Kolika je bočna i ukupna površina prizme? Površina baze prizme: od trokuta do poligona

“Lekcija Pitagorina teorema” - Pitagorina teorema. Odredite vrstu četverokuta KMNP. Zagrijati se. Uvod u teorem. Odredite vrstu trokuta: Plan sata: Povijesni izlet. Rješavanje jednostavnih problema. I naći ćete ljestve duge 125 stopa. Izračunaj visinu CF trapeza ABCD. Dokaz. Pokažite slike. Dokaz teorema.

“Volumen prizme” - Koncept prizme. Ravna prizma. Volumen izvorne prizme jednak je umnošku S · h. Kako pronaći volumen ravne prizme? Prizma se može podijeliti na ravne trokutaste prizme visine h. Crtanje visine trokuta ABC. Rješenje problema. Ciljevi lekcije. Osnovni koraci u dokazivanju teorema o izravnoj prizmi? Proučavanje teorema o volumenu prizme.

“Poliedri prizme” - Dajte definiciju poliedra. DABC – tetraedar, konveksni poliedar. Primjena prizmi. Gdje se koriste prizme? ABCDMP je oktaedar sastavljen od osam trokuta. ABCDA1B1C1D1 – paralelopiped, konveksni poliedar. Konveksni poliedar. Pojam poliedra. Poliedar A1A2..AnB1B2..Bn - prizma.

“Prizma 10. razred” - Prizma je poliedar čija su lica u paralelnim ravninama. Korištenje prizmi u svakodnevnom životu. S strana = baza + h Za ravnu prizmu: Sp.p = Pbas. h + 2Sbas. Nagnut. Točno. Ravno. Prizma. Formule za određivanje površine. Primjena prizme u arhitekturi. Sp.p = Sstrana + 2Sbaza

"Dokaz Pitagorinog teorema" - Geometrijski dokaz. Značenje Pitagorine teoreme. Pitagorin poučak. Euklidov dokaz. "U pravokutni trokut kvadrat hipotenuze jednak zbroju kvadrati nogu." Dokaz teorema. Značaj teorema je u tome što se iz njega ili uz njegovu pomoć može izvesti većina geometrijskih teorema.

Definicija 1. Prizmatična ploha
Teorem 1. O paralelnim presjecima prizmatične plohe
Definicija 2. Okomit presjek prizmatične plohe
Definicija 3. Prizma
Definicija 4. Visina prizme
Definicija 5. Prava prizma
Teorem 2. Površina bočne površine prizme

Paralelopiped :
Definicija 6. Paralelepiped
Teorem 3. O sjecištu dijagonala paralelopipeda
Definicija 7. Pravi paralelopiped
Definicija 8. Pravokutni paralelopiped
Definicija 9. Mjere paralelopipeda
Definicija 10. Kocka
Definicija 11. Romboedar
Teorem 4. O dijagonalama pravokutnog paralelopipeda
Teorem 5. Volumen prizme
Teorem 6. Volumen ravne prizme
Teorem 7. Volumen pravokutnog paralelopipeda

Prizma je poliedar čije dvije plohe (baze) leže u paralelnim ravninama, a bridovi koji ne leže u tim plohama međusobno su paralelni.
Lica osim baza nazivaju se bočno.
Stranice bočnih lica i baze nazivaju se rebra prizme, nazivaju se krajevi rubova vrhovi prizme. Bočna rebra bridovi koji ne pripadaju bazama nazivaju se. Spoj bočnih stranica naziva se bočna površina prizme, a spoj svih lica naziva se punu površinu prizme. Visina prizme zove se okomica spuštena iz točke gornje osnovice na ravninu donje osnovice ili duljina ove okomice. Izravna prizma naziva se prizma čija su bočna rebra okomita na ravnine baza. Točno zove se ravna prizma (slika 3), u čijoj osnovi leži pravilan poligon.

Oznake:
l - bočno rebro;
P - opseg baze;
S o - osnovna površina;
H - visina;
P^ - perimetar okomitog presjeka;
S b - bočna površina;
V - volumen;
S p je površina ukupne površine prizme.

