे में मैं कुछ समय पहले बात कर रहा था, इसे खोजना बहुत आसान है इंटीग्रैंड को चौथी शक्ति तक बढ़ाने के बजाय।

उत्तर:

हालाँकि, एक बीमार तितली।

ध्यान दें कि यदि एक ही सपाट आकृति को धुरी के चारों ओर घुमाया जाता है, तो क्रांति का एक पूरी तरह से अलग शरीर, एक अलग, स्वाभाविक रूप से, आयतन निकलेगा।

उदाहरण 6

रेखाओं और एक अक्ष से घिरा एक समतल चित्र दिया गया है।

1) व्युत्क्रम फलन पर जाएँ और चर पर समाकलित करके इन रेखाओं से घिरे समतल आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करें।
2) अक्ष के चारों ओर इन रेखाओं से बंधी एक सपाट आकृति को घुमाकर प्राप्त पिंड के आयतन की गणना करें।

यह स्वयं करने का उदाहरण है। जो लोग चाहते हैं वे "सामान्य" तरीके से आकृति का क्षेत्र भी पा सकते हैं, जिससे बिंदु 1 का परीक्षण पूरा हो जाता है)। लेकिन अगर, मैं दोहराता हूं, आप अक्ष के चारों ओर एक सपाट आकृति को घुमाते हैं, तो आपको एक अलग मात्रा के साथ रोटेशन का एक पूरी तरह से अलग शरीर मिलता है, वैसे, सही उत्तर (उन लोगों के लिए भी जो हल करना पसंद करते हैं)।

पाठ के अंत में कार्य की दो प्रस्तावित वस्तुओं का पूर्ण समाधान।

ओह, और घूर्णन निकायों और एकीकरण के भीतर समझने के लिए अपने सिर को दाईं ओर झुकाना न भूलें!