V=SH S p = S b + 2S o S b = P ^ l

Definicija 1 . Prizmatična ploha je lik koji čine dijelovi nekoliko ravnina paralelnih s jednom ravnom crtom, ograničen onim ravnima duž kojih se te ravnine uzastopno sijeku*; te su prave međusobno paralelne i nazivaju se rubovi prizmatične površine.
*Pretpostavlja se da se svake dvije uzastopne ravnine sijeku i da zadnja ravnina siječe prvu

Teorem 1 . Odsječci prizmatične površine ravninama koje su međusobno paralelne (ali ne paralelne s njezinim bridovima) jednaki su poligoni.
Neka su ABCDE i A"B"C"D"E" presjeci prizmatične plohe dvjema paralelnim ravninama. Da bismo bili sigurni da su ta dva poligona jednaki, dovoljno je pokazati da su trokuti ABC i A"B"C" jednaki i imaju isti smjer rotacije te da isto vrijedi i za trokute ABD i A"B"D", ABE i A"B"E". Ali odgovarajuće stranice tih trokuta su paralelne (na primjer, AC je paralelan s AC) poput presjecišta određene ravnine s dvije paralelne ravnine; slijedi da su te stranice jednake (na primjer, AC je jednak A"C"), poput suprotnih stranica paralelograma, te da su kutovi koje čine te stranice jednaki i imaju isti smjer.

Definicija 2 . Okomit presjek prizmatične plohe je presjek te plohe ravninom okomitom na njezine bridove. Na temelju prethodnog teorema, svi okomiti presjeci iste prizmatične plohe bit će jednaki poligoni.

Definicija 3 . Prizma je poliedar omeđen prizmatičnom plohom i dvije ravnine koje su međusobno paralelne (ali ne paralelne s rubovima prizmatične plohe)
Lica koja leže u ovim posljednjim ravninama nazivaju se baze prizme; lica koja pripadaju prizmatičnoj površini - bočna lica; rubovi prizmatične površine - bočna rebra prizme. Na temelju prethodnog teorema, baza prizme je jednaki poligoni. svi bočna lica prizme - paralelogrami ; sva bočna rebra su međusobno jednaka.
Očito, ako su zadane osnovica prizme ABCDE i jedan od bridova AA" veličine i smjera, tada je moguće konstruirati prizmu crtanjem bridova BB", CC", ... jednakih i paralelnih s bridom AA" .

Definicija 4 . Visina prizme je udaljenost između ravnina njezinih baza (HH").

Definicija 5 . Prizma se naziva ravnom ako su joj osnovice okomiti odsječci prizmatične površine. U ovom slučaju, visina prizme je, naravno, njegova bočno rebro; bočni rubovi bit će pravokutnici.
Prizme se mogu klasificirati prema broju bočnih stranica jednakom broju stranica mnogokuta koji služi kao njegova baza. Dakle, prizme mogu biti trokutaste, četverokutne, peterokutne itd.

Teorem 2 . Površina bočne površine prizme jednaka je umnošku bočnog ruba i opsega okomitog presjeka.
Neka je ABCDEA"B"C"D"E" - ovu prizmu a abcde je njegov okomiti presjek, tako da su segmenti ab, bc, .. okomiti na njegove bočne bridove. Lice ABA"B" je paralelogram; njegova površina je jednaka umnošku baze AA" i visine, koja se podudara s ab; površina lica BCB"C" jednaka je umnošku baze BB" i visine bc, itd. Prema tome , bočna površina (tj. zbroj površina bočnih stranica) jednaka je bočnom rubu proizvoda, drugim riječima, ukupna duljina odsječaka AA", BB", .., za zbroj ab+bc +cd+de+ea.

Uz pomoć ove video lekcije svatko će se moći samostalno upoznati s temom „Pojam poliedra. Prizma. Površina prizme." Tijekom lekcije, učitelj će govoriti o tome što je to geometrijske figure, poput poliedra i prizme, dati će odgovarajuće definicije i objasniti njihovu bit u konkretni primjeri.

Uz pomoć ove lekcije svatko će se moći samostalno upoznati s temom „Pojam poliedra. Prizma. Površina prizme."

Definicija. Plohu koja se sastoji od poligona i omeđuje određeno geometrijsko tijelo nazvat ćemo poliedarska ploha ili poliedar.

Razmotrite sljedeće primjere poliedara:

1. Tetraedar ABCD je ploha sastavljena od četiri trokuta: ABC, A.D.B., BDC I ADC(Sl. 1).

Riža. 1

2. Paralelepiped ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 je ploha sastavljena od šest paralelograma (slika 2).

Riža. 2

Glavni elementi poliedra su površine, bridovi i vrhovi.

Lica su poligoni koji čine poliedar.

Rubovi su strane lica.

Vrhovi su krajevi bridova.

Razmotrimo tetraedar ABCD(Sl. 1). Naznačimo njegove glavne elemente.

Rubovi: trokuti ABC, ADB, BDC, ADC.

Rebra: AB, AC, BC, DC, OGLAS, BD.

Vrhovi: A, B, C, D.

Razmotrimo paralelopiped ABCDA 1 B 1 C 1 D 1(slika 2).

Rubovi: paralelogrami AA 1 D 1 D, D 1 DCC 1, BB 1 C 1 C, AA 1 B 1 B, ABCD, A 1 B 1 C 1 D 1.

Rebra: AA 1 , BB 1 , SS 1 , DD 1 , AD, A 1 D 1 , B 1 C 1 , BC, AB, A 1 B 1 , D 1 C 1 , DC.

Vrhovi: A, B, C, D, A 1 , B 1 , C 1 , D 1 .

Važan poseban slučaj poliedra je prizma.

ABCA 1 U 1 SA 1(slika 3).

Riža. 3

Jednaki trokuti ABC I A 1 B 1 C 1 koji se nalaze u paralelnim ravninama α i β tako da bridovi AA 1, BB 1, SS 1 paralelno.

To je ABCA 1 U 1 SA 1- trokutasta prizma ako:

1) Trokuti ABC I A 1 B 1 C 1 su jednaki.

2) Trokuti ABC I A 1 B 1 C 1 koji se nalaze u paralelnim ravninama α i β: ABC║A 1 B 1 C (α ║ β).

3) Rebra AA 1, BB 1, SS 1 paralelno.

ABC I A 1 B 1 C 1- baza prizme.

AA 1, BB 1, SS 1- bočna rebra prizme.

Ako iz proizvoljne točke H 1 jedna ravnina (npr. β) spušta okomicu NN 1 na ravninu α, tada se ta okomica naziva visina prizme.

Definicija. Ako su bočni rubovi okomiti na baze, tada se prizma naziva ravnom, inače se naziva nagnutom.

Razmotrimo trokutastu prizmu ABCA 1 U 1 SA 1(slika 4). Ova prizma je ravna. To jest, njegova bočna rebra su okomita na baze.

Na primjer, rebro AA 1 okomito na ravninu ABC. Rub AA 1 je visina ove prizme.

Riža. 4

Imajte na umu da bočno lice AA 1 B 1 B okomito na baze ABC I A 1 B 1 C 1, budući da prolazi kroz okomicu AA 1 do baza.

Sada razmotrite nagnutu prizmu ABCA 1 U 1 SA 1(slika 5). Ovdje bočni rub nije okomit na ravninu baze. Ako se izostavi iz točke A 1 okomito A 1 N na ABC, tada će ta okomica biti visina prizme. Imajte na umu da segment AN je projekcija segmenta AA 1 do aviona ABC.

Zatim kut između pravca AA 1 i avion ABC je kut između ravne linije AA 1 i nju AN projekcija na ravninu, odnosno kut A 1 AN.

Riža. 5

Razmotrimo četverokutnu prizmu ABCDA 1 B 1 C 1 D 1(slika 6). Da vidimo kako će ispasti.

1) Četverokut ABCD jednak četverokutu A 1 B 1 C 1 D 1: ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1.

2) Četverokuti ABCD I A 1 B 1 C 1 D 1 ABC║A 1 B 1 C (α ║ β).

3) Četverokuti ABCD I A 1 B 1 C 1 D 1 smještena tako da su bočna rebra paralelna, tj. AA 1 ║VV 1 ║SS 1 ║DD 1.

Definicija. Dijagonala prizme je isječak koji povezuje dva vrha prizme koji ne pripadaju istoj plohi.

Na primjer, AC 1- dijagonala četverokutne prizme ABCDA 1 B 1 C 1 D 1.

Definicija. Ako bočni rub AA 1 okomito na ravninu baze, onda se takva prizma zove pravac.

Riža. 6

Poseban slučaj četverokutne prizme je nama poznati paralelopiped. Paralelopiped ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 prikazano na sl. 7.

Pogledajmo kako to radi:

1) Baze sadrže jednake likove. U ovom slučaju - jednaki paralelogrami ABCD I A 1 B 1 C 1 D 1: ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1.

2) Paralelogrami ABCD I A 1 B 1 C 1 D 1 leže u paralelnim ravninama α i β: ABC║A 1 B 1 C 1 (α ║ β).

3) Paralelogrami ABCD I A 1 B 1 C 1 D 1 raspoređeni na takav način da su bočna rebra međusobno paralelna: AA 1 ║VV 1 ║SS 1 ║DD 1.

Riža. 7

Od točke A 1 ispustimo okomicu AN do aviona ABC. Segment linije A 1 N je visina.

Pogledajmo kako to radi heksagonalna prizma(slika 8).

1) Baza sadrži jednake šesterokute A B C D E F I A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1: A B C D E F= A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1.

2) Ravnine šesterokuta A B C D E F I A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 paralelne, odnosno baze leže u paralelnim ravninama: ABC║A 1 B 1 C (α ║ β).

3) Šesterokuti A B C D E F I A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 raspoređeni tako da su sva bočna rebra međusobno paralelna: AA 1 ║BB 1 …║FF 1.

Riža. 8

Definicija. Ako je bilo koji bočni brid okomit na ravninu baze, tada se takva šesterokutna prizma naziva ravnom.

Definicija. Pravilna prizma se naziva pravilnom ako su joj baze pravilni mnogokuti.

Razmotrimo pravilnu trokutastu prizmu ABCA 1 U 1 SA 1.

Riža. 9

Trokutasta prizma ABCA 1 U 1 SA 1- pravilan, to znači da baze sadrže pravilne trokute, odnosno da su sve stranice tih trokuta jednake. Također, ova prizma je ravna. To znači da je bočni rub okomit na ravninu baze. To znači da su sve bočne strane jednaki pravokutnici.

Dakle, ako je trokutasta prizma ABCA 1 U 1 SA 1- je točno, tada:

1) Bočni brid je okomit na ravninu baze, odnosno to je visina: AA 1 ⊥ ABC.

2) Osnovica je pravilan trokut: ∆ ABC- točno.

Definicija. Ukupna površina prizme je zbroj površina svih njezinih lica. Određeni S puna.

Definicija. Bočna površina je zbroj površina svih bočnih stranica. Određeni S strana.

Prizma ima dvije baze. Tada je ukupna površina prizme:

S puni = S bočni + 2S glavni.

Bočna površina ravne prizme jednaka je umnošku opsega baze i visine prizme.

Dokaz ćemo provesti na primjeru trokutaste prizme.

S obzirom: ABCA 1 U 1 SA 1- ravna prizma, tj. AA 1 ⊥ ABC.

AA 1 = h.

Dokazati: S strana = P glavna ∙ h.

Riža. 10

Dokaz.

Trokutasta prizma ABCA 1 U 1 SA 1- ravno, to znači AA 1 B 1 B, AA 1 C 1 C, BB 1 C 1 C - pravokutnici.

Nađimo površinu bočne površine kao zbroj površina pravokutnika AA 1 B 1 B, AA 1 C 1 C, BB 1 C 1 C:

S strana = AB∙ h + BC∙ h + CA∙ h = (AB + BC + CA) ∙ h = P glavni ∙ h.

Dobivamo S strana = P glavni ∙ h, Q.E.D.

Upoznali smo se s poliedrima, prizmama i njihovim varijantama. Dokazali smo teorem o bočnoj plohi prizme. U sljedećoj lekciji ćemo rješavati probleme prizme.

1. Geometrija. Razredi 10-11: udžbenik za učenike općeobrazovnih ustanova (osnovne i specijalizirane razine) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. izdanje, ispravljeno i prošireno - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 str. : ilustr.
2. Geometrija. 10-11 razred: Udžbenik za općeobrazovne obrazovne ustanove/ Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 str.: ilustr.
3. Geometrija. 10. razred: Udžbenik za općeobrazovne ustanove s produbljenim i specijalističkim studijem matematike /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. izdanje, stereotip. - M.: Bustard, 008. - 233 str. :il.

1. Iclass().
2. Shkolo.ru ().
3. Stara škola ().
4. WikiHow().

1. Koliki je najmanji broj stranica koje prizma može imati? Koliko vrhova i bridova ima takva prizma?
2. Postoji li prizma koja ima točno 100 rubova?
3. Bočno rebro je nagnuto prema ravnini baze pod kutom od 60°. Odredi visinu prizme ako je bočni brid 6 cm.
4. U ravnoj liniji trokutasta prizma svi rubovi su jednaki. Površina njegove bočne površine je 27 cm 2. Pronađite ukupnu površinu prizme.

Definicija. Prizma je poliedar, čiji se svi vrhovi nalaze u dvije paralelne ravnine, au te iste dvije ravnine leže dvije plohe prizme, koje su jednaki poligoni s odgovarajućim paralelnim stranicama, a svi bridovi koji ne leže u tim ravninama su paralelni.

Dva jednaka lica nazivaju se baze prizme(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Sva ostala lica prizme nazivaju se bočna lica(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Sve bočne strane čine bočna površina prizme .

Sve bočne strane prizme su paralelogrami .

Bridovi koji ne leže na bazama nazivaju se bočnim bridovima prizme ( AA 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Dijagonala prizme je segment čiji su krajevi dva vrha prizme koji ne leže na istoj plohi (AD 1).

Duljina isječka koji povezuje osnovice prizme i okomita na obje osnovice u isto vrijeme naziva se visina prizme .

Oznaka:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Prvo, u redoslijedu obilaska, naznačeni su vrhovi jedne baze, a zatim, istim redoslijedom, vrhovi druge; krajevi svakog bočnog brida označeni su istim slovima, označeni su samo vrhovi koji leže u jednoj bazi slovima bez indeksa, au drugom - s indeksom)

Naziv prizme povezan je s brojem kutova u liku koji leži u njezinoj osnovi, na primjer, na slici 1 nalazi se peterokut u bazi, pa se prizma naziva peterokutna prizma. Ali zbog takva prizma ima 7 lica, onda ga heptaedar(2 lica - baze prizme, 5 lica - paralelogrami, - njegove bočne strane)

Među ravnim prizmama ističe se privatni pogled: pravilne prizme.

Ravna prizma naziva se točno, ako su mu osnovice pravilni mnogokuti.

U ispravna prizma sve bočne strane su jednaki pravokutnici. Poseban slučaj prizme je paralelopiped.

Paralelopiped

Paralelopiped je četverokutna prizma u čijoj osnovi leži paralelogram (nagnuti paralelopiped). Pravi paralelopiped- paralelopiped čiji su bočni rubovi okomiti na ravnine baze.

Pravokutni paralelopiped- pravi paralelopiped čija je osnovica pravokutnik.

Svojstva i teoremi:

Neka svojstva paralelopipeda slična su poznatim svojstvima paralelograma. Pravokutni paralelopiped jednakih dimenzija naziva se kocka .Sve plohe kocke su jednaki kvadrati.Kvadrat dijagonale jednak je zbroju kvadrata njezine tri dimenzije.

,

gdje je d dijagonala kvadrata;
a je stranica kvadrata.

Ideju prizme daje:

• razne arhitektonske strukture;
• Dječje igračke;
• kutije za pakiranje;
• dizajnerski predmeti itd.

Površina ukupne i bočne površine prizme

Ukupna površina prizme je zbroj površina svih njegovih lica Bočna površina naziva se zbroj površina njegovih bočnih strana. Osnovice prizme su jednaki mnogokuti, tada su im površine jednake. Zato

S puni = S bočni + 2S glavni,

Gdje S puna- ukupna površina, S strana- bočna površina, S baza- osnovna površina

Bočna površina ravne prizme jednaka je umnošku opsega baze i visine prizme..

S strana= P osnovni * h,

Gdje S strana- površina bočne površine ravne prizme,

P main - opseg baze ravne prizme,

h je visina ravne prizme, jednaka bočnom rubu.

Volumen prizme

Volumen prizme jednak je umnošku površine baze i visine